Katkaistu pyramidilaskenta. Kaavat pyramidin tilavuudelle täynnä ja katkaistu. Cheopsin pyramidin tilavuus

• 09.10.2014

  Kuvassa näkyvä esivahvistin on tarkoitettu käytettäväksi neljän tyyppisen äänilähteen kanssa, esimerkiksi mikrofonin, CD-soittimen, radionauhurin jne. Kanssa. Tässä tapauksessa esivahvistimessa on yksi tulo, joka voi muuttaa herkkyyttä 50: stä mV - 500 mV. vahvistimen lähtöjännite on 1000 mV. Kun kytket erilaisia ​​signaalilähteitä kytkintä SA1 vaihdettaessa, saamme aina ...

• 20.09.2014

  Virtalähde on suunniteltu kuormalle, jonka teho on 15 ... 20 W. Lähde on valmistettu yksitahtisen pulssin suurtaajuusmuuttajan kaavion mukaisesti. Transistoriin on koottu autogeneraattori, joka toimii 20 ... 40 kHz: n taajuudella. Taajuutta säätää kondensaattori C5. Elementit VD5, VD6 ja C6 muodostavat automaattisen generaattorin käynnistyspiirin. Toissijaisessa piirissä, tasasuuntaajan jälkeen, on perinteinen lineaarinen vakaaja mikropiirissä, jonka avulla voit ...

• 28.09.2014

  Kuvassa on generaattori K174XA11 -piirissä, jonka taajuutta ohjataan jännitteellä. Kun kapasitanssi C1 muuttuu 560: sta 4700 pF: iin, voidaan saavuttaa laaja taajuusalue, kun taas taajuutta säädetään muuttamalla vastusta R4. Esimerkiksi kirjoittaja huomasi, että kun C1 = 560pF, generaattorin taajuutta voidaan muuttaa R4: llä 600 Hz: stä 200 kHz: iin, ...

• 03.10.2014

  Yksikkö on suunniteltu syöttämään voimakasta ULF: ää, se on suunniteltu ± 27 V: n lähtöjännitteelle ja siten kuormitukselle jopa 3A kumpaankin varteen. Virtalähde on kaksinapainen, valmistettu täydellisistä komposiittitransistoreista KT825-KT827. Vakaajan molemmat varret on valmistettu saman piirin mukaisesti, mutta toisessa varressa (ei esitetty) kondensaattoreiden napaisuus muuttuu ja toisen transistoreita käytetään ...

Kyky laskea tilahahmojen tilavuus on tärkeä, kun ratkaistaan ​​useita geometrian käytännön ongelmia. Yksi yleisimmistä muodoista on pyramidi. Tässä artikkelissa tarkastelemme sekä täynnä että katkaistuja pyramideja.

Pyramidi kolmiulotteisena hahmona

Kaikki tietävät egyptiläisistä pyramideista, joten heillä on hyvä käsitys siitä, mistä luvusta keskustellaan. Siitä huolimatta egyptiläiset kivirakenteet ovat vain erikoistapaus valtavasta pyramidiluokasta.

Yleisesti tarkasteltuna geometrinen kohde on monikulmainen pohja, jonka jokainen kärki on kytketty johonkin avaruuden pisteeseen, joka ei kuulu kannan tasoon. Tämä määritelmä johtaa lukuun, joka koostuu yhdestä n-gonista ja n kolmioista.

Mikä tahansa pyramidi koostuu n + 1 kasvosta, 2 * n reunasta ja n + 1 kärjestä. Koska tarkasteltavana oleva luku on täydellinen monikulmio, merkittyjen elementtien luvut noudattavat Eulerin tasa -arvoa:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Pohjan monikulmio antaa pyramidin nimen, esimerkiksi kolmion, viisikulmaisen ja niin edelleen. Joukko pyramideja kanssa eri syistä näkyy alla olevassa kuvassa.

Pistettä, jossa kuvion n kolmio on kytketty, kutsutaan pyramidin yläosaksi. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjaan ja se leikkaa sen geometrisessa keskipisteessä, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Jos tämä ehto ei täyty, tapahtuu kalteva pyramidi.

Suoraa kuvaa, jonka pohjan muodostaa tasasivuinen (konforminen) n-gon, kutsutaan säännölliseksi.

Kaava pyramidin tilavuudelle

Pyramidin tilavuuden laskemiseksi käytämme integraalilaskuria. Tätä varten jaamme kuvan, jossa leikkauspinnat ovat yhdensuuntaisia ​​alustan kanssa äärettömään määrään ohuita kerroksia. Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen pyramidi, jonka korkeus on h ja sivun pituus L, jossa ohut leikkauskerros on merkitty nelikulmalla.

Jokaisen tällaisen kerroksen pinta -ala voidaan laskea kaavalla:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Tässä A 0 on perusalue, z on pystysuoran koordinaatin arvo. Voidaan nähdä, että jos z = 0, niin kaava antaa arvon A 0.

Pyramidin tilavuuden kaavan saamiseksi sinun on laskettava integraali koko kuvan korkeudelle, eli:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Korvaamalla riippuvuus A (z) ja laskemalla antiderivaatti, tulemme lausumaan:

V = -A 0 * (h -z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Saimme kaavan pyramidin tilavuudelle. V: n arvon löytämiseksi riittää, että kuvion korkeus kerrotaan pohjan pinta -alalla ja jaetaan sitten tulos kolmella.

Huomaa, että tuloksena oleva lauseke on kelvollinen laskettaessa mielivaltaisen tyyppisen pyramidin tilavuus. Toisin sanoen se voi olla kalteva, ja sen pohja voi olla mielivaltainen n-gon.

ja sen tilavuus

Edellä olevassa kappaleessa saatu yleinen tilavuuskaava voidaan selventää, jos kyseessä on pyramidi oikea syy... Tällaisen kannan pinta -ala lasketaan seuraavan kaavan avulla:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Tässä L on tavallisen monikulmion sivupituus, jossa on n kärkipistettä. Pi -symboli on pi.

Korvaamalla lauseke A 0 yleiseen kaavaan saadaan tilavuus oikea pyramidi:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Esimerkiksi kolmiomaiselle pyramidille tämä kaava johtaa seuraavaan lausekkeeseen:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Oikean puolesta nelikulmainen pyramidi tilavuuskaava on muoto:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Säännöllisten pyramidien tilavuuksien määrittäminen edellyttää niiden pohjan sivun ja kuvion korkeuden tuntemista.

Katkaistu pyramidi

Oletetaan, että otimme mielivaltaisen pyramidin ja katkaisimme siitä osan sivupinnasta, joka sisältää kärjen. Jäljellä olevaa muotoa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi. Se koostuu jo kahdesta n-gonaalisesta emäksestä ja n puolisuunnikasta, jotka yhdistävät ne. Jos leikkaustaso oli yhdensuuntainen kuvion pohjan kanssa, muodostuu katkaistu pyramidi, jolla on rinnakkaiset vastaavat pohjat. Toisin sanoen yhden sivun pituudet voidaan saada kertomalla toisen pituudet jollakin kertoimella k.

Yllä olevassa kuvassa on katkaistu säännöllinen, ja sen ylemmän pohjan, kuten alemman, muodostaa säännöllinen kuusikulmio.

Kaava, joka voidaan johtaa samankaltaisen integraalilaskennan avulla, on:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Missä A 0 ja A 1 ovat alemman (suuren) ja ylemmän (pienen) emäksen alueet. Muuttuja h tarkoittaa katkaistun pyramidin korkeutta.

Cheopsin pyramidin tilavuus

On uteliasta ratkaista suurin Egyptin pyramidin sisältämän tilavuuden määrittämisen ongelma.

Vuonna 1984 brittiläiset egyptologit Mark Lehner ja Jon Goodman vahvistivat Cheopsin pyramidin tarkat mitat. Sen alkuperäinen korkeus oli 146,50 metriä (tällä hetkellä noin 137 metriä). Keskipituus rakenteen neljä sivua olivat 230,363 metriä. Pyramidin pohja on neliömäinen suurella tarkkuudella.

Käytämme yllä olevia lukuja tämän kivijätin tilavuuden määrittämiseen. Koska pyramidi on säännöllinen nelikulmainen, kaava pätee siihen:

Korvaamalla numerot, saamme:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopsin pyramidin tilavuus on lähes 2,6 miljoonaa m 3. Vertailun vuoksi huomaamme, että olympia -altaan tilavuus on 2,5 tuhatta m3. Eli koko Cheopsin pyramidin täyttämiseksi tarvitaan yli 1000 tällaista uima -allasta!

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monisilmäiseksi, jonka toinen puoli on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut kasvot ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (kuva 15). Pyramidia kutsutaan oikea jos sen perusta on tavallinen monikulmio ja pyramidin yläosa projisoidaan pohjan keskelle (kuva 16). Kolmion muotoista pyramidia, jossa kaikki reunat ovat yhtä suuret, kutsutaan tetraedri .

Sivureuna pyramidi on sivupinnan sivu, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidiksi kutsutaan etäisyyttä sen yläosasta kannan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivureunat ovat yhtä suuret tasakylkisiä kolmioita... Säännöllisen pyramidin ylhäältä piirretyn sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen osa pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.

Sivupinta -ala pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen alueiden summaksi. Neliö koko pinta kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta -alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä kaltevia pohjan tasoon nähden, pyramidin yläosa projisoidaan pohjan ympärille rajatun ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidissa on kaikilla sivureunoilla yhtä pitkät, sitten pyramidin yläosa projisoidaan pohjan ympärille rajatun ympyrän keskelle.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat yhtä kaltevia pohjan tasoon nähden, pyramidin yläosa projisoidaan pohjaan merkityn ympyrän keskelle.

Määrätyn pyramidin tilavuuden laskemiseksi seuraava kaava on oikea:

missä V- tilavuus;

S pää- perusalue;

H- pyramidin korkeus.

Oikealle pyramidille kaavat ovat oikein:

missä s- pohjan kehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S -puoli

S pää- perusalue;

V- oikean pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja sekanttitason väliin, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​pyramidin pohjan kanssa (kuva 17). Säännöllinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen pohjan ja sekanttitason väliin.

Perustukset katkaistut pyramidit - samanlaisia ​​monikulmioita. Sivupinnat - puolisuunnikas. Korkeus katkaistu pyramidi on etäisyys sen kantojen välillä. Lävistäjä katkaistua pyramidia kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sen kärkipisteet, jotka eivät ole samassa kasvossa. Diagonaalinen osa katkaistun pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.

Katkaistuun pyramidiin sovelletaan seuraavia kaavoja:

(4)

missä S 1 , S 2 - ylemmän ja alemman pohjan alueet;

S täynnä- kokonaispinta -ala;

S -puoli- sivupinta -ala;

H- korkeus;

V- katkaistun pyramidin tilavuus.

Oikealle katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

missä s 1 , s 2 - perustojen kehät;

h a- tavallisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Oikeassa kolmion muotoinen pyramidi kaksikulmainen kulma pohjassa on 60 astetta. Etsi kaltevuuden tangentti kylkiluut tukikohdan tasolle.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, joten sen pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäsuuria tasakylkisiä kolmioita. Pohjan kaksikulmainen kulma on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma jalustan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välillä: ja ts. Pyramidin yläosa projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion kaiverrettu ympyrä ABC). Sivuttaisen kylkiluun kallistuskulma (esim SB) Onko kulma itse reunan ja sen ulokkeen välillä alustan tasolle. Kylkiluuta varten SB tämä kulma on kulma SBD... Tangentin löytämiseksi sinun on tiedettävä jalat NIIN ja OB... Anna segmentin pituus BD on yhtä kuin 3 a... Piste O-osiossa BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: Löydämme:

Vastaus:

Esimerkki 2. Etsi tavallisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen pohjien lävistäjät ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden löytämiseksi käytämme kaavaa (4). Jos haluat löytää tukikohtien alueen, sinun on löydettävä perusruutujen sivut tietäen niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Joten emästen alueet ja Kun olemme korvanneet kaikki tiedot kaavassa, laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmionmuotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan alue, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikas. Jos haluat laskea puolisuunnikkaan alueen, sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu ehdon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Löydämme sen mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman pohjan tasossa, A 1 D- kohtisuorassa alkaen A 1 päällä KUTEN. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä (kuva 20). Kohta O- ylemmän ja alemman pohjan keskipisteiden projektio. alkaen (katso kuva 20) ja Toisaalta OK Onko piirretyn ympyrän säde ja OM- piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen perusteella

Sivupinta -ala:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin juurella on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka pohjat a ja b (a> b). Kukin sivupinta muodostaa kulman pyramidin perustason kanssa j... Etsi pyramidin kokonaispinta -ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta -ala SABCD yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta -alojen ja pinta -alojen summa ABCD.

Käytämme väitettä, että jos kaikki pyramidin pinnat ovat yhtä kaltevia pohjan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan pohjaan kirjoitetun ympyrän keskelle. Kohta O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD tukikohdan tasossa. Tasohaavan ortogonaalisen projektion alueen lauseella saamme:

Samoin se tarkoittaa Siten tehtävä lyhennettiin puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD... Piirrä puolisuunnikas ABCD erikseen (kuva 22). Kohta O- puolisuunnikkaan merkitty ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, joko Pythagoraan lauseen perusteella,