Neliöyhtälö juurien mukaan. Neliöyhtälöiden määritelmä ja esimerkkejä. Kuinka ratkaista täydellinen toisen asteen yhtälö

Myös toisen asteen yhtälön ongelmia tutkitaan koulun opetussuunnitelma ja yliopistoissa. Niillä tarkoitamme yhtälöitä, jotka ovat muotoa a*x^2 + b*x + c = 0, missä x- muuttuja, a, b, c – vakiot; a<>0 . Tehtävänä on löytää yhtälön juuret.

Toisen yhtälön geometrinen merkitys

Toisen yhtälön esittämän funktion kuvaaja on paraabeli. Neliöyhtälön ratkaisut (juuret) ovat paraabelin ja abskissa (x) -akselin leikkauspisteitä. Tästä seuraa, että mahdollisia tapauksia on kolme:
1) paraabelilla ei ole leikkauspisteitä abskissa-akselin kanssa. Tämä tarkoittaa, että se on ylätasossa oksat ylöspäin tai alaosassa oksat alaspäin. Tällaisissa tapauksissa toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria (sillä on kaksi monimutkaista juuria).

2) paraabelilla on yksi leikkauspiste Ox-akselin kanssa. Tällaista pistettä kutsutaan paraabelin kärjeksi, ja siinä oleva toisen asteen yhtälö saa minimi- tai maksimiarvonsa. Tässä tapauksessa toisen asteen yhtälöllä on yksi todellinen juuri (tai kaksi identtistä juuria).

3) Viimeinen tapaus on käytännössä mielenkiintoisempi - paraabelilla on kaksi leikkauspistettä abskissa-akselin kanssa. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi todellista juurta.

Muuttujien potenssien kertoimien analyysin perusteella voidaan tehdä mielenkiintoisia johtopäätöksiä paraabelin sijoituksesta.

1) Jos kerroin a on suurempi kuin nolla, paraabelin haarat suunnataan ylöspäin, jos se on negatiivinen, paraabelin haarat suunnataan alaspäin.

2) Jos kerroin b on suurempi kuin nolla, niin paraabelin kärki sijaitsee vasemmalla puolitasolla, jos se saa negatiivisen arvon, niin oikealla.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi

Siirretään vakio toisen asteen yhtälöstä

yhtäläisyysmerkille saamme lausekkeen

Kerro molemmat puolet 4a:lla

Saadaksesi täydellinen neliö vasemmalle lisäämällä b^2 molemmille puolille ja suorittamalla muunnos

Täältä löydämme

Kaava toisen asteen yhtälön diskriminantille ja juurelle

Diskriminantti on radikaalilausekkeen arvo. Jos se on positiivinen, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta, jotka lasketaan kaavalla Kun erottaja on nolla, yhtälöllä on yksi ratkaisu (kaksi yhtäläistä juuria), joka saadaan helposti yllä olevasta kaavasta D=0:lle. Kuitenkin toisen asteen yhtälön ratkaisut löytyvät kompleksitasosta ja niiden arvo lasketaan kaavalla

Vietan lause

Tarkastellaan toisen asteen yhtälön kahta juuria ja rakennetaan niiden perusteella itse Vietan lause: jos meillä on muodon toisen asteen yhtälö. silloin sen juurten summa on yhtä suuri kuin kerroin p, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja yhtälön juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi q. Yllä olevan kaavaesitys näyttää tältä: Jos klassisessa yhtälössä vakio a on nollasta poikkeava, sinun on jaettava koko yhtälö sillä ja sitten sovelletaan Vietan lausetta.

Factoring toisen asteen yhtälön aikataulu

Tehdään tehtävä: kerrotaan toisen asteen yhtälö. Tätä varten ratkaisemme ensin yhtälön (etsi juuret). Seuraavaksi korvaamme löydetyt juuret toisen asteen yhtälön laajennuskaavassa. Tämä ratkaisee ongelman.

Neliöyhtälön ongelmat

Tehtävä 1. Etsi toisen asteen yhtälön juuret

x^2-26x+120=0 .

Ratkaisu: Kirjoita kertoimet muistiin ja korvaa ne erottelukaavalla

Juuri annettu arvo on yhtä suuri kuin 14, se on helppo löytää laskimella tai muistaa säännöllisellä käytöllä, mutta mukavuuden vuoksi annan sinulle artikkelin lopussa luettelon numeroneliöistä, joita voidaan usein kohdata tällaisissa ongelmissa.
Korvaamme löydetyn arvon juurikaavaan

ja saamme

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö

2x 2 +x-3 = 0.

Ratkaisu: Meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö, kirjoita kertoimet ja löydä diskriminantti


Tunnettujen kaavojen avulla löydämme toisen asteen yhtälön juuret

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö

9x2 -12x+4=0.

Ratkaisu: Meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö. Diskriminantin määrittäminen

Meillä on tapaus, jossa juuret ovat samat. Etsi juurien arvot kaavan avulla

Tehtävä 4. Ratkaise yhtälö

x^2+x-6=0 .

Ratkaisu: Tapauksissa, joissa x:n kertoimet ovat pienet, on suositeltavaa soveltaa Vietan lausetta. Sen ehdolla saamme kaksi yhtälöä

Toisesta ehdosta huomaamme, että tuotteen on oltava yhtä suuri kuin -6. Tämä tarkoittaa, että yksi juurista on negatiivinen. Meillä on seuraavat mahdolliset ratkaisuparit (-3;2), (3;-2) . Kun otetaan huomioon ensimmäinen ehto, hylkäämme toisen ratkaisuparin.
Yhtälön juuret ovat yhtä suuret

Tehtävä 5. Laske suorakulmion sivujen pituudet, jos sen ympärysmitta on 18 cm ja pinta-ala 77 cm 2.

Ratkaisu: Puolet suorakulmion kehästä on yhtä suuri kuin summa naapuripuolueet. Merkitään x isommaksi sivuksi, jolloin 18-x on sen pienempi sivu. Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden pituuksien tulo:
x(18-x) = 77;
tai
x 2 -18x+77=0.
Etsitään yhtälön diskriminantti

Yhtälön juurten laskeminen

Jos x=11, Että 18's = 7 , päinvastoin on myös totta (jos x=7, niin 21s=9).

Tehtävä 6. Kerroin toisen asteen yhtälölle 10x 2 -11x+3=0.

Ratkaisu: Lasketaan yhtälön juuret, tätä varten löydämme diskriminantin

Korvaamme löydetyn arvon juurikaavaan ja laskemme

Käytämme kaavaa toisen asteen yhtälön hajottamiseksi juurilla

Avaamalla sulut saamme identiteetin.

Neliöyhtälö parametrin kanssa

Esimerkki 1. Millä parametriarvoilla A , onko yhtälöllä (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 yksi juuri?

Ratkaisu: Korvaamalla suoraan arvon a=3 näemme, että sillä ei ole ratkaisua. Seuraavaksi käytämme sitä tosiasiaa, että nolladiskriminantilla yhtälöllä on yksi monikertaisyyden 2 juuri. Kirjoitetaan eroava tekijä

Yksinkertaistetaan se ja rinnastetaan se nollaan

Olemme saaneet parametrin a suhteen toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisu saadaan helposti Vietan lauseella. Juurien summa on 7 ja niiden tulo on 12. Yksinkertaisella haulla todetaan, että luvut 3,4 ovat yhtälön juuret. Koska hylkäsimme ratkaisun a=3 jo laskelmien alussa, ainoa oikea on - a = 4. Siten, kun a=4 yhtälöllä on yksi juuri.

Esimerkki 2. Millä parametriarvoilla A , yhtälö a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 onko enemmän kuin yksi juuri?

Ratkaisu: Tarkastellaan ensin singulaaripisteitä, ne ovat arvot a=0 ja a=-3. Kun a=0, yhtälö yksinkertaistuu muotoon 6x-9=0; x=3/2 ja siellä on yksi juuri. Kohdalle a= -3 saadaan identiteetti 0=0.
Lasketaan diskriminantti

ja löydä a:n arvo, jolla se on positiivinen

Ensimmäisestä ehdosta saamme a>3. Toiselle löydämme yhtälön diskriminantin ja juuret


Määritetään funktion aikavälit positiiviset arvot. Korvaamalla pisteen a=0 saamme 3>0 . Eli välin (-3;1/3) ulkopuolella funktio on negatiivinen. Älä unohda pointtia a=0, joka tulisi jättää pois, koska alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri.
Tuloksena saadaan kaksi aikaväliä, jotka täyttävät ongelman ehdot

Käytännössä tulee olemaan monia vastaavia tehtäviä, yritä selvittää tehtävät itse ja älä unohda ottaa huomioon ehtoja, jotka sulkevat toisensa pois. Opiskele hyvin toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavoja, joita tarvitaan usein laskelmissa erilaisissa tehtävissä ja tieteissä.

SISÄÄN moderni yhteiskunta kyky suorittaa operaatioita yhtälöillä, jotka sisältävät muuttujan neliön, voi olla hyödyllinen monilla toiminta-alueilla ja sitä käytetään laajasti käytännössä tieteellisessä ja tekninen kehitys. Tästä on todisteita meri- ja jokialusten, lentokoneiden ja rakettien suunnittelusta. Tällaisten laskelmien avulla määritetään monenlaisten kappaleiden, mukaan lukien avaruusobjektien, liikeradat. Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta käytetään paitsi taloudellisessa ennustamisessa, rakennusten suunnittelussa ja rakentamisessa, myös tavallisimmissa arjen olosuhteissa. Niitä voidaan tarvita vaellusmatkoilla, urheilutapahtumissa, kaupoissa ostoksia tehdessä ja muissa hyvin yleisissä tilanteissa.

Jaetaan lauseke sen komponenttitekijöihin

Yhtälön aste määräytyy lausekkeen sisältämän muuttujan asteen maksimiarvon mukaan. Jos se on yhtä suuri kuin 2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi.

Jos puhumme kaavojen kielellä, osoitetut lausekkeet, riippumatta siitä, miltä ne näyttävät, voidaan aina tuoda muotoon, kun lausekkeen vasen puoli koostuu kolmesta termistä. Niiden joukossa: ax 2 (eli muuttuja neliöity sen kertoimella), bx (tuntematon ilman neliötä kertoimella) ja c (vapaa komponentti, eli tavallinen luku). Kaikki tämä oikealla puolella on yhtä kuin 0. Siinä tapauksessa, että tällaisesta polynomista puuttuu jokin sen muodostavista ehdoista, lukuun ottamatta akselia 2, sitä kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi. Esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisusta, joiden muuttujien arvot on helppo löytää, tulisi harkita ensin.

Jos lauseke näyttää siltä, ​​että oikeanpuoleisessa lausekkeessa on kaksi termiä, tarkemmin sanottuna ax 2 ja bx, helpoin tapa löytää x on sijoittaa muuttuja hakasulkeisiin. Nyt yhtälömme näyttää tältä: x(ax+b). Seuraavaksi käy ilmi, että joko x=0 tai ongelma johtuu muuttujan löytämisestä seuraavasta lausekkeesta: ax+b=0. Tämän sanelee yksi kertolaskujen ominaisuuksista. Sääntö sanoo, että kahden tekijän tulo on 0 vain, jos toinen niistä on nolla.

Esimerkki

x = 0 tai 8x - 3 = 0

Tuloksena saadaan kaksi yhtälön juuria: 0 ja 0,375.

Tällaisilla yhtälöillä voidaan kuvata painovoiman vaikutuksesta olevien kappaleiden liikettä, joka alkoi liikkua tietystä koordinaattien origoksi otetusta pisteestä. Tässä matemaattinen merkintä on seuraavassa muodossa: y = v 0 t + gt 2 /2. Korvaamalla tarvittavat arvot, rinnastamalla oikean puolen nollaan ja etsimällä mahdollisia tuntemattomia saat selville ajan, joka kuluu kehon nousuhetkestä putoamiseen, sekä monia muita suureita. Mutta puhumme tästä myöhemmin.

Ilmaisun faktorointi

Yllä kuvattu sääntö mahdollistaa näiden ongelmien ratkaisemisen laajemmin vaikeita tapauksia. Katsotaanpa esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tämä neliöllinen trinomi on valmis. Ensin muutetaan lauseke ja kerrotaan se. Niitä on kaksi: (x-8) ja (x-25) = 0. Tämän seurauksena meillä on kaksi juuria 8 ja 25.

Esimerkit toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta arvosanalla 9 sallivat tämän menetelmän löytää muuttujan lausekkeista, jotka eivät ole vain toisen, vaan jopa kolmannen ja neljännen kertaluvun lausekkeita.

Esimerkiksi: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kun lasketaan oikea puoli tekijöiksi muuttujan kanssa, niitä on kolme, eli (x+1), (x-3) ja (x+) 3).

Seurauksena on, että se käy selväksi annettu yhtälö on kolme juurta: -3; -1; 3.

Neliöjuuri

Toinen epätäydellisen toisen kertaluvun yhtälön tapaus on lauseke, joka esitetään kirjainten kielellä siten, että oikea puoli muodostetaan komponenteista ax 2 ja c. Tässä muuttujan arvon saamiseksi vapaa termi siirretään kohtaan oikea puoli, ja sen jälkeen poimimme tasa-arvon molemmilta puolilta Neliöjuuri. On huomattava, että tässä tapauksessa yhtälöllä on yleensä kaksi juuria. Ainoat poikkeukset voivat olla yhtäläisyydet, jotka eivät sisällä lainkaan termiä kanssa, joissa muuttuja on yhtä suuri kuin nolla, sekä lausekkeiden muunnelmat, kun oikea puoli on negatiivinen. Jälkimmäisessä tapauksessa ratkaisuja ei ole ollenkaan, koska yllä olevia toimintoja ei voida suorittaa juurilla. Esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisuista tulee harkita.

Tässä tapauksessa yhtälön juuret ovat numerot -4 ja 4.

Maa-alueen laskeminen

Tällaisten laskelmien tarve ilmaantui muinaisina aikoina, koska matematiikan kehitys oli pitkälti niissä kaukaisia ​​aikoja johtui tarpeesta määrittää suurimmalla tarkkuudella tonttien pinta-alat ja ympärysmitat.

Meidän tulisi myös harkita esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta tällaisten ongelmien pohjalta.

Oletetaan siis, että on suorakaiteen muotoinen tontti, jonka pituus on 16 metriä suurempi kuin leveys. Selvitä tontin pituus, leveys ja ympärysmitta, jos tiedät, että sen pinta-ala on 612 m2.

Aloita luomalla ensin tarvittava yhtälö. Merkitään x:llä alueen leveys, jolloin sen pituus on (x+16). Kirjoitetuista seuraa, että alueen määrää lauseke x(x+16), joka ongelmamme ehtojen mukaan on 612. Tämä tarkoittaa, että x(x+16) = 612.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen, ja tämä lauseke on juuri sitä, ei voi tehdä samalla tavalla. Miksi? Vaikka vasemmalla puolella on edelleen kaksi tekijää, niiden tulo ei ole ollenkaan 0, joten tässä käytetään erilaisia ​​menetelmiä.

Syrjivä

Ensin tehdään sitten tarvittavat muutokset ulkomuoto Tämän lausekkeen lauseke näyttää tältä: x 2 + 16x - 612 = 0. Tämä tarkoittaa, että olemme saaneet lausekkeen aiemmin määritettyä standardia vastaavassa muodossa, jossa a=1, b=16, c=-612.

Tämä voisi olla esimerkki toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta erottimen avulla. Tässä tarvittavat laskelmat valmistetaan kaavion mukaisesti: D = b 2 - 4ac. Tämä apusuure ei ainoastaan ​​mahdollista tarvittavien määrien löytämistä toisen kertaluvun yhtälöstä, vaan se määrittää mahdollisten vaihtoehtojen määrän. Jos D>0, niitä on kaksi; kun D=0 on yksi juuri. Tapauksessa D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tietoja juurista ja niiden kaavasta

Meidän tapauksessamme diskriminantti on yhtä suuri kuin: 256 - 4(-612) = 2704. Tämä viittaa siihen, että ongelmallamme on vastaus. Jos tiedät k:n, on toisen asteen yhtälöiden ratkaisua jatkettava alla olevalla kaavalla. Sen avulla voit laskea juuret.

Tämä tarkoittaa, että esitetyssä tapauksessa: x 1 =18, x 2 =-34. Toinen vaihtoehto tässä dilemmassa ei voi olla ratkaisu, koska tontin mittoja ei voida mitata negatiivisina suureina, mikä tarkoittaa, että x (eli tontin leveys) on 18 m Tästä lasketaan pituus: 18 +16=34 ja ympärysmitta 2(34+ 18)=104(m2).

Esimerkkejä ja tehtäviä

Jatkamme toisen asteen yhtälöiden tutkimista. Esimerkkejä ja yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja useista niistä annetaan alla.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Siirretään kaikki yhtälön vasemmalle puolelle, tehdään muunnos, eli saamme sen tyyppisen yhtälön, jota yleensä kutsutaan standardiksi, ja rinnastetaan se nollaan.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Lisäämällä samanlaiset, määritämme diskriminantin: D = 49 - 48 = 1. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllämme on kaksi juuria. Lasketaan ne yllä olevan kaavan mukaan, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen niistä on 4/3 ja toinen 1.

2) Ratkaistaan ​​nyt toisenlaisia ​​mysteereitä.

Selvitetään onko tässä juuria x 2 - 4x + 5 = 1? Kattavan vastauksen saamiseksi pelkistetään polynomi vastaavaan tavanomaiseen muotoon ja lasketaan diskriminantti. Yllä olevassa esimerkissä toisen asteen yhtälöä ei tarvitse ratkaista, koska tämä ei ole ongelman ydin. Tässä tapauksessa D = 16 - 20 = -4, mikä tarkoittaa, että juuria ei todellakaan ole.

Vietan lause

Toisen asteen yhtälöt On kätevää ratkaista yllä olevien kaavojen ja diskriminantin avulla, kun neliöjuuri otetaan jälkimmäisen arvosta. Mutta näin ei aina tapahdu. Tässä tapauksessa on kuitenkin monia tapoja saada muuttujien arvot. Esimerkki: toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen Vietan lauseen avulla. Hän on nimetty sen mukaan, joka asui 1500-luvulla Ranskassa ja teki loistavan uran matemaattisten kykyjensä ja hoviyhteyksiensä ansiosta. Hänen muotokuvansa on nähtävissä artikkelissa.

Malli, jonka kuuluisa ranskalainen huomasi, oli seuraava. Hän osoitti, että yhtälön juuret laskevat numeerisesti yhteen -p=b/a ja niiden tulo vastaa q=c/a.

Katsotaan nyt tiettyjä tehtäviä.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Muunnetaan lauseke yksinkertaisuuden vuoksi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Käytetään Vietan lausetta, joka antaa meille seuraavan: juurien summa on -7 ja niiden tulo on -18. Tästä saadaan, että yhtälön juuret ovat luvut -9 ja 2. Tarkistuksen jälkeen varmistetaan, että nämä muuttujien arvot todella sopivat lausekkeeseen.

Paraabelikuvaaja ja yhtälö

Neliöfunktion ja asteen yhtälöiden käsitteet liittyvät läheisesti toisiinsa. Esimerkkejä tästä on annettu jo aiemmin. Katsotaanpa nyt joitain matemaattisia arvoituksia hieman yksityiskohtaisemmin. Mikä tahansa kuvatun tyyppinen yhtälö voidaan esittää visuaalisesti. Tällaista kaaviona piirrettyä suhdetta kutsutaan paraabeliksi. Sen eri tyypit on esitetty alla olevassa kuvassa.

Jokaisella paraabelilla on kärkipiste, eli piste, josta sen haarat tulevat esiin. Jos a>0, ne menevät korkealta äärettömään, ja kun a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktioiden visuaaliset esitykset auttavat ratkaisemaan kaikki yhtälöt, myös neliölliset. Tätä menetelmää kutsutaan graafiseksi. Ja x-muuttujan arvo on abskissa-koordinaatti pisteissä, joissa kuvaajaviiva leikkaa 0x:n. Huippupisteen koordinaatit löytyvät juuri annetun kaavan avulla x 0 = -b/2a. Ja korvaamalla tuloksena olevan arvon funktion alkuperäiseen yhtälöön, saat selville y 0, eli paraabelin kärjen toisen koordinaatin, joka kuuluu ordinaatta-akseliin.

Paraabelin haarojen leikkaus abskissa-akselin kanssa

On olemassa paljon esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta, mutta on myös yleisiä malleja. Katsotaanpa niitä. On selvää, että kaavion leikkaus 0x-akselin kanssa a>0:lle on mahdollista vain, jos y 0 negatiiviset arvot. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muuten D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Paraabelin kaaviosta voit myös määrittää juuret. Myös päinvastoin on totta. Eli jos toisen asteen funktion visuaalista esitystä ei ole helppo saada, voit rinnastaa lausekkeen oikean puolen 0:aan ja ratkaista tuloksena olevan yhtälön. Ja kun tiedät leikkauspisteet 0x-akselin kanssa, on helpompi rakentaa kuvaaja.

Historiasta

Neliön muuttujan sisältävien yhtälöiden avulla ennen vanhaan ei tehty vain matemaattisia laskelmia ja määritetty geometristen kuvioiden pinta-alat. Muinaiset tarvitsivat tällaisia ​​laskelmia suuria löytöjä varten fysiikan ja tähtitieteen aloilla sekä astrologisten ennusteiden tekemiseen.

Kuten nykyajan tiedemiehet ehdottavat, Babylonin asukkaat olivat ensimmäisten joukossa, jotka ratkaisivat toisen asteen yhtälöitä. Tämä tapahtui neljä vuosisataa ennen aikakauttamme. Tietenkin heidän laskelmansa poikkesivat radikaalisti nykyisistä hyväksytyistä ja osoittautuivat paljon primitiivisemmiksi. Esimerkiksi Mesopotamian matemaatikoilla ei ollut aavistustakaan negatiivisten lukujen olemassaolosta. He eivät myöskään tunteneet muita hienouksia, jotka jokainen moderni koululainen tietää.

Ehkä jopa aikaisemmin kuin Babylonin tiedemiehet, intialainen viisas Baudhayama alkoi ratkaista toisen asteen yhtälöitä. Tämä tapahtui noin kahdeksan vuosisataa ennen Kristuksen aikakautta. Tosin toisen kertaluvun yhtälöt, hänen esittämänsä ratkaisumenetelmät, olivat yksinkertaisimpia. Hänen lisäksi kiinalaiset matemaatikot olivat entisaikaan kiinnostuneita vastaavista kysymyksistä. Euroopassa neliöyhtälöitä alettiin ratkaista vasta 1200-luvun alussa, mutta myöhemmin niitä käyttivät töissään sellaiset suuret tiedemiehet kuin Newton, Descartes ja monet muut.

", eli ensimmäisen asteen yhtälöt. Tällä oppitunnilla tarkastelemme mitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi ja miten se ratkaistaan.

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Tärkeä!

Yhtälön asteen määrää tuntemattoman korkein aste.

Jos suurin teho, jossa tuntematon on "2", sinulla on toisen asteen yhtälö.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Tärkeä! Neliöyhtälön yleinen muoto näyttää tältä:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ja "c" on annettu numeroita.

• "a" on ensimmäinen tai suurin kerroin;
• "b" on toinen kerroin;
• "c" on vapaa termi.

Löytääksesi "a", "b" ja "c", sinun on verrattava yhtälöäsi toisen asteen yhtälön yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0".

Harjoitellaan kertoimien "a", "b" ja "c" määrittämistä toisen asteen yhtälöissä.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Yhtälö	Kertoimet
a = 5 b = -14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä

Toisin kuin lineaariset yhtälöt, toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään erityistä menetelmää. kaava juurien löytämiseksi.

Muistaa!

Neliöyhtälön ratkaisemiseksi tarvitset:

• tuo toisen asteen yhtälö yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0". Toisin sanoen vain "0" saa jäädä oikealle puolelle;
• käytä kaavaa juurille:

Katsotaanpa esimerkkiä, kuinka kaavaa käytetään toisen asteen yhtälön juurten löytämiseen. Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö.

X 2 − 3x − 4 = 0

Yhtälö “x 2 − 3x − 4 = 0” on jo pelkistetty yleismuotoon “ax 2 + bx + c = 0”, eikä se vaadi lisäyksinkertaistuksia. Sen ratkaisemiseksi meidän tarvitsee vain hakea kaava toisen asteen yhtälön juurten löytämiseksi.

Määritetään kertoimet "a", "b" ja "c" tälle yhtälölle.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Sitä voidaan käyttää minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Kaavassa “x 1;2 = ” radikaalilauseke korvataan usein
"b 2 − 4ac" tarkoittaa kirjainta "D", ja sitä kutsutaan diskriminantiksi. Syrjinnän käsitettä käsitellään tarkemmin oppitunnilla ”Mikä on syrjintä”.

Katsotaanpa toista esimerkkiä toisen asteen yhtälöstä.

x 2 + 9 + x = 7x

Tässä muodossa kertoimia "a", "b" ja "c" on melko vaikea määrittää. Pelkistetään ensin yhtälö yleiseen muotoon “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nyt voit käyttää kaavaa juurille.

X 1; 2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Vastaus: x = 3

On aikoja, jolloin toisen asteen yhtälöillä ei ole juuria. Tämä tilanne tapahtuu, kun kaava sisältää negatiivisen luvun juuren alla.

Neliöyhtälöitä tutkitaan 8. luokalla, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on ehdottoman välttämätöntä.

Neliöyhtälö on muotoa ax 2 + bx + c = 0 oleva yhtälö, jossa kertoimet a, b ja c ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkit tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaa, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. Heillä ei ole juuria;
2. On täsmälleen yksi juuri;
3. Onko kaksi erilaisia ​​juuria.

Tämä on tärkeä ero toisen asteen yhtälöiden ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac.

Sinun on tiedettävä tämä kaava ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D > 0, on kaksi juuria.

Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet uskovat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:

Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Kirjoitetaan ensimmäisen yhtälön kertoimet ja etsitään diskriminantti:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juuria. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Viimeinen jäljellä oleva yhtälö on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantti on nolla - juuri on yksi.

Huomaa, että kertoimet on kirjoitettu jokaiselle yhtälölle. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää, mutta et sekoittele todennäköisyyksiä ja tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.

Muuten, jos ymmärrät sen, sinun ei tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia hetken kuluttua. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.

Toisen yhtälön juuret

Siirrytään nyt itse ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tiedät kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu korvattaessa kaavaan negatiiviset kertoimet. Tässäkin yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, kirjoita jokainen vaihe ylös - ja pian pääset eroon virheistä.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on hieman erilainen kuin määritelmässä. Esimerkiksi:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

On helppo huomata, että näistä yhtälöistä puuttuu yksi termeistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpommin ratkaistavissa kuin tavalliset: ne eivät edes vaadi diskriminantin laskemista. Esittelemme siis uuden konseptin:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.

Tietysti erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b = c = 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa ax 2 = 0. On selvää, että sellaisella yhtälöllä on yksi juuri: x = 0.

Tarkastellaanpa loput tapaukset. Olkoon b = 0, niin saadaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisella luvulla, viimeinen yhtälö on järkevä vain, jos (−c /a) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätäydellisessä toisen asteen yhtälössä muotoa ax 2 + c = 0 epäyhtälö (−c /a) ≥ 0 täyttyy, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (-c /a)< 0, корней нет.

Kuten näette, diskriminanttia ei vaadittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c /a) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​arvo x 2 ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos se on negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.

Katsotaan nyt yhtälöitä muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, kun kerrotaan polynomi:

Yhteisen tekijän poistaminen suluista

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi tarkastellaan muutamia näistä yhtälöistä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Yhtälöiden ratkaiseminen matematiikassa on erityisen tärkeä paikka. Tätä prosessia edeltää useiden tuntien teoriaopiskelu, jonka aikana opiskelija oppii ratkaisemaan yhtälöitä, määrittämään niiden tyypin ja tuomaan taidon täydelliseen automaatioon. Juurien etsiminen ei kuitenkaan aina ole järkevää, koska niitä ei välttämättä ole olemassa. On olemassa erityisiä tekniikoita juurien löytämiseen. Tässä artikkelissa analysoimme pääfunktioita, niiden määrittelyalueita sekä tapauksia, joissa niiden juuret puuttuvat.

Millä yhtälöllä ei ole juuria?

Yhtälöllä ei ole juuria, jos ei ole olemassa todellisia argumentteja x, joille yhtälö on identtinen. Ei-asiantuntijalle tämä muotoilu, kuten useimmat matemaattiset lauseet ja kaavat, näyttää hyvin epämääräiseltä ja abstraktilta, mutta tämä on teoriassa. Käytännössä kaikki on erittäin yksinkertaista. Esimerkiksi: yhtälöllä 0 * x = -53 ei ole ratkaisua, koska ei ole olemassa lukua x, jonka tulo nollalla antaisi jotain muuta kuin nolla.

Nyt tarkastellaan yhtälöjen perustyyppejä.

1. Lineaarinen yhtälö

Yhtälöä kutsutaan lineaariseksi, jos sen oikea ja vasen puoli esitetään lineaarisina funktioina: ax + b = cx + d tai yleistetyssä muodossa kx + b = 0. Missä a, b, c, d - tunnetut numerot, ja x on tuntematon suure. Millä yhtälöllä ei ole juuria? Esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä on esitetty alla olevassa kuvassa.

Periaatteessa lineaariset yhtälöt ratkaistaan ​​yksinkertaisesti siirtämällä numeroosa yhteen osaan ja x:n sisältö toiseen. Tuloksena on yhtälö muotoa mx = n, jossa m ja n ovat lukuja ja x on tuntematon. Löytääksesi x, jaa molemmat puolet m:llä. Sitten x = n/m. Useimmilla lineaarisilla yhtälöillä on vain yksi juuri, mutta on tapauksia, joissa juuria on joko äärettömästi tai ei juuri ollenkaan. Kun m = 0 ja n = 0, yhtälö saa muotoa 0 * x = 0. Tällaisen yhtälön ratkaisu on ehdottomasti mikä tahansa luku.

Mutta millä yhtälöllä ei ole juuria?

Kun m = 0 ja n = 0, yhtälöllä ei ole juuria joukosta todellisia lukuja. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - näillä yhtälöillä ei ole juuria.

2. Neliöyhtälö

Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, kun a = 0. Yleisin ratkaisu on diskriminantin kautta. Kaava toisen asteen yhtälön diskriminantin löytämiseksi on: D = b 2 - 4 * a * c. Seuraavaksi on kaksi juuria x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Kun D > 0 yhtälöllä on kaksi juuria, kun D = 0 sillä on yksi juuri. Mutta millä toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria? Helpoin tapa tarkkailla toisen asteen yhtälön juurten lukumäärää on piirtää funktio, joka on paraabeli. Jos a > 0 oksat on suunnattu ylöspäin, jos a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Voit myös määrittää visuaalisesti juurien lukumäärän laskematta erottajaa. Tätä varten sinun on löydettävä paraabelin kärkipiste ja määritettävä, mihin suuntaan oksat on suunnattu. Huippupisteen x-koordinaatti voidaan määrittää kaavalla: x 0 = -b / 2a. Tässä tapauksessa kärjen y-koordinaatti löydetään yksinkertaisesti korvaamalla x 0 -arvo alkuperäiseen yhtälöön.

Neliöyhtälöllä x 2 - 8x + 72 = 0 ei ole juuria, koska sillä on negatiivinen diskriminantti D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Tämä tarkoittaa, että paraabeli ei kosketa x-akselia ja funktio ei koskaan saa arvoa 0, joten yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

3. Trigonometriset yhtälöt

Trigonometrisiä funktioita tarkastellaan trigonometrisellä ympyrällä, mutta ne voidaan esittää myös suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kahta pääasiallista trigonometriset funktiot ja niiden yhtälöt: sinx ja cosx. Koska nämä toiminnot muodostavat trigonometrinen ympyrä säteellä 1, |sinx| ja |cosx| ei voi olla suurempi kuin 1. Joten millä sinx-yhtälöllä ei ole juuria? Tarkastellaan alla olevassa kuvassa näkyvää sinx-funktion kuvaajaa.

Näemme, että funktio on symmetrinen ja sen toistojakso on 2pi. Tämän perusteella voidaan sanoa, että tämän funktion maksimiarvo voi olla 1 ja pienin -1. Esimerkiksi lausekkeella cosx = 5 ei ole juuria, koska sen itseisarvo on suurempi kuin yksi.

Tämä on yksinkertaisin esimerkki trigonometrisista yhtälöistä. Itse asiassa niiden ratkaiseminen voi viedä useita sivuja, joiden lopussa huomaat käyttäneeni väärää kaavaa ja sinun on aloitettava kaikki alusta. Joskus jopa kanssa oikea sijainti juuret, saatat unohtaa ottaa huomioon ODZ:n rajoitukset, minkä vuoksi vastauksessa näkyy ylimääräinen juuri tai väli ja koko vastaus tulee virheelliseksi. Siksi noudata tiukasti kaikkia rajoituksia, koska kaikki juuret eivät sovi tehtävän soveltamisalaan.

4. Yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmä on joukko yhtälöjä, jotka on yhdistetty kihara- tai hakasulkeilla. Kiharat sulut osoittavat, että kaikki yhtälöt ajetaan yhdessä. Eli jos ainakin yhdellä yhtälöistä ei ole juuria tai se on ristiriidassa toisen kanssa, koko järjestelmällä ei ole ratkaisua. Hakasulkeet osoittavat sanan "tai". Tämä tarkoittaa, että jos ainakin yhdellä järjestelmän yhtälöistä on ratkaisu, niin koko järjestelmällä on ratkaisu.

Järjestelmän c vastaus on yksittäisten yhtälöiden kaikkien juurien joukko. Ja järjestelmillä, joissa on kiharat henkselit, on vain yhteiset juuret. Yhtälöjärjestelmät voivat sisältää täysin erilaisia ​​​​funktioita, joten tällainen monimutkaisuus ei salli meidän heti sanoa, millä yhtälöllä ei ole juuria.

Löytyy ongelmakirjoista ja oppikirjoista eri tyyppejä yhtälöt: ne joilla on juuret ja ne joilla ei ole. Ensinnäkin, jos et löydä juuria, älä ajattele, että niitä ei ole ollenkaan. Ehkä teit virheen jossain, niin sinun on vain tarkistettava huolellisesti päätöksesi.

Tarkastelimme perusyhtälöitä ja niiden tyyppejä. Nyt voit kertoa millä yhtälöllä ei ole juuria. Useimmissa tapauksissa tämä ei ole vaikeaa. Menestyksen saavuttaminen yhtälöiden ratkaisemisessa vaatii vain huomiota ja keskittymistä. Harjoittele enemmän, se auttaa sinua navigoimaan materiaalissa paljon paremmin ja nopeammin.

Joten yhtälöllä ei ole juuria, jos:

• V lineaarinen yhtälö mx = n-arvo m = 0 ja n = 0;
• toisen asteen yhtälössä, jos diskriminantti on pienempi kuin nolla;
• V trigonometrinen yhtälö muotoa cosx = m / sinx = n, jos |m| > 0, |n| > 0;
• yhtälöjärjestelmässä, jossa on kiharat hakasulkeet, jos vähintään yhdellä yhtälöllä ei ole juuria, ja hakasulkeilla, jos kaikilla yhtälöillä ei ole juuria.