Kun toisen asteen yhtälöllä on kaksi negatiivista juuria. Paraabelin kuvaaja ja yhtälö. Menetelmät täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Toisen asteen yhtälöt. Syrjivä. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Toisen asteen yhtälöiden tyypit

Mikä on toisen asteen yhtälö? Miltä se näyttää? Termillä toisen asteen yhtälö avainsana on "neliö". Tämä tarkoittaa, että yhtälössä Välttämättä siinä täytyy olla x:n neliö. Sen lisäksi yhtälö voi (tai ei!) sisältää vain X:n (ensimmäiseen potenssiin) ja vain luvun (vapaa jäsen). Eikä X:iä saa olla kahden asteen verran.

Matemaattisesti neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on:

Tässä a, b ja c- joitain numeroita. b ja c- ehdottomasti mikä tahansa, mutta A- mitä tahansa muuta kuin nolla. Esimerkiksi:

Tässä A =1; b = 3; c = -4

Tässä A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tässä A =-3; b = 6; c = -18

No ymmärrät...

Näissä vasemmalla olevissa toisen asteen yhtälöissä on täysi setti jäsenet. X neliöity kertoimella A, x ensimmäiseen potenssiin kertoimella b Ja vapaa jäsen s.

Tällaisia ​​toisen asteen yhtälöitä kutsutaan koko.

Ja jos b= 0, mitä saamme? Meillä on X katoaa ensimmäiseen asteeseen. Tämä tapahtuu, kun se kerrotaan nollalla.) Osoittautuu esimerkiksi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x = 0

Ja niin edelleen. Ja jos molemmat kertoimet b Ja c ovat yhtä kuin nolla, niin se on vielä yksinkertaisempaa:

2 x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Sellaisia ​​yhtälöitä, joista jotain puuttuu, kutsutaan epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Mikä on varsin loogista.) Huomaa, että x neliö on läsnä kaikissa yhtälöissä.

Muuten, miksi A ei voi olla yhtä kuin nolla? Ja korvaat sen sijaan A nolla.) X-neliömme katoaa! Yhtälöstä tulee lineaarinen. Ja ratkaisu on täysin erilainen...

Siinä ovat kaikki neliöyhtälöiden päätyypit. Täydellinen ja epätäydellinen.

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

Neliöyhtälöt on helppo ratkaista. Kaavojen ja selkeiden, yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Ensimmäisessä vaiheessa sinun täytyy annettu yhtälö johtaa vakiolomakkeeseen, ts. lomakkeeseen:

Jos yhtälö on jo annettu sinulle tässä muodossa, sinun ei tarvitse tehdä ensimmäistä vaihetta.) Tärkeintä on määrittää kaikki kertoimet oikein, A, b Ja c.

Kaava toisen asteen yhtälön juurten löytämiseksi näyttää tältä:

Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan syrjivä. Mutta hänestä lisää alla. Kuten näet, käytämme X:n löytämiseen vain a, b ja c. Nuo. kertoimet toisen asteen yhtälöstä. Vaihda arvot huolellisesti a, b ja c Laskemme tämän kaavan mukaan. Korvataan omilla merkeilläsi! Esimerkiksi yhtälössä:

A =1; b = 3; c= -4. Kirjoitamme sen tähän:

Esimerkki on melkein ratkaistu:

Tämä on vastaus.

Kaikki on hyvin yksinkertaista. Ja mitä, luuletko, että on mahdotonta tehdä virhettä? Niin, miten...

Yleisimmät virheet ovat sekaannus merkkiarvoihin a, b ja c. Tai pikemminkin ei niiden merkeillä (missä hämmentyä?), vaan negatiivisten arvojen korvaamisella juurien laskentakaavassa. Tässä auttaa kaavan yksityiskohtainen tallentaminen tietyillä numeroilla. Jos laskennassa on ongelmia, tehdä!

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava esimerkki:

Tässä a = -6; b = -5; c = -1

Oletetaan, että tiedät, että saat harvoin vastauksia ensimmäisellä kerralla.

No älä ole laiska. Ylimääräisen rivin kirjoittaminen kestää noin 30 sekuntia ja virheiden määrä vähenee jyrkästi. Joten kirjoitamme yksityiskohtaisesti, kaikilla suluilla ja merkeillä:

Tuntuu uskomattoman vaikealta kirjoittaa niin huolellisesti. Mutta siltä se vain näyttää. Kokeile sitä. No, tai valitse. Mikä on parempi, nopea vai oikea? Sitä paitsi minä teen sinut onnelliseksi. Hetken kuluttua kaikkea ei tarvitse kirjoittaa niin huolellisesti. Se selviää itsestään. Varsinkin jos käytät alla kuvattuja käytännön tekniikoita. Tämä paha esimerkki, jossa on joukko miinuksia, voidaan ratkaista helposti ja ilman virheitä!

Mutta usein toisen asteen yhtälöt näyttävät hieman erilaisilta. Esimerkiksi näin:

Tunnistatko sen?) Kyllä! Tämä epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

Ne voidaan myös ratkaista yleisellä kaavalla. Sinun on vain ymmärrettävä oikein, mitä ne ovat tässä. a, b ja c.

Oletko keksinyt sen? Ensimmäisessä esimerkissä a = 1; b = -4; A c? Se ei ole siellä ollenkaan! No kyllä, niin on. Matematiikassa tämä tarkoittaa sitä c = 0 ! Siinä kaikki. Korvaa sen sijaan nolla kaavaan c, ja onnistumme. Sama toisen esimerkin kanssa. Vain meillä ei ole nollaa täällä Kanssa, A b !

Mutta epätäydelliset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista paljon yksinkertaisemmin. Ilman kaavoja. Harkitsemme ensimmäistä täydellinen yhtälö. Mitä voit tehdä vasemmalla puolella? Voit ottaa X:n pois suluista! Otetaan se pois.

Ja mitä tästä? Ja se, että tulo on nolla, jos ja vain jos jokin tekijöistä on nolla! Etkö usko minua? Okei, keksi sitten kaksi nollasta poikkeavaa lukua, jotka kerrottuna antavat nollan!
Ei toimi? Se siitä...
Siksi voimme luottavaisesti kirjoittaa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kaikki. Nämä ovat yhtälömme juuret. Molemmat sopivat. Kun jokin niistä korvataan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan oikea identiteetti 0 = 0. Kuten näette, ratkaisu on paljon yksinkertaisempi kuin yleisen kaavan käyttäminen. Haluan muuten huomauttaa, mikä X on ensimmäinen ja mikä toinen - täysin välinpitämätön. On kätevää kirjoittaa järjestyksessä, x 1- mikä on pienempi ja x 2- mikä on suurempi.

Toinen yhtälö voidaan ratkaista myös yksinkertaisesti. Siirrä 9 oikealle puolelle. Saamme:

Jäljelle jää vain poimia juuri 9:stä, ja siinä se. Siitä tulee ilmi:

Myös kaksi juuria . x 1 = -3, x 2 = 3.

Näin kaikki epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Joko asettamalla X hakasulkeista tai yksinkertaisesti siirtämällä numeroa oikealle ja poistamalla sitten juuri.
Näitä tekniikoita on erittäin vaikea sekoittaa. Yksinkertaisesti siksi, että ensimmäisessä tapauksessa sinun on purettava X:n juuri, joka on jotenkin käsittämätön, ja toisessa tapauksessa suluista ei ole mitään poistettavaa...

Syrjivä. Diskriminoiva kaava.

Maaginen sana syrjivä ! Harva lukiolainen ei ole kuullut tätä sanaa! Ilmaus "ratkaisemme syrjinnän kautta" herättää luottamusta ja varmuutta. Koska syrjinnältä ei tarvitse odottaa temppuja! Se on yksinkertainen ja vaivaton käyttää.) Muistutan yleisimmästä ratkaisukaavasta minkä tahansa toisen asteen yhtälöt:

Juurimerkin alla olevaa ilmaisua kutsutaan diskriminantiksi. Tyypillisesti erottaja merkitään kirjaimella D. Diskriminoiva kaava:

D = b2 - 4ac

Ja mitä ihmeellistä tässä ilmaisussa on? Miksi se ansaitsi erityinen nimi? Mitä syrjinnän merkitys? Kuitenkin -b, tai 2a tässä kaavassa he eivät nimenomaisesti kutsu sitä millään... Kirjaimet ja kirjaimet.

Tässä on asia. Kun ratkaiset toisen asteen yhtälön tällä kaavalla, se on mahdollista vain kolme tapausta.

1. Diskriminantti on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että juuri voidaan erottaa siitä. Se, onko juuri uutettu hyvin vai huonosti, on toinen kysymys. Tärkeintä on se, mitä periaatteessa saadaan. Sitten toisen asteen yhtälölläsi on kaksi juuria. Kaksi erilaista ratkaisua.

2. Diskriminantti on nolla. Sitten sinulla on yksi ratkaisu. Koska nollan lisääminen tai vähentäminen osoittajassa ei muuta mitään. Tarkkaan ottaen tämä ei ole yksi juuri, vaan kaksi identtistä. Mutta yksinkertaistetussa versiossa on tapana puhua yksi ratkaisu.

3. Diskriminantti on negatiivinen. Negatiivisen luvun neliöjuurta ei voida ottaa. No okei. Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Rehellisesti sanottuna, milloin yksinkertainen ratkaisu toisen asteen yhtälöt, diskriminantin käsitettä ei erityisesti vaadita. Korvaamme kertoimien arvot kaavaan ja laskemme. Kaikki tapahtuu siellä itsestään, kaksi juuria, yksi ja ei yhtään. Kuitenkin, kun ratkaistaan ​​enemmän vaikeita tehtäviä, tietämättä Diskriminantin merkitys ja kaava ei tarpeeksi. Varsinkin parametrien yhtälöissä. Tällaiset yhtälöt ovat taitolentoa valtiokokeen ja yhtenäisen valtiontutkinnon osalta!)

Niin, kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt muistamasi diskriminantin kautta. Tai opit, mikä ei myöskään ole huono.) Tiedät kuinka määrittää oikein a, b ja c. Tiedätkö kuinka? tarkkaavaisesti korvaa ne juurikaavassa ja tarkkaavaisesti laske tulos. Ymmärsitkö sen avainsana täällä - tarkkaavaisesti?

Ota nyt huomioon käytännön tekniikat, jotka vähentävät dramaattisesti virheiden määrää. Samat, jotka johtuvat huolimattomuudesta... Joille siitä tulee myöhemmin tuskallista ja loukkaavaa...

Ensimmäinen tapaaminen . Älä ole laiska ennen kuin ratkaiset toisen asteen yhtälön ja saat sen vakiomuotoon. Mitä tämä tarkoittaa?
Oletetaan, että kaikkien muunnosten jälkeen saat seuraavan yhtälön:

Älä kiirehdi kirjoittamaan juurikaavaa! Todennäköisyydet sekoittuvat melkein varmasti a, b ja c. Rakenna esimerkki oikein. Ensin X neliö, sitten ilman neliötä, sitten vapaa termi. Kuten tämä:

Ja vielä kerran, älä kiirehdi! Miinus X-ruudun edessä voi todella järkyttää sinua. Se on helppo unohtaa... Päästä eroon miinuksesta. Miten? Kyllä, kuten edellisessä aiheessa opetettiin! Meidän on kerrottava koko yhtälö -1:llä. Saamme:

Mutta nyt voit turvallisesti kirjoittaa ylös kaavan juurille, laskea erottimen ja lopettaa esimerkin ratkaisun. Päätä itse. Sinulla pitäisi nyt olla juuret 2 ja -1.

Vastaanotto toinen. Tarkista juuret! Vietan lauseen mukaan. Älä pelkää, minä selitän kaiken! Tarkistetaan viimeinen asia yhtälö. Nuo. jota käytimme juurikaavan kirjoittamiseen. Jos (kuten tässä esimerkissä) kerroin a = 1, juurien tarkistaminen on helppoa. Niiden moninkertaistaminen riittää. Tuloksena pitäisi olla ilmainen jäsen, ts. meidän tapauksessamme -2. Huomaa, ei 2, vaan -2! Vapaa jäsen merkkisi kanssa . Jos se ei toimi, se tarkoittaa, että he ovat jo sotkeneet jonnekin. Etsi virhe.

Jos se toimii, sinun on lisättävä juuret. Viimeinen ja viimeinen tarkistus. Kertoimen pitäisi olla b Kanssa vastapäätä tuttua. Meidän tapauksessamme -1+2 = +1. Kerroin b, joka on ennen X:ää, on yhtä suuri kuin -1. Eli kaikki on oikein!
Harmi, että tämä on niin yksinkertaista vain esimerkeissä, joissa x neliö on puhdas, kertoimella a = 1. Mutta tarkista ainakin sellaiset yhtälöt! Virheitä tulee yhä vähemmän.

Vastaanotto kolmas . Jos yhtälössäsi on murtokertoimia, päästä eroon murtoluvuista! Kerro yhtälö yhteisellä nimittäjällä oppitunnissa "Kuinka ratkaistaan ​​yhtälöitä? Identiteettimuunnokset" kuvatulla tavalla. Murtolukujen kanssa työskennellessä virheitä tulee jostain syystä...

Muuten, lupasin yksinkertaistaa pahan esimerkin joukolla miinuksia. Ole kiltti! Täällä hän on.

Jotta miinukset eivät hämmentyisi, kerromme yhtälön -1:llä. Saamme:

Siinä kaikki! Ratkaisu on ilo!

Tehdään siis yhteenveto aiheesta.

Käytännön neuvoja:

1. Ennen ratkaisemista tuomme toisen asteen yhtälön vakiomuotoon ja rakennamme sen Oikein.

2. Jos edessä on neliö X negatiivinen kerroin, poistamme sen kertomalla koko yhtälön -1:llä.

3. Jos kertoimet ovat murto-osia, poistamme murtoluvut kertomalla koko yhtälön vastaavalla kertoimella.

4. Jos x neliö on puhdas, sen kerroin on yksi, ratkaisu voidaan helposti varmistaa Vietan lauseella. Tee se!

Nyt voimme päättää.)

Ratkaise yhtälöt:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastaukset (sekaisin):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - mikä tahansa numero

x 1 = -3
x 2 = 3

ei ratkaisuja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sopiiko kaikki? Loistava! Neliöyhtälöt eivät ole sinun juttusi päänsärky. Kolme ensimmäistä toimi, mutta loput eivät? Sitten ongelma ei ole toisen asteen yhtälöissä. Ongelma on identtisissä yhtälöiden muunnoksissa. Katso linkki, se on hyödyllinen.

Ei ihan onnistu? Vai eikö se onnistu ollenkaan? Sitten § 555 auttaa sinua. Kaikki nämä esimerkit on eritelty siellä. Näytetään pää virheitä ratkaisussa. Tietenkin puhumme myös identtisten muunnosten käytöstä erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Auttaa paljon!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tämä aihe saattaa aluksi tuntua monimutkaiselta monien ei niin yksinkertaisten kaavojen vuoksi. Paitsi, että asteen yhtälöillä itsessään on pitkiä merkintöjä, myös juuret löytyvät diskriminantin kautta. Yhteensä saadaan kolme uutta kaavaa. Ei kovin helppo muistaa. Tämä on mahdollista vasta, kun tällaisia ​​yhtälöitä on ratkaistu usein. Sitten kaikki kaavat muistavat itsestään.

Yleinen näkymä toisen asteen yhtälöstä

Tässä ehdotamme niiden nimenomaista tallennusta, kun suurin tutkinto kirjoitetaan ensin ja sitten laskevassa järjestyksessä. Usein on tilanteita, joissa ehdot ovat ristiriidassa. Silloin on parempi kirjoittaa yhtälö uudelleen muuttujan asteen mukaiseen laskevaan järjestykseen.

Otetaan käyttöön jokin merkintä. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa.

Jos hyväksymme nämä merkinnät, kaikki toisen asteen yhtälöt pelkistetään seuraavaan merkintään.

Lisäksi kerroin a ≠ 0. Merkitään tämä kaava numero yksi.

Kun yhtälö annetaan, ei ole selvää, kuinka monta juuria vastauksessa on. Koska yksi kolmesta vaihtoehdosta on aina mahdollinen:

• ratkaisulla on kaksi juurta;
• vastaus on yksi numero;
• yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan.

Ja ennen kuin päätös on tehty, on vaikea ymmärtää, mikä vaihtoehto esiintyy tietyssä tapauksessa.

Toissijaisten yhtälöiden tallennustyypit

Tehtävissä voi olla erilaisia ​​merkintöjä. Ne eivät aina näytä yleiseltä toisen asteen yhtälön kaavalta. Joskus siitä puuttuu joitain termejä. Yllä kirjoitettu on täydellinen yhtälö. Jos poistat siitä toisen tai kolmannen termin, saat jotain muuta. Näitä tietueita kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, vain epätäydellisiksi.

Lisäksi vain termit, joilla on kertoimet "b" ja "c", voivat kadota. Luku "a" ei voi missään olosuhteissa olla yhtä suuri kuin nolla. Koska tässä tapauksessa kaava tulee lineaarinen yhtälö. Kaavat epätäydelliselle yhtälömuodolle ovat seuraavat:

Täydellisten yhtälöiden lisäksi on siis vain kaksi tyyppiä. Olkoon ensimmäinen kaava numero kaksi ja toinen - kolme.

Erotteleva ja juurten lukumäärän riippuvuus sen arvosta

Sinun on tiedettävä tämä luku, jotta voit laskea yhtälön juuret. Se voidaan aina laskea riippumatta siitä, mikä toisen asteen yhtälön kaava on. Diskriminantin laskemiseksi sinun on käytettävä alla olevaa yhtälöä, jolla on numero neljä.

Kun kerroinarvot on korvattu tähän kaavaan, voit saada numeroita erilaisia ​​merkkejä. Jos vastaus on kyllä, yhtälön vastaus on kaksi eri juuria. Jos luku on negatiivinen, toisen asteen yhtälön juuria ei ole. Jos se on yhtä suuri kuin nolla, on vain yksi vastaus.

Kuinka ratkaista täydellinen toisen asteen yhtälö?

Itse asiassa tämän asian pohtiminen on jo aloitettu. Koska ensin sinun on löydettävä syrjintä. Kun on määritetty, että toisen asteen yhtälöllä on juuria ja niiden lukumäärä on tiedossa, sinun on käytettävä muuttujien kaavoja. Jos juuria on kaksi, sinun on sovellettava seuraavaa kaavaa.

Koska se sisältää ±-merkin, arvoja on kaksi. Neliöjuuren alla oleva lauseke on diskriminantti. Siksi kaava voidaan kirjoittaa uudelleen eri tavalla.

Kaava numero viisi. Samasta tietueesta on selvää, että jos diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, niin molemmat juuret ottavat samat arvot.

Jos toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista ei ole vielä kehitetty, on parempi kirjoittaa kaikkien kertoimien arvot muistiin ennen erottelu- ja muuttujakaavojen soveltamista. Myöhemmin tämä hetki ei aiheuta vaikeuksia. Mutta heti alussa on hämmennystä.

Kuinka ratkaista epätäydellinen toisen asteen yhtälö?

Täällä kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Ei edes tarvita lisäkaavoja. Ja niitä, jotka on jo kirjoitettu erottelijoille ja tuntemattomille, ei tarvita.

Katsotaanpa ensin epätäydellistä yhtälöä numero kaksi. Tässä yhtälössä on tarpeen ottaa tuntematon määrä pois suluista ja ratkaista lineaarinen yhtälö, joka jää suluissa. Vastauksella on kaksi juurta. Ensimmäinen on välttämättä nolla, koska siinä on kertoja, joka koostuu itse muuttujasta. Toinen saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälö.

Epätäydellinen yhtälö numero kolme ratkaistaan ​​siirtämällä lukua yhtälön vasemmalta puolelta oikealle. Sitten sinun on jaettava tuntematonta päin olevalla kertoimella. Jäljelle jää vain poimia neliöjuuri ja muistaa kirjoittaa se ylös kahdesti vastakkaisilla merkeillä.

Alla on joitain toimintoja, jotka auttavat sinua oppimaan ratkaisemaan kaikenlaisia ​​yhtälöitä, jotka muuttuvat toisen asteen yhtälöiksi. Ne auttavat opiskelijaa välttämään huolimattomuudesta johtuvia virheitä. Nämä puutteet aiheuttavat huonoja arvosanoja tutkittaessa laajaa aihetta ”Kvadraattiset yhtälöt (luokka 8).” Myöhemmin näitä toimintoja ei tarvitse suorittaa jatkuvasti. Koska vakaa taito tulee näkyviin.

• Ensin sinun on kirjoitettava yhtälö vakiomuodossa. Eli ensin termi, jolla on muuttujan suurin aste, ja sitten - ilman astetta ja viimeisenä - vain numero.

• Jos miinus ilmestyy ennen kerrointa "a", se voi vaikeuttaa toisen asteen yhtälöitä opiskelevan aloittelijan työtä. Siitä on parempi päästä eroon. Tätä tarkoitusta varten koko yhtäläisyys on kerrottava "-1":llä. Tämä tarkoittaa, että kaikkien termien merkki muuttuu päinvastaiseksi.

• On suositeltavaa päästä eroon fraktioista samalla tavalla. Yksinkertaisesti kerrotaan yhtälö sopivalla kertoimella niin, että nimittäjät kumoutuvat.

Esimerkkejä

Se on tarpeen ratkaista seuraavat toisen asteen yhtälöt:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ensimmäinen yhtälö: x 2 − 7x = 0. Se on epätäydellinen, joten se ratkaistaan ​​kaavan numero kaksi kuvatulla tavalla.

Kun se on otettu pois suluista, käy ilmi: x (x - 7) = 0.

Ensimmäinen juuri saa arvon: x 1 = 0. Toinen saadaan lineaarisesta yhtälöstä: x - 7 = 0. On helppo nähdä, että x 2 = 7.

Toinen yhtälö: 5x 2 + 30 = 0. Jälleen epätäydellinen. Vain se ratkaistaan ​​kolmannelle kaavalle kuvatulla tavalla.

Siirrettyään 30 yhtälön oikealle puolelle: 5x 2 = 30. Nyt sinun täytyy jakaa 5:llä. Osoittautuu: x 2 = 6. Vastaukset ovat numerot: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Kolmas yhtälö: 15 − 2х − x 2 = 0. Tässä ja edelleen toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen alkaa niiden uudelleenkirjoittamisesta vakionäkymä: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nyt on aika käyttää toista hyödyllisiä neuvoja ja kerro kaikki miinus yhdellä. Osoittautuu, että x 2 + 2x - 15 = 0. Neljännen kaavan avulla sinun on laskettava diskriminantti: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Se on positiivinen luku. Edellä esitetystä käy ilmi, että yhtälöllä on kaksi juuria. Ne on laskettava viidennen kaavan avulla. Osoittautuu, että x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Sitten x 1 = 3, x 2 = -5.

Neljäs yhtälö x 2 + 8 + 3x = 0 muunnetaan seuraavaksi: x 2 + 3x + 8 = 0. Sen diskriminantti on yhtä suuri kuin tämä arvo: -23. Koska tämä luku on negatiivinen, vastaus tähän tehtävään on seuraava: "Ei ole juuria."

Viides yhtälö 12x + x 2 + 36 = 0 tulee kirjoittaa uudelleen seuraavasti: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminantin kaavan soveltamisen jälkeen saadaan luku nolla. Tämä tarkoittaa, että sillä on yksi juuri, nimittäin: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Kuudes yhtälö (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vaatii muunnoksia, jotka koostuvat siitä, että sinun on tuotava samanlaiset termit avaamalla ensin sulut. Ensimmäisen tilalle tulee seuraava lauseke: x 2 + 2x + 1. Yhtälön jälkeen ilmestyy tämä merkintä: x 2 + 3x + 2. Kun vastaavat termit on laskettu, yhtälö saa muotoa: x 2 - x = 0. Siitä on tullut epätäydellinen . Jotain vastaavaa on jo keskusteltu hieman korkeammalla. Tämän juuret ovat luvut 0 ja 1.

Myös toisen asteen yhtälön ongelmia tutkitaan koulun opetussuunnitelma ja yliopistoissa. Ne tarkoittavat yhtälöitä muotoa a*x^2 + b*x + c = 0, missä x- muuttuja, a, b, c – vakiot; a<>0 . Tehtävänä on löytää yhtälön juuret.

Toisen yhtälön geometrinen merkitys

Toisen yhtälön esittämän funktion kuvaaja on paraabeli. Neliöyhtälön ratkaisut (juuret) ovat paraabelin ja abskissa (x) -akselin leikkauspisteitä. Tästä seuraa, että mahdollisia tapauksia on kolme:
1) paraabelilla ei ole leikkauspisteitä abskissa-akselin kanssa. Tämä tarkoittaa, että se on ylätasossa oksat ylöspäin tai alaosassa oksat alaspäin. Tällaisissa tapauksissa toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria (sillä on kaksi monimutkaista juuria).

2) paraabelilla on yksi leikkauspiste Ox-akselin kanssa. Tällaista pistettä kutsutaan paraabelin kärjeksi, ja siinä oleva toisen asteen yhtälö saa minimi- tai maksimiarvonsa. Tässä tapauksessa toisen asteen yhtälöllä on yksi todellinen juuri (tai kaksi identtistä juuria).

3) Viimeinen tapaus on käytännössä mielenkiintoisempi - paraabelilla on kaksi leikkauspistettä abskissa-akselin kanssa. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi todellista juurta.

Muuttujien potenssien kertoimien analyysin perusteella voidaan tehdä mielenkiintoisia johtopäätöksiä paraabelin sijoituksesta.

1) Jos kerroin a on suurempi kuin nolla, paraabelin haarat suunnataan ylöspäin, jos se on negatiivinen, paraabelin haarat suunnataan alaspäin.

2) Jos kerroin b on suurempi kuin nolla, niin paraabelin kärki sijaitsee vasemmalla puolitasolla, jos se saa negatiivisen arvon, niin oikealla.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi

Siirretään vakio toisen asteen yhtälöstä

yhtäläisyysmerkille saamme lausekkeen

Kerro molemmat puolet 4a:lla

Saadaksesi täydellinen neliö vasemmalle lisäämällä b^2 molemmille puolille ja suorittamalla muunnos

Täältä löydämme

Kaava toisen asteen yhtälön diskriminantille ja juurelle

Diskriminantti on radikaalilausekkeen arvo. Jos se on positiivinen, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta, jotka lasketaan kaavalla Kun erottaja on nolla, yhtälöllä on yksi ratkaisu (kaksi yhtäläistä juuria), joka saadaan helposti yllä olevasta kaavasta D=0:lle. Kuitenkin toisen asteen yhtälön ratkaisut löytyvät kompleksitasosta ja niiden arvo lasketaan kaavalla

Vietan lause

Tarkastellaan toisen asteen yhtälön kahta juuria ja rakennetaan niiden perusteella itse Vietan lause: jos meillä on muodon toisen asteen yhtälö. silloin sen juurten summa on yhtä suuri kuin kerroin p, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja yhtälön juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi q. Yllä olevan kaavaesitys näyttää tältä: Jos klassisessa yhtälössä vakio a on nollasta poikkeava, sinun on jaettava koko yhtälö sillä ja sitten sovelletaan Vietan lausetta.

Factoring toisen asteen yhtälön aikataulu

Tehdään tehtävä: kerrotaan toisen asteen yhtälö. Tätä varten ratkaisemme ensin yhtälön (etsi juuret). Seuraavaksi korvaamme löydetyt juuret toisen asteen yhtälön laajennuskaavassa. Tämä ratkaisee ongelman.

Neliöyhtälön ongelmat

Tehtävä 1. Etsi toisen asteen yhtälön juuret

x^2-26x+120=0 .

Ratkaisu: Kirjoita kertoimet muistiin ja korvaa ne erottelukaavalla

Juuri annettu arvo on yhtä suuri kuin 14, se on helppo löytää laskimella tai muistaa säännöllisellä käytöllä, mutta mukavuuden vuoksi annan sinulle artikkelin lopussa luettelon numeroneliöistä, joita voidaan usein kohdata tällaisissa ongelmissa.
Korvaamme löydetyn arvon juurikaavaan

ja saamme

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö

2x 2 +x-3 = 0.

Ratkaisu: Meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö, kirjoita kertoimet ja löydä diskriminantti


Tunnettujen kaavojen avulla löydämme toisen asteen yhtälön juuret

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö

9x2 -12x+4=0.

Ratkaisu: Meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö. Diskriminantin määrittäminen

Meillä on tapaus, jossa juuret ovat samat. Etsi juurien arvot kaavan avulla

Tehtävä 4. Ratkaise yhtälö

x^2+x-6=0 .

Ratkaisu: Tapauksissa, joissa x:n kertoimet ovat pienet, on suositeltavaa soveltaa Vietan lausetta. Sen ehdolla saamme kaksi yhtälöä

Toisesta ehdosta huomaamme, että tuotteen on oltava yhtä suuri kuin -6. Tämä tarkoittaa, että yksi juurista on negatiivinen. Meillä on seuraavat mahdolliset ratkaisuparit (-3;2), (3;-2) . Kun otetaan huomioon ensimmäinen ehto, hylkäämme toisen ratkaisuparin.
Yhtälön juuret ovat yhtä suuret

Tehtävä 5. Laske suorakulmion sivujen pituudet, jos sen ympärysmitta on 18 cm ja pinta-ala 77 cm 2.

Ratkaisu: Puolet suorakulmion kehästä on yhtä suuri kuin summa naapuripuolueet. Merkitään x isommaksi sivuksi, jolloin 18-x on sen pienempi sivu. Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden pituuksien tulo:
x(18-x) = 77;
tai
x 2 -18x+77=0.
Etsitään yhtälön diskriminantti

Yhtälön juurten laskeminen

Jos x=11, Että 18's = 7 , päinvastoin on myös totta (jos x=7, niin 21s=9).

Tehtävä 6. Kerroin toisen asteen yhtälölle 10x 2 -11x+3=0.

Ratkaisu: Lasketaan yhtälön juuret, tätä varten löydämme diskriminantin

Korvaamme löydetyn arvon juurikaavaan ja laskemme

Käytämme kaavaa toisen asteen yhtälön hajottamiseksi juurilla

Avaamalla sulut saamme identiteetin.

Neliöyhtälö parametrin kanssa

Esimerkki 1. Millä parametriarvoilla A , onko yhtälöllä (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 yksi juuri?

Ratkaisu: Korvaamalla suoraan arvon a=3 näemme, että sillä ei ole ratkaisua. Seuraavaksi käytämme sitä tosiasiaa, että nolladiskriminantilla yhtälöllä on yksi monikertaisyyden 2 juuri. Kirjoitetaan eroava tekijä

Yksinkertaistetaan se ja rinnastetaan se nollaan

Olemme saaneet parametrin a suhteen toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisu saadaan helposti Vietan lauseella. Juurien summa on 7 ja niiden tulo on 12. Yksinkertaisella haulla saadaan selville, että luvut 3,4 ovat yhtälön juuret. Koska hylkäsimme ratkaisun a=3 jo laskelmien alussa, ainoa oikea on - a = 4. Siten, kun a=4 yhtälöllä on yksi juuri.

Esimerkki 2. Millä parametriarvoilla A , yhtälö a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 onko enemmän kuin yksi juuri?

Ratkaisu: Tarkastellaan ensin singulaaripisteitä, ne ovat arvot a=0 ja a=-3. Kun a=0, yhtälö yksinkertaistuu muotoon 6x-9=0; x=3/2 ja siellä on yksi juuri. Kohdalle a= -3 saadaan identiteetti 0=0.
Lasketaan diskriminantti

ja etsi a:n arvo, jolla se on positiivinen

Ensimmäisestä ehdosta saamme a>3. Toiselle löydämme yhtälön diskriminantin ja juuret


Määritetään funktion aikavälit positiiviset arvot. Korvaamalla pisteen a=0 saamme 3>0 . Eli välin (-3;1/3) ulkopuolella funktio on negatiivinen. Älä unohda pointtia a=0, joka tulisi jättää pois, koska alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri.
Tuloksena saadaan kaksi aikaväliä, jotka täyttävät ongelman ehdot

Käytännössä tulee olemaan monia vastaavia tehtäviä, yritä selvittää tehtävät itse ja älä unohda ottaa huomioon ehtoja, jotka sulkevat toisensa pois. Opiskele hyvin toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavoja, joita tarvitaan usein laskelmissa erilaisissa tehtävissä ja tieteissä.

SISÄÄN moderni yhteiskunta kyky suorittaa operaatioita yhtälöillä, jotka sisältävät muuttujan neliön, voi olla hyödyllinen monilla toiminta-alueilla ja sitä käytetään laajasti käytännössä tieteellisessä ja tekninen kehitys. Tästä on todisteita meri- ja jokialusten, lentokoneiden ja rakettien suunnittelusta. Tällaisten laskelmien avulla määritetään monenlaisten kappaleiden, mukaan lukien avaruusobjektien, liikeradat. Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta ei käytetä vain taloudellisessa ennustamisessa, rakennusten suunnittelussa ja rakentamisessa, vaan myös tavallisimmissa arjen olosuhteissa. Niitä voidaan tarvita vaellusmatkoilla, urheilutapahtumissa, kaupoissa ostoksia tehdessä ja muissa hyvin yleisissä tilanteissa.

Jaetaan lauseke sen komponenttitekijöihin

Yhtälön aste määräytyy lausekkeen sisältämän muuttujan asteen maksimiarvon mukaan. Jos se on yhtä suuri kuin 2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi.

Jos puhumme kaavojen kielellä, osoitetut lausekkeet, riippumatta siitä, miltä ne näyttävät, voidaan aina tuoda muotoon, kun lausekkeen vasen puoli koostuu kolmesta termistä. Niiden joukossa: ax 2 (eli muuttuja neliöity sen kertoimella), bx (tuntematon ilman neliötä kertoimella) ja c (vapaa komponentti, eli tavallinen luku). Kaikki tämä oikealla puolella on yhtä kuin 0. Siinä tapauksessa, että tällaisesta polynomista puuttuu jokin sen muodostavista ehdoista, lukuun ottamatta akselia 2, sitä kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi. Esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisusta, joiden muuttujien arvot on helppo löytää, tulisi harkita ensin.

Jos lausekkeen oikealla puolella näyttää olevan kaksi termiä, tarkemmin ax 2 ja bx, helpoin tapa löytää x on jättää muuttuja pois suluista. Nyt yhtälömme näyttää tältä: x(ax+b). Seuraavaksi käy ilmi, että joko x=0 tai ongelma johtuu muuttujan löytämisestä seuraavasta lausekkeesta: ax+b=0. Tämän sanelee yksi kertolaskujen ominaisuuksista. Sääntö sanoo, että kahden tekijän tulo on 0 vain, jos toinen niistä on nolla.

Esimerkki

x = 0 tai 8x - 3 = 0

Tuloksena saadaan kaksi yhtälön juuria: 0 ja 0,375.

Tällaisilla yhtälöillä voidaan kuvata painovoiman vaikutuksesta olevien kappaleiden liikettä, joka alkoi liikkua tietystä koordinaattien origoksi otetusta pisteestä. Tässä matemaattinen merkintä on seuraavassa muodossa: y = v 0 t + gt 2 /2. Korvaamalla tarvittavat arvot, rinnastamalla oikean puolen 0:aan ja etsimällä mahdollisia tuntemattomia saat selville ajan, joka kuluu kehon nousuhetkestä putoamiseen, sekä monia muita suureita. Mutta puhumme tästä myöhemmin.

Ilmaisun faktorointi

Yllä kuvattu sääntö mahdollistaa näiden ongelmien ratkaisemisen laajemmin vaikeita tapauksia. Katsotaanpa esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tämä neliöllinen trinomi on valmis. Ensin muutetaan lauseke ja kerrotaan se. Niitä on kaksi: (x-8) ja (x-25) = 0. Tämän seurauksena meillä on kaksi juuria 8 ja 25.

Esimerkit toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta arvosanalla 9 sallivat tämän menetelmän löytää muuttujan lausekkeista, jotka eivät ole vain toisen, vaan jopa kolmannen ja neljännen kertaluvun lausekkeita.

Esimerkiksi: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kun lasketaan oikea puoli tekijöiksi muuttujan kanssa, niitä on kolme, eli (x+1), (x-3) ja (x+) 3).

Tämän seurauksena tulee ilmeiseksi, että tällä yhtälöllä on kolme juuria: -3; -1; 3.

Neliöjuuri

Toinen epätäydellisen toisen kertaluvun yhtälön tapaus on lauseke, joka esitetään kirjainten kielellä siten, että oikea puoli muodostetaan komponenteista ax 2 ja c. Tässä muuttujan arvon saamiseksi vapaa termi siirretään kohtaan oikea puoli, ja sen jälkeen poimimme tasa-arvon molemmilta puolilta Neliöjuuri. On huomattava, että tässä tapauksessa yhtälöllä on yleensä kaksi juuria. Ainoat poikkeukset voivat olla yhtäläisyydet, jotka eivät sisällä lainkaan termiä kanssa, joissa muuttuja on yhtä suuri kuin nolla, sekä lausekkeiden muunnelmat, kun oikea puoli on negatiivinen. Jälkimmäisessä tapauksessa ratkaisuja ei ole ollenkaan, koska yllä olevia toimintoja ei voida suorittaa juurilla. Esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisuista tulee harkita.

Tässä tapauksessa yhtälön juuret ovat numerot -4 ja 4.

Maa-alueen laskeminen

Tällaisten laskelmien tarve ilmaantui muinaisina aikoina, koska matematiikan kehitys oli pitkälti niissä kaukaisia ​​aikoja johtui tarpeesta määrittää suurimmalla tarkkuudella tonttien pinta-alat ja ympärysmitat.

Meidän tulisi myös harkita esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta tällaisten ongelmien pohjalta.

Oletetaan siis, että on suorakaiteen muotoinen tontti, jonka pituus on 16 metriä suurempi kuin leveys. Selvitä tontin pituus, leveys ja ympärysmitta, jos tiedät, että sen pinta-ala on 612 m2.

Aloita luomalla ensin tarvittava yhtälö. Merkitään x:llä alueen leveys, jolloin sen pituus on (x+16). Kirjoitetuista seuraa, että alueen määrää lauseke x(x+16), joka ongelmamme ehtojen mukaan on 612. Tämä tarkoittaa, että x(x+16) = 612.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen, ja tämä lauseke on juuri sitä, ei voi tehdä samalla tavalla. Miksi? Vaikka vasemmalla puolella on edelleen kaksi tekijää, niiden tulo ei ole ollenkaan 0, joten tässä käytetään erilaisia ​​menetelmiä.

Syrjivä

Ensin tehdään sitten tarvittavat muutokset ulkomuoto Tämän lausekkeen lauseke näyttää tältä: x 2 + 16x - 612 = 0. Tämä tarkoittaa, että olemme saaneet lausekkeen aiemmin määritettyä standardia vastaavassa muodossa, jossa a=1, b=16, c=-612.

Tämä voisi olla esimerkki toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta erottimen avulla. Tässä tarvittavat laskelmat valmistetaan kaavion mukaisesti: D = b 2 - 4ac. Tämä apusuure ei ainoastaan ​​mahdollista tarvittavien määrien löytämistä toisen kertaluvun yhtälöstä, vaan se määrittää mahdollisten vaihtoehtojen määrän. Jos D>0, niitä on kaksi; kun D=0 on yksi juuri. Tapauksessa D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tietoja juurista ja niiden kaavasta

Meidän tapauksessamme diskriminantti on yhtä suuri kuin: 256 - 4(-612) = 2704. Tämä viittaa siihen, että ongelmallamme on vastaus. Jos tiedät k:n, on toisen asteen yhtälöiden ratkaisua jatkettava alla olevalla kaavalla. Sen avulla voit laskea juuret.

Tämä tarkoittaa, että esitetyssä tapauksessa: x 1 =18, x 2 =-34. Toinen vaihtoehto tässä dilemmassa ei voi olla ratkaisu, koska tontin mittoja ei voida mitata negatiivisina suureina, mikä tarkoittaa, että x (eli tontin leveys) on 18 m Tästä lasketaan pituus: 18 +16=34, ja ympärysmitta 2(34+ 18)=104(m2).

Esimerkkejä ja tehtäviä

Jatkamme toisen asteen yhtälöiden tutkimista. Esimerkkejä ja yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja useista niistä annetaan alla.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Siirretään kaikki yhtälön vasemmalle puolelle, tehdään muunnos, eli saadaan yhtälön muoto, jota yleensä kutsutaan standardiksi, ja rinnastetaan se nollaan.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Lisäämällä samanlaiset, määritämme diskriminantin: D = 49 - 48 = 1. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllämme on kaksi juuria. Lasketaan ne yllä olevan kaavan mukaan, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen niistä on 4/3 ja toinen 1.

2) Ratkaistaan ​​nyt toisenlaisia ​​mysteereitä.

Selvitetään onko tässä juuria x 2 - 4x + 5 = 1? Kattavan vastauksen saamiseksi pelkistetään polynomi vastaavaan tavanomaiseen muotoon ja lasketaan diskriminantti. Yllä olevassa esimerkissä toisen asteen yhtälöä ei tarvitse ratkaista, koska tämä ei ole ongelman ydin. Tässä tapauksessa D = 16 - 20 = -4, mikä tarkoittaa, että juuria ei todellakaan ole.

Vietan lause

Neliöyhtälöitä on kätevää ratkaista yllä olevilla kaavoilla ja diskriminantilla, kun neliöjuuri otetaan jälkimmäisen arvosta. Mutta näin ei aina tapahdu. Tässä tapauksessa on kuitenkin monia tapoja saada muuttujien arvot. Esimerkki: toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen Vietan lauseen avulla. Hän on nimetty sen mukaan, joka asui 1500-luvulla Ranskassa ja teki loistavan uran matemaattisen kykynsä ja hoviyhteyksiensä ansiosta. Hänen muotokuvansa on nähtävissä artikkelissa.

Malli, jonka kuuluisa ranskalainen huomasi, oli seuraava. Hän osoitti, että yhtälön juuret laskevat numeerisesti yhteen -p=b/a ja niiden tulo vastaa q=c/a.

Katsotaan nyt tiettyjä tehtäviä.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Muunnetaan lauseke yksinkertaisuuden vuoksi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Käytetään Vietan lausetta, joka antaa meille seuraavan: juurien summa on -7 ja niiden tulo on -18. Tästä saadaan, että yhtälön juuret ovat luvut -9 ja 2. Tarkistuksen jälkeen varmistetaan, että nämä muuttujien arvot todella sopivat lausekkeeseen.

Paraabelikuvaaja ja yhtälö

Neliöfunktion ja asteen yhtälöiden käsitteet liittyvät läheisesti toisiinsa. Esimerkkejä tästä on annettu jo aiemmin. Katsotaanpa nyt joitain matemaattisia arvoituksia hieman yksityiskohtaisemmin. Mikä tahansa kuvatun tyyppinen yhtälö voidaan esittää visuaalisesti. Tällaista kaaviona piirrettyä suhdetta kutsutaan paraabeliksi. Sen eri tyypit on esitetty alla olevassa kuvassa.

Jokaisella paraabelilla on kärkipiste, eli piste, josta sen haarat tulevat esiin. Jos a>0, ne menevät korkealta äärettömään, ja kun a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktioiden visuaaliset esitykset auttavat ratkaisemaan kaikki yhtälöt, myös neliölliset. Tätä menetelmää kutsutaan graafiseksi. Ja x-muuttujan arvo on abskissa-koordinaatti pisteissä, joissa kuvaajaviiva leikkaa 0x:n. Huippupisteen koordinaatit löytyvät juuri annetun kaavan avulla x 0 = -b/2a. Ja korvaamalla saadun arvon funktion alkuperäiseen yhtälöön, saat selville y 0, eli paraabelin kärjen toisen koordinaatin, joka kuuluu ordinaatta-akseliin.

Paraabelin haarojen leikkaus abskissa-akselin kanssa

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta on paljon, mutta on myös yleisiä malleja. Katsotaanpa niitä. On selvää, että kaavion leikkaus 0x-akselin kanssa a>0:lle on mahdollista vain, jos y 0 negatiiviset arvot. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muuten D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Paraabelin kaaviosta voit myös määrittää juuret. Myös päinvastoin on totta. Eli jos toisen asteen funktion visuaalista esitystä ei ole helppo saada, voit rinnastaa lausekkeen oikean puolen 0:aan ja ratkaista tuloksena olevan yhtälön. Ja kun tiedät leikkauspisteet 0x-akselin kanssa, on helpompi rakentaa kuvaaja.

Historiasta

Neliömuuttujan sisältävien yhtälöiden avulla ennen vanhaan ei tehty vain matemaattisia laskelmia ja määritetty geometristen kuvioiden pinta-alat. Muinaiset tarvitsivat tällaisia ​​laskelmia suuria löytöjä varten fysiikan ja tähtitieteen aloilla sekä astrologisten ennusteiden tekemiseen.

Kuten nykyajan tiedemiehet ehdottavat, Babylonin asukkaat olivat ensimmäisten joukossa, jotka ratkaisivat toisen asteen yhtälöitä. Tämä tapahtui neljä vuosisataa ennen aikakauttamme. Tietenkin heidän laskelmansa poikkesivat radikaalisti nykyisistä hyväksytyistä ja osoittautuivat paljon primitiivisemmiksi. Esimerkiksi Mesopotamian matemaatikoilla ei ollut aavistustakaan negatiivisten lukujen olemassaolosta. He eivät myöskään tunteneet muita hienouksia, jotka jokainen moderni koululainen tietää.

Ehkä jopa aikaisemmin kuin Babylonin tiedemiehet, intialainen viisas Baudhayama alkoi ratkaista toisen asteen yhtälöitä. Tämä tapahtui noin kahdeksan vuosisataa ennen Kristuksen aikakautta. Totta, toisen asteen yhtälöt, hänen esittämänsä ratkaisumenetelmät, olivat yksinkertaisimpia. Hänen lisäksi kiinalaiset matemaatikot olivat entisaikaan kiinnostuneita vastaavista kysymyksistä. Euroopassa neliöyhtälöitä alettiin ratkaista vasta 1200-luvun alussa, mutta myöhemmin niitä käyttivät töissään sellaiset suuret tiedemiehet kuin Newton, Descartes ja monet muut.

Jatkaen aihetta "Yhtälöiden ratkaiseminen", tämän artikkelin materiaali esittelee sinulle toisen asteen yhtälöitä.

Tarkastellaan kaikkea yksityiskohtaisesti: toisen asteen yhtälön olemus ja merkintä, määritellään mukana tulevat termit, analysoidaan epätäydellisten ja täydellisten yhtälöiden ratkaisumalli, tutustutaan juurien ja erottimen kaavaan, luodaan yhteydet juurien ja kertoimien välille, ja tietysti annamme visuaalisen ratkaisun käytännön esimerkkeihin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neliöyhtälö, sen tyypit

Määritelmä 1

Toisen asteen yhtälö on yhtälö, joka on kirjoitettu muodossa a x 2 + b x + c = 0, Missä x– muuttuja, a , b ja c– joitakin numeroita, vaikka a ei ole nolla.

Usein toisen asteen yhtälöitä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, koska pohjimmiltaan neliöyhtälö on toisen asteen algebrallinen yhtälö.

Annamme esimerkin havainnollistamaan annettua määritelmää: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. Nämä ovat toisen asteen yhtälöitä.

Määritelmä 2

Numerot a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimet a x 2 + b x + c = 0, kun taas kerroin a kutsutaan ensimmäiseksi, tai vanhemmiksi, tai kertoimeksi x 2, b - toiseksi kertoimeksi tai kertoimeksi at x, A c kutsutaan vapaaksi jäseneksi.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 johtava kerroin on 6, toinen kerroin on − 2 , ja vapaa termi on yhtä suuri kuin − 11 . Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että kun kertoimet b ja/tai c ovat negatiivisia, silloin käytetään muodon lyhyttä muotoa 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mutta ei 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Selvitetään myös tämä näkökohta: jos kertoimet a ja tai b yhtä suuri 1 tai − 1 , silloin he eivät välttämättä osallistu nimenomaisesti toisen asteen yhtälön kirjoittamiseen, mikä selittyy osoitettujen numeeristen kertoimien kirjoittamisen erityispiirteillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä y 2 − y + 7 = 0 johtava kerroin on 1 ja toinen kerroin on − 1 .

Pelkistetyt ja pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen kertoimen arvon perusteella toisen asteen yhtälöt jaetaan pelkistettyihin ja pelkistymättömiin.

Määritelmä 3

Supistettu toisen asteen yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka johtava kerroin on 1. Muille johtavan kertoimen arvoille toisen asteen yhtälö ei ole pelkistynyt.

Otetaan esimerkkejä: toisen asteen yhtälöt x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 pelkistetään, joissa jokaisessa johtava kerroin on 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- pelkistämätön neliöyhtälö, jossa ensimmäinen kerroin on eri kuin 1 .

Mikä tahansa pelkistämätön toisen asteen yhtälö voidaan muuntaa pelkistetyksi yhtälöksi jakamalla molemmat puolet ensimmäisellä kertoimella (ekvivalentti muunnos). Muunnetulla yhtälöllä on samat juuret kuin annetulla pelkistämättömällä yhtälöllä tai sillä ei myöskään ole juuria ollenkaan.

Tietyn esimerkin tarkastelu antaa meille mahdollisuuden osoittaa selvästi siirtyminen pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä pelkistettyyn.

Esimerkki 1

Kun yhtälö 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Alkuperäinen yhtälö on muutettava pelkistettyyn muotoon.

Ratkaisu

Yllä olevan kaavion mukaan jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat puolet johtavalla kertoimella 6. Sitten saamme: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0:3, ja tämä on sama kuin: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ja kauemmas: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Täältä: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Näin saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä.

Vastaus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täydelliset ja epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Siirrytään toisen asteen yhtälön määritelmään. Siinä määritimme sen a ≠ 0. Samanlainen ehto on välttämätön yhtälölle a x 2 + b x + c = 0 oli täsmälleen neliö, koska klo a = 0 se muuttuu olennaisesti lineaariseksi yhtälöksi b x + c = 0.

Siinä tapauksessa, että kertoimet b Ja c ovat yhtä suuria kuin nolla (mikä on mahdollista sekä erikseen että yhdessä), toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

Määritelmä 4

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö- sellainen toisen asteen yhtälö a x 2 + b x + c = 0, jossa vähintään yksi kertoimista b Ja c(tai molemmat) on nolla.

Täydellinen toisen asteen yhtälö– toisen asteen yhtälö, jossa kaikki numeeriset kertoimet eivät ole nolla.

Keskustellaan siitä, miksi toisen asteen yhtälötyypeille annetaan juuri nämä nimet.

Kun b = 0, toisen asteen yhtälö saa muodon a x 2 + 0 x + c = 0, joka on sama kuin a x 2 + c = 0. klo c = 0 toisen asteen yhtälö kirjoitetaan muodossa a x 2 + b x + 0 = 0, joka on vastaava a x 2 + b x = 0. klo b = 0 Ja c = 0 yhtälö saa muodon a x 2 = 0. Saamamme yhtälöt eroavat täydellisestä toisen asteen yhtälöstä siinä, että niiden vasemmalla puolella ei ole termiä muuttujalla x, vapaata termiä tai molempia. Itse asiassa tämä tosiasia antoi nimen tämän tyyppiselle yhtälölle - epätäydellinen.

Esimerkiksi x 2 + 3 x + 4 = 0 ja − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ovat täydellisiä toisen asteen yhtälöitä; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Yllä annettu määritelmä mahdollistaa seuraavan tyyppisten epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden erottamisen:

• a x 2 = 0, tämä yhtälö vastaa kertoimia b = 0 ja c = 0;
• a x 2 + c = 0, kun b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kun c = 0.

Tarkastellaan peräkkäin jokaisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisua.

Yhtälön a x 2 =0 ratkaisu

Kuten edellä mainittiin, tämä yhtälö vastaa kertoimia b Ja c, yhtä kuin nolla. Yhtälö a x 2 = 0 voidaan muuntaa vastaavaksi yhtälöksi x 2 = 0, jonka saamme jakamalla alkuperäisen yhtälön molemmat puolet numerolla a, ei ole nolla. Ilmeinen tosiasia on, että yhtälön juuri x 2 = 0 tämä on nolla, koska 0 2 = 0 . Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä voidaan selittää asteen ominaisuuksilla: mille tahansa luvulle p, ei ole nolla, epäyhtälö on totta p 2 > 0, josta seuraa, että milloin p ≠ 0 tasa-arvo p 2 = 0 ei koskaan saavuteta.

Määritelmä 5

Siten epätäydelliselle toisen asteen yhtälölle a x 2 = 0 on yksi juuri x = 0.

Esimerkki 2

Ratkaistaan ​​esimerkiksi epätäydellinen toisen asteen yhtälö − 3 x 2 = 0. Se vastaa yhtälöä x 2 = 0, sen ainoa juuri on x = 0, niin alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri - nolla.

Lyhyesti, ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Yhtälön a x 2 + c = 0 ratkaiseminen

Seuraavaksi jonossa on epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu, jossa b = 0, c ≠ 0, eli yhtälöt muotoa a x 2 + c = 0. Muunnetaan tämä yhtälö siirtämällä termi yhtälön toiselta puolelta toiselle, muuttamalla etumerkki vastakkaiseksi ja jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla, joka ei ole nolla:

• siirtää c oikealle puolelle, joka antaa yhtälön a · x 2 = − c;
• jaa yhtälön molemmat puolet a, päädymme x = - c a .

Muunnoksemme ovat vastaavasti ekvivalentit, myös tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä, ja tämä seikka mahdollistaa johtopäätösten tekemisen yhtälön juurista. Siitä, mitä arvot ovat a Ja c lausekkeen arvo - c a riippuu: sillä voi olla miinusmerkki (esimerkiksi jos a = 1 Ja c = 2, niin - c a = - 2 1 = - 2) tai plusmerkki (esimerkiksi jos a = -2 Ja c = 6, niin - c a = - 6 - 2 = 3); se ei ole nolla, koska c ≠ 0. Tarkastellaanpa tarkemmin tilanteita, joissa - c a< 0 и - c a > 0 .

Siinä tapauksessa, kun - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s yhtälö p 2 = - c a ei voi olla tosi.

Kaikki on toisin, kun - c a > 0: muista neliöjuuri, niin käy selväksi, että yhtälön x 2 = - c a juuriksi tulee luku - c a, koska - c a 2 = - c a. Ei ole vaikea ymmärtää, että luku - - c a on myös yhtälön x 2 = - c a juuri: todellakin - - c a 2 = - c a.

Yhtälöllä ei ole muita juuria. Voimme osoittaa tämän käyttämällä ristiriitamenetelmää. Aluksi määritellään yllä olevien juurien merkinnät as x 1 Ja − x 1. Oletetaan, että yhtälöllä x 2 = - c a on myös juuri x 2, joka eroaa juurista x 1 Ja − x 1. Tiedämme sen korvaamalla yhtälön x sen juuret, muunnamme yhtälön reiluksi numeeriseksi yhtälöksi.

varten x 1 Ja − x 1 kirjoitamme: x 1 2 = - c a , ja for x 2- x 2 2 = - c a . Numeeristen yhtälöiden ominaisuuksien perusteella vähennämme yhden oikean yhtäläisyystermin toisesta, mikä antaa meille: x 1 2 − x 2 2 = 0. Käytämme operaatioiden ominaisuuksia numeroiden kanssa kirjoittaaksesi viimeinen yhtälö uudelleen muotoon (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Tiedetään, että kahden luvun tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi luvuista on nolla. Yllä olevasta seuraa, että x 1 − x 2 = 0 ja tai x 1 + x 2 = 0, joka on sama x 2 = x 1 ja tai x 2 = − x 1. Ilmeinen ristiriita syntyi, koska aluksi sovittiin, että yhtälön juuri x 2 eroaa x 1 Ja − x 1. Olemme siis osoittaneet, että yhtälöllä ei ole muita juuria kuin x = - c a ja x = - - c a.

Tehdään yhteenveto kaikista yllä olevista väitteistä.

Määritelmä 6

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + c = 0 vastaa yhtälöä x 2 = - c a, joka:

• ei ole juuria - c a< 0 ;
• on kaksi juurta x = - c a ja x = - - c a for - c a > 0.

Otetaan esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta a x 2 + c = 0.

Esimerkki 3

Annettu toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0. On tarpeen löytää ratkaisu.

Ratkaisu

Siirretään vapaa termi yhtälön oikealle puolelle, niin yhtälö saa muodon 9 x 2 = −7.
Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet luvulla 9 , saamme x 2 = - 7 9 . Oikealla puolella on numero, jossa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa: y annettu yhtälö ei juuria. Sitten alkuperäinen epätäydellinen toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei tule olemaan juuria.

Vastaus: yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Esimerkki 4

Yhtälö on ratkaistava − x 2 + 36 = 0.

Ratkaisu

Siirretään 36 oikealle puolelle: − x 2 = − 36.
Jaetaan molemmat osat − 1 , saamme x 2 = 36. Oikealla puolella on positiivinen luku, josta voimme päätellä sen x = 36 tai x = -36.
Poimitaan juuri ja kirjoitetaan muistiin lopputulos: epätäydellinen toisen asteen yhtälö − x 2 + 36 = 0 on kaksi juurta x=6 tai x = − 6.

Vastaus: x=6 tai x = − 6.

Yhtälön a x 2 +b x=0 ratkaisu

Analysoidaan kolmatta epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden tyyppiä, milloin c = 0. Löytää ratkaisu epätäydelliseen toisen asteen yhtälöön a x 2 + b x = 0, käytämme faktorointimenetelmää. Lasketaan yhtälön vasemmalla puolella oleva polynomi ottamalla yhteinen kerroin pois suluista x. Tämä vaihe mahdollistaa alkuperäisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön muuntamisen sen ekvivalentiksi x (a x + b) = 0. Ja tämä yhtälö puolestaan ​​vastaa yhtälöjoukkoa x = 0 Ja a x + b = 0. Yhtälö a x + b = 0 lineaarinen ja sen juuri: x = − b a.

Määritelmä 7

Siten epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + b x = 0 tulee olemaan kaksi juurta x = 0 Ja x = − b a.

Vahvistataanpa materiaalia esimerkillä.

Esimerkki 5

On tarpeen löytää ratkaisu yhtälölle 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Ratkaisu

Otamme sen pois x hakasulkeiden ulkopuolelle saadaan yhtälö x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Tämä yhtälö vastaa yhtälöitä x = 0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nyt sinun pitäisi ratkaista tuloksena oleva lineaarinen yhtälö: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Kirjoita yhtälön ratkaisu lyhyesti seuraavasti:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai x = 3 3 7

Vastaus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantti, kaava toisen asteen yhtälön juurille

Ratkaisujen löytämiseksi toisen asteen yhtälöihin on juurikaava:

Määritelmä 8

x = - b ± D 2 · a, missä D = b 2 − 4 a c– ns. toisen asteen yhtälön diskriminantti.

Kirjoittaminen x = - b ± D 2 · a tarkoittaa oleellisesti, että x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Olisi hyödyllistä ymmärtää, miten tämä kaava on johdettu ja kuinka sitä sovelletaan.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön juurille

Edessämme on toisen asteen yhtälön ratkaiseminen a x 2 + b x + c = 0. Suoritetaan joukko vastaavia muunnoksia:

• jaa yhtälön molemmat puolet luvulla a, eroaa nollasta, saamme seuraavan toisen asteen yhtälön: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Valitaan koko neliö tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Tämän jälkeen yhtälö saa muotoa: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nyt on mahdollista siirtää kaksi viimeistä termiä oikealle vaihtamalla etumerkki päinvastaiseksi, minkä jälkeen saadaan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Lopuksi muunnamme viimeisen yhtälön oikealle puolelle kirjoitetun lausekkeen:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Siten saamme yhtälöön x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , joka vastaa alkuperäistä yhtälöä a x 2 + b x + c = 0.

Tarkastelimme tällaisten yhtälöiden ratkaisua edellisissä kappaleissa (epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen). Jo saatu kokemus mahdollistaa johtopäätöksen yhtälön x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurista:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 kanssa< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kun b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, yhtälö on x + b 2 · a 2 = 0, niin x + b 2 · a = 0.

Tästä eteenpäin ainoa juuri x = - b 2 · a on ilmeinen;

• kun b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, seuraava pitää paikkansa: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tai x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , joka on sama kuin x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tai x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, ts. yhtälöllä on kaksi juuria.

Voidaan päätellä, että yhtälön x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (ja siten alkuperäinen yhtälö) juurten olemassaolo tai puuttuminen riippuu lausekkeen b etumerkistä. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 kirjoitettu oikealle puolelle. Ja tämän lausekkeen merkin antaa osoittajan merkki, (nimittäjä 4 ja 2 on aina positiivinen), eli ilmaisun merkki b 2 − 4 a c. Tämä ilmaus b 2 − 4 a c nimi on annettu - toisen asteen yhtälön erottaja ja kirjain D määritellään sen nimitykseksi. Täällä voit kirjoittaa erottimen olemuksen - sen arvon ja merkin perusteella he voivat päätellä, onko toisen asteen yhtälöllä todellisia juuria, ja jos on, mikä on juurien lukumäärä - yksi tai kaksi.

Palataan yhtälöön x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä erottelua: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Muotoilkaamme johtopäätöksemme uudelleen:

Määritelmä 9

• klo D< 0 yhtälöllä ei ole todellisia juuria;
• klo D = 0 yhtälöllä on yksi juuri x = - b 2 · a ;
• klo D > 0 yhtälöllä on kaksi juuria: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 tai x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikalien ominaisuuksien perusteella nämä juuret voidaan kirjoittaa muotoon: x = - b 2 · a + D 2 · a tai - b 2 · a - D 2 · a. Ja kun avaamme moduulit ja tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Joten päättelymme tulos oli toisen yhtälön juurien kaavan johtaminen:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, erotteleva D lasketaan kaavalla D = b 2 − 4 a c.

Näiden kaavojen avulla voidaan määrittää molemmat todelliset juuret, kun diskriminantti on suurempi kuin nolla. Kun erottaja on nolla, molempien kaavojen soveltaminen antaa saman juurin toisen asteen yhtälön ainoana ratkaisuna. Jos diskriminantti on negatiivinen, jos yritämme käyttää neliöjuurikaavaa, joudumme ottamaan negatiivisen luvun neliöjuuren, mikä vie meidät pidemmälle. todellisia lukuja. Negatiivisella diskriminantilla toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta monimutkaisten konjugaattijuurien pari on mahdollista, jotka määritetään samoilla juurikaavoilla, jotka saimme.

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Neliöyhtälö voidaan ratkaista välittömästi juurikaavalla, mutta yleensä tämä tehdään, kun on tarpeen löytää monimutkaisia ​​juuria.

Useimmissa tapauksissa se ei yleensä tarkoita monimutkaisten, vaan todellisten juurten etsimistä toisen asteen yhtälöstä. Sitten on optimaalista, ennen kuin käytät kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, määrittää ensin diskriminantti ja varmistaa, että se ei ole negatiivinen (muuten päätämme, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja sitten laskea juurien arvo.

Yllä oleva päättely mahdollistaa algoritmin muodostamisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi.

Määritelmä 10

Ratkaisemaan toisen asteen yhtälön a x 2 + b x + c = 0, tarpeen:

• kaavan mukaan D = b 2 − 4 a c löytää erotteleva arvo;
• osoitteessa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kun D = 0, etsi yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - b 2 · a ;
• kun D > 0, määritä toisen asteen yhtälön kaksi todellista juurta kaavalla x = - b ± D 2 · a.

Huomaa, että kun erottaja on nolla, voit käyttää kaavaa x = - b ± D 2 · a, se antaa saman tuloksen kuin kaava x = - b 2 · a.

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Annetaan ratkaisu esimerkeille erilaisia ​​merkityksiä syrjivä.

Esimerkki 6

Meidän on löydettävä yhtälön juuret x 2 + 2 x − 6 = 0.

Ratkaisu

Kirjataan muistiin toisen asteen yhtälön numeeriset kertoimet: a = 1, b = 2 ja c = -6. Seuraavaksi edetään algoritmin mukaan, ts. Aloitetaan diskriminantin laskeminen, jolle korvataan kertoimet a, b Ja c erottelukaavaan: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Joten saamme D > 0, mikä tarkoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.
Niiden löytämiseksi käytämme juurikaavaa x = - b ± D 2 · a ja korvaamalla vastaavat arvot, saadaan: x = - 2 ± 28 2 · 1. Yksinkertaistetaan tuloksena oleva lauseke ottamalla kerroin pois juurimerkistä ja pienentämällä sitten murtolukua:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 tai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 tai x = - 1 - 7

Vastaus: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 - 7.

Esimerkki 7

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Ratkaisu

Määritellään diskriminantti: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Tällä erottimen arvolla alkuperäisellä yhtälöllä on vain yksi juuri, joka määräytyy kaavalla x = - b 2 · a.

x = -28 2 (-4) x = 3,5

Vastaus: x = 3,5.

Esimerkki 8

Yhtälö on ratkaistava 5 v 2 + 6 v + 2 = 0

Ratkaisu

Tämän yhtälön numeeriset kertoimet ovat: a = 5, b = 6 ja c = 2. Käytämme näitä arvoja löytääksemme diskriminantin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Laskettu diskriminantti on negatiivinen, joten alkuperäisellä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Siinä tapauksessa, että tehtävänä on osoittaa monimutkaisia ​​juuria, käytämme juurikaavaa suorittamalla toimintoja kompleksiluvuilla:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 tai x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i tai x = - 3 5 - 1 5 · i.

Vastaus: todellisia juuria ei ole; kompleksijuuret ovat seuraavat: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Koulun opetussuunnitelmassa ei ole vakiovaatimusta monimutkaisten juurien etsimisestä, joten jos ratkaisun aikana erottaja todetaan negatiiviseksi, kirjoitetaan heti vastaus, että todellisia juuria ei ole.

Juurikaava jopa toiselle kertoimelle

Juurikaava x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) mahdollistaa toisen, kompaktimman kaavan, jonka avulla voidaan löytää ratkaisuja toisen asteen yhtälöille, joilla on parillinen kerroin x:lle ( tai kertoimella muotoa 2 · n, esimerkiksi 2 3 tai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näytämme kuinka tämä kaava johdetaan.

Edessämme on tehtävä löytää ratkaisu toisen asteen yhtälölle a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Jatketaan algoritmin mukaan: määritetään diskriminantti D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), ja sitten käytetään juurikaavaa:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Merkitään lauseke n 2 − a · c muodossa D 1 (joskus sitä merkitään D "). Silloin kaava tarkasteltavan toisen kertoimen 2 · n juurille on muotoa:

x = - n ± D 1 a, missä D 1 = n 2 − a · c.

On helppo nähdä, että D = 4 · D 1 tai D 1 = D 4. Toisin sanoen D 1 on neljäsosa diskriminantista. On selvää, että D 1:n etumerkki on sama kuin D:n etumerkki, mikä tarkoittaa, että D 1:n etumerkki voi toimia myös osoittimena toisen asteen yhtälön juurten olemassaolosta tai puuttumisesta.

Määritelmä 11

Siten ratkaisun löytämiseksi toisen 2 n:n kertoimen toiselle yhtälölle on välttämätöntä:

• etsi D 1 = n 2 − a · c ;
• paikassa D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kun D 1 = 0, määritä yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - n a;
• kun D 1 > 0, määritä kaksi reaalijuurta kaavalla x = - n ± D 1 a.

Esimerkki 9

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Ratkaisu

Voimme esittää annetun yhtälön toista kerrointa muodossa 2 · (− 3) . Sitten kirjoitetaan annettu toisen asteen yhtälö uudelleen muotoon 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, missä a = 5, n = − 3 ja c = − 32.

Lasketaan diskriminantin neljäs osa: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Tuloksena oleva arvo on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Määritetään ne käyttämällä vastaavaa juurikaavaa:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 tai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 tai x = - 2

Laskelmat olisi mahdollista suorittaa tavallisella kaavalla toisen asteen yhtälön juurille, mutta tässä tapauksessa ratkaisu olisi hankalampi.

Vastaus: x = 3 1 5 tai x = - 2 .

Yksinkertaistaa toisen asteen yhtälöiden muotoa

Joskus on mahdollista optimoida alkuperäisen yhtälön muoto, mikä yksinkertaistaa juurien laskentaprosessia.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälö 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 on selvästi helpompi ratkaista kuin 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Useammin toisen asteen yhtälön muodon yksinkertaistaminen suoritetaan kertomalla tai jakamalla sen molemmat puolet tietyllä numerolla. Esimerkiksi yllä näytimme yksinkertaistetun esityksen yhtälöstä 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, joka saadaan jakamalla molemmat puolet 100:lla.

Tällainen muunnos on mahdollinen, kun toisen asteen yhtälön kertoimet eivät ole keskenään alkuluvut. Sitten jaamme yleensä yhtälön molemmat puolet sen kertoimien absoluuttisten arvojen suurimmalla yhteisellä jakajalla.

Esimerkkinä käytämme toisen asteen yhtälöä 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määritetään sen kertoimien itseisarvojen GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Jaetaan alkuperäisen toisen asteen yhtälön molemmat puolet 6:lla ja saadaan vastaava toisen asteen yhtälö 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Kertomalla toisen asteen yhtälön molemmat puolet pääset yleensä eroon murtokertoimista. Tässä tapauksessa ne kerrotaan sen kertoimien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella. Jos esimerkiksi toisen asteen yhtälön 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 jokainen osa kerrotaan LCM:llä (6, 3, 1) = 6, se kirjoitetaan suuremmalla kielellä. yksinkertaisessa muodossa x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lopuksi huomautamme, että pääsemme melkein aina eroon toisen asteen yhtälön ensimmäisen kertoimen miinuksesta muuttamalla yhtälön kunkin termin etumerkkejä, mikä saavutetaan kertomalla (tai jakamalla) molemmat puolet arvolla −1. Esimerkiksi toisen asteen yhtälöstä − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 voit siirtyä sen yksinkertaistettuun versioon 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Juurien ja kertoimien välinen suhde

Jo meille tuttu toisen asteen yhtälöiden juurikaava x = - b ± D 2 · a ilmaisee yhtälön juuret numeeristen kertoimien kautta. Tämän kaavan perusteella meillä on mahdollisuus määritellä muita riippuvuuksia juurien ja kertoimien välillä.

Tunnetuimmat ja soveltuvimmat kaavat ovat Vietan lause:

x 1 + x 2 = - b a ja x 2 = c a.

Erityisesti annetulle toisen asteen yhtälölle juurien summa on toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Esimerkiksi tarkastelemalla toisen asteen yhtälön muotoa 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, voidaan heti määrittää, että sen juurten summa on 7 3 ja juurten tulo on 22 3.

Voit myös löytää useita muita yhteyksiä toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön juurten neliöiden summa voidaan ilmaista kertoimilla:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter