Yleinen funktion määritelmä. Parilliset ja parittomat funktiot
jopa, jos kaikille \(x\) sen toimialueelta on tosi: \(f(-x)=f(x)\) .
Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen \(y\)-akselin suhteen:
Esimerkki: funktio \(f(x)=x^2+\cos x\) on parillinen, koska \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Kutsutaan funktio \(f(x)\). outo, jos kaikille \(x\) sen toimialueelta on tosi: \(f(-x)=-f(x)\) .
Parittoman funktion kaavio on symmetrinen origon suhteen:
Esimerkki: funktio \(f(x)=x^3+x\) on outo, koska \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funktioita, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia, kutsutaan funktioiksi yleisnäkymä. Tällainen funktio voidaan aina esittää yksiselitteisesti parillisen ja parittoman funktion summana.
Esimerkiksi funktio \(f(x)=x^2-x\) on parillisen funktion \(f_1=x^2\) ja parittoman funktion \(f_2=-x\) summa.
\(\musta kolmiooikea\) Jotkut ominaisuudet:
1) Kahden saman pariteetin funktion tulo ja osamäärä - tasainen toiminto.
2) Kahden eri pariteetin funktion tulo ja osamäärä - outo toiminto.
3) Parillisten funktioiden summa ja erotus on parillinen funktio.
4) Parittomien funktioiden summa ja erotus on pariton funktio.
5) Jos \(f(x)\) on parillinen funktio, yhtälöllä \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) on yksilöllinen juuri silloin ja vain jos, kun \(x =0\) .
6) Jos \(f(x)\) on parillinen tai pariton funktio ja yhtälöllä \(f(x)=0\) on juuri \(x=b\) , niin tällä yhtälöllä on välttämättä toinen juuri \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funktiota \(f(x)\) kutsutaan jaksolliseksi funktiossa \(X\), jos jollekin luvulle \(T\ne 0\) on \(f(x)=f(x+ T) \) , jossa \(x, x+T\in X\) . Pienintä \(T\) , jolle tämä yhtälö pätee, kutsutaan funktion pää- (perus)jaksoksi.
Jaksottaisella funktiolla on mikä tahansa numero muodossa \(nT\) , jossa \(n\in \mathbb(Z)\) on myös piste.
Esimerkki: mikä tahansa trigonometrinen funktio on jaksollinen;
funktioille \(f(x)=\sin x\) ja \(f(x)=\cos x\) pääjakso on \(2\pi\) , funktioille \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) ja \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) pääjakso on \(\pi\) .
Jos haluat piirtää jaksollisen funktion, voit piirtää sen kaavion mille tahansa pituudelle \(T\) (pääjakso); sitten koko funktion kuvaaja täydennetään siirtämällä konstruoitua osaa kokonaislukumäärällä jaksoja oikealle ja vasemmalle:
\(\blacktriangleright\) Toimialue \(D(f)\) funktiolle \(f(x)\) on joukko, joka koostuu kaikista argumentin \(x\) arvoista, joille funktiolla on järkeä (on määritelty).
Esimerkki: funktiolla \(f(x)=\sqrt x+1\) on määritelmäalue: \(x\in
Tehtävä 1 #6364
Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa
Mille parametrin \(a\) arvoille yhtälö
onko ainutlaatuinen ratkaisu?
Huomaa, että koska \(x^2\) ja \(\cos x\) ovat parillisia funktioita, jos yhtälöllä on juuri \(x_0\) , sillä on myös juuri \(-x_0\) .
Todellakin, olkoon \(x_0\) juuri, eli yhtäläisyys \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) oikein. Korvaa \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Jos siis \(x_0\ne 0\) , yhtälöllä on jo ainakin kaksi juuria. Siksi \(x_0=0\) . Sitten:
Saimme kaksi parametriarvoa \(a\) . Huomaa, että olemme käyttäneet sitä tosiasiaa, että \(x=0\) on täsmälleen alkuperäisen yhtälön juuri. Mutta emme koskaan käyttäneet sitä tosiasiaa, että hän on ainoa. Siksi on välttämätöntä korvata saadut parametrin \(a\) arvot alkuperäiseen yhtälöön ja tarkistaa, minkä \(a\) juuri \(x=0\) on todella ainutlaatuinen.
