Mikä on kaksoisintegraalin määritelmä. Kaksoisintegraali. Perusmääritelmät ja ominaisuudet. Integroinnin rajojen asettaminen
Kaksoisintegraalin käsitteeseen johtava ongelma Kaksoisintegraalin määritelmä Kaksoisintegraalin perusominaisuudet Tasaisen alueen pinta-ala Kaksoisintegraalin pelkistäminen toistuvaksi integraaliksi Muuttujien muutos kaksoisintegraalissa Pinta-ala-alkio kaarevissa koordinaateissa Jacobian ja sen geometrinen merkitys Kaava muuttujien muutoksille kaksoisintegraalissa Kaksoisintegraali napakoordinaateissa
Ongelma, joka johtaa kaksoisintegraalin käsitteeseen. Kaksoisintegraalin määritelmä. Tulemme kaksoisintegraalin käsitteeseen ratkaisemalla sylinterimäisen kappaleen tilavuuden laskemisen spesifinen ongelma. Sylinterimäinen kappale on xOy-tason, tietyn pinnan ja lieriömäisen pinnan rajoittama kappale, jonka generatriisit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa (ks. kuva 1). Muuttujien x ja y muutosaluetta D kutsutaan lieriömäisen rungon kannaksi. Kappaleen tilavuutta määritettäessä lähdetään kahdesta periaatteesta: !) jos hajotamme kappaleen osiin, niin sen tilavuus yhtä suuri kuin summa kaikkien osien tilavuudet (additiivisuusominaisuus); 2) suoran sylinterin tilavuus, jota rajoittaa taso z = const, yhdensuuntainen xOy-tason kanssa, yhtä suuri kuin pinta-ala pohja kerrottuna korkeudella. Seuraavassa oletetaan, että alue D on yhdistetty (koostuu yhdestä kappaleesta), neliöity (eli sillä on alue) ja rajattu (eli sijaitsee tietyn ympyrän sisällä, jonka keskipiste on origo). Olkoon pisteen P(x, y) jatkuva funktio alueella kaikkialla alueella Z>, eli että tarkasteltava lieriömäinen pinta on kokonaan xOy-tason yläpuolella. Merkitään lieriömäisen kappaleen tilavuutta V:llä. Jaamme alueen D - lieriömäisen kappaleen pohjan - tietyksi määräksi n ei-leikkautuvia, mielivaltaisen muotoisia neliöalueita; kutsumme niitä osittaisiksi alueiksi. Kun osa-alueet on numeroitu jossain järjestyksessä, alueet - läpi vastaavasti. Kutsukaamme osittaisalueen Dk halkaisijaa suureksi Ongelma, joka johtaa kaksoisintegraalin käsitteeseen Kaksoisintegraalin määritelmä Kaksoisintegraalin perusominaisuudet Tasaisen alueen pinta-ala Kaksoisintegraalin pelkistäminen toistuvaksi integraaliksi muuttujat kaksoisintegraalissa Pinta-alkio kaarevissa koordinaateissa Jacobian ja sen geometrinen merkitys Kaava kaksoisintegraalin muuttujien muutoksille Kaksoisintegraali napakoordinaateissa, jossa symboli p(P; Q) tarkoittaa pisteiden P ja Q välistä etäisyyttä. Merkitään d:llä suurin osa-alueiden Dk halkaisijasta (k = 1,2,..., n). Piirretään kunkin osittaisen alueen rajan läpi sylinterimäinen pinta, jossa generaattorit ovat yhdensuuntaisia Oz-akselin kanssa. Tämän seurauksena sylinterimäinen runko jaetaan n osittaiseen lieriömäiseen kappaleeseen. Korvataan tämä osakappale suoralla sylinterillä, jonka pohja ja korkeus on sama kuin vaihdetun pinnan jonkin pisteen applikaatio (kuva 2). Tällaisen sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin missä piste on alueen Dk pinta-ala. Kun kullekin osasylinterikappaleelle on suoritettu kuvatut rakenteet, saadaan n-portainen kappale, jonka tilavuus (o Intuitiivisesti on selvää, että Vn ilmaisee halutun tilavuuden V sitä tarkemmin pienempiä kokoja osa-alueet Dk. Otetaan sylinterimäisen kappaleen tilavuus V olevan yhtä suuri kuin raja, johon n-portaisen kappaleen tilavuus (1) pyrkii n-tuhanteena ja osittaisten alueiden Dk suurin halkaisija d pyrkii olemaan nolla. Luonnollisesti rajan ei pitäisi riippua alueen D osituksen tyypistä osa-alueiksi Dk ja pisteiden Pk valinnasta osa-alueilla. Olkoon /(x, y) mielivaltainen funktio, joka on määritelty alueella D. Summaa n (1) kutsutaan funktion f(x)y) kokonaissummaksi alueella D, joka vastaa tämän alueen tiettyä osiota n osittaiseen alueeseen ja tiettyyn pisteiden valintaan Ж ®*,!/*) osittaisilla alueilla Dk. Määritelmä. Jos arvolla d -* 0 on integraalisummien n raja, joka ei riipu menetelmästä, jolla alue D ositetaan osittaisiksi alueiksi, tai osittaisalueisiin Pk-pisteiden valinnasta, niin sitä kutsutaan kaksoisintegraaliksi. funktio f(P) (tai f(x, y )) alueen D yli ja sitä merkitään symbolilla TAI Joten, (2) Itse funktiota f(x, y) kutsutaan integroitavaksi toimialueessa D (f( P) on integrandi, f(P) dS on integrandi, dS on alueen differentiaali (tai elementti), alue D - integrointialue P(®, y) - integraation muuttuja; ,.. Palaten lieriömäiseen kappaleeseen, päättelemme: xOy-tason, pinnan ja sylinterimäisen pinnan, jonka generatriisit ovat samansuuntaisia Oz-akselin kanssa, rajoittaman lieriömäisen kappaleen tilavuus on yhtä suuri kuin funktion /( x, y) alueen D yli, joka on lieriömäisen kappaleen kanta. Tämä on ei-negatiivisen funktion kaksoisintegraalin geometrinen merkitys. If sitten tilavuus If funktion f(P) alueella D saa sekä positiivisen että negatiiviset arvot, niin integraali edustaa xOy-tason yläpuolella sijaitsevien kehon osien tilavuuksien algebrallista summaa (+-merkillä otettuna) ja xOy-tason alapuolella olevien ruumiinosien tilavuuksien algebrallista summaa. "-" merkki). Useat erilaiset ongelmat, ei vain lieriömäisen kappaleen tilavuuden ongelma, johtavat muotoa (1) olevien summien kokoamiseen kahden riippumattoman muuttujan funktiolle ja sitä seuraavaan rajaan. Muotoilkaamme riittävät edellytykset integroitavuudelle. Lause 1. Mikä tahansa funktio y) jatkuva rajoitetulla suljetulla alueella D on integroitavissa tähän alueeseen. Vaatimus integrandin jatkuvuudesta osoittautuu usein liian rajoittavaksi. Sovelluksille seuraava lause on tärkeä, mikä takaa kaksoisintegraalin olemassaolon tietylle epäjatkuvien funktioiden luokalle. Sanotaan, että tietyllä tason pistejoukolla on nollapinta-ala, jos se voidaan sulkea mielivaltaisen pienen alueen monikulmiokuvaan. Lause 2. Jos funktio /(x, y) on rajoitettu suljettuun rajalliseen alueeseen D ja on jatkuva kaikkialla D:ssä lukuun ottamatta joitakin alueen nollapisteiden joukkoa, niin tämä funktio on integroitavissa alueeseen D. §2. Kaksoisintegraalin perusominaisuudet Kaksoisintegraaleilla on useita ominaisuuksia, jotka ovat samanlaisia kuin yhden riippumattoman muuttujan funktioiden määrätyn integraalin ominaisuudet. 2.1. Lineaarinen ominaisuus Jos funktiot) ovat integroitavissa D-alueella ja a ja p ovat mitä tahansa reaalilukuja, niin funktio af) on myös integroitavissa D-alueella ja o) 2.2. Epäyhtälöiden integrointi Jos funktiot) ovat integroitavia alueella D ja kaikkialla tällä alueella, niin (2) eli epäyhtälöt voidaan integroida. Erityisesti integroimalla ilmeiset epäyhtälöt saadaan Tasaisen alueen pinta-ala Tasaisen alueen D pinta-ala on yhtä suuri kuin funktion kaksoisintegraali tällä alueella, joka on identtisesti yhtä suuri kuin yksikkö. Todellakin, integraalisumma funktiolle /(P) = 1 alueella D on muotoa, ja jokaiselle toimialueen D osiolle Dt, se on yhtä suuri kuin sen alue S. Mutta sitten tämän summan raja, eli kaksoisintegraali on yhtä suuri kuin alue S alue D: tai mikä on sama, (3) 2.4. Integraalin estimointi Olkoon funktio /(P) jatkuva rajoitetulla suljetulla alueella D, olkoot M ja mn /(P):n suurimmat ja pienimmät arvot alueella D ja 5 sen pinta-ala. Sitten (4) 2.5. Additiivisuus: Jos funktio /(P) on integroitavissa D\- ja Di-alueeseen ja alue Z) on jaettu kahteen alueeseen D\ ja Di ilman yhteisiä sisäisiä pisteitä, niin /(P) on integroitavissa kumpaankin alueeseen D\ ja Di ja (5) 2.6. Keskiarvolause Lause 3 (keskiarvo). Jos funktio /(P) on jatkuva suljetussa rajoitetussa alueella D, niin on olemassa a vähintään yhden alueen D pisteen Pc siten, että kaava ja missä S on alueen D pinta-ala. Itse asiassa, koska /(P) on jatkuva suljetulla rajoitetulla alueella D, se ottaa D:ssä suurimman arvo M ja sen pienin arvo m Ominaisuuden 4 avulla integraalin arvioinnista, joka meillä on Siten luku sisältyy suurimman ja väliin pienimmät arvot funktio /(P) alueella D. Johtuen funktion /(P) jatkuvuudesta alueella D, se saa jossain pisteessä Pc G D arvon, joka on yhtä suuri kuin tämä luku, mistä S F(Pc) kaavan (7) määrittämää kutsutaan keskiarvofunktioksi f(P) alueella D. Keskiarvolauseen geometrinen merkitys Jos alueella D funktio f(P) → 0, niin kaava (6) tarkoittaa, että on olemassa suora sylinteri, jonka kanta on D (pinta-ala on 5) ja korkeus Н = /(Рс), jonka tilavuus on yhtä suuri kuin lieriömäisen kappaleen tilavuus (kuva 3). § 3. Kaksoisintegraalin pelkistys toistuvaksi integraaliksi Yksi tehokkaita tapoja kaksoisintegraalin laskeminen on pelkistää se toistuvaksi. 3.1. Suorakulmion tapaus Olkoon alue D suljettu suorakulmio P, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa. Olkoon funktio f(x, y) jatkuva suorakulmiossa P. Kaksoisintegraali voidaan tulkita pinnan rajaaman lieriömäisen kappaleen (algebrallisena) tilavuudeksi. Piirretään taso, joka on kohtisuorassa Oy-akselia vastaan (kuva 4). Tämä taso leikkaa lieriömäistä runkoa pitkin kaarevaa puolisuunnikasta, jota ylhäältä rajoittaa tasainen viiva z, kuvataan yhtälöillä Puolisuunnikkaan ABC\A\ pinta-ala ilmaistaan integraalilla, jossa integrointi suoritetaan x:n yli ja yo - integrandin toinen argumentti - pidetään vakiona (c ^ Uo ^ d ). Integraalin (1) arvo riippuu arvon уо valinnasta. Laitetaan