Оценка объектов по их математическим моделям. Понятие математической модели. Ее основные элементы. Основные понятия математического моделирования

Проследить динамику развития объекта, внутреннюю сущность соотношений его элементов и различные со­стояния в процессе проектирования можно только с по­мощью моделей, использующих принцип динамической аналогии, т. е. с помощью математических моделей.

Математическая модель - это система математиче­ских соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления математической модели мож­но использовать любые математические средства - тео­рию множеств, математическую логику, язык дифферен­циальных или интегральных уравнений. Процесс состав­ления математической модели называется математическим моделированием . Как и другие виды моделей, ма­тематическая модель представляет задачу в упрощен­ном виде и описывает только свойства и закономер­ности, которые наиболее важны для данного объекта или процесса. Математическая модель позволяет осуществ­лять многосторонний количественный анализ. Изменяя исходные данные, критерии, ограничения, каждый раз можно получать оптимальное по заданным условиям ре­шение и определять дальнейшее направление поиска.

Создание математических моделей требует от их раз­работчиков, кроме знания формально-логических мето­дов, тщательного анализа изучаемого объекта с целью строгого формулирования основных идей и правил, а также с целью выявления достаточного объема досто­верных фактических, статистических и нормативных данных.

Следует отметить, что все используемые в настоя­щее время математические модели относятся к предпи­сывающим . Цель разработки предписывающих моде­лей - указание направления поиска решения, в то время как цель разработки описывающих моделей - отражение действительных процессов мышления человека.

Достаточно широко распространена точка зрения, что с помощью математики можно получить только некото­рые числовые данные по изучаемому объекту или про­цессу. «Разумеется, многие математические дисциплины направлены на получение конечного численного резуль­тата. Но сводить математические методы только к зада­че получения числа - значит бесконечно обеднять мате­матику, обеднять возможность того могучего оружия, которое сегодня есть в руках исследователей…

Математическая модель, записанная на том или ином частном языке (например, дифференциальные уравне­ния), отражает определенные свойства реальных физиче­ских процессов. В результате анализа математических моделей мы получаем, прежде всего, качественные пред­ставления об особенностях изучаемых процессов, уста­навливаем закономерности, определяющие динамический ряд последовательных состояний, получаем возможность предсказать течение процесса и определять его количе­ственные характеристики».

Математические модели используются во многих известных способах моделирования. Среди них можно назвать разработку моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, оптимизационные модели.

Примером математических моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, могут служить различные методы традиционных расчетов конструкций. Процесс расчета, представленный в виде последовательности математических операций (алгоритм), позволяет сказать, что составлена математическая модель для расчета определенной конструкции.

В оптимизационных моделях присутствуют три элемента:

Целевая функция, отражающая принятый критерий качества;

Регулируемые параметры;

Налагаемые ограничения.

Все эти элементы должны быть описаны математически в виде уравнений, логических условий и т.д. Решение оптимизационной задачи представляет собой процесс поиска минимального (максимального) значения целевой функции при соблюдении заданных ограничений. Результат решения считается оптимальным, если функция цели достигает своего экстремального значения.

Пример оптимизационной модели – математическое описание критерия «длина связи» в методике вариантного проектирования промышленных зданий.

Целевая функция отражает общую взвешенную протяженность всех функциональных связей, которая должны стремиться к минимуму:

где – весовое значение связи элемента с ;

– длина связи между и элементами;

– общее число размещаемых элементов.

Поскольку площади размещаемых элементов помещений во всех вариантах проектного решения равны, то варианты отличаются один от другого только различными расстояниями между элементами и их расположением относительно друг друга. Следовательно, регулируемыми параметрами служат в данном случае координаты элементов, размещаемых на планах этажей.

Налагаемые ограничения на расположение элементов (в заранее фиксированном месте плана, у наружного периметра, друг над другом и т.д.) и на длину связей (значения длины связей между и ым элементами заданы жестко, заданы минимальные или максимальные пределы значений, заданы границы изменения значений) записываются формально.

Вариант считается оптимальным (по данному критерию), если значение функции цели, вычисленной для этого варианта, будет минимальным.

Разновидность математических моделей – экономико-математическая модель – представляет собой модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Примером экономико-математических моделей служит математическое описание критериев затрат в упомянутой выше методике вариантного проектирования промышленных зданий. В математических моделях, полученных на основе использования методов математической статистики, отражена зависимость стоимости каркаса, фундаментов, земляных работ одноэтажных и многоэтажных промышленных зданий и их высоты, пролета и шага несущих конструкций.

По способу учета влияния случайных факторов на принятие решения математические модели подразделяются на детерминированные и вероятностные. Детерминированная модель не учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на аналитическом представлении закономерностей функционирования. Вероятностная (стохастическая) модель учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей принимать в расчет их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описываемые разными законами распределения.

Используя приведенные выше примеры, можно сказать, что математическая модель, описывающая критерий «длина связей», относится к детерминированным, а математические модели, описывающие группу критериев «затраты», - к вероятностным моделям.

Лингвистические, семантические и информационные модели

Математические модели имеют очевидные достоинства, так как количественная оценка аспектов задачи дает ясное представление о приоритетах целей. Немаловажно, что специалист всегда может обосновать принятие того или иного решения, представив соответствующие численные данные. Однако полное математическое описание проектной деятельности невозможно, поэтому большинство задач, решаемых на начальной стадии архитектурно-строительного проектирования, относится к слабоструктурированным .

Одна из особенностей слабоструктурированных задач - словесное описание используемых в них критериев. Введение критериев, описанных на естественном языке (такие критерии называют лингвистическими ), позволяет использовать менее сложные методы для поиска оптимальных проектных решений. При наличии таких критериев проектировщик принимает решение на основании привычных, не вызывающих сомнения выражениях целей.

Содержательное описание всех аспектов задачи вносит систематизацию в процесс ее решения, с одной стороны, а с другой, значительно облегчает работу специалистов, которые без изучения соответствующих разделов математики могут более рационально решать свои профессиональные задачи. На рис. 5.2 приведена лингвистическая модель , описывающая возможности создания условий для естественной вентиляции в различных вариантах планировочных решений хлебозавода.

Другие преимущества содержательного описания проблем заключаются в следующем:

Возможность описания всех критериев, которыми определяется эффективность проектного решения. При этом важно, что в описание могут быть введены слож­ные понятия и в поле зрения специалиста наряду с ко­личественными, измеряемыми факторами попадут и ка­чественные, не измеряемые. Таким образом, на момент принятия решения будет использована вся субъективная и объективная информация;

Рис. 5.2 Описание содержания критерия «вентиляция» в виде лингвистической модели

Возможность однозначной оценки степени достижения цели в вариантах по данному признаку на основе фор­мулировок, принятых специалистами, что обеспечивает достоверность полученной информации;

Возможность учета неопределенности, связанной с не­полным знанием всех последствий принимаемых реше­ний, а так же информации прогнозного характера.

К моделям, которые используют естественный язык для описания объекта исследования, относятся и семан­тические модели.

Семантическая модель - есть такое представление объекта, при котором отражается степень взаимосвязан­ности (близости) между различными составными частя­ми, аспектами, свойствами объекта. Под взаимосвязан­ностью понимается не относительное пространственное расположение, а связь по смыслу.

Так, в семантическом смысле связь между коэффи­циентом естественной освещенности и площадью света прозрачных ограждений будет представлена как более близкая, чем связь между оконными проемами и смеж­ными с ними глухими участками стены.

Совокупность отношений связанности показывает, что представляет собой каждый выделяемый в объекте эле­мент и объект в целом. В то же время семантическая модель отображает помимо степени связанности различ­ных сторон в объекте также содержание понятий. Элементарными моделями служат понятия, выраженные естественным языком.

Построение семантических моделей основывается на принципах, в соответствии с которыми понятия и связи не изменяются в течение всего времени использования модели; содержание одного понятия не переходит в дру­гое; связи между двумя понятиями имеют равное по отношению к ним и неориентированное взаимодействие.

Каждый анализ модели направлен на выбор элемен­тов модели, имеющих общее определенное качество. Это дает основание для построения алгоритма, учитывающе­го только непосредственные связи. При преобразовании модели в неориентированный граф ищется путь между двумя элементами, который прослеживает движение из одного элемента в другой, с использованием каждого элемента только один раз. Порядок следования элемен­тов называется последовательностью этих двух элемен­тов. Последовательности могут иметь разную длину. Самые короткие из них называются отношениями эле­ментов. Последовательность двух элементов существует и в том случае, если между ними существует непосред­ственная связь, но в таком случае не существует от­ношения.

В качестве примера семантической модели приведем описание планировки квартиры вместе с коммуникацион­ными связями. Понятие - это помещения квартиры. Не­посредственная связь означает функциональное соедине­ние двух помещений, например дверью (см. табл. 5.1).

Преобразование модели в форму неориентированного графа позволяет получить последовательность элементов (рис. 5.3).

Примеры последовательности, образованной между элементом 2 (ванная) и элементом 6 (кладовая), приведены в табл. 5.2. Как видно из таблицы, последовательность 3 пред­ставляет отношение этих двух элементов.

Таблица 5.1

Описание планировки квартиры

Рис. 5.3 Описание планировочного решения в виде неориентирован­ного графа

Основные этапы

Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических устройств и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1), опре­деляющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.

Рис. 1.1

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC). При этом в зависимости от на­правленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин содержательная модель* ТО, а в некоторых случаях - концептуальная модель. В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики PC разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии форми­рования.

При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уров­ня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных резульатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы исследования.

Надо сказать, что для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математи­кой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный ко­личественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточ­нения или пересмотра PC (штриховая линия на рис. 1.1). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случа­ев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при те­стировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ (греческое слово происходит от - священный и - власть и в данном случае означает упорядочение ММ по признаку их сложности и полноты).

Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислитель­ного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении тре­тьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду „модель - алгоритм - программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего „технологический цикл" этапа математического моделирования.

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного „технологического цикла".

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Из последовательности основных этапов математического моделирования (см. рис. 1.1) следует, что определяющую роль в нем играет математическая модель (ММ) изучаемого технического объекта. Поэтому прежде всего следует уделить внимание основным свойствам ММ и требованиям к ней, а также классификации ММ.

2.1. Понятие математической модели

Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой.

Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники - это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью.

Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать на­дежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ.

Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами. При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона

где - дифференциальный оператор Лапласа, а - искомая и заданная функции положения точки некоторой области V, можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (2.1).

Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содер­жанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) определил всего одной фразой: „Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем".

2.2. Структура математической модели

В достаточно общем случае изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.

Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними - сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними - сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов* 2 . Но если в качестве ТО рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя.

При создании ТО значения выходных параметров или диа­пазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры ха­рактеризуют условия его функционирования.

В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТО может представлять собой соотношение

где - векторная функция векторного аргумента. Модель в виде (2.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует так называемый проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция в (2.2) обычно заранее не известна и ее предстоит установить. Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ (от латинского слова identifico - отождествляю, которому в данном случае придают смысл „распознаю").

Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа . Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного ящика - устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия.

Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, х и gв виде операторного уравнения

L(u(z))=0, (2.3)

где L - некоторый оператор (в общем случае нелинейный), О - нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, z -вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а и - вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние. Но даже если возможно получить решение (2.3) и найти зависимость u(z) от z, то далеко не всегда удается представить ММ ТО в явном относительно вектора у виде (2.2). Поэтому именно (2.3) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (2.2) является более простым частным случаем такой модели.

2.3. Свойства математических моделей

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств.

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы U = IR закона Ома обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление R резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано U, то I будет выходным параметром, a U - внешним параметром, и наоборот.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор

Пусть - найденное при помощи ММ и реальное значения i-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна

В качестве скалярной оценки вектора

можно принять какую-либо его норму, например

Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, т. е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов х и y.

Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор х ном, из условия минимума путей решения задачи конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор g ном иобеспечивающие минимальное значение e min относительной погрешности ММ. Тогда при фиксированном векторе δ можно построить множество

называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что при , а чем больше заданное значение , тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО.

В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание по­ведения изучаемых объектов или их систем. Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требова­ния экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или ЭВМ-программы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с расчетной схемой ТО.

Робастность ММ (от английского слова robust - крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влия­ния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точно­стью или входящих в слишком приближенные соотношения.

Продуктивность ММ связана с возможностью распола­гать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получа­ются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными.

Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстрированы отмеченные выше свойства ММ (см. 3 и 6).

2.4. Структурные и функциональные

Различные особенности и признаки математических моделей (ММ) лежат в основе их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технического объекта (ТО), степень их детализации, способы получения и представления ММ.

Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТО. Если ММ отображает устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью. Если же ММ отражает происходящие в ТО физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и комбиниро­ванные ММ, которые описывают как функционирование, так и устройство ТО. Такие ММ естественно называть структурно-функциональными математическими моделями.

Структурные ММ делят на топологические и геометрические составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТО.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, пред­ставленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам. Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию - как траекторию движения точки, а поверхность - как результат перемещения линии. Возможно представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Такой способ характерен, например, для метода конечных элементов , широко используемого в математическом моделировании.

Геометрические ММ находят применение при проектировании ТО, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением).

Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внешние и выходные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в технической кибернетике- научном направлении, изучающем системы управления сложными ТО.

По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической математической модели, поскольку связь в ней между внешними и выходными параметрами ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы. По этому признаку к типу алгоритмических относят более широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При построении иерархии ММ одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ (см. 1.2) был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Ясно, что ММ конкретного ТО по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгорит­мической ММ. Более того, на стадии количественного иссле­дования достаточно сложной аналитической ММ и проведения вычислительного эксперимента на ее основе разрабатывают алгоритм, который реализуют в виде ЭВМ-программы, т.е. в процессе математического моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую ММ.

2.5. Теоретические и эмпирические

По способу получения математические модели (ММ) делят на теоретические и эмпирические . Первые получают в результате изучения свойств технического объекта (ТО) и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (называемые также уравнениями состояния), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона - Менделеева состояния совершенного газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.).

Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи-теорему*): если между п параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между = п - к их безразмерными комбинациями, где к - число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом п определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия .

Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами a, b и с его сторон, т.е n= 3, a k = 1. Поэтому, согласно -теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями = п - к = 2 критериев подобия. В качестве таких критериев можно выбрать безразмерные отношения длин сторон: b/а и с/а или любые два других независимых отношения. Так как углы треугольника однозначно связаны с отношениями сторон и являются безразмерными величинами, то множество подобных тре­угольников можно определить равенством двух соответствующих углов или равенством угла и отношения длин прилегающих к нему сторон. Все перечисленные варианты соответствуют из­вестным признакам подобия треугольников.

Для успешного применения П-теоремы к построению моделей ТО необходимо располагать полным набором параметров, описывающих изучаемый объект, причем выбор этих параметров должен опираться на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей ТО, влияние которых су­щественно в данном конкретном случае. Отметим, что такой анализ необходим при любом способе построения ММ, и про­иллюстрируем это положение примерами.

Пример 2.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 2.1) в виде материальной точки массой , подвешенной на невесомом стержне постоянной длины , который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника на угол от его вертикального положения

равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на величину где - ускорение свободного падения. Если после отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (точка А на рис. 2.1). При прохождении положения равновесия скорость v материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом положении кинетическая энергия этой точки равна , так

Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров (параметр v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [.] четырех указанных параметров и периода Т колебаний можно выразить через к = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [т] = кг, [l] = мс, = 0 и [g] = м/с 2 . Поэтому в силу П-теоремы из п = 5 параметров можно составить безразмерные комбинации, причем угол , будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника (см. пример 5.12). После исключения параметра m имеем п = 4 и к = 2, т.е. снова п = 2, так что наряду с безразмерным параметром остальные

Пример 2.3. Пусть поток несжимаемой жидкости обтека­ет неподвижное твердое тело заданной формы, имеющее характерный размер и постоянную температуру То (рис. 2.3). Скорость v и температура Т ж > То жидкости на большом (по сравнению с I) расстоянии от тела сохраняют постоянные значения. Необходимо при некотором фиксированном положении тела относительно направления вектора v скорости найти количество теплоты Q, передаваемое в единицу времени от жидкости к телу и называемое тепловым потоком.

Процесс передачи теплоты локализован у поверхности тела и зависит не только от перечисленных параметров, но и от объемной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности жидкости, поскольку эти параметры характеризуют способность жидкости подводить тепловую энергию и передавать ее поверхности тела. Подвод тепловой энергии к телу также зависит от распределения скорости жидкости у его поверхности. В случае идеальной (невязкой) жидкости оно однозначно определено фиксированным положением тела относительно вектора v, а для вязкой жидкости зависит и от соотношения между силами вязкости и инерции, характеризуемого коэффициентом вязкости , называемым кинематическим и измеряемым в м 2 /с.

При сравнительно близких значениях Т ж и То естественно предположить, что тепловой поток зависит не от каждой из этих температур, а от их разности . Тогда в случае идеальной жидкости имеем п = 6 размерных параметров, размерности которых можно выразить через к = 4 независимые стандартные единицы измерения: [l] = м, [v] = м/с,

K, [Q]=Дж/с=Вт=н м/с, [c]=Дж/(м 3 К)=кг/(м с 2 К), =Вт/(м К)=кг м/(с 3 К), где Дж (джоуль) и Вт (ватт) - единицы измерения энергии (работы) и мощности соответственно, а К (кельвин) - единица измерения температуры в абсолютной шкале. В силу П-теоремы из этих параметров можно составить лишь п = п - к = 2 независимые безразмерные комбинации, например и . В итоге приходим к функциональной зависимости

установленной в 1915 г. Дж.У. Стреттом.

Отношение q = Q/S называют усредненной по площади S поверхности тела плотностью теплового потока и измеряют в Вт/м 2 . Так как для геометрически подобных тел , то (2.7) можно представить в виде

где Ki - тепловой критерий Кирпичева и Ре - критерий Пекле. Интенсивность теплообмена на поверхности тела обычно характеризуют усредненным коэффициентом теплоотдачи - , измеряемым в Вт/(м 2 К). Тогда вместо (2.8) получим

где Nu - критерий (число) Нуссельта. Вид функции в (2.7)-(2.9) нельзя установить в рамках теории размерностей и его приходится определять путем обработки результатов экспериментов, хотя в некоторых простых случаях удается построить и теоретические ММ процесса теплообмена.

В случае вязкой жидкости имеем п = 7 размерных параметров, размерности которых по-прежнему можно выразить через к = 4 независимые единицы измерения, т.е. число независмых безразмерных комбинаций равно . К рассмотренным выше следует добавить любую безразмерную комбинацию, включающую новый параметр и. Эту комбинацию можно выбрать, например, в виде или . В первом случае ее называют критерием (числом) Рейнолъдса и обозначают Re = , а во втором - критерием (числом)Прандтля и обозначают Рг = . Критерий Прандтля характеризует только свойства жидкости, а критерий Рейнольдса - соотношение между инерционными силами и силами вязкого трения. В итоге вместо (2.9) получим

Так как Ре = RePr, то в случае вязкой жидкости критерий Нуссельта может быть представлен функцией любых двух из трех аргументов Ре, Re, Pr.

Ясно, что при наличии трех и более безразмерных комбинаций параметров построение полуэмпирической ММ существенно усложняется. В этом случае обычно выделяют так называемый определяемый критерий (в примере 2.3 это Ki или Nu), a остальные критерии относят к определяющим и проводят несколько серий экспериментальных измерений для установления функциональной зависимости определяемого критерия от двух или более определяющих, рассматриваемых в качестве аргументов искомой функции (в (2.10) это функции ). В каждой серии измерений размерные параметры изменяют таким образом, чтобы изменялось значение лишь одного из определяющих критериев. Тогда обработка результатов такой серии измерений позволяет выявить функциональную зависимость определяемого критерия от одного из аргументов при фиксированных значениях остальных. В итоге в некоторой области изменения значений определяющих критериев удается с некоторой степенью приближения построить искомую функцию, т.е. решить задачу идентификации полуэмпирической ММ.

Отметим, что применение -теоремы к аналитической ММ, представленной в виде уравнений, позволяет привести их к безразмерной форме и сократить число параметров, характеризующих изучаемый ТО. Это упрощает качественный анализ и позволяет еще до проведения количественного анализа оценить влияние отдельных факторов (см. Д.2.2). Кроме того, безразмерная форма ММ дает возможность представить в более компактном виде результаты ее количественного анализа.

2.6. Особенности функциональных моделей

Одной из характерных особенностей функциональной математической модели (ММ) является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической , а при их отсутствии - детерминированной .

Далеко не все параметры реальных технических объектов (ТО) можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких ТО, строго говоря, следует отнести к стохастическим. Например, если изучаемый ТО является изделием массового производства и его внутренние параметры могут принимать случайные значения в пределах допусков, установленных относительно номинальных значений, то и выходные параметры ТО будут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров при воздействии на ТО таких факторов, как порывы ветра, турбулентные пульсации, сигналы на фоне шума и т.п.

Для анализа стохастических ММ необходимо использовать методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность их применения обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с невысокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности ММ. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных, т.е. в большей мере удовлетворяющую требованию робастности.

Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров ТО во времени. Рассмотренная в примере 2.4 ММ теплообмена тела с окружающей средой учитывает такое изменение, и ее относят к нестационарным (или эволюционным) математическим моделям. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств ТО, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров ТО, называют статической. Рассмотренные в примерах 2.2 и 2.3 ММ являются статическими. Несмотря на движение воздушного потока и жидкости, обтекающих профиль крыла и нагреваемое тело соответственно, все параметры, характеризующие эти процессы остаются постоянными во времени.

Если изменение параметров ТО происходит столь медленно, что в рассматриваемый фиксированный момент времени этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической математической модели. Например, в медленно протекающих механических процессах можно пренебречь инерционными силами, при малой скорости изменения температуры - тепловой инерцией тела, а при медленно изменя­ющейся силе тока в электрической цепи - индуктивностью элементов этой цепи. Стационарные математические модели описывают ТО, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых инте­ресующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания. Например, ММ математического маятника (см. пример 2.1) является стационарной по отношению к не зависящим от времени периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия.

Если интересующие нас выходные параметры ТО изменя­ются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной математической модели. При описании некоторых процессов нестационарная ММ может быть преобразована в квазистационарную соответствующим выбо­ром системы координат. Например, при дуговой электросварке температурное поле в свариваемых стальных листах в окрест­ности движущегося с постоянной скоростью электрода в непо­движной системе координат описывает нестационарная ММ, а в подвижной системе координат, связанной с электродом, - квазистационарная ММ.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность. В ТО его параметры связаны линейными соотношения­ми. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра ТО линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров - сложение их вли­яний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции (от латинского слова superpositio - наложение). Если ММ не обла­дает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной.

Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможно­сти анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нели­нейной ММ ТО можно было использовать аналитические методы, ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную математическую модель рассматриваемого ТО. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате или существенному искажению реальных свойств ТО. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия ТО, когда малые изменения внешних параметров могут вызвать качественные изменения в его состоянии.

Каждый параметр ТО может быть двух типов - непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой - только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смешанные математические модели. В процессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемому ТО.

2.7. Иерархия математических моделей и формы их представления

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО) описать его поведение одной математической моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слиш­ком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, - геометрические математические модели.

Среди функциональных математических моделей иерархи­ческие уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень.

Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых - только от времени.

Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 10 4 -10 5 , то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характери­стики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для математических моделей метауровня.

ММ метауровня обычно относят к высшему уровню иерар­хии, ММ макроуровня - к среднему, а ММ микроуровня - к низшему. Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюционной) математической модели микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики . Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производ­ными и краевые условия. В свою очередь, краевые условия со­держат начальные условия - распределения искомых фазовых переменных в некоторый момент времени, принимаемый за на­чальный, в пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО или его элементу, - и граничные условия на границах этой области. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменные (независимые и искомые) и коэффициенты уравнений, сократив число параметров, характеризующих рассматриваемый ТО (см. Д.2.2).

ММ микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровнл. Одномерная ММ микроуровня, фазовые переменные в которой не зависят от времени, имеет представление в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия).

Поскольку краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку, то и ММ микроуровня также может быть представлена в ин­тегральной форме. При определенных условиях интегральную форму краевой задачи удается привести к вариационной фор­мулировке в виде функционала, который допустимо рас­сматривать на некотором множестве функций, содержащем искомую функцию. В этом случае говорят о вариационной форме модели микроуровня. Искомая функция обращает в нуль вариацию функционала, т.е. является его стационарной точкой.

Построение функционала и соответствующей ему вариационной формы модели микроуровня обычно основано на некотором содержательном с физической точки зрения вариационном принципе механики или электродинамики сплошной среды (например, на принципе минимума потенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принципе минимума времени прохождения светового луча между двумя точками оптически неоднородной среды). В этом случае стационарная точка функционала соответствует его экстремальному (в частности, минимальному) значению на допустимом множе­стве функций. Такая форма модели микроуровня, называемая экстремальной вариационной, позволяет, сравнивая значения функционала на любых двух функциях из допустимого множества, оценивать в интегральном смысле близость этих функций к искомой. Это свойство экстремальной вариационной формы модели важно при качественном анализе ММ и при сравнении различных приближенных решений соответствующей краевой задачи*.

При выполнении некоторых ограничений можно построить двойственную вариационную форму модели микроуровня, включающую пару функционалов, достигающих в одной и той же стационарной точке равных между собой альтернативных экстремальных значений (минимума и максимума) . Такая форма ММ дает возможность по разности значений этих Функционалов, вычисленных на некоторой функции из допусти­мого множества, количественно оценить погрешность, возника­ющую при выборе этой функции в качестве искомой.

Основной формой динамической (эволюционной) ММ макроуровня являются ОДУ или их системы вместе с заданными начальными условиями. Независимым переменным в таких ММ будет время, а искомыми - фазовые переменные, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости и ускорения элементов механических устройств, а также приложенные к этим элементам силы и моменты; давление и расход жидкости или газа в трубопроводе; напряжения и силы тока в электрических цепях и т.п.). В некоторых случаях ММ макроуровня удается представить в интегральной форме, используя принцип Гамильтона - Остроградского или экстремальный вариационный принцип Гамильтона.

Если эволюцию ТО определяет его состояние не только в текущий момент времени t, но и в некоторый предшествующий момент t - τ , то ММ макроуровня включает ОДУ вида

относительно искомой функции u(t). Такие ОДУ называют уравнениями запаздывающего и нейтрального типа соответственно и относят к дифференциально-функциональным уравнениям* (ДФУ) (или дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом). Наиболее широко ДФУ и их системы представлены в ММ систем автоматического управления и регулирования. Кроме того, ДФУ находят применение в моделях биологических и экономических процессов.

Запаздывающая реакция ТО на изменение своего состояния может определяться более чем одним интервалом времени . Тогда ДФУ будет включать не одно, а несколько дискретных запаздываний. В более общем случае запаздывание может быть непрерывным во времени, что приводит, например, для линейной математической модели к интегро-дифференциальному уравнению (ИДУ) вида

Заданную функцию K(t,r) называют ядром этого ИДУ, а о рассматриваемом ТО говорят, что он обладает памятью, поскольку его эволюция зависит от всей предыстории изменения состояний ТО.

В статическую математическую модель макроуровня не входит время. Поэтому она включает лишь конечное (в общем случае нелинейное) уравнение или систему таких уравнений (в частности, систему линейных алгебраических уравнений - СЛАУ). Такой же вид имеют квазистатическая, стационарная и квазистационарная математические модели макроуровня.

Если для рассматриваемого ТО удается выделить поддающееся количественной характеристике некоторое важное свойство или сочетание таких свойств (надежность, долговечность, массу, стоимость, какой-либо из определяющих качество ТО выходных параметров) и установить их связь с фазовыми переменными при помощи действительной функции, то можно говорить об оптимизации ТО по критерию, выражаемому этой функцией. Ее называют целевой функцией , поскольку ее значения характеризуют меру (или степень) достижения определенной цели совершенствования ТО в соответствии с выбранным критерием.

Вследствие ограниченности располагаемых ресурсов в ре­альной ситуации имеют смысл лишь те экстремальные значения целевой функции, которые достигаются в области возможного изменения фазовых переменных ТО, обычно ограниченной системой неравенств. Эти неравенства вместе с целевой функцией и статической ММ ТО в виде конечного нелинейного Уравнения или систем таких уравнений входят в математическую формулировку задачи оптимизации ТО по выбранному критерию, называемой (в общем случае) задачей нелинейного программирования. В частном случае линейной математической модели ТО в виде СЛАУ, линейных целевой функции и неравенств говорят о задаче линейного программирования. К таким задачам обычно приходят при рассмотрении проблем технико-экономического содержания. Задачу оптимизации ТО, описываемого динамической (эволюционной) ММ макроуровня, относят к классу задач оптимального управления.

Для ММ метауровня характерны те же типы уравнений, что и для ММ макроуровня, но эти уравнения включают фазовые переменные, описывающие состояние укрупненных элементов сложных ТО. Если определен закон непрерывного перехода ТО из одного состояния в другое, то для анализа ММ метауровня часто используют аппарат передаточных функций*, а при рассмотрении состояний ТО в дискретные моменты времени ОДУ и их системы переходят в разностные уравнения относительно значений фазовых переменных в эти моменты времени. В слу­чае дискретного множества состояний ТО применяют также аппарат математической логики и конечных автоматов.

Определение математической модели и математического моделирования.

Основные этапы математического моделирования.

Свойства математических моделей.

Требования к математическим моделям.

Классификация моделей.

Иерархия ММ и формы представления

Краевые задачи при проектировании технических объектов

Типы связей между подсистемами различной физической природы

ММ на микроуровне

ММ на макроуровне

сновные положения получения математических моделей технических объектов на макроуровне.

Методика получения функциональных моделей

Метод получения топологических уравнений

Метод конечных элементов.

Метод конечных разностей.

Методы граничных элементов.

Аналогии компонентных уравнений.

Аналогии топологических уравнений.

Получение эквивалентных схем технических объектов.

Аппроксимация табличных данных. Метод наименьших квадратов.

1. Внутренняя аппроксимация. Метод Ритца-Галеркина

   Табличный метод получения математических моделей систем.

   Узловой метод получения математических моделей систем.

   Метод вращения Якоби

   Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

   Анализ в частотной области.

   Сравнение методов конечны x элементов и конечных разнос тей

   Математические модели дискретных устройств.

   Многовариантный анализ.

   Математические модели технических объектов на метауровне. Математические модели систем массового обслуживания.

   Имитационное моделирование СМО

   Геометрические модели.

   Методы и алгоритмы машинной графики.

   Программно-методические комплексы геометрического моделирования и машинной графики

1. Определение математической модели и математического моделирования

Математическая модель объекта моделирования – это система математических элементов (чисел, переменных, уравнений, неравенств, множеств, матриц, графов и т.д.) и отношений между ними, адекватно отражающая некоторые свойства объекта, существенные с точки зрения инженера, для решения той или иной задачи.

Моделирование - исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов - физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т. п.).

Под объектами моделирования следует понимать:

1. Технологические системы (ТС) – участки из универсальных станков, автоматические линии, гибкие производственные системы (ГПС).

2. Технологические процессы (ТП).

3. Физические процессы (ФП).

Математические модели разрабатываются для:

1. Описания ФП, ТП, ТС.

2. Исследования ФП, ТП, ТС.

3. Проектирования ТП, ТС.

4. Оптимизации в ходе проектирования ТП, ТС и организации работы ТС.

5. Построения систем автоматизированного проектирования.

Вид, состав, сложность математической модели зависит от того, какой объект она описывает и для каких целей разработана.

В общем виде математическая модель объекта записывается:

где – вектор выходных параметров,

–вектор внутренних параметров,

–вектор внешних (входных) параметров,

2. Основные этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программированияотражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Формирование теоретических представлений на основе исследований в области естествознания, которые послужили основой информации для изучения природных процессов в водных экосистемах и развития математического моделирования как самостоятельного научного направления

Базовые понятия и определения

1.2.1. Модель (фр. мера, образец):

– некоторая совокупность объектов (пространственно-временных ячеек – станций, разрезов, матриц и т.д.), описывающая какие-либо параметры исследуемого явления;

Некоторая совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данной системе аксиом;

Мера, образец, норма – аналог (схема, структура, знаковая система) определенного фрагмента природной (или социальной) реальности.

(из словаря пусть найдут: метод, методика, методология ).

1.2.2. По классам сами модели бывают:

- физические;

- математические;

- социальные.

В свою очередь математические модели по принципу реализации могут быть:

- детерминированные – которые строятся на основе математически выраженных закономерностях, описывающих физико-химические процессы в объекте моделирования. Они позволяют однозначно определять значение переменных;

- статистические – строятся на основе экспериментальных данных и представляют собой системы соотношений, связывающих собой значения входных и выходных параметров;

- стохастические (или имитационные) – строятся на основе вероятностных представлений о процессах в объекте исследований и позволяют моделировать его поведение путем вычисления функций распределения вероятности переменных, характеризующих исследуемые свойства.

Имитация – подражание.

Стохастический – случайный, вероятностный.

Принцип – руководящая идея, основное правило деятельности.

Благодаря усилиям классиков современного естествознания, в ходе истории его развития формировалась качественная модель окружающего мира. Так, В.И. Вернадский заложил основы учения о живом веществе и морской геохимии, А.П. Виноградов начал изучать химический состав микроорганизмов, Н.М. Книпович был пионером рыбопромысловых исследований морей и солоноватых вод, С.В. Бруевич разработал аналитические методы морских гидрохимических работ, сформулировал основы гидрохимии, биогидрохимии и химической динамики морей, Л.А. Зенкевич изучал фауну и продуктивность морских вод, А.Б. Скопинцев начал исследования биогенных и органических веществ (ОВ) в водоемах и водотоках, Г.Г. Винберг обращался к вопросам формирования биологической продуктивности морей.

Эти работы послужили методологическим и теоретическим фундаментом начавшихся во всем мире со второй половины ХХ в. регулярных исследований экологического состояния морских экосистем, гидрохимических особенностей формирования сырьевой базы и биопродуктивности природных вод; закономерностей развития химико-биологических процессов трансформации и распада ОВ; механизмов регенерации биогенных субстратов в связи с изучением условий оборачиваемости и круговорота веществ в биосфере [Леонов, 1999], а также способов систематизации и анализа полученной информации [Фащук, 1997; Фащук и др., 1997].

По выражению известного математика, академика И.М. Яглома: “Уровень зрелости той или иной дисциплины в значительной мере определяется степенью использования в ней математического аппарата, содержательностью присущих дисциплине “математических моделей” и тесно с ними связанных дедуктивных выводов…” . Ко второй половине ХХ в. морская экология “созрела” как наука до такой степени, что математическое моделирование состояния морских экосистем стало самостоятельным научным направлением в естествознании. В его рамках Мировой океан рассматривается как сложная динамическая система физических, химических, биологических, геологических и других процессов.

Развитие средств вычислительной техники и аппарата прикладной математики привело к интенсивной разработке математических моделей морских экосистем, которые позволили систематизировать полученные знания в различных областях морской науки с целью прогноза и управления состоянием морских водоемов. В этой связи, математические модели морских экосистем, наряду с полевыми наблюдениями в море, можно рассматривать как фундамент научного понимания природы океана. Построение и использование математических моделей служит средством системного анализа условий функционирования морских экосистем.

1.4.1. На основе методологического подхода к моделированию природных процессов и явлений выделяют следующие типы моделей : эмпирические, полуэмпирические и теоретические.

Эмпирические модели описывают математическими зависимостями связи между отдельными параметрами состояния среды и действующими на них внешними факторами.

Теоретические модели строятся на широком фактическом материале, полученном в результате фундаментальных исследований отдельных элементов экосистемы, процессов трансформации вещества и энергии, закономерностей изменения химических и биологических параметров и др.

Полуэмпирические модели представляют собой синтез первых двух, и большая часть разработанных моделей может быть отнесена к этой категории.

1.4.2. По способу реализации модели делятся на:

- детерминистические (в них используются функциональные зависимости для связи между переменными);

- стохастические (построены на основании статистических связей). Первые из них применяются чаще, так как допускают бесконечное множество компонентов и не учитывают случайных колебаний параметров водной среды. Они удобны с точки зрения интерпретации результатов [Айзатуллин, Лебедев, 1977].

- стохастико-детерминистические , в которых на первом этапе решение ищется детерминистическим способом, а затем, с помощью метода статистических испытаний моделируется изменчивость различных параметров и исследуется реакция решения на эту изменчивость.

1.4.3. В зависимости от точности описания объекта модели можно подразделить на имитационные (приурочены к конкретным бассейнам или районам и разрабатываемые для конкретных задач исследований) и качественные (используются для выяснения общих закономерностей развития и анализа процессов, их иногда также называют теоретическими ). В имитационных моделях стремятся учесть максимум деталей, а в качественных – минимум (но наиболее важных), поэтому для последних главная проблема – выбор приоритетных переменных [Смит, 1976].

По другой классификации имитационные (они же стохастические) модели – это модели, построенные на основе вероятностных представлений о процессах в объекте исследований и позволяющие моделировать его поведение.

1.4.4. По способу представления (описания) пространственной структуры модели делятся на:

- точечные (или нульмерные) с сосредоточенными параметрами, в них значения характеристик состояния принимаются средними для всего объема воды, т.е. водоем рассматривается как точка (напр. как средняя океанологическая станция).

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала». (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием». (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи».

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение , выражающее идею ».

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий . Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» . Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика ».

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель , умозрительная модель или предмодель . При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики , биологии , экономики , социологии , психологии , и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман :

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть».

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы …)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира , проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым )

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности )

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука () после чего воспользуемся вторым законом Ньютона , чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения :

где означает вторую производную от по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, - некоторый малый параметр. Явный вид функции нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания . Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику . Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений . Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции . Она описывается дифференциальным уравнением

где - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность (), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель , которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению , причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных : кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов , число лис . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерра :

Эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора . Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым : малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения . Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать . Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры . - 2-е изд., испр. - М .: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 344 с.
7. Wiktionary: mathematical model
8. CliffsNotes.com. Earth Science Glossary. 20 Sep 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
11. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.» Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
12. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. ISBN 5-06-003860-2
13. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
14. «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4 , с. 35.
15. «Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2 , с. 93.
16. Блехман И. И., Мышкис А. Д.,