Johdannainen graafi. Funktioiden graafit, funktioiden derivaatat. Toimintojen tutkimus. Yhtenäinen valtionkoe

Osoittaa derivaatan etumerkin ja funktion monotonisuuden luonteen välisen yhteyden.

Ole erittäin varovainen seuraavissa asioissa. Katso, aikataulu MITÄ sinulle annetaan! Funktio tai sen johdannainen

Jos annetaan derivaatan kaavio, niin meitä kiinnostavat vain funktiomerkit ja nollat. Meitä ei periaatteessa kiinnosta mikään "kukkula" tai "ontto"!

Tehtävä 1.

Kuvassa on kaavio välille määritetystä funktiosta. Määritä niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on negatiivinen.

Ratkaisu:

Kuvassa pienenevän toiminnon alueet on korostettu värein:

Nämä funktion pienenevät alueet sisältävät 4 kokonaislukuarvoa.

Tehtävä 2.

Kuvassa on kaavio välille määritetystä funktiosta. Selvitä niiden pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa tai osuu yhteen sen kanssa.

Ratkaisu:

Kun funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa (tai, mikä on sama asia), jolla on kaltevuus, on yhtä suuri kuin nolla, silloin tangentilla on kulmakerroin .

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että tangentti on yhdensuuntainen akselin kanssa, koska kaltevuus on tangentin kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

Siksi löydämme kaaviosta ääripisteet (maksimi- ja minimipisteet) - juuri näissä pisteissä kuvaajan tangentit ovat yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa.

Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 3.

Kuvassa on kaavio välille määritellyn funktion derivaatasta. Selvitä niiden pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa tai osuu yhteen sen kanssa.

Ratkaisu:

Koska funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa, jolla on kaltevuus, tangentilla on myös kulmakerroin.

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että kosketuspisteissä.

Siksi tarkastelemme kuinka monen kaavion pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin .

Kuten näet, tällaisia ​​kohtia on neljä.

Tehtävä 4.

Kuvassa on kaavio välille määritetystä funktiosta. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on 0.

Ratkaisu:

Derivaata on yhtä suuri kuin nolla ääripisteissä. Meillä on niitä 4:

Tehtävä 5.

Kuvassa on kaavio funktiosta ja 11 pisteestä x-akselilla:. Kuinka monessa näistä pisteistä funktion derivaatta on negatiivinen?

Ratkaisu:

Laskevan funktion aikaväleillä sen derivaatta saa negatiiviset arvot. Ja funktio pienenee pisteissä. Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 6.

Kuvassa on kaavio välille määritetystä funktiosta. Etsi funktion ääripisteiden summa.

Ratkaisu:

Äärimmäiset pisteet– nämä ovat maksimipisteet (-3, -1, 1) ja vähimmäispisteet (-2, 0, 3).

Ääripisteiden summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tehtävä 7.

Kuvassa on kaavio välille määritellyn funktion derivaatasta. Etsi funktion kasvuvälit. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Ratkaisu:

Kuvassa on korostettu intervallit, joissa funktion derivaatta on ei-negatiivinen.

Pienellä kasvavalla intervallilla ei ole kokonaislukupisteitä, on neljä kokonaislukuarvoa: , , ja .

Niiden summa:

Tehtävä 8.

Kuvassa on kaavio välille määritellyn funktion derivaatasta. Etsi funktion kasvuvälit. Ilmoita vastauksessasi niistä suurimman pituus.

Ratkaisu:

Kuvassa kaikki intervallit, joilla derivaatta on positiivinen, on korostettu värein, mikä tarkoittaa, että funktio itse kasvaa näillä intervalleilla.

Niistä suurimman pituus on 6.

Tehtävä 9.

Kuvassa on kaavio välille määritellyn funktion derivaatasta. Missä vaiheessa segmentti tekee korkein arvo.

Ratkaisu:

Katsotaan kuinka kaavio käyttäytyy segmentillä, mistä olemme kiinnostuneita vain johdannaisen merkki .

Derivaatan etumerkki on miinus, koska tämän segmentin kuvaaja on akselin alapuolella.

Seuraavaksi tunnilla on suositeltavaa pohtia keskeistä tehtävää: annetun derivaatan kaavion mukaan opiskelijoiden on keksittävä (tietysti opettajan avulla) erilaisia ​​kysymyksiä, jotka liittyvät itse funktion ominaisuuksiin. Luonnollisesti näistä asioista keskustellaan, korjataan tarvittaessa, tehdään yhteenveto, kirjataan muistivihkoon, minkä jälkeen alkaa näiden tehtävien ratkaisuvaihe. Tässä on varmistettava, että opiskelijat eivät vain anna oikeaa vastausta, vaan pystyvät perustelemaan (todistamaan) sen asianmukaisten määritelmien, ominaisuuksien ja sääntöjen avulla.
Otetaan esimerkki tällaisesta tehtävästä: taululle (esimerkiksi projektorin avulla) opiskelijoille esitetään derivaatan kaavio, jonka perusteella muotoiltiin 10 tehtävää (ei täysin oikeita tai kaksinkertaiset kysymykset hylättiin).
Funktio y = f(x) on määritelty ja jatkuva välillä [–6; 6].
Määritä derivaatan y = f"(x) kuvaajalla:

1) kasvavan funktion y = f(x) välien lukumäärä;
2) pienenevän funktion y = f(x) välin pituus;
3) funktion y = f(x) ääripisteiden lukumäärä;
4) funktion y = f(x) maksimipiste;
5) funktion y = f(x) kriittinen (stationaari) piste, joka ei ole ääripiste;
6) sen kuvaajapisteen abskissa, jossa funktio y = f(x) saa suurimman arvon segmentillä;
7) sen kuvaajapisteen abskissa, jossa funktio y = f(x) saa pienin arvo segmentillä [–2; 2];
8) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti on kohtisuorassa Oy-akselia vastaan;
9) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti muodostaa 60° kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa;
10) funktion y = f(x) kuvaajapisteen abskissa, jossa tangentin jyrkkyys saa pienimmän arvon.
Vastaus: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Funktion ominaisuuksien tutkimisen taitojen vahvistamiseksi opiskelija voi viedä kotiin saman graafin lukemiseen liittyvän tehtävän, mutta toisessa tapauksessa se on funktion graafi ja toisessa sen derivaatan kuvaaja.

Artikkeli julkaistiin järjestelmänvalvojien ja ohjelmoijien foorumin tuella. "CyberForum.ru" -sivustolta löydät foorumeita sellaisista aiheista kuin ohjelmointi, tietokoneet, ohjelmistokeskustelu, web-ohjelmointi, tiede, elektroniikka ja kodinkoneet, ura ja bisnes, vapaa-aika, ihmiset ja yhteiskunta, kulttuuri ja taide, koti ja talous, autot , moottoripyöriä ja paljon muuta. Foorumilta saat ilmaista apua. Saat lisätietoja verkkosivustolta, joka sijaitsee osoitteessa: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funktio y = f(x) on määritelty ja jatkuva välillä [–6; 5]. Kuvassa näkyy:
a) funktion y = f(x) kuvaaja;
b) derivaatan y = f"(x) graafi.
Päätä aikataulusta:
1) funktion y = f(x) minimipisteet;
2) pienenevän funktion y = f(x) välien lukumäärä;
3) funktion y = f(x) kuvaajapisteen abskissa, jossa se saa suurimman arvon janalla;
4) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa (tai yhtyy sen kanssa).
Vastaukset:
a) 1) -3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Ohjauksen suorittamiseksi voit organisoida työn pareittain: jokainen opiskelija laatii etukäteen kumppanilleen johdannaiskaavion kortille ja alla tarjoaa 4-5 kysymystä funktion ominaisuuksien määrittämiseksi. Oppituntien aikana vaihdetaan kortteja, suoritetaan ehdotetut tehtävät, minkä jälkeen jokainen tarkistaa ja arvioi kumppaninsa työtä.

(Kuva 1)

Kuva 1. Johdannainen kuvaaja

Johdannaisen graafin ominaisuudet

1. Kasvavilla aikaväleillä derivaatta on positiivinen. Jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietystä intervallista on positiivinen arvo, niin funktion kuvaaja kasvaa tällä aikavälillä.
2. Pienennysvälein derivaatta on negatiivinen (miinusmerkillä). Jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietystä intervallista on negatiivinen merkitys, niin funktion kuvaaja pienenee tällä aikavälillä.
3. Derivaata pisteessä x on yhtä suuri kuin kaltevuus tangentti piirretty funktion kuvaajalle samassa pisteessä.
4. Funktion maksimi- ja minimipisteissä derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Funktion kaavion tangentti tässä pisteessä on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa.

Esimerkki 1

Määritä derivaatan kaavion (kuva 2) avulla, missä kohdassa segmenttiä [-3; 5]-toiminto on suurin.

Kuva 2. Johdannainen kuvaaja

Ratkaisu: Tällä segmentillä derivaatta on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio pienenee vasemmalta oikealle ja suurin arvo on vasemmalla puolella pisteessä -3.

Esimerkki 2

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla maksimipisteiden määrä segmentillä [-11; 3].

Kuva 3. Johdannainen kuvaaja

Ratkaisu: Maksimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Tällä aikavälillä funktio vaihtaa etumerkkiä plussasta miinukseen kahdesti - pisteessä -10 ja pisteessä -1. Tämä tarkoittaa, että pisteiden enimmäismäärä on kaksi.

Esimerkki 3

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla minimipisteiden määrä segmentissä [-11; -1].

Ratkaisu: Minimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu negatiivisesta positiiviseksi. Tällä segmentillä tällainen piste on vain -7. Tämä tarkoittaa, että tietyn segmentin vähimmäispisteiden määrä on yksi.

Esimerkki 4

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla ääripisteiden lukumäärä.

Ratkaisu: Ääripisteet ovat sekä minimi- että maksimipisteet. Etsitään pisteiden lukumäärä, joissa derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Tehtävä B9 antaa funktion tai derivaatan kaavion, josta sinun on määritettävä yksi seuraavista suureista:

1. Derivaatan arvo jossain pisteessä x 0,
2. Enimmäis- tai vähimmäispisteet (ääripisteet),
3. Kasvavien ja laskevien funktioiden intervallit (monotonisuuden intervallit).

Tässä tehtävässä esitetyt funktiot ja derivaatat ovat aina jatkuvia, mikä helpottaa ratkaisemista huomattavasti. Huolimatta siitä, että tehtävä kuuluu matemaattisen analyysin osaan, heikoimmatkin opiskelijat voivat tehdä sen, koska tässä ei vaadita syvällistä teoreettista tietoa.

Derivaatan, ääripisteiden ja monotonisuusvälien arvon löytämiseksi on olemassa yksinkertaisia ​​ja universaaleja algoritmeja - niitä kaikkia käsitellään alla.

Lue tehtävän B9 ehdot huolellisesti välttääksesi tyhmiä virheitä: joskus törmäät melko pitkiin teksteihin, mutta tärkeitä ehtoja, jotka vaikuttavat päätöksentekoon, niitä on vähän.

Johdannaisen arvon laskeminen. Kahden pisteen menetelmä

Jos tehtävälle annetaan funktion f(x) kuvaaja, joka tangentti tätä kuvaajaa jossain pisteessä x 0, ja tässä pisteessä on löydettävä derivaatan arvo, käytetään seuraavaa algoritmia:

1. Etsi tangenttikaaviosta kaksi "sopivaa" pistettä: niiden koordinaattien on oltava kokonaislukuja. Merkitään nämä pisteet A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjoita koordinaatit oikein - tämä on ratkaisun keskeinen kohta, ja mikä tahansa virhe tässä johtaa väärään vastaukseen.
2. Koordinaatit tuntemalla on helppo laskea argumentin Δx = x 2 − x 1 inkrementti ja funktion Δy = y 2 − y 1 inkrementti.
3. Lopuksi löydämme derivaatan D = Δy/Δx arvon. Toisin sanoen, sinun on jaettava funktion lisäys argumentin lisäyksellä - ja tämä on vastaus.

Huomattakoon vielä kerran: pisteet A ja B on etsittävä tarkalleen tangentista, ei funktion f(x) graafista, kuten usein tapahtuu. Tangenttiviiva sisältää välttämättä vähintään kaksi tällaista pistettä - muuten ongelmaa ei muotoiltu oikein.

Tarkastellaan pisteitä A (-3; 2) ja B (-1; 6) ja lasketaan lisäykset:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Etsitään derivaatan arvo: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tehtävä. Kuvassa on funktion y = f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x 0 .

Harkitse pisteitä A (0; 3) ja B (3; 0), laske lisäykset:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nyt löydämme derivaatan arvon: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tehtävä. Kuvassa on funktion y = f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x 0 .

Tarkastellaan pisteitä A (0; 2) ja B (5; 2) ja lasketaan lisäykset:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Vielä on löydettävä derivaatan arvo: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Viimeisestä esimerkistä voidaan muotoilla sääntö: jos tangentti on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa, funktion derivaatta tangenttipisteessä on nolla. Tässä tapauksessa sinun ei tarvitse edes laskea mitään - katso vain kaaviota.

Maksimi- ja minimipisteiden laskeminen

Joskus tehtävä B9 antaa funktion graafin sijasta derivaatan graafin ja vaatii funktion maksimi- tai minimipisteen löytämistä. Tässä tilanteessa kahden pisteen menetelmä on hyödytön, mutta on olemassa toinen, vielä yksinkertaisempi algoritmi. Ensin määritellään terminologia:

1. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f(x) maksimipisteeksi, jos jossain tämän pisteen ympäristössä pätee seuraava epäyhtälö: f(x 0) ≥ f(x).
2. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f(x) minimipisteeksi, jos jossain tämän pisteen ympäristössä pätee seuraava epäyhtälö: f(x 0) ≤ f(x).

Löytääksesi maksimi- ja vähimmäispisteet johdannaiskaaviosta, toimi seuraavasti:

1. Piirrä johdannaiskaavio uudelleen ja poista kaikki tarpeettomat tiedot. Kuten käytäntö osoittaa, tarpeettomat tiedot vain häiritsevät päätöstä. Siksi merkitsemme derivaatan nollat ​​koordinaattiakselille - ja siinä se.
2. Selvitä derivaatan merkit nollien välisillä väleillä. Jos jollekin pisteelle x 0 tiedetään, että f'(x 0) ≠ 0, niin vain kaksi vaihtoehtoa on mahdollista: f'(x 0) ≥ 0 tai f'(x 0) ≤ 0. Derivaatan etumerkki on helppo määrittää alkuperäisestä piirustuksesta: jos derivaattagraafi on OX-akselin yläpuolella, niin f'(x) ≥ 0. Ja päinvastoin, jos derivaattagraafi on OX-akselin alapuolella, niin f'(x) ≤ 0.
3. Jälleen tarkastetaan derivaatan nollat ​​ja merkit. Jos merkki muuttuu miinuksesta plussiksi, on minimipiste. Päinvastoin, jos derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen, tämä on maksimipiste. Lasku tapahtuu aina vasemmalta oikealle.

Tämä kaavio toimii vain jatkuville toiminnoille - tehtävässä B9 ei ole muita.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla [−5; 5]. Etsi tämän janan funktion f(x) minimipiste.

Päästään eroon tarpeettomasta tiedosta ja jätetään vain rajat [−5; 5] ja derivaatan nollat ​​x = −3 ja x = 2,5. Huomioimme myös merkit:

On selvää, että pisteessä x = −3 derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi. Tämä on vähimmäispiste.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta määritellyn intervallin [−3; 7]. Etsi funktion f(x) maksimipiste tällä segmentillä.

Piirretään graafi uudelleen jättäen vain rajat [−3; 7] ja derivaatan nollat ​​x = −1.7 ja x = 5. Merkitään derivaatan etumerkit tuloksena olevaan graafiin. Meillä on:

On selvää, että pisteessä x = 5 derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen - tämä on maksimipiste.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla [−6; 4]. Etsi funktion f(x) maksimipisteiden lukumäärä, segmenttiin kuuluvaa [−4; 3].

Tehtävän ehdoista seuraa, että riittää, kun tarkastellaan vain segmentin [−4; 3]. Siksi rakennamme uuden graafin, johon merkitsemme vain rajat [−4; 3] ja sen sisällä olevan derivaatan nollia. Nimittäin pisteet x = −3.5 ja x = 2. Saamme:

Tässä kaaviossa on vain yksi maksimipiste x = 2. Juuri tässä pisteessä derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen.

Pieni huomautus pisteistä, joiden koordinaatit eivät ole kokonaislukuja. Esimerkiksi viimeisessä tehtävässä tarkasteltiin pistettä x = −3.5, mutta samalla menestyksellä voidaan ottaa x = −3.4. Jos ongelma on koottu oikein, tällaisten muutosten ei pitäisi vaikuttaa vastaukseen, koska pisteet "ilman kiinteää asuinpaikkaa" eivät suoraan osallistu ongelman ratkaisemiseen. Tämä temppu ei tietenkään toimi kokonaislukupisteillä.

Kasvien ja pienenevien funktioiden välien löytäminen

Tällaisessa ongelmassa, kuten maksimi- ja minimipisteissä, ehdotetaan käytettäväksi derivaattagraafia alueita, joilla funktio itse kasvaa tai pienenee. Ensin määritellään, mitä kasvavat ja laskevat ovat:

1. Funktion f(x) sanotaan kasvavan janalla, jos kahdelle tämän janan pisteelle x 1 ja x 2 seuraava lause on tosi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Toisin sanoen mitä suurempi argumentin arvo, sitä suurempi funktion arvo.
2. Funktion f(x) sanotaan pienenevän janalla, jos tämän janan kahdelle pisteelle x 1 ja x 2 on totta seuraava lause: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Nuo. korkeampi arvo argumentti vastaa funktion pienempää arvoa.

Muotoilkaamme riittävät edellytykset lisääntymiselle ja vähentämiselle:

1. Jotta jatkuva toiminto f(x) kasvaa segmentillä , riittää, että sen derivaatta segmentin sisällä on positiivinen, ts. f’(x) ≥ 0.
2. Jotta jatkuva funktio f(x) pienenisi segmentillä , riittää, että sen derivaatta segmentin sisällä on negatiivinen, ts. f’(x) ≤ 0.

Hyväksytään nämä lausunnot ilman todisteita. Siten saamme kaavion kasvu- ja laskuvälien löytämiseksi, joka on monella tapaa samanlainen kuin ääripisteiden laskenta-algoritmi:

1. Poista kaikki tarpeettomat tiedot. Derivaatan alkuperäisessä kaaviossa meitä kiinnostavat ensisijaisesti funktion nollat, joten jätämme vain ne.
2. Merkitse derivaatan merkit nollien väliin. Kun f’(x) ≥ 0, funktio kasvaa ja missä f’(x) ≤ 0, se pienenee. Jos ongelma asettaa rajoituksia muuttujalle x, merkitsemme ne lisäksi uuteen kuvaajaan.
3. Nyt kun tiedämme funktion käyttäytymisen ja rajoitukset, on vielä laskettava tehtävässä tarvittava määrä.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta määritellyn intervallin [−3; 7.5]. Etsi funktion f(x) pienenemisvälit. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukujen summa.

Kuten tavallista, piirretään kaavio uudelleen ja merkitään rajat [−3; 7.5], sekä derivaatan x = −1.5 ja x = 5.3 nollat. Sitten huomioimme derivaatan merkit. Meillä on:

Koska derivaatta on negatiivinen välillä (− 1,5), tämä on pienenevän funktion väli. Jäljelle jää vielä summaa kaikki tämän välin sisällä olevat kokonaisluvut:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla [−10; 4]. Etsi funktion f(x) kasvuvälit. Ilmoita vastauksessasi niistä suurimman pituus.

Päästään eroon tarpeettomasta tiedosta. Jätetään vain rajat [−10; 4] ja derivaatan nollia, joita oli tällä kertaa neljä: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Merkitään derivaatan merkit ja saadaan seuraava kuva:

Olemme kiinnostuneita kasvavien funktioiden aikaväleistä, ts. sellainen missä f’(x) ≥ 0. Kuvaajassa on kaksi tällaista väliä: (−8; −6) ja (−3; 2). Lasketaan niiden pituudet:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Koska meidän on löydettävä intervalleista suurimman pituus, kirjoitamme vastaukseksi arvon l 2 = 5.

Funktion derivaatta on yksi vaikeimmista aiheista koulun opetussuunnitelma. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisella ja selkeällä tavalla, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen kurinalaisuuteen esityksessä. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeammin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Kaavio näyttää kaiken kerralla, eikö niin? Kostjan tulot yli kaksinkertaistuivat kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matveyn tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, eli johdannainen, - erilainen. Matveyn tulojohdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti arvioimme helposti funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme tämän?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n muuttuessa? Ilmeisesti sama toiminto voi olla eri kohdissa eri merkitys johdannainen - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Funktion derivaatta on merkitty .

Näytämme sinulle, kuinka se löytyy kaavion avulla.

Jonkin funktion kaavio on piirretty. Otetaan piste, jossa on abskissa. Piirretään tangentti funktion kuvaajalle tässä vaiheessa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kulman tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti, joka on piirretty funktion kuvaajaan tässä pisteessä.

Huomaa, että tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on yksi yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään se. Muistamme, että terävän kulman tangentti in suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin vastakkaisen puolen suhde viereiseen sivuun. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​ongelmia löytyy usein matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta numeron alla.

On toinen tärkeä suhde. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Hän ilmaisee geometrinen merkitys johdannainen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Muodostuu pisteeseen piirretyn kaavion tangentti terävä kulma; positiivisella akselisuunnalla. Tämä tarkoittaa, että pisteen derivaatta on positiivinen.

Siinä vaiheessa toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Mitä maksimi- ja minimipisteissä tapahtuu? Näemme, että pisteissä (maksimipiste) ja (minimipiste) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste - maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös nolla, mutta sen etumerkki muuttuu “miinus”:sta “plussiksi”.

Johtopäätös: derivaatan avulla voimme saada selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio pienenee.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja vaihtaa etumerkin "plus":sta "miinus".

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin "miinus" -merkistä "plussiksi".

Kirjoita nämä johtopäätökset taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

On mahdollista, että funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä vaiheessa maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä on ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se pysyy positiivisena sellaisena kuin se oli.

On myös mahdollista, että johdannaista ei ole olemassa maksimi- tai minimipisteessä. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee