Konačan izvod. U kom trenutku je derivacija najveća?

Dom

Istraživanje funkcija. U ovom članku ćemo govoriti o problemima u kojima se razmatraju funkcije i o uvjetima koji sadrže pitanja vezana za njihovo proučavanje. Razmotrimo glavne teorijske tačke koje treba znati i razumjeti da bismo ih riješili.Ovo je čitava grupa zadataka uključenih u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Obično se radi o pronalaženju maksimalnih (minimalnih) tačaka ili određivanju najveće (najmanje) vrijednosti funkcije na datom intervalu.

Smatra se:

— Moć i iracionalne funkcije.

— Racionalne funkcije.

— Studij radova i privatnih.

— Logaritamske funkcije.

— Trigonometrijske funkcije.

Ako razumijete teoriju granica, koncept derivacije, svojstva izvoda za proučavanje grafova funkcija i njegovih , tada vam takvi problemi neće stvarati poteškoće i s lakoćom ćete ih rješavati.

Informacije u nastavku su teorijske tačke, čije će vam razumijevanje omogućiti da shvatite kako riješiti takve probleme. Pokušaću da ih predstavim na način da čak i oni koji su ovu temu propustili ili su je slabo proučili mogu bez većih poteškoća riješiti takve probleme.

U problemima ove grupe, kao što je već spomenuto, potrebno je pronaći ili minimalnu (maksimalnu) tačku funkcije, ili najveću (najmanju) vrijednost funkcije na intervalu.Minimum i maksimum bodova.

Svojstva derivata.

Razmotrimo graf funkcije:

Tačka A je maksimalna tačka na intervalu od O do A funkcija raste, a na intervalu od A do B opada.

Tačka B je minimalna tačka na intervalu od A do B funkcija opada, na intervalu od B do C raste.

U tim tačkama (A i B), derivacija postaje nula (jednaka nuli). Tangente u ovim tačkama su paralelne sa osom.

vol

Dodaću da se tačke u kojima funkcija menja svoje ponašanje od povećanja ka opadajućem (i obrnuto, od opadanja ka rastućem) nazivaju ekstremi.

Važna tačka:1. Izvod u rastućim intervalima ima pozitivan predznak (n

Kada vrijednost iz intervala zamijenite njegovom derivacijom, dobićete pozitivan broj). To znači da ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivna vrijednost

, tada graf funkcije raste u ovom intervalu. 2. Na opadajućim intervalima, izvod ima negativni predznak

Kada vrijednost iz intervala zamijenite njegovom derivacijom, dobićete pozitivan broj). (prilikom zamjene vrijednosti iz intervala u derivirani izraz dobija se negativan broj)., tada graf funkcije opada na ovom intervalu.

Ovo treba jasno shvatiti!!!

Dakle, izračunavanjem derivacije i izjednačavanjem sa nulom možete pronaći tačke koje se razdvajaju brojčana osovina u intervalima.U svakom od ovih intervala možete odrediti predznak derivacije, a zatim izvući zaključak o njegovom povećanju ili smanjenju.

*Posebno treba spomenuti tačke u kojima izvod ne postoji. Na primjer, možemo dobiti izvod čiji nazivnik nestaje na određenom x. Jasno je da za takav x izvod ne postoji. dakle, ovu tačku također se moraju uzeti u obzir pri određivanju intervala povećanja (smanjenje).

Funkcija u tačkama gde je izvod jednak nuli ne menja uvek svoj predznak. O tome će se raspravljati poseban članak. Na samom Jedinstvenom državnom ispitu takvih zadataka neće biti.

Gore navedena svojstva su neophodna za proučavanje ponašanja funkcije za povećanje i smanjenje.

Šta još trebate znati da biste riješili navedene probleme: tablicu derivacija i pravila diferencijacije. Nema šanse bez ovoga. Ovo je osnovno znanje o temi izvedenica. Derivati elementarne funkcije trebalo bi da znaš savršeno dobro.

Izračunavanje derivata složena funkcija f(g(x)), zamislite funkcijug(x) ovo je varijabla, a zatim izračunajte izvodf’(g(x)) koristeći tabelarne formule kao uobičajeni izvod varijable. Zatim pomnožite rezultat sa derivacijom funkcijeg(x) .

Pogledajte video tutorijal Maxima Semenikhin o složenim funkcijama:

Problemi nalaženja maksimuma i minimuma bodova

Algoritam za pronalaženje maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije:

1. Pronađite izvod funkcije f’(x).

2. Pronađite nule izvoda (izjednačavanjem derivacije sa nulom f’(x)=0 i riješite rezultirajuću jednačinu). Takođe nalazimo tačke u kojima izvod ne postoji(posebno se ovo odnosi na frakcione racionalne funkcije).

3. Dobijene vrijednosti označavamo na brojevnoj pravoj i određujemo predznake izvoda na tim intervalima zamjenom vrijednosti iz intervala u izraz derivacije.

Zaključak će biti jedan od dva:

1. Maksimalni bod je bodu kojoj derivacija mijenja vrijednost iz pozitivne u negativnu.

2. Minimalna tačka je tačkau kojoj derivat mijenja svoju vrijednost iz negativne u pozitivnu.

Problemi u pronalaženju najveće ili najmanje vrijednosti

funkcije na intervalu.

U drugoj vrsti problema, morate pronaći najveću ili najmanju vrijednost funkcije u datom intervalu.

Algoritam za pronalaženje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije:

1. Odredite da li ima maksimalnih (minimalnih) bodova. Da bismo to učinili, nalazimo derivat f’(x) , onda rješavamo f’(x)=0 (tačke 1 i 2 iz prethodnog algoritma).

2. Utvrdimo da li dobijene tačke pripadaju datom intervalu i zapišemo one koje leže u njegovim granicama.

3. U originalnu funkciju (ne u derivaciju, već u onu datu u uslovu) zamjenjujemo granice datog intervala i tačke (maksimum-minimum) koje leže unutar intervala (stavka 2).

4. Izračunajte vrijednosti funkcije.

5. Od dobijenih biramo najveću (najmanju) vrijednost, ovisno o tome koje je pitanje postavljeno u zadatku, a zatim zapisujemo odgovor.

Pitanje: zašto je potrebno tražiti maksimalne (minimalne) tačke u problemima nalaženja najveće (najmanje) vrijednosti funkcije?

Najbolji način da se to ilustruje je da pogledate šematski prikaz grafova navedenih funkcija:

U slučajevima 1 i 2, dovoljno je zamijeniti granice intervala kako bi se odredila najveća ili najmanja vrijednost funkcije. U slučajevima 3 i 4 potrebno je pronaći nule funkcije (maksimum-minimum bodova). Ako zamijenimo granice intervala (bez pronalaženja nula funkcije), dobićemo pogrešan odgovor, to se vidi iz grafikona.

A cela poenta je da mi datu funkciju ne možemo vidjeti kako grafikon izgleda na intervalu (da li ima maksimum ili minimum unutar intervala). Stoga, svakako pronađite nule funkcije!!!

Ako je jednadžba f'(x)=0 neće imati rješenje, to znači da ne postoje tačke maksimum-minimum (slika 1,2), a da bismo pronašli postavljeni problem, u ovu funkciju zamjenjujemo samo granice intervala.

Drugi važna tačka. Zapamtite da odgovor mora biti cijeli ili konačan broj decimalni. Kada izračunate najveću i najmanju vrijednost funkcije, dobit ćete e i pi izraze, kao i korijenske izraze. Zapamtite da ih ne morate u potpunosti izračunati i jasno je da rezultat takvih izraza neće biti odgovor. Ako želite da izračunate takvu vrijednost, uradite to (brojevi: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Puno sam pisao, možda sam se zbunio? Gledajući konkretne primjere, vidjet ćete da je sve jednostavno.

Sledeće, želim da vam otkrijem malu tajnu. Činjenica je da se mnogi problemi mogu riješiti bez poznavanja svojstava derivacije, pa čak i bez pravila diferencijacije. Definitivno ću vam reći o ovim nijansama i pokazati kako se to radi? ne propustite!

Ali zašto sam onda uopće iznio teoriju i rekao da je potrebno znati. Tako je - morate znati. Ako razumete, onda vas nijedan problem u ovoj temi neće zbuniti.

“Trkovi” o kojima ćete naučiti pomoći će vam pri rješavanju specifičnih (nekih) problema prototipa. TONaravno, ove tehnike je zgodno koristiti kao dodatni alat. Problem se može riješiti 2-3 puta brže i uštedjeti vrijeme na rješavanju dijela C.

Sve najbolje!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x)\) definirana u određenom intervalu koji sadrži tačku \(x_0\) unutar sebe. Dajmo argumentu inkrement \(\Delta x \) tako da ne napušta ovaj interval. Nađimo odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (kada se krećemo od tačke \(x_0 \) do tačke \(x_0 + \Delta x \)) i sastavimo relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ako postoji ograničenje za ovaj omjer na \(\Delta x \rightarrow 0\), tada se navedena granica naziva derivat funkcije\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana sa funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: derivacija funkcije y = f(x).

Geometrijsko značenje derivacije je kako slijedi. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x=a, koja nije paralelna sa y-osi, tada f(a) izražava nagib tangente :
\(k = f"(a)\)

Pošto je \(k = tg(a) \), onda je jednakost \(f"(a) = tan(a) \) tačna.

Protumačimo sada definiciju derivacije sa stanovišta približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x)\) ima izvod u određenoj tački \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smisaono značenje rezultirajuće približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je „gotovo proporcionalan“ prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u dati poen X. Na primjer, za funkciju \(y = x^2\) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.

Hajde da to formulišemo.

Kako pronaći derivaciju funkcije y = f(x)?

1. Popravite vrijednost \(x\), pronađite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) povećanje \(\Delta x\), idite na novu tačku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Kreirajte relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije u tački x.

Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje izvoda funkcije y = f(x). diferencijaciju funkcije y = f(x).

Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački međusobno povezani?

Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M(x; f(x)), i, podsjetimo, kutni koeficijent tangente je jednak f"(x). Takav graf se ne može „lomiti“ u tački M, tj. funkcija mora biti kontinuirana u tački x.

To su bili „praktični“ argumenti. Hajde da damo rigoroznije rezonovanje. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ako u ovoj jednakosti \(\Delta x \) teži nuli, tada će \(\Delta y\) težiti nuli, a to je uslov za kontinuitet funkcije u tački.

dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je u toj tački kontinuirana.

Obrnuta izjava nije tačna. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “tački spajanja” (0; 0) ne postoji. Ako se u nekom trenutku tangenta ne može povući na graf funkcije, onda izvod ne postoji u toj tački.

Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovoj tački tangenta se poklapa sa y-osom, tj. okomita je na osu apscise, njena jednadžba ima oblik x = 0. Koeficijent nagiba takva linija nema, što znači da ni \(f"(0) \) ne postoji

Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako se iz grafa funkcije može zaključiti da je diferencibilna?

Odgovor je zapravo dat gore. Ako je u nekom trenutku moguće povući tangentu na graf funkcije koja nije okomita na osu apscise, tada je funkcija diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na osu apscise, tada funkcija nije diferencibilna.

Pravila diferencijacije

Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivat kompleksne funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tablica izvoda nekih funkcija

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Šta je derivat?
Definicija i značenje derivacijske funkcije

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim smještajem ovog članka u moj autorski kurs o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo još od škole: standardni udžbenik prije svega daje definiciju izvedenice, njeno geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada usavršavaju tehniku ​​diferencijacije koristeći derivativne tabele.

Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI granica funkcije, a posebno, beskonačno male količine. Poenta je u tome definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što je slabo razmatrano u školski kurs. Zato značajan dio mladih potrošača granita znanja ne razumije samu suštinu derivata. Stoga, ako slabo razumijete diferencijalni račun ili se mudar mozak uspješno riješio ovog prtljaga tokom mnogo godina, počnite s ograničenja funkcije. Istovremeno, savladajte/zapamtite njihovo rješenje.

Isti praktični smisao nalaže da je prvo korisno naučite pronaći derivate, uključujući derivati ​​složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. S tim u vezi, bolje je proraditi kroz navedene osnovne lekcije, a možda majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali možete čekati. Činjenica je da mnoge primjene izvedenice ne zahtijevaju njeno razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje rastućih/opadajućih intervala i ekstrema funkcije. Štaviše, bio je na toj temi dosta dugo. Funkcije i grafovi“, sve dok konačno nisam odlučio da to stavim ranije.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijate esenciju derivata poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi nastavna sredstva doveo do koncepta derivacije koristeći neke praktične probleme, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da nam predstoji put do grada do kojeg se može doći na različite načine. Hajdemo odmah da odbacimo zakrivljene vijugave staze i razmotrimo samo ravne autoputeve. Međutim, pravolinijski pravci su takođe različiti: do grada možete stići glatkim autoputem. Ili uz brdovitu magistralu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ekstremni entuzijasti će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

Ali bez obzira na vaše želje, preporučljivo je znati područje ili ga barem locirati topografska karta. Šta ako takve informacije nedostaju? Uostalom, možete odabrati, na primjer, glatku stazu, ali kao rezultat naići na skijašku stazu s veselim Fincima. Nije činjenica da će navigator ili čak satelitski snimak pružiti pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef puta pomoću matematike.

Pogledajmo neki put (pogled sa strane):

Za svaki slučaj, podsjećam na jednu elementarnu činjenicu: putovanja se dešavaju s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.

Koje karakteristike ima ovaj grafikon?

U intervalima funkcija povećava, odnosno svaku sledeću njegovu vrednost više prethodni. Grubo govoreći, raspored je u toku odozdo prema gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje se– svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored je u toku odozgo prema dolje(spuštamo se niz padinu).

Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, odnosno postoji takav dio putanje gdje će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački to se postiže minimum, And postoji njegovu okolinu u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

U nastavi ćemo pogledati strožiju terminologiju i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važna karakteristika: u intervalima funkcija se povećava, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf raste u toku intervala mnogo kul, nego na intervalu . Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

Brzina promjene funkcije

Ideja je sledeća: hajde da uzmemo neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama na našem putu:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: prelazeći razdaljinu, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove prirast funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika u vrijednostima duž ose je veća od nule). Hajde da napravimo omjer koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .

Pažnja! Oznake su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "X" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol povećanja funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka smislenije. Budimo u početku na visini od 20 metara (na lijevoj crnoj tački). Prešavši udaljenost od metara (lijeva crvena linija), naći ćemo se na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovom dijelu puta visina se povećava u prosjeku za 4 metra...zaboravili ste opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani odnos karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Napomena : Numeričke vrijednosti dotičnog primjera odgovaraju samo proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je porast postupniji, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti vrlo skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje ima za svaki metar staze u prosjeku pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo vrh crna tačka, koji se nalazi na osi ordinata. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Ponovo savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. S obzirom da je pokret izveden odozgo prema dolje(u "kontra" smjeru ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđi segment na crtežu). A u ovom slučaju već govorimo stopa smanjenja Karakteristike: , odnosno za svaki metar puta ove dionice visina se smanjuje u prosjeku za 2 metra. Vodite računa o svojoj odjeći na petoj tački.

Sada se zapitajmo: koja je najbolja vrijednost "standarda mjerenja" za korištenje? Potpuno je razumljivo, 10 metara je jako grubo. Na njih može lako stati desetak humoka. Bez obzira na neravnine, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara je njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljiv opis ovakvih dionica puta kroz omjer .

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: kako manje vrijednosti , što preciznije opisujemo topografiju puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koga tačke podizanja možete odabrati vrijednost (čak i ako je vrlo mala) koja se uklapa u granice određenog porasta. To znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji tačka nagiba postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajuće povećanje visine je jasno negativno, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak glatke putanje. I drugo, postoje i druge zanimljive situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina dovela do samog vrha brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, promjena visine će biti zanemariva, a možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Upravo je to slika koja je uočena na tačkama.

Tako smo došli do nevjerovatne prilike da savršeno precizno okarakteriziramo brzinu promjene funkcije. Na kraju krajeva, matematička analiza omogućava da se prirast argumenta usmjeri na nulu: , odnosno da se infinitezimal.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji će nas obavijestiti o svim ravnim dijelovima, usponima, padovima, vrhovima, dolinama, kao i stopi rasta/padanja na svakoj tački na putu?

Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se sve stvari temeljno razumjele (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Naravno, u samoj definiciji derivacije u jednoj tački zamjenjujemo je sa:

Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je u skladu druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili samo derivat).

Izvod karakteriše stopa promjene funkcije Kako? Ideja teče kao crvena nit od samog početka članka. Hajde da razmotrimo neku tačku domenu definicije funkcije Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:

1) Ako , tada funkcija raste u točki . I očigledno postoji interval(čak i vrlo mali), koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.

2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide od vrha do dna).

3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke funkcija održava konstantnu brzinu. To se događa, kao što je navedeno, sa konstantnom funkcijom i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnim i maksimalnim tačkama.

Malo semantike. Šta znači glagol „diferencirati“ u širem smislu? Razlikovati znači istaknuti osobinu. Diferenciranjem funkcije „izoliramo“ stopu njene promjene u obliku derivacije funkcije. Šta se, inače, podrazumeva pod rečju „derivacija“? Funkcija dogodilo od funkcije.

Pojmovi se vrlo uspješno tumače mehaničkim značenjem izvedenice :
Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, ovisno o vremenu, i funkciju brzine kretanja datog tijela. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "pokretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "brzine tijela".

Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da prvobitni koncepti "kretanja tijela" i "brzine tijela" ne postoje u prirodi, onda ne bi postojali derivat koncept “ubrzanja tijela”.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod „X“ jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa u članku ima više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, koji se javlja na početna faza proučavaju izvedenice, ali kako rješavaju nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojoj u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Ostalo uobičajena greška- mehaničko rješenje izvoda složene funkcije kao izvoda proste funkcije. Zato derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Primjer 1

referenca: Sljedeći načini označavanja funkcije su ekvivalentni: U nekim je zadacima zgodno funkciju označiti kao "igra", a u drugim kao "ef iz x".

Prvo nalazimo derivat:

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

, , studija pune funkcije itd.

Primjer 3

Izračunajte derivaciju funkcije u tački. Prvo da nađemo derivat:

Pa, to je sasvim druga stvar. Izračunajmo vrijednost derivacije u tački:

Ako ne razumijete kako je izvedena pronađena, vratite se na prve dvije lekcije teme. Ako imate bilo kakvih poteškoća (nesporazuma) sa arktangensom i njegovim značenjima, Neophodno studija metodološki materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija– poslednji pasus. Jer još uvijek ima dovoljno arktangensa za studentski uzrast.

Primjer 4

Izračunajte derivaciju funkcije u tački.

Jednadžba tangente na graf funkcije

Za konsolidaciju prethodnog paragrafa, razmotrite problem nalaženja tangente na graf funkcije u ovom trenutku. Sa ovim zadatkom smo se susreli u školi, a pojavljuje se i na predmetu više matematike.

Pogledajmo najjednostavniji “demonstracijski” primjer.

Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u tački apscise. Doneću ga odmah grafičko rješenje zadaci (u praksi to u većini slučajeva nije potrebno):

Stroga definicija tangente je data pomoću definicija derivacije funkcije, ali za sada ćemo savladati tehnički dio pitanje. Gotovo svi intuitivno razumiju šta je tangenta. Ako to objasnite „na prstima“, onda je tangenta na graf funkcije ravno, što se tiče grafa funkcije u jedini tačka. U ovom slučaju, sve obližnje tačke linije nalaze se što bliže grafu funkcije.

Kao primijenjeno na naš slučaj: na tangenti (standardna notacija) dodiruje graf funkcije u jednoj tački.

A naš zadatak je da pronađemo jednačinu prave.

Derivat funkcije u tački

Kako pronaći derivaciju funkcije u tački? Iz formulacije proizlaze dvije očigledne tačke ovog zadatka:

1) Potrebno je pronaći izvod.

2) Potrebno je izračunati vrijednost derivata u datoj tački.

Primjer 1

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

Pomoć: Sljedeći načini označavanja funkcije su ekvivalentni:


U nekim je zadacima zgodno funkciju označiti kao "igra", a u drugim kao "ef iz x".

Prvo nalazimo derivat:

Nadam se da su se mnogi već navikli da takve izvedenice pronalaze usmeno.

U drugom koraku izračunavamo vrijednost derivacije u tački:

Mali primjer za zagrijavanje za samostalno rješavanje:

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Potreba za pronalaženjem derivacije u tački javlja se u sljedećim zadacima: konstruiranje tangente na graf funkcije (sljedeći pasus), proučavanje funkcije za ekstrem , proučavanje funkcije za infleksiju grafa , studija pune funkcije itd.

Ali dotični zadatak se javlja u testovi i samo po sebi. I, po pravilu, u takvim slučajevima data funkcija je prilično složena. S tim u vezi, pogledajmo još dva primjera.

Primjer 3

Izračunajte derivaciju funkcije u tački .
Prvo da nađemo derivat:

Izvod je, u principu, pronađen i možete zamijeniti traženu vrijednost. Ali zaista ne želim ništa da radim. Izraz je veoma dugačak, a značenje "x" je razlomka. Stoga pokušavamo da pojednostavimo naš derivat što je više moguće. U ovom slučaju, pokušajmo posljednja tri člana dovesti do zajedničkog nazivnika: u tački .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Kako pronaći vrijednost derivacije funkcije F(x) u tački Xo? Kako to uopće rješavaš?

Ako je formula data, onda pronađite izvod i zamijenite X-nula umjesto X. Izračunaj
Ako mi pričamo o b-8 Jedinstveni državni ispit, graf, tada trebate pronaći tangentu ugla (oštrog ili tupog) koji tangenta na os X formira (koristeći mentalnu konstrukciju pravokutnog trokuta i određivanje tangente ugla)

Timur Adilkhodzhaev

Prvo morate odlučiti o znaku. Ako je tačka x0 na dnu koordinatna ravan, tada će znak u odgovoru biti minus, a ako je veći, onda +.
Drugo, morate znati šta je tange u pravougaoniku. A ovo je omjer suprotne strane (noga) prema susjednoj strani (također noga). Obično postoji nekoliko crnih mrlja na slici. Od ovih oznaka pravite pravougaonog trougla i nađeš tanges.

Kako pronaći vrijednost izvoda funkcije fx u tački x0?

nije postavljeno konkretno pitanje - prije 3 godine

U opštem slučaju, da biste pronašli vrijednost derivacije funkcije u odnosu na neku varijablu u nekom trenutku, morate razlikovati datu funkciju u odnosu na ovu varijablu. U vašem slučaju, promjenljivom X. U rezultirajućem izrazu umjesto X stavite vrijednost X u tačku za koju treba pronaći vrijednost izvoda, tj. u vašem slučaju, zamijenite nulu X i izračunajte rezultirajući izraz.

Pa, vaša želja da shvatite ovo pitanje, po mom mišljenju, nesumnjivo zaslužuje +, što vam dajem mirne savjesti.

Ova formulacija problema pronalaženja derivacije često se postavlja da bi se učvrstio materijal geometrijsko značenje derivat. Predlaže se graf određene funkcije, potpuno proizvoljan i ne dato jednačinom i trebate pronaći vrijednost izvoda (ne samog izvoda, imajte na umu!) u navedenoj tački X0. Da bi se to postiglo, konstruiše se tangenta na datu funkciju i pronađu tačke njenog preseka sa koordinatnim osa. Tada se jednačina ove tangente sastavlja u obliku y=kx+b.

U ovoj jednačini, koeficijent k i će biti vrijednost izvoda. Ostaje samo pronaći vrijednost koeficijenta b. Da bismo to učinili, nalazimo vrijednost y na x = o, neka bude jednaka 3 - to je vrijednost koeficijenta b. Zamjenjujemo vrijednosti X0 i Y0 u originalnu jednadžbu i nalazimo k - našu vrijednost derivacije u ovoj tački.