Perusfunktioiden perusominaisuudet. Toiminnot ja grafiikka. Potenttifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi

1) Toimintoalue ja funktioalue.

Funktion toimialue on kaikkien kelvollisten argumenttiarvojen joukko x(muuttuja x), jolle toiminto y = f(x) päättänyt. Funktioalue on kaikkien reaaliarvojen joukko y, jonka funktio hyväksyy.

Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla.

2) Funktion nollat.

Funktio nolla on argumentin arvo, jossa funktion arvo on nolla.

3) Funktion vakiomerkin intervallit.

Funktion vakiomerkkien välit ovat argumenttiarvojen joukkoja, joissa funktion arvot ovat vain positiivisia tai vain negatiivisia.

4) Toiminnon monotonisuus.

Kasvava funktio (tietyllä aikavälillä) on funktio, jolle korkeampi arvo tämän välin argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa.

Pienevä funktio (tietyllä aikavälillä) on funktio, jossa suurempi argumentin arvo tästä intervallista vastaa funktion pienempää arvoa.

5) Parillinen (pariton) funktio.

Parillinen funktio on funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmän alueelta tasa-arvo f(-x) = f(x). Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaatan suhteen.

Pariton funktio on funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmäalueelta tasa-arvo on tosi f(-x) = - f(x). Ajoittaa outo toiminto symmetrinen alkuperän suhteen.

6) Rajoitetut ja rajoittamattomat toiminnot.

Funktiota kutsutaan rajatuksi, jos on olemassa positiivinen luku M siten, että |f(x)| ≤ M kaikille x:n arvoille. Jos tällaista numeroa ei ole, toiminto on rajoittamaton.

7) Toiminnon jaksollisuus.

Funktio f(x) on jaksollinen, jos siinä on nollasta poikkeava luku T siten, että mille tahansa funktion määritelmäalueen x:lle pätee seuraava: f(x+T) = f(x). Tätä pienintä lukua kutsutaan funktion jaksoksi. Kaikki trigonometriset funktiot ovat säännöllisiä. (Trigonometriset kaavat).

19. Perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja graafit. Toimintojen soveltaminen taloustieteessä.

Perustoiminnot. Niiden ominaisuudet ja kaaviot

1. Lineaarinen funktio.

Lineaarinen funktio kutsutaan muodon funktioksi, jossa x on muuttuja, a ja b ovat reaalilukuja.

Määrä A nimeltään kaltevuus suora, se on yhtä suuri kuin tämän suoran kaltevuuskulman tangentti abskissa-akselin positiiviseen suuntaan. Lineaarifunktion kuvaaja on suora. Se määritellään kahdella pisteellä.

Lineaarifunktion ominaisuudet

1. Määritelmäalue on kaikkien joukko todellisia lukuja: D(y)=R

2. Arvojoukko on kaikkien reaalilukujen joukko: E(y)=R

3. Funktio saa nolla-arvon, kun tai.

4. Funktio kasvaa (pienenee) koko määrittelyalueen yli.

5. Lineaarinen funktio on jatkuva koko määritelmän alueella, differentioituva ja .

2. Neliöfunktio.

Muodosta funktiota, jossa x on muuttuja, kertoimet a, b, c ovat reaalilukuja, kutsutaan neliöllinen.

Tietoa perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat yhtä tärkeää kuin kertotaulujen tunteminen. Ne ovat kuin perusta, kaikki perustuu niihin, kaikki rakentuu niistä ja kaikki lähtee heistä.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät perusfunktiot, esitetään niiden kaaviot ja annetaan ilman päätelmiä tai todisteita perusfunktioiden ominaisuudet kaavan mukaan:

• funktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla, vertikaaliset asymptootit (katso tarvittaessa artikkelin funktion epäjatkuvuuspisteiden luokittelu);
• parillinen ja pariton;
• kuperuusvälit (kuperuus ylöspäin) ja koveruus (kuperuus alaspäin), taivutuspisteet (katso tarvittaessa artikkeli funktion kupera, kuperuuden suunta, käännepisteet, kuperuuden ja taivutusehdot);
• vinot ja vaakasuorat asymptootit;
• funktioiden yksittäiset pisteet;
• joidenkin funktioiden erityisominaisuudet (esimerkiksi trigonometristen funktioiden pienin positiivinen jakso).

Jos olet kiinnostunut tai, voit siirtyä näihin teorian osiin.

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), n:s juuri, potenssifunktio, eksponenttifunktio, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Sivulla navigointi.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio määritellään kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C on jokin reaaliluku. Vakiofunktio yhdistää riippumattoman muuttujan x jokaisen todellisen arvon riippuvan muuttujan y samaan arvoon - arvoon C. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka kulkee koordinaatin (0,C) pisteen läpi. Esimerkkinä näytetään vakiofunktioiden y=5, y=-2 ja kaaviot, jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa.

Vakiofunktion ominaisuudet.

• Domain: koko joukko reaalilukuja.
• Vakiofunktio on tasainen.
• Arvoalue: joukko koostuu yksikkö KANSSA .
• Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).
• Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.
• Asymptootteja ei ole.
• Funktio kulkee koordinaattitason pisteen (0,C) läpi.

n:s juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla , missä n – luonnollinen luku, suurempi kuin yksi.

N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan n:nnestä juurifunktiosta juurieksponentin n parillisille arvoille.

Esimerkkinä tässä on kuva, jossa on kuvia funktiokaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juurifunktioiden kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille eksponentin arvoille.

Parillisen n:n juurifunktion ominaisuudet.

N:s juuri, n on pariton luku.

N:s juurifunktio, jonka juurieksponentti on pariton n, määritellään koko reaalilukujoukolle. Tässä ovat esimerkiksi funktiokaaviot ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä käyriä.

Muilla juurieksponentin parittomilla arvoilla funktiokaaviot näyttävät samanlaisilta.

Parittoman n:n n:nnen juurifunktion ominaisuudet.

Virtatoiminto.

Virtatoiminto annetaan muodon kaavalla.

Tarkastellaan potenssifunktion kuvaajien muotoa ja potenssifunktion ominaisuuksia eksponentin arvosta riippuen.

Aloitetaan potenssifunktiolla, jossa on kokonaislukueksponentti a. Tässä tapauksessa potenssifunktioiden kuvaajien ulkonäkö ja funktioiden ominaisuudet riippuvat eksponentin tasaisuudesta tai parittomuudesta sekä sen etumerkistä. Siksi tarkastelemme ensin parittoman tehofunktioita positiiviset arvot eksponentti a, sitten - parillisille positiivisille eksponenteille, sitten - parittomille negatiivisille eksponenteille ja lopuksi parillisille negatiivisille eksponenteille.

Murto- ja irrationaalisten eksponentien potenssifunktioiden ominaisuudet (sekä tällaisten potenssifunktioiden kuvaajien tyyppi) riippuvat eksponentin a arvosta. Tarkastelemme niitä ensinnäkin a:lle nollasta yhteen, toiseksi arvolle, joka on suurempi kuin yksi, kolmanneksi a:lle miinus yhdestä nollaan, neljänneksi alle miinus ykköselle.

Tämän osan lopussa, täydellisyyden vuoksi, kuvataan potenssifunktio, jonka eksponentti on nolla.

Potenttifunktio parittisella positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on pariton positiivinen eksponentti, eli a = 1,3,5,....

Alla olevassa kuvassa on kaavioita tehofunktioista – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva, – vihreä viiva. Meillä a=1 on lineaarinen funktio y=x.

Parittoman positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio jopa positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on parillinen positiivinen eksponentti, eli kun a = 2,4,6,....

Esimerkkinä annetaan potenssifunktioiden kuvaajat – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva. Arvolle a=2 meillä on neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöllinen paraabeli.

Parillisen positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parittoman negatiivisen eksponentin kanssa.

Katso parittoman tehofunktion kaavioita negatiiviset arvot eksponentti, eli a = -1, -3, -5,... .

Kuvassa on esimerkkinä potenssifunktioiden kaaviot - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä on a=-1 käänteinen suhteellisuus, jonka kaavio on hyperbeli.

Parittoman negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parillisella negatiivisella eksponentilla.

Siirrytään tehofunktioon a=-2,-4,-6,….

Kuvassa on potenssifunktioiden kaaviot – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva.

Parillisen negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Potenssifunktio, jonka rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi.

Huomautus! Jos a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät potenssifunktion määritelmäalueena intervallina. On säädetty, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa ja analyysin periaatteita käsittelevien oppikirjojen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen pariton nimittäjällä. Noudatamme juuri tätä näkemystä, eli pidämme joukkoa potenssifunktioiden määrittelyalueina, joissa on positiivinen murtoluku. Suosittelemme, että oppilaat selvittävät opettajasi mielipiteen tästä hienovaraisesta asiasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a ja .

Esitetään kaavioita potenssifunktioista a=11/12 (musta viiva), a=5/7 (punainen viiva), (sininen viiva), a=2/5 (vihreä viiva).

Potenssifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a, ja .

Esitetään kaavojen antamien potenssifunktioiden kuvaajat (musta, punainen, sininen ja vihreä viivat).

Muilla eksponentin a arvoilla funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Tehofunktion ominaisuudet osoitteessa .

Potenssifunktio, jonka todellinen eksponentti on suurempi kuin miinus yksi ja pienempi kuin nolla.

Huomautus! Jos a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät potenssifunktion määritelmäalueena väliä . On säädetty, että eksponentti a on pelkistymätön murto-osa. Nyt monien algebran ja analyysin periaatteiden oppikirjojen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme nimenomaan tätä näkemystä, eli pidämme murto-osien negatiivisten eksponentien potenssifunktioiden määritelmäalueita vastaavasti joukkona. Suosittelemme, että oppilaat selvittävät opettajasi mielipiteen tästä hienovaraisesta asiasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Siirrytään tehofunktioon, hyvä.

Saadaksemme hyvän käsityksen tehofunktioiden kaavioiden muodosta, annamme esimerkkejä funktioiden kaavioista (musta, punainen, sininen ja vihreä käyrä, vastaavasti).

Eksponentin a, potenssifunktion ominaisuudet.

Potenttifunktio, jonka reaalieksponentti ei ole kokonaisluku, joka on pienempi kuin miinus yksi.

Annetaan esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista for , ne on kuvattu mustilla, punaisilla, sinisillä ja vihreillä viivoilla.

Potenttifunktion ominaisuudet, jonka negatiivinen eksponentti on pienempi kuin miinus yksi.

Kun a = 0, meillä on funktio - tämä on suora, josta piste (0;1) on jätetty pois (lausekkeelle 0 0 sovittiin, ettei anneta mitään merkitystä).

Eksponentti funktio.

Yksi tärkeimmistä perusfunktioista on eksponentiaalinen funktio.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta, missä ja ottaa erilainen pohjan arvosta riippuen a. Selvitetään tämä.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta ottaa arvon nollasta yhteen, eli .

Esimerkkinä esitetään eksponentiaalisen funktion kuvaajat a = 1/2 – sininen viiva, a = 5/6 – punainen viiva. Eksponentiaalisen funktion kaavioilla on samanlainen ulkoasu muille välin kantaarvon arvoille.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on pienempi kuin yksi.

Jatketaan tapaukseen, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi, eli .

Esittelemme kuvaajia eksponentiaalisista funktioista - sininen viiva ja - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, eksponentiaalisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on suurempi kuin yksi.

Logaritminen funktio.

Seuraava perusalkeisfunktio on logaritminen funktio, jossa , . Logaritminen funktio määritetään vain argumentin positiivisille arvoille, eli .

Logaritmisen funktion kuvaaja saa eri muotoja kantaluvun a arvosta riippuen.

Perusfunktiot, niiden luontaiset ominaisuudet ja vastaavat graafit ovat yksi matemaattisen tiedon perusteista, samanlainen kuin kertolaskun merkitys. Perustoiminnot ovat perusta, tuki kaikkien teoreettisten kysymysten tutkimiselle.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Alla olevassa artikkelissa on keskeistä materiaalia perustoimintojen aiheesta. Esittelemme termejä, annamme niille määritelmiä; Tutkitaan yksityiskohtaisesti jokaisen tyyppisiä perusfunktioita ja analysoidaan niiden ominaisuuksia.

Kohokohta seuraavat tyypit perustoiminnot:

Määritelmä 1

• vakiofunktio (vakio);
• n. juuri;
• teho toiminto;
• eksponentti funktio;
• logaritminen funktio;
• trigonometriset funktiot;
• veljelliset trigonometriset funktiot.

Vakiofunktio määritellään kaavalla: y = C (C on tietty reaaliluku) ja sillä on myös nimi: vakio. Tämä funktio määrittää riippumattoman muuttujan x minkä tahansa todellisen arvon vastaavuuden muuttujan y samalle arvolle - C:n arvolle.

Vakion kuvaaja on suora viiva, joka on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa ja kulkee pisteen läpi, jolla on koordinaatit (0, C). Selvyyden vuoksi esitämme kaavioita vakiofunktioista y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (merkitty piirustuksessa mustalla, punaisella ja sinisellä värillä).

Määritelmä 2

Tämä alkeisfunktio määritellään kaavalla y = x n (n on yhtä suurempi luonnollinen luku).

Tarkastellaan funktion kahta muunnelmaa.

1. n:s juuri, n – parillinen luku

Selvyyden vuoksi osoitamme piirustuksen, joka näyttää kaavioita tällaisista funktioista: y = x, y = x 4 ja y = x8. Nämä ominaisuudet on värikoodattu: musta, punainen ja sininen.

Parillisen asteen funktion kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille eksponentin arvoille.

Määritelmä 3

N:nnen juurifunktion ominaisuudet, n on parillinen luku

• määritelmäalue – kaikkien ei-negatiivisten reaalilukujen joukko [ 0 , + ∞) ;
• kun x = 0, funktio y = x n:n arvo on nolla;
• annettu toiminto-toiminto yleisnäkymä(ei ole parillinen eikä pariton);
• alue: [ 0 , + ∞) ;
• tämä funktio y = x n parillisille juurieksponenteille kasvaa koko määritelmäalueen läpi;
• funktiolla on ylöspäin suuntautuva kupera koko määrittelyalueen läpi;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion kuvaaja parilliselle n:lle kulkee pisteiden (0; 0) ja (1; 1) kautta.

1. n:s juuri, n – pariton luku

Tällainen funktio on määritelty koko reaalilukujoukolle. Tarkastellaan selvyyden vuoksi funktioiden kuvaajia y = x 3, y = x 5 ja x 9. Piirustuksessa ne on merkitty väreillä: musta, punainen ja Sininen väri ja käyrät vastaavasti.

Muut funktion y = x n juurieksponentin parittomat arvot antavat samantyyppisen kaavion.

Määritelmä 4

N:nnen juurifunktion ominaisuudet, n on pariton luku

• määritelmäalue – kaikkien reaalilukujen joukko;
• tämä funktio on outo;
• arvoalue – kaikkien reaalilukujen joukko;
• funktio y = x n parittomille juurieksponenteille kasvaa koko määritelmän alueella;
• funktiolla on koveruus välissä (- ∞ ; 0 ] ja konveksius välillä [ 0 , + ∞ );
• käännepisteellä on koordinaatit (0; 0);
• ei ole asymptootteja;
• Parittoman n:n funktion kuvaaja kulkee pisteiden (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ja (1 ; 1) kautta.

Virtatoiminto

Tehofunktio määritellään kaavalla y = x a.

Kaavioiden ulkonäkö ja funktion ominaisuudet riippuvat eksponentin arvosta.

• kun potenssifunktiolla on kokonaislukueksponentti a, niin potenssifunktion graafin tyyppi ja sen ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti parillinen vai pariton sekä mikä etumerkki eksponentilla on. Tarkastellaan kaikkia näitä erikoistapauksia yksityiskohtaisemmin alla;
• eksponentti voi olla murto-osa tai irrationaalinen - tästä riippuen myös graafien tyyppi ja funktion ominaisuudet vaihtelevat. Analysoimme erikoistapauksia asettamalla useita ehtoja: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• potenssifunktiolla voi olla nolla eksponentti, analysoimme myös tätä tapausta tarkemmin alla.

Analysoidaan tehofunktiota y = x a, kun a on pariton positiivinen luku, esimerkiksi a = 1, 3, 5...

Selvyyden vuoksi osoitetaan tällaisten potenssifunktioiden kaaviot: y = x (graafinen väri musta), y = x 3 (kaavion sininen väri), y = x 5 (kaavion punainen väri), y = x 7 (graafinen väri vihreä). Kun a = 1, saadaan lineaarinen funktio y = x.

Määritelmä 6

Potenttifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on pariton positiivinen

• funktio kasvaa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funktiolla on konveksius x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja koveruus x ∈ [ 0 ; + ∞) (lukuun ottamatta lineaarista funktiota);
• käännepisteellä on koordinaatit (0 ; 0) (pois lukien lineaarifunktio);
• ei ole asymptootteja;
• funktion kulkupisteet: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysoidaan tehofunktiota y = x a, kun a on parillinen positiivinen luku, esimerkiksi a = 2, 4, 6...

Selvyyden vuoksi osoitamme tällaisten tehofunktioiden kaaviot: y = x 2 (graafinen väri musta), y = x 4 (kaavion sininen väri), y = x 8 (kaavion punainen väri). Kun a = 2, saadaan neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöparaabeli.

Määritelmä 7

Potenssifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on parillinen positiivinen:

• määritelmän alue: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• pienenevä x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funktiolla on koveruus x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion kulkupisteet: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä tehofunktiokaavioista y = x a, kun a on pariton negatiivinen luku: y = x - 9 (graafinen väri musta); y = x - 5 (kaavion sininen väri); y = x - 3 (kaavion punainen väri); y = x - 1 (graafinen väri vihreä). Kun a = - 1, saadaan käänteinen suhteellisuus, jonka kuvaaja on hyperbola.

Määritelmä 8

Potenttifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on pariton negatiivinen:

Kun x = 0, saadaan toisen tyyppinen epäjatkuvuus, koska lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun a = - 1, - 3, - 5, …. Siten suora x = 0 on pystysuora asymptootti;

• alue: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x);
• funktio pienenee x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funktiolla on konveksius x ∈ (- ∞ ; 0) ja koveruus x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kun a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• funktion kulkupisteet: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä potenssifunktion y = x a kaavioista, kun a on parillinen negatiivinen luku: y = x - 8 (graafinen väri musta); y = x - 4 (kaavion sininen väri); y = x - 2 (kaavion punainen väri).

Määritelmä 9

Potenssifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on jopa negatiivinen:

• määritelmän alue: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kun x = 0, saadaan toisen tyyppinen epäjatkuvuus, koska lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun a = - 2, - 4, - 6, …. Siten suora x = 0 on pystysuora asymptootti;

• funktio on parillinen, koska y(-x) = y(x);
• funktio kasvaa x ∈ (- ∞ ; 0) ja pienenee x ∈ 0; + ∞ ;
• funktiolla on koveruus kohdassa x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti – suora y = 0, koska:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kun a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funktion kulkupisteet: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Kiinnitä heti alusta alkaen huomiota seuraavaan seikkaan: siinä tapauksessa, että a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, jotkut kirjoittajat ottavat tämän potenssifunktion määrittelyalueena intervallin - ∞; + ∞ , mikä edellyttää, että eksponentti a on redusoitumaton murtoluku. Päällä Tämä hetki monien kirjoittajia koulutusjulkaisuja algebrassa ja analyysin periaatteissa ÄLÄ MÄÄRITÄ potenssifunktioita, joissa eksponentti on murto-osa, jolla on pariton nimittäjä argumentin negatiivisille arvoille. Edelleen noudatamme täsmälleen tätä kantaa: otamme joukon [ 0 ; + ∞) . Suositus opiskelijoille: selvitä opettajan näkemys tästä asiasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Joten katsotaanpa tehofunktiota y = x a , kun eksponentti on rationaalinen tai irrationaalinen luku, edellyttäen, että 0< a < 1 .

Havainnollistetaan potenssifunktiot kaavioilla y = x a, kun a = 11 12 (graafinen väri musta); a = 5 7 (kaavion punainen väri); a = 1 3 (kaavion sininen väri); a = 2 5 (kaavion vihreä väri).

Muut eksponentin a arvot (jos 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Määritelmä 10

Tehofunktion ominaisuudet kohdassa 0< a < 1:

• alue: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktio kasvaa x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktio on konveksi x ∈ (0 ; + ∞);
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;

Analysoidaan tehofunktiota y = x a, kun eksponentti on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen luku, edellyttäen, että a > 1.

Havainnollistetaan tehofunktiota kuvaajilla y = x a tietyissä olosuhteissa käyttämällä esimerkkinä seuraavia funktioita: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (kaavioiden musta, punainen, sininen, vihreä väri, vastaavasti).

Muut eksponentin a arvot, jos a > 1, antavat samanlaisen kuvaajan.

Määritelmä 11

Tehofunktion ominaisuudet > 1:

• määritelmän alue: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• alue: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• funktio kasvaa x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktiolla on koveruus x ∈ (0 ; + ∞) (kun 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion kulkupisteet: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Huomaa, että kun a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, joidenkin tekijöiden teoksissa on käsitys, että määritelmäalue tässä tapauksessa on väli - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) sillä varauksella, että eksponentti a on redusoitumaton murtoluku. Tällä hetkellä kirjoittajat koulutusmateriaaleja algebrassa ja analyysin periaatteissa ÄLÄ MÄÄRITÄ potenssifunktioita, joiden eksponentti on murto-osan muodossa, jolla on pariton nimittäjä argumentin negatiivisille arvoille. Edelleen noudatamme täsmälleen tätä näkemystä: otamme joukon (0 ; + ∞) negatiivisten murto-osien eksponentin potenssifunktioiden määrittelyalueeksi. Suositus opiskelijoille: Selvennä opettajasi näkemystä tässä vaiheessa erimielisyyksien välttämiseksi.

Jatketaan aihetta ja analysoidaan tehofunktiota y = x a edellyttäen: - 1< a < 0 .

Esitetään kaaviot seuraavista funktioista: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (musta, punainen, sininen, vihreä väri rivit, vastaavasti).

Määritelmä 12

Tehofunktion ominaisuudet kohdassa -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun -1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• alue: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• ei ole käännepisteitä;

Alla olevassa kuvassa on kaavioita potenssifunktioista y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (musta, punainen, sininen, vihreät värit käyrät vastaavasti).

Määritelmä 13

Tehofunktion ominaisuudet a.:lle< - 1:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• funktio pienenee arvolle x ∈ 0; + ∞ ;
• funktiolla on koveruus x ∈ 0; + ∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti – suora y = 0;
• funktion kulkupiste: (1; 1) .

Kun a = 0 ja x ≠ 0, saadaan funktio y = x 0 = 1, joka määrittää suoran, josta piste (0; 1) jätetään pois (sovittiin, että lausekkeelle 0 0 ei anneta mitään merkitystä ).

Eksponentiaalisella funktiolla on muoto y = a x, missä a > 0 ja a ≠ 1, ja tämän funktion kuvaaja näyttää erilaiselta kantaluvun a arvon perusteella. Ajatellaanpa erikoistapauksia.

Ensin tarkastellaan tilannetta, jossa eksponentiaalisen funktion kannassa on arvo nollasta yhteen (0< a < 1) . Hyvä esimerkki ovat funktioiden kaaviot a = 1 2 (käyrän sininen väri) ja a = 5 6 (käyrän punainen väri).

Eksponentiaalisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta muilla kantaarvon arvoilla ehdolla 0< a < 1 .

Määritelmä 14

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on pienempi kuin yksi:

• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• eksponentiaalinen funktio, jonka kantaluku on pienempi kuin yksi, pienenee koko määritelmän alueella;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti – suora y = 0 muuttujan x pyrkiessä + ∞;

Tarkastellaan nyt tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi (a > 1).

Havainnollistetaan tätä erikoistapausta eksponentiaalisten funktioiden y = 3 2 x (käyrän sininen väri) ja y = e x (kaavion punainen väri) kuvaajalla.

Muut perusarvot, suuremmat yksiköt, antavat samanlaisen ulkonäön eksponentiaalisen funktion kuvaajalle.

Määritelmä 15

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on suurempi kuin yksi:

• määritelmäalue – koko joukko reaalilukuja;
• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• eksponentiaalinen funktio, jonka kanta on suurempi kuin yksi, kasvaa muodossa x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funktiolla on koveruus kohdassa x ∈ - ∞; + ∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti – suora y = 0 muuttujan x pyrkiessä - ∞;
• funktion kulkupiste: (0; 1) .

Logaritminen funktio on muotoa y = log a (x), missä a > 0, a ≠ 1.

Tällainen funktio määritellään vain argumentin positiivisille arvoille: x ∈ 0; + ∞ .

Logaritmisen funktion kaaviolla on erilainen ulkoasu perustuen kantaluvun a arvoon.

Tarkastellaan ensin tilannetta, kun 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Muut pohjan arvot, eivät suuremmat yksiköt, antavat samanlaisen kaavion.

Määritelmä 16

Logaritmisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on pienempi kuin yksi:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; + ∞ . Kun x pyrkii nollaan oikealta, funktion arvot pyrkivät +∞;
• alue: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• logaritminen
• funktiolla on koveruus x ∈ 0; + ∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;

Tarkastellaan nyt erikoistapausta, jossa logaritmisen funktion kanta on suurempi kuin yksi: a > 1 . Alla olevassa piirustuksessa on esitetty logaritmisten funktioiden y = log 3 2 x ja y = ln x kaaviot (kaavioiden sininen ja punainen väri).

Muut perusarvot, jotka ovat suurempia kuin yksi, antavat samanlaisen kaavion.

Määritelmä 17

Logaritmisen funktion ominaisuudet, kun kanta on suurempi kuin yksi:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; + ∞ . Kun x pyrkii nollaan oikealta, funktion arvot pyrkivät - ∞ ;
• alue: y ∈ - ∞ ; + ∞ (koko joukko reaalilukuja);
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• logaritminen funktio kasvaa arvolla x ∈ 0; + ∞ ;
• funktio on konveksi arvolle x ∈ 0; + ∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion kulkupiste: (1; 0) .

Trigonometriset funktiot ovat sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Katsotaanpa kunkin niistä ominaisuuksia ja vastaavaa grafiikkaa.

Yleensä kaikille trigonometrisille funktioille on tunnusomaista jaksollisuusominaisuus, ts. kun funktioarvot toistetaan klo erilaisia ​​merkityksiä argumentit, jotka eroavat toisistaan ​​jaksolla f (x + T) = f (x) (T – jakso). Siten kohta "pienin positiivinen jakso" lisätään trigonometristen funktioiden ominaisuuksien luetteloon. Lisäksi osoitamme argumentin arvot, joissa vastaava funktio tulee nollaksi.

1. Sinifunktio: y = sin(x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan siniaaltoksi.

Määritelmä 18

Sinifunktion ominaisuudet:

• määritelmäalue: reaalilukujen koko joukko x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funktio katoaa, kun x = π · k, missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• funktio kasvaa x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ja pienenevä x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinifunktiolla on paikalliset maksimit pisteissä π 2 + 2 π · k; 1 ja paikalliset minimit pisteissä - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinifunktio on kovera, kun x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ja konveksi kun x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ei ole asymptootteja.

1. Kosinifunktio: y = cos(x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan kosiniaaltoksi.

Määritelmä 19

Kosinifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• pienin positiivinen jakso: T = 2 π;
• alue: y ∈ - 1 ; 1;
• tämä funktio on parillinen, koska y (- x) = y (x);
• funktio kasvaa x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ja pienenevä x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinifunktiolla on paikalliset maksimit pisteissä 2 π · k ; 1, k ∈ Z ja paikalliset minimit pisteissä π + 2 π · k; - 1, k z;
• kosinifunktio on kovera, kun x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ja kupera kun x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• käännepisteillä on koordinaatit π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• ei ole asymptootteja.

1. Tangenttifunktio: y = t g (x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan tangentti.

Määritelmä 20

Tangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• Tangenttifunktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajalla lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Siten suorat x = π 2 + π · k k ∈ Z ovat pystysuuntaisia ​​asymptootteja;
• funktio katoaa, kun x = π · k k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• alue: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio kasvaa muodossa - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tangenttifunktio on kovera x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z ja konveksi x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
• käännepisteillä on koordinaatit π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangenttifunktio: y = c t g (x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan kotangentoidiksi. .

Määritelmä 21

Kotangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmäalue: x ∈ (π · k ; π + π · k) , missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);

Kotangenttifunktion käyttäytyminen määritelmäalueen lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ rajalla, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Siten suorat x = π · k k ∈ Z ovat pystysuuntaisia ​​asymptootteja;

• pienin positiivinen jakso: T = π;
• funktio katoaa, kun x = π 2 + π · k k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• alue: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio on pienenevä x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangenttifunktio on kovera x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ja konveksi x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• käännepisteillä on koordinaatit π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Ei ole vinoja tai vaakasuuntaisia ​​asymptootteja.

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat arkkisini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti. Usein nimessä olevan etuliite "kaari" vuoksi käänteisiä trigonometrisia funktioita kutsutaan kaarifunktioiksi .

1. Sinikaartifunktio: y = a r c sin (x)

Määritelmä 22

Arsinifunktion ominaisuudet:

• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• arcsinifunktiolla on koveruus x ∈ 0; 1 ja kupera x ∈ - 1 ; 0;
• käännepisteillä on koordinaatit (0; 0), joka on myös funktion nolla;
• ei ole asymptootteja.

1. Kaaren kosinifunktio: y = a r c cos (x)

Määritelmä 23

Kaarikosinifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - 1 ; 1;
• alue: y ∈ 0 ; π;
• tämä funktio on yleismuotoinen (ei parillinen eikä pariton);
• funktio pienenee koko määritelmän alueella;
• kaarikosinifunktiolla on koveruus kohdassa x ∈ - 1; 0 ja kupera x ∈ 0; 1;
• käännepisteillä on koordinaatit 0; π2;
• ei ole asymptootteja.

1. Arktangenttifunktio: y = a r c t g (x)

Määritelmä 24

Arktangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• arvoalue: y ∈ - π 2 ; π2;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio kasvaa koko määritelmän alueella;
• arctangenttifunktiolla on koveruus x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja konveksius x ∈ [ 0 ; + ∞ );
• käännepisteellä on koordinaatit (0; 0), joka on myös funktion nolla;
• vaakasuuntaiset asymptootit ovat suoria viivoja y = - π 2 muodossa x → - ∞ ja y = π 2 muodossa x → + ∞ (kuvassa asymptootit ovat vihreitä viivoja).

1. Kaaretangenttifunktio: y = a r c c t g (x)

Määritelmä 25

Arkotangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• alue: y ∈ (0; π);
• tämä toiminto on yleismuotoinen;
• funktio pienenee koko määritelmän alueella;
• kaarikotangenttifunktiolla on koveruus x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kupera x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• käännepisteen koordinaatit ovat 0; π2;
• vaakasuuntaiset asymptootit ovat suoria viivoja y = π kohdassa x → - ∞ (vihreä viiva piirustuksessa) ja y = 0 kohdassa x → + ∞.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter