Monimutkaisempien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. Trigonometriset yhtälöt. The Ultimate Guide (2019)

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaarinen ja neliöllinen epätasa-arvo, murto-osayhtälöt ja yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi. Jokaisen mainitun ongelman onnistuneen ratkaisemisen periaate on seuraava: sinun on määritettävä, minkä tyyppistä ongelmaa olet ratkaisemassa, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

On selvää, että onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietysti suoritukseen tarvitaan taitoja identiteetin muunnoksia ja tietojenkäsittely.

Tilanne on erilainen kanssa trigonometriset yhtälöt. Ei ole ollenkaan vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Tekijä: ulkomuoto yhtälöstä, sen tyyppiä on joskus vaikea määrittää. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "identtisiin funktioihin";
3. kerro yhtälön vasen puoli jne.

Harkitsemme perusratkaisumenetelmiä trigonometriset yhtälöt.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaista trigonometrinen funktio tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva vaihto

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä yhtälö arvoon algebrallinen muoto suhteessa yhteen trigonometrisista funktioista.

Vaihe 2. Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3. Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4. Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2, ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvata annettu yhtälö lineaarinen, käyttämällä asteen pienentämiskaavoja:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttämällä menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tan x:n yhtälö:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 tai t = -4, mikä tarkoittaa

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käyttää kaikenlaisia trigonometriset kaavat, vähennä tämä yhtälö yhtälöksi, joka on ratkaistu menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x = π/4 + πn/2, n ЄZ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taito ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä on erittäin hyvä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavaa panosta sekä opiskelijalta että opettajalta.

Monet stereometrian, fysiikan jne. ongelmat liittyvät trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun. Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää monia tietoja ja taitoja, jotka hankitaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan oppimisprosessissa ja henkilökohtaisessa kehityksessä yleensä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, on linkki lähteeseen.

Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen oikealla lähestymistavalla - melko jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Harkitsemme kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, käytämme selvyyden vuoksi jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: pelkistämme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoonsa ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisena trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvaa cos(x + /6) y:llä yksinkertaistaaksesi ja saadaksesi tavallisen toisen asteen yhtälön:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret ovat y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausvaihtoehtoa:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x – 1 = 0

Käytämme yllä käsiteltyjä identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Laitetaan tekijöihin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ehdot ovat suhteessa saman kulman saman potenssin siniin ja kosiniin. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yleiset tekijät suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan alemman asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan korkeamman asteen siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:llä:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tan x y:llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arctan 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen puolikulmaan siirtymisen kautta

Ratkaise yhtälö 3sin x – 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Siirretään kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos(x/2):lla:

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x = c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimet trigonometristen kaavojen mukaan ovat ominaisuudet synti ja cos, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään niitä vastaavasti cos ja sin, missä - tämä on ns. apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x = C

tai sin(x + ) = C

Tämän yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x = (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että merkinnät cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x – cos 3x = 1

Tämän yhtälön kertoimet ovat:

a = , b = -1, joten jaa molemmat puolet = 2:lla

Trigonometriset yhtälöt eivät ole helppo aihe. Ne ovat liian erilaisia.) Esimerkiksi nämä:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = pinnasänky (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, löytyy näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos X näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllinen lähestymistapa. Emme ota niitä tässä huomioon.

Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska ratkaisu minkä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi useiden muunnosten avulla. Toisessa vaiheessa tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Ei toista reittiä.

Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)

Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Minkä tahansa.

Muuten, funktion sisällä ei välttämättä ole puhdasta X, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: logiikan ja trigonometrisen ympyrän käyttö. Katsomme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - käsitellään seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia ​​hankalia epästandardeja esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!)

Yhtälöiden ratkaiseminen trigonometrisen ympyrän avulla.

Mukana on alkeislogiikka ja kyky käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö tiedä miten? Kuitenkin... Sinulla on vaikeuksia trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä...... Mikä se on?" ja "Kulmien mittaaminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)

Ai, tiedätkö!? Ja jopa hallinnut "Käytännön työskentelyn trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on se trigonometrinen ympyrä sillä ei ole väliä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. On vain yksi ratkaisuperiaate.

Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:

cosx = 0,5

Meidän on löydettävä X. Ihmiskielellä puhuminen tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käytimme piiriä aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti näin tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirretään ympyrään kosini, joka on 0,5 ja heti katsotaan kulma. Jäljelle jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!

Piirrä ympyrä ja merkitse kosini 0,5. Tietysti kosiniakselilla. Kuten tämä:

Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletillasi) ja tulet näkemään juuri tämä nurkka X.

Minkä kulman kosini on 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Jotkut nauravat skeptisesti, kyllä... Kuten, kannattiko tehdä ympyrän, kun kaikki on jo selvää... Voit tietysti nauraa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että tässä on koko joukko kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5.

Jos käännät liikkuvan puolen OA täysi kierros, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini - ei. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska

Tällaisia ​​täydellisiä kierroksia voidaan tehdä ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki on kirjoitettava jotenkin vastauksena. Kaikki. Muuten päätöstä ei lasketa, kyllä...)

Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko päätökset. Tältä se näyttää yhtälössämme:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Minä tulkitsen sen. Kirjoita silti mielekkäästi Se on mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)

π /3 - Tämä on sama kulma kuin me näin ympyrässä ja päättänyt kosinitaulukon mukaan.

2π on yksi täydellinen vallankumous radiaaneissa.

n - tämä on kokonaisten lukumäärä, ts. koko rpm On selvää että n voi olla yhtä suuri kuin 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Kuten lyhyt merkintä osoittaa:

n ∈ Z

n kuuluu ( ∈ ) joukko kokonaislukuja ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voi hyvin käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä ikinä haluatkaan. Jos korvaat tämän luvun vastauksessa, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)

Tai toisin sanoen x = π /3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että π /3:een lisätään mikä tahansa määrä täydet kierrokset ( n ) radiaaneina. Nuo. 2πn radiaani.

Kaikki? Ei. Pidentän mielihyvää tarkoituksella. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan näin:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ei vain yksi juuri, vaan koko joukko juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.

Mutta on myös kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5!

Palataan kuvaamme, josta kirjoitimme vastauksen. Tässä hän on:

Vie hiiri kuvan päälle ja me näemme toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mihin se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Hän yhtä suuri kuin kulma X , viivästyy vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:

x 2 = - π /3

No, tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki.) Trigonometrisellä ympyrällä me näin(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja kirjoitin nämä näkökulmat lyhyesti muistiin matemaattinen muoto. Vastaus johti kahteen äärettömään sarjaan juuria:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on oikea vastaus.

Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän käyttö on selvää. Merkitsemme ympyrään kosinin (sini, tangentti, kotangentti). annettu yhtälö, piirrä vastaavat kulmat ja kirjoita vastaus muistiin. Tietenkin meidän on selvitettävä, mitä kulmia olemme näin ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. No, sanoin, että tässä tarvitaan logiikkaa.)

Katsotaanpa esimerkiksi toista trigonometristä yhtälöä:

Ota huomioon, että luku 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kaikki tätä siniä vastaavat kulmat kerralla. Saamme tämän kuvan:

Käsitellään ensin kulmaa X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Se on yksinkertainen asia:

x = π /6

Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puolet työstä on tehty. Mutta nyt meidän on päätettävä toinen kulma... Se on hankalampaa kuin kosinusten käyttäminen, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Kyllä helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman oikein mitattuna positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.

Viemme kursorin piirustuksen päälle ja näemme kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:

π - x

X tiedämme tämän π /6 . Siksi toinen kulma on:

π - π /6 = 5π /6

Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentti- ja kotangenttiyhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Jos tietysti osaat piirtää tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään.

Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Nuo. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää on pakko. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)

Joten sanotaan, että meidän on ratkaistava tämä trigonometrinen yhtälö:

Lyhyissä taulukoissa ei ole tällaista kosiniarvoa. Jätämme kylmästi huomiotta tämän kauhean tosiasian. Piirrä ympyrä, merkitse 2/3 kosiniakselille ja piirrä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Katsotaanpa ensin ensimmäisen neljänneksen kulmaa. Jos vain tietäisimme, mikä x on yhtä suuri, kirjoittaisimme vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhoittaa! Matematiikka ei jätä omaa kansaansa pulaan! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin luulet. Tässä linkissä ei ole ainuttakaan hankalaa loitsua "käänteistrigonometrisista funktioista"... Tämä on tarpeetonta tässä aiheessa.

Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti kaarikosinin määritelmän perusteella, voimme kirjoittaa:

Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti ylös trigonometrisen yhtälömme juuret:

x 1 = kaari 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Toisen kulman toinen juurisarja kirjoitetaan lähes automaattisesti. Kaikki on sama, vain X (arccos 2/3) on miinuksella:

x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja siinä se! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Mitään ei tarvitse muistaa.) Muuten tarkkaavaisimmat huomaavat, että tämä kuva näyttää ratkaisun kaarikosinin kautta pohjimmiltaan ei eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.

Tarkalleen! Yleinen käytäntö Siksi se on yleistä! Piirsin tarkoituksella kaksi lähes identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Onko se taulukon kosini vai ei, on kaikille tuntematon. Millainen kulma tämä on, π /3 tai mikä kaarikosini on - se on meidän päätettävissämme.

Sama kappale sinin kanssa. Esimerkiksi:

Piirrä uudelleen ympyrä, merkitse sini yhtä suuri kuin 1/3, piirrä kulmat. Tämä on kuva, jonka saamme:

Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on X, jos sen sini on 1/3? Ei ongelmaa!

Nyt on ensimmäinen juuripakkaus valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Käsitellään toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:

π - x

Sama tulee olemaan täälläkin! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit turvallisesti kirjoittaa muistiin toisen juuripaketin:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta se on selvä, toivottavasti.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan ​​yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman vaikeampia kuin tavalliset.

Sovelletaanko tietoa käytännössä?)

Ratkaise trigonometriset yhtälöt:

Ensinnäkin yksinkertaisempaa, suoraan tästä oppitunnista.

Nyt se on monimutkaisempaa.

Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ne ovat ulkoisesti yksinkertaisia... Niitä kutsutaan myös erikoistapauksiksi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)

No, hyvin yksinkertaista):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mitä arcsiini ja arkosiini ovat? Mikä on arctangentti, arkotangentti? Eniten yksinkertaiset määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukon arvoja!)

Vastaukset ovat tietysti sotkuisia):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(on niin vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometria on kuin tien ylittämistä sidottuina. Joskus se toimii.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen päättyy lopulta yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Ja tässä paras apulainen jälleen se osoittautuu trigonometriseksi ympyräksi.

Muistetaanpa kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abskissa (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyn kulman läpi.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatti (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyn kulman läpi.

Trigonometrisen ympyrän positiivinen liikesuunta on vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä, jonka koordinaatit (1;0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö täyttyy kaikilla kiertokulman arvoilla, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatit ovat yhtä suuria kuin .

Merkitään piste ordinaatilla ordinaatta-akselille:

Piirrä x-akselin suuntainen vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinatta. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia yksiköissä ja radiaaneissa:

Jos jätämme pisteen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti, kiertämme täyden ympyrän, niin pääsemme pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti ja jolla on sama ordinaatta. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme palataen samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulma-arvot täyttävät yhtälömme. Tyhjäkäyntien lukumäärä merkitään kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä käännökset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai) voimme saada minkä tahansa kokonaisluvun.

Eli alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

, , - joukko kokonaislukuja (1)

Vastaavasti toisella ratkaisusarjalla on muoto:

, Missä , . (2)

Kuten arvata saattaa, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa .

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi kohteeksi:

Jos otamme (eli jopa) tämän merkinnän, niin saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme (eli parittoman) tässä merkinnässä, saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan ​​nyt yhtälö

Koska tämä on kulman verran kiertämällä saadun yksikköympyrän pisteen abskissa, merkitsemme pisteen abskissalla akselille:

Piirrä pystysuora viiva, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on abskissa. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia in ja radiaaneina. Muista, että myötäpäivään liikuttaessa saamme negatiivisen kiertokulman:

Kirjataan kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Pääsemme haluttuun pisteeseen siirtymällä päätäydeltä ympyrältä, eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi merkinnäksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttiviiva kulkee yksikköympyrän pisteen, jonka koordinaatit (1,0) on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa

Merkitään siihen piste, jonka ordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1 (etsiimme tangenttia, jonka kulmat on yhtä suuri kuin 1):

Yhdistetään tämä piste koordinaattien alkupisteeseen suoralla ja merkitään suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat pyörimiskulmia ja:

Koska yhtälömme täyttäviä kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien etäisyydellä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun seuraavasti:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitään piste abskissalla -1 kotangenttien riville:

Yhdistä tämä piste suoran alkupisteeseen ja jatka sitä, kunnes se leikkaa ympyrän. Tämä suora leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia in ja radiaaneja:

Koska nämä pisteet erotetaan toisistaan ​​etäisyydellä, joka on yhtä suuri, voimme kirjoittaa tämän yhtälön yleisratkaisun seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella on kuitenkin ei-taulukkoarvo, korvaamme arvon yhtälön yleisellä ratkaisulla:

ERIKOISRATKAISUT:

Merkitään pisteet ympyrään, jonka ordinaatit ovat 0:

Merkitään yksi piste ympyrään, jonka ordinaatti on 1:

Merkitään yksi piste ympyrään, jonka ordinaatit ovat yhtä suuria kuin -1:

Koska on tapana ilmoittaa lähimpänä nollaa olevat arvot, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Merkitään pisteet ympyrään, jonka abskissa on 0:

5.
Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on 1:

Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on -1:

Ja hieman monimutkaisempia esimerkkejä:

1.

Sini on yhtä suuri kuin yksi, jos argumentti on yhtä suuri

Sinin argumentti on yhtä suuri, joten saamme:

Jaetaan tasa-arvon molemmat puolet kolmella:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosinin argumentti on

Kosiniemme argumentti on yhtä suuri kuin , joten saamme:

Ilmaistaan ​​, tehdäksesi tämän siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaistetaan oikea puoli:

Jaa molemmat puolet -2:lla:

Huomaa, että termin edessä oleva etumerkki ei muutu, koska k voi saada minkä tahansa kokonaisluvun.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso videotunti "Juurien valinta trigonometrisessa yhtälössä trigonometrisen ympyrän avulla"

Tämä päättää keskustelumme yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensi kerralla puhumme siitä, miten päättää.

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murtoyhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun ongelman onnistuneen ratkaisemisen periaate on seuraava: sinun on määritettävä, minkä tyyppistä ongelmaa olet ratkaisemassa, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

On selvää, että onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Tilanne on erilainen kanssa trigonometriset yhtälöt. Ei ole ollenkaan vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "identtisiin funktioihin";
3. kerro yhtälön vasen puoli jne.

Harkitsemme perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2. Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva vaihto

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Vähennä yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2. Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3. Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4. Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2, ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella kaavalla asteen pienentämiseksi:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttämällä menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tan x:n yhtälö:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 tai t = -4, mikä tarkoittaa

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikkia mahdollisia trigonometrisiä kaavoja, vähennä tämä yhtälö yhtälöksi, joka ratkaistaan ​​menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x = π/4 + πn/2, n ЄZ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taito ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä on erittäin hyvä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavaa panosta sekä opiskelijalta että opettajalta.

Monet stereometrian, fysiikan jne. ongelmat liittyvät trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun. Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää monia tietoja ja taitoja, jotka hankitaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan oppimisprosessissa ja henkilökohtaisessa kehityksessä yleensä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.