1) Jos \(a=0\) , yhtälö on muodossa \(2x^2=0\) . Ilmeisesti tällä yhtälöllä on vain yksi juuri \(x=0\) . Siksi arvo \(a=0\) sopii meille.
2) Jos \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , yhtälö saa muodon \ Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \ Koska \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), sitten \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Siksi yhtälön oikean puolen arvot (*) kuuluvat segmenttiin \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Koska \(x^2\geqslant 0\) , yhtälön (*) vasen puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Näin ollen yhtäläisyys (*) voi olla voimassa vain, kun yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ja tämä tarkoittaa sitä \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Siksi arvo \(a=-\mathrm(tg)\,1\) sopii meille.
Vastaus:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Tehtävä 2 #3923
Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa
Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle funktion kaavio \
symmetrinen alkuperän suhteen.
Jos funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, niin tällainen funktio on pariton, eli \(f(-x)=-f(x)\) täyttyy mille tahansa \(x\) funktion verkkotunnus. Siten on löydettävä ne parametriarvot, joille \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(tasattu) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(tasattu)\]
Viimeisen yhtälön on pädettävä kaikille \(x\) toimialueelta \(f(x)\) , joten \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Vastaus:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Tehtävä 3 #3069
Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa
Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälöllä \ on 4 ratkaisua, missä \(f\) on parillinen jaksollinen funktio jaksolla \(T=\dfrac(16)3\) määritelty koko todelliselle riville , ja \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Tehtävä tilaajilta)
Koska \(f(x)\) on parillinen funktio, sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, joten kun \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Siten klo \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), ja tämä on segmentti, jonka pituus on \(\dfrac(16)3\) , funktio \(f(x)=ax^2\) .
1) Olkoon \(a>0\) . Sitten funktion \(f(x)\) kaavio näyttää tältä: 
Sitten, jotta yhtälöllä olisi 4 ratkaisua, on välttämätöntä, että kaavio \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) kulkee pisteen \(A\) läpi: 
Siten, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(tasattu) \end(koottu)\oikea. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(tasattu) \end( kerätty)\oikea.\] Koska \(a>0\) , niin \(a=\dfrac(18)(23)\) on hyvä.
2) Olkoon \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Tarvitsemme kaavion \(g(x)\) kulkemaan pisteen \(B\) läpi: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(tasattu) \end(koottu)\oikea.\] Alkaen \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Tapaus, jossa \(a=0\) ei sovi, koska silloin \(f(x)=0\) kaikille \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ja yhtälöllä on vain 1 juuri.
Vastaus:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Tehtävä 4 #3072
Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa
Etsi kaikki arvot \(a\) , joista jokaiselle yhtälö \
on vähintään yksi juuri.
(Tehtävä tilaajilta)
Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \
ja harkitse kahta funktiota: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ja \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funktio \(g(x)\) on parillinen, sen minimipiste on \(x=0\) (ja \(g(0)=49\) ).
Funktio \(f(x)\) arvolle \(x>0\) pienenee ja funktiolle \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Itse asiassa \(x>0\) toinen moduuli laajenee positiivisesti (\(|x|=x\) ), joten riippumatta siitä, kuinka ensimmäinen moduuli laajenee, \(f(x)\) on yhtä suuri kuin \ ( kx+A\) , jossa \(A\) on lauseke kaavasta \(a\) ja \(k\) on joko \(-9\) tai \(-3\) . Kohdalle \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Etsi arvo \(f\) maksimipisteestä: \ 
Jotta yhtälöllä olisi ainakin yksi ratkaisu, on välttämätöntä, että funktioiden \(f\) ja \(g\) kaavioilla on vähintään yksi leikkauspiste. Siksi tarvitset: \ \\]
Vastaus:
\(a\in \(-7\)\kuppi\)
Tehtävä 5 #3912
Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa
Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joille jokaiselle yhtälö \
on kuusi erilaista ratkaisua.
Tehdään korvaus \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Sitten yhtälö saa muodon \
Kirjoitamme vähitellen ehdot, joilla alkuperäisellä yhtälöllä on kuusi ratkaisua.
Huomaa, että toisen asteen yhtälöllä \((*)\) voi olla enintään kaksi ratkaisua. Millä tahansa kuutioyhtälöllä \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) voi olla enintään kolme ratkaisua. Siksi, jos yhtälöllä \((*)\) on kaksi eri ratkaisua (positiivinen!, koska \(t\) on oltava suurempi kuin nolla) \(t_1\) ja \(t_2\) , niin, kun on tehty päinvastoin korvaaminen, saamme: \[\left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(tasattu)\loppu(koottu)\oikea.\] Koska mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää jossain määrin muodossa \(\sqrt2\), esimerkiksi \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), silloin joukon ensimmäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon \
Kuten olemme jo sanoneet, missä tahansa kuutioyhtälössä on enintään kolme ratkaisua, joten jokaisella joukon yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua. Tämä tarkoittaa, että koko sarjassa on enintään kuusi ratkaisua.
Tämä tarkoittaa, että jotta alkuperäisellä yhtälöllä olisi kuusi ratkaisua, toisen asteen yhtälöllä \((*)\) on oltava kaksi eri ratkaisua ja jokaisella tuloksena olevalla kuutioyhtälöllä (joukosta) on oltava kolme eri ratkaisua (eikä yhtä yhden yhtälön ratkaisun tulee yhtyä sen kanssa - tai toisen päätöksellä!)
On selvää, että jos toisen asteen yhtälöllä \((*)\) on yksi ratkaisu, emme saa kuutta ratkaisua alkuperäiselle yhtälölle.
Siten ratkaisusuunnitelma tulee selväksi. Kirjoitetaan kohta kohdalta ehdot, jotka on täytettävä.
1) Jotta yhtälöllä \((*)\) olisi kaksi eri ratkaisua, sen erottimen on oltava positiivinen: \
2) Tarvitsemme myös molempien juurten olevan positiivisia (koska \(t>0\) ). Jos kahden juuren tulo on positiivinen ja niiden summa on positiivinen, juuret itse ovat positiivisia. Siksi tarvitset: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Olemme siis jo hankkineet itsellemme kaksi erilaista positiivista juurta \(t_1\) ja \(t_2\) .
3)
Katsotaanpa tätä yhtälöä \
Mihin \(t\) sillä on kolme erilaista ratkaisua? Näin ollen olemme määrittäneet, että yhtälön \((*)\) molempien juurien on oltava välissä \((1;4)\) . Kuinka kirjoittaa tämä ehto? oli neljä erillistä nollasta poikkeavaa juuria, jotka edustavat yhdessä \(x=0\) kanssa aritmeettista progressiota. Huomaa, että funktio \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) on parillinen, joten jos \(x_0\) on yhtälön \((*) juuri )\ ) , silloin \(-x_0\) on myös sen juuri. Sitten on välttämätöntä, että tämän yhtälön juuret ovat nousevassa järjestyksessä olevia numeroita: \(-2d, -d, d, 2d\) (sitten \(d>0\) ). Silloin nämä viisi numeroa muodostavat aritmeettisen progression (erolla \(d\) ). Jotta nämä juuret olisivat numeroita \(-2d, -d, d, 2d\) , on välttämätöntä, että luvut \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ovat yhtälö \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Sitten Vietan lauseella: Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \
ja harkitse kahta funktiota: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ja \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Jotta yhtälöllä olisi ainakin yksi ratkaisu, on välttämätöntä, että funktioiden \(f\) ja \(g\) kaavioilla on vähintään yksi leikkauspiste. Siksi tarvitset: \
Ratkaisemalla tämän järjestelmäjoukon saamme vastauksen: \\]
Vastaus: \(a\in \(-2\)\kuppi\)
Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja sivustolle? Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustolle kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on moraalisesti vanhentunut. Jos toisaalta käytät jatkuvasti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttäen MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä. On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi, ja sen avulla voit nopeuttaa sivustosi sivujen latautumista, ja jos MathJax-ylennyspalvelin on tilapäisesti poissa käytöstä jostain syystä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutin sisällä voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia verkkosivustollasi. Voit yhdistää MathJax-kirjastoskriptin etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:
Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin
Tarkastellaan funktiota \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Voidaan kertoa: \
Siksi sen nollat ovat: \(x=-1;2\) .
Jos löydämme derivaatan \(f"(x)=3x^2-6x\) , saadaan kaksi ääripistettä \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Siksi kaavio näyttää tältä: 
Näemme, että mikä tahansa vaakaviiva \(y=k\) , jossa \(0
Tarvitset siis: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Huomaa myös heti, että jos luvut \(t_1\) ja \(t_2\) ovat erilaisia, numerot \(\log_(\sqrt2)t_1\) ja \(\log_(\sqrt2)t_2\) olla erilaisia, joten yhtälöt \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) ja \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) tulee olemaan erilaiset juuret.
\((**)\)-järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: \[\begin(cases) 1
Emme kirjoita nimenomaisesti juuria.
Tarkastellaan funktiota \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Sen kuvaaja on ylöspäin haaroittuva paraabeli, jolla on kaksi leikkauspistettä abskissa-akselin kanssa (kirjoitimme tämän ehdon kappaleessa 1)). Miltä sen kaavion pitäisi näyttää, jotta leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa ovat välillä \((1;4)\) ? Niin: 
Ensinnäkin funktion arvojen \(g(1)\) ja \(g(4)\) pisteissä \(1\) ja \(4\) on oltava positiivisia, ja toiseksi funktion kärkipisteen paraabelin \(t_0\ ) on myös oltava välissä \((1;4)\) . Siksi järjestelmä voidaan kirjoittaa: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funktiolla \(g(x)\) on maksimipiste \(x=0\) (ja \(g_(\teksti(ylä))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nolladerivaata: \(x=0\) . Kohdalle \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funktio \(f(x)\) \(x>0\) kasvaa ja \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Itse asiassa \(x>0\) ensimmäinen moduuli laajenee positiivisesti (\(|x|=x\) ), joten riippumatta siitä, kuinka toinen moduuli laajenee, \(f(x)\) on yhtä suuri kuin \ ( kx+A\) , jossa \(A\) on lauseke kaavasta \(a\) ja \(k\) on joko \(13-10=3\) tai \(13+10=23\) . Kohdalle \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Etsitään arvo \(f\) minimipisteestä: \
Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivuillesi.
Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.
Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, on jaettu sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Siitä tulee sarja, joka koostuu 20 jäljellä olevasta pienemmästä kuutiosta. Toimimalla samalla tavalla jokaisella näistä kuutioista saadaan sarja, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomiin, saamme Menger-sienen.
Funktiota kutsutaan parilliseksi (parittomaksi), jos mikä tahansa ja yhtälö 
.
Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen 
.
Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
Esimerkki 6.2. Tarkista parilliset tai parittomat funktiot
1)
;
2)
;
3)
.
Ratkaisu.
1) Funktio määritellään 
. Etsitään 
.
Nuo. 
. Tämä toiminto on siis tasainen.
2) Funktio on määritelty 
Nuo. 
. Tämä funktio on siis outo.
3) funktio on määritelty , ts. varten
,
. Siksi funktio ei ole parillinen eikä pariton. Kutsutaan sitä yleisfunktioksi.
3. Monotonisuuden funktion tutkiminen.
Toiminto 
kutsutaan kasvavaksi (pieneneväksi) jollain aikavälillä, jos tässä välissä jokainen argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa (pienempää) arvoa.
Jollain aikavälillä kasvavia (pieneneviä) toimintoja kutsutaan monotonisiksi.
Jos toiminto 
vaihteluvälillä 
ja sillä on positiivinen (negatiivinen) johdannainen 
, sitten toiminto 
kasvaa (vähenee) tällä aikavälillä.
Esimerkki 6.3. Etsi funktioiden monotonisuuden intervallit
1)
;
3)
.
Ratkaisu.
1) Tämä funktio on määritetty koko lukuakselille. Etsitään johdannainen.
Derivaata on nolla, jos 
ja 
. Määritelmäalue - numeerinen akseli, jaettuna pisteillä 
,
väliajoille. Määritetään derivaatan etumerkki jokaisessa välissä.
Välissä 
derivaatta on negatiivinen, funktio pienenee tällä välillä.
Välissä 
derivaatta on positiivinen, joten funktio kasvaa tällä aikavälillä.
2) Tämä funktio määritellään jos 
tai
.
Määritämme neliötrinomin etumerkin jokaisessa välissä.
Näin ollen toiminnon laajuus
Etsitään johdannainen 
,
, jos 
, eli 
, mutta 
. Määritetään derivaatan etumerkki intervalleissa 
.
Välissä 
derivaatta on negatiivinen, joten funktio pienenee välissä 
. Välissä 
derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa välissä 
.
4. Ekstreemin funktion tutkiminen.
Piste 
kutsutaan funktion maksimi- (minimi)pisteeksi 
, jos pisteen lähialue on sellainen 
että kaikille 
tämä naapurusto tyydyttää eriarvoisuuden 
.
Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan ääripisteiksi.
Jos toiminto 
pisteessä 
on ääripää, niin funktion derivaatta tässä pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa (välttämätön ehto ääripään olemassaololle).
Pisteitä, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittisiksi.
5. Riittävät edellytykset ääripään olemassaololle.
Sääntö 1. Jos siirtymisen aikana (vasemmalta oikealle) kriittisen pisteen läpi 
johdannainen 
muuttaa merkin "+":sta "-":ksi ja sitten kohtaan 
toiminto 
on maksimi; jos "-" - "+", niin minimi; jos 
ei vaihda merkkiä, silloin ei ole ääripäätä.
Sääntö 2. Anna pisteessä 
funktion ensimmäinen derivaatta 
nolla 
, ja toinen derivaatta on olemassa ja on nollasta poikkeava. Jos 
, sitten 
on maksimipiste, jos 
, sitten 
on funktion minimipiste.
Esimerkki 6.4 . Tutustu maksimi- ja minimitoimintoihin:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ratkaisu.
1) Funktio on määritelty ja jatkuva välissä 
.
Etsitään johdannainen 
ja ratkaise yhtälö 
, eli 
.täältä 
ovat kriittisiä kohtia.
Määritetään derivaatan etumerkki välissä , 
.
Pisteiden läpi kulkiessaan 
ja 
derivaatta muuttaa merkin "–":sta "+":ksi, siis säännön 1 mukaisesti 
ovat vähimmäispisteet.
Kun kuljetaan pisteen läpi 
johdannainen muuttaa merkin "+":sta "-":ksi, joten 
on maksimipiste.
,
.
2) Funktio on määritelty ja jatkuva välissä 
. Etsitään johdannainen 
.
Ratkaisemalla yhtälön 
, löytö 
ja 
ovat kriittisiä kohtia. Jos nimittäjä 
, eli 
, johdannaista ei ole olemassa. Niin, 
on kolmas kriittinen kohta. Määritetään derivaatan etumerkki välissä.
Siksi funktiolla on minimipisteessä 
, maksimipisteissä 
ja 
.
3) Funktio on määritelty ja jatkuva jos 
, eli klo 
.
Etsitään johdannainen 
.
Etsitään kriittiset kohdat: 
Pisteiden lähialueet 
eivät kuulu määritelmäalueeseen, joten ne eivät ole äärimmäisiä t. Joten tutkitaan kriittisiä kohtia 
ja 
.
4) Funktio on määritelty ja jatkuva välissä 
. Käytämme sääntöä 2. Etsi derivaatta 
.
Etsitään kriittiset kohdat:
Etsitään toinen derivaatta 
ja määritä sen merkki pisteistä 
Kohdissa 
toiminnolla on minimi.
Kohdissa 
toiminnolla on maksimi.
Mitkä olivat tavalla tai toisella tuttuja sinulle. Siellä todettiin myös, että toimintoominaisuuksien varastoa täydennetään asteittain. Tässä osiossa käsitellään kahta uutta kiinteistöä.
Määritelmä 1.
Funktiota y \u003d f (x), x є X kutsutaan, vaikka mille tahansa joukon X arvolle x yhtälö f (-x) \u003d f (x) olisi tosi.
Määritelmä 2.
Funktiota y \u003d f (x), x є X kutsutaan parittomaksi, jos jollekin joukon X arvolle x yhtälö f (-x) \u003d -f (x) on tosi.
Osoita, että y = x 4 on parillinen funktio.
Ratkaisu. Meillä on: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Mutta (-x) 4 = x 4 . Siten mille tahansa x:lle yhtälö f (-x) = f (x), ts. funktio on tasainen.
Vastaavasti voidaan osoittaa, että funktiot y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ovat parillisia.
Todista, että y = x 3 on pariton funktio.
Ratkaisu. Meillä on: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Mutta (-x) 3 = -x 3 . Näin ollen mille tahansa x:lle yhtälö f (-x) \u003d -f (x), ts. funktio on outo.
Samoin voidaan todistaa, että funktiot y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ovat parittomia.
Sinä ja minä olemme toistuvasti vakuuttaneet itsellemme, että matematiikan uusilla termeillä on useimmiten "maallinen" alkuperä, ts. ne voidaan selittää jollain tavalla. Tämä pätee sekä parillisiin että parittoihin funktioihin. Katso: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ovat parittomia funktioita, kun taas y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 ovat parillisia funktioita. Ja yleensä, mille tahansa funktiolle, jonka muoto on y \u003d x "(alla tutkimme erityisesti näitä toimintoja), joissa n on luonnollinen luku, voimme päätellä: jos n on pariton luku, niin funktio y \u003d x "on outoa; jos n on parillinen luku, niin funktio y = xn on parillinen.
On myös toimintoja, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia. Tällainen on esimerkiksi funktio y \u003d 2x + 3. Todellakin, f (1) \u003d 5 ja f (-1) \u003d 1. Kuten näette, tässä ei siis ole identiteetti f (-x) ) \u003d f ( x), eikä identiteettiä f(-x) = -f(x).
Joten funktio voi olla parillinen, pariton tai ei kumpaakaan.
Tutkimusta siitä, onko tietty funktio parillinen vai pariton, kutsutaan yleensä pariteetin funktion tutkimukseksi.
Määritelmät 1 ja 2 käsittelevät funktion arvoja pisteissä x ja -x. Tämä olettaa, että funktio on määritelty sekä pisteessä x että pisteessä -x. Tämä tarkoittaa, että piste -x kuuluu funktion alueeseen samaan aikaan kuin piste x. Jos numeerinen joukko X yhdessä jokaisen alkionsa x kanssa sisältää vastakkaisen alkion -x, niin X:tä kutsutaan symmetriseksi joukoksi. Oletetaan, että (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ovat symmetrisiä joukkoja, kun )