Kolmion pinta-ala on annettu kolmella sivulla. Kuinka voit löytää kolmion alueen

Kolmio on kaikille tuttu hahmo. Ja tämä huolimatta sen runsaasta muotojen valikoimasta. Suorakulmainen, tasasivuinen, terävä, tasakylkinen, tylppä. Jokainen niistä on jollain tapaa erilainen. Mutta kenelle tahansa sinun on selvitettävä kolmion pinta-ala.

Kaavat, jotka ovat yhteisiä kaikille kolmiolle, jotka käyttävät sivujen tai korkeuksien pituutta

Niissä käytetyt nimitykset: sivut - a, b, c; korkeudet vastaavilla sivuilla a, n in, n kanssa.

1. Kolmion pinta-ala lasketaan ½:n, sivun ja siitä vähennetyn korkeuden tulona. S = ½ * a * n a. Kahden muun puolen kaavat tulee kirjoittaa samalla tavalla.

2. Heronin kaava, jossa puolikehä esiintyy (se on yleensä merkitty pienellä p-kirjaimella, toisin kuin koko kehä). Puolikehä on laskettava seuraavasti: laske yhteen kaikki sivut ja jaa ne kahdella. Puolikehän kaava on: p = (a+b+c) / 2. Sitten alueen yhtälö ​kuvio näyttää tältä: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jos et halua käyttää puolikehää, on hyödyllinen kaava, joka sisältää vain sivujen pituudet: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Se on hieman pidempi kuin edellinen, mutta se auttaa, jos olet unohtanut kuinka löytää puolikehä.

Yleiset kaavat, jotka sisältävät kolmion kulmat

Kaavojen lukemiseen tarvittavat merkinnät: α, β, γ - kulmat. Ne sijaitsevat vastakkaisilla puolilla a, b, c.

1. Sen mukaan puolet kahden sivun tulosta ja niiden välisen kulman sinistä on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala. Eli: S = ½ a * b * sin γ. Kahden muun tapauksen kaavat tulee kirjoittaa samalla tavalla.

2. Kolmion pinta-ala voidaan laskea yhdestä sivusta ja kolmesta tunnetusta kulmasta. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. On myös kaava, jossa on yksi tunnettu puolue ja kaksi vierekkäistä kulmaa. Se näyttää tältä: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Kaksi viimeistä kaavaa eivät ole yksinkertaisimpia. Niitä on aika vaikea muistaa.

Yleiset kaavat tilanteisiin, joissa piirrettyjen tai rajattujen ympyröiden säteet tunnetaan

Lisämerkinnät: r, R - säteet. Ensimmäistä käytetään piirretyn ympyrän säteelle. Toinen on kuvattulle.

1. Ensimmäinen kaava, jolla kolmion pinta-ala lasketaan, liittyy puolikehän. S = r*r. Toinen tapa kirjoittaa se on: S = ½ r * (a + b + c).

2. Toisessa tapauksessa sinun on kerrottava kaikki kolmion sivut ja jaettava ne nelinkertaisella rajatun ympyrän säteellä. SISÄÄN kirjaimellinen ilmaus se näyttää tältä: S = (a * b * c) / (4R).

3. Kolmannessa tilanteessa voit tehdä sivuja tuntematta, mutta tarvitset kaikkien kolmen kulman arvot. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Erikoistapaus: suorakulmainen kolmio

Tämä on yksinkertaisin tilanne, koska vaaditaan vain molempien jalkojen pituus. Ne on nimetty latinalaisilla kirjaimilla a ja c. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet siihen lisätyn suorakulmion pinta-alasta.

Matemaattisesti se näyttää tältä: S = ½ a * b. Se on helpoin muistaa. Koska se näyttää suorakulmion alueen kaavalta, näkyviin tulee vain murto-osa, joka osoittaa puolet.

Erikoistapaus: tasakylkinen kolmio

Koska sillä on kaksi yhtä suurta puolta, jotkut sen alueen kaavat näyttävät hieman yksinkertaistetuilta. Esimerkiksi Heronin kaava, joka laskee tasakylkisen kolmion alueen, on seuraavanlainen:

S = ½ tuumaa √((a + ½ tuumaa)*(a - ½ tuumaa)).

Jos muutat sen, siitä tulee lyhyempi. Tässä tapauksessa Heronin kaava tasakylkiselle kolmiolle kirjoitetaan seuraavasti:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Pinta-alakaava näyttää hieman yksinkertaisemmalta kuin mielivaltaiselle kolmiolle, jos sivut ja niiden välinen kulma tunnetaan. S = ½ a 2 * sin β.

Erikoistapaus: tasasivuinen kolmio

Yleensä ongelmissa se puoli tiedetään tai se saadaan jollain tavalla selville. Sitten kaava tällaisen kolmion alueen löytämiseksi on seuraava:

S = (a 2 √3) / 4.

Ongelmia alueen löytämisessä, jos kolmio on kuvattu ruudulliselle paperille

Yksinkertaisin tilanne on, kun suorakulmainen kolmio piirretään siten, että sen jalat ovat samat kuin paperin viivat. Sitten sinun tarvitsee vain laskea jalkoihin mahtuvien solujen määrä. Kerro ne sitten ja jaa kahdella.

Kun kolmio on terävä tai tylppä, se on piirrettävä suorakulmioon. Sitten tuloksena olevassa kuvassa on 3 kolmiota. Yksi on ongelmassa annettu. Ja kaksi muuta ovat apu- ja suorakaiteen muotoisia. Kahden viimeksi mainitun alueet on määritettävä edellä kuvatulla menetelmällä. Laske sitten suorakulmion pinta-ala ja vähennä siitä apuvälineille lasketut. Kolmion pinta-ala määritetään.

Tilanne, jossa mikään kolmion sivuista ei ole sama kuin paperin viivat, osoittautuu paljon monimutkaisemmiksi. Sitten se on kirjoitettava suorakulmioon niin, että alkuperäisen hahmon kärjet ovat sen sivuilla. Tässä tapauksessa on kolme suorakulmaista apukolmiota.

Esimerkki ongelmasta Heronin kaavalla

Kunto. Jollakin kolmiolla on tunnetut sivut. Ne ovat yhtä suuria kuin 3, 5 ja 6 cm. Sinun on selvitettävä sen pinta-ala.

Nyt voit laskea kolmion alueen yllä olevan kaavan avulla. Neliöjuuren alla on neljän luvun tulo: 7, 4, 2 ja 1. Eli pinta-ala on √(4 * 14) = 2 √(14).

Jos suurempaa tarkkuutta ei vaadita, voit ottaa neliöjuuren luvusta 14. Se on 3,74. Silloin alue on 7.48.

Vastaus. S = 2 √14 cm 2 tai 7,48 cm 2.

Esimerkkiongelma suoran kolmion kanssa

Kunto. Suorakulmaisen kolmion yksi jalka on 31 cm suurempi kuin toinen Sinun on selvitettävä niiden pituudet, jos kolmion pinta-ala on 180 cm 2.
Ratkaisu. Meidän on ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä. Ensimmäinen liittyy alueeseen. Toinen koskee jalkojen suhdetta, joka on annettu tehtävässä.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Ensin "a":n arvo on korvattava ensimmäisellä yhtälöllä. Osoittautuu: 180 = ½ (in + 31) * tuumaa. Siinä on vain yksi tuntematon määrä, joten se on helppo ratkaista. Sulkujen avaamisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälö: in 2 + 31 in - 360 = 0. Se antaa kaksi arvoa "in": 9 ja - 40. Toinen luku ei sovellu vastaukseksi, koska kolmion sivun pituus ei voi olla negatiivinen arvo.

Jäljelle jää toisen osuuden laskeminen: lisää tulokseen 31. Osoittautuu, että 40. Nämä ovat tehtävässä haetut suuret.

Vastaus. Kolmion jalat ovat 9 ja 40 cm.

Ongelma löytää sivu kolmion alueen, sivun ja kulman kautta

Kunto. Tietyn kolmion pinta-ala on 60 cm 2. On tarpeen laskea yksi sen sivuista, jos toinen sivu on 15 cm ja niiden välinen kulma on 30º.

Ratkaisu. Perustuu hyväksytyt merkinnät, haluttu puoli "a", tunnettu puoli "b", määrätty kulma"γ". Sitten pinta-alakaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Tässä 30 asteen sini on 0,5.

Muutosten jälkeen "a" osoittautuu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Eli 16.

Vastaus. Vaadittu sivu on 16 cm.

Tehtävä neliöstä, joka on piirretty suorakulmaiseen kolmioon

Kunto. Neliön kärki, jonka sivu on 24 cm, osuu kolmion oikeaan kulmaan. Kaksi muuta makaavat sivuilla. Kolmas kuuluu hypotenuusaan. Yhden jalan pituus on 42 cm Mikä on oikean kolmion pinta-ala?

Ratkaisu. Harkitse kahta suorakulmaista kolmiota. Ensimmäinen on tehtävässä määritelty. Toinen perustuu alkuperäisen kolmion tunnettuun haaraan. Ne ovat samanlaisia, koska niillä on yhteinen kulma ja ne muodostuvat yhdensuuntaisista viivoista.

Silloin niiden jalkojen suhteet ovat yhtä suuret. Pienemmän kolmion jalat ovat 24 cm (neliön sivu) ja 18 cm (jos haarasta 42 cm vähennetään neliön sivu 24 cm). Vastaavat jalat iso kolmio- 42 cm ja x cm Tämä "x" tarvitaan kolmion alueen laskemiseen.

18/42 = 24/x, eli x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Sitten pinta-ala on yhtä suuri kuin 56:n ja 42:n tulo jaettuna kahdella, eli 1176 cm 2.

Vastaus. Tarvittava pinta-ala on 1176 cm 2.

Ohjeet

Juhlat ja kulmia pidetään peruselementteinä A. Kolmion määrittelee kokonaan jokin sen seuraavista peruselementeistä: joko kolme sivua tai yksi sivu ja kaksi kulmaa tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Olemassaoloa varten kolmio kolmen sivun a, b, c antamana on välttämätöntä ja riittävää tyydyttää epäyhtälöiksi kutsutut epäyhtälöt kolmio:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Rakentamiseen kolmio Kolmelle sivulle a, b, c janan CB = a pisteestä C on piirrettävä kompassilla ympyrä, jonka säde on b. Piirrä sitten samalla tavalla pisteestä B ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin sivu c. Niiden leikkauspiste A on halutun kolmas kärki kolmio ABC, jossa AB=c, CB=a, CA=b - sivut kolmio. Ongelma on , jos sivut a, b, c täyttävät epäyhtälöt kolmio määritelty vaiheessa 1.

Alue S on rakennettu tällä tavalla kolmio ABC tunnetuilla sivuilla a, b, c lasketaan Heronin kaavalla:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
missä a, b, c ovat sivuja kolmio, p – puolikehä.
p = (a+b+c)/2

Jos kolmio on tasasivuinen, eli sen kaikki sivut ovat yhtä suuret (a=b=c). Pinta-ala kolmio lasketaan kaavalla:
S=(a^2 v3)/4

Jos kolmio on suorakulmainen, eli yksi sen kulmista on 90° ja sen muodostavat sivut ovat jalkoja, kolmas sivu on hypotenuusa. Tässä tapauksessa neliö on yhtä kuin jalkojen tulo jaettuna kahdella.
S=ab/2

Löytää neliö kolmio, voit käyttää yhtä monista kaavoista. Valitse kaava sen mukaan, mitkä tiedot ovat jo tiedossa.

Tarvitset

• kaavojen tuntemus kolmion alueen löytämiseksi

Ohjeet

Jos tiedät yhden sivun koon ja tälle puolelle lasketun korkeuden arvon sitä vastakkaisesta kulmasta, voit selvittää alueen seuraavasti: S = a*h/2, missä S on pinta-ala Kolmion kohdalla a on yksi kolmion sivuista ja h - korkeus sivulle a.

On olemassa tunnettu menetelmä kolmion pinta-alan määrittämiseksi, jos sen kolme sivua tunnetaan. Se on Heronin kaava. Sen tallennuksen yksinkertaistamiseksi otetaan käyttöön väliarvo - puolikehä: p = (a+b+c)/2, missä a, b, c - . Silloin Heronin kaava on seuraava: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponentio.

Oletetaan, että tiedät yhden kolmion sivuista ja kolme kulmaa. Sitten on helppo löytää kolmion pinta-ala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), missä β on sivun a vastakkainen kulma ja α ja γ ovat sivun viereisiä kulmia.

Video aiheesta

Huomautus

Yleisin kaava, joka sopii kaikkiin tapauksiin, on Heronin kaava.

Lähteet:

Vinkki 3: Kuinka löytää kolmion pinta-ala kolmen sivun perusteella

Kolmion alueen löytäminen on yksi yleisimmistä koulujen planimetrian ongelmista. Kolmion kolmen sivun tunteminen riittää minkä tahansa kolmion alueen määrittämiseen. Tasasivuisten kolmioiden erikoistapauksissa riittää, että tietää kahden ja yhden sivun pituudet.

Tarvitset

• kolmioiden sivujen pituudet, Heronin kaava, kosinilause

Ohjeet

Heronin kaava kolmion pinta-alalle on seuraava: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jos kirjoitamme puolikehän p, saamme: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Voit johtaa kolmion pinta-alan kaavan huomioiden perusteella esimerkiksi käyttämällä kosinilausetta.

Kosinilauseen mukaan AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Esitettyjä merkintöjä käyttäen nämä voidaan kirjoittaa myös muodossa: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Näin ollen cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmion pinta-ala saadaan myös kaavalla S = a*c*sin(ABC)/2 käyttämällä kahta sivua ja niiden välistä kulmaa. Kulman ABC sini voidaan ilmaista sen termein käyttämällä peruskulmaa trigonometrinen identiteetti: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Korvaamalla sinin alueen kaavaan ja kirjoittamalla se ulos, pääset kolmion ABC alueen kaavaan.

Video aiheesta

Korjaustöiden suorittamiseksi voi olla tarpeen mitata neliö seinät Tämä helpottaa tarvittavan maali- tai tapettimäärän laskemista. Mittauksiin on parasta käyttää mittanauhaa tai mittanauhaa. Mittaukset tulee tehdä sen jälkeen seinät tasattiin.

Tarvitset

• -ruletti;
• -tikapuut.

Ohjeet

Laskea neliö seinät, sinun on tiedettävä kattojen tarkka korkeus ja mitattava myös pituus lattiaa pitkin. Tämä tehdään seuraavasti: ota senttimetri ja aseta se jalkalistan päälle. Yleensä senttimetri ei riitä koko pituudelle, joten kiinnitä se nurkkaan ja kelaa se sitten auki enimmäispituus. Laita tässä vaiheessa merkki lyijykynällä, kirjoita saatu tulos muistiin ja suorita jatkomittaukset samalla tavalla viimeisestä mittauspisteestä alkaen.

Vakiokatot ovat talosta riippuen 2 metriä 80 senttimetriä, 3 metriä ja 3 metriä 20 senttimetriä. Jos talo on rakennettu ennen 50-lukua, niin todennäköisesti todellinen korkeus on hieman ilmoitettua pienempi. Jos lasket neliö korjaustöihin, niin pieni toimitus ei haittaa - harkitse standardin perusteella. Jos haluat vielä tietää oikean pituuden, ota mittaukset. Periaate on samanlainen kuin pituuden mittaaminen, mutta tarvitset tikkaat.

Kerro saadut indikaattorit - tämä on neliö sinun seinät. Totta, maalattaessa tai maalattaessa on vähennettävä neliö ovien ja ikkunoiden aukot. Aseta tätä varten senttimetri aukkoa pitkin. Jos me puhumme ovesta, jonka aiot myöhemmin vaihtaa, ja suorita sitten oven karmi irrotettuna, ottaen huomioon vain neliö suoraan itse aukkoon. Ikkunan pinta-ala lasketaan sen kehyksen kehää pitkin. Jälkeen neliö laskettu ikkuna ja oviaukko, vähennä tulos huoneen kokonaispinta-alasta.

Huomaa, että huoneen pituuden ja leveyden mittaamisen suorittaa kaksi henkilöä, mikä helpottaa senttimetrin tai mittanauhan kiinnittämistä ja vastaavasti tarkemman tuloksen saamista. Tee sama mittaus useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat tarkkoja.

Video aiheesta

Kolmion tilavuuden löytäminen on todella ei-triviaali tehtävä. Tosiasia on, että kolmio on kaksiulotteinen kuvio, ts. se sijaitsee kokonaan yhdessä tasossa, mikä tarkoittaa, että sillä ei yksinkertaisesti ole tilavuutta. Tietenkään ei voi löytää sellaista, mitä ei ole olemassa. Mutta älkäämme luovuttako! Voimme hyväksyä seuraavan oletuksen: kaksiulotteisen hahmon tilavuus on sen pinta-ala. Etsimme kolmion aluetta.

Tarvitset

• paperiarkki, lyijykynä, viivain, laskin

Ohjeet

Piirrä paperille viivaimella ja kynällä. Tutkimalla kolmiota huolellisesti voit varmistaa, että siinä ei todellakaan ole kolmiota, koska se on piirretty tasolle. Merkitse kolmion sivut: olkoon toinen puoli sivu "a", toinen puoli "b" ja kolmas sivu "c". Merkitse kolmion kärjet kirjaimilla "A", "B" ja "C".

Mittaa mikä tahansa kolmion sivu viivaimella ja kirjoita tulos muistiin. Tämän jälkeen palauta kohtisuora mitattulle sivulle sitä vastakkaisesta kärjestä, sellainen kohtisuora on kolmion korkeus. Kuvassa esitetyssä tapauksessa kohtisuora "h" palautetaan puolelle "c" kärjestä "A". Mittaa saatu korkeus viivaimella ja kirjoita mittaustulos muistiin.

Sinun voi olla vaikea palauttaa tarkkaa kohtisuoraa. Tässä tapauksessa sinun tulee käyttää toista kaavaa. Mittaa kolmion kaikki sivut viivaimella. Laske tämän jälkeen kolmion ”p” puolikehä lisäämällä tuloksena saadut sivujen pituudet ja jakamalla niiden summa puoliksi. Kun puolikehän arvo on käytettävissäsi, voit käyttää Heronin kaavaa. Tätä varten sinun on otettava neliöjuuri seuraavista: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olet saanut tarvittavan kolmion alueen. Kolmion tilavuuden löytämisongelmaa ei ole ratkaistu, mutta kuten edellä mainittiin, tilavuus ei ole . Voit löytää tilavuuden, joka on olennaisesti kolmio kolmiulotteisesta maailmasta. Jos kuvittelemme, että alkuperäisestä kolmioistamme on tullut kolmiulotteinen pyramidi, niin tällaisen pyramidin tilavuus on sen kannan pituuden tulo saamamme kolmion pinta-alalla.

Huomautus

Mitä huolellisemmin mittaat, sitä tarkempia laskelmasi ovat.

Lähteet:

• Laskin "Kaikki kaikkeen" - portaali viitearvoille
• kolmion volyymi vuonna 2019

Kolme pistettä, jotka määrittelevät kolmion yksiselitteisesti suorakulmaisessa koordinaatistossa, ovat sen kärjet. Kun tiedät niiden sijainnin suhteessa kuhunkin koordinaattiakseliin, voit laskea minkä tahansa tämän litteän kuvan parametrit, mukaan lukien sen kehän rajoittamat parametrit. neliö. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla.

Ohjeet

Käytä Heronin kaavaa alueen laskemiseen kolmio. Se sisältää kuvan kolmen sivun mitat, joten aloita laskelmasi merkillä. Kummankin sivun pituuden on oltava yhtä suuri kuin sen koordinaattiakseleiden projektioiden pituuksien neliöiden summa. Jos merkitsemme koordinaatteja A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), niiden sivujen pituudet voidaan ilmaista seuraavasti: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Laskelmien yksinkertaistamiseksi ota käyttöön apumuuttuja - puoliperimetri (P). Siitä, että tämä on puolet kaikkien sivujen pituuksien summasta: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Voit määrittää kolmion alueen käyttämällä erilaisia ​​kaavoja. Kaikista menetelmistä helpoin ja yleisimmin käytetty on kertoa korkeus pohjan pituudella ja jakaa tulos kahdella. Tämä menetelmä ei kuitenkaan ole kaukana ainoasta. Alta voit lukea kuinka löytää kolmion pinta-ala eri kaavoilla.

Tarkastelemme erikseen tapoja laskea tietyntyyppisten kolmioiden pinta-ala - suorakaiteen muotoiset, tasakylkiset ja tasasivuiset. Jokaisen kaavan mukana on lyhyt selitys, joka auttaa sinua ymmärtämään sen olemuksen.

Universaalit menetelmät kolmion alueen löytämiseksi

Alla olevissa kaavoissa käytetään erityistä merkintää. Selvitämme jokaisen niistä:

• a, b, c – tarkastelemamme kuvion kolmen sivun pituudet;
• r on ympyrän säde, joka voidaan kirjoittaa kolmioon;
• R on ympyrän säde, joka voidaan kuvata sen ympärillä;
• α on sivujen b ja c muodostaman kulman suuruus;
• β on a:n ja c:n välisen kulman suuruus;
• γ on sivujen a ja b muodostaman kulman suuruus;
• h on kolmiomme korkeus laskettuna kulmasta α sivulle a;
• p – puolet sivujen a, b ja c summasta.

On loogisesti selvää, miksi voit löytää kolmion alueen tällä tavalla. Kolmio voidaan helposti täydentää suunnikkaaksi, jossa kolmion toinen sivu toimii diagonaalina. Suunnikkaan pinta-ala saadaan kertomalla sen yhden sivun pituus siihen piirretyn korkeuden arvolla. Diagonaali jakaa tämän ehdollisen suuntaviivan 2 identtiseksi kolmioksi. Siksi on aivan ilmeistä, että alkuperäisen kolmiomme pinta-alan on oltava yhtä suuri kuin puolet tämän apusuuntaisen suuntaviivan pinta-alasta.

S=½ a b sin γ

Tämän kaavan mukaan kolmion pinta-ala saadaan kertomalla sen kahden sivun pituudet, eli a ja b, niiden muodostaman kulman sinillä. Tämä kaava on johdettu loogisesti edellisestä. Jos laskemme korkeutta kulmasta β sivulle b, niin suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien mukaan, kun kerromme sivun a pituus kulman γ sinillä, saadaan kolmion korkeus, eli h .

Kyseisen kuvion pinta-ala saadaan kertomalla puolet siihen piirrettävän ympyrän säteestä sen kehällä. Toisin sanoen löydämme mainitun ympyrän puolikehän ja säteen tulon.

S = a b c/4R

Tämän kaavan mukaan tarvitsemamme arvo saadaan jakamalla kuvion sivujen tulo sen ympärillä kuvatun ympyrän 4 säteellä.

Nämä kaavat ovat universaaleja, koska niiden avulla voidaan määrittää minkä tahansa kolmion pinta-ala (skaala, tasakylkinen, tasasivuinen, suorakulmainen). Tämä voidaan tehdä monimutkaisemmilla laskelmilla, joita emme käsittele yksityiskohtaisesti.

Kolmioiden alueet, joilla on erityisiä ominaisuuksia

Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala? Tämän hahmon erikoisuus on, että sen kaksi sivua ovat samanaikaisesti sen korkeuksia. Jos a ja b ovat jalkoja ja c:stä tulee hypotenuusa, löydämme seuraavanlaisen alueen:

Kuinka löytää tasakylkisen kolmion pinta-ala? Siinä on kaksi sivua, joiden pituus on a ja yksi sivu, jonka pituus on b. Näin ollen sen pinta-ala voidaan määrittää jakamalla 2:lla sivun a neliön tulo kulman γ sinillä.

Kuinka löytää alue tasasivuinen kolmio? Siinä kaikkien sivujen pituus on yhtä suuri kuin a ja kaikkien kulmien suuruus on α. Sen korkeus on yhtä suuri kuin puolet sivun a pituuden ja luvun 3 neliöjuuren tulosta. Säännöllisen kolmion pinta-alan löytämiseksi sinun on kerrottava sivun a neliö luvun 3 neliöjuurella ja jaettava 4.

Kolmio on yksinkertaisin geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta sivusta ja kolmesta kärjestä. Yksinkertaisuuden vuoksi kolmiota on käytetty muinaisista ajoista lähtien erilaisiin mittauksiin, ja nykyään kuviosta voi olla hyötyä käytännön ja arjen ongelmien ratkaisemisessa.

Kolmion ominaisuudet

Kuvaa on käytetty laskennassa muinaisista ajoista lähtien, esimerkiksi maanmittaajat ja tähtitieteilijät laskevat pinta-aloja ja etäisyyksiä kolmion ominaisuuksilla. Minkä tahansa n-kulman pinta-ala on helppo ilmaista tämän kuvion alueen läpi, ja muinaiset tiedemiehet käyttivät tätä ominaisuutta johtaessaan kaavoja monikulmioiden alueille. Jatkuva työskentely kolmioiden kanssa, erityisesti niiden kanssa suorakulmainen kolmio, siitä tuli perusta koko matematiikan osalle - trigonometrialle.

Kolmion geometria

Geometrisen hahmon ominaisuuksia on tutkittu muinaisista ajoista lähtien: varhaisimmat tiedot kolmiosta löytyivät egyptiläisistä papyruksista 4000 vuoden takaa. Sitten hahmoa tutkittiin vuonna Muinainen Kreikka ja suurimman panoksen kolmion geometriaan antoivat Euclid, Pythagoras ja Heron. Kolmion tutkiminen ei koskaan loppunut, ja 1700-luvulla Leonhard Euler esitteli käsitteen hahmon ortosentti ja Euler-ympyrä. 1800- ja 1900-luvun vaihteessa, kun näytti siltä, ​​että kolmiosta tiedettiin ehdottomasti kaikki, Frank Morley muotoili lauseen kulman kolmiosta ja Waclaw Sierpinski ehdotti fraktaalikolmiota.

Meille tuttuja litteitä kolmioita on useita koulun kurssi geometria:

• akuutti - kaikki hahmon kulmat ovat akuutteja;
• tylppä - hahmolla on yksi tylppä kulma (yli 90 astetta);
• suorakaiteen muotoinen - kuva sisältää yhden suoran kulman, joka on 90 astetta;
• tasakylkinen - kolmio, jossa on kaksi yhtäläistä sivua;
• tasasivuinen - kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.
• SISÄÄN oikea elämä On olemassa kaikenlaisia ​​kolmioita, ja joissakin tapauksissa meidän on ehkä laskettava geometrisen hahmon pinta-ala.

Kolmion pinta-ala

Pinta-ala on arvio siitä, kuinka suuren osan tasosta kuvio sulkee sisäänsä. Kolmion pinta-ala voidaan löytää kuudella tavalla, käyttämällä piirretyn tai rajatun ympyrän sivuja, korkeutta, kulmia, sädettä sekä käyttämällä Heronin kaavaa tai laskemalla kaksoisintegraali tasoa rajoittavia linjoja pitkin. Yksinkertaisin kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi on:

missä a on kolmion sivu, h on sen korkeus.

Käytännössä ei kuitenkaan aina ole kätevää löytää geometrisen hahmon korkeutta. Laskimemme algoritmin avulla voit laskea alueen tietäen:

• kolme puolta;
• kaksi sivua ja niiden välinen kulma;
• yksi puoli ja kaksi kulmaa.

Määrittääksemme alueen kolmen sivun läpi käytämme Heronin kaavaa:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

missä p on kolmion puolikehä.

Kahden sivun pinta-ala ja kulma lasketaan käyttämällä klassista kaavaa:

S = a × b × sin(alfa),

jossa alfa on sivujen a ja b välinen kulma.

Pinta-alan määrittämiseksi yhden sivun ja kahden kulman suhteen käytämme suhdetta, joka:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Yksinkertaisella suhteella määritetään toisen sivun pituus, jonka jälkeen lasketaan pinta-ala kaavalla S = a × b × sin(alfa). Tämä algoritmi on täysin automatisoitu, ja sinun tarvitsee vain syöttää määritetyt muuttujat ja saada tulos. Katsotaanpa pari esimerkkiä.

Esimerkkejä elämästä

Päällystyslaatat

Oletetaan, että haluat päällystää lattian kolmiomaisilla laatoilla, ja tarvittavan materiaalin määrän määrittämiseksi sinun on tiedettävä yhden laatan pinta-ala ja lattian pinta-ala. Oletetaan, että sinun on käsiteltävä 6 neliömetriä pintaa laatalla, jonka mitat ovat a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. On selvää, että kolmion pinta-alan laskemiseen laskin käyttää Heronin kaavaa ja antaa. lopputulos:

Siten yhden laattaelementin pinta-ala on 0,021 neliömetriä, ja tarvitset 6/0,021 = 285 kolmiota lattian maisemointiin. Numerot 20, 21 ja 29 muodostavat Pythagoraan kolmoisluvut, jotka täyttävät . Ja se on oikein, laskimemme laski myös kaikki kolmion kulmat, ja gammakulma on täsmälleen 90 astetta.

Koulun tehtävä

Koulutehtävässä sinun on löydettävä kolmion pinta-ala tietäen, että sivu a = 5 cm ja kulmat alfa ja beta ovat vastaavasti 30 ja 50 astetta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi manuaalisesti etsisimme ensin sivun b arvon kuvasuhteen ja vastakkaisten kulmien sinien suhteella ja määrittäisimme sitten alueen yksinkertaisella kaavalla S = a × b × sin(alfa). Säästetään aikaa, syötetään tiedot laskinlomakkeeseen ja saadaan välitön vastaus

Laskinta käytettäessä on tärkeää osoittaa kulmat ja sivut oikein, muuten tulos on virheellinen.

Johtopäätös

Kolmio on ainutlaatuinen hahmo, joka löytyy sekä tosielämästä että abstrakteista laskelmista. Käytä online-laskintamme kaikenlaisten kolmioiden pinta-alan määrittämiseen.

Alueen käsite

Minkä tahansa geometrisen kuvion, erityisesti kolmion, alueen käsite liitetään neliön kaltaiseen kuvioon. Minkä tahansa geometrisen kuvan yksikköpinta-alaksi otamme neliön alueen, jonka sivu on yhtä suuri. Täydellisyyden vuoksi muistetaan kaksi geometristen kuvioiden pinta-alojen käsitteen perusominaisuutta.

Omaisuus 1: Jos geometrisia kuvioita ovat yhtä suuret, silloin myös niiden pinta-alat ovat yhtä suuret.

Omaisuus 2: Mikä tahansa hahmo voidaan jakaa useisiin hahmoihin. Lisäksi alkuperäisen kuvan pinta-ala on yhtä suuri kuin kaikkien sen muodostavien lukujen pinta-alojen summa.

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1

Ilmeisesti yksi kolmion sivuista on suorakulmion lävistäjä, jonka yhden sivun pituus on $5$ (koska on $5$-soluja), ja toinen on $6$ (koska siellä on $6$-soluja). Siksi tämän kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet tällaisesta suorakulmiosta. Suorakulmion pinta-ala on

Sitten kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin

Vastaus: 15 dollaria.

Seuraavaksi tarkastellaan useita menetelmiä kolmioiden alueiden löytämiseksi, nimittäin korkeuden ja pohjan avulla, Heronin kaavan ja tasasivuisen kolmion alueen avulla.

Kuinka löytää kolmion pinta-ala sen korkeuden ja pohjan avulla

Lause 1

Kolmion pinta-ala saadaan puoleksi sivun pituuden ja sen sivun korkeuden tulosta.

Matemaattisesti se näyttää tältä

$S=\frac(1)(2)αh$

missä $a$ on sivun pituus, $h$ on siihen piirretty korkeus.

Todiste.

Tarkastellaan kolmiota $ABC$, jossa $AC=α$. Korkeus $BH$ piirretään tälle puolelle, joka on yhtä suuri kuin $h$. Rakennetaan se neliöön $AXYC$ kuten kuvassa 2.

Suorakulmion $AXBH$ pinta-ala on $h\cdot AH$ ja suorakulmion $HBYC$ pinta-ala on $h\cdot HC$. Sitten

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Siksi kolmion vaadittu pinta-ala ominaisuudella 2 on yhtä suuri kuin

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Lause on todistettu.

Esimerkki 2

Etsi alla olevasta kuvasta kolmion pinta-ala, jos solun pinta-ala on yhtä suuri

Tämän kolmion kanta on yhtä suuri kuin $ 9 $ (koska $ 9 $ on $ 9 $ neliöitä). Korkeus on myös 9 dollaria. Sitten lauseen 1 perusteella saamme

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Vastaus: 40,5 dollaria.

Heronin kaava

Lause 2

Jos meille annetaan kolmion $α$, $β$ ja $γ$ kolme sivua, niin sen pinta-ala löytyy seuraavasti

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tässä $ρ$ tarkoittaa tämän kolmion puolikehää.

Todiste.

Harkitse seuraavaa kuvaa:

Pythagoraan lauseella saadaan kolmiosta $ABH$

Pythagoraan lauseen mukaan kolmiosta $CBH$ saamme

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Näistä kahdesta suhteesta saamme tasa-arvon

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Koska $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, sitten $α+β+γ=2ρ$, mikä tarkoittaa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Lauseen 1 perusteella saamme

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$