Ota suurten lukujen neliöjuuri. Matematiikasta pidän

Ratkaistaessa erilaisia ​​tehtäviä matematiikan ja fysiikan kurssilta oppilaat ja opiskelijat kohtaavat usein tarpeen poimia toisen, kolmannen tai n:nnen asteen juuret. Tietenkin vuosisadalla tietotekniikat Tämän ongelman ratkaiseminen laskimen avulla ei ole vaikeaa. Kuitenkin syntyy tilanteita, joissa elektronista avustajaa ei voi käyttää.

Esimerkiksi moniin kokeisiin ei saa tuoda elektroniikkaa. Lisäksi sinulla ei ehkä ole laskinta käsillä. Tällaisissa tapauksissa on hyödyllistä tietää ainakin jotkin menetelmät radikaalien manuaaliseen laskemiseen.

Yksi yksinkertaisimmista tavoista laskea juuret on käyttämällä erityistä pöytää. Mikä se on ja miten sitä käytetään oikein?

Taulukon avulla löydät minkä tahansa luvun väliltä 10 - 99 neliön. Taulukon rivit sisältävät kymmenien arvot ja sarakkeet yksiköiden arvot. Rivin ja sarakkeen leikkauskohdassa oleva solu sisältää kaksinumeroisen luvun neliön. Laskeaksesi neliön 63, sinun täytyy löytää rivi, jonka arvo on 6, ja sarake, jonka arvo on 3. Leikkauksesta löydämme solun numerolla 3969.

Koska juuren erottaminen on neliöinnin käänteisoperaatio, tämän toiminnon suorittamiseksi sinun on toimittava päinvastoin: etsi ensin solu numerolla, jonka radikaalin haluat laskea, ja käytä sitten sarakkeen ja rivin arvoja määrittääksesi vastauksen. . Harkitse esimerkiksi laskelmaa neliöjuuri 169.

Löydämme taulukosta solun tällä numerolla, vaakasuunnassa määritämme kymmeniä - 1, pystysuunnassa löydämme yksiköt - 3. Vastaus: √169 = 13.

Vastaavasti voit laskea kuution ja n:nnen juuren käyttämällä sopivia taulukoita.

Menetelmän etuna on sen yksinkertaisuus ja lisälaskelmien puuttuminen. Haitat ovat ilmeiset: menetelmää voidaan käyttää vain rajoitetulle lukualueelle (luvun, jonka juuri löytyy, on oltava välillä 100 - 9801). Lisäksi se ei toimi, jos annettu numero ei taulukossa.

Alkutekijähajotelma

Jos neliötaulukko ei ole käsillä tai juuren löytäminen sen avulla osoittautui mahdottomaksi, voit kokeilla kerro juuren alla oleva luku alkutekijöiksi. Alkutekijät ovat sellaisia, jotka voivat olla täysin (ilman jäännöstä) jaettavissa vain itsellään tai yhdellä. Esimerkkejä voivat olla 2, 3, 5, 7, 11, 13 jne.

Harkitsemme juuren laskemista √576:n esimerkillä. Jaetaan se päätekijöihin. Saamme seuraavan tuloksen: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Käyttämällä juurten perusominaisuutta √a² = a, pääsemme eroon juurista ja neliöistä ja laskemme sitten vastauksen: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Mitä tehdä, jos jollakin kertojalla ei ole omaa paria? Harkitse esimerkiksi √54:n laskentaa. Tekijänmäärityksen jälkeen saamme tuloksen sisään seuraavalla lomakkeella: √54 = √(2∙3∙3∙3) = √3² ∙ √(2∙3) = 3√6. Ei-irrotettava osa voidaan jättää juuren alle. Useimmissa geometria- ja algebraongelmissa tämä vastaus lasketaan lopulliseksi vastaukseksi. Mutta jos likimääräiset arvot on laskettava, voit käyttää menetelmiä, joita käsitellään alla.

Heronin menetelmä

Mitä tehdä, kun sinun on tiedettävä ainakin likimääräisesti, mikä erotettu juuri on yhtä suuri (jos on mahdotonta saada kokonaislukuarvoa)? Heronin menetelmällä saadaan nopea ja melko tarkka tulos. Sen ydin on käyttää likimääräistä kaavaa:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

missä R on luku, jonka juuri on laskettava, a on lähin luku, jonka juuriarvo tiedetään.

Katsotaan kuinka menetelmä toimii käytännössä ja arvioidaan kuinka tarkka se on. Lasketaan mikä √111 on yhtä suuri. Lukua 111 lähinnä oleva luku, jonka juuri tunnetaan, on 121. Siten R = 111, a = 121. Korvaa arvot kaavaan:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tarkastetaan nyt menetelmän tarkkuus:

10,55² = 111,3025.

Menetelmän virhe oli noin 0,3. Jos menetelmän tarkkuutta on parannettava, voit toistaa aiemmin kuvatut vaiheet:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Tarkastetaan laskennan tarkkuus:

10,536² = 111,0073.

Kaavan uudelleen soveltamisen jälkeen virhe muuttui täysin merkityksettömäksi.

Juuren laskeminen pitkällä jaolla

Tämä neliöjuuren arvon löytämismenetelmä on hieman monimutkaisempi kuin edelliset. Se on kuitenkin tarkin muiden laskentamenetelmien joukossa ilman laskinta.

Oletetaan, että sinun on löydettävä neliöjuuri 4 desimaalin tarkkuudella. Analysoidaan laskenta-algoritmia mielivaltaisen luvun 1308.1912 esimerkillä.

1. Jaa paperiarkki kahteen osaan pystyviivalla ja vedä siitä toinen viiva oikealle, hieman yläreunan alapuolelle. Kirjoita numero vasemmalle puolelle jakamalla se 2 numeron ryhmiin siirtyen desimaalipilkun oikealle ja vasemmalle. Vasemmalla oleva ensimmäinen numero voi olla ilman paria. Jos merkki puuttuu numeron oikealta puolelta, lisää 0. Meidän tapauksessamme tulos on 13 08.19 12.
2. Valitaan paras iso luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin ensimmäinen numeroryhmä. Meidän tapauksessamme se on 3. Kirjoita se oikeaan yläkulmaan; 3 on tuloksen ensimmäinen numero. Oikeassa alakulmassa merkitsemme 3×3 = 9; tätä tarvitaan myöhempiä laskelmia varten. Sarakkeen 13:sta vähennämme 9, saamme 4:n jäännöksen.
3. Määritetään seuraava numeropari jäännökselle 4; saamme 408.
4. Kerro oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita se ylös oikeaan alakulmaan lisäämällä siihen _ x _ =. Saamme 6_ x _ =.
5. Väliviivojen sijaan sinun on korvattava sama luku, pienempi tai yhtä suuri kuin 408. Saamme 66 × 6 = 396. Kirjoitamme 6 oikeasta yläkulmasta, koska tämä on tuloksen toinen numero. Kun 408:sta vähennetään 396, saadaan 12.
6. Toistetaan vaiheet 3-6. Koska alaspäin siirretyt numerot ovat luvun murto-osassa, on syytä laittaa desimaalipiste ylhäällä oikealle 6:n jälkeen. Kirjoitetaan kaksoistulos viivoilla: 72_ x _ =. Sopiva luku olisi 1: 721×1 = 721. Kirjoita se vastaukseksi. Vähennetään 1219 - 721 = 498.
7. Suoritetaan edellisessä kappaleessa annettu toimintosarja vielä kolme kertaa saadaksesi tarvittavan määrän desimaaleja. Jos merkkejä ei ole tarpeeksi lisälaskelmia varten, sinun on lisättävä kaksi nollaa vasemmalla olevaan nykyiseen numeroon.

Tuloksena saamme vastauksen: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jos tarkistat toiminnon laskimella, voit varmistaa, että kaikki merkit tunnistettiin oikein.

Bittikohtainen neliöjuuren laskenta

Menetelmä on erittäin tarkka. Lisäksi se on varsin ymmärrettävää eikä vaadi kaavojen ulkoa tai monimutkaista toimintoalgoritmia, koska menetelmän ydin on valita oikea tulos.

Poimitaan luvun 781 juuri. Tarkastellaan toimintojen järjestystä yksityiskohtaisesti.

1. Selvitetään mikä neliöjuuren arvon numero on merkittävin. Tätä varten neliötetään 0, 10, 100, 1000 jne. ja selvitetään, minkä välissä radikaaliluku sijaitsee. Saamme sen 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Valitaan kymmenien arvo. Tätä varten nostetaan vuorotellen potenssiin 10, 20, ..., 90, kunnes saadaan luku, joka on suurempi kuin 781. Meidän tapauksessamme saamme 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. tuloksen n arvo on 20 sisällä< n <30.
3. Kuten edellisessä vaiheessa, yksikkönumeron arvo valitaan. Neliötetään 21,22, ..., 29 yksitellen: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Saamme, että 7824.²< n < 28.
4. Jokainen seuraava numero (kymmenesosat, sadasosat jne.) lasketaan samalla tavalla kuin yllä. Laskelmia suoritetaan, kunnes vaadittu tarkkuus on saavutettu.

On aika selvittää asia juurenpoistomenetelmät. Ne perustuvat juurien ominaisuuksiin, erityisesti yhtäläisyyteen, mikä pätee mille tahansa ei-negatiiviselle luvulle b.

Alla tarkastellaan tärkeimpiä menetelmiä juurien poistamiseksi yksitellen.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - juurien poimiminen luonnollisista luvuista neliötaulukon, kuutiotaulukon jne. avulla.

Jos taulukot neliöistä, kuutioista jne. Jos sinulla ei ole sitä käsillä, on loogista käyttää juuren poimimismenetelmää, jossa radikaaliluku hajotetaan alkutekijöiksi.

Erityisesti on syytä mainita, mikä on mahdollista juurille, joilla on parittomat eksponentit.

Lopuksi tarkastellaan menetelmää, jonka avulla voimme löytää peräkkäin juuriarvon numerot.

Aloitetaan.

Käyttämällä neliötaulukkoa, kuutiotaulukkoa jne.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa neliöiden, kuutioiden jne. taulukoiden avulla voit poimia juuria. Mitä nämä taulukot ovat?

Kokonaislukujen 0-99 neliötaulukko (näkyy alla) koostuu kahdesta vyöhykkeestä. Taulukon ensimmäinen vyöhyke sijaitsee harmaalla taustalla valitsemalla tietyn rivin ja tietyn sarakkeen, jonka avulla voit kirjoittaa numeron väliltä 0 - 99. Valitsemme esimerkiksi 8 kymmenen rivin ja 3 yksikön sarakkeen, jolla korjasimme numeron 83. Toinen vyöhyke sijaitsee muualla pöydässä. Jokainen solu sijaitsee tietyn rivin ja tietyn sarakkeen leikkauskohdassa ja sisältää vastaavan luvun neliön välillä 0 - 99. Valitsemamme 8 kymmenien rivin ja ykkösten sarakkeen 3 leikkauskohdassa on solu numerolla 6 889, joka on luvun 83 neliö.

Kuutiotaulukot, numeroiden 0-99 neljännet potenssit ja niin edelleen ovat samanlaisia ​​kuin neliötaulukot, vain ne sisältävät kuutiot, neljännet potenssit jne. toisessa vyöhykkeessä. vastaavat numerot.

Taulukot neliöistä, kuutioista, neljännestä potenssista jne. voit poimia neliöjuuret, kuutiojuuret, neljännet juuret jne. vastaavasti näiden taulukoiden numeroista. Selvitetään niiden käytön periaate juuria poimittaessa.

Oletetaan, että meidän on erotettava luvun a n:s juuri, kun taas luku a sisältyy n:nnen potenssien taulukkoon. Tämän taulukon avulla löydämme luvun b siten, että a=b n. Sitten , siksi luku b on haluttu n:nnen asteen juuri.

Esimerkkinä näytetään, kuinka kuutiotaulukon avulla poimitaan 19 683:n kuutiojuuri. Löydämme kuutiotaulukosta luvun 19 683, josta huomaamme, että tämä luku on luvun 27 kuutio, joten .

On selvää, että n:nnet potenssit ovat erittäin käteviä juurien poimimiseen. Ne eivät kuitenkaan usein ole käsillä, ja niiden kokoaminen vie jonkin aikaa. Lisäksi on usein tarpeen poimia juuria luvuista, joita ei ole vastaavissa taulukoissa. Näissä tapauksissa sinun on turvauduttava muihin juurenpoistomenetelmiin.

Radikaaliluvun laskeminen alkutekijöiksi

Melko kätevä tapa erottaa luonnollisen luvun juuri (jos tietysti juuri erotetaan) on hajottaa radikaaliluku alkutekijöiksi. Hänen pointti on tämä: sen jälkeen se on melko helppo esittää potenssina halutulla eksponentilla, jonka avulla voit saada juuren arvon. Selvennetään tätä kohtaa.

Otetaan luonnollisen luvun a n:s juuri ja sen arvo on b. Tässä tapauksessa yhtälö a=b n on tosi. Luku b, kuten mikä tahansa luonnollinen luku, voidaan esittää kaikkien sen alkutekijöiden p 1 , p 2 , …, p m tulona muodossa p 1 ·p 2 ·…·p m , ja radikaaliluku a tässä tapauksessa on esitetty muodossa (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Koska luvun hajottaminen alkutekijöiksi on ainutlaatuinen, radikaaliluvun a hajottaminen alkutekijöiksi saa muotoa (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mikä mahdollistaa juuren arvon laskemisen. kuten.

Huomaa, että jos radikaaliluvun a hajotusta alkutekijöiksi ei voida esittää muodossa (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, niin tällaisen luvun a n:ttä juuria ei eroteta kokonaan.

Selvitetään tämä, kun ratkaisemme esimerkkejä.

Esimerkki.

Ota luvun 144 neliöjuuri.

Ratkaisu.

Jos katsot edellisessä kappaleessa annettua neliötaulukkoa, näet selvästi, että 144 = 12 2, josta on selvää, että luvun 144 neliöjuuri on yhtä suuri kuin 12.

Mutta tämän asian valossa olemme kiinnostuneita siitä, kuinka juuri erotetaan hajottamalla radikaaliluku 144 alkutekijöiksi. Katsotaanpa tätä ratkaisua.

Hajotetaanpa 144 alkutekijöihin:

Eli 144=2·2·2·2·3·3. Tuloksena olevan hajotuksen perusteella voidaan suorittaa seuraavat muunnokset: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Siten, .

Asteiden ja juurien ominaisuuksien avulla ratkaisu voitaisiin muotoilla hieman eri tavalla: .

Vastaus:

Aineiston yhdistämiseksi harkitse kahden muun esimerkin ratkaisuja.

Esimerkki.

Laske juuren arvo.

Ratkaisu.

Radikaaliluvun 243 alkulukujako on muotoa 243=3 5 . Täten, .

Vastaus:

Esimerkki.

Onko juuriarvo kokonaisluku?

Ratkaisu.

Vastatakseen tähän kysymykseen lasketaan radikaaliluku alkutekijöiksi ja katsotaan, voidaanko se esittää kokonaisluvun kuutiona.

Meillä on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Tuloksena olevaa laajennusta ei voida esittää kokonaisluvun kuutiona, koska alkutekijän 7 potenssi ei ole kolmen kerrannainen. Siksi luvun 285 768 kuutiojuurta ei voida poimia kokonaan.

Vastaus:

Ei.

Juurien erottaminen murtoluvuista

On aika selvittää, kuinka murtoluvun juuri voidaan erottaa. Kirjoitetaan murto-radikaaliluku muodossa p/q. Osamäärän juuren ominaisuuden mukaan seuraava yhtälö on tosi. Tästä tasa-arvosta se seuraa sääntö murto-osan juuren erottamiseksi: Murtoluvun juuri on yhtä kuin osoittajan juuren osamäärä jaettuna nimittäjän juurella.

Katsotaanpa esimerkkiä juuren erottamisesta murtoluvusta.

Esimerkki.

Mikä on yhteisen murtoluvun 25/169 neliöjuuri?

Ratkaisu.

Neliötaulukon avulla huomaamme, että alkuperäisen murtoluvun osoittajan neliöjuuri on yhtä suuri kuin 5 ja nimittäjän neliöjuuri on 13. Sitten . Tämä saa päätökseen yhteisen fraktion 25/169 juuren uuttamisen.

Vastaus:

Desimaaliluvun tai sekaluvun juuri erotetaan sen jälkeen, kun radikaaliluvut on korvattu tavallisilla murtoluvuilla.

Esimerkki.

Ota desimaaliluvun 474,552 kuutiojuuri.

Ratkaisu.

Kuvitellaan alkuperäinen desimaalimurto tavallisena murtolukuna: 474.552=474552/1000. Sitten . Jää vielä poimia kuutiojuuret, jotka ovat tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä. Koska 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, sitten Ja . Jäljelle jää vain laskelmien suorittaminen .

Vastaus:

.

Negatiivisen luvun juuren ottaminen

On syytä keskittyä juurien erottamiseen negatiivisista luvuista. Juuria tutkiessamme sanoimme, että kun juurieksponentti on pariton luku, niin juurimerkin alla voi olla negatiivinen luku. Annoimme näille merkinnöille seuraavan merkityksen: negatiiviselle luvulle −a ja juuren parittomille eksponenteille 2 n−1, . Tämä tasa-arvo antaa sääntö parittojen juurien erottamiseksi negatiivisista luvuista: jos haluat erottaa negatiivisen luvun juuren, sinun on otettava vastakkaisen positiivisen luvun juuri ja asetettava miinusmerkki tuloksen eteen.

Katsotaanpa esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Etsi juuren arvo.

Ratkaisu.

Muunnetaan alkuperäinen lauseke niin, että juurimerkin alla on positiivinen luku: . Korvaa nyt sekoitettu luku tavallisella murtoluvulla: . Käytämme sääntöä tavallisen murtoluvun juuren erottamiseen: . Jää vielä laskea juuret tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä: .

Tässä lyhyt yhteenveto ratkaisusta: .

Vastaus:

.

Juuriarvon bittikohtainen määritys

Yleisessä tapauksessa juuren alla on luku, jota ei edellä käsitellyillä tekniikoilla voida esittää minkään luvun n:nnenä potenssina. Mutta tässä tapauksessa on tarpeen tietää tietyn juuren merkitys, ainakin tiettyyn merkkiin asti. Tässä tapauksessa juuren purkamiseksi voit käyttää algoritmia, jonka avulla voit saada peräkkäin riittävän määrän halutun luvun numeroarvoja.

Tämän algoritmin ensimmäinen vaihe on selvittää, mikä on juuriarvon merkittävin bitti. Tätä varten luvut 0, 10, 100, ... nostetaan peräkkäin potenssiin n, kunnes saadaan hetki, jolloin luku ylittää radikaaliluvun. Sitten luku, jonka nostimme potenssiin n edellisessä vaiheessa, osoittaa vastaavan merkittävimmän numeron.

Harkitse esimerkiksi tätä algoritmin vaihetta, kun poimit viiden neliöjuuren. Otetaan luvut 0, 10, 100, ... ja neliötetään niitä, kunnes saadaan luku, joka on suurempi kuin 5. Meillä on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mikä tarkoittaa, että tärkein numero on ykkönen. Tämän bitin, samoin kuin alempien, arvo löytyy juurenpoistoalgoritmin seuraavissa vaiheissa.

Algoritmin kaikki seuraavat vaiheet tähtäävät juuren arvon peräkkäiseen selvittämiseen etsimällä juuren halutun arvon seuraavien bittien arvot alkaen korkeimmasta ja siirtymällä alhaisimpiin. Esimerkiksi juuren arvo ensimmäisessä vaiheessa osoittautuu 2, toisessa - 2,2, kolmannessa - 2,23 ja niin edelleen 2,236067977…. Kuvataan kuinka numeroiden arvot löydetään.

Numerot löytyvät etsimällä niiden mahdollisista arvoista 0, 1, 2, ..., 9. Tässä tapauksessa vastaavien lukujen n:nnet potenssit lasketaan rinnakkain ja niitä verrataan radikaalinumeroon. Jos jossain vaiheessa asteen arvo ylittää radikaaliluvun, edellistä arvoa vastaavan numeron arvon katsotaan löytyneen ja siirrytään juuripoimintaalgoritmin seuraavaan vaiheeseen, jos näin ei tapahdu; sitten tämän numeron arvo on 9.

Selitämme nämä kohdat käyttämällä samaa esimerkkiä viiden neliöjuuren erottamisesta.

Ensin löydämme yksiköiden numeron arvon. Käymme läpi arvot 0, 1, 2, ..., 9 laskemalla vastaavasti 0 2, 1 2, ..., 9 2, kunnes saamme arvon, joka on suurempi kuin radikaaliluku 5. On kätevää esittää kaikki nämä laskelmat taulukon muodossa:

Joten yksikkönumeron arvo on 2 (koska 2 2<5 , а 2 3 >5). Jatketaan kymmenysten arvon selvittämistä. Tässä tapauksessa neliöimme luvut 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 vertaamalla saatuja arvoja radikaalinumeroon 5:

2.2 lähtien 2<5 , а 2,3 2 >5, niin kymmenesosan arvo on 2. Voit jatkaa sadasosan arvon etsimistä:

Näin löydettiin viiden juuren seuraava arvo, se on yhtä suuri kuin 2,23. Ja niin voit jatkaa arvojen löytämistä: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aineiston lujittamiseksi analysoimme juuren erottamisen sadasosan tarkkuudella tarkasteltavalla algoritmilla.

Ensin määritetään merkittävin numero. Tätä varten kuutioimme luvut 0, 10, 100 jne. kunnes saamme luvun, joka on suurempi kuin 2 151 186. Meillä on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, joten merkittävin numero on kymmeniä.

Määritetään sen arvo.

Vuodesta 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, silloin kymmenten paikan arvo on 1. Siirrytään yksiköihin.

Näin ollen ykkösten arvo on 2. Jatketaan kymmenesosia.

Koska jopa 12,9 3 on pienempi kuin radikaaliluku 2 151,186, niin kymmenesosan arvo on 9. Vielä on suoritettava algoritmin viimeinen vaihe, joka antaa meille juuriarvon vaaditulla tarkkuudella.

Tässä vaiheessa juuren arvo löydetään sadasosien tarkkuudella: .

Tämän artikkelin lopuksi haluaisin sanoa, että on monia muita tapoja poimia juuria. Mutta useimpiin tehtäviin edellä tutkitut tehtävät ovat riittäviä.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8. luokalle. koulutusinstituutiot.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleiskoulujen luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin tuleville).

On olemassa useita menetelmiä neliöjuuren laskemiseen ilman laskinta.

Kuinka löytää luvun juuri - 1 tapa

• Yksi tapa on laskea luku juuren alle. Nämä komponentit kerrottuna muodostavat radikaalin arvon. Tuloksen tarkkuus riippuu juuren alla olevasta numerosta.
• Jos otat esimerkiksi luvun 1 600 ja alat laskea sitä, päättely rakentuu seuraavasti: tämä luku on 100:n kerrannainen, mikä tarkoittaa, että se voidaan jakaa 25:llä; koska luvun 25 juuri on otettu, luku on neliö ja soveltuu lisälaskelmiin; jakamalla saamme toisen luvun - 64. Tämä luku on myös neliö, joten juuri voidaan erottaa hyvin; Näiden laskelmien jälkeen juuren alle voit kirjoittaa luvun 1600 25:n ja 64:n tulona.

• Yksi juuren erottamista koskevista säännöistä sanoo, että tekijöiden tulon juuri on yhtä suuri kuin luku, joka saadaan kertomalla kunkin tekijän juuret. Tämä tarkoittaa, että: √(25*64) = √25 * √64. Jos otamme juuret arvoista 25 ja 64, saadaan seuraava lauseke: 5 * 8 = 40. Eli luvun 1600 neliöjuuri on 40.
• Mutta tapahtuu niin, että juuren alla olevaa lukua ei voida hajottaa kahteen tekijään, joista koko juuri saadaan. Tyypillisesti tämä voidaan tehdä vain yhdelle kertoimista. Siksi useimmiten tällaisessa yhtälössä ei ole mahdollista löytää ehdottoman tarkkaa vastausta.
• Tässä tapauksessa voidaan laskea vain likimääräinen arvo. Siksi sinun on otettava kertoimen juuri, joka on neliöluku. Tämä arvo kerrotaan sitten toisen luvun juurella, joka ei ole yhtälön neliötermi.
• Se näyttää tältä. Otetaan esimerkiksi luku 320. Se voidaan jakaa 64:ksi ja 5:ksi. Voit poimia koko juuren luvusta 64, mutta ei 5:stä. Siksi lauseke näyttää tältä: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Tarvittaessa voit löytää tämän tuloksen likimääräisen arvon laskemalla
  √5 ≈ 2,236, joten √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Myös juuren alla oleva luku voidaan hajottaa useiksi alkutekijöiksi, ja samat voidaan ottaa sen alta pois. Esimerkki: √75 = √(5*5*3) ​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Kuinka löytää luvun juuri - menetelmä 2

• Toinen tapa on tehdä pitkä jako. Jako tapahtuu samalla tavalla, mutta sinun tarvitsee vain etsiä neliönumeroita, joista voit sitten poimia juuren.
• Tässä tapauksessa kirjoitamme neliönumeron päälle ja vähennämme sen vasemmalle puolelle ja erotettu juuri alhaalta.
• Nyt toinen arvo on tuplattava ja kirjoitettava oikeasta alakulmasta muodossa: numero_x_=. Aukot tulee täyttää numerolla, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin vaadittu arvo vasemmalla - aivan kuten normaalissa jaossa.
• Tarvittaessa tämä tulos vähennetään jälleen vasemmalta. Tällaisia ​​laskelmia jatketaan, kunnes tulos saavutetaan. Voit myös lisätä nollia, kunnes saavutat halutun desimaalien määrän.

Ennen laskimia opiskelijat ja opettajat laskivat neliöjuuret käsin. On olemassa useita tapoja laskea luvun neliöjuuri manuaalisesti. Jotkut niistä tarjoavat vain likimääräisen ratkaisun, toiset antavat tarkan vastauksen.

Askeleet

Alkutekijähajotelma

Kerro radikaaliluku tekijöiksi, jotka ovat neliölukuja. Radikaaliluvusta riippuen saat likimääräisen tai tarkan vastauksen. Neliöluvut ovat lukuja, joista voidaan ottaa koko neliöjuuri. Tekijät ovat lukuja, jotka kerrottuna antavat alkuperäisen luvun. Esimerkiksi luvun 8 tekijät ovat 2 ja 4, koska 2 x 4 = 8, luvut 25, 36, 49 ovat neliölukuja, koska √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Neliötekijät ovat tekijöitä, jotka ovat neliölukuja. Yritä ensin laskea radikaaliluku neliötekijöiksi.

• Laske esimerkiksi 400:n neliöjuuri (käsin). Kokeile ensin laskea 400 neliötekijöiksi. 400 on 100:n kerrannainen, eli jaollinen 25:llä - tämä on neliöluku. Jakamalla 400 luvulla 25, saat 16. Luku 16 on myös neliöluku. Näin ollen 400 voidaan laskea neliötekijöihin 25 ja 16, eli 25 x 16 = 400.
• Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: √400 = √(25 x 16).

1. Joidenkin termien tulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin kunkin termin neliöjuuren tulo, eli √(a x b) = √a x √b. Käytä tätä sääntöä ottaaksesi neliöjuuren kunkin neliötekijän ja kertomalla tulokset löytääksesi vastauksen.

   • Esimerkissämme on 25:n ja 16:n juuri.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jos radikaaliluku ei kerro kahta neliötekijää (ja näin tapahtuu useimmissa tapauksissa), et voi löytää tarkkaa vastausta kokonaisluvun muodossa. Mutta voit yksinkertaistaa ongelmaa jakamalla radikaaliluvun neliötekijäksi ja tavalliseksi tekijäksi (luku, josta ei voida ottaa koko neliöjuurta). Sitten otat neliötekijän neliöjuuren ja otat yhteisen tekijän juuren.

   • Laske esimerkiksi luvun 147 neliöjuuri. Lukua 147 ei voi laskea kahteen neliötekijään, mutta se voidaan jakaa seuraaviin tekijöihin: 49 ja 3. Ratkaise tehtävä seuraavasti:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Tarvittaessa arvioi juuren arvo. Nyt voit arvioida juuren arvon (löytää likimääräisen arvon) vertaamalla sitä neliölukujen juurien arvoihin, jotka ovat lähimpänä (lukuviivan molemmilla puolilla) radikaalilukua. Saat juuriarvon desimaalilukuna, joka on kerrottava juurimerkin takana olevalla luvulla.

   • Palataanpa esimerkkiimme. Radikaaliluku on 3. Sitä lähinnä olevat neliöluvut ovat luvut 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Siten √3:n arvo sijaitsee 1:n ja 2:n välillä. Koska √3:n arvo on todennäköisesti lähempänä 2:ta kuin 1:tä, arviomme on: √3 = 1,7. Kerromme tämän arvon juurimerkin luvulla: 7 x 1,7 = 11,9. Jos teet laskutoimituksen laskimella, saat 12,13, mikä on melko lähellä vastaustamme.
     • Tämä menetelmä toimii myös suurilla numeroilla. Oletetaan esimerkiksi √35. Radikaaliluku on 35. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Näin ollen √35:n arvo sijaitsee välillä 5 ja 6. Koska √35:n arvo on paljon lähempänä 6:ta kuin 5:tä (koska 35 on vain 1 pienempi kuin 36), voidaan sanoa, että √35 on hieman alle 6 Laskurin tarkistus antaa meille vastauksen 5,92 - olimme oikeassa.

4. Toinen tapa on laskea radikaaliluku alkutekijöiksi. Alkutekijät ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Kirjoita alkutekijät sarjaan ja etsi identtisten tekijöiden parit. Tällaiset tekijät voidaan ottaa pois juurimerkistä.

   • Laske esimerkiksi 45:n neliöjuuri. Laitamme radikaaliluvun alkutekijöihin: 45 = 9 x 5 ja 9 = 3 x 3. Näin ollen √45 = √(3 x 3 x 5). 3 voidaan ottaa pois juurimerkkinä: √45 = 3√5. Nyt voimme arvioida √5.
   • Katsotaanpa toista esimerkkiä: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sait kolme kerrointa 2; ota pari niitä ja siirrä ne juurimerkin yli.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyt voit arvioida √2 ja √11 ja löytää likimääräisen vastauksen.

   Laske neliöjuuri manuaalisesti

   Pitkän jaon käyttäminen

   1. Tämä menetelmä sisältää pitkän jaon kaltaisen prosessin ja antaa tarkan vastauksen. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka jakaa arkin kahteen puolikkaaseen, ja vedä sitten oikealle ja hieman arkin yläreunan alapuolelle vaakaviiva pystyviivaan. Jaa nyt radikaaliluku lukupareiksi aloittaen desimaalipilkun jälkeisestä murto-osasta. Joten numero 79520789182.47897 kirjoitetaan muodossa "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Lasketaan esimerkiksi luvun 780.14 neliöjuuri. Piirrä kaksi viivaa (kuten kuvassa) ja kirjoita annettu numero vasemmassa yläkulmassa olevaan muotoon “7 80, 14”. On normaalia, että ensimmäinen numero vasemmalta on pariton numero. Kirjoitat vastauksen (tämän luvun juuren) oikeaan yläkulmaan.

   2. Etsi ensimmäiselle numeroparille (tai yksittäiselle numerolle) vasemmalta suurin kokonaisluku n, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin kyseessä oleva lukupari (tai yksittäinen luku). Toisin sanoen etsi neliöluku, joka on lähimpänä, mutta pienempi kuin ensimmäinen numeropari (tai yksittäinen luku) vasemmalta, ja ota neliöjuuri kyseisestä neliöluvusta; saat numeron n. Kirjoita löytämäsi n oikeaan yläkulmaan ja n:n neliö oikeaan alakulmaan.

      • Meidän tapauksessamme ensimmäinen numero vasemmalla on 7. Seuraavaksi 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Vähennä juuri löytämäsi luvun n neliö ensimmäisestä numeroparista (tai yksittäisestä numerosta) vasemmalla. Kirjoita laskennan tulos aliosan (luvun n neliön) alle.

      • Esimerkissämme vähennä 4 7:stä ja saat 3.

   4. Ota toinen numeropari muistiin ja kirjoita se edellisessä vaiheessa saadun arvon viereen. Tuplaa sitten oikea yläkulman luku ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan lisäämällä "_×_=".

      • Esimerkissämme toinen numeropari on "80". Kirjoita "80" 3:n perään. Tuplaa sitten oikealla ylhäällä oleva numero, jolloin saadaan 4. Kirjoita oikeaan alakulmaan "4_×_=".

   5. Täytä oikealla olevat kohdat.

      • Meidän tapauksessamme, jos laitamme luvun 8 väliviivojen sijaan, niin 48 x 8 = 384, mikä on enemmän kuin 380. Siksi 8 on liian suuri luku, mutta 7 riittää. Kirjoita viivojen sijaan 7 ja saa: 47 x 7 = 329. Kirjoita oikeaan yläkulmaan 7 - tämä on luvun 780.14 halutun neliöjuuren toinen numero.

   6. Vähennä tuloksena oleva luku vasemmalla olevasta nykyisestä numerosta. Kirjoita edellisen vaiheen tulos nykyisen numeron alle vasemmalle, etsi ero ja kirjoita se alaosan alle.

      • Esimerkissämme vähennä 329 luvusta 380, joka on 51.

   7. Toista vaihe 4. Jos siirrettävä lukupari on alkuperäisen luvun murto-osa, laita erotin (pilkku) kokonaisluvun ja murto-osien väliin vaadittuun neliöjuureen oikeassa yläkulmassa. Laske vasemmalla seuraava numeropari alas. Tuplaa numero oikeassa yläkulmassa ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan lisäämällä "_×_=".

      • Esimerkissämme seuraava poistettava numeropari on luvun 780.14 murto-osa, joten aseta kokonaisluvun ja murto-osien erotin haluttuun neliöjuureen oikeassa yläkulmassa. Ota 14 alas ja kirjoita se ylös vasempaan alakulmaan. Oikeassa yläkulmassa oleva tuplanumero (27) on 54, joten kirjoita "54_×_=" oikeaan alakulmaan.

   8. Toista vaiheet 5 ja 6. Etsi oikealla olevien viivojen tilasta suurin luku (viivoiden sijaan sinun on korvattava sama luku), jotta kertolaskutulos on pienempi tai yhtä suuri kuin nykyinen vasemmalla oleva luku.

      • Esimerkissämme 549 x 9 = 4941, mikä on pienempi kuin nykyinen numero vasemmalla (5114). Kirjoita oikeaan yläkulmaan 9 ja vähennä kertolaskutulos vasemmalla olevasta nykyisestä luvusta: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jos haluat löytää lisää desimaaleja neliöjuurelle, kirjoita pari nollaa nykyisen luvun vasemmalle puolelle ja toista vaiheet 4, 5 ja 6. Toista vaiheet, kunnes saat vastauksen tarkkuuden (desimaalien lukumäärä). tarve.

   Prosessin ymmärtäminen

   Tämän menetelmän hallitsemiseksi kuvittele numero, jonka neliöjuuri sinun on löydettävä neliön S pinta-alaksi. Tässä tapauksessa etsit tällaisen neliön sivun L pituutta. Laskemme L:n arvon, jossa L² = S.

   Anna jokaiselle vastauksessa olevalle numerolle kirjain. Merkitään A:lla L:n arvon ensimmäinen luku (haluttu neliöjuuri). B on toinen numero, C kolmas ja niin edelleen.

   Määritä kirjain jokaiselle ensimmäisten numeroiden parille. Merkitään S a:lla S:n arvon ensimmäinen numeropari, S b:llä toinen numeropari ja niin edelleen.

   Ymmärrä tämän menetelmän ja pitkän jaon välinen yhteys. Aivan kuten jaossa, jossa olemme kiinnostuneita vain jaettavan luvun seuraavasta numerosta joka kerta, neliöjuurta laskettaessa käymme läpi numeroparin peräkkäin (saadaksemme neliöjuuren arvon seuraavan numeron ).

   1. Tarkastellaan luvun S ensimmäistä numeroparia Sa (esimerkissämme Sa = 7) ja etsitään sen neliöjuuri. Tässä tapauksessa halutun neliöjuuren arvon ensimmäinen numero A on numero, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin S a (eli etsimme sellaista A:ta, jossa epäyhtälö A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Oletetaan, että meidän on jaettava 88962 seitsemällä; tässä ensimmäinen vaihe on samanlainen: tarkastelemme jaollisen luvun 88962 ensimmäistä numeroa (8) ja valitsemme suurimman luvun, joka kerrottuna 7:llä antaa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 8. Eli etsimme luku d, jolle epäyhtälö on tosi: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Kuvittele henkisesti neliö, jonka pinta-ala sinun on laskettava. Etsit L:tä eli neliön sivun pituutta, jonka pinta-ala on S. A, B, C ovat luvun L numerot. Voit kirjoittaa sen eri tavalla: 10A + B = L (for kaksinumeroinen luku) tai 100A + 10B + C = L (kolminumeroinen luku) ja niin edelleen.

      • Antaa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Muista, että 10A+B on luku, jossa numero B tarkoittaa yksiköitä ja numero A tarkoittaa kymmeniä. Jos esimerkiksi A=1 ja B=2, niin 10A+B on yhtä suuri kuin luku 12. (10A+B)²- tämä on koko neliön pinta-ala, 100A²- suuren sisäaukion pinta-ala, B²- pienen sisäruudun pinta-ala, 10A × B- kummankin suorakulmion pinta-ala. Laskemalla yhteen kuvattujen kuvioiden pinta-alat, löydät alkuperäisen neliön alueen.

Mikä on neliöjuuri?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä käsite on hyvin yksinkertainen. Luonnollista, sanoisin. Matemaatikot yrittävät löytää reaktion jokaiseen toimintaan. On yhteenlasku - on myös vähennyslasku. On kertolaskua - on myös jakoa. On neliöintiä... Joten on myös ottaen neliöjuuren! Siinä kaikki. Tämä toiminta ( neliöjuuri) matematiikassa on merkitty tällä kuvakkeella:

Itse kuvaketta kutsutaan kauniiksi sanaksi " radikaali".

Kuinka poimia juuri? On parempi katsoa esimerkkejä.

Mikä on luvun 9 neliöjuuri? Mikä neliö antaa meille 9? 3 neliötä antaa meille 9! Nuo:

Mutta mikä on nollan neliöjuuri? Ei ongelmaa! Minkä luvun neliössä nolla tekee? Kyllä se antaa nollan! Keinot:

Sain sen, mikä on neliöjuuri? Sitten mietitään esimerkkejä:

Vastaukset (sekaisin): 6; 1; 4; 9; 5.

Päätetty? Oikeasti, kuinka paljon helpompaa se on?!

Mutta... Mitä ihminen tekee, kun hän näkee jonkin tehtävän, jolla on juuret?

Ihminen alkaa olla surullinen... Hän ei usko juuriensa yksinkertaisuuteen ja keveyteen. Vaikka hän näyttää tietävän mikä on neliöjuuri...

Tämä johtuu siitä, että henkilö jätti huomioimatta useita tärkeitä kohtia tutkiessaan juuria. Sitten nämä villitteet kostavat julman kokeen ja kokeen...

Kohta yksi. Sinun täytyy tunnistaa juuret silmästä!

Mikä on luvun 49 neliöjuuri? Seitsemän? Oikein! Mistä tiesit, että kello on seitsemän? Neliössä seitsemän ja sai 49? Oikein! Huomatkaa että irrota juuri 49:stä meidän piti tehdä käänteinen toimenpide - neliö 7! Ja varmista, ettemme missaa. Tai sitten he olisivat voineet jättää väliin...

Tämä on vaikeus juurien uuttaminen. Neliö Voit käyttää mitä tahansa numeroa ilman ongelmia. Kerro luku itsellään sarakkeella - siinä kaikki. Mutta varten juurien uuttaminen Tällaista yksinkertaista ja varmaa tekniikkaa ei ole olemassa. Meidän täytyy noukkia vastaa ja tarkista, onko se oikein neliöimällä se.

Tämä monimutkainen luova prosessi - vastauksen valinta - yksinkertaistuu huomattavasti, jos muistaa suosittujen lukujen neliöt. Kuin kertotaulukko. Jos esimerkiksi sinun täytyy kertoa 4 kuudella, et lisää neljää kuusi kertaa, vai mitä? Vastaus 24 tulee heti esiin, vaikka kaikki eivät sitä ymmärrä, kyllä...

Jotta juurien kanssa voi työskennellä vapaasti ja menestyksekkäästi, riittää, että tietää numeroiden neliöt 1-20. siellä Ja takaisin. Nuo. sinun pitäisi pystyä lausumaan helposti sekä esimerkiksi 11 neliö että 121:n neliöjuuri. Tämän ulkoamisen saavuttamiseksi on kaksi tapaa. Ensimmäinen on oppia neliötaulukko. Tästä on suuri apu esimerkkien ratkaisemisessa. Toinen on ratkaista lisää esimerkkejä. Tämä auttaa sinua suuresti muistamaan neliötaulukon.

Eikä laskureita! Vain testaustarkoituksiin. Muuten hidastut armottomasti kokeen aikana...

Niin, mikä on neliöjuuri Ja miten poimi juuret– Minusta se on selvä. Nyt selvitetään, MITÄ voimme poimia ne.

Kohta kaksi. Root, en tunne sinua!

Mistä luvuista voit ottaa neliöjuuret? Kyllä, melkein mikä tahansa niistä. On helpompi ymmärtää mistä se johtuu se on kielletty purkaa ne.

Yritetään laskea tämä juuri:

Tätä varten meidän on valittava luku, joka neliössä antaa meille -4. Me valitsemme.

Mitä, se ei sovi? 2 2 antaa +4. (-2) 2 antaa jälleen +4! Siinä kaikki... Ei ole olemassa lukuja, jotka neliöitynä antaisivat meille negatiivisen luvun! Vaikka tiedän nämä luvut. Mutta en kerro). Mene yliopistoon, niin saat selville.

Sama tarina tapahtuu minkä tahansa negatiivisen luvun kanssa. Tästä johtopäätös:

Lauseke, jossa neliöjuuren merkin alla on negatiivinen luku - ei ole järkeä! Tämä on kielletty toimenpide. Se on yhtä kiellettyä kuin nollalla jakaminen. Muista tämä tosiasia lujasti! Tai toisin sanoen:

Et voi poimia neliöjuuria negatiivisista luvuista!

Mutta kaikista muista se on mahdollista. Esimerkiksi se on täysin mahdollista laskea

Ensi silmäyksellä tämä on erittäin vaikeaa. Murtolukujen valinta ja neliöinti... Älä huoli. Kun ymmärrämme juurien ominaisuudet, tällaiset esimerkit pelkistetään samaan neliötaulukkoon. Elämästä tulee helpompaa!

Okei, murto-osat. Mutta kohtaamme silti ilmaisuja, kuten:

Se on okei. Aivan sama. Kahden neliöjuuri on luku, joka neliöitynä antaa meille kaksi. Vain tämä luku on täysin epätasainen... Tässä se on:

Mielenkiintoista on, että tämä murto-osa ei lopu koskaan... Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaaleiksi. Neliöjuurissa tämä on yleisin asia. Muuten, juuri tästä syystä kutsutaan lausekkeita, joissa on juuret irrationaalinen. On selvää, että tällaisen äärettömän murto-osan kirjoittaminen koko ajan on hankalaa. Siksi äärettömän murto-osan sijaan he jättävät sen näin:

Jos esimerkkiä ratkaiseessasi päädyt johonkin, jota ei voi purkaa, kuten:

sitten jätetään se sellaiseksi. Tämä on vastaus.

Sinun on ymmärrettävä selvästi, mitä kuvakkeet tarkoittavat

Tietenkin, jos luvun juuri otetaan sileä, sinun on tehtävä tämä. Tehtävän vastaus on esimerkiksi muodossa

Melko täydellinen vastaus.

Ja tietysti sinun on tiedettävä likimääräiset arvot muistista:

Tämä tieto auttaa suuresti arvioimaan tilannetta monimutkaisissa tehtävissä.

Kohta kolme. Kaikkein ovelin.

Suurin hämmennys juurien kanssa työskentelyssä johtuu tästä kohdasta. Hän on se, joka luo luottamusta omiin kykyihinsä... Käsittelemme tätä asiaa kunnolla!

Otetaan ensin neljän neliöjuuri uudelleen. Olenko jo vaivannut sinua tällä juurilla?) Ei hätää, nyt siitä tulee mielenkiintoista!

Minkä luvun neliö on 4? No, kaksi, kaksi - kuulen tyytymättömiä vastauksia...

Oikein. Kaksi. Mutta myös miinus kaksi antaa 4 neliötä... Sillä välin vastaus

oikein ja vastaus

törkeä virhe. Kuten tämä.

Joten mikä on sopimus?

Todellakin, (-2) 2 = 4. Ja neljän neliöjuuren määritelmän mukaan miinus kaksi varsin sopiva... Tämä on myös neliöjuuri neljästä.

Mutta! Koulun matematiikan kurssilla on tapana harkita neliöjuuria vain ei-negatiiviset luvut! Eli nolla ja kaikki ovat positiivisia. Jopa erityinen termi keksittiin: numerosta A- Tämä ei-negatiivinen numero, jonka neliö on A. Negatiiviset tulokset poimittaessa aritmeettista neliöjuurta yksinkertaisesti hylätään. Koulussa kaikki on neliöjuuria - aritmeettinen. Vaikka tätä ei erityisesti mainita.

Okei, se on ymmärrettävää. On vielä parempi olla vaivautumatta negatiivisiin tuloksiin... Tämä ei ole vielä hämmennystä.

Sekaannus alkaa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä. Sinun on esimerkiksi ratkaistava seuraava yhtälö.

Yhtälö on yksinkertainen, kirjoitamme vastauksen (kuten opetetaan):

Tämä vastaus (muuten täysin oikein) on vain lyhennetty versio kaksi vastaukset:

Pysähdy, lopeta! Juuri edellä kirjoitin, että neliöjuuri on luku Aina ei negatiivinen! Ja tässä on yksi vastauksista - negatiivinen! Häiriö. Tämä on ensimmäinen (mutta ei viimeinen) ongelma, joka aiheuttaa epäluottamusta juuria kohtaan... Ratkaistaan ​​tämä ongelma. Kirjoita vastaukset muistiin (vain ymmärtämisen vuoksi!) näin:

Sulut eivät muuta vastauksen olemusta. Erotin sen vain suluilla merkkejä alkaen juuri. Nyt näet selvästi, että juuri itse (suluissa) on edelleen ei-negatiivinen luku! Ja merkit ovat yhtälön ratkaisun tulos. Loppujen lopuksi, kun ratkaisemme yhtälön, meidän on kirjoitettava Kaikki X:t, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat oikean tuloksen. Viiden juuri (positiivinen!), jossa on sekä plus että miinus, sopii yhtälöihimme.

Kuten tämä. Jos sinä ota vain neliöjuuri mistä tahansa, sinusta Aina saat yksi ei-negatiivinen tulos. Esimerkiksi:

Koska se - aritmeettinen neliöjuuri.

Mutta jos ratkaiset jonkin toisen asteen yhtälön, kuten:

Että Aina se käy ilmi kaksi vastaus (plussilla ja miinuksilla):

Koska tämä on yhtälön ratkaisu.

Toivoa, mikä on neliöjuuri Sinulla on pointtisi selvät. Nyt on vielä selvitettävä, mitä juurille voidaan tehdä, mitkä ovat niiden ominaisuudet. Ja mitkä ovat pisteet ja sudenkuopat... anteeksi, kivet!)

Kaikki tämä on seuraavilla oppitunneilla.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.