Tangentti toisen neljänneksen merkissä. Trigonometrinen ympyrä. The Ultimate Guide (2019)

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisan aporiansa, joista kuuluisin on "Achilles ja kilpikonna" -aporia. Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tähän päivään asti tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen; ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.

Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertian vuoksi, käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Vastaavasti sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisyksikköihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavaa aikaväliä varten yhtä kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta, ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi se voidaan voittaa hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että jokaisella ajanhetkellä lentävä nuoli on levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Mitä haluan huomauttaa Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimukselle.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Katsotaan.

Kuten näette, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisetiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdia logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, joilla ei ole älykkyyttä sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat veneessä sillan alla testatessaan siltaa. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovellettava matemaattinen teoria asettaa matemaatikoille itselleen.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja jaamme palkkoja. Joten matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja asetamme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitätään matemaatikolle, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä alkioita ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "Tätä voidaan soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Sitten he alkavat vakuuttaa meille, että saman arvon seteleillä on eri setelinumerot, mikä tarkoittaa, että niitä ei voida pitää samoilla elementeillä. Okei, lasketaan palkat kolikoihin - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko alkaa kiihkeästi muistaa fysiikkaa: päällä erilaisia ​​kolikoita Likaa on eri määrä, kiderakenne ja atomien järjestely on jokaiselle kolikolle ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on viiva, jonka jälkeen monijoukon alkiot muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole lähelläkään valehdella täällä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-alat ovat samat - mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos katsomme näiden samojen stadionien nimiä, saamme monia, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on sekä joukko että monijoukko. Kumpi on oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-terävä vetää valttiäsän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta siksi he ovat shamaaneja, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää sivu "Luvun numeroiden summa". Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voitaisiin löytää minkä tahansa luvun numeroiden summa. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa lukua edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen helposti.

Selvitetään mitä ja miten teemme lukujen summan löytämiseksi annettu numero. Ja niin, olkoon numero 12345. Mitä on tehtävä, jotta tämän luvun numeroiden summa saadaan selville? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron graafiseksi numerosymboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden kuvan useiksi kuviksi, jotka sisältävät yksittäisiä numeroita. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset symbolit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Lisää saadut luvut. Tämä on nyt matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat shamaanien opettamia "leikkaus- ja ompelukursseja", joita matemaatikot käyttävät. Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matemaattisesti katsottuna ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään kirjoitamme luvun. Joten eri numerojärjestelmissä saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. KANSSA suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, katsotaanpa numeroa 26 artikkelista . Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme katso jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se on sama kuin jos määrittäisit suorakulmion alueen metreinä ja senttimetreinä, saat täysin erilaiset tulokset.

Nolla näyttää samalta kaikissa numerojärjestelmissä, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta. Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa määrätään jotain, joka ei ole luku? Mitä, matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Voin sallia tämän shamaaneille, mutta en tiedemiehille. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen operaation tulos ei riipu luvun koosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Kyltti ovessa Hän avaa oven ja sanoo:

Vai niin! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio sielujen indefiilisen pyhyyden tutkimiseksi heidän taivaaseennousemisensa aikana! Halo päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas ovat urospuolisia.

Jos tällainen taideteos välähtää silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan yhdistelmä: miinusmerkki, numero neljä, asteiden merkintä). Ja en usko, että tämä tyttö on hölmö, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain vahva stereotypia graafisten kuvien havaitsemisesta. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalimuodossa. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Jos olet jo perehtynyt trigonometrinen ympyrä , ja haluat vain virkistää muistiasi tietyistä elementeistä tai olet täysin kärsimätön, niin tässä se on:

Täällä analysoimme kaiken yksityiskohtaisesti askel askeleelta.

Trigonometrinen ympyrä ei ole luksusta, vaan välttämättömyys

Trigonometria Monet ihmiset yhdistävät sen läpäisemättömään pensaikkoon. Yhtäkkiä niin monia trigonometristen funktioiden arvoja, niin monia kaavoja kasaantuu... Mutta se on ikään kuin se ei toiminut alussa, ja... mennään... täydellinen väärinkäsitys...

On erittäin tärkeää olla luovuttamatta trigonometristen funktioiden arvot, - he sanovat, aina voi katsoa kannustetta arvotaulukolla.

Jos katsot jatkuvasti taulukkoa, jossa on trigonometristen kaavojen arvot, päästään eroon tästä tavasta!

Hän auttaa meitä! Työskentelet sen kanssa useita kertoja, ja sitten se ponnahtaa mieleesi. Miten se on parempi kuin pöytä? Kyllä, taulukosta löydät rajoitetun määrän arvoja, mutta ympyrästä - KAIKKI!

Sano esimerkiksi katsoessasi trigonometristen kaavojen vakioarvotaulukko , miksi yhtä suuri kuin sini, esimerkiksi 300 astetta tai -45.

Ei mitenkään?... voit tietysti muodostaa yhteyden pelkistyskaavat... Ja katsomalla trigonometristä ympyrää, voit helposti vastata tällaisiin kysymyksiin. Ja pian tiedät kuinka!

Ja kun päättää trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt ilman trigonometristä ympyrää - ei missään.

Johdatus trigonometriseen ympyrään

Mennään järjestyksessä.

Kirjoitetaan ensin tämä numerosarja:

Ja nyt tämä:

Ja lopuksi tämä:

Tietenkin on selvää, että itse asiassa ensimmäisellä sijalla on , toisella sijalla on , ja viimeisellä sijalla on . Eli olemme enemmän kiinnostuneita ketjusta.

Mutta kuinka kaunis siitä tulikaan! Jos jotain tapahtuu, kunnostamme nämä "ihmetikkaat".

Ja miksi me tarvitsemme sitä?

Tämä ketju on sinin ja kosinin pääarvot ensimmäisellä neljänneksellä.

Piirretään yksikkösäteinen ympyrä suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään (eli otamme minkä tahansa säteen pituudeksi ja julistamme sen pituudeksi yksikkö).

"0-Start" -palkista laskemme kulmat alas nuolen suuntaan (katso kuva).

Saamme vastaavat pisteet ympyrästä. Joten jos projisoimme pisteet jokaiselle akselille, saamme täsmälleen arvot yllä olevasta ketjusta.

Miksi tämä on, kysyt?

Älkäämme analysoiko kaikkea. Harkitsemme periaate, jonka avulla voit selviytyä muista vastaavista tilanteista.

Kolmio AOB on suorakaiteen muotoinen ja sisältää . Ja tiedämme, että kulmaa b vastapäätä on jalka puolet hypotenuusan koosta (meillä on hypotenuusa = ympyrän säde, eli 1).

Tämä tarkoittaa AB= (ja siten OM=). Ja Pythagoraan lauseen mukaan

Toivottavasti jotain tulee jo selväksi?

Joten piste B vastaa arvoa ja piste M vastaa arvoa

Sama ensimmäisen vuosineljänneksen muiden arvojen kanssa.

Kuten ymmärrät, tuttu akseli (härkä) on kosiniakseli, ja akseli (oy) – sinien akseli . Myöhemmin.

Nollan vasemmalla puolella kosiniakselilla (nollan alapuolella siniakselilla) on tietysti negatiivisia arvoja.

Joten tässä se on, KAIKKIVALTAINEN, jota ilman trigonometriassa ei ole mitään.

Mutta puhumme trigonometrisen ympyrän käytöstä.

Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljännestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee. SISÄÄN viime kerta opimme muuttamaan argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten juuri tämä koordinaattineljännes. Määritetään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkki.

Kulman α sini on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (y-koordinaatti), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulmalla α.

Kulman α kosini on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulmalla α.

Kulman α tangentti on sinin ja kosinin suhde. Tai, mikä on sama asia, y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.

Merkintä: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrasta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:

Sininen väri osoittaa OY-akselin positiivista suuntaa (ordinaattinen akseli), punainen osoittaa OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa-akseli). Tällä "tutkalla" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:

1. sin α > 0, jos kulma α on I- tai II-koordinaattikvadrantissa. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti). Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
2. cos α > 0, jos kulma α on 1. tai 4. koordinaattineljännessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (alias abskissa) on suurempi kuin nolla;
3. tan α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tan α = y : x, joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat. Tämä tapahtuu ensimmäisellä koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja kolmannella koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).

Merkitään selvyyden vuoksi kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisille "tutkaille". Saamme seuraavan kuvan:

Huomaa: keskusteluissani en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista. Tosiasia on, että kotangenttimerkit ovat samat tangenttimerkkien kanssa - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.

Nyt ehdotan, että tarkastelemme esimerkkejä, jotka ovat samanlaisia ​​​​kuin ongelmat B11 alkaen koe yhtenäinen valtionkoe matematiikassa, joka pidettiin 27. syyskuuta 2011. Loppujen lopuksi Paras tapa teorian ymmärtäminen on käytäntöä. On suositeltavaa harjoitella paljon. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.

Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse laskea):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5p/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimitoista asteina (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä saatu luku on. Neljännekset tuntemalla löydämme merkit helposti - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma III-koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ lähtien olemme IV neljänneksellä, jossa tangentti saa negatiiviset arvot. Siksi rusketus (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts. sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, kosinit siellä ovat negatiivisia. Siksi cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Saimme jälleen tuotteen, jossa tekijät ovat eri merkkejä. Koska "miinus plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: alkaen 150° ∈ , me puhumme noin II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia. Siksi sin (5π/6) > 0. Samoin 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia. Siksi cos (7π/4) > 0. Olemme saaneet kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Koska "miinus plussalla antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. yksinkertaisin kulma. Siksi tan (π/6) > 0. Meillä on jälleen kaksi positiivista lauseketta - niiden tulo on myös positiivinen. Siksi pinnasänky (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lopuksi tarkastellaan joitain monimutkaisempia ongelmia. Sen lisäksi, että selvität trigonometrisen funktion etumerkin, sinun on tässä tehtävä vähän matematiikkaa - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia ongelmia, jotka todella esiintyvät matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Koska sin 2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8. Jää vain päättää: plus vai miinus? Ehdolla kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus on eliminoitu.

Tehtävä. Etsi cos α, jos cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Toimimme samalla tavalla, ts. ottaa talteen Neliöjuuri: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ± 0,2. Ehdolla kulma α ∈ [π; 3π/2], so. Puhumme kolmannesta koordinaattineljänneksestä. Kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meillä on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Katsomme kulmaa uudelleen: α ∈ on IV koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedämme, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tan α, jos tan 2 α = 9 ja α ∈ .

Kaikki on sama, vain tangentin osalta. Poimi neliöjuuri: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tan α = 3. Siinä se!

Monipuolinen. Jotkut niistä koskevat sitä, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja negatiivinen, missä neljänneksissä sini on positiivinen ja negatiivinen. Kaikki osoittautuu yksinkertaiseksi, jos osaat laskea näiden funktioiden arvon eri kulmissa ja tunnet funktioiden piirtämisperiaatteen kaavioon.

Mitkä ovat kosiniarvot?

Jos tarkastelemme sitä, meillä on seuraava kuvasuhde, joka määrittää sen: kulman kosini A on viereisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB (kuva 1): cos a= BC/AB.

Samaa kolmiota käyttämällä voit löytää kulman sinin, tangentin ja kotangentin. Sini on kulman AC vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan AB. Kulman tangentti löytyy, jos halutun kulman sini jaetaan saman kulman kosinilla; Korvaamalla vastaavat kaavat sinin ja kosinin löytämiseksi, saadaan, että tg a= AC/BC. Kotangentti, funktiona käänteinen tangentille, löytyy seuraavasti: ctg a= BC/AC.

Eli samoilla kulmaarvoilla havaittiin, että suorakulmaisessa kolmiossa kuvasuhde on aina sama. Vaikuttaa siltä, ​​että on käynyt selväksi, mistä nämä arvot tulevat, mutta miksi saamme negatiivisia lukuja?

Tätä varten sinun on otettava huomioon kolmio suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, jossa on sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Se on selvää neljänneksistä, missä on kumpi?

Mitä ovat suorakulmaiset koordinaatit? Jos puhumme kaksiulotteisesta avaruudesta, meillä on kaksi suunnattua suoraa, jotka leikkaavat pisteessä O - nämä ovat abskissa-akseli (Ox) ja ordinaatta-akseli (Oy). Pisteestä O suoran suunnassa on positiivisia lukuja ja vastakkaiseen suuntaan - negatiivisia lukuja. Viime kädessä tämä määrittää suoraan, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä vastaavasti negatiivinen.

Ensimmäinen neljännes

Jos sijoitat suorakulmainen kolmio ensimmäisellä neljänneksellä (0 o - 90 o), missä x- ja y-akselilla on positiiviset arvot(segmentit AO ja BO sijaitsevat akseleilla, joissa arvoilla on "+"-merkki), niin sekä sinillä että kosinilla on myös positiiviset arvot, ja niille annetaan arvo "plus"-merkillä. Mutta mitä tapahtuu, jos siirrät kolmion toiseen neljännekseen (90 o:sta 180 o:seen)?

Toinen neljännes

Näemme, että y-akselia pitkin AO:n jalat vastaanottivat negatiivinen merkitys. Kulman kosini a nyt tämä puoli on suhteessa miinukseen, ja siksi sen lopullinen arvo tulee negatiiviseksi. Osoittautuu, että missä neljänneksessä kosini on positiivinen, riippuu kolmion sijainnista suorakulmaisessa koordinaatistossa. Ja tässä tapauksessa kulman kosini saa negatiivisen arvon. Mutta sinin osalta mikään ei ole muuttunut, koska sen merkin määrittämiseen tarvitset OB-puolen, joka tässä tapauksessa pysyi plusmerkillä. Tehdään yhteenveto kahdesta ensimmäisestä neljänneksestä.

Saadaksesi selville, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä negatiivinen (sekä sini ja muut trigonometriset funktiot), sinun on katsottava, mikä merkki on osoitettu mille puolelle. Kulman kosinille a Sivu AO on tärkeä, sinille - OB.

Ensimmäisestä neljänneksestä on toistaiseksi tullut ainoa, joka vastaa kysymykseen: "Millä neljänneksillä ovat sini- ja kosinipositiiviset samaan aikaan?" Katsotaan lisää, tuleeko näiden kahden funktion merkissä lisää yhteensattumia.

Toisella vuosineljänneksellä sivu AO alkoi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että myös kosini muuttui negatiiviseksi. Sini pidetään positiivisena.

Kolmas neljäsosa

Nyt molemmat puolet AO ja OB ovat tulleet negatiivisiksi. Muistakaamme kosinin ja sinin suhteet:

Cos a = AO/AB;

Sin a = VO/AV.

AB:llä on aina positiivinen etumerkki tietyssä koordinaatistossa, koska se ei ole suunnattu kumpaankaan akselien määrittelemään suuntaan. Mutta jalat ovat tulleet negatiivisiksi, mikä tarkoittaa, että molempien funktioiden tulos on myös negatiivinen, koska jos teet kerto- tai jakooperaatioita numeroilla, joiden joukossa yhdellä ja vain yhdellä on miinusmerkki, tulos on myös tällä merkillä.

Tulos tässä vaiheessa:

1) Millä neljänneksellä kosini on positiivinen? Ensimmäisessä kolmesta.

2) Millä neljänneksellä sini on positiivinen? Ensimmäisessä ja toisessa kolmesta.

Neljäs vuosineljännes (270 o - 360 o)

Tässä sivu AO saa jälleen plusmerkin ja siten myös kosinin.

Sinin osalta asiat ovat edelleen "negatiivisia", koska jalan OB jää lähtöpisteen O alapuolelle.

johtopäätöksiä

Ymmärtääksesi, missä neljänneksissä kosini on positiivinen, negatiivinen jne., sinun on muistettava kosinin laskemisen suhde: kulman vieressä oleva jalka jaettuna hypotenuusalla. Jotkut opettajat suosittelevat tämän muistamista: k(osine) = (k) kulma. Jos muistat tämän "huijauksen", ymmärrät automaattisesti, että sini on kulman vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.

On melko vaikea muistaa, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä negatiivinen. Trigonometrisiä toimintoja on monia, ja niillä kaikilla on omat merkityksensä. Mutta silti, seurauksena: sinin positiiviset arvot ovat 1,2 neljännestä (0 o - 180 o); kosini 1,4 neljännekselle (0 o - 90 o ja 270 o - 360 o). Muilla neljänneksillä funktioilla on miinusarvot.

Ehkä jonkun on helpompi muistaa mikä merkki on mikä kuvaamalla toimintoa.

Sinin osalta on selvää, että nollasta 180 o:een harjanne on sin(x)-arvojen rivin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että funktio tässä on positiivinen. Kosinille se on sama: missä neljänneksessä kosini on positiivinen (kuva 7) ja missä negatiivinen, näet siirtämällä viivaa cos(x)-akselin ylä- ja alapuolelle. Tämän seurauksena voimme muistaa kaksi tapaa määrittää sini- ja kosinifunktioiden etumerkki:

1. Perustuu kuvitteelliseen ympyrään, jonka säde on yhtä suuri (vaikka itse asiassa sillä ei ole väliä mikä ympyrän säde on, tämä on oppikirjoissa useimmin annettu esimerkki; tämä helpottaa ymmärtämistä, mutta samaan aikaan, ellei ole määrätty, että tämä Ei ole väliä, lapset voivat hämmentyä).

2. Kuvaamalla funktion (x):n riippuvuus argumentista x itsestään, kuten viimeisessä kuvassa.

Ensimmäistä menetelmää käyttämällä voit YMMÄRTÄ, mistä merkki tarkalleen riippuu, ja selitimme tämän yksityiskohtaisesti yllä. Näistä tiedoista muodostettu kuva 7 visualisoi tuloksena olevan funktion ja sen etumerkin parhaalla mahdollisella tavalla.

Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Se on melkein sama kuin edellisellä oppitunnilla. On akselit, ympyrä, kulma, kaikki on järjestyksessä. Lisätty neljännesnumerot (suuren neliön kulmiin) - ensimmäisestä neljänteen. Entä jos joku ei tiedä? Kuten näette, neljännekset (niitä kutsutaan myös kaunis sana"kvadrantit") on numeroitu vastapäivään. Lisätty kulma-arvot akseleille. Kaikki on selvää, ei ongelmia.

Ja vihreä nuoli lisätään. Plussalla. Mitä se tarkoittaa? Haluan muistuttaa, että kulman kiinteä puoli Aina naulattu positiiviseen puoliakseliin OX. Joten jos käännämme kulman liikkuvaa puolta plus-nuolta pitkin, eli neljännesnumeroiden nousevassa järjestyksessä, kulma katsotaan positiiviseksi. Esimerkkinä kuvassa on +60° positiivinen kulma.

Jos laitamme kulmat sivuun vastakkaiseen suuntaan, myötäpäivään, kulmaa pidetään negatiivisena. Vie osoitin kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletillasi), näet sinisen nuolen, jossa on miinusmerkki. Tämä on negatiivisen kulman lukemisen suunta. Esimerkiksi negatiivinen kulma (-60°) näytetään. Ja näet myös kuinka akseleiden luvut ovat muuttuneet... Muunsin ne myös negatiivisiksi kulmiksi. Kvadranttien numerointi ei muutu.

Tästä yleensä alkavat ensimmäiset väärinkäsitykset. Kuinka niin!? Entä jos ympyrän negatiivinen kulma osuu yhteen positiivisen kanssa!? Ja yleensä käy ilmi, että samaa liikkuvan puolen (tai numeroympyrän pisteen) sijaintia voidaan kutsua sekä negatiiviseksi että positiiviseksi kulmaksi!?

Joo. Tarkalleen. Oletetaan, että positiivinen 90 asteen kulma muodostaa ympyrän täysin sama asema negatiivisena kulmana miinus 270 astetta. Positiivinen kulma, esimerkiksi +110° astetta täysin sama sijainti negatiivisena kulmana -250°.

Ei ongelmaa. Kaikki on oikein.) Positiivisen tai negatiivisen kulman laskennan valinta riippuu tehtävän olosuhteista. Jos ehto ei kerro mitään selkeällä tekstillä kulman merkistä (kuten "määritä pienin positiivinen kulma" jne.), sitten työskentelemme meille sopivien arvojen kanssa.

Poikkeuksena (miten voisimme elää ilman niitä?!) ovat trigonometriset epätasa-arvot, mutta siellä me hallitsemme tämän tempun.

Ja nyt sinulle kysymys. Mistä tiesin, että 110° kulman sijainti on sama kuin -250° kulman sijainti?
Haluan vihjata, että tämä liittyy täydelliseen vallankumoukseen. 360°... Etkö ole selvä? Sitten piirrämme ympyrän. Piirrämme sen itse paperille. Kulman merkitseminen suunnilleen 110°. JA me ajattelemme, kuinka paljon aikaa on jäljellä täyteen vallankumoukseen. Vain 250° jää...

Sain sen? Ja nyt - huomio! Jos kulmat 110° ja -250° ovat ympyrän sisällä sama tilanne, mitä sitten? Kyllä, kulmat ovat 110° ja -250° täysin sama sini, kosini, tangentti ja kotangentti!
Nuo. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja niin edelleen. Tämä on nyt todella tärkeää! Ja sinänsä on paljon tehtäviä, joissa sinun on yksinkertaistettava lausekkeita ja pohjana myöhempään pelkistyskaavojen ja muiden trigonometrian monimutkaisten asioiden hallitsemiseen.

Tietysti otin 110° ja -250° satunnaisesti, puhtaasti esimerkkinä. Kaikki nämä yhtäläisyydet toimivat kaikilla kulmilla, jotka ovat samassa paikassa ympyrässä. 60° ja -300°, -75° ja 285° ja niin edelleen. Huomautan heti, että näiden parien kulmat ovat eri. Mutta heillä on trigonometriset toiminnot - sama.

Luulen, että ymmärrät mitä negatiiviset näkökulmat ovat. Se on melko yksinkertaista. Vastapäivään - positiivinen laskenta. Matkan varrella - negatiivinen. Harkitse kulmaa positiivinen tai negatiivinen riippuu meistä. Meidän halusta. No, ja tietysti myös tehtävästä... Toivottavasti ymmärrät kuinka siirtyä negatiivisista kulmista positiivisiin kulmiin ja takaisin trigonometrisissa funktioissa. Piirrä ympyrä, likimääräinen kulma ja katso kuinka paljon puuttuu täyden kierroksen suorittamiseen, ts. jopa 360°.

Kulmat yli 360°.

Käsitellään kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360°. Onko sellaisia? Niitä on tietysti. Kuinka piirtää ne ympyrään? Ei ongelmaa! Oletetaan, että meidän on ymmärrettävä, mihin neljännekseen 1000°:n kulma putoaa? Helposti! Teemme yhden täyden kierroksen vastapäivään (meille annettu kulma on positiivinen!). Kelattiin 360° taaksepäin. No, mennään eteenpäin! Vielä yksi käännös - se on jo 720°. Kuinka paljon on jäljellä? 280°. Se ei riitä täyteen käännökseen... Mutta kulma on yli 270° - ja tämä on raja kolmannen ja neljännen neljänneksen välillä. Siksi 1000°:n kulmamme osuu neljännelle neljännekselle. Kaikki.

Kuten näet, se on melko yksinkertaista. Muistutan vielä kerran, että kulma 1000° ja kulma 280°, jotka saimme hylkäämällä "ylimääräiset" täyskierrokset, ovat tarkasti ottaen eri kulmat. Mutta näiden kulmien trigonometriset funktiot täysin sama! Nuo. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Jos olisin sini, en huomaisi eroa näiden kahden kulman välillä...

Miksi kaikkea tätä tarvitaan? Miksi meidän täytyy muuntaa kulmat yhdestä toiseen? Kyllä, kaikki samaa asiaa varten.) Ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Ilmaisujen yksinkertaistaminen on itse asiassa koulumatematiikan päätehtävä. No, ja matkan varrella pää on koulutettu.)

No, harjoitellaanko?)

Vastaamme kysymyksiin. Yksinkertaiset ensin.

1. Mihin neljännekseen -325° kulma putoaa?

2. Mihin neljännekseen 3000° kulma putoaa?

3. Mihin neljännekseen kulma -3000° putoaa?

On ongelma? Vai epävarmuus? Siirrytään kohtaan 555, Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa. Siellä, tämän ensimmäisellä oppitunnilla " Käytännön työ..." kaikki yksityiskohtaisesti... In sellaisia epävarmuuden kysymyksiä ei pitäisi!

4. Mikä merkki sin555°:lla on?

5. Mikä merkki tg555°:ssa on?

Oletko päättänyt? Loistava! Onko sinulla epäilyksiä? Sinun täytyy mennä osioon 555... Muuten, siellä opit piirtämään tangentin ja kotangentin trigonometrinen ympyrä. Erittäin hyödyllinen asia.

Ja nyt kysymykset ovat kehittyneempiä.

6. Pienennä lauseke sin777° pienimmän positiivisen kulman siniksi.

7. Pienennä lauseke cos777° suurimman negatiivisen kulman kosiniksi.

8. Pienennä lauseke cos(-777°) pienimmän positiivisen kulman kosiniksi.

9. Pienennä lauseke sin777° suurimman negatiivisen kulman siniksi.

Mitä, kysymykset 6-9 hämmästyttivät sinua? Totu siihen, yhtenäisestä valtionkokeesta et löydä tällaisia ​​​​muotoja... Olkoon niin, minä käännän sen. Vain sinulle!

Sanat "tuoda ilmaisun..." tarkoittavat ilmaisun muuntamista sen merkityksen mukaiseksi ei ole muuttunut A ulkomuoto muutettu toimeksiannon mukaan. Tehtävissä 6 ja 9 täytyy siis saada sini, jonka sisällä on pienin positiivinen kulma. Kaikella muulla ei ole väliä.

Annan vastaukset järjestyksessä (sääntöjemme vastaisesti). Mutta mitä tehdä, kylttejä on vain kaksi ja neljäsosaa on vain neljä... Sinua ei hemmoteltu.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Oletan, että vastaukset kysymyksiin 6-9 hämmentyivät joitain ihmisiä. Erityisesti -sin (-57°), todellakin?) Kulmien laskennan perussäännöissä on tosiaan tilaa virheille... Siksi minun piti tehdä oppitunti: "Kuinka määrittää funktioiden etumerkit ja antaa kulmat trigonometriselle ympyrälle?" Luvussa 555. Tehtävät 4 - 9 käsitellään siellä. Hyvin lajiteltu, kaikkine sudenkuoppineen. Ja he ovat täällä.)

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme salaperäisiä radiaaneja ja numeroa "Pi". Opitaan muuttamaan asteet helposti ja oikein radiaaneiksi ja päinvastoin. Ja olemme yllättyneitä huomatessamme, että nämä perustiedot sivustolla riittää jo ratkaisemaan joitain mukautettuja trigonometriaongelmia!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.