Kuinka löytää funktion pienin arvo derivaatan avulla. Segmentin funktion suurin ja pienin arvo

Anna toiminnon y=f(X) jatkuva segmentillä [ a, b]. Kuten tiedetään, tällainen toiminto saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvonsa tällä segmentillä. Funktio voi ottaa nämä arvot joko segmentin sisäpisteestä [ a, b] tai segmentin rajalla.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot segmentistä [ a, b] tarpeen:

1) etsi funktion kriittiset pisteet välillä ( a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laske funktion arvot segmentin päissä, eli for x=mutta ja x = b;

4) valitse kaikista funktion lasketuista arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo

segmentillä.

Kriittisten kohtien löytäminen:

Nämä pisteet sijaitsevat segmentin sisällä; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pisteessä x= 3 ja pisteessä x= 0.

Konveksiteettifunktion ja käännepisteen tutkiminen.

Toiminto y = f (x) olla nimeltään kupera välissä (a, b) , jos sen kuvaaja on tämän välin mihin tahansa pisteeseen piirretyn tangentin alla, ja sitä kutsutaan alaspäin kupera (kovera) jos sen kuvaaja on tangentin yläpuolella.

Siirtymäkohtaa, jonka kautta kupera korvataan koveruudella tai päinvastoin, kutsutaan käännekohta.

Algoritmi kuperuuden ja käännepisteen tutkimiseksi:

1. Etsi toisen lajin kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.

2. Aseta kriittiset pisteet numeroviivalle jakamalla se väleiksi. Etsi kunkin intervallin toisen derivaatan etumerkki; jos , niin funktio on kupera ylöspäin, jos, niin funktio on kupera alaspäin.

3. Jos se kulkiessaan toisenlaisen kriittisen pisteen läpi vaihtaa etumerkkiä ja tässä pisteessä toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä piste on käännepisteen abskissa. Etsi sen ordinaatti.

Funktion kaavion asymptootit. Asymptoottien funktion tutkiminen.

Määritelmä. Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys mistä tahansa kaavion pisteestä tähän viivaan pyrkii nollaan, kun kuvaajapiste poistetaan rajattomasti origosta.

Asymptootteja on kolmen tyyppisiä: pystysuoraan, vaakasuoraan ja kaltevaan.

Määritelmä. Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x), jos ainakin yksi funktion yksipuolisista rajoista tässä pisteessä on yhtä suuri kuin ääretön, se on

missä on funktion epäjatkuvuuspiste, eli se ei kuulu määritelmäalueeseen.

Esimerkki.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - murtumispiste.

Määritelmä. Suoraan y=A olla nimeltään horisontaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x) osoitteessa , jos

Esimerkki.

Määritelmä. Suoraan y=kx +b (k≠ 0) kutsutaan vino asymptootti funktiokaavio y = f(x) missä

Yleinen kaavio funktioiden tutkimisesta ja piirtämisestä.

Funktiotutkimusalgoritmiy = f(x) :

1. Etsi funktion toimialue D (y).

2. Etsi (jos mahdollista) kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa (ja x= 0 ja at y = 0).

3. Tutki parilliset ja parittomat funktiot ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteetti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ outo).

4. Etsi funktion kaavion asymptootit.

5. Etsi funktion monotonisuuden intervallit.

6. Etsi funktion ääripää.

7. Etsi funktion kuvaajan kuperuus (koveruus) ja käännepisteet.

8. Muodosta tehdyn tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Esimerkki. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio.

1) D (y) =

x= 4 - murtumispiste.

2) Milloin x = 0,

(0; – 5) – leikkauspiste kanssa oi.

klo y = 0,

3) y(‒ x)= toiminto yleisnäkymä(ei parillinen eikä pariton).

4) Tutkimme asymptootteja.

a) pystysuora

b) vaakasuora

c) etsi vinot asymptootit missä

‒vino asymptoottiyhtälö

5) B annettu yhtälö ei tarvitse löytää funktion monotonisuuden intervalleja.

6)

Nämä kriittiset pisteet jakavat funktion koko alueen välille (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadut tulokset on kätevä esittää seuraavan taulukon muodossa.

Joskus ongelmissa B14 on "huonoja" toimintoja, joille on vaikea löytää derivaatta. Aikaisemmin tämä oli vain luotain, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voi enää jättää huomiotta tähän tenttiin valmistautuessa. Tässä tapauksessa muut temput toimivat, joista yksi on monotonisuus. Määritelmä Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti kasvavaksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 pätee seuraava: x 1

Määritelmä. Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti pieneneväksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteistä x 1 ja x 2 pätee seuraava: x 1 f (x 2). Toisin sanoen kasvavalle funktiolle mitä suurempi x, sitä suurempi f(x). Pienevälle funktiolle asia on päinvastoin: mitä suurempi x, sitä pienempi f(x).

Esimerkkejä. Logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1 ja pienenee monotonisesti, jos 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, ja pienenee monotonisesti, jos 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, ja pienenee monotonisesti, jos 0 0. f (x) = log ax (a > 0) ; a 1; x > 0)"> 1 ja pienenee monotonisesti, jos 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Esimerkkejä Logaritmi on monotonisesti kasvava, jos kanta a > 1 ja monotonisesti laskeva, jos 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Esimerkkejä. Logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1 ja pienenee monotonisesti, jos 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Esimerkkejä. Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa arvolla a > 1 ja pienenee arvolla 0 0: 1 ja laskee 0 0:"> 1 ja laskee 0 0:"> 1 ja laskee 0 0:" title="(!LANG:Examples. Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy logaritmin tavoin: se kasvaa, kun a > 1 ja pienenee 0 0:lla:"> title="Esimerkkejä. Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa arvolla a > 1 ja pienenee arvolla 0 0:"> !}

0) tai alas (a 0) tai alas (a 9 Paraabelin kärjen koordinaatit Useimmiten funktion argumentti korvataan neliötrinomilla, jonka muoto on sen kaavio, jossa olemme kiinnostuneita haaroista: Paraabelihaarat voivat mennä ylös (jos a > 0) tai alas (a 0) tai suurin (a 0) tai alas (a 0) tai alas (a 0) tai suurin (a 0) tai alas (a 0) tai alas (a title="(!LANG: Parabola vertex koordinaatit) Useimmiten funktion argumentti on korvattu muotoisella neliötrinomilla Sen kuvaaja on vakioparaabeli, jonka haaroista olemme kiinnostuneita: Paraabelin haarat voivat mennä ylös (> 0) tai alas (a

Ongelmatilanteessa ei ole segmenttiä. Siksi f(a):ta ja f(b:tä) ei tarvitse laskea. Jäljelle jää vain ääripisteiden huomioiminen; Mutta on vain yksi tällainen piste - tämä on paraabelin x 0 huippu, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti sanallisesti ja ilman johdannaisia.

Siten tehtävän ratkaisu yksinkertaistuu suuresti ja pelkistyy kahteen vaiheeseen: Kirjoita paraabelin yhtälö ja etsi sen kärki kaavalla: Etsi alkuperäisen funktion arvo tässä pisteessä: f (x 0). Jos ei yhtään lisäehdot ei, se olisi vastaus.

0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Etsi funktion pienin arvo: Ratkaisu: Juuren alla on neliöfunktio Tämän funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a = 1 > 0. Paraabelin huippu: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" luokka ="link_thumb"> 18 Selvitä funktion pienin arvo: Ratkaisu: Juuren alla on neliöfunktio, jonka kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu ylöspäin, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0. Paraabelin yläosa: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Etsi pienin arvo funktion: Ratkaisu: Juuren alla on neliöfunktio. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0. Paraabelin yläosa: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Selvitä funktion pienin arvo: Ratkaisu: Juuren alla on neliöfunktio, jonka kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu ylöspäin, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0. Paraabelin yläosa: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Etsi funktion pienin arvo: Ratkaisu Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio. a = 1 > 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Etsi pienin arvo funktiosta: Ratkaisu Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio. Paraabelin kuvaaja haarautuen ylöspäin, koska a \u003d 1\u003e 0. Paraabelin kärki: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Etsi funktion pienin arvo: Ratkaisu Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio. a = 1 > 0. Paraabelin yläosa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Etsi funktion suurin arvo: Ratkaisu: Eksponentti sisältää neliöfunktion

Seuraukset funktion alueesta Joskus tehtävän B14 ratkaisemiseksi ei riitä, että löydetään vain paraabelin kärki. Haluttu arvo voi olla segmentin lopussa, eikä ollenkaan ääripisteessä. Jos segmenttiä ei ole määritelty tehtävässä ollenkaan, tarkastellaan alkuperäisen funktion sallittujen arvojen aluetta. Nimittäin:

0 2. Aritmetiikka Neliöjuuri esiintyy vain ei-negatiivisten lukujen joukossa: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla:" title="(!LANG:1. Logaritmiargumentin on oltava positiivinen: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritmin argumentin on oltava positiivinen: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla yhtä suuri kuin nolla: 0 2. Aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla: "> 0 2. Aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä murtoluku ei saa olla nolla:"> 0 2. Aritmetiikka neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla:" title="(!LANG:1. Logaritmiargumentin on oltava positiivinen: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmeettinen neliö juuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla:"> title="1. Logaritmin argumentin on oltava positiivinen: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisista luvuista: 3. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla yhtä suuri kuin nolla:"> !}

Ratkaisu Neliöjuuri on jälleen neliöfunktio. Sen kuvaaja on paraabeli, mutta haarat ovat alaspäin, koska a = 1
Etsitään nyt paraabelin kärki: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Piste x 0 = 1 kuuluu ODZ-segmenttiin ja se on hyvä. Nyt tarkastelemme funktion arvoa pisteessä x 0 sekä ODZ:n päissä: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Joten, saimme luvut 2 ja 0. Meiltä kysytään löytääksesi suurimman luvun 2. Vastaus: 2

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: lle. Tällä tavalla logaritmi eroaa juuresta, jossa segmentin päät sopivat meille varsin hyvin. Etsimme paraabelin huippua: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Mutta koska segmentin päät eivät kiinnosta meitä, huomioimme funktion arvon vain pisteessä x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Vastaus: -2

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="(!LANG:f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

SISÄÄN funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

SISÄÄN funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja Valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Katsotaanpa joitain esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta avoin pankki toimeksiantoja varten

yksi . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi segmentin funktion pienimmän arvon, sinun on verrattava funktion arvoja minimipiste ja janan vasemmassa päässä, .

Oppitunnilla aiheesta "Dirivaatan käyttäminen jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseen intervallilta" tarkastellaan suhteellisen yksinkertaisia ​​ongelmia funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi tietyltä väliltä. käyttämällä johdannaista.

Teema: Johdannainen

Oppitunti: Derivaatan käyttäminen jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi intervallista

Tällä oppitunnilla katsomme lisää yksinkertainen tehtävä, eli väli annetaan, jatkuva toiminto tällä välillä. Selvitä annetun suurimmat ja pienimmät arvot toimintoja tietyllä intervalli.

nro 32.1 (b). Annettu: , . Piirretään funktiosta kaavio (katso kuva 1).

Riisi. 1. Funktion kuvaaja.

Tiedetään, että tämä funktio kasvaa aikavälillä, mikä tarkoittaa, että se myös kasvaa intervalliin. Joten jos löydät funktion arvon kohdista ja , niin tämän funktion muutosrajat, sen suurin ja pienin arvo, tiedetään.

Kun argumentti kasvaa arvosta 8, funktio kasvaa arvosta .

Vastaus: ; .

№ 32.2 (a) Annettu: Etsi funktion suurin ja pienin arvo annetulla aikavälillä.

Rakennetaan tästä funktiosta kaavio (katso kuva 2).

Jos argumentti muuttuu välillä , funktio kasvaa arvosta -2 arvoon 2. Jos argumentti kasvaa arvosta , funktio pienenee arvosta 2 arvoon 0.

Riisi. 2. Funktiokaavio.

Etsitään johdannainen.

, . Jos , niin tämä arvo kuuluu myös annettuun segmenttiin . Jos sitten . On helppo tarkistaa, ottaako se muita arvoja, vastaavat kiinteät pisteet ylittävät annetun segmentin. Verrataan funktion arvoja janan päissä ja valituissa kohdissa, joissa derivaatta on nolla. Etsitään

;

Vastaus: ;.

Eli vastaus on saatu. Tässä tapauksessa derivaatta voidaan käyttää, et voi käyttää sitä, soveltaa aiemmin tutkittuja funktion ominaisuuksia. Näin ei aina ole, joskus johdannaisen käyttö on ainoa menetelmä, jonka avulla voit ratkaista tällaiset ongelmat.

Annettu: , . Etsi funktion suurin ja pienin arvo annetusta segmentistä.

Jos edellisessä tapauksessa oli mahdollista tehdä ilman derivaatta - tiesimme kuinka funktio käyttäytyy, niin tässä tapauksessa funktio on melko monimutkainen. Siksi edellisessä tehtävässä mainitsemamme menetelmä on täysin käyttökelpoinen.

1. Etsi derivaatta. Etsitään kriittiset pisteet, eli , - kriittiset pisteet. Näistä valitsemme ne, jotka kuuluvat tähän segmenttiin: . Verrataan funktion arvoa pisteissä , , . Tätä varten löydämme

Havainnollistamme tulosta kuvassa (katso kuva 3).

Riisi. 3. Funktioarvojen muutoksen rajat

Näemme, että jos argumentti muuttuu 0:sta 2:ksi, funktio muuttuu arvosta -3 arvoon 4. Funktio ei muutu monotonisesti: se joko kasvaa tai pienenee.

Vastaus: ;.

Joten käyttämällä kolmea esimerkkiä esitettiin yleinen tekniikka funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi väliltä, ​​tässä tapauksessa segmentiltä.

Algoritmi funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman ratkaisemiseksi:

1. Etsi funktion derivaatta.

2. Etsi funktion kriittiset pisteet ja valitse ne pisteet, jotka ovat tietyllä janalla.

3. Etsi funktion arvot janan päistä ja valituista pisteistä.

4. Vertaa näitä arvoja ja valitse suurin ja pienin.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo .

Aikaisemmin tarkasteltiin tämän funktion kuvaajaa (katso kuva 4).

Riisi. 4. Funktion kuvaaja.

Intervalleilla tämän funktion alue . Piste on maksimipiste. Milloin - funktio kasvaa, kun - funktio pienenee. Piirustuksesta näkyy, että , - ei ole olemassa.

Joten oppitunnilla pohdimme funktion suurimman ja pienimmän arvon ongelmaa, kun tietty intervalli on segmentti; muotoillut algoritmin tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Opetusohjelma varten koulutusinstituutiot (profiilin taso) toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Tehtäväkirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 10 ( opetusohjelma koulujen ja luokkien opiskelijoille syvällinen tutkimus matematiikka).-M.: Koulutus, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin perusteellinen tutkimus.-M .: Education, 1997.

5. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille (toimituksesta M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen kouluttaja.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra ja analyysin alku. 8-11 solut: Käsikirja kouluille ja luokille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu (didaktiset materiaalit) - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran tehtävät ja analyysin alku (käsikirja yleisten oppilaitosten luokkien 10-11 opiskelijoille).-M .: Education, 2003.

9. Karp A.P. Algebran tehtäväkokoelma ja analyysin alku: oppikirja. korvaus 10-11 solulle. syvällä opiskella matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

10. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. Luokat 9-10 (opas opettajille).-M.: Enlightenment, 1983

Muita verkkoresursseja

2. Portaali Luonnontieteet ().

tehdä kotona

Nro 46.16, 46.17 (c) (Algebra ja analyysin alku, luokka 10 (kahdessa osassa). Tehtäväkirja yleiskouluille (profiilitaso), toimittanut A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Prosessi funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämiseksi segmentiltä muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kaavio) helikopterilla, jossa ammutaan pitkän kantaman tykistä tietyissä pisteissä ja valitaan jostakin. Nämä pisteet ovat erittäin erityisiä kontrollilaukauksia. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja tiettyjen sääntöjen mukaan. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten Ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten Ja funktion suurimmat arvot , jatkuva segmentillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Olkoon esimerkiksi tarpeen määrittää funktion maksimiarvo f(x) segmentillä [ a, b] . Voit tehdä tämän etsimällä sen kaikki kriittiset kohdat [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) Ja f(b) ). Suurin näistä luvuista on segmentin funktion suurin arvo [a, b] .

Löytämisen ongelma funktion pienimmät arvot .

Etsimme yhdessä funktion pienintä ja suurinta arvoa

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan. Yhdistä derivaatta nollaan () ja saat kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää, että lasketaan sen arvot janan päissä ja pisteessä , koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2] . Nämä funktioarvot ovat seuraavat: , , . Seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan janan oikeaan päähän - pisteessä , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on yhtä suuri kuin 9, - kriittisessä pisteessä .

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta janan rajapisteet sisältyvät segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa esitetty funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin millä tahansa aikavälillä (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus pätee.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu väliin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, pisteessä ja suurin arvo yhtä suuri kuin 1 pisteessä .

Jatkamme funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille monimutkaisempia esimerkkejä kuin juuri tarkastelut, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, osoittaja ja joiden nimittäjä on polynomi. Mutta emme rajoitu tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on ystäviä, jotka haluavat saada opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja suurin arvo yhtä kuin e² , kohdassa .

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion johdannaisen:

Yhdistä derivaatta nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Lähtö: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja suurin arvo, yhtä suuri kuin , pisteessä .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa funktion pienimpien (suurimpien) arvojen löytäminen pääsääntöisesti laskee minimin (maksimin) löytämiseen. Mutta isompi käytännön kiinnostusta heillä ei ole itse minimiä tai maksimia, vaan argumentin arvoja, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden kokoaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8 Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jotta se peittyy mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Anna olla x- pohjapuoli h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota ääripäälle. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi, kun derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmäalueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Joten, - ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä kriteerillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Koska tämä minimi - tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeus.

Esimerkki 9 Kappaleesta A, joka sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen FROM, kaukana siitä l, tavarat on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuskustannus etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maantiellä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rivit rautatie valtatie tulisi rakentaa niin, että tavarakuljetukset MUTTA sisään FROM oli edullisin AB rautatien oletetaan olevan suora)?