Ce este constant și variabil. Variabile și constante
VARIABILE ȘI VALORI CONSTANTE
Ca urmare a măsurării mărimilor fizice (timp, suprafață, volum, masă, viteză etc.), se determină valorile numerice ale acestora. Matematica se ocupă de cantități, făcând abstracție de la conținutul lor specific. În cele ce urmează, vorbind despre cantități, ne vom referi la valorile lor numerice. În diferite fenomene, unele cantități se modifică, în timp ce altele își păstrează valoarea numerică. De exemplu, atunci când un punct se mișcă uniform, timpul și distanța se schimbă, dar viteza rămâne constantă.
Variabil se numeste o cantitate care ia diferite valori numerice. Se numește o cantitate ale cărei valori numerice nu se modifică permanent... Variabilele vor fi notate cu litere x, y, z,..., constante - a, b, c,...
Rețineți că în matematică, o constantă este adesea privită ca un caz special al unei variabile în care toate valorile numerice sunt aceleași.
Sfera schimbării o variabilă este ansamblul tuturor valorilor numerice pe care le primește. Zona de schimbare poate consta din unul sau mai multe intervale, sau dintr-un punct.
VALOARE VARIABILĂ COMANDATĂ. SECVENȚA NUMERICALĂ
X există ordonat variabil , dacă aria modificării sale este cunoscută și pentru fiecare dintre oricare dintre valorile sale, se poate spune care dintre ele este anterioară și care este următoarea.
Un caz special al unei variabile ordonate este o variabilă ale cărei valori se formează succesiune numerică X 1 , X 2 , ..., X n ,… Pentru astfel de valori la i< j, i, j N, sens X i este considerat a fi precedent și X j- ulterior, indiferent care dintre aceste valori este mai mare. Astfel, o secvență numerică este o variabilă, ale cărei valori consecutive pot fi renumerotate. Secvența numerică va fi notată cu. Numerele individuale ale secvenței se numesc ea elemente.
De exemplu, succesiune numerică formează următoarele cantități:
FUNCŢIE
Când se studiază diverse fenomene naturale și se rezolvă probleme tehnice și, în consecință, în matematică, trebuie să se ia în considerare modificarea unei cantități în funcție de modificarea alteia. Deci, de exemplu, se știe că aria unui cerc este exprimată în termeni de rază prin formula S = πr 2 ... Dacă raza r ia valori numerice diferite, apoi aria S acceptă, de asemenea, valori numerice diferite, adică o modificare a unei variabile atrage după sine o schimbare a alteia.
Dacă fiecare valoare a variabilei X aparținând unei anumite zone corespunde unei valori determinate a unei alte variabile y, atunci y numit funcția variabilei x... Vom scrie simbolic y = f (x)... În acest caz, variabila X numit variabila independenta sau argument.
Înregistrare y = C, Unde C- constantă, denotă o funcție, a cărei valoare la orice valoare X aceleași și egale C.
Multe sensuri X, pentru care valorile funcției y prin regulă f (x) se numește domeniul de aplicare al funcției.
Rețineți că o secvență numerică este și o funcție al cărei domeniu de definiție coincide cu mulțimea numerelor naturale.
Principalele funcții elementare includ toate funcțiile studiate la cursul școlar de matematică:
Funcția elementară se numește o funcție care poate fi setată de principal functii elementareși constante folosind un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și preluare a unei funcții dintr-o funcție.
DEFINIREA LIMITEI SECVENȚII NUMERICE
În continuarea cursului de matematică, conceptul de limită va juca un rol fundamental, deoarece conceptele de bază ale analizei matematice - derivată, integrală etc. sunt direct legate de acesta.
Să începem cu noțiunea de limită a unei secvențe de numere.
Număr A numit limită secvente X = {X n) dacă pentru un număr pozitiv arbitrar predeterminat arbitrar mic ε există un astfel de număr natural N asta pentru toti n> N inegalitatea | x n - a |< ε.
Dacă numărul A există o limită a secvenței X = {X n), apoi spun asta X n se străduiește pentru A, si scrie.
Pentru a formula această definiție în termeni geometrici, introducem următorul concept.
Aproape de punctul x 0 se numește interval arbitrar ( a, b) conţinând acest punct în interiorul său. Adesea se ia în considerare vecinătatea unui punct X 0 , pentru care X 0 este mijlocul, atunci X 0 numit centru cartierul și cantitatea ( b–A)/2 – rază Cartier.
Deci, să aflăm ce înseamnă geometric conceptul de limită a unei secvențe numerice. Pentru aceasta, scriem ultima inegalitate din definiție în formă
Această inegalitate înseamnă că toate elementele secvenței cu numere n> N trebuie să se afle în intervalul (a - ε; a + ε).
Prin urmare, numărul constant A este limita succesiunii numerice ( X n) dacă pentru orice cartier mic centrat în punct A de rază ε (ε sunt vecinătăți ale punctului A) există un astfel de element al succesiunii cu numărul N că toate elementele ulterioare cu numere n> N va fi în interiorul acestui cartier. 
Exemple.
Lasă variabila X ia secvențial valori
Să demonstrăm că limita acestei șiruri numerice este 1. Luăm un număr pozitiv arbitrar ε. Trebuie să găsim un astfel de număr natural N asta pentru toti n> N inegalitatea este valabilă | X n - 1| < ε. Действительно, т.к.
,
atunci pentru relația | x n - a |< ε достаточно, чтобы или .
Поэтому, взяв в качестве N orice număr natural care satisface inegalitatea, obținem ceea ce ne trebuie. Deci, dacă luăm, de exemplu, atunci, punerea N = 6, pentru toată lumea n> 6 vom avea 
.
Luați ε> 0 arbitrar. Luați în considerare
Apoi, dacă sau, adică. ... Prin urmare, alegem orice număr natural care satisface inegalitatea.
Să facem câteva comentarii.
Observație 1. Evident, dacă toate elementele unei secvențe numerice iau aceeași valoare constantă X n = c, atunci limita acestei secvențe va fi egală cu cea mai constantă. Într-adevăr, pentru orice ε, inegalitatea | X n - c| = |c - c| = 0 < ε.
Observația 2. Din definirea unei limite rezultă că o secvență nu poate avea două limite. Într-adevăr, să presupunem că X n
→
Ași în același timp X n
→
b... Luați oricare și marcați vecinătățile punctelor Ași b raza ε (vezi Fig.). Apoi, prin definirea limitei, toate elementele secvenței, pornind de la cineva, trebuie să fie situate atât în vecinătatea punctului. A, iar în vecinătatea punctului b, ceea ce este imposibil. 
Observația 3. Să nu credeți că fiecare șir de numere are o limită. De exemplu, lasă variabila să preia valorile 
... Este ușor de observat că această secvență nu tinde spre nicio limită.
|
LIMITĂ DE FUNCȚIE Lasă funcția y = f (x) definite într-o vecinătate a punctului A... Să presupunem că variabila independentă X apropiindu-se nelimitat A... Aceasta înseamnă că putem împărtăși NS valori arbitrar apropiate de A dar nu egali A... O vom nota astfel X→ A... Pentru așa X găsiți valorile corespunzătoare ale funcției. Se poate întâmpla ca valorile f (x) de asemenea, se apropie la infinit de un anumit număr b Atunci ei spun că numărul b există o limită de funcție f (x) la X→ A. Să introducem o definiție strictă a limitei unei funcții. Funcţie y = f (x) tinde spre limita b ca x→ A dacă pentru fiecare număr pozitiv ε, oricât de mic este acesta, se poate indica un astfel de număr pozitiv δ încât pentru tot x ≠ a din domeniul funcției care satisface inegalitatea | x - a| < δ, имеет место неравенство |f (x) - b| < ε. Если b există o limită de funcție f (x) la X→ A apoi scrie sau f (x)→ b la X→ A. Să ilustrăm această definiție pe un grafic al unei funcții. pentru că din inegalitate | x - a| < δ должно следовать неравенство |f (x) - b| < ε, т.е. при X (A - δ, A+ δ) valorile corespunzătoare ale funcției f (x) (b - ε, b+ ε), atunci, luând arbitrar ε> 0, putem alege un număr δ astfel încât pentru toate punctele X situată în δ - vecinătatea punctului A, punctele corespunzătoare ale graficului funcției trebuie să se afle în interiorul unei benzi de lățime 2ε, delimitată de drepte y = b- ε și y = b + ε. Este ușor de observat că limita unei funcții trebuie să aibă aceleași proprietăți ca și limita unei secvențe numerice, și anume, dacă pt. X→ A funcția are o limită, atunci este singura. Exemple. Folosind graficul unei anumite funcții, este ușor de văzut,. |
|
DEFINIREA LIMITEI DE FUNCȚIE
LA UN PUNCT INFINIT DE LA DISTANȚĂ
Până acum, am luat în considerare limitele pentru cazul în care variabila X s-a străduit pentru un anumit număr constant.
Vom spune că variabila x tinde spre infinit dacă pentru fiecare număr pozitiv prestabilit M(poate fi arbitrar mare) puteți specifica o astfel de valoare x = x 0 , pornind de la care, toate valorile ulterioare ale variabilei vor satisface inegalitatea | x |> M.
De exemplu, lasă variabila NS ia valori X 1 = –1, X 2 = 2, X 3 = –3, ..., X n = (- 1) n n,... Este clar că aceasta este o variabilă infinit de mare, deoarece pentru toți M> 0 toate valorile variabilei, începând de la unele, vor fi mai mari în valoare absolută M.
Variabil X→ +∞ dacă pentru un arbitrar M> 0 toate valorile ulterioare ale variabilei, pornind de la cineva, satisfac inegalitatea x> M.
De asemenea, X→ - ∞, dacă există M > 0 X< -M .
Vom spune că funcția f (x) tinde spre limită b la X→ ∞ dacă pentru un număr pozitiv mic arbitrar ε se poate indica un astfel de număr pozitiv M asta pentru toate valorile X | x |> M, inegalitatea | f (x) - b| < ε.
Denota.
Exemple.
Este necesar să se demonstreze că pentru ε arbitrar inegalitatea se va menține de îndată ce | x |> M, și numărul M ar trebui determinată de alegerea lui ε. Inegalitatea scrisă este echivalentă cu următoarea, ceea ce va fi valabil dacă | x |> 1/ ε = M... Aceasta înseamnă că (vezi fig.). 
FUNCTII MARE INFIRMITATE
Mai devreme, am analizat cazurile în care funcția f (x) s-a străduit pentru o limită finală b la X→ A sau X → ∞.
Să luăm acum în considerare cazul în care funcția y = f (x) o modalitate de a schimba argumentul.
Funcţie f (x) tinde spre infinit la X→ A, adică este o infinit de mare valoare dacă pentru orice număr M indiferent cât de mare ar fi, se poate găsi δ> 0 astfel încât pentru toate valorile NS≠A satisfacerea conditiei | x-a| < δ, имеет место неравенство |f (x)| > M.
Dacă f (x) tinde spre infinit la X→ A apoi scrie sau f (x)→ ∞ ca X→ A.
Dați o definiție similară pentru cazul când X→∞.
Dacă f (x) tinde spre infinit la X→ Ași în același timp ia numai valori pozitive sau doar negative, respectiv, scrie sau.
Exemple.
FUNCȚII LIMITATE
Lasă funcția y = f (x) definite pe un anumit set D valorile argumentului.
Funcţie y = f (x) numit limitat pe platou D dacă există un număr pozitiv M astfel încât pentru toate valorile X din multimea luata in considerare, inegalitatea | f (x) | ≤M... Dacă un astfel de număr M nu există, atunci funcția f (x) numit nelimitat pe platou D.
Exemple.
Funcţie y= păcat X definit la -∞<X<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях X| păcat X|≤1 = M.
Funcţie y= x 2 +2 este mărginit, de exemplu, pe un segment, deoarece pentru toate X din acest segment | f (x) | ≤f(3) = 11.
Luați în considerare funcția y= ln X la X (0; 1). Această funcție este nemărginită pe segmentul indicat, deoarece pentru X→ 0 ln X→-∞.
Funcţie y = f (x) numit mărginită la x→ A dacă există un cartier centrat în punct Aîn care funcţia este limitată.
Funcţie y = f (x) numit mărginită la x→ ∞ dacă există un astfel de număr N> 0, care pentru toate valorile NS satisfacerea inegalitatii | x |> N, funcție f (x) limitat.
Să stabilim o legătură între o funcție mărginită și o funcție care are o limită.
Teorema 1. Dacă b Este un număr finit, apoi funcția f (x) limitat la X→ A.
Dovada... pentru că , atunci pentru orice ε> 0 există un număr δ> 0 astfel încât pentru toate valorile NS satisfacerea inegalitatii | x-a |<
δ, inegalitatea | f (x) –b |<
ε. Folosind proprietatea modulului | f (x) - b | ≥ | f (x) | - | b |, ultima inegalitate se poate scrie sub forma | f (x) |<|b|+
ε. Astfel, dacă punem M = | b | +ε, atunci pentru X→
a | f (x) |
Cometariu. Din definiția unei funcții mărginite rezultă că dacă, atunci este nemărginită. Cu toate acestea, contrariul nu este adevărat: o funcție nemărginită poate să nu fie infinit de mare. Dă un exemplu.
Teorema 2. Dacă, atunci funcția y = 1 / f (x) limitat la X→ A.
Dovada... Din ipoteza teoremei rezultă că, pentru ε> 0 arbitrar, într-o vecinătate a punctului A avem | f (x) - b |<
ε. pentru că | f (x) - b | = | b - f (x) | ≥ | b | - | f (x) |, atunci | b | - | f (x) |<
ε. Prin urmare, | f (x) |> | b | -
ε> 0. De aceea 
.
FUNCȚII MICI INFINITE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR DE BAZĂ
Funcţie y = f (x) numit infinitezimal la X→ A sau la X→ ∞ dacă sau, adică o funcție infinitezimală este o funcție a cărei limită într-un punct dat este zero.
Exemple.
Să stabilim următoarea relație importantă:
Teorema. Dacă funcţia y = f (x) reprezentabil la X→ A ca suma unui număr constant bși valoare infinitezimală α (x): f (x) = b + α (x) atunci .
În schimb, dacă, atunci f (x) = b + α (x), Unde a (x)- infinit mic la X→ A.
Dovada.
Luați în considerare proprietățile de bază ale funcțiilor infinitezimale.
Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimal este o funcție infinitezimală.
Dovada... Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lasa f (x) = α (x) + β (x) unde si. Trebuie să demonstrăm că pentru un ε arbitrar arbitrar mic > 0 este găsit δ> 0 astfel încât pentru X satisfacerea inegalitatii | x - a |<δ , efectuat | f (x) |< ε.
Deci, fixăm un număr arbitrar ε > 0. Deoarece prin ipoteza teoremei α (x) Este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care pentru | x - a |< δ 1 avem | α (x) |< ε / 2. La fel, din moment ce β (x) Este infinit mic, atunci există δ 2 > 0, care pentru | x - a |< δ 2 avem | β (x) |< ε / 2.
Hai sa luam δ = min ( δ 1 , δ 2 } Apoi, în vecinătatea punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi | α (x) |< ε / 2 și | β (x) |< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista
| f (x) | = | α (x) + β (x)| ≤ | α (x) | + | β (x) |< ε /2 + ε /2= ε,
acestea. | f (x) |< ε, după cum este necesar.
Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale a (x) pentru o funcție limitată f (x) la X→ A(sau la X→ ∞ ) este o funcție infinitezimală.
Dovada... Din moment ce functia f (x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a | f (x) | ≤M. Mai mult, din moment ce a (x) Este o funcție infinitezimală pentru X→ A, apoi pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea | α (x) |< ε / M... Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf |< ε / M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru ocazie X→ ∞ dovada este asemanatoare.
Teorema demonstrată implică:
Corolarul 1. Dacă și, atunci.
Corolarul 2. Dacă c = const atunci.
Teorema 3. Raportul funcției infinitezimale α (x) per functie f (x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.
Dovada... Lasa . Apoi 1 / f (x) există o funcție limitată. Prin urmare, fracția este produsul unei funcții infinitezimale și unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.
RAPORT ÎNTRE INFINITUL MIC
ȘI FUNCȚII NECESAR DE MARE
Teorema 1. Dacă funcţia f (x) este infinit de mare pentru X→ A, apoi funcția 1 / f (x) este infinitezimal pentru X→ A.
Dovada. Luați un număr arbitrar ε >0 și arată asta pentru unii δ>0 (în funcție de ε) pentru toate X pentru care | x - a |<δ , inegalitatea este valabilă, iar asta va însemna că 1/f (x) Este o funcție infinitezimală. Într-adevăr, din moment ce f (x) Este o funcție infinit de mare la X→ A, apoi există δ>0 astfel încât de îndată ce | x - a |<δ deci | f (x) |> 1/ ε. Dar apoi pentru același lucru X.
Exemple.
Teorema inversă poate fi de asemenea demonstrată.
Teorema 2. Dacă funcţia f (x)- infinit mic la X→ A(sau X→ ∞) și nu dispare, atunci y = 1/ f (x) este o funcție infinit de mare.
Demonstrați singur teorema.
Prin mărime înțelegem tot ceea ce exprimă proprietățile unui obiect, fenomen sau proces. Pătrat teren, greutatea animalului, costul de producție, procentul de grăsime din lapte etc. sunt toate exemple de cantități. Fiecare dintre mărimi poate fi măsurată cu un instrument sau calculată, rezultând un număr numit valoarea numerică a mărimii.
Valorile sunt exprimate în unități specifice. Se numesc astfel de cantități dimensională ... Fiecare cantitate are propria sa unitate. Unitățile de mărime formează un sistem. Este general acceptat Sistemul internațional(SI). Unitățile sale principale sunt: metrul (m) - unitate de lungime; kilogram (kg) - unitate de masă; secunda (s) - unitate de timp; kelvin (k) este o unitate de temperatură; candela (cd) - unitate a intensității luminoase; mol este o unitate de cantitate a unei substanțe.
Cantitatile pot fi adimensionale. De exemplu, proporția de experimente în care a avut loc fenomenul observat.
Când observăm orice proces sau fenomen din domeniul fizicii, economiei, agronomiei sau alt domeniu de cunoaștere, vedem că unele cantități își păstrează valorile, în timp ce altele iau sensuri diferite... De exemplu, atunci când un punct se mișcă uniform, timpul și distanța se schimbă, dar viteza este constantă. Variabil se numeste o cantitate care ia diferite valori numerice. Se numește o cantitate ale cărei valori numerice nu se modifică permanent .
Legendă: x, y, z, t,...-variabile; a, b, c, d,...- valori constante.
Se numește colecția tuturor valorilor numerice ale unei variabile zona de schimbare această variabilă.
Domenii variabile:
(a, b) ={X:A< x < b ) - interval sau interval;
[a, b] = {X: a ≤ x ≤ b) - segment sau interval închis;
(A, b] = {X:A< x ≤ b },
[A, b) = {X:a ≤ x< b ) - intervale semideschise;
(-∞, b] = (x: x ≤ b},
(-∞, b) = (x: x< b},
[A, + ∞) = (x: x ≥ A},
(A, + ∞) = (x: x> A},
(-∞, + ∞) = (x: -∞< x < +∞} – бесконечные интервалы.
Interval arbitrar ( a, b) care conține un punct în interiorul său se numește vecinătatea punctului : A< < b.
Dacă un punct este mijlocul unui cartier, atunci se numește centrul cartierului , cantitatea se numește raza cartierului .
Variabila este numită crescând dacă fiecare valoare ulterioară este mai mare decât valoarea anterioară. Variabila este numită diminuându-se dacă fiecare dintre valorile sale ulterioare este mai mică decât cea anterioară.
Conceptul de funcție. Zona definiției sale. Metode de atribuire.
Studiul diferitelor fenomene din lumea din jurul nostru duce la conceptul de funcție. De exemplu, fiecare valoare a lungimii unei fațete a unui cub corespunde volumului acestuia; o anumită temperatură a aerului corespunde fiecărui moment de timp dintr-o zonă dată; fiecare valoare a vârstei animalului corespunde masei acestuia; fiecărui indicator de rentabilitate îi corespunde o anumită sumă de profit.
Toate aceste exemple au în comun faptul că fiecare valoare numerică a unei cantități este asociată cu o anumită valoare numerică a alteia.
Regula f potrivește fiecare număr singular, se numește o funcție numerică definită pe mulțimea X și luând valori în mulțimea Y.
Daca, atunci scrie y = f (x).
Funcția se mai numește și ecuație y = f (x), acestea. formula unde la exprimat prin NS folosind regula f.
În ecuație y = f (x)« NS"Apel variabila independenta sau argument , A la - variabilă dependentă sau funcţie din " NS". Dependenta NSși la numite funcționale.
Setul tuturor valorilor variabilei independente pentru care este definită funcția se numește domeniul acestei funcții, notat cu D (f).
Obișnuit D (f) reprezintă un interval - deschis, semideschis, infinit sau suma lor.
Exemplu... ... Găsi D (f).
Soluţie. Funcție nedefinită pentru. D (f) = (-∞, -1) (-1, +∞).
Cel mai adesea există trei moduri de a defini o funcție: analitică, tabelară, grafică.
Mod analitic: funcția este specificată ca una sau mai multe formule sau ecuații.
De exemplu, 1), 2), 3)
Modul analitic de definire a unei funcții este cel mai perfect, deoarece este însoțit de metode de analiză matematică care vă permit să investigați complet funcția.
Mod grafic: stabilește graficul funcției.
O colecție de puncte dintr-un avion xOy, ale căror abscise sunt valorile variabilei independente, iar ordonatele sunt valorile corespunzătoare ale funcției, se numește programa această funcție.
Adesea, graficele sunt desenate automat cu înregistratoare sau afișate pe un ecran de afișare. Avantaj atribuire grafică claritatea ei este dezavantajul său, imprecizia sa.
Mod tabular: o funcție este specificată de un tabel cu o serie de valori ale argumentului și valorile funcției corespunzătoare.
De exemplu tabele funcții trigonometrice, logaritmi, tabele de tarife feroviare.
Metoda tabelară este convenabilă pentru utilizare, este utilizată pe scară largă la înregistrarea experimentelor, analizele de laborator, la calcularea volumului de furaje brute în stive etc. Dezavantajul acestei metode este că ideea dependenței funcționale nu este completă aici, deoarece este imposibil să plasezi într-un tabel toate valorile argumentelor.
Există un alt mod de a defini o funcție, care a apărut odată cu dezvoltarea și introducerea computerelor în producție. Această metodă constă în specificarea unui program pentru calcularea valorilor funcțiilor pe un computer.
Funcție complexă. Să fie date două funcții și, în timp ce setul de valori ale celei de-a doua funcții este inclus în domeniul primei. Atunci, în virtutea regulii φ, oricăruia îi corespunde un anumit număr și si numarul și funcția se potrivește cu numărul la... În acest caz, regulile fși φ sunt atribuite fiecăruia NS un singur sens la, adică
VARIABILE ȘI VALORI CONSTANTE
Ca urmare a măsurării mărimilor fizice (timp, suprafață, volum, masă, viteză etc.), se determină valorile numerice ale acestora. Matematica se ocupă de cantități, făcând abstracție de la conținutul lor specific. În cele ce urmează, vorbind despre cantități, ne vom referi la valorile lor numerice. În diferite fenomene, unele cantități se modifică, în timp ce altele își păstrează valoarea numerică. De exemplu, atunci când un punct se mișcă uniform, timpul și distanța se schimbă, dar viteza rămâne constantă.
Variabil se numeste o cantitate care ia diferite valori numerice. Se numește o cantitate ale cărei valori numerice nu se modifică permanent... Variabilele vor fi notate cu litere x, y, z,..., constante - a, b, c,...
Rețineți că în matematică, o constantă este adesea privită ca un caz special al unei variabile în care toate valorile numerice sunt aceleași.
Sfera schimbării o variabilă este ansamblul tuturor valorilor numerice pe care le primește. Zona de schimbare poate consta din unul sau mai multe intervale, sau dintr-un punct.
VALOARE VARIABILĂ COMANDATĂ. SECVENȚA NUMERICALĂ
Vom spune că variabila X există variabilă ordonată, dacă aria modificării sale este cunoscută și pentru fiecare dintre oricare dintre valorile sale, se poate spune care dintre ele este anterioară și care este următoarea.
Un caz special al unei variabile ordonate este o variabilă ale cărei valori se formează succesiune numerică x 1, x 2, ..., x n, ... Pentru astfel de valori la i< j, i, j Î N , sens x i este considerat a fi precedent și x j- ulterior, indiferent care dintre aceste valori este mai mare. Astfel, o secvență numerică este o variabilă, ale cărei valori consecutive pot fi renumerotate. Secvența numerică va fi notată cu. Numerele individuale ale secvenței se numesc ea elemente.
De exemplu, următoarele valori formează o secvență numerică:
FUNCŢIE
Când se studiază diverse fenomene naturale și se rezolvă probleme tehnice și, în consecință, în matematică, trebuie să se ia în considerare modificarea unei cantități în funcție de modificarea alteia. Deci, de exemplu, se știe că aria unui cerc este exprimată în termeni de rază prin formula S = πr 2... Dacă raza r ia valori numerice diferite, apoi aria S acceptă, de asemenea, valori numerice diferite, adică o modificare a unei variabile atrage după sine o schimbare a alteia.
Dacă fiecare valoare a variabilei X aparținând unei anumite zone corespunde unei valori determinate a unei alte variabile y, atunci y numit funcția variabilei x... Vom scrie simbolic y = f (x)... În acest caz, variabila X numit variabila independenta sau argument.
Înregistrare y = C, Unde C- constantă, denotă o funcție, a cărei valoare la orice valoare X aceleași și egale C.
Multe sensuri X, pentru care valorile funcției y prin regulă f (x) se numește domeniul de aplicare al funcției.
Variabilele și constantele nu sunt destul de ușoare
Matematica școlară ne-a convins și continuă să ne convingă că problema variabilelor și constantelor este foarte simplu de rezolvat. Variabilele sunt valori care pot lua valori diferite în condițiile unei anumite probleme. Valorile care nu își modifică valorile în condițiile unei anumite probleme sunt considerate constante.
În același timp, se raportează suplimentar că împărțirea cantităților în variabile și constante este destul de arbitrară și depinde de circumstanțele care însoțesc procesul. rezolvarea problemei... Una și aceeași cantitate, care în unele condiții era considerată constantă, în alte condiții ar trebui considerată ca o variabilă. Un exemplu clasic: rezistența unui conductor este considerată constantă până când ne vedem nevoiți să luăm în considerare dependența valorii rezistenței acestuia de temperatura ambiantă.
Dar, după cum arată practica, toate cele de mai sus nu sunt suficiente pentru rezolvarea corectă a unei anumite probleme.
Ceea ce este magnitudinea este clar pentru toată lumea intuitiv. Să clarificăm acest concept.
În cazul general, conținutul procesului de rezolvare a problemei este transformarea cantităților. Trebuie înțeles că în general filozofic sens cantitatea reprezentând rezultatul rezolvării problemei este deja cuprinsă în formularea acesteia sub formă implicită. Este necesar doar să construiți corect procesul de conversie a valorilor problemei pentru a prezenta acest rezultat în mod explicit.
Definiție
Vom numi cantitatea oricare obiect matematic, care conține (sau poate conține) informații despre o anumită valoare.
Valorile pot fi reprezentate în diferite moduri. De exemplu, o cantitate cu o valoare numerică egală cu una reală poate fi reprezentată printr-o zecimală constante oh 1,0, funcția Cos (0), precum și expresia aritmetică 25,0 - 15,0 - 9,0.
Valorile cantităților pot fi modificate. Deci, ca urmare a faptului actiuni x = 1,0 o cantitate sub forma unei variabile x se dovedește a fi purtătoarea valorii unei unități reale. În acest caz, valoarea anterioară a variabilei x se pierde. Exemplele date, dintr-un punct de vedere oarecum diferit, arată că mărimile pot fi variabile și constante.
Definiție
Variabilele au proprietatea că valorile lor pot fi modificate ca urmare a efectuării anumitor acțiuni. Și asta înseamnă că conceptul de „variabilă” reflectă posibilitatea, dar nu și faptul schimbării.
O valoare constantă (constant) ar trebui considerată una a cărei valoare, spre deosebire de o variabilă, este fundamental imposibil de schimbat.
De exemplu, constanta 12 + 3 este 15 și nu poate fi modificată. În acest caz, este necesar să se stabilească semnificația semnelor cu ajutorul cărora este reprezentată valoarea. În caz contrar, dacă considerăm, de exemplu, semnele acestei expresii drept numere în sistemul numeric cu baza 5, atunci valoarea acesteia va fi egală cu 10.
Definiție
Deci, în textele matematice, purtătorii de valori, adică cantitățile, sunt variabile, constante, apeluri la funcții (sau doar funcții), precum și expresii.
Caracteristicile variabilelor
Denumirile cu care sunt asociate anumite valori sunt numite variabile în matematică (termenul este folosit ca substantiv).
De exemplu, valoarea variabilei x + 1 depinde de valoarea asociată cu notația x. Aici, x este folosit ca variabilă. Schimbând valoarea variabilei x, modificăm astfel valoarea variabilei x + 1.
Astfel, valorile variabilelor depind de valorile variabilelor care sunt incluse în componența lor. Proprietate distinctivă o variabilă este că valoarea ei specifică trebuie pur și simplu atribuită (atribuită) acesteia.
Abordarea matematică, care determină posibilitatea calculării valorilor variabilelor, în acest context se dovedește a fi incorectă. În matematică, doar valorile expresiilor pot fi calculate.
Condiția principală pentru utilizarea unei variabile în textele matematice în forma sa finală este următoarea: pentru a se referi la o variabilă, este suficient să se indice desemnarea acesteia.
Caracteristicile constantelor
Două tipuri de constante pot fi utilizate în textele matematice: constante simbol și constante numite.
Apropo, programatorii din limbaje de nivel înalt îl folosesc pe o bază complet formală (legală).
Lexemele constante sunt folosite pentru a specifica valorile constante direct, fără a efectua operațiuni. De exemplu, pentru a obține valoarea constantă 12 + 3, care este o expresie, trebuie să adăugați două constante de simbol 12 și 3.
Definiție
O constantă numită este o notație mapată la sens specific specificată ca o constantă simbol.
Această tehnică este utilizată pe scară largă în Stiintele Naturii din motive de comoditate în înregistrarea formulelor fizice, chimice, matematice și de altă natură. De exemplu: g = 9,81523 - accelerația de cădere liberă la latitudinea Moscovei; π = 3,1415926 - numărul $ π $.
Pe lângă notația compactă a expresiilor, constantele numite oferă claritate și comoditate semnificativă în lucrul cu texte matematice.
O constantă numită își capătă semnificația ca urmare a unui acord prealabil.
O proprietate importantă a oricărei constante numite este că nu se recomandă modificarea valorii acesteia în în ceva text de matematică.
Expresii
Expresiile sunt părțile constitutive marea majoritate a textelor matematice. Expresiile sunt folosite pentru a specifica ordinea în care noile valori sunt calculate pe baza altor valori cunoscute anterior.
În cazul general, în expresii se folosesc operanzi, semne de operație și paranteze reglatoare (pătrate, ondulate).
Definiție
Operanzii sunt denumirea comună obiecte ale căror valori sunt folosite la efectuarea operațiunilor. Operanzii pot fi variabile, constante și funcții. Apropo, acest termen este foarte popular printre programatori. O porțiune a unei expresii cuprinsă între paranteze de control este tratată ca un operand compus separat.
Semnul operațiunii simbolizează destul de un anumit set acţiuni care trebuie efectuate asupra operanzilor corespunzători. Parantezele de control specifică ordinea dorită a operațiunilor, care poate diferi de ordinea de prioritate a operațiunilor.
Cel mai simplu caz pentru o expresie este un singur operand. Nu există semne de operație în această expresie.
Funcția operand are propriile sale caracteristici. De regulă, un astfel de operand este numele (sau semnul) unei funcții urmat de o listă a argumentelor acesteia între paranteze. În acest caz, parantezele sunt parte integrantă a funcțiilor și nu se aplică celor de reglementare. Rețineți că, în multe cazuri, operanzii funcției nu au paranteze (de exemplu, 5! Este calculul factorialului unui număr întreg 5).
Operatii matematice
Principalele caracteristici ale operațiilor matematice sunt următoarele:
- semnele de operare pot fi indicate folosind caractere speciale, precum și folosind cuvinte special specificate;
- operațiile pot fi unare (efectuate pe un operand) și binare (efectuate pe doi operanzi);
- operațiunile au patru niveluri de prioritate care determină ordinea în care este evaluată expresia.
Reguli de calcul expresie complexă care conțin un lanț de operațiuni în absența parantezelor de control, următoarele:
- mai întâi se calculează valorile tuturor funcțiilor;
- apoi operatiile se executa una cate una in ordinea descrescatoare a prioritatii lor;
- operaţiile cu prioritate egală se execută în ordine de la stânga la dreapta.
Cu paranteze de control, expresia conține operanzi compuși ale căror valori trebuie evaluate mai întâi.
Câteva caracteristici ale scrierii expresiilor matematice:
- nu se recomandă omiterea semnelor operațiilor, deși în multe cazuri este posibil să se omite semnul înmulțirii;
- argumentele funcției ar trebui specificate de preferință în paranteze;
- specificarea a două sau mai multe semne de operații binare la rând este inacceptabilă; în mod formal, este permisă utilizarea mai multor semne de operații unare la rând, inclusiv împreună cu unul binar.