Graf funkcije y je kubni korijen od x. Funkcija moći i korijeni - definicija, svojstva i formule

Dom

Umjesto uvođenja

Upotreba savremenih tehnologija (CTE) i nastavnih sredstava (multimedijalna tabla) u nastavi pomaže nastavniku da planira i efikasno sprovodi nastavu, stvara uslove da učenici svesno razumeju, pamte i vežbaju veštine.

Čas postaje dinamičan i zanimljiv ako kombinujete različite oblike nastave tokom treninga.

• U savremenoj didaktici postoje četiri opšta organizaciona oblika obuke:
• individualno posredovano;
• parna soba;

grupa;

kolektivno (u parovima smjena). (Dyachenko V.K. Moderna didaktika. - M.: Narodno obrazovanje, 2005).

U tradicionalnoj nastavi, po pravilu se koriste samo prva tri gore navedena organizaciona oblika nastave. Kolektivni oblik nastave (rad u parovima u smjenama) nastavnik praktično ne koristi. Međutim, ovaj organizacioni oblik obuke omogućava timu da obuči svakoga i da svako aktivno učestvuje u obuci drugih. Kolektivni oblik obuke je vodeći u DOP tehnologiji.

Jedna od najčešćih metoda tehnologije kolektivnog učenja je tehnika „međusobne obuke“.

Ova "magična" tehnika je dobra u svakom predmetu i na svakoj lekciji. Svrha je obuka. Obuka je nasljednik samokontrole, pomaže studentu da uspostavi kontakt sa predmetom učenja, olakšava pronalaženje pravih koraka i radnji. Kroz obuku u usvajanju, konsolidaciji, pregrupiranju, reviziji i primjeni znanja razvijaju se kognitivne sposobnosti osobe. (Yanovitskaya E.V. Kako podučavati i učiti na lekciji tako da želite da naučite. Referentni album. - Sankt Peterburg: Obrazovni projekti

Pomoći će vam da brzo ponovite pravilo, zapamtite odgovore na pitanja koja ste proučavali i učvrstite potrebnu vještinu. Optimalno vrijeme za rad primjenom metode je 5-10 minuta. U pravilu se rad na karticama za obuku izvodi tokom usmenog računanja, odnosno na početku lekcije, ali prema nahođenju nastavnika može se izvoditi u bilo kojoj fazi lekcije, ovisno o njegovim ciljevima i strukturi . Kartica za obuku može sadržavati od 5 do 10 jednostavnih primjera (pitanja, zadaci). Svaki učenik u razredu dobija karticu. Karte su različite za svakoga ili različite za svakoga u "kombinovanom odredu" (djeca sjede u istom redu). Kombinovani odred (grupa) je privremena saradnja učenika formirana za obavljanje određenog obrazovnog zadatka. (Yalovets T.V. Tehnologija kolektivne metode podučavanja u obuci nastavnika: Obrazovno-metodički priručnik. - Novokuznjeck: Izdavačka kuća IPK, 2005. - str. 122)

Projekt lekcije na temu “Funkcija y=, njena svojstva i graf”

U projektu lekcije čija je tema: „ Funkcija y=, njena svojstva i graf” Prikazana je upotreba tehnika međusobnog treninga u kombinaciji sa upotrebom tradicionalnih i multimedijalnih nastavnih sredstava.

Tema lekcije: “ Funkcija y=, njegova svojstva i graf”

Ciljevi:

• priprema za test;
• testiranje znanja o svim svojstvima funkcije i sposobnosti da se grade grafovi funkcija i čitaju njihova svojstva.

Zadaci: nivo predmeta:

nadpredmetni nivo:

• naučiti analizirati grafičke informacije;
• vježbati sposobnost vođenja dijaloga;
• razviti sposobnost rada sa interaktivnom pločom na primjeru rada sa grafovima.

Struktura lekcije	Vrijeme
1. Unos informacija za nastavnike (TII)	5 min.
2. Ažurirajte pozadinsko znanje: rad u parovima po metodologiji “Uzajamni trening”	8 min.
3. Uvod u temu “Funkcija y=, njena svojstva i graf”: prezentacija nastavnika	8 min.
4. Konsolidacija novonaučenog i već obrađenog materijala na temu „Funkcija“: koristeći interaktivnu tablu	15 min.
5. Samokontrola : u obliku testa	7 min.
6. Sumiranje, snimanje domaće zadaće.	2 min.

Otkrijmo detaljnije sadržaj svake faze.

1. Unos informacija za nastavnike (TII) uključuje organizacioni trenutak; artikulisanje teme, svrhe i plana časa; prikazuje uzorak rada u paru metodom uzajamnog treninga.

Demonstracija uzorka rada u parovima od strane učenika u ovoj fazi časa je preporučljiva za ponavljanje algoritma rada metodike koja nam je potrebna, jer U sljedećoj fazi časa na njemu je planiran rad cijelog odjeljenskog tima. Istovremeno možete imenovati greške u radu sa algoritmom (ako ih je bilo), kao i ocijeniti rad ovih učenika.

2. Ažuriranje osnovnih znanja vrši se u smjenskim parovima metodom međusobne obuke.

Algoritam metodologije uključuje individualne, parne (statički parovi) i kolektivne (smjenski parovi) organizacione oblike obuke.

Pojedinačno: svako ko dobije karticu upoznaje se sa njenim sadržajem (čita pitanja i odgovore na poleđini kartice).

• prvo(u ulozi „pripravnika“) čita zadatak i odgovara na pitanja na kartici partnera;
• drugo(u ulozi “trenera”) – provjerava tačnost odgovora na poleđini kartice;
• raditi slično na drugoj karti, mijenjajući uloge;
• napraviti oznaku na pojedinačnom listu i zamijeniti kartice;
• idi na novi par.

kolektiv:

• u novom paru rade kao u prvom; prelazak na novi par itd.

Broj prelazaka zavisi od vremena koje je nastavnik izdvojio za ovu fazu časa, od marljivosti i brzine razumevanja svakog učenika i od partnera u zajedničkom radu.

Nakon rada u parovima, učenici stavljaju oznake na svoje matične listove, a nastavnik vrši kvantitativnu i kvalitativnu analizu rada.

Računovodstveni list može izgledati ovako:

Ivanov Petya 7 “b” razred

Datum	Broj kartice	Broj grešaka	sa kim ste radili?
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Uvod u temu „Funkcija y=, njene osobine i graf” nastavnik izvodi u vidu prezentacije koristeći multimedijalne alate za učenje (Prilog 4). S jedne strane, ovo je verzija jasnoće koja je razumljiva savremenim studentima, a s druge strane štedi vrijeme na objašnjavanju novog gradiva.

4. Objedinjavanje novonaučenog i već obrađenog gradiva na temu „Funkcija ” organizovano u dve verzije, koristeći tradicionalna nastavna sredstva (tabla, udžbenik) i inovativna (interaktivna tabla).

Prvo se nudi nekoliko zadataka iz udžbenika za konsolidaciju novonaučenog gradiva. Koristi se udžbenik koji se koristi za nastavu. Rad se izvodi istovremeno sa cijelim razredom. U ovom slučaju jedan učenik ispunjava zadatak “a” - na tradicionalnoj tabli; drugi je zadatak “b”. interaktivna tabla, ostali učenici zapisuju rješenja istih zadataka u svesku i svoje rješenje upoređuju sa rješenjem prikazanim na tabli. Zatim nastavnik ocjenjuje rad učenika na tabli.

Zatim, radi brže konsolidacije proučenog materijala na temu „Funkcija“, predlaže se frontalni rad s interaktivnom pločom, koji se može organizirati na sljedeći način:

• zadatak i raspored se pojavljuju na interaktivnoj tabli;
• učenik koji želi da odgovori izlazi na tablu, izvodi potrebne konstrukcije i izgovara odgovor;
• novi zadatak i novi raspored se pojavljuju na tabli;
• Drugi student izlazi da odgovori.

Tako je u kratkom roku moguće riješiti dosta zadataka i ocijeniti odgovore učenika. Neki zadaci od interesa (slično zadacima iz predstojećih testni rad), može se zabilježiti u svesku.

5. U fazi samokontrole studentima se nudi test nakon čega slijedi samotestiranje (Prilog 3).

Književnost

1. Dyachenko, V.K. Savremena didaktika [Tekst] / V.K.
2. Dyachenko - M.: Narodno obrazovanje, 2005. Yalovets, T.V. Tehnologija kolektivne metode nastave u obrazovanju nastavnika: Nastavno-metodički priručnik
3. [Tekst] / T.V. Yalovets.

– Novokuznjeck: Izdavačka kuća IPK, 2005.

Yanovitskaya, E.V. Kako podučavati i učiti na lekciji tako da želite da učite. Referentni album [Tekst] / E.V. – Sankt Peterburg: Obrazovni projekti, M.: Izdavač A.M. Kušnir, 2009.

Ljudi, hajde da sada napravimo graf naše funkcije. 1) Domen definicije je skup realnih brojeva. 2) Funkcija je neparna, budući da ćemo zatim našu funkciju razmotriti na x 0, a zatim ćemo prikazati graf u odnosu na ishodište. 3) Funkcija raste kao x 0. Za našu funkciju, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, što znači povećanje. 4) Funkcija nije ograničena odozgo. U stvari, od bilo kojeg veliki broj možemo izračunati treći korijen, i možemo ići u beskonačnost, pronalazeći sve velike vrijednosti argument. 5) Kada je x 0 najmanja vrijednost je 0. Ovo svojstvo je očigledno.

Konstruirajmo naš graf funkcije u cijelom domenu definicije. Zapamtite da je naša funkcija čudna. Svojstva funkcije: 1) D(y)=(-;+) 2) Neparna funkcija. 3) Povećava se za (-;+) 4) Neograničeno. 5) Ne postoji minimalna ili maksimalna vrijednost. 6) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. 7) E(y)= (-;+). 8) Konveksno nadole za (-;0), konveksno nagore za (0;+).

Primjer. Nacrtajte graf funkcije i pročitajte ga. Rješenje. Napravimo dva grafika funkcija na jednom koordinatna ravan podložno našim uslovima. Za x-1 gradimo graf kubnog korijena, a za x-1 gradimo graf linearne funkcije. 1) D(y)=(-;+) 2) Funkcija nije ni parna ni neparna. 3) Smanjuje se za (-;-1), povećava se za (-1;+) 4) Neograničeno odozgo, ograničeno odozdo. 5) Najveća vrijednost br. Najniža vrijednost jednako minus jedan. 6) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. 7) E(y)= (-1;+)

Date su osnovne osobine funkcije stepena, uključujući formule i svojstva korijena. Prikazani su derivacija, integral, proširenje niza stepena i prikaz kompleksnog broja funkcije stepena.

Definicija

Definicija
Funkcija snage sa eksponentom p je funkcija f (x) = xp, čija je vrijednost u tački x jednaka vrijednosti eksponencijalne funkcije sa bazom x u tački p.
Pored toga, f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za prirodne vrijednosti eksponenta, funkcija stepena je proizvod n brojeva jednakih x:
.
Definiran je za sve važeće .

Za pozitivne racionalne vrednosti eksponent, funkcija stepena je proizvod n korijena stepena m iz broja x:
.
Za neparan m, definiran je za sve realne x.

Za paran m, funkcija stepena je definirana za one koje nisu negativne.
.
Za negativan, funkcija snage određena je formulom:

Dakle, nije definisan u ovom trenutku. Za iracionalne vrednosti
,
gdje je a proizvoljan pozitivan broj koji nije jednak jedinici: .
Kada je definirano za .
Kada je , funkcija snage je definirana za .

Kontinuitet. Funkcija moći je kontinuirana u svom domenu definicije.

Svojstva i formule funkcija stepena za x ≥ 0

Ovdje ćemo razmotriti svojstva funkcije snage za ne negativne vrijednosti argument x.

Kao što je gore navedeno, za određene vrijednosti eksponenta p, funkcija stepena je također definirana za negativne vrijednosti x.
(1.1) U ovom slučaju, njegova svojstva mogu se dobiti iz svojstava , koristeći parne ili neparne. Ovi slučajevi su razmotreni i detaljno ilustrovani na stranici "".
Funkcija stepena, y = x p, sa eksponentom p ima sljedeća svojstva:
definisano i kontinuirano na setu
(1.2) u ,
Funkcija stepena, y = x p, sa eksponentom p ima sljedeća svojstva:
definisano i kontinuirano na setu
(1.3) at ;
ima mnogo značenja
(1.4) definisano i kontinuirano na setu
definisano i kontinuirano na setu
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

striktno raste sa ,

striktno opada na ;

Definicija
Dokaz svojstava je dat na stranici “Funkcija snage (dokaz kontinuiteta i svojstva)” Korijeni - definicija, formule, svojstva
.
Korijen broja x stepena n 2, 3, 4, ... - je broj koji kada se podigne na stepen n daje x:, Ovdje n =.

prirodni broj
.
veći od jedan

Također možete reći da je korijen broja x stepena n korijen (tj. rješenje) jednačine Imajte na umu da je funkcija inverzna funkciji.

Kvadratni korijen od x je korijen stepena 2: .

Kockasti korijen od x

je korijen stepena 3: . Čak i stepen Za parne stepene n = 0 2 m
.
, korijen je definiran za x ≥
.

. Formula koja se često koristi vrijedi i za pozitivan i za negativan x: Za kvadratni korijen:

Ovdje je važan redoslijed kojim se operacije izvode - to jest, prvo se izvrši kvadriranje, što rezultira nenegativnim brojem, a zatim se iz njega izvlači korijen (možete izdvojiti iz nenegativnog broja

kvadratni korijen
;
.

). Ako bismo promijenili redoslijed: , tada bi za negativan x korijen bio nedefiniran, a time bi i cijeli izraz bio nedefiniran.

Neparni stepen
.
Za neparne potencije, korijen je definiran za sve x: 0 Svojstva i formule korijena
;
;
, ;
.

Koren od x je funkcija stepena:

Kada je x ≥

primjenjuju se sljedeće formule:
Ove formule se mogu primijeniti i za negativne vrijednosti varijabli.
Samo treba da budete sigurni da radikalni izraz parnih moći nije negativan.
Privatne vrijednosti

Korijen od 0 je 0: .

Korijen 1 je jednak 1: .
.
Transformirajmo unutrašnji kvadratni korijen koristeći gornju formulu:
.
Sada transformirajmo originalni korijen:
.
dakle,
.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Ovdje su grafovi funkcije za nenegativne vrijednosti argumenta x.

Grafovi funkcije snage definirane za negativne vrijednosti x dati su na stranici “Funkcija snage, njena svojstva i grafovi”

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija stepena sa eksponentom p je funkcija stepena sa eksponentom 1/p.

Ako, onda.

Derivat funkcije stepena
;

Derivat n-tog reda:

Izvođenje formula > > >

Integral funkcije snage 1 ;
.

P ≠ -

Proširenje serije snaga 1 < x < 1 u -

odvija se sljedeća dekompozicija:

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z: f.
(z) = z t
Izrazimo kompleksnu varijablu z u terminima modula r i argumenta φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kompleksni broj t predstavljamo u obliku realnih i imaginarnih dijelova:
t = p + i q .

imamo:
,

Zatim, uzimamo u obzir da argument φ nije jednoznačno definiran: 0 Razmotrimo slučaj kada je q = , odnosno eksponent - pravi broj
.

, t = p.
.
Onda

Ako je p cijeli broj, tada je kp cijeli broj. Zatim, zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija: To jest, eksponencijalna funkcija s eksponentom cijelog broja, za dati z, ima samo jednu vrijednost i stoga je nedvosmislena. Ako je p iracionalno, onda proizvodi kp za bilo koji k ne proizvode cijeli broj. Pošto k prolazi kroz beskonačan niz vrijednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p ima beskonačno mnogo vrijednosti. Kad god se povećava argument z

2π
(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije. Ako je p racionalno, onda se može predstaviti kao:, Gdje
.
m, n - cijeli brojevi koji ne sadrže zajedničke djelitelje. Onda Prvih n vrijednosti, sa k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dati n
.
različita značenja kp: Međutim, sljedeće vrijednosti daju vrijednosti koje se razlikuju od prethodnih za cijeli broj. Na primjer, kada je k = k
.
0+n imamo: Trigonometrijske funkcije, čiji se argumenti razlikuju po vrijednostima koje su višestruke - cijeli brojevi koji ne sadrže zajedničke djelitelje. Onda.

2π Trigonometrijske funkcije, imaju jednake vrijednosti. Stoga, daljim povećanjem k, dobijamo iste vrijednosti z p kao za k = k

Konkretno, korijen stepena n ima n vrijednosti. Kao primjer, razmotrite n-ti korijen realnog pozitivnog broja z = x. U ovom slučaju φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Dakle, za kvadratni korijen, n = Za parno k,(- 1 ) k = 1 ..
Za neparan k,

(- 1 ) k = - 1
To jest, kvadratni korijen ima dva značenja: + i -.

Korištena literatura:

I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Kubni korijen. Svojstva kubnog korijena"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 9. razred

Obrazovni kompleks 1C: "Algebarski zadaci sa parametrima, 9-11 razredi" Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.0"
Definicija funkcije stepena - kubni korijen
Ljudi, nastavljamo proučavati funkcije moći. Danas ćemo govoriti o funkciji "Kubični korijen od x".
Šta je kockasti korijen?
Broj y se naziva kubnim korijenom od x (korijen trećeg stepena) ako vrijedi jednakost $y^3=x$.
Označeno kao $\sqrt(x)$, gdje je x radikalni broj, 3 je eksponent.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.

Kao što vidimo, kubni korijen se također može izdvojiti iz negativnih brojeva. Ispostavilo se da naš korijen postoji za sve brojeve.
Treći korijen negativnog broja jednak je negativnom broju. Kada se podigne na neparan stepen, predznak je sačuvan, treći stepen je neparan.

Provjerimo jednakost: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.

Neka je $\sqrt((-x))=a$ i $\sqrt(x)=b$. Podignimo oba izraza na treći stepen. $–x=a^3$ i $x=b^3$. Tada $a^3=-b^3$ ili $a=-b$. U zapisu korijena dobijamo željeni identitet.
Svojstva kubnih korijena

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Dokažimo drugu osobinu. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Otkrili smo da je broj $\sqrt(\frac(a)(b))$ u kocki jednak $\frac(a)(b)$, a zatim jednak $\sqrt(\frac(a)(b))$ , što je i trebalo dokazati.
Ljudi, hajde da napravimo graf naše funkcije.
3) Funkcija se povećava kada je $x≥0$. Za našu funkciju, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, što znači povećanje.
4) Funkcija nije ograničena odozgo. Zapravo, iz proizvoljno velikog broja možemo izračunati treći korijen, a možemo se kretati prema gore neograničeno, pronalazeći sve veće vrijednosti argumenta.
5) Za $x≥0$ najmanja vrijednost je 0. Ovo svojstvo je očigledno.
Napravimo graf funkcije po tačkama na x≥0.

Konstruirajmo naš graf funkcije u cijelom domenu definicije. Zapamtite da je naša funkcija čudna.

Svojstva funkcije:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Neparna funkcija.
3) Povećava se za (-∞;+∞).
4) Neograničeno.
5) Ne postoji minimalna ili maksimalna vrijednost.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konveksno nadole za (-∞;0), konveksno nagore za (0;+∞).

Primjeri rješavanja funkcija stepena

Primjeri
1. Riješite jednačinu $\sqrt(x)=x$.
Rješenje. Napravimo dva grafika na istoj koordinatnoj ravni $y=\sqrt(x)$ i $y=x$.

Kao što vidite, naši grafovi se sijeku u tri tačke.
Odgovor: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Konstruirajte graf funkcije. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Rješenje. Naš graf je dobijen iz grafa funkcije $y=\sqrt(x)$, paralelnim prevođenjem dvije jedinice desno i tri jedinice dolje.

3. Grafikujte funkciju i pročitajte je. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Rješenje. Napravimo dva grafika funkcija na istoj koordinatnoj ravni, uzimajući u obzir naše uslove. Za $x≥-1$ gradimo graf kubnog korijena, za $x≤-1$ gradimo graf linearne funkcije.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija nije ni parna ni neparna.
3) Smanjuje se za (-∞;-1), povećava za (-1;+∞).
4) Neograničeno odozgo, ograničeno odozdo.
5) Ne postoji najveća vrijednost. Najmanja vrijednost je minus jedan.
6) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj.
7) E(y)= (-1;+∞).

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Riješite jednačinu $\sqrt(x)=2-x$.
2. Konstruirajte graf funkcije $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Nacrtajte graf funkcije i pročitajte ga. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.