Pronađite najmanju vrijednost funkcije s izvodom. Najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu

Ponekad u problemima B14 postoje "loše" funkcije za koje je teško pronaći izvod. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ovi zadaci toliko česti da se više ne mogu zanemariti prilikom priprema za ovaj ispit. U ovom slučaju rade drugi trikovi, od kojih je jedan monotonost. Definicija Funkcija f (x) naziva se monotono rastućom na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi sljedeće: x 1

Definicija. Funkcija f (x) se naziva monotono opadajućom na segmentu ako za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi: x 1 f (x 2). Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, manji je f(x).

Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1 i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, a monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log ax (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Primjeri Logaritam je monotono raste ako je baza a > 1 i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log ax (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1 i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste za a > 1 i smanjuje se za 0 0: 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:" title="(!LANG:Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša kao logaritam: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> !}

0) ili dolje (a 0) ili dolje (a 9 Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za > 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dole (a 0) ili dole (a 0) ili najveći (a 0) ili dole (a 0) ili dole (a title="(!LANG: koordinate parabola vertex-a) Najčešće, argument funkcije je zamijenjen kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za > 0) ili dolje (a

Ne postoji segment u stanju problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema; Ali postoji samo jedna takva tačka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješenje problema je uvelike pojednostavljeno i svedeno na samo dva koraka: Napišite jednadžbu parabole i pronađite njen vrh koristeći formulu: Nađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako nema dodatni uslovi ne, to bi bio odgovor.

0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena je kvadratna funkcija Grafikon ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" klasa ="link_thumb"> 18 Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija.Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena je kvadratna funkcija. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) = 6/2 \u003d 3"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija.Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija. a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG: Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija. Grafikon parabole s granama prema gore, jer je \u003d 1\u003e 0. Vertex parabole: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija. a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Pronađite najveću vrijednost funkcije: Rješenje: Eksponent sadrži kvadratnu funkciju. Prepišimo je u normalnom obliku: Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = 1

Posljedice iz domene funkcije Ponekad za rješavanje problema B14 nije dovoljno samo pronaći vrh parabole. Željena vrijednost može ležati na kraju segmenta, a nikako na tački ekstrema. Ako segment uopće nije naveden u problemu, gledamo područje ​​dozvoljenih vrijednosti originalne funkcije. naime:

0 2. Aritmetika Kvadratni korijen postoji samo među nenegativnim brojevima: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula:" title="(!LANG:1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti jednak nula: 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli: "> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka razlomak ne smije biti jednak nuli:"> 0 2. Aritmetika kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula:" title="(!LANG:1. Argument logaritma mora biti pozitivno: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadrat korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log af (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti jednak nula:"> !}

Rješenje Kvadratni korijen je opet kvadratna funkcija. Njegov graf je parabola, ali grane su prema dolje jer je a = 1
Sada pronađimo vrh parabole: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Tačka x 0 = 1 pripada ODZ segmentu i to je dobro. Sada razmatramo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a: y (3) = y (1) = 0 Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Pitamo se pronaći najveći broj 2. Odgovor: 2

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Na taj način se logaritam razlikuje od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju. Tražimo vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Ali pošto nas krajevi segmenta ne zanimaju, razmatramo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju za izračunavanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako minimizirati troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u onim slučajevima kada je potrebno odrediti optimalnu vrijednost parametra. Da bi se takvi problemi ispravno riješili, mora se dobro razumjeti koja je najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obično ove vrijednosti definiramo unutar nekog intervala x, što zauzvrat može odgovarati cijelom opsegu funkcije ili njenom dijelu. To može biti ili segment [ a ; b ] , i otvoreni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , beskonačni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

U ovom članku ćemo opisati kako se izračunavaju najveća i najmanja vrijednost eksplicitno zadane funkcije s jednom varijablom y=f(x) y = f (x).

Osnovne definicije

Počinjemo, kao i uvijek, sa formulacijom glavnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost maxy = f (x 0) x ∈ X , što za bilo koju vrijednost xx ∈ X , x ≠ x 0 čini nejednakost f (x ) ≤ f (x 0) .

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost minx ∈ X y = f (x 0) , što za bilo koju vrijednost x ∈ X , x ≠ x 0 čini nejednakost f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ove definicije su prilično očigledne. Može biti još jednostavnije reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njena najveća vrijednost na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne tačke su takve vrednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija postaje 0.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se sjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu tačno u jednoj od stacionarnih tačaka.

Druga funkcija može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija određena, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme je: možemo li u svim slučajevima odrediti maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije na datom intervalu? Ne, to ne možemo učiniti kada će se granice datog intervala poklapati sa granicama domene definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da će funkcija u datom intervalu ili u beskonačnosti biti beskonačno mala ili beskonačna velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.

Ovi trenuci će postati razumljiviji nakon slike na grafikonima:

Prva slika nam pokazuje funkciju koja uzima najveće i najmanju vrijednost(m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [ - 6 ; 6].

Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6] i dobijamo da će se najveća vrijednost funkcije postići u tački sa apscisom na desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj tački.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama u otvorenom intervalu (- 6 ; 6).

Ako uzmemo interval [ 1 ; 6) , tada možemo reći da će najmanja vrijednost funkcije na njemu biti dostignuta u stacionarnoj tački. Nećemo znati maksimalnu vrijednost. Funkcija bi mogla uzeti najveću vrijednost na x jednaku 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Upravo je ovaj slučaj prikazan na slici 5.

Na grafikonu 6, ova funkcija dobija najmanju vrijednost u desnoj granici intervala (- 3 ; 2 ] , a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački, a apscisa je jednaka 1. Funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost na granici intervala sa desna strana. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da data funkcija na njoj neće poprimiti ni najmanju ni najveću vrijednost. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Ovo je slučaj prikazan na slici 8.

U ovom paragrafu ćemo dati niz radnji koje se moraju izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije u određenom intervalu.

1. Prvo, pronađimo domenu funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
2. Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu u kojima prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod znakom modula ili u funkcije snage, čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
3. Zatim saznajemo koje stacionarne tačke spadaju u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo ni jednu stacionarnu tačku ili one ne spadaju u dati segment, onda prelazimo na sljedeći korak.
4. Odredimo koje će vrijednosti funkcija zauzeti u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama gdje prvi izvod ne postoji (ako postoji), ili izračunamo vrijednosti za x = a i x = b .
5. 5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo izabrati najveću i najmanju. Ovo će biti najveća i najmanja vrijednost funkcije koju trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [ 1 ; 4 ] i [ - 4 ; - jedan] .

Rješenje:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realni brojevi osim 0 . Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će izvod funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4 ] i [ - 4 ; - jedan] .

Sada moramo odrediti stacionarne tačke funkcije. Uradimo to sa jednačinom x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [ 1 ; 4 ] .

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u datoj tački, tj. za x = 1 , x = 2 i x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1 , a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .

Drugi segment ne uključuje nikakve stacionarne tačke, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

pogledajte sliku:

Prije nego što naučite ovu metodu, savjetujemo vam da pregledate kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da bismo pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvodimo sljedeće korake u nizu.

1. Prvo morate provjeriti da li će dati interval biti podskup domene date funkcije.
2. Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično su za funkcije kod kojih je argument zatvoren u znaku modula i za funkcije stepena s razlomkom racionalni indikator. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
3. Sada određujemo koje stacionarne tačke spadaju u dati interval. Prvo, izjednačimo izvod sa 0, riješimo jednačinu i pronađemo odgovarajuće korijene. Ako nemamo ni jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u zadati interval, odmah idemo na dalja akcija. Oni su određeni tipom intervala.

• Ako interval izgleda kao [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b ] , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b) , tada trebamo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval izgleda kao [ a ; + ∞) , tada je potrebno izračunati vrijednost u tački x = a i granicu na plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) .
• Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u tački x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
• Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
• Ako je - ∞ ; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na kraju je potrebno izvući zaključak na osnovu dobijenih vrijednosti funkcije i granica. Ovdje postoji mnogo opcija. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo razmotriti jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uslov: data je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Rješenje

Prije svega, nalazimo domenu funkcije. Imenilac razlomka je kvadratni trinom, koji ne bi trebao ići na 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo opseg funkcije kojem pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Prema tome, derivati ​​funkcije postoje u cijelom domenu njene definicije.

Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna tačka koja se nalazi u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ] , kao i granicu na minus beskonačnost:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pošto je 3 e 1 6 - 4 > - 1 , onda je maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ovo nam ne dozvoljava da jedinstveno odredimo najmanju vrijednost funkcije. Možemo samo zaključiti da postoji granica ispod -1, budući da se ovoj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačnosti.

Karakteristika drugog intervala je da nema niti jednu stacionarnu tačku niti jednu strogu granicu. Stoga ne možemo izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Definiranjem granice na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobijamo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞

Da bismo pronašli maksimalnu vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2 ako je x = 1 . Također moramo znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. znam , je prisustvo donje granice do - 4 .

Za interval (- 3 ; 2), uzmimo rezultate prethodnog izračunavanja i još jednom izračunajmo čemu je jednaka jednostrana granica kada težimo 2 s lijeve strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .

Na osnovu onoga što smo uradili u prethodna dva proračuna, možemo tvrditi da na intervalu [ 1 ; 2) funkcija će poprimiti najveću vrijednost pri x = 1, a najmanju je nemoguće pronaći.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj y = - 1 .

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanim linijama.

To je sve o čemu smo hteli da pričamo o pronalaženju najveće i najmanje vrednosti funkcije. Ovi nizovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo otkriti na kojim intervalima će se funkcija smanjiti, a na kojima će se povećati, nakon čega se mogu izvući daljnji zaključci. Tako možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U lekciji na temu „Upotreba izvoda za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije na intervalu“, razmotrit ćemo relativno jednostavne probleme pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom intervalu koristeći derivat.

Tema: Derivat

Lekcija: Korištenje derivata za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije u intervalu

U ovoj lekciji ćemo pogledati više jednostavan zadatak, naime, dat će se interval, dat će se kontinuirana funkcija na ovom intervalu. Pronađite najveću i najmanju vrijednost date funkcije na dato interval.

br. 32.1 (b). Dato: , . Nacrtajmo graf funkcije (vidi sliku 1).

Rice. 1. Grafikon funkcije.

Poznato je da se ova funkcija povećava na intervalu , što znači da raste i na intervalu . Dakle, ako pronađete vrijednost funkcije u tačkama i , tada će biti poznate granice promjene ove funkcije, njena najveća i najmanja vrijednost.

Kada se argument poveća od do 8, funkcija raste od do.

odgovor: ; .

№ 32.2 (a) Zadato: Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu.

Napravimo graf ove funkcije (vidi sliku 2).

Ako se argument promijeni na intervalu , tada se funkcija povećava sa -2 na 2. Ako se argument povećava od , tada se funkcija smanjuje sa 2 na 0.

Rice. 2. Grafikon funkcije.

Nađimo derivat.

, . Ako , tada ova vrijednost također pripada datom segmentu . Ako onda . Lako je provjeriti da li poprima druge vrijednosti, odgovarajuće stacionarne tačke prelaze dati segment. Uporedimo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim tačkama gdje je izvod jednak nuli. Hajde da nađemo

;

odgovor: ;.

Dakle, odgovor je primljen. Izvod se u ovom slučaju može koristiti, ne možete ga koristiti, primijeniti svojstva funkcije koja su ranije proučavana. To nije uvijek slučaj, ponekad je upotreba derivata jedina metoda koja vam omogućava da riješite takve probleme.

Dato: , . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Ako je u prethodnom slučaju bilo moguće bez derivacije - znali smo kako se funkcija ponaša, onda je u ovom slučaju funkcija prilično komplicirana. Stoga je metodologija koju smo spomenuli u prethodnom zadatku u potpunosti primjenjiva.

1. Pronađite izvod. Hajde da pronađemo kritične tačke , dakle , - kritične tačke. Od njih biramo one koji pripadaju ovom segmentu: . Usporedimo vrijednost funkcije u tačkama , , . Za ovo nalazimo

Rezultat ilustrujemo na slici (vidi sliku 3).

Rice. 3. Granice promjene vrijednosti funkcije

Vidimo da ako se argument promijeni sa 0 na 2, funkcija se mijenja sa -3 na 4. Funkcija se ne mijenja monotono: ili se povećava ili smanjuje.

odgovor: ;.

Dakle, koristeći tri primjera, demonstrirana je opća tehnika za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu, u ovom slučaju na segmentu.

Algoritam za rješavanje problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

1. Pronađite izvod funkcije.

2. Pronađite kritične tačke funkcije i odaberite one tačke koje se nalaze na datom segmentu.

3. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu odabranim tačkama.

4. Uporedite ove vrijednosti i odaberite najveću i najmanju.

Razmotrimo još jedan primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije , .

Ranije je razmatran graf ove funkcije (vidi sliku 4).

Rice. 4. Grafikon funkcije.

Na intervalu, opseg ove funkcije . Tačka je maksimalna tačka. Kada - funkcija se povećava, kada - funkcija se smanjuje. Iz crteža se vidi da , - ne postoji.

Dakle, u lekciji smo razmatrali problem najveće i najmanje vrednosti funkcije, kada je dati interval segment; formulisao algoritam za rešavanje takvih problema.

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije (nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Zadatak za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa dubinska studija matematika).-M.: Obrazovanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljna studija algebre i matematičke analize.-M .: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za studente tehničkih univerziteta (pod uredništvom M.I.Skanavi).-M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski trener.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra i počeci analize. 8-11 ćelija: Priručnik za škole i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike (didaktički materijali) - M.: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadaci iz algebre i počeci analize (priručnik za učenike 10-11. razreda opšteobrazovnih ustanova).-M .: Obrazovanje, 2003.

9. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i počeci analize: udžbenik. dodatak za 10-11 ćelija. sa dubokim studija matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

10. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. 9-10 razred (vodič za nastavnike).-M.: Prosvjeta, 1983.

Dodatni web resursi

2. Portal Prirodne nauke ().

uradi kod kuće

br. 46.16, 46.17 (c) (Algebra i počeci analize, 10. razred (iz dva dijela). Zbirka zadataka za obrazovne ustanove (profilni nivo) priredio A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:

1 . Pronalazimo ODZ funkcije.

2 . Pronalaženje derivacije funkcije

3 . Izjednačite derivaciju sa nulom

4 . Pronalazimo intervale na kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:

Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.

5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.

V maksimalna tačka funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".

V minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".

6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

• zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveću od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
• ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša u intervalu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.

Razmotrite funkciju . Grafikon ove funkcije izgleda ovako:

Pogledajmo neke primjere rješavanja problema iz otvorena banka zadaci za

jedan . Zadatak B15 (#26695)

Na rezu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1.ODZ funkcija title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Izvod je nula na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:

Stoga, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3 . Zadatak B15 (#26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu .

1. ODZ funkcije: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u tački x=0: . Prilikom prolaska kroz tačke i derivacija mijenja predznak.

Prikažimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očigledno, tačka je minimalna tačka (gde derivacija menja predznak iz "-" u "+"), a da biste pronašli najmanju vrednost funkcije na segmentu, potrebno je da uporedite vrednosti funkcije na minimalna tačka i na lijevom kraju segmenta, .

Ponekad u problemima B15 postoje "loše" funkcije za koje je teško pronaći izvod. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ovi zadaci toliko česti da se više ne mogu zanemariti prilikom priprema za ovaj ispit.

U ovom slučaju rade drugi trikovi, od kojih je jedan - monotono.

Funkcija f (x) naziva se monotono rastućom na segmentu ako je za bilo koju tačku x 1 i x 2 ovog segmenta tačno sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcija f (x) naziva se monotono opadajućom na segmentu ako je za bilo koju tačku x 1 i x 2 ovog segmenta tačno sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je i f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je više x, to je manje f(x).

Na primjer, logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1 i monotono se smanjuje ako je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste u cijelom domenu definicije:

Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Konačno, stepeni sa negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imaju tačku prekida u kojoj je razbijena monotonija.

Sve ove karakteristike se nikada ne nalaze u čista forma. Dodaju im se polinomi, razlomci i druge gluposti, zbog kojih postaje teško izračunati izvod. Šta se dešava u ovom slučaju - sada ćemo analizirati.

Koordinate vrha parabole

Najčešće se argument funkcije zamjenjuje sa kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c . Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:

1. Grane parabole - mogu ići gore (za > 0) ili dolje (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrh parabole je tačka ekstrema kvadratne funkcije, u kojoj ova funkcija zauzima najmanju (za a > 0) ili najveću (a< 0) значение.

Od najvećeg interesa je vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:

Dakle, pronašli smo tačku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je originalna funkcija monotona, za nju će tačka x 0 također biti tačka ekstrema. Dakle, formuliramo ključno pravilo:

Ekstremne tačke kvadratnog trinoma i kompleksna funkcija u koju ulazi poklapaju se. Stoga, možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i zaboraviti na funkciju.

Iz gornjeg rezonovanja ostaje nejasno kakvu točku dobijamo: maksimum ili minimum. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije bitno. Procijenite sami:

1. Ne postoji segment u stanju problema. Stoga nije potrebno izračunati f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema;
2. Ali postoji samo jedna takva tačka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješenje problema je uvelike pojednostavljeno i svedeno na samo dva koraka:

1. Napišite jednačinu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njen vrh koristeći formulu: x 0 = −b /2a;
2. Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako nema dodatnih uslova, ovo će biti odgovor.

Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo opravdanje mogu izgledati komplikovano. Namjerno ne objavljujem "golu" shemu rješenja, budući da je nepromišljena primjena takvih pravila prepuna grešaka.

Razmotrite prave zadatke sa probnog ispita iz matematike - tu je ova tehnika najčešća. Istovremeno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi B15 postanu gotovo verbalni.

Ispod korijena je kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a \u003d 1\u003e 0.

Vrh parabole:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) = -6 / 2 \u003d -3

Budući da su grane parabole usmjerene prema gore, u tački x 0 \u003d −3, funkcija y = x 2 + 6x + 13 poprima najmanju vrijednost.

Korijen se monotono povećava, pa je x 0 minimalna tačka cijele funkcije. Imamo:

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s granama prema gore, jer a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) = -2/2 = -1

Dakle, u tački x 0 = −1, kvadratna funkcija poprima najmanju vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, pa:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent je kvadratna funkcija y = 1 − 4x − x 2 . Prepišimo to u normalnom obliku: y = −x 2 − 4x + 1.

Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Originalna funkcija je eksponencijalna, monotona je, tako da će najveća vrijednost biti u pronađenoj tački x 0 = −2:

Pažljiv čitatelj sigurno će primijetiti da nismo ispisali područje dozvoljenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra se nalaze funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.

Posljedice iz opsega funkcije

Ponekad za rješavanje problema B15 nije dovoljno samo pronaći vrh parabole. Željena vrijednost može lagati na kraju segmenta, ali ne u tački ekstrema. Ako zadatak uopće ne navodi segment, pogledajte raspon tolerancije originalna funkcija. naime:

Obratite pažnju ponovo: nula može biti ispod korena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:

Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Zapisujemo područje ​​dozvoljenih vrijednosti​​(ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jedan]

Sada pronađite vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Tačka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada razmatramo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a:

y(−3) = y(1) = 0

Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x - x 2 - 5. Ovo je parabola s granama prema dolje, ali u logaritmu ne može biti negativnih brojeva, pa ispisujemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Na taj način se logaritam razlikuje od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju.

Tražimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrh parabole odgovara duž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali pošto nas krajevi segmenta ne zanimaju, razmatramo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2