Vrijednost derivata je negativna. Derivat funkcije. Geometrijsko značenje derivacije

Dom

1. Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg trebate odrediti jednu od sljedećih veličina:
2. Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
3. Maksimalne ili minimalne tačke (ekstremalne tačke),

Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, čineći rješenje mnogo lakšim. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, mogu ga obaviti i najslabiji učenici, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku. Pažljivo pročitajte uslove zadatka B9 da ne napravite glupe greške: ponekad naiđete na prilično dugačke tekstove, ali važnih uslova

, koji utiču na tok odluke, malo je.

Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke

1. Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0, i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:
2. Pronađite dvije “adekvatne” tačke na tangentnom grafu: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Ispravno zapišite koordinate - ovo je ključna točka u rješenju, a svaka greška ovdje će dovesti do pogrešnog odgovora.
3. Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .

Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti prirast funkcije s prirastom argumenta - i to će biti odgovor.

Napomenimo još jednom: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što se često dešava. Tangentna linija će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke - inače problem neće biti pravilno formuliran.
Razmotrite tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:

Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Sada nalazimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti je nula. U ovom slučaju ne morate ništa da brojite - samo pogledajte grafikon.

Obračun maksimalnih i minimalnih bodova

Ponekad, umjesto grafa funkcije, zadatak B9 daje graf derivacije i zahtijeva pronalaženje maksimalne ili minimalne tačke funkcije. U ovoj situaciji metoda u dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:

1. Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku iz grafa derivacije, samo slijedite ove korake:

1. Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što praksa pokazuje, nepotrebni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
2. Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. I obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus je minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u zadatku B9.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija i ostavimo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Također primjećujemo znakove:

Očigledno, u tački x = −3 predznak derivacije se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježimo predznake izvoda na rezultirajućem grafu. imamo:

Očigledno, u tački x = 5 znak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−6; 4]. Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(x), koji pripadaju segmentu [−4; 3].

Iz uslova zadatka proizilazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U toj tački se predznak izvoda mijenja sa plusa na minus.

Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno sastavljen, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ ne učestvuju direktno u rješavanju problema. Naravno, ovaj trik neće raditi s cijelim bodovima.

Pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija

U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se korištenje grafa derivacije za pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje. Prvo, hajde da definišemo šta je povećanje, a šta smanjenje:

1. Kaže se da funkcija f(x) raste na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) se naziva opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). One. veća vrijednost argument odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formulirajmo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) raste na segmentu , dovoljno je da je njegov izvod unutar segmenta pozitivan, tj. f’(x) ≥ 0.
2. Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f’(x) ≤ 0.

Prihvatimo ove izjave bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala rasta i opadanja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:

1. Uklonite sve nepotrebne informacije. U originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ćemo ostaviti samo njih.
2. Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f’(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f’(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem postavlja ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo količinu potrebnu u problemu.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, hajde da ponovo nacrtamo graf i označimo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim bilježimo znakove derivacije. imamo:

Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−10; 4]. Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija. Ostavimo samo granice [−10; 4] i nule izvoda kojih je ovoga puta bilo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Označimo predznake izvoda i dobijemo sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f’(x) ≥ 0. Na grafu postoje dva takva intervala: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Pošto treba da nađemo dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrednost l 2 = 5.

(Sl.1)

Slika 1. Derivativni graf

Svojstva derivativnog grafa

1. U rastućim intervalima, izvod je pozitivan. Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada se graf funkcije na tom intervalu povećava.
2. U opadajućim intervalima, izvod je negativan (sa predznakom minus). Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.
3. Izvod u tački x je jednak nagib tangenta nacrtana na graf funkcije u istoj tački.
4. U tački maksimuma i minimuma funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa OX osom.

Primjer 1

Koristeći graf (slika 2) derivacije, odredite u kojoj tački na segmentu [-3; 5] funkcija je maksimalna.

Slika 2. Derivativni graf

Rješenje: Na ovom segmentu derivacija je negativna, što znači da funkcija opada s lijeva na desno, i najveća vrijednost nalazi se na lijevoj strani u tački -3.

Primjer 2

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj maksimalnih tačaka na segmentu [-11; 3].

Slika 3. Derivativni graf

Rješenje: Maksimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz pozitivnog u negativan. Na ovom intervalu funkcija mijenja predznak sa plus na minus dva puta - u tački -10 i u tački -1. To znači da je maksimalni broj bodova dva.

Primjer 3

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj minimalnih tačaka u segmentu [-11; -1].

Rješenje: Minimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak izvoda mijenja iz negativnog u pozitivan. Na ovom segmentu takva tačka je samo -7. To znači da je broj minimalnih tačaka na datom segmentu jedan.

Primjer 4

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj tačaka ekstrema.

Rešenje: Ekstremne tačke su i minimalne i maksimalne tačke. Nađimo broj tačaka u kojima derivacija mijenja predznak.

Prvi izvod Ako je izvod funkcije pozitivan (negativan) u određenom intervalu, tada funkcija u ovom intervalu monotono raste (monotono opada). Ako je derivacija funkcije pozitivna (negativna) u određenom intervalu, tada funkcija monotono raste (monotono opada) u tom intervalu. Sledeći

Definicija Kriva se naziva konveksna u tački ako se u nekom susjedstvu ove tačke nalazi ispod svoje tangente u tački. Kriva se naziva konkavna u tački ako se u nekom susjedstvu ove tačke nalazi iznad svoje tangente u tački.

Znak konkavnosti i konveksnosti Ako je drugi izvod funkcije u datom intervalu pozitivan, onda je kriva u ovom intervalu konkavna, a ako je negativna, konveksna je u tom intervalu. Ako je drugi izvod funkcije u datom intervalu pozitivan, tada je kriva u tom intervalu konkavna, a ako je negativna, konveksna je u tom intervalu. Definicija

Plan za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa 1. Naći područje definicije funkcije i odrediti tačke diskontinuiteta, ako ih ima 1. Naći područje definicije funkcije i odrediti tačke diskontinuiteta, ako ih ima; utvrditi da li je funkcija parna ili neparna; provjeriti njenu periodičnost 2. Utvrditi da li je funkcija parna ili neparna; provjeriti njenu periodičnost 3. Odrediti točke presjeka grafika funkcije sa koordinatnim osa 3. Odrediti točke presjeka grafika funkcije sa koordinatnim osa 4. Naći kritične tačke 1. vrste 4. Naći kritične tačke 1. vrste 5. Odrediti intervale monotonosti i ekstrema funkcije 5. Odrediti intervale monotonosti i ekstrema funkcije 6. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i pronaći tačke pregiba 6. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i pronađite prevojne tačke 7. Koristeći rezultate istraživanja, povežite dobijene tačke sa glatkom krivom 7. Koristeći rezultate istraživanja povežite dobijene tačke sa glatkom krivom Izlaz

Početni nivo

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte nadmorske visine u životu kao nju koristimo nivo mora.

Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Možemo reći i: kada se promijeni argument (kretanje duž apscisne ose), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različit broj metara u odnosu na nivo mora (duž y-ose).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo!

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako krajnja tačka ispostavilo se da je niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne uzdižemo, već spuštamo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se kreće naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je više!

IN stvarnom životu Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to dok ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još veći broj. I dalje beskonačnost štavišešta će se dogoditi. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.

Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označava se koliko se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje povećanje funkcije i određen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat

Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Dakle, između negativnih i pozitivne vrijednosti sigurno mora postojati. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u tački vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Razmotrite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo lako: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.

rješenja:

U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. zato:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratna funkcija (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, došli smo do još jednog pravila:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sledeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je ovo? Gdje je diploma?”, zapamtite temu “”!
   Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak: .
   Dakle naše kvadratni korijen- ovo je samo diploma sa indikatorom:
   .
   Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu “”!!! (oko stepena sa negativnim eksponentom)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Sa izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

A sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Dakle, dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježbajte:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, pronađimo derivat u opšti pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkcija snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Šta je ovo????

Dobro, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije je konstanta - ona je beskonačna decimalni, odnosno iracionalan broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno.

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi termin, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako drugačije možete nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija... Diferencijal matematičara je isti prirast funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Je li uspjelo?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivat logaritamske funkcije

Slično je i ovdje: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

šta se desilo" složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i bit će vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni objekt: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste jeli čokoladu, morate to učiniti obrnutih radnji obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). sta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složene funkcije: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o kompleksnoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Proučavanje funkcije koristeći njen derivat. U ovom članku ćemo analizirati neke zadatke vezane za proučavanje grafa funkcije. U takvim zadacima daje se graf funkcije y = f (x) i postavljaju pitanja vezana za određivanje broja tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna (ili negativna), kao i druga. Klasificirani su kao zadaci o primjeni derivata u proučavanju funkcija.

Rješavanje ovakvih problema, i općenito problema vezanih za istraživanje, moguće je samo uz potpuno razumijevanje svojstava izvoda za proučavanje grafova funkcija i izvoda. Stoga vam toplo preporučujem da proučite relevantnu teoriju. Možete učiti i gledati (ali sadrži kratak sažetak).

U budućim člancima ćemo također razmotriti probleme gdje je prikazan graf derivata, nemojte ga propustiti! Dakle, zadaci:

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−6; 8). definirati:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

2. Broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

1. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Oni sadrže cjelobrojne točke −5, −4, 1, 2, 3, 4 i 7. Dobijamo 7 bodova.

2. Direktno y= 2 paralelno sa osomOhy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoje četiri takve tačke: –3; 0; 4.2; 6.9

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−5; 5). definirati:

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 3;

3. Broj tačaka u kojima je izvod nula;

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (1.4; 2.5) i (4.4; 5). Sadrže samo jednu ceobrojnu tačku x = 2.

2. Direktno y= 3 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 3 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto).

Postoje četiri takve tačke: –4,3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Derivat je jednak nuli u četiri tačke (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−2; 12). Nađi:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna;

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

3. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

4. Broj tačaka u kojima je izvod nula.

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (–2; 1), (2; 4), (7; 9) i ( 10; Sadrže cjelobrojne točke: –1, 0, 3, 8. Ukupno ih ima četiri.

2. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Sadrže cijele tačke 5 i 6. Dobijamo 2 boda.

3. Direktno y= 2 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoji sedam takvih tačaka: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Derivat je jednak nuli u sedam tačaka (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.