Čemu služi derivacija funkcije? Istraživanje funkcija. Moraš ovo znati

Dom

(\large\bf Derivat funkcije) Razmotrite funkciju y=f(x) , specificirano na intervalu(a, b) . Neka x , specificirano na intervalu- bilo koja fiksna tačka intervala , AΔx - proizvoljan broj takav da je vrijednost x+Δx , specificirano na intervalu takođe pripada intervalu , A. Ovaj broj

naziva se povećanjem argumenta. Definicija Razmotrite funkciju. Povećanje funkcije . Neka u tački , A, što odgovara inkrementu argumenta

, nazovimo broj.

Δy = f(x+Δx) - f(x) Vjerujemo u toΔx ≠ 0 . Neka. Razmotrite u datoj fiksnoj tački , A

omjer prirasta funkcije u ovoj tački i odgovarajućeg prirasta argumenta . Neka Ovu relaciju ćemo nazvati relacijom razlike. Pošto vrednost , A smatramo fiksnim, odnos razlike je funkcija argumenta , A. Ova funkcija je definirana za sve vrijednosti argumenata , koji pripada nekoj dovoljno maloj okolini tačkeΔx=0 , koji pripada nekoj dovoljno maloj okolini tačke, osim same tačke . Dakle, imamo pravo da razmotrimo pitanje postojanja granice navedene funkcije na.

naziva se povećanjem argumenta.Δx → 0 Razmotrite funkciju. Derivat funkcije . Neka na datoj fiksnoj tački . Dakle, imamo pravo da razmotrimo pitanje postojanja granice navedene funkcije na nazvan limit at

odnos razlike, tj

Pod uslovom da ovo ograničenje postoji.. Oznaka y′(x) ili.

f′(x) Geometrijsko značenje derivat : Derivat funkcije f(x) . Neka u ovom trenutku jednak tangentu ugla između osa Ox

i tangenta na graf ove funkcije u odgovarajućoj tački:.

f′(x 0) = \tgα Mehaničko značenje izvedenice

: Derivat putanje u odnosu na vrijeme jednak je brzini pravolinijskog kretanja tačke: Razmotrite funkciju. Povećanje funkcije Jednadžba tangente na pravu M 0 (x 0 ,y 0)

poprima oblik.

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0) Normala na krivu u nekoj tački je okomita na tangentu u istoj tački. Ako f′(x 0)≠ 0 Razmotrite funkciju. Povećanje funkcije Jednadžba tangente na pravu, zatim jednadžba normale na pravu

je napisano ovako:

Koncept diferencijabilnosti funkcije Razmotrite funkciju Neka funkcija , specificirano na intervalu, . Neka definisano u određenom intervalu , A- neka fiksna vrijednost argumenta iz ovog intervala, - bilo koji porast argumenta takav da vrijednost argumenta.

naziva se povećanjem argumenta. x+Δx ∈ (a, b) Razmotrite funkciju. Funkcija . Neka naziva se diferencibilnim u datoj tački , ako se povećavaΔy . Neka ovu funkciju u tački , A, što odgovara inkrementu argumenta

, može se predstaviti u obliku,

Δy = A Δx +αΔx Gdje A , A- bilo koja fiksna tačka intervala α - neki broj neovisan od , A- argument funkcija , što je beskonačno malo na.

Δx→ 0 Budući da je proizvod dvije infinitezimalne funkcijeαΔx je beskonačno malo više high order , A(svojstvo 3 beskonačno male funkcije), tada možemo napisati:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Da bi funkcija Razmotrite funkciju bio diferenciran u datoj tački . Neka, potrebno je i dovoljno da ima konačan izvod u ovoj tački. U isto vreme A=f′(x), odnosno

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operacija pronalaženja derivacije se obično naziva diferencijacijom.

Teorema. Ako je funkcija Razmotrite funkciju . Neka, onda je u ovoj tački kontinuirano.

Komentar. Iz kontinuiteta funkcije Razmotrite funkciju f(x) . Neka, općenito govoreći, diferencijabilnost funkcije ne slijedi : Derivat funkcije u ovom trenutku. Na primjer, funkcija y=|x|- kontinuirano u jednoj tački x=0, ali nema izvedenicu.

Pojam diferencijalne funkcije

naziva se povećanjem argumenta.. Funkcijski diferencijal Razmotrite funkciju proizvod derivacije ove funkcije i prirasta nezavisne varijable se poziva . Neka:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Za funkciju y=x dobijamo dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, odnosno dx=Δx- diferencijal nezavisne varijable jednak je inkrementu ove varijable.

Dakle, možemo pisati

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferencijal dy i prirast , ako se povećava funkcije Razmotrite funkciju f(x) . Neka, oba odgovaraju istom prirastu argumenta , A, generalno govoreći, nisu jednake jedna drugoj.

Geometrijsko značenje diferencijala: Diferencijal funkcije jednak je inkrementu ordinate tangente na graf ove funkcije kada se argument povećava , A.

Pravila diferencijacije

Teorema. Ako svaka od funkcija u(x) I v(x) diferencibilan u datoj tački . Neka, zatim zbir, razlika, proizvod i količnik ovih funkcija (kvocijent pod uslovom da v(x)≠ 0) su također diferencijabilne u ovom trenutku, a formule vrijede:

Razmotrite složenu funkciju y=f(φ(x))≡ F(x), Gdje y=f(u), u=φ(x). U ovom slučaju u pozvao međuargument, . Neka - nezavisna varijabla.

Teorema. Ako y=f(u) I u=φ(x) su diferencibilne funkcije njihovih argumenata, zatim derivacija složena funkcija y=f(φ(x)) postoji i jednak je proizvodu ove funkcije u odnosu na međuargument i derivaciji međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu, tj.

Komentar. Za složenu funkciju koja je superpozicija tri funkcije y=F(f(φ(x))), pravilo diferencijacije ima oblik

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

gdje su funkcije v=φ(x), u=f(v) I y=F(u)- diferencibilne funkcije njihovih argumenata.

Teorema. Neka funkcija Razmotrite funkciju raste (ili opada) i kontinuirano je u nekom susjedstvu tačke x 0. Neka je, pored toga, ova funkcija diferencibilna u naznačenoj tački x 0 i njegov derivat u ovom trenutku f′(x 0) ≠ 0. Zatim u nekom susjedstvu odgovarajuće tačke y 0 =f(x 0) inverz je definiran za Razmotrite funkciju funkcija x=f -1 (y), a naznačena inverzna funkcija je diferencibilna u odgovarajućoj tački y 0 =f(x 0) i za njegov derivat u ovom trenutku y formula je važeća

Tabela derivata

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Razmotrimo diferencijal kompleksne funkcije. Ako Razmotrite funkciju, x=φ(t)- funkcije njihovih argumenata su diferencibilne, zatim derivacija funkcije y=f(φ(t)) izraženo formulom

y′ t = y′ x x′ t.

Po definiciji dy=y′ t dt, onda dobijamo

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Dakle, dokazali smo

Svojstvo invarijantnosti oblika prvog diferencijala funkcije: kao u slučaju kada je argument . Neka je nezavisna varijabla, au slučaju kada je argument . Neka sama je diferencijabilna funkcija nove varijable, diferencijala dy funkcije Razmotrite funkciju jednaka je derivaciji ove funkcije pomnoženoj s diferencijalom argumenta dx.

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Pokazali smo da je diferencijal dy funkcije Razmotrite funkciju, općenito govoreći, nije jednako priraštaju , ako se povećava ovu funkciju. Međutim, do beskonačno male funkcije višeg reda malenosti od , A, vrijedi približna jednakost

Δy ≈ dy.

Omjer se naziva relativna greška jednakosti ove jednakosti. Jer Δy-dy=o(Δx), To relativna greška ove jednakosti postaje proizvoljno mala kako se smanjujemo |Δh|.

S obzirom na to Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, dobijamo f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ili

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ova približna jednakost dopušta s greškom o(Δx) zamijeniti funkciju : Derivat funkcije u malom kraju tačke . Neka(tj. za male vrijednosti , A) linearna funkcija argumenta , A, stoji na desnoj strani.

Derivati ​​višeg reda

naziva se povećanjem argumenta.. Drugi izvod (ili izvod drugog reda) funkcije Razmotrite funkciju naziva se derivat njegovog prvog izvoda.

Zapis za drugi izvod funkcije Razmotrite funkciju:

Mehaničko značenje druge izvedenice. Ako je funkcija Razmotrite funkciju opisuje zakon kretanja materijalna tačka u pravoj liniji, zatim drugi izvod f″(x) jednako ubrzanju pokretne tačke u trenutku vremena . Neka.

Slično se određuju i treći i četvrti izvod.

naziva se povećanjem argumenta.. n th derivat (ili derivat n-ti red) funkcije Razmotrite funkciju naziva se derivat od toga n-1 th derivat:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Oznake: y″′, y IV, y V itd.

Derivat funkcije jedne varijable.

Uvod.

Real metodološki razvoj namenjen studentima Industrijsko-građevinskog fakulteta. Sastavljeni su u odnosu na program predmeta matematika u dijelu „Diferencijalni račun funkcija jedne varijable“.

Razvoj predstavlja jedinstven metodološki vodič, uključujući: kratke teorijske informacije; „standardni“ problemi i vježbe sa detaljnim rješenjima i objašnjenjima za ta rješenja; opcije testiranja.

Na kraju svakog pasusa nalaze se dodatne vježbe. Ovakva struktura razvoja čini ih pogodnim za samostalno savladavanje sekcije uz minimalnu pomoć nastavnika.

§1. Definicija derivata.

Mehaničko i geometrijsko značenje

derivat.

Koncept derivata je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Nastao je još u 17. veku. Formiranje koncepta derivacije istorijski je povezano s dva problema: problemom brzine naizmjeničnog kretanja i problemom tangente na krivu.

Ovi problemi, uprkos svom različitom sadržaju, dovode do iste matematičke operacije koja se mora izvršiti nad funkcijom. Ova operacija je primljena u matematici posebno ime. To se zove operacija diferencijacije funkcije. Rezultat operacije diferencijacije naziva se derivacija.

Dakle, derivacija funkcije y=f(x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta
at
.

Izvod se obično označava na sljedeći način:
.

Dakle, po definiciji

Simboli se također koriste za označavanje izvedenica
.

Mehaničko značenje izvedenice.

Ako je s=s(t) zakon pravolinijskog kretanja materijalne tačke, onda
je brzina ove tačke u trenutku t.

Geometrijsko značenje derivacije.

Ako funkcija y=f(x) ima izvod u tački , zatim kutni koeficijent tangente na graf funkcije u tački
jednaki
.

Primjer.

Pronađite izvod funkcije
u tački =2:

1) Hajde da poentiramo =2 prirasta
. Imajte na umu da.

2) Pronađite prirast funkcije u tački =2:

3) Kreirajmo omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

Nađimo granicu omjera na
:

.

dakle,
.

§ 2. Derivati ​​nekih

najjednostavnije funkcije.

Učenik treba da nauči kako izračunati izvode određenih funkcija: y=x,y= i općenito= .

Nađimo derivaciju funkcije y=x.

one. (x)′=1.

Nađimo derivaciju funkcije

Derivat

Neka
Onda

Lako je uočiti obrazac u izrazima za izvode funkcije stepena
sa n=1,2,3.

dakle,

. (1)

Ova formula vrijedi za bilo koje realno n.

Konkretno, koristeći formulu (1), imamo:

;

.

Primjer.

Pronađite izvod funkcije

.

.

Ova funkcija je poseban slučaj funkcije oblika

at
.

Koristeći formulu (1), imamo

.

Derivati ​​funkcija y=sin x i y=cos x.

Neka je y=sinx.

Podijelimo sa ∆x, dobijamo

Prelaskom do granice na ∆x→0, imamo

Neka je y=cosx.

Prelaskom na granicu na ∆x→0, dobijamo

;
. (2)

§3. Osnovna pravila diferencijacije.

Razmotrimo pravila diferencijacije.

Teorema1 . Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencijabilne u datoj tački x, tada je u ovoj tački i njihov zbir diferencijabilan, a derivacija sume jednaka je zbiru izvoda članova : (u+v)"=u"+v".(3 )

Dokaz: razmotrite funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Povećanje ∆x argumenta x odgovara inkrementima ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcija u i v. Tada će se funkcija y povećati

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

dakle,

Dakle, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencibilne u datoj tačkix, tada je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački. uv)"=u"v+uv". ( 4)

Dokaz: Neka je y=uv, gdje su u i v neke diferencijabilne funkcije od x. Dajmo x inkrement od ∆x tada će u dobiti povećanje od ∆u, v će dobiti povećanje od ∆v, a y će dobiti povećanje od ∆y.

Imamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ili

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dakle, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Odavde

Prelaskom na granicu na ∆x→0 i uzimajući u obzir da u i v ne zavise od ∆x, imaćemo

Teorema 3. Izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je nazivnik jednak kvadratu djelitelja, a brojnik je razlika između umnoška izvoda dividende na djelitelj i umnožaka djelitelja. dividenda derivacijom djelitelja, tj.

Ako
To
(5)

Teorema 4. Derivat konstante je nula, tj. ako je y=C, gdje je C=const, tada je y"=0.

Teorema 5. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije, tj. ako je y=Cu(x), gdje je C=const, tada je y"=Cu"(x).

Primjer 1.

Pronađite izvod funkcije

.

Ova funkcija ima oblik
, gdje je u=x,v=cosx. Primjenom pravila diferencijacije (4) nalazimo

.

Primjer 2.

Pronađite izvod funkcije

.

Primijenimo formulu (5).

Evo
;
.

Zadaci.

Pronađite izvode sljedećih funkcija:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Prilikom rješavanja raznih zadataka geometrije, mehanike, fizike i drugih grana znanja javila se potreba da se iz ove funkcije koristi isti analitički proces Razmotrite funkciju dobiti novu funkciju koja se zove derivirajuća funkcija(ili samo derivacija) date funkcije f(x) i označen je simbolom

Proces kojim iz date funkcije : Derivat funkcije nabavite novu funkciju f" (x), zvao diferencijaciju a sastoji se od sljedeća tri koraka: 1) dajte argument . Neka prirast  . Neka i odredite odgovarajući prirast funkcije  y = f(x+ x) -f(x);

2) uspostaviti vezu . Neka 3) brojanje  . Neka konstantan i
0, nalazimo f" (x), koje označavamo sa . Neka, na kojoj idemo do granice. naziva se povećanjem argumenta.: Derivat y " =f " (x) data funkcija y=f(x) za dati x naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uslovom da prirast argumenta teži nuli, ako, naravno, ova granica postoji, tj. konačan.
dakle,

, ili . Neka Imajte na umu da ako za neku vrijednost , na primjer kada x=a
, stav  . Neka at : Derivat funkcije0 ne teži konačnoj granici, onda u ovom slučaju kažu da je funkcija , na primjer kada at , na primjer kada(ili u tački , na primjer kada.

) nema izvod ili nije diferencibilan u tački

2. Geometrijsko značenje izvoda.

: Derivat funkcije

Razmotrimo graf funkcije y = f (x), diferencibilne u blizini tačke x 0

Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku na grafu funkcije - tačku A(x 0, f (x 0)) i seče graf u nekoj tački B(x;f(x)). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: ​​AC = ∆x;

BC =∆u; tgβ=∆y/∆x.

Budući da AC || Ox, zatim ALO = BAC = β (kao što odgovara za paralelu). Ali ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. To znači da je tanβ = k ugaoni koeficijent prave AB.
Sada ćemo smanjiti ∆x, tj. ∆h→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆x→ 0 bit će prava linija (a), nazvana tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.
Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tgβ =∆y/∆x, dobićemo
ortg =f "(x 0), pošto

-ugao nagiba tangente na pozitivan pravac ose Ox

, po definiciji derivata. Ali tg = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg = f "(x 0). 0 Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće: Derivat funkcije u tački x jednako 0 .

nagib

tangenta na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x

3. Fizičko značenje izvedenice.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka je data koordinata tačke u bilo kom trenutku x(t). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu jednaka odnosu pređenog puta u tom vremenskom periodu i vremena, tj.

Vav = ∆x/∆t. Idemo na granicu u posljednjoj jednakosti kao ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - trenutna brzina u trenutku t 0, ∆t → 0.

i lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (po definiciji derivacije).y = Dakle, (t) =x"(t).(. NekaFizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcije. Neka 0 fDakle, (t) =x"(t).) u tački. Neka 0

Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.

(t) = x"(t) - brzina,

a(f) = "(t) - ubrzanje, ili

Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke u krugu, onda se može pronaći ugaona brzina i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:

φ = φ(t) - promjena ugla tokom vremena,

ω = φ"(t) - ugaona brzina,

ε = φ"(t) - kutno ubrzanje, ili ε = φ"(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:

m = m(x) - masa,

x  , l - dužina štapa,

p = m"(x) - linearna gustina.

Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu

F = -kx, x – varijabilna koordinata, k – koeficijent elastičnosti opruge. Stavljajući ω 2 =k/m, dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

gdje je ω = √k/√m frekvencija oscilovanja (l/c), k - krutost opruge (H/m).

Jednačina oblika y" + ω 2 y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednačina je funkcija

y = Asin(ωt + φ 0) ili y = Acos(ωt + φ 0), gdje je

A - amplituda oscilacija, ω - ciklična frekvencija,

φ 0 - početna faza.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika su u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod „X“ jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa u članku ima više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, koji se javlja na početna faza proučavaju izvedenice, ali kako rješavaju nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojoj u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Ostalo uobičajena greška- mehaničko rješenje izvoda složene funkcije kao izvoda proste funkcije. Zato derivat kompleksne funkcije posvećeno poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiju smo derivaciju upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Istraživanje funkcija. U ovom članku ćemo govoriti o problemima u kojima se razmatraju funkcije i o uvjetima koji sadrže pitanja vezana za njihovo proučavanje. Razmotrimo glavne teorijske tačke koje treba znati i razumjeti da bismo ih riješili.

Ovo je čitava grupa zadataka uključenih u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Obično se radi o pronalaženju maksimalnih (minimalnih) tačaka ili određivanju najveće (najmanje) vrijednosti funkcije na datom intervalu.Smatra se:

— Moć i iracionalne funkcije.

— Racionalne funkcije.

— Studij radova i privatnih.

— Logaritamske funkcije.

— Trigonometrijske funkcije.

Ako razumijete teoriju granica, koncept derivacije, svojstva izvoda za proučavanje grafova funkcija i njegovih , tada vam takvi problemi neće stvarati poteškoće i s lakoćom ćete ih rješavati.

Informacije u nastavku su teorijske tačke, čije će vam razumijevanje omogućiti da shvatite kako riješiti takve probleme. Pokušaću da ih predstavim na način da čak i oni koji su ovu temu propustili ili su je slabo proučili mogu bez većih poteškoća riješiti takve probleme.

U problemima ove grupe, kao što je već spomenuto, potrebno je pronaći ili minimalnu (maksimalnu) tačku funkcije, ili najveću (najmanju) vrijednost funkcije na intervalu.

Minimum i maksimum bodova.Svojstva derivata.

Razmotrimo graf funkcije:

Tačka A je maksimalna tačka na intervalu od O do A funkcija raste, a na intervalu od A do B opada.

Tačka B je minimalna tačka na intervalu od A do B funkcija opada, na intervalu od B do C raste.

U tim tačkama (A i B), derivacija postaje nula (jednaka nuli).

Tangente u ovim tačkama su paralelne osi vol.

Dodaću da se tačke u kojima funkcija menja svoje ponašanje od povećanja ka opadajućem (i obrnuto, od opadanja ka rastućem) nazivaju ekstremi.

Važna tačka:

1. Izvod u rastućim intervalima ima pozitivan predznak (nKada vrijednost iz intervala zamijenite njegovom derivacijom, dobićete pozitivan broj).

To znači da ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivna vrijednost, tada se graf funkcije povećava u ovom intervalu.

2. Na opadajućim intervalima, izvod ima negativan predznak(prilikom zamjene vrijednosti iz intervala u izraz derivacije, dobija se negativan broj).

To znači da ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.

Ovo treba jasno shvatiti!!!

Dakle, izračunavanjem derivacije i izjednačavanjem sa nulom možete pronaći tačke koje se razdvajaju brojčana osovina u intervalima.U svakom od ovih intervala možete odrediti predznak derivacije, a zatim izvući zaključak o njegovom povećanju ili smanjenju.

*Posebno treba spomenuti tačke u kojima izvod ne postoji. Na primjer, možemo dobiti izvod čiji nazivnik nestaje na određenom x. Jasno je da za takav x izvod ne postoji. dakle, ovu tačku također se moraju uzeti u obzir pri određivanju intervala povećanja (spadanja).

Funkcija u tačkama gde je izvod jednak nuli ne menja uvek svoj predznak. O tome će biti poseban članak. Na samom Jedinstvenom državnom ispitu takvih zadataka neće biti.

Gore navedena svojstva su neophodna za proučavanje ponašanja funkcije za povećanje i smanjenje.

Šta još trebate znati da biste riješili navedene probleme: tablicu derivacija i pravila diferencijacije. Nema šanse bez ovoga. Ovo je osnovno znanje o temi izvedenica. Trebali biste savršeno dobro poznavati derivate elementarnih funkcija.

Izračunavanje derivacije kompleksne funkcijeDakle, (t) =x"(t).(g(. Neka)), zamislite funkcijug(. Neka) ovo je varijabla, a zatim izračunajte izvodDakle, (t) =x"(t).’(g(. Neka)) koristeći tabelarne formule kao uobičajeni izvod varijable. Zatim pomnožite rezultat sa derivacijom funkcijeg(. Neka) .

Pogledajte video tutorijal Maxima Semenikhin o složenim funkcijama:

Problemi nalaženja maksimuma i minimuma bodova

Algoritam za pronalaženje maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije:

1. Pronađite izvod funkcije Dakle, (t) =x"(t).’(. Neka).

2. Pronađite nule izvoda (izjednačavanjem derivacije sa nulom Dakle, (t) =x"(t).’(. Neka)=0 i riješite rezultirajuću jednačinu). Takođe nalazimo tačke u kojima izvod ne postoji(posebno se ovo odnosi na frakcione racionalne funkcije).

3. Dobijene vrijednosti označavamo na brojevnoj pravoj i određujemo predznake izvoda na tim intervalima zamjenom vrijednosti iz intervala u izraz derivacije.

Zaključak će biti jedan od dva:

1. Maksimalni bod je bodu kojoj derivacija mijenja vrijednost iz pozitivne u negativnu.

2. Minimalna tačka je tačkau kojoj derivat mijenja svoju vrijednost iz negativne u pozitivnu.

Problemi u pronalaženju najvećeg ili najniža vrijednost

funkcije na intervalu.

U drugoj vrsti problema, morate pronaći najveću ili najmanju vrijednost funkcije u datom intervalu.

Algoritam za pronalaženje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije:

1. Odredite da li ima maksimalnih (minimalnih) bodova. Da bismo to učinili, nalazimo derivat Dakle, (t) =x"(t).’(. Neka) , onda odlučujemo Dakle, (t) =x"(t).’(. Neka)=0 (tačke 1 i 2 iz prethodnog algoritma).

2. Utvrdimo da li dobijene tačke pripadaju datom intervalu i zapišemo one koje leže u njegovim granicama.

3. U originalnu funkciju (ne u derivaciju, već u onu datu u uslovu) zamjenjujemo granice datog intervala i tačke (maksimum-minimum) koje leže unutar intervala (stavka 2).

4. Izračunajte vrijednosti funkcije.

5. Od dobijenih biramo najveću (najmanju) vrijednost, ovisno o tome koje je pitanje postavljeno u zadatku, a zatim zapisujemo odgovor.

Pitanje: zašto je potrebno tražiti maksimalne (minimalne) tačke u problemima nalaženja najveće (najmanje) vrijednosti funkcije?

Najbolji način da se to ilustruje je da pogledate šematski prikaz grafova navedenih funkcija:

U slučajevima 1 i 2, dovoljno je zamijeniti granice intervala kako bi se odredila najveća ili najmanja vrijednost funkcije. U slučajevima 3 i 4 potrebno je pronaći nule funkcije (maksimum-minimum bodova). Ako zamijenimo granice intervala (bez pronalaženja nula funkcije), dobićemo pogrešan odgovor, to se vidi iz grafikona.

A cijela stvar je u tome da, s obzirom na datu funkciju, ne možemo vidjeti kako graf izgleda na intervalu (da li ima maksimum ili minimum unutar intervala). Stoga, svakako pronađite nule funkcije!!!

Ako je jednadžba f'(. Neka)=0 neće imati rješenje, to znači da ne postoje tačke maksimum-minimum (slika 1,2), a da bismo pronašli postavljeni problem, u ovu funkciju zamjenjujemo samo granice intervala.

Drugi važna tačka. Zapamtite da odgovor mora biti cijeli ili konačan broj decimalni. Kada izračunate najveću i najmanju vrijednost funkcije, dobit ćete izraze sa e i pi, kao i izraze s korijenom. Zapamtite da ih ne morate u potpunosti izračunati i jasno je da rezultat takvih izraza neće biti odgovor. Ako želite da izračunate takvu vrijednost, uradite to (brojevi: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Puno sam pisao, možda sam se zbunio? Gledajući konkretne primjere, vidjet ćete da je sve jednostavno.

Sledeće, želim da vam otkrijem malu tajnu. Činjenica je da se mnogi problemi mogu riješiti bez poznavanja svojstava derivacije, pa čak i bez pravila diferencijacije. Definitivno ću vam reći o ovim nijansama i pokazati kako se to radi? ne propustite!

Ali zašto sam onda uopće iznio teoriju i rekao da je potrebno znati. Tako je - morate znati. Ako razumete, onda vas nijedan problem u ovoj temi neće zbuniti.

“Trkovi” o kojima ćete naučiti pomoći će vam pri rješavanju specifičnih (nekih) problema prototipa. TONaravno, ove tehnike je zgodno koristiti kao dodatni alat. Problem se može riješiti 2-3 puta brže i uštedjeti vrijeme na rješavanju dijela C.

Sve najbolje!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.