Kuinka löytää funktion suurin arvo käyttämällä sen derivaatta. Funktion suurin ja pienin arvo

Segmentin funktion pienimpien ja suurimpien arvojen etsiminen muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kuvaaja) helikopterissa, jossa ammutaan tiettyihin pisteisiin pitkän kantaman tykistä ja valitaan erittäin erikoispisteitä näistä pisteistä kontrollilaukauksiin. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja tiettyjen sääntöjen mukaan. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) on jatkuva aikavälillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten Ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet, tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten Ja funktion suurimmat arvot , jatkuva aikavälillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Anna esimerkiksi sinun määrittää korkein arvo toimintoja f(x) segmentillä [ a, b] . Tätä varten sinun on löydettävä kaikki sen kriittiset pisteet [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen joko yhtä suuri kuin nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) Ja f(b)). Suurin näistä luvuista tulee olemaan segmentin funktion suurin arvo [a, b] .

Löytämisen ongelmat pienimmät funktioarvot .

Etsimme yhdessä funktion pienimmän ja suurimman arvon

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatta. Yhdistätään derivaatta nollaan () ja saadaan kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää, että lasketaan sen arvot janan päissä ja pisteessä, koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2]. Nämä funktioarvot ovat: , , . Seuraa, että pienin arvo toimintoja(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan segmentin oikeassa päässä - kohdassa , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on 9, - kriittisessä pisteessä.

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta janan rajapisteet sisällytetään segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa näkyvä funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin mille tahansa välille (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus on tosi.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, kohdassa ja korkein arvo yhtä suuri kuin 1 kohdassa .

Jatkamme funktion pienimpien ja suurimpien arvojen etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille ratkaistavaksi esimerkkejä, jotka ovat monimutkaisempia kuin juuri käsitellyt, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Mutta emme rajoitu tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on niitä, jotka haluavat pakottaa opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja korkein arvo, yhtä suuri e², pisteessä.

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatta:

Yhdistämme derivaatan nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja korkein arvo, yhtäläinen , kohdassa .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa funktion pienimpien (maksimi) arvojen löytäminen laskee yleensä minimin (maksimin) löytämiseen. Mutta isompi käytännön kiinnostusta niillä ei ole itse minimi- tai maksimiarvoja, vaan ne argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden muodostaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8. Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Minkä kokoinen säiliön tulee olla, jotta sen peittämiseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Antaa x- pohjapuoli, h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota sen ääripäihin asti. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi kohdassa , derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmän alueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Tämä on siis ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo käyttämällä toista riittävää merkkiä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Tästä lähtien minimi on tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeuden tulee olla .

Esimerkki 9. Kohdasta A sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen KANSSA, joka sijaitsee kaukana siitä l, rahti on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuskustannus etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maantiellä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rivit rautatie pitäisi rakentaa moottoritie rahtia kuljettamaan A V KANSSA oli edullisin (kohta AB rautatien oletetaan olevan suora)?

Anna toiminnon y =f(X) on jatkuva aikavälillä [ a, b]. Kuten tiedetään, tällainen toiminto saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvonsa tällä segmentillä. Funktio voi ottaa nämä arvot joko janan sisäisestä pisteestä [ a, b] tai segmentin rajalla.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot segmentistä [ a, b] tarpeen:

1) etsi funktion kriittiset pisteet välillä ( a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laskea funktion arvot segmentin päissä, eli milloin x=A ja x = b;

4) valitse kaikista funktion lasketuista arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo

segmentillä.

Kriittisten kohtien löytäminen:

Nämä pisteet sijaitsevat segmentin sisällä; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pisteessä x= 3 ja pisteessä x= 0.

Konveksiteetti- ja käännepisteen funktion tutkimus.

Toiminto y = f (x) nimeltään kupera välissä (a, b) , jos sen kuvaaja on tämän välin missä tahansa pisteessä piirretyn tangentin alla, ja sitä kutsutaan kupera alaspäin (kovera), jos sen kuvaaja on tangentin yläpuolella.

Pistettä, jonka kautta kupera korvataan koveruudella tai päinvastoin, kutsutaan käännekohta.

Algoritmi kuperuuden ja käännepisteen tutkimiseksi:

1. Etsi toisen tyyppiset kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.

2. Piirrä kriittiset pisteet lukuviivalle jakamalla se intervalleiksi. Etsi kunkin intervallin toisen derivaatan etumerkki; jos , niin funktio on kupera ylöspäin, jos, niin funktio on kupera alaspäin.

3. Jos toisen tyyppisen kriittisen pisteen läpi kulkiessaan etumerkki muuttuu ja tässä pisteessä toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä piste on käännepisteen abskissa. Etsi sen ordinaatti.

Funktion kaavion asymptootit. Asymptoottien funktion tutkimus.

Määritelmä. Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys mistä tahansa kuvaajan pisteestä tähän viivaan pyrkii olemaan nolla, kun kuvaajan piste liikkuu loputtomasti origosta.

Asymptootteja on kolmenlaisia: pystysuoraan, vaakasuoraan ja kaltevaan.

Määritelmä. Suoraa kutsutaan vertikaalinen asymptootti funktiografiikka y = f(x), jos ainakin yksi funktion yksipuolisista rajoista tässä pisteessä on yhtä suuri kuin ääretön, se on

missä on funktion epäjatkuvuuspiste, eli se ei kuulu määritelmäalueeseen.

Esimerkki.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – taitepiste.

Määritelmä. Suoraan y =A nimeltään horisontaalinen asymptootti funktiografiikka y = f(x) osoitteessa , jos

Esimerkki.

Määritelmä. Suoraan y =kx +b (k≠ 0) kutsutaan vino asymptootti funktiografiikka y = f(x) missä

Yleinen kaavio funktioiden tutkimiseen ja graafien rakentamiseen.

Funktiotutkimusalgoritmiy = f(x) :

1. Etsi funktion toimialue D (y).

2. Etsi (jos mahdollista) kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa (jos x= 0 ja at y = 0).

3. Tarkista funktion tasaisuus ja parittomuus ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteetti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ outo).

4. Etsi funktion kaavion asymptootit.

5. Etsi funktion monotonisuusvälit.

6. Etsi funktion ääripää.

7. Etsi funktiokuvaajan konveksiteetti- (koveruus) ja käännepisteet.

8. Muodosta funktion kuvaaja tehdyn tutkimuksen perusteella.

Esimerkki. Tutustu funktioon ja rakenna sen kaavio.

1) D (y) =

x= 4 – taitepiste.

2) Milloin x = 0,

(0; ‒ 5) – leikkauspiste kanssa vai niin.

klo y = 0,

3) y(‒ x)= toiminto yleisnäkymä(ei parillinen eikä pariton).

4) Tutkimme asymptootteja.

a) pystysuora

b) vaakasuora

c) etsi vinot asymptootit missä

‒vino asymptoottiyhtälö

5) B annettu yhtälö ei tarvitse löytää funktion monotonisuuden intervalleja.

6)

Nämä kriittiset pisteet jakavat funktion koko määritelmäalueen väliin (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadut tulokset on kätevä esittää seuraavan taulukon muodossa.

Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?

Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi.

Edellytys Funktion maksimi ja minimi (ääriarvo) ovat seuraavat: jos funktiolla f(x) on ääriarvo pisteessä x = a, niin derivaatta on tässä vaiheessa joko nolla tai ääretön tai sitä ei ole olemassa.

Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi mennä nollaan, äärettömään tai ei ole olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä.

Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?

Ensimmäinen ehto:

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen pisteen a oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on enimmäismäärä

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on minimi edellyttäen, että funktio f(x) on jatkuva.

Sen sijaan voit käyttää toista riittävää ehtoa funktion ääripäälle:

Olkoon pisteessä x = a ensimmäinen derivaatta f?(x) kadonnut; jos toinen derivaatta f??(a) on negatiivinen, niin funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = a, jos se on positiivinen, niin sillä on minimi.

Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?

Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen funktio f?(x) ja rinnastamalla se nollaan, ratkaise yhtälö f?(x) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo. Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii epäjatkuvuudesta.

Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.

Funktio y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Toiminnon derivaatta: y?(x) = 6x + 2

Ratkaise yhtälö: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Tässä tapauksessa kriittinen piste on x0=-1/3. Tämä argumenttiarvo funktiolla on ääripää. Hänelle löytö, korvaa funktio lausekkeessa löydetyllä numerolla "x":n sijaan:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?

Jos derivaatan etumerkki kulkiessaan kriittisen pisteen x0 kautta muuttuu plussasta miinusarvoksi, niin x0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, pisteessä x0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa.

Tarkastetussa esimerkissä:

Otamme argumentin mielivaltaisen arvon kriittisen pisteen vasemmalla puolella: x = -1

Kun x = -1, derivaatan arvo on y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (eli merkki on "miinus").

Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1

Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli merkki on "plus").

Kuten näet, derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä arvolla x0 meillä on minimipiste.

Funktion suurin ja pienin arvo välissä(segmentillä) löydetään samalla menettelyllä, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät ole määritellyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos välissä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä.

Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

aikavälein:

Eli funktion derivaatta on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ratkaisemme yhtälön 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ei sisälly väliin)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ei sisälly väliin)

Löydämme funktioarvot argumentin kriittisistä arvoista:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo kohdassa x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja pienin - kohdassa x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Toiminnon arvo kohdassa x = -4,88 on yhtä suuri kuin y = 5,398.

Etsi funktion arvo intervallin päistä:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo

y = 5,398 kohdassa x = -4,88

pienin arvo -

y = 1,077 kohdassa x = -3

Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kupera ja kovera sivu?

Löytääksesi kaikki suoran y = f(x) käännepisteet, sinun on löydettävä toinen derivaatta, rinnastettava se nollaan (ratkaistava yhtälö) ja testattava kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla, ääretön tai ei ole olemassa. Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan yhden näistä arvoista, niin funktion kuvaajalla on tässä pisteessä taivutus. Jos se ei muutu, ei ole mutkaa.

Yhtälön f juuret? (x) = 0 sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion määritelmäalueen useisiin intervalleihin. Kummankin niiden välin konveksiteetti määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan intervallin pisteessä on positiivinen, niin suora y = f(x) on kovera ylöspäin, ja jos negatiivinen, niin alaspäin.

Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?

Löytääksesi funktion f(x,y) ääripään, joka on differentioituva sen määrittelyalueella, tarvitset:

1) löytää kriittiset pisteet ja tätä varten - ratkaista yhtälöjärjestelmä

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) tutkia jokaisen kriittisen pisteen P0(a;b) osalta, pysyykö eron etumerkki ennallaan

kaikille pisteille (x;y) riittävän lähellä P0:ta. Jos ero pysyy positiivisena, niin pisteessä P0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin meillä on maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä P0 ei ole ääriarvoa.

Funktion ääriarvot määritetään samalla tavalla lisää argumentteja.

Pieni ja kaunis yksinkertainen tehtävä kelluvan opiskelijan pelastajaksi toimivien luokasta. Luonnossa on heinäkuun puoliväli, joten on aika asettua kannettavan tietokoneen kanssa rannalle. Varhain aamulla teorian auringonsäde alkoi leikkiä, jotta pian voidaan keskittyä harjoitteluun, joka julistetusta helppoudesta huolimatta sisältää lasinsiruja hiekkaan. Tältä osin suosittelen, että harkitset tunnollisesti tämän sivun muutamia esimerkkejä. Käytännön ongelmien ratkaisemiseksi sinun on kyettävä löytää johdannaisia ja ymmärtää artikkelin materiaalin Monotonisuusintervallit ja funktion ääriarvot.

Ensinnäkin lyhyesti pääasiasta. Oppitunnilla aiheesta toiminnan jatkuvuus Annoin määritelmän jatkuvuudelle pisteessä ja jatkuvuudelle välissä. Toiminnon esimerkinomainen käyttäytyminen segmentillä on muotoiltu samalla tavalla. Funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä, jos:

1) se on jatkuva aikavälillä ;
2) jatkuva pisteessä oikealla ja pisteessä vasemmalle.

Toisessa kappaleessa puhuimme ns yksipuolinen jatkuvuus toimii jossain kohdassa. Sen määrittelemiseen on useita lähestymistapoja, mutta pysyn aiemmin aloittamassani linjassa:

Toiminto on jatkuva pisteessä oikealla, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen oikeanpuoleinen raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: . Se on jatkuvaa pisteessä vasemmalle, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen vasen raja on sama kuin arvo tässä pisteessä:

Kuvittele, että vihreät pisteet ovat kynsiä, joihin on kiinnitetty maaginen kuminauha:

Ota henkisesti punainen viiva käsiisi. Ilmeisesti riippumatta siitä, kuinka pitkälle venytetään kuvaajaa ylös ja alas (akselia pitkin), funktio pysyy silti rajoitettu– aita ylhäällä, aita alhaalla, ja tuotteemme laiduntaa aitauksessa. Täten, väliin jatkuva funktio on rajoitettu siihen. Matemaattisen analyysin aikana tämä näennäisesti yksinkertainen tosiasia todetaan ja todistetaan tiukasti. Weierstrassin ensimmäinen lause....Moni on ärsyyntynyt siitä, että alkeellisia väitteitä perustellaan ikävästi matematiikassa, mutta tällä on tärkeä merkitys. Oletetaan, että tietty froteekeskiajan asukas veti kaavion taivaalle näkyvyyden rajojen yli, tämä lisättiin. Ennen kaukoputken keksintöä rajallinen toiminta avaruudessa ei ollut ollenkaan ilmeinen! Todellakin, mistä tiedät, mikä meitä odottaa horisontin takana? Maatahan pidettiin joskus litteänä, joten nykyään tavallinen teleportaatiokin vaatii todisteita =)

Mukaan Weierstrassin toinen lause, jatkuva segmentillätoiminto saavuttaa sen tarkka yläraja ja sinun tarkka alareuna .

Numeroon myös soitetaan segmentin funktion enimmäisarvo ja niitä merkitään , ja numero on segmentin funktion vähimmäisarvo merkitty .

Meidän tapauksessamme:

Huomautus : teoriassa tallenteet ovat yleisiä .

Karkeasti sanottuna suurin arvo on siellä, missä kaavion korkein piste on, ja pienin arvo on siellä, missä alin piste on.

Tärkeä! Kuten artikkelissa jo korostettiin funktion ääripää, suurin funktion arvo Ja pienin funktion arvo – EI OLE SAMA, Mitä maksimi toiminto Ja minimitoiminto. Tarkasteltavassa esimerkissä luku on siis funktion minimi, mutta ei minimiarvo.

Muuten, mitä tapahtuu segmentin ulkopuolella? Kyllä, edes tulva, kyseessä olevan ongelman yhteydessä, tämä ei kiinnosta meitä ollenkaan. Tehtävä sisältää vain kahden luvun etsimisen ja siinä se!

Lisäksi ratkaisu on siksi puhtaasti analyyttinen ei tarvitse piirtää!

Algoritmi on pinnalla ja ehdottaa itseään yllä olevasta kuvasta:

1) Etsi funktion arvot in kriittiset kohdat, jotka kuuluvat tähän segmenttiin.

Hanki toinen bonus: tässä ei tarvitse tarkistaa ääripään riittävää kuntoa, koska, kuten juuri näytettiin, minimi- tai maksimiarvo ei takaa vielä, mikä on pienin tai suurin arvo. Esittelyfunktio saavuttaa maksiminsa ja kohtalon tahdosta sama luku on segmentin funktion suurin arvo. Mutta tietenkään tällaista sattumaa ei aina tapahdu.

Joten ensimmäisessä vaiheessa on nopeampaa ja helpompaa laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä, segmenttiin kuuluvaa, välittämättä siitä, onko niissä äärimmäisyyksiä vai ei.

2) Laskemme funktion arvot segmentin päissä.

3) Valitse 1. ja 2. kappaleessa olevista funktioarvoista pienin ja suurin iso luku, kirjoita vastaus ylös.

Istumme rannalle sininen meri ja osui matalaan veteen kantapäällämme:

Esimerkki 1

Etsi segmentin funktion suurin ja pienin arvo

Ratkaisu:
1) Lasketaan funktion arvot kriittisissä pisteissä, jotka kuuluvat tähän segmenttiin:

Lasketaan funktion arvo toisessa kriittisessä pisteessä:

2) Lasketaan funktion arvot segmentin päissä:

3) "Lihavoidut" tulokset saatiin eksponenteilla ja logaritmeilla, mikä vaikeuttaa merkittävästi niiden vertailua. Tästä syystä aseistakaamme itsemme laskimella tai Excelillä ja lasketaan likimääräiset arvot unohtamatta, että:

Nyt kaikki on selvää.

Vastaus:

Murtolukuinen rationaalinen ilmentymä for itsenäinen päätös:

Esimerkki 6

Etsi segmentin funktion enimmäis- ja minimiarvot

Joskus ongelmissa B15 on "huonoja" toimintoja, joille on vaikea löytää johdannaista. Aikaisemmin tämä tapahtui vain näytetestien aikana, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voi enää jättää huomiotta varsinaiseen Unified State -kokeeseen valmistautuessa.

Tässä tapauksessa muut tekniikat toimivat, joista yksi on yksitoikkoinen.

Funktion f (x) sanotaan kasvavan monotonisesti janalla, jos jollekin tämän janan pisteistä x 1 ja x 2 pätee seuraava:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funktion f (x) sanotaan monotonisesti pienenevän janalla, jos jollekin tämän janan pisteistä x 1 ja x 2 pätee seuraava:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Toisin sanoen kasvavalle funktiolle mitä suurempi x, sitä suurempi f(x). Pienevälle funktiolle päinvastoin: mitä suurempi x, sitä Vähemmän f(x).

Esimerkiksi logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1, ja monotonisesti pienenee, jos 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmeettinen neliöjuuri (eikä vain neliöjuuri) kasvaa monotonisesti koko määritelmän alueella:

Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa, kun a > 1 ja laskee kun 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Lopuksi asteet negatiivisella eksponentilla. Voit kirjoittaa ne murtolukuna. Heillä on taukopiste, jossa yksitoikkoisuus katkeaa.

Kaikkia näitä toimintoja ei koskaan löydy puhdas muoto. Ne lisäävät polynomeja, murtolukuja ja muuta hölynpölyä, mikä vaikeuttaa derivaatan laskemista. Katsotaanpa, mitä tässä tapauksessa tapahtuu.

Paraabelin kärjen koordinaatit

Useimmiten funktion argumentti korvataan neliöllinen trinomi muotoa y = ax 2 + bx + c. Sen kaavio on vakioparaabeli, josta olemme kiinnostuneita:

1. Paraabelin haarat voivat mennä ylös (> 0) tai alas (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Paraabelin kärki on toisen asteen funktion ääripiste, jossa tämä funktio saa miniminsä (> 0) tai maksiminsa (a< 0) значение.

Suurin kiinnostus on paraabelin huippu, jonka abskissa lasketaan kaavalla:

Joten olemme löytäneet neliöfunktion ääripisteen. Mutta jos alkuperäinen funktio on monotoninen, sille piste x 0 on myös ääripiste. Joten muotoillaanpa keskeinen sääntö:

Neliöllisen trinomin ääripisteet ja monimutkainen toiminto, johon se sisältyy, ovat samat. Siksi voit etsiä x 0 neliöllisen trinomin osalta ja unohtaa funktion.

Yllä olevasta päättelystä jää epäselväksi, minkä pisteen saamme: maksimin vai minimin. Tehtävät on kuitenkin suunniteltu erityisesti niin, ettei sillä ole väliä. Tuomari itse:

1. Ongelmalausekkeessa ei ole segmenttiä. Siksi f(a):ta ja f(b:tä) ei tarvitse laskea. Jäljelle jää vain ääripisteiden tarkastelu;
2. Mutta on vain yksi sellainen piste - tämä on paraabelin x 0 huippupiste, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti suullisesti ja ilman johdannaisia.

Siten ongelman ratkaiseminen on huomattavasti yksinkertaisempaa ja koostuu vain kahdesta vaiheesta:

1. Kirjoita paraabelin yhtälö y = ax 2 + bx + c ja etsi sen kärki kaavalla: x 0 = −b /2a ;
2. Etsi alkuperäisen funktion arvo tässä pisteessä: f (x 0). Jos ei lisäehdot ei, se on vastaus.

Ensi silmäyksellä tämä algoritmi ja sen perusteet voivat tuntua monimutkaisilta. En tarkoituksella julkaise "paljasta" ratkaisukaaviota, koska tällaisten sääntöjen ajattelematon soveltaminen on täynnä virheitä.

Katsotaanpa todellisia ongelmia koe Unified State Exam matematiikassa - tämä tekniikka löytyy useimmiten. Samalla huolehdimme siitä, että tällä tavalla monet B15-ongelmat muuttuvat lähes suullisiksi.

Seisoo juuren alla neliöfunktio y = x 2 + 6x + 13. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a = 1 > 0.

Paraabelin huippupiste:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Koska paraabelin haarat ovat ylöspäin, pisteessä x 0 = −3 funktio y = x 2 + 6x + 13 saa minimiarvonsa.

Juuri kasvaa monotonisesti, mikä tarkoittaa, että x 0 on koko funktion minimipiste. Meillä on:

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmin alla on taas neliöfunktio: y = x 2 + 2x + 9. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska a = 1 > 0.

Paraabelin huippupiste:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Joten pisteessä x 0 = −1 neliöfunktio saa minimiarvonsa. Mutta funktio y = log 2 x on monotoninen, joten:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponentti sisältää toisen asteen funktion y = 1 − 4x − x 2 . Kirjoitetaan se uudelleen normaalimuotoon: y = −x 2 − 4x + 1.

Ilmeisesti tämän funktion kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu alaspäin (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Alkuperäinen funktio on eksponentiaalinen, se on monotoninen, joten suurin arvo on löydetyssä pisteessä x 0 = −2:

Huomaavainen lukija huomaa todennäköisesti, että emme kirjoittaneet juuren ja logaritmin sallittujen arvojen aluetta. Mutta tätä ei vaadittu: sisällä on toimintoja, joiden arvot ovat aina positiivisia.

Seuraukset funktion alueelta

Joskus pelkkä paraabelin kärjen löytäminen ei riitä ratkaisemaan tehtävää B15. Etsimäsi arvo saattaa valehdella jakson lopussa, eikä ollenkaan ääripisteessä. Jos ongelma ei osoita segmenttiä ollenkaan, katso hyväksyttävien arvojen alue alkuperäinen toiminto. Nimittäin:

Huomaa jälleen: nolla voi hyvinkin olla juuren alla, mutta ei koskaan murtoluvun logaritmissa tai nimittäjässä. Katsotaanpa, miten tämä toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Etsi funktion suurin arvo:

Juuren alla on jälleen neliöfunktio: y = 3 − 2x − x 2 . Sen kuvaaja on paraabeli, mutta haarautuu alaspäin, koska a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Neliöjuuri negatiivista lukua ei ole olemassa.

Kirjoitamme sallittujen arvojen alueen (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Etsitään nyt paraabelin kärki:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Piste x 0 = −1 kuuluu ODZ-segmenttiin - ja tämä on hyvä. Nyt laskemme funktion arvon pisteessä x 0 sekä ODZ:n päissä:

y(−3) = y(1) = 0

Joten, saimme luvut 2 ja 0. Meitä pyydetään löytämään suurin - tämä on numero 2.

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Logaritmin sisällä on neliöfunktio y = 6x − x 2 − 5. Tämä on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin, mutta logaritmissa ei voi olla negatiivisia lukuja, joten kirjoitamme ODZ:n:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: lle. Tämä eroaa logaritmista juurista, jossa segmentin päät sopivat meille varsin hyvin.

Etsimme paraabelin kärkeä:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Paraabelin kärki sopii ODZ:n mukaan: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Mutta koska emme ole kiinnostuneita janan päistä, laskemme funktion arvon vain pisteessä x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2