Tehtävä 19 profiilitaso. Matematiikan yhtenäinen valtionkoe (profiili)

Taululle on kirjoitettu 30 erilaista luonnolliset luvut, joista jokainen on joko parillinen tai sen desimaalimerkintä päättyy numeroon 7. Kirjoitettujen lukujen summa on 810.

A) Voiko taululla olla tasan 24 parillista numeroa?

Numerosarja saadaan yleisellä termillä: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Etsi pienin arvo n , jolle a_(n)< 1/2017.

B) Etsi n:n pienin arvo, jolla tämän sekvenssin ensimmäisten n termien summa on suurempi kuin 0,99.

B) Onko tässä järjestyksessä jäseniä, jotka muodostavat aritmeettinen progressio?

A) Olkoon kahdeksan eri luonnollisen luvun tulo yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä korotettuna yhtä suuri kuin B. Etsi korkein arvo B/A.

B) Olkoon kahdeksan luonnollisen luvun tulo (ei välttämättä erilainen) yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä korotettuna yhtä suuri kuin B. Voiko lausekkeen arvo olla yhtä suuri kuin 210?

C) Olkoon kahdeksan luonnollisen luvun tulo (ei välttämättä erilainen) yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä korotettuna yhtä suuri kuin B. Voiko lausekkeen B/A arvo olla yhtä suuri kuin 63?

Luonnollisella luvulla he tuottavat seuraava operaatio: kunkin kahden vierekkäisen numeron väliin kirjoitetaan näiden numeroiden summa (esimerkiksi luvusta 1923 saadaan luku 110911253).

A) Anna esimerkki luvusta, josta saadaan 4106137125

B) Voiko mikä tahansa luku tuottaa luvun 27593118?

Jossa suurin luku, 9:n kerrannainen, voidaan saada kolminumeroisesta luvusta, jonka desimaalimuodossa ei ole yhdeksää?

Ryhmässä on 32 opiskelijaa. Jokainen heistä kirjoittaa joko yhden tai kaksi koepaperit, joista jokaisesta voit saada 0-20 pistettä mukaan lukien. Lisäksi kumpikin kahdesta koepaperista erikseen antaa keskimäärin 14 pistettä. Seuraavaksi jokainen opiskelija nimesi korkeimman pistemääränsä (jos hän kirjoitti yhden työn, hän nimesi sen), näistä pisteistä löytyi aritmeettinen keskiarvo ja se on yhtä suuri kuin S.

< 14.
B) Voiko olla, että 28 henkilöä kirjoittaa kaksi koetta ja S=11?
K) Kuinka monta opiskelijaa voi kirjoittaa enintään kaksi koetta, jos S=11?

Taululle on kirjoitettu 100 erilaista luonnollista lukua, joiden summa on 5130

A) Onko mahdollista, että taululle on kirjoitettu numero 240?

B) Onko mahdollista, että taululla ei ole numeroa 16?

K) Mikä on pienin määrä 16:n kerrannaisia, joka voi olla taululla?

Taululle on kirjoitettu 30 erilaista luonnollista lukua, joista jokainen on joko parillinen tai sen desimaaliluku päättyy numeroon 7. Kirjoitettujen lukujen summa on 810.

A) Voiko taululla olla tasan 24 parillista numeroa?

B) Voiko taululla tarkalleen kaksi numeroa päättyä 7:ään?

K) Mikä on pienin määrä 7:ään päättyviä numeroita, joka voi olla taululla?

Jokainen 32 opiskelijasta kirjoitti joko yhden kahdesta kokeesta tai kirjoitti molemmat kokeet. Jokaisesta työstä voit saada kokonaislukumäärän pisteitä 0-20 mukaan lukien. Jokaiselle kahdelle testille erikseen GPA oli 14. Sitten jokainen opiskelija nimesi korkeimman pistemääränsä (jos opiskelija kirjoitti yhden työn, niin hän nimesi sen pistemäärän). Nimettyjen pisteiden aritmeettinen keskiarvo osoittautui yhtä suureksi kuin S.

A) Anna esimerkki, kun S< 14

B) Voisiko S:n arvo olla 17?

C) Mikä on pienin arvo, jonka S voisi saada, jos molemmat koepaperit olisivat 12 opiskelijan kirjoittamia?

19) Taululle on kirjoitettu 30 numeroa. Jokainen niistä on joko parillinen tai desimaaliluku, joka päättyy kolmeen. Niiden summa on 793.

A) voiko laudalla olla täsmälleen 23 parillista numeroa;
b) voi vain yksi numeroista päättyä 3:een;
c) mikä on pienin määrä näistä luvuista, joka voi päättyä kolmeen?

Taululle on kirjoitettu useita erilaisia ​​luonnollisia lukuja, joista minkä tahansa kahden tulo on suurempi kuin 40 ja pienempi kuin 100.

A) Voiko taululla olla 5 numeroa?

B) Voiko taululla olla 6 numeroa?

K) Mikä on suurin arvo, jonka taululla olevien lukujen summa voi saada, jos niitä on neljä?

Annetut luvut: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Onko mahdollista jakaa nämä luvut kolmeen ryhmään niin, että

A) Jokaisessa ryhmässä lukujen summa jaettiin kolmella.
b) kussakin ryhmässä lukujen summa jaettiin 10:llä.
c) yhden ryhmän lukujen summa jaettiin 102:lla, toisen ryhmän lukujen summa 203:lla ja kolmannen ryhmän lukujen summa jaettiin 304:llä?

a) Etsi luonnollinen luku n, jonka summa 1+2+3+...+n on yhtä suuri kuin kolminumeroinen luku, jonka kaikki numerot ovat samat.

B) Aritmeettisen progression muodostavien neljän luvun summa on 1 ja näiden lukujen kuutioiden summa on 0,1. Etsi nämä numerot.

A) Voidaanko luvut 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jakaa kahteen ryhmään, joilla on sama lukutulo näissä ryhmissä?

B) Voidaanko luvut 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 jakaa kahteen ryhmään, joissa näiden ryhmien lukujen tulo on sama?

K) Mikä on pienin määrä lukuja, jotka on poistettava joukosta 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, jotta loput luvut voidaan jakaa kahteen ryhmään sama lukujen tulo näissä ryhmissä? Anna esimerkki tällaisesta jakamisesta ryhmiin.

Annettu ruudullinen neliö, jonka mitat ovat 6x6.

A) Voidaanko tämä neliö leikata kymmeneen pareittain eri ruudulliseen monikulmioon?
B) Voidaanko tämä neliö leikata yhteentoista pareittain eri ruudulliseen monikulmioon?
B) Mikä on suurin määrä pareittain erilaisia ​​ruudullisia suorakulmioita, joihin tämä neliö voidaan leikata?

Jokainen 3 x 3 -taulukon solu sisältää numeroita 1 - 9 (kuva). Yhdellä liikkeellä on mahdollista saavuttaa kaksi vierekkäistä numeroa (solut
joilla on yhteinen puoli) lisää sama kokonaisluku.

A) Onko mahdollista saada tällä tavalla taulukko, jonka kaikissa soluissa on samat numerot?

B) Onko mahdollista saada tällä tavalla taulukko, joka koostuu yhdestä (keskellä) ja kahdeksasta nollasta?

C) Useiden siirtojen jälkeen taulukossa on kahdeksan nollaa ja jokin muu luku N kuin nolla. Etsi kaikki mahdolliset N.

A) Jokainen tason piste on väritetty yhdellä kahdesta väristä. Onko tasossa välttämättä kaksi samanväristä pistettä, jotka ovat tasan 1 metrin etäisyydellä toisistaan?

B) Jokainen piste viivalla on väritetty jollain 10 väristä. Onko suoralla viivalla välttämättä kaksi samanväristä pistettä, jotka on erotettu toisistaan ​​kokonaislukumäärällä metrejä?

Jossa suurin luku Kuution kärjet voidaan värjätä Sininen väri niin että joukossa siniset huiput oli mahdotonta valita kolmea tätä muotoa tasasivuinen kolmio?

Viisinumeroisesta luonnollisesta luvusta N tiedetään, että se on jaollinen 12:lla ja sen numeroiden summa on jaollinen 12:lla.

A) Voivatko N:n kaikki viisi numeroa olla erilaisia?
B) Etsi pienin mahdollinen luku N;
B) Etsi suurin mahdollinen luku N;
D) Mikä on suurin määrä identtisiä numeroita, joka voi sisältää lukua N? Kuinka monta tällaista lukua N on (joiden merkinnöissä on suurin määrä identtisiä numeroita)?

Siinä on viisi tikkua, joiden pituus on 2, 3, 4, 5, 6.

A) Onko mahdollista muodostaa tasakylkinen kolmio käyttämällä kaikkia sauvoja?

B) Onko mahdollista muodostaa suorakulmainen kolmio käyttämällä kaikkia sauvoja?

Jossa pienin alue voitko tehdä kolmion kaikista tikkuista? (et voi rikkoa tikkuja)

Kolme erilaista luonnollista lukua ovat jonkin tylpän kolmion sivujen pituuksia.

A) Voiko näistä luvuista suuremman suhde pienempiin olla yhtä suuri kuin 3/2?

B) Voiko näistä luvuista suuremman suhde pienempiin olla yhtä suuri kuin 5/4?

C) Mikä on pienin arvo, jonka näistä luvuista suurimman suhde pienempiin voi saada, jos tiedetään, että keskimääräinen luku on 18?

Äärillinen jono a1,a2,...,a_(n) koostuu n:stä, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 3 ei välttämättä erillistä luonnollista lukua, ja kaikille luonnollisille k:lle, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n-2, yhtälö a_(k+2 ) = 2a_(k +1)-a_(k)-1.

A) Anna esimerkki tällaisesta sekvenssistä n = 5, jossa a_(5) = 4.

B) Voiko luonnollinen luku esiintyä kolme kertaa tässä sarjassa?

C) Millä suurimmalla n:llä tällainen sarja voi koostua vain kolminumeroisista luvuista?

Kokonaisluvut x, y ja z tässä järjestyksessä muodostavat geometrisen progression.

A) Voivatko luvut x+3, y^2 ja z+5 muodostaa aritmeettisen progression tässä järjestyksessä?

B) Voivatko luvut 5x, y ja 3z muodostaa aritmeettisen progression tässä järjestyksessä?

B) Etsi kaikki x, y ja z siten, että luvut 5x+3, y^2 ja 3z+5 muodostavat aritmeettisen progression tässä järjestyksessä.

Taululle on kirjoitettu kaksi luonnollista lukua: 672 ja 560. Voit yhdellä siirrolla korvata minkä tahansa näistä luvuista niiden erotuksen moduulilla tai puolittaa sen (jos luku on parillinen).

A) Voiko laudalla olla kaksi identtistä numeroa muutaman liikkeen jälkeen?

B) Voiko numero 2 ilmestyä taululle muutamalla siirrolla?

C) Etsi pienin luonnollinen luku, joka voi ilmestyä taululle tällaisten liikkeiden seurauksena.

Shakki voidaan voittaa, hävitä tai tasapeli. Shakinpelaaja kirjoittaa jokaisen pelaamansa pelin tuloksen ja jokaisen pelin jälkeen hän laskee kolme indikaattoria: "voitot" - voittoprosentti pyöristettynä lähimpään kokonaisuuteen, "tasapelit" - tasapelien prosenttiosuus pyöristettynä lähimpään kokonaisuuteen. , ja "tappiot", yhtä suuri kuin ero 100 ja "voittojen" ja "tasapelien" summa. (Esimerkiksi 13,2 pyöristetään 13:ksi, 14,5 pyöristetään 15:ksi, 16,8 pyöristetään 17:ksi).
a) Voiko voittoprosentti olla jossain vaiheessa 17, jos alle 50 peliä on pelattu?
b) Voiko tappioprosentti nousta voitetun pelin jälkeen?
c) Yksi peleistä hävisi. Mikä on pienin pelattujen pelien lukumäärä, "tappio"-indikaattori voi olla yhtä suuri kuin 1?

Olkoon q pienin yhteinen kerrannainen ja d luonnollisten lukujen x ja y suurin yhteinen jakaja, joka täyttää yhtälön 3x=8y–29.

Komppaniassa on kaksi ryhmää, ensimmäisessä ryhmässä on vähemmän sotilaita kuin toisessa, mutta yli 50, ja yhdessä sotilaita on vähemmän kuin 120. Komentaja tietää, että komppania voidaan rivittää useilla henkilöillä peräkkäin niin, että jokaisessa rivissä on sama määrä sotilaita, yli 7, eikä missään rivissä ole sotilaita kahdesta eri joukkueesta.

A) Kuinka monta sotilasta on ensimmäisessä ryhmässä ja kuinka monta toisessa? Anna ainakin yksi esimerkki.

B) Onko mahdollista rakentaa komppania mainitulla menetelmällä, 11 sotilasta samassa rivissä?

K) Kuinka monta sotilasta voi olla komppaniassa?

Olkoon q pienin yhteinen kerrannainen ja d luonnollisten lukujen x ja y suurin yhteinen jakaja, joka täyttää yhtälön 3x=8y-29.

A) Voiko q/d olla 170?

B) Voiko q/d olla yhtä suuri kuin 2?

B) Etsi q/d:n pienin arvo

Selvitä, onko kahdella sekvenssillä yhteisiä termejä

A) 3; 16; 29; 42;... ja 2; 19; 36; 53;...

B) 5; 16; 27; 38;... ja 8; 19; kolmekymmentä; 41;...

B) Määritä suurin määrä yhteisiä termejä, jotka kahdella aritmeettisella progressiolla 1 voi olla; ...; 1000 ja 9; ...; 999, jos tiedetään, että kunkin niistä ero on jokin muu kokonaisluku kuin 1.

A) Voidaanko luku 2016 esittää seitsemän peräkkäisen luonnollisen luvun summana?

A) Voidaanko luku 2016 esittää kuuden peräkkäisen luonnollisen luvun summana?

B) Esitä luku 2016 suurimman peräkkäisten parillisten luonnollisten lukujen summana.

Kutsumme lukujoukkoa hyväksi, jos se voidaan jakaa kahteen osajoukkoon, joilla on sama lukujen summa.

A) Onko sarja (200;201;202;...;299) hyvä?

B) Onko joukko (2;4;8;...;2^(100)) hyvä?

C) Kuinka monta hyvää neljän alkion osajoukkoa joukolla (1;2;4;5;7;9;11) on?

Kyselyssä kävi ilmi, että noin 58 % vastaajista pitää keinotekoisesta joulukuusesta enemmän kuin luonnollista (luku 58 saatiin pyöristämällä lähimpään kokonaislukuun). Samasta tutkimuksesta kävi ilmi, että noin 42 % vastaajista ei koskaan huomauttanut Uusivuosi ei kotona.

A) Voisiko kyselyyn osallistua tasan 40 henkilöä?
b) Voisiko kyselyyn osallistua tarkalleen 48 henkilöä?
c) Mikä on pienin määrä ihmisiä, jotka voivat osallistua tähän kyselyyn?

Vanya pelaa peliä. Pelin alussa taululle kirjoitetaan kaksi erilaista luonnollista lukua. Yhdellä pelikierroksella Vanyan täytyy ratkaista toisen asteen yhtälö x^2-px+q=0, jossa p ja q ovat kaksi numeroa Vanyan valitsemassa järjestyksessä, jotka on kirjoitettu taululle tämän liikkeen alussa, ja jos tällä yhtälöllä on kaksi eri luonnollista juurta, korvaa kaksi numeroa taululla näillä juurilla . Jos tällä yhtälöllä ei ole kahta erilaista luonnollista juurta, Vanya ei voi tehdä liikettä ja peli päättyy.

A) Onko olemassa kaksi sellaista numeroa, että Vanya voi tehdä vähintään kaksi siirtoa aloittaessaan pelin?
b) Onko olemassa kaksi numeroa, joilla Vanya voi tehdä kymmenen siirtoa aloittaessaan pelaamisen?
c) Kuinka monta liikettä Vanya voi tehdä suurin piirtein näissä olosuhteissa?

Taululle kirjoitettiin 30 luonnollista numeroa (eivät välttämättä erilaisia), joista jokainen on suurempi kuin 14, mutta ei ylitä 54:ä. Kirjoitettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo oli 18. Jokaisen luvun sijasta kirjoitettiin luku lauta, joka oli puolet alkuperäisestä. Numerot, jotka myöhemmin osoittautuivat pienemmiksi kuin 8, poistettiin taululta.

Kutsumme nelinumeroista lukua erittäin onnelliseksi, jos kaikki sen desimaalimerkinnän numerot ovat erilaisia ​​ja näiden kahden ensimmäisen numeron summa on yhtä suuri kuin kahden viimeisen numeron summa. Esimerkiksi 3140 on erittäin onnenluku.
a) Onko olemassa kymmenen peräkkäistä nelinumeroista numeroa, joista kaksi on erittäin onnekasta?
b) Voiko kahden erittäin onnekkaan nelinumeroisen luvun ero olla yhtä suuri kuin 2015?
c) Etsi pienin luonnollinen luku, jolla ei ole erittäin onnekkaan nelinumeroisen luvun kerrannaista.

Tietyn koulun oppilaat kirjoittivat kokeen. Opiskelija voi saada ei-negatiivisen kokonaisluvun pisteitä tästä kokeesta. Opiskelijan katsotaan läpäisevän kokeen, jos hän saa vähintään 50 pistettä. Tulosten parantamiseksi jokaiselle kokeeseen osallistujalle annettiin 5 pistettä, joten kokeen läpäisseiden määrä kasvoi.

A) Olisivatko kokeessa epäonnistuneiden osallistujien keskimääräiset pisteet laskeneet tämän jälkeen?

B) Voisiko kokeeseen osallistumattomien osallistujien keskimääräinen pistemäärä laskea tämän jälkeen ja samalla myös testin läpäisseiden keskipistemäärä?

C) Olkoon testin läpäisseiden osallistujien alkuperäinen keskipistemäärä 60 pistettä, kokeen läpäisemättömien 40 pistettä ja kaikkien osallistujien keskiarvo 50 pistettä. Pisteiden lisäämisen jälkeen kokeen läpäisseiden osallistujien keskiarvoksi tuli 63 pistettä ja kokeeseen läpäisemättömien 43 pistettä. Mikä on pienin osallistujamäärä, jolla tämä tilanne on mahdollista?

Kolmesta erilaisesta luonnollisesta luvusta tiedetään, että ne ovat jonkin tylpän kolmion sivujen pituuksia.

A) Voisiko näistä luvuista suuremman ja pienemmän suhde olla yhtä suuri kuin 13/7?

B) Voisiko näistä luvuista suuremman suhde pienempiin olla yhtä suuri kuin 8/7?

C) Mikä on pienin arvo, jonka näistä luvuista suurimman suhde pienempiin voi saada, jos tiedetään, että näiden lukujen keskiarvo on 25?

Shakkiturnaukseen osallistuvat pojat ja tytöt. Shakkipelin voitosta saa 1 pisteen, tasapelistä 0,5 pistettä, tappiosta 0 pistettä. Turnauksen sääntöjen mukaan jokainen osallistuja pelaa keskenään kahdesti.

A) Mikä on pisteiden enimmäismäärä, jonka tytöt voivat saada yhteensä, jos turnaukseen osallistuu viisi poikaa ja kolme tyttöä?

B) Mikä on kaikkien osallistujien pisteiden summa, jos osallistujia on yhteensä yhdeksän?

K) Kuinka monta tyttöä voisi osallistua turnaukseen, jos tiedetään, että heitä on 9 kertaa vähemmän kuin poikia ja että pojat saivat tasan neljä kertaa enemmän pisteitä kuin tytöt?

Annettu on aritmeettinen progressio (jolla on eri erotus kuin nolla), joka koostuu luonnollisista luvuista, joiden desimaaliluku ei sisällä lukua 9.

A) Voiko tällaisessa etenemisessä olla 10 termiä?
b) Osoita, että sen jäsenten lukumäärä on pienempi kuin 100.
c) Osoita, että minkään tällaisen etenemisen termien lukumäärä on enintään 72.
d) Anna esimerkki tällaisesta etenemisestä, jossa on 72 termiä.

Punainen kynä maksaa 18 ruplaa, sininen 14 ruplaa. Sinun täytyy ostaa kyniä, joilla on vain 499 ruplaa ja tarkkailemalla lisäehto: Sinisten kynien määrä ei saa poiketa punaisten kynien määrästä enempää kuin kuusi.

A) Onko mahdollista ostaa 30 kynää?

B) Onko mahdollista ostaa 33 kynää?

K) Mikä on suurin määrä kyniä, joita voit ostaa?

Tiedetään, että a, b, c ja d ovat pareittain erillisiä kaksinumeroisia lukuja.
a) Voiko yhtälö (a+c)/(b+d)=7/19 täyttyä?
b) Voiko murto-osa (a+c)/(b+d) olla 11 kertaa pienempi kuin summa (a/c)+(b/d)
c) Mikä on pienin arvo, jonka murto (a+c)/(b+d) voi saada, jos a>3b ja c>6d

Tiedetään, että a, b, c ja d ovat pareittain erillisiä kaksinumeroisia lukuja.

A) Voiko yhtälö (3a+2c)/(b+d) = 12/19 täyttyä?

B) Voiko murto (3a+2c)/(b+d) olla 11 kertaa pienempi kuin summa 3a/b + 2c/d

C) Mikä on pienin arvo, jonka murto-osa (3a+2c)/(b+d) voi saada, jos a>3b ja c>2d?

Luonnolliset luvut a, b, c ja d täyttävät ehdon a>b>c>d.

A) Etsi luvut a, b, c ja d, jos a+b+c+d=15 ja a2−b2+c2−d2=19.

B) Voiko olla a+b+c+d=23 ja a2−b2+c2−d2=23?

C) Olkoon a+b+c+d=1200 ja a2−b2+c2−d2=1200. Etsi luvun a mahdollisten arvojen lukumäärä.

Yhden koulun oppilaat kirjoittivat kokeen. Jokaisen oppilaan tulos on ei-negatiivinen kokonaisluku pisteitä. Opiskelijan katsotaan läpäisevän kokeen, jos hän saa vähintään 85 pistettä. Koska tehtävät osoittautuivat liian vaikeiksi, kaikille kokeen osallistujille päätettiin lisätä 7 pistettä, minkä ansiosta kokeen läpäisseiden määrä kasvoi.
a) Voisiko olla, että tämän jälkeen testiä läpäisemättömien osallistujien keskiarvo laski?
b) Voisiko olla, että tämän jälkeen kokeen läpäisseiden osallistujien keskipistemäärä laski ja myös kokeen läpäisemättömien keskipistemäärä laski?
c) Tiedetään, että alun perin kokeeseen osallistuneiden keskimääräinen pistemäärä oli 85, testiä läpäisemättömien keskimääräinen pistemäärä oli 70. Pisteiden lisäämisen jälkeen testin läpäisseiden keskipistemääräksi tuli 100 ja ne, jotka eivät läpäisseet koetta - 72. Millä on pienin osallistujamäärä Onko tämä tilanne mahdollinen?

Kutsumme kolmea lukua hyväksi kolmioksi, jos ne voivat olla kolmion sivujen pituuksia.
Kutsumme kolmea lukua erinomaiseksi kolmioksi, jos ne voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia.
a) Annettu 8 erilaista luonnollista lukua. Voisiko se olla? ettei heidän joukossaan ole yhtäkään hyvää kolmea?
b) Annettu 4 erilaista luonnollista lukua. Voisiko käydä niin, että niiden joukosta löytyy kolme erinomaista kolmosta?
c) Annettu 12 erilaista lukua (ei välttämättä luonnollisia). Mikä on suurin määrä erinomaisia ​​kolmosia, jotka voisivat olla heidän joukossaan?

Useat identtiset tynnyrit sisältävät tietyn määrän litraa vettä (ei välttämättä samaa). Voit siirtää minkä tahansa määrän vettä tynnyristä toiseen kerralla.
a) Olkoon neljä tynnyriä, joissa on 29, 32, 40, 91 litraa. Onko mahdollista tasoittaa veden määrää tynnyreissä enintään neljällä siirrolla?
b) Polussa on seitsemän tynnyriä. Onko aina mahdollista tasata vesimäärä kaikissa tynnyreissä korkeintaan viidellä siirrolla?
c) Mikä on pienin verensiirtojen määrä, jonka voit tietää tasataksesi veden määrän 26 tynnyrissä?

Taululle on kirjoitettu 30 luonnollista lukua (eivät välttämättä erilaisia), joista jokainen on suurempi kuin 4, mutta ei ylitä 44:ää. Kirjoitettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo oli 11. Jokaisen luvun tilalle kirjoitettiin luku taululla, joka oli puolet alkuperäisestä numerosta. Numerot, jotka sitten osoittautuivat pienemmiksi kuin 3, poistettiin taululta.
a) Voiko taululle jääneiden lukujen aritmeettinen keskiarvo olla suurempi kuin 16?
b) Voisiko taululle jääneiden lukujen aritmeettinen keskiarvo olla suurempi kuin 14 mutta pienempi kuin 15?
c) Etsi taululle jääneiden lukujen aritmeettisen keskiarvon suurin mahdollinen arvo.

Yhdessä kirjanpitokilpailun tehtävistä vaaditaan bonuksia tietyn osaston työntekijöille yhteensä 800 000 ruplaa (bonuksen määrä jokaiselle työntekijälle on 1000:n kokonaislukukerrannainen). Kirjanpitäjälle jaetaan bonuksia, ja hänen on annettava ne ilman vaihtoa tai vaihtoa, sillä hänellä on 25 1000 ruplaa ja 110 5000 ruplaa.
a) Onko mahdollista suorittaa tehtävä, jos osastolla on 40 työntekijää ja kaikkien pitäisi saada sama summa?
b) Onko mahdollista suorittaa tehtävä, jos johtavalle asiantuntijalle on annettava 80 000 ruplaa ja loput jaetaan tasan 80 työntekijän kesken?
c) Mikä on suurin määrä osastolla olevia työntekijöitä, jotka mahdollistavat tehtävän suorittamisen mahdollisella bonusmäärien jakamalla?

Taululle kirjoitetaan luku 2045 ja useita muita (vähintään kaksi) luonnollisia lukuja, jotka eivät ylitä 5000. Kaikki taululle kirjoitetut luvut ovat erilaisia. Minkä tahansa kahden kirjoitetun luvun summa jaetaan millä tahansa muulla.
a) Voidaanko taululle kirjoittaa täsmälleen 1024 numeroa?
b) Voidaanko taululle kirjoittaa tasan viisi numeroa?
c) Mikä on pienin määrä numeroita, jotka voidaan kirjoittaa taululle?

Taululle kirjoitettiin useita ei välttämättä erilaisia ​​kaksinumeroisia luonnollisia lukuja ilman nollia desimaalimuodossa. Näiden lukujen summa osoittautui yhtä suureksi kuin 2970. Jokaisessa numerossa ensimmäinen ja toinen numero vaihdettiin (esim. luku 16 korvattiin 61:llä)
a) Anna esimerkki alkuperäisistä luvuista, joiden tuloksena saatujen lukujen summa on tasan 3 kertaa pienempi kuin alkuperäisten lukujen summa.
b) Voisiko saatujen lukujen summa olla tasan 5 kertaa pienempi kuin alkuperäisten lukujen summa?
c) Etsi saatujen lukujen summan pienin mahdollinen arvo.

Kasvava äärellinen aritmeettinen progressio koostuu useista ei-negatiivisista kokonaisluvuista. Matemaatikko laski etenemisen kaikkien termien summan neliön ja niiden neliöiden summan välisen eron. Sitten matemaatikko lisäsi seuraavan termin tähän etenemiseen ja laski jälleen saman eron.
A) Anna esimerkki tällaisesta etenemisestä, jos ero oli toisella kerralla 48 suurempi kuin ensimmäisellä kerralla.
B) Toisella kerralla ero oli 1440 suurempi kuin ensimmäisellä kerralla. Voisiko eteneminen aluksi koostua 12 jäsenestä?
C) Toisella kerralla ero oli 1440 suurempi kuin ensimmäisellä kerralla. Mikä on suurin jäsenmäärä, joka voisi olla alussa?

Numerot 9-18 kirjoitetaan kerran ympyrään jossain järjestyksessä. Jokaiselle kymmenestä vierekkäisestä lukuparista löytyy niiden suurin yhteinen jakaja.
a) Voisiko käydä niin, että kaikki suurimmat yhteiset jakajat ovat yhtä suuria kuin 1? a) Taululle on kirjoitettu joukko -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Mitkä numerot oli tarkoitettu?
b) Joillekin taululle kirjoitetussa joukossa oleville erilaisille kuvitetuille numeroille luku 0 esiintyy tasan 2 kertaa.
Mikä on pienin mahdollinen määrä lukuja?
c) Joillekin suunnitelluille numeroille kirjoitetaan taululle joukko. Onko tästä joukosta aina mahdollista määrittää yksiselitteisesti aiotut luvut?

Useita (ei välttämättä erilaisia) luonnollisia lukuja ajatellaan. Nämä luvut ja kaikki niiden mahdolliset summat (2, 3 jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Jos jokin taululle kirjoitettu luku n toistetaan useita kertoja, yksi tällainen luku n jätetään taululle ja loput n:n suuruiset luvut pyyhitään pois. Esimerkiksi jos numerot ovat 1, 3, 3, 4, taululle kirjoitetaan joukko 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
a) Anna esimerkki suunnitelluista luvuista, joiden taululle kirjoitetaan joukko 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
b) Onko olemassa esimerkkiä sellaisista kuvitetuista luvuista, joille joukko 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 kirjoitettaisiin hallitus?
c) Anna kaikki esimerkit kuvitetuista luvuista, joiden taululle kirjoitetaan joukko 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Kivipalikoita on: 50 kpl 800 kg kpl, 60 kpl 1000 kg kappaleita ja 60 kpl 1500 kg kappaleita (lohkoja ei voi halkaista).
a) Onko mahdollista kuljettaa kaikkia näitä lohkoja samanaikaisesti 60 kuorma-autolla, joiden kunkin kantavuus on 5 tonnia, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat trukkiin?
b) Onko mahdollista kuljettaa kaikkia näitä lohkoja samanaikaisesti 38:lla kuorma-autolla, joiden jokaisen kantavuus on 5 tonnia, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat trukkiin?
c) Mikä on pienin määrä kuorma-autoja, joista kukin kantavuus on 5 tonnia, tarvitaan kaikkien näiden lohkojen poistamiseen samanaikaisesti, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat trukkiin?

Annettu n erilaista luonnollista lukua, jotka muodostavat aritmeettisen progression (n on suurempi tai yhtä suuri kuin 3).

A) Voiko kaikkien näiden lukujen summa olla yhtä suuri kuin 18?

B) Mikä on n:n suurin arvo, jos kaikkien annettujen lukujen summa on pienempi kuin 800?

B) Löydä kaikki mahdollisia arvoja n jos kaikkien annettujen lukujen summa on 111?

Useita (ei välttämättä erilaisia) luonnollisia lukuja ajatellaan. Nämä luvut ja kaikki niiden mahdolliset summat (2, 3 jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Jos jokin taululle kirjoitettu luku n toistetaan useita kertoja, yksi tällainen luku n jätetään taululle ja loput n:n suuruiset luvut pyyhitään pois. Esimerkiksi jos numerot ovat 1, 3, 3, 4, taululle kirjoitetaan joukko 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

A) Anna esimerkki suunnitelluista luvuista, joiden joukot 2, 4, 6, 8, 10 kirjoitetaan taululle.

Kortit käännetään ja sekoitetaan. Tyhjälle puolelleen he kirjoittavat jälleen yhden numeroista:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Tämän jälkeen kunkin kortin numerot lasketaan yhteen ja saadut kahdeksan summaa kerrotaan.

A) Voiko tulos olla 0?

B) Voisiko tulos olla 117?

K) Mikä on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka voi olla tuloksena?

Useita kokonaislukuja ajatellaan. Joukko näitä lukuja ja kaikki niiden mahdolliset summat (2, 3 jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Esimerkiksi jos numerot ovat 2, 3, 5, taululle kirjoitetaan joukko 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

A) Taululle on kirjoitettu joukko -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Mitkä numerot oli tarkoitettu?
b) Joillekin taululle kirjoitetun joukon erilaisille kuvitetuille numeroille luku 0 esiintyy tasan 4 kertaa. Mikä on pienin mahdollinen määrä lukuja? a) Kuinka monta numeroa taululle on kirjoitettu?
b) Mitä lukuja kirjoitetaan enemmän: positiivisia vai negatiivisia?
c) Mikä on suurin määrä positiivisia lukuja, joka voi olla niiden joukossa?

Matematiikan profiilitason yhtenäinen valtiokoe

Työ koostuu 19 tehtävästä.
Osa 1:
8 perusvaikeustason lyhyttä vastaustehtävää.
Osa 2:
4 lyhyttä vastaustehtävää
7 tehtävää yksityiskohtaisilla vastauksilla, joilla on korkea vaikeusaste.

Kesto - 3 tuntia 55 minuuttia.

Esimerkkejä yhtenäisistä valtiontutkintotehtävistä

Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävien ratkaiseminen.

varten itsenäinen päätös:

1 kilowattitunti sähköä maksaa 1 rupla 80 kopekkaa.
Sähkömittari näytti 1. marraskuuta 12 625 kilowattituntia ja 1. joulukuuta 12 802 kilowattituntia.
Kuinka paljon minun pitäisi maksaa sähköstä marraskuussa?
Anna vastauksesi ruplissa.

Vaihtopisteessä 1 grivna maksaa 3 ruplaa 70 kopekkaa.
Lomailijat vaihtoivat ruplaa hryvnaksi ja ostivat 3 kg tomaatteja hintaan 4 grivnaa kilolta.
Kuinka monta ruplaa tämä osto maksoi heille? Pyöristä vastauksesi kokonaislukuun.

Masha lähetti tekstiviestejä uudenvuoden terveisiä 16 ystävälleni.
Yhden tekstiviestin hinta on 1 rupla 30 kopekkaa. Ennen viestin lähettämistä Mashalla oli tilillään 30 ruplaa.
Kuinka monta ruplaa Mashalla on jäljellä kaikkien viestien lähettämisen jälkeen?

Koululla on kolmen hengen retkeilyteltat.
Mikä on pienin määrä telttoja, jotka sinun tulee ottaa mukaan 20 hengen retkelle?

Novosibirsk-Krasnojarsk-juna lähtee klo 15.20 ja saapuu klo 4.20 seuraavana päivänä (Moskovan aikaa).
Kuinka monta tuntia juna kulkee?

Ratkaise yhtälö:

1/cos 2 x + 3tgx - 5 = 0

Ilmoita juuret
segmenttiin kuuluvaa(-p; p/2).

Ratkaisu:

1) Kirjoitetaan yhtälö seuraavasti:

(tg 2 x +1) + 3tgx - 5 = 0

Tg 2 x + 3tgx - 4 = 0

tgx = 1 tai tgx = -4.

Siten:

X = n/4 + nk tai x = -arctg4 + nk.

Segmentti (-p; p/2)

Juuret kuuluvat -3p/4, -arctg4, p/4.

Vastaus: -3p/4, -arctg4, p/4.

Tiedätkö mitä?

Jos kerrot ikäsi 7:llä ja sitten 1443:lla, tuloksena on ikäsi kolme kertaa peräkkäin.

Ajattelemme negatiivisia lukuja luonnollisina, mutta näin ei aina ollut. Negatiiviset luvut laillistettiin ensimmäisen kerran Kiinassa 3. vuosisadalla, mutta niitä käytettiin vain poikkeustapauksissa, koska niitä pidettiin yleisesti merkityksettöminä. Hieman myöhemmin Intiassa alettiin käyttää negatiivisia lukuja osoittamaan velkoja, mutta lännessä ne eivät juurtuneet - kuuluisa Diophantus Aleksandrialainen väitti, että yhtälö 4x+20=0 oli absurdi.

Amerikkalainen matemaatikko George Danzig oli yliopiston jatko-opiskelijana myöhässä tunnilta ja erehtyi taululle kirjoitettujen yhtälöiden takia. kotitehtävät. Se tuntui hänestä tavallista vaikeammalta, mutta muutaman päivän kuluttua hän sai sen valmiiksi. Kävi ilmi, että hän ratkaisi kaksi "ratkaisematonta" tilastojen ongelmaa, joiden kanssa monet tiedemiehet olivat kamppailleet.

Venäläisessä matemaattisessa kirjallisuudessa nolla ei ole luonnollinen luku, vaan länsimaisessa kirjallisuudessa se päinvastoin kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon.

Meillä käytössä desimaalijärjestelmä Numerot syntyivät siitä tosiasiasta, että ihmisellä on 10 sormea ​​käsissään. Abstraktin laskennan kyky ei ilmennyt ihmisissä heti, ja kätevimmäksi osoittautui laskemiseen käyttää sormia. Maya-sivilisaatio ja heistä riippumatta tšukchit käyttivät historiallisesti 20-numeroista numerojärjestelmää käyttämällä sormia paitsi käsissä, myös varpaissa. Myös muinaisessa Sumerissa ja Babylonissa yleiset kaksois- ja seksagesimaaliset järjestelmät perustuivat käsien käyttöön: kämmenen muiden sormien sormet, joita on 12, laskettiin peukalolla.

Eräs naisystävä pyysi Einsteinia soittamaan hänelle, mutta varoitti, että hänen puhelinnumeronsa oli erittäin vaikea muistaa: - 24-361. Muistatko? Toistaa! Yllättynyt Einstein vastasi: "Tietenkin muistan!" Kaksi tusinaa ja 19 neliötä.

Stephen Hawking on yksi johtavista teoreettisista fyysikoista ja tieteen popularisoijista. Tarinassaan itsestään Hawking mainitsi, että hänestä tuli matematiikan professori ilman matemaattista koulutusta sen jälkeen. lukio. Kun Hawking aloitti matematiikan opettamisen Oxfordissa, hän luki oppikirjan kaksi viikkoa ennen omia oppilaitaan.

Suurin määrä, joka voidaan kirjoittaa roomalaisilla numeroilla rikkomatta Shvartsmanin sääntöjä (roomalaisten numeroiden kirjoittamista koskevat säännöt), on 3999 (MMMCMXCIX) - et voi kirjoittaa enempää kuin kolme numeroa peräkkäin.

On monia vertauksia siitä, kuinka yksi henkilö kutsuu toista maksamaan hänelle jostain palvelusta seuraavasti: ensimmäisessä ruudussa shakkilauta hän laittaa yhden riisinjyvän, toiseen - kaksi ja niin edelleen: jokaiseen seuraavaan soluun kaksi kertaa niin paljon kuin edelliseen. Tämän seurauksena se, joka maksaa tällä tavalla, menee varmasti konkurssiin. Tämä ei ole yllättävää: se on arvioitu kokonaispaino riisiä tulee olemaan yli 460 miljardia tonnia.

Monissa lähteissä, usein heikosti suoriutuvien oppilaiden rohkaisemiseksi, on väite, että Einstein epäonnistui matematiikassa koulussa tai lisäksi opiskeli yleensä erittäin huonosti kaikissa aineissa. Itse asiassa kaikki ei ollut niin: Albert alkoi osoittaa lahjakkuutta matematiikassa varhaisessa iässä ja tiesi sen paljon koulun opetussuunnitelman ulkopuolella.

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan tehtävässä 19 ratkaisulla

Demo Unified State Exam vaihtoehto 2019 matematiikassa

Matematiikan yhtenäinen valtionkoe 2019 pdf muodossa Perustaso | Profiilin taso

Matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumistehtävät: perus- ja erikoistaso vastauksilla ja ratkaisuilla.

Matematiikka: Perus | profiili 1-12 | | | | | | | | Koti

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan tehtävässä 19

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan profiilitason tehtävässä 19 ratkaisulla

Matematiikan yhtenäinen valtionkoe

Luku P on yhtä kuin 11:tä suuremman luonnollisen luvun tulo.
Mikä on pienin määrä luonnollisia jakajia (mukaan lukien yksi ja itse luku), joka luvulla P voi olla.

Mikä tahansa luonnollinen luku N voidaan esittää tulona:

N = (p1 x k1) (p2 x k2) ... jne.,

Missä p1, p2 jne. - alkuluvut,

Ja k1, k2 jne. - ei-negatiiviset kokonaisluvut.

Esimerkiksi:

15 = (3 1) (5 1)

72 = 8 x 9 = (2 x 3) (3 2)

Joten luvun N luonnollisten jakajien kokonaismäärä on yhtä suuri

(k1 + 1) (k2 + 1) ...

Joten ehdon mukaan P = N1 N2 ... N11, missä
N1 = (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 = (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
mikä tarkoittaa sitä
P = (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...,

Ja P:n luonnollisten jakajien kokonaismäärä on yhtä suuri

(k + k + ... + k + 1) (k + k + ... + k + 1) ...

Tämä lauseke saa minimiarvon, jos kaikki luvut N1...N11 ovat saman alkuluvun peräkkäisiä luonnollisia potenssia, alkaen luvusta 1: N1 = p, N2 = p 2, ... N11 = p 1 1.

Eli esim.
N1 = 2 1 = 2,
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
...
N11 = 2 1 1 = 2048.

Silloin P:n luonnollisten jakajien lukumäärä on yhtä suuri kuin
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

Matematiikan yhtenäinen valtionkoe

Ratkaisu:

Jokainen luonnollinen luku voi olla parillinen (2 k) tai pariton (2 k+1).

1. Jos numero on pariton:
n = 2 k+1 = (k)+(k+1). Luvut k ja k+1 ovat aina suhteellisen alkulukuja

(jos on jokin luku d, joka on x:n ja y:n jakaja, niin luvun |x-y| on myös oltava jaollinen d:llä. (k+1)-(k) = 1, eli 1:n on oltava jaollinen d:llä , eli d=1, ja tämä on todiste molemminpuolisesta yksinkertaisuudesta)

Toisin sanoen olemme osoittaneet, että kaikki parittomat luvut voidaan esittää kahden suhteellisen alkuluvun summana.
Ehdon mukaisen poikkeuksen muodostavat luvut 1 ja 3, koska 1:tä ei voi esittää ollenkaan luonnollisuuksien summana ja 3 = 2+1 eikä mikään muu, ja yksi terminä ei sovi ehdon mukaan.

2. Jos luku on parillinen:
n = 2k
Tässä meidän on tarkasteltava kahta tapausta:

2.1. k - parillinen, ts. esitetään muodossa k = 2 m.
Sitten n = 4 m = (2 m+1)+(2 m-1).
Lukuilla (2 m+1) ja (2 m-1) voi olla vain yhteinen jakaja (katso edellä), joka jakaa luvun (2 m+1)-(2 m-1) = 2. 2 on jaollinen 1:llä ja 2.
Mutta jos jakaja on 2, niin käy ilmi, että parittoman luvun 2 m+1 on oltava jaollinen kahdella. Näin ei voi tapahtua, joten jäljelle jää vain 1.

Todistimme siis, että kaikki 4 m:n muotoiset luvut (eli 4:n kerrannaiset) voidaan esittää myös kahden suhteellisen alkuluvun summana.
Poikkeuksena tässä on luku 4 (m=1), joka, vaikka se voidaan esittää muodossa 1+3, yksikkö terminä ei silti sovi meille.

2.1. k - pariton, ts. esitetään muodossa k = 2 m-1.
Sitten n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
Luvuilla (2 m-3) ja (2 m+1) voi olla yhteinen jakaja, joka jakaa luvun 4. Eli joko 1, 2 tai 4. Mutta 2 tai 4 eivät sovellu, koska (2 m+ 1) - luku on pariton, eikä sitä voida jakaa kahdella tai neljällä.

Joten todistimme, että kaikki luvut, jotka ovat muotoa 4 m-2 (eli kaikki 2:n kerrannaiset, mutta eivät 4:n kerrannaiset) voidaan esittää myös kahden suhteellisen alkuluvun summana.
Poikkeuksena ovat luvut 2 (m=1) ja 6 (m=2), joille yksi suhteellisten alkulukujen pariksi jaottelun termeistä on yhtä suuri kuin yksi.

Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon profiilitason 19. tehtävä pyrkii tunnistamaan opiskelijoiden kykyä operoida numeroilla eli niiden ominaisuuksia. Tämä tehtävä on vaikein ja vaatii epätyypillistä lähestymistapaa ja hyvää tietämystä numeroiden ominaisuuksista. Siirrytään tarkastelemaan tyypillistä tehtävää.

Tyypillisten vaihtoehtojen analyysi matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtäville nro 19 profiilitasolla

Ensimmäinen versio tehtävästä (demoversio 2018)

Taululle on kirjoitettu yli 40 mutta alle 48 kokonaislukua. Näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo on –3, kaikkien positiivisten aritmeettinen keskiarvo on 4 ja negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on –8.

a) Kuinka monta numeroa taululle on kirjoitettu?

b) Mitä lukuja kirjoitetaan enemmän: positiivisia vai negatiivisia?

c) Mikä on suurin määrä positiivisia lukuja, joka voi olla niiden joukossa?

Ratkaisualgoritmi:

1. Esittelemme muuttujat k, l, m.
2. Etsi lukujoukon summa.
3. Vastaamme kohtaan a).
4. Määritämme, mitkä luvut ovat suurempia (kohta b)).
5. Määritä kuinka monta positiivista lukua on.

Ratkaisu:

1. Olkoot k positiivisia lukuja taululle kirjoitettujen lukujen joukossa. Negatiiviset luvut l ja nolla m.

2. Kirjoitettujen lukujen summa on yhtä suuri kuin niiden määrä taululla annetussa merkinnässä kerrottuna aritmeettisella keskiarvolla. Määritä määrä:

4k-8 l+ 0⋅m = − 3(k + l+m)

3. Huomaa, että juuri annetussa yhtälössä vasemmalla jokainen termi on jaollinen 4:llä, joten kunkin tyyppisten lukujen lukumäärän summa k + l+ m on myös jaollinen 4:llä. Ehdolla kokonaismäärä kirjoitetut luvut tyydyttävät epätasa-arvon:

40 < k + l+m< 48

Sitten k + l+ m = 44, koska 44 on ainoa luonnollinen luku välillä 40 ja 48, joka on jaollinen 4:llä.

Tämä tarkoittaa, että taululle on kirjoitettu vain 44 numeroa.

4. Selvitä, minkä tyyppisiä lukuja on enemmän: positiivisia vai negatiivisia. Tätä varten esitetään yhtälö 4k −8l = − 3(k + l+m) yksinkertaistettuun muotoon: 5 l= 7k + 3m.

5. m≥ 0. Tämä tarkoittaa: 5 l≥ 7k, l> k. Osoittautuu, että negatiivisia lukuja kirjoitetaan enemmän kuin positiivisia. Korvaamme k + l+ m numero 44 tasa-arvossa

4k −8l = −3(k + l+ m).

4k - 8 l= −132, k = 2 l − 33

k + l≤ 44, niin käy näin: 3 l− 33 ≤ 44; 3l ≤ 77;l≤ 25; k = 2 l− 33 ≤17. Tästä tulemme siihen tulokseen, että positiivisia lukuja on enintään 17.

Jos positiivisia lukuja on vain 17, niin luku 4 kirjoitetaan taululle 17 kertaa, luku −8 kirjoitetaan 25 kertaa ja luku 0 kirjoitetaan 2 kertaa. Tällainen joukko täyttää kaikki tehtävän vaatimukset.

Vastaus: a) 44; b) negatiivinen; c) 17.

Toinen vaihtoehto 1 (Jaštšenko, nro 1)

Taululle on kirjoitettu 35 erilaista luonnollista lukua, joista jokainen on joko parillinen tai sen desimaaliluku päättyy numeroon 3. Kirjoitettujen lukujen summa on 1062.

a) Voiko taululla olla tasan 27 parillista numeroa?

b) Voiko taululla oleva täsmälleen kaksi numeroa päättyä kolmeen?

c) Mikä on pienin määrä 3:een päättyviä numeroita, joka voi olla taululla?

Ratkaisualgoritmi:

1. Otetaan esimerkki numerojoukosta, joka täyttää ehdon (Tämä vahvistaa lukujoukon mahdollisuuden).
2. Tarkistamme toisen ehdon todennäköisyyden.
3. Etsimme vastausta kolmanteen kysymykseen ottamalla käyttöön muuttujan n.
4. Kirjoitamme vastaukset muistiin.

Ratkaisu:

1. Tämä likimääräinen luettelo taululla olevista numeroista täyttää annetut ehdot:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Tämä vastaa kysymykseen a myöntävästi.

2. Olkoon taululle kirjoitettu tasan kaksi numeroa, joiden viimeinen numero on 3. Sitten sinne on kirjoitettu 33 parillista lukua. Niiden summa:

Tämä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että kirjoitettujen lukujen summa on 1062, eli kysymykseen b ei ole myöntävää vastausta.

3. Oletetaan, että taululle on kirjoitettu n numeroa, jotka päättyvät 3:een, ja (35 – n) niistä on parillisia. Sitten lukuihin 3 päättyvien lukujen summa on yhtä suuri

ja parillisten summa:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Sitten ehdosta:

Ratkaisemme tuloksena olevan epätasa-arvon:

Siitä käy ilmi. Tästä eteenpäin, kun tiedämme, että n on luonnollinen luku, saamme .

3. Pienin numeroon 3 päättyviä lukuja voi olla vain 5. Ja 30 parillista lukua lisätään, jolloin kaikkien lukujen summa on pariton. Tämä tarkoittaa, että on enemmän numeroita, jotka päättyvät kolmeen. kuin viisi, koska ehdon mukainen summa on yhtä suuri kuin parillinen luku. Yritetään ottaa 6 numeroa, jolloin viimeinen numero on 3.

Otetaan esimerkki, kun 6 numeroa päättyy kolmeen ja 29 parilliseen numeroon. Niiden summa on 1062. Tuloksena on seuraava luettelo:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

Vastaus: a) kyllä; b) ei; klo 6.

Kolmas vaihtoehto (Jaštšenko, nro 4)

Masha ja Natasha ottivat valokuvia useita päiviä peräkkäin. Ensimmäisenä päivänä Masha otti m valokuvaa ja Natasha - n valokuvaa. Jokaisena seuraavana päivänä jokainen tyttö otti yhden kuvan enemmän kuin edellisenä päivänä. Tiedetään, että Natasha otti yhteensä 1173 valokuvaa enemmän kuin Masha ja että he ottivat valokuvia yli yhden päivän.

a) Voisivatko he ottaa valokuvia 17 päivän ajan?

b) Voisivatko he ottaa valokuvia 18 päivän ajan?

c) Mikä on suurin valokuvien kokonaismäärä, jonka Natasha voisi ottaa kaikkina valokuvauspäivinä, jos tiedetään, että viimeisenä päivänä Masha otti alle 45 valokuvaa?

Ratkaisualgoritmi:

1. Vastataan kysymykseen a).
2. Etsitään vastaus kysymykseen b).
3. Etsitään Natashan ottamien valokuvien kokonaismäärä.
4. Kirjoitetaan vastaus ylös.

Ratkaisu:

1. Jos Masha otti m valokuvaa ensimmäisenä päivänä, niin 17 päivän kuluttua hän otti valokuvia kuvia.

Unified State Exam 2017. Matematiikka. Profiilin taso. Tehtävä 19. Tehtävien ja yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2017. - 128 s.

Tämä kirja on omistettu ongelmille, joissa käytetään kokonaislukujen ominaisuuksia. Käyttämällä esimerkkiä Unified State Exam -versioiden tehtävien kaltaisista tehtävistä sekä erilaisissa matemaattisissa olympialaisissa tarjotuista tehtävistä niitä yritettiin systematisoida tyypeittäin ja hahmotella tärkeimmät ratkaisutavat. Kirjoittaja toivoo, että tästä kirjasta on hyötyä lukiolaisille Itsenäinen opiskelu yhtenäiseen valtionkokeeseen sekä matematiikan opettajille, kerhojohtajille ja kaikille niille, jotka haluavat itsenäisesti oppia ratkaisemaan mielenkiintoisia matemaattisia ongelmia.

Muoto: pdf

Koko: 1,4 Mt

Katso, lataa:drive.google

SISÄLLYSLUETTELO
JOHDANTO 4
LUKU 1. ENSIMMÄISEN ÄÄRÄYKSEN DIOFANTIIIN YHTÄLÖT KAHDELLA TUNTEMATTOMAT 6
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 11
LUKU 2. TOISEN kertaluvun DIOFANTIIIN YHTÄLÖT KAHDELLA TUNNETAMATTOMAT 12
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 20
LUKU 3. MUUT KOKONAISLUKUJA YHTÄLÖT 22
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 25
LUKU 4. TEKSTIONGELMAT KOKONAISLUKUYHTÄLÖIDEN KÄYTTÖÖN 28
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 33
LUKU 5. MUUTTUVAT ARVIOT. HAKUJÄRJESTELY 36
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 45
LUKU 6. EROTTAVUUS KOKOLUKUISSA. GRAAFISET KUVITUKSET 51
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 60
LUKU 7. JAKO-ONGELMAT 62
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 68
LUKU 8. TEKSTIONGELMAT KÄYTTÄMÄLLÄ KOKONAISLUKUJEN JAKOA 70
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 75
LUKU 9. Äärimmäiset ONGELMAT KOKONAISLUKUJA 79
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 87
LUKU 10. KOKONAISLUKUEDISTYMINEN 91
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 97
LUKU 11. KOKONAISLUKUJA JA NELIÖTRINOMI 99
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 105
LUKU 12. KÄYTÖSTÄ 19 SAMANLAISET TEHTÄVÄT 107
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 113
LUKU 13. MATEMAATISEN OLYMPIASIEN ONGELMAT 115
Tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun 120
VASTAUKSIA ITSESI TEHTÄVIIN
RATKAISUT 124

Viime vuosina kiinnostus kokonaislukujen ominaisuuksia käyttäviin ongelmiin on lisääntynyt merkittävästi. Tämän määrää ennen kaikkea Unitedin muuttunut muoto valtion tentti matematiikka. Unified State Exam -versioissa Viime vuosina Korkean tason ongelma (ongelma 19) liittyy perinteisesti kokonaislukuihin. Lisäksi tällaisia ​​​​ongelmia löytyy melkein jokaisesta versiosta eri olympialaisista, jotka järjestetään lukiolaisille ja tarjoavat etuja yliopistoihin pääsyä varten.
Kokonaislukutehtäviä on aina pidetty yhtenä haastavimmista lukiolaisille tarjotuista ongelmista. Tämä johtuu yhden tai jopa usean menetelmän puuttumisesta niiden ratkaisemiseksi. Samanaikaisesti useimpien näiden ongelmien ratkaisu, lukuun ottamatta mahdollisesti fysiikan ja matematiikan koulujen erityiskursseilla tutkittavia ongelmia, ei sisällä lukion matematiikan kurssin opetussuunnitelman ulkopuolelle menevää teoreettista materiaalia. Lisäksi teoria on tietyssä mielessä yleensä rajoitettu tässä minimiin. Esimerkiksi kokonaislukuja sisältävien ongelmien ratkaisemiseksi ei ole ollenkaan välttämätöntä tietää kaikkia trigonometrian kaavoja. Mutta se, mikä on ehdottoman välttämätöntä, on kyky ajatella loogisesti, omaksua koko ongelma, kuten shakinpelaajat sanovat, "laskea useita liikkeitä eteenpäin".

Perustason tehtävässä 19 ehdotetaan tehtäviä aiheesta ”Luonnollisten lukujen jaollisuus”. Tällaisen ongelman ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä hyvin luonnollisten lukujen jaollisuuden merkit.

Jakautuvuuden merkkejä.

Jaollisuuden merkit luvuilla 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Koe jaollisuus: 2 . Luku on jaollinen kahdella, jos sen viimeinen numero on nolla tai jaollinen kahdella. Lukuja, jotka ovat jaollisia kahdella, kutsutaan parillisiksi ja lukuja, jotka eivät jao kahdella, kutsutaan parittomiksi.

2. Jaollisuuden testi 4 . Luku on jaollinen neljällä, jos sen kaksi viimeistä numeroa ovat nollia tai muodostavat luvun, joka on jaollinen neljällä.

3. Jaollisuuden testi 8 . Luku on jaollinen 8:lla, jos sen kolme viimeistä numeroa ovat nollia tai muodostavat luvun, joka on jaollinen 8:lla.

4. Merkkejä jakautumisesta 3 Ja 9 . Luku on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Luku on jaollinen 9:llä, jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.

5. Koe jaollisuus: 6 . Luku on jaollinen 6:lla, jos se on jaollinen 2:lla ja 3:lla.

6. Jaollisuuden testi 5 . Luku on jaollinen viidellä, jos sen viimeinen numero on nolla tai 5.

7. Jaollisuuden testi 25 . Luku on jaollinen 25:llä, jos sen kaksi viimeistä numeroa ovat nollia tai muodostavat luvun, joka on jaollinen 25:llä.

8. Koe jaollisuus: 10 . Luku on jaollinen 10:llä, jos sen viimeinen numero on nolla.

9. Koe jaollisuus 100 . Luku on jaollinen 100:lla, jos sen kaksi viimeistä numeroa ovat nollia.

10. Jaollisuuden testi 1000 . Luku on jaollinen 1000:lla, jos sen kolme viimeistä numeroa ovat nollia.

11. Jaollisuuden testi 11 . Vain ne luvut ovat jaollisia 11:llä, jos parittomien paikkojen numeroiden summa on joko yhtä suuri kuin parillisten paikkojen numeroiden summa tai eroaa siitä luvulla, joka on jaollinen 11:llä. (Esimerkiksi 12364 on jaollinen 11:llä, koska 1+3+4=2+6.)

Za-da-nie 19 (1). Esimerkiksi kolminumeroinen luku, numeroiden summa on 20, ja numeroiden neliöiden summa jaetaan 3:lla, mutta ei de-lit -sya 9:llä.

Ratkaisu.

Jaa luku 20 heikompiin, eri tavoihin:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Etsi kunkin laajennuksen neliöiden summa ja tarkista, onko se jaollinen kolmella eikä jaollinen 9:llä?

Huomaa, että jos jaottelussa 2 numeroa ovat jaollisia kolmella, niin neliöiden summa ei ole jaollinen kolmella.

9 2 +9 2 +2 2 ei ole jaollinen 3:lla

Kun jaetaan (1)−(4) avulla, lukujen neliösummat eivät ole jaollisia kolmella.

Jaettaessa menetelmää (5), neliöiden summa jaetaan 3:lla ja 9:llä.

Kuudennen tavan mukainen asetelma täyttää sen tekemisen ehdot. Siten ehdon täyttyy mikä tahansa luku, kuten numerot 5, 7 ja 8, esimerkiksi numerot 578 tai 587 tai 785 jne.