Kuinka löytää tangentin kulman tangentti. Kuinka löytää rinne

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät pyynnön sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Jatkoa aiheeseen, tasossa olevan suoran yhtälö perustuu suoran tutkimiseen algebran tunneista. Tämä artikkeli tarjoaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Tarkastellaan määritelmiä, hankitaan itse yhtälö ja tunnistetaan yhteys muuntyyppisiin yhtälöihin. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kulmakertoimella. Oletetaan, että suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x tasossa on annettu.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun viiva on yhdensuuntainen O x:n kanssa tai osuu siihen yhteen, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suora kaltevuus on tietyn suoran kaltevuuskulman tangentti.

Vakionimitys on k. Määritelmästä saadaan, että k = t g α . Kun viiva on yhdensuuntainen Ohin kanssa, he sanovat sen kaltevuus ei ole olemassa, koska se kääntyy äärettömyyteen.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa näkyy erilaisia ​​sijaintivaihtoehtoja oikea kulma suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kulmakertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Ratkaisu

Ehdosta saamme, että α = 120°. Määritelmän mukaan kaltevuus on laskettava. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3.

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan ja on tarpeen löytää kaltevuuskulma abskissa-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k. Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään kulmakertoimella 3.

Ratkaisu

Ehdolla on, että kulmakerroin on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavalla α = a r c t g k = a r c t g 3.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3.

Ratkaisu

Jos otamme kirjaimen k kulmakertoimen merkinnäksi, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Vastaus: 5 π 6 .

Yhtälö muotoa y = k x + b, jossa k on kulmakerroin ja b on jokin oikea numero, kutsutaan yhtälöksi suorasta viivasta, jossa on kulmakerroin. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastellaan yksityiskohtaisesti suoraa tasossa kiinteässä koordinaatistossa, joka määritellään yhtälöllä kulmakertoimella, jonka muoto on y = k x + b. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että yhtälö vastaa minkä tahansa suoran pisteen koordinaatteja. Jos korvaamme pisteen M, M 1 (x 1, y 1) koordinaatit yhtälöön y = k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen kautta, muuten piste ei kuulu suoraan.

Esimerkki 4

On annettu suora viiva, jonka kaltevuus on y = 1 3 x - 1. Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3, 0) ja M 2 (2, - 2) annettuun suoraan.

Ratkaisu

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Tasa-arvo on tosi, mikä tarkoittaa, että piste kuuluu suoralle.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, niin saadaan virheellinen yhtälö muotoon - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0, b) läpi, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b. Tästä voidaan päätellä, että tasossa olevan suoran yhtälö kulmakertoimella y = k x + b määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, jossa k = t g α.

Tarkastellaanpa esimerkkinä suoraa, joka on määritelty muotoon y = 3 x - 1 määritellyllä kulmakertoimella. Saavutetaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatti on 0, - 1, kaltevuus α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tämä osoittaa, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista ongelma, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuden kanssa vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Kirjoita yhtälö pisteen M 1 kautta kulkevalle suoralle, jonka koordinaatit (4, - 1) ja jonka kulmakerroin on -2.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta kulmakertoimesta, joka kulkee pisteen M 1 kautta koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisesti suoran y = 2 x - 2 kanssa.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on identtiset kaltevuuskulmat, mikä tarkoittaa, että kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi rinteen annettu yhtälö, sinun on muistettava sen peruskaava y = 2 x - 2, tästä seuraa, että k = 2. Luomme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen suoraviivaisesta yhtälöstä, jossa on kaltevuus, muun tyyppisiin suorayhtälöihin ja takaisin

Tämä yhtälö ei aina sovellu ongelmien ratkaisemiseen, koska se ei ole kovin kätevästi kirjoitettu. Tätä varten sinun on esitettävä se eri muodossa. Esimerkiksi muotoa y = k x + b oleva yhtälö ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään eri tyyppisillä yhtälöillä.

Voimme saada tasossa olevan suoran kanonisen yhtälön käyttämällä kulmakertoimella varustetun suoran yhtälöä. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa tuloksena olevan epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Kaltevan suoran yhtälöstä on tullut tämän suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kulmakerroin on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Ratkaisu

Lasketaan ja esitetään se suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k · x + b, mutta tätä varten on tehtävä muunnoksia: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Siirto tehdään yleinen yhtälö suora viiva toisen tyyppisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

Annettu suora yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 . Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1, 7), normaali viivavektori?

Ratkaisu

Ratkaisua varten on siirryttävä tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatteja. Kirjoitetaan se näin: n → = 1 7, - 1, joten 1 7 x - y - 2 = 0. On selvää, että vektori a → = (- 1, 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n →. Tästä seuraa, että alkuperäinen vektori a → = - 1, 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori, mikä tarkoittaa, että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2.

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​tämän käänteinen ongelma.

Pitää muuttaa pois yleisnäkymä yhtälöt A x + B y + C = 0, missä B ≠ 0, yhtälölle, jossa on kaltevuus. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin - A B .

Esimerkki 9

On annettu suora yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki tietyn suoran yhtälö kulmakertoimella.

Ratkaisu

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Samalla tavalla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka muoto on x a + y b = 1, jota kutsutaan segmenttien suoran yhtälöksi tai kanoninen tyyppi x - x 1 a x = y - y 1 a y . Meidän on ratkaistava se y:lle, vasta sitten saamme yhtälön kulmakertoimella:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kulmakerroin. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Esimerkki 10

On suora viiva yhtälön antama x 2 + y - 3 = 1. Vähennä yhtälön muotoon kulmakertoimella.

Ratkaisu.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Vaaditun kaltevuusyhtälön saamiseksi yhtälön molemmat puolet on kerrottava -3:lla. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Pelistä muotoa x - 2 2 = y + 1 5 oleva suorayhtälö muotoon, jolla on kulmakerroin.

Ratkaisu

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan, jotta voit tehdä tämän:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 v + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ tulee pelkistää suoran kanoniseen yhtälöön, vasta tämän jälkeen voidaan edetä yhtälöön kaltevuuskerroin.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Ratkaisu

On välttämätöntä siirtyä parametrinäkymästä rinteeseen. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmakertoimesta. Tehdään tämä kirjoittamalla se näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että viivan kaltevuus on 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2.

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä sertifiointikokeessa. Tilastaan ​​​​riippuen valmistuneelta voidaan vaatia joko täydellinen tai lyhyt vastaus. Valmistelussa yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen Matematiikassa opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, joissa on tarpeen laskea tangentin kulmakerroin.

Se auttaa sinua tekemään tämän koulutusportaali"Shkolkovo". Asiantuntijamme valmistivat ja esittelivät teoreettista ja käytännön materiaalia mahdollisimman helposti saatavilla olevalla tavalla. Tutustuttuaan siihen minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on tarpeen löytää tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Oikean ja rationaalisen ratkaisun löytämiseksi sellaisiin tehtäviin Unified State Examissa on muistettava perusmääritelmä: derivaatta edustaa funktion muutosnopeutta; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan tietyssä pisteessä piirretyn tangentin kulman tangentti. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikea ratkaisu Yhtenäisen valtiontutkinnon ongelmat derivaatalla, jossa on tarpeen laskea tangenttikulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kaavio OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt derivaatta-aiheen perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan tangenttikulman tangentin laskemiseen liittyviä ongelmia, kuten esim. Yhtenäiset valtionkoetehtävät, tämä voidaan tehdä verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtäviin aiheesta "Dirivaatan suhde kappaleen nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Samalla opiskelijat voivat harjoitella eriasteisten tehtävien suorittamista. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jotta voit keskustella ratkaisusta myöhemmin opettajan kanssa.

Edellisessä luvussa osoitettiin, että valitsemalla tasolle tietyn koordinaattijärjestelmän voimme ilmaista tarkasteltavan suoran pisteitä kuvaavat geometriset ominaisuudet analyyttisesti nykyisten koordinaattien välisellä yhtälöllä. Siten saamme suoran yhtälön. Tässä luvussa tarkastellaan suoria yhtälöitä.

Luodaksesi yhtälön suoralle suoralle suorakulmaisille koordinaateille, sinun on jotenkin asetettava ehdot, jotka määrittävät sen sijainnin suhteessa koordinaattiakseleihin.

Ensin esitellään käsite suoran kulmakertoimesta, joka on yksi suureista, jotka kuvaavat suoran paikkaa tasossa.

Kutsutaan suoran kaltevuuskulmaa Ox-akseliin nähden kulmaksi, jolla Ox-akselia on kierrettävä niin, että se osuu yhteen (tai on yhdensuuntainen sen kanssa). Kuten tavallista, harkitsemme kulmaa ottaen huomioon merkin (merkki määräytyy pyörimissuunnan mukaan: vastapäivään tai myötäpäivään). Koska Ox-akselin lisäkierto 180° kulman läpi kohdistaa sen jälleen suoran linjan kanssa, suoran kaltevuuskulmaa akseliin nähden ei voida valita yksiselitteisesti (termin sisällä, kerrannainen).

Tämän kulman tangentti määritetään yksiselitteisesti (koska kulman muuttaminen ei muuta sen tangenttia).

Suoran kaltevuuskulman tangenttia Ox-akseliin kutsutaan suoran kulmakertoimeksi.

Kulmakerroin kuvaa suoran suuntaa (tässä emme erottele suoran kahta keskenään vastakkaista suuntaa). Jos suoran kaltevuus on nolla, suora on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Positiivisella kulmakertoimella suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin on terävä (tarkastelemme tässä pienintä positiivinen arvo kallistuskulma) (kuva 39); Lisäksi mitä suurempi kulmakerroin on, sitä suurempi on sen kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden. Jos kulmakerroin on negatiivinen, suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden on tylppä (kuva 40). Huomaa, että suoralla, joka on kohtisuorassa Ox-akseliin nähden, ei ole kulmakerrointa (kulman tangenttia ei ole olemassa).

Funktion derivaatta on yksi vaikeimmista aiheista koulun opetussuunnitelma. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisesti ja selkeästi, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen kurinalaisuuteen esityksessä. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeammin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Kaavio näyttää kaiken kerralla, eikö niin? Kostjan tulot yli kaksinkertaistuivat kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matveyn tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, eli johdannainen, - erilainen. Matveyn tulojohdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti arvioimme helposti funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme tämän?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n muuttuessa? Ilmeisesti sama toiminto voi olla eri kohdissa eri merkitys johdannainen - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Funktion derivaatta merkitään .

Näytämme sinulle, kuinka se löytyy kaavion avulla.

Jonkin funktion kaavio on piirretty. Otetaan piste, jossa on abskissa. Piirretään tässä vaiheessa tangentti funktion kuvaajalle. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangenttikulman tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on sama kuin tangenttikulman tangentti, joka on piirretty funktion kuvaajaan tässä pisteessä.

Huomaa, että tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on yksi yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään se. Muistamme, että terävän kulman tangentti in suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin vastakkaisen puolen suhde viereiseen sivuun. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​ongelmia löytyy usein matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta numeron alla.

On toinen tärkeä suhde. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Hän ilmaisee geometrinen merkitys johdannainen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Muodostuu pisteeseen piirretyn kaavion tangentti terävä kulma; positiivisella akselisuunnalla. Tämä tarkoittaa, että pisteen derivaatta on positiivinen.

Siinä vaiheessa toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Mitä maksimi- ja minimipisteissä tapahtuu? Näemme, että pisteissä (maksimipiste) ja (minimipiste) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste - maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan merkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös nolla, mutta sen etumerkki muuttuu “miinus”:sta “plussiksi”.

Johtopäätös: derivaatan avulla voimme saada selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio pienenee.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja vaihtaa etumerkin "plus":sta "miinus".

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin "miinus" -merkistä "plussiksi".

Kirjoita nämä johtopäätökset taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

On mahdollista, että funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä vaiheessa maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä on ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se pysyy positiivisena sellaisena kuin se oli.

On myös mahdollista, että johdannaista ei ole olemassa maksimi- tai minimipisteessä. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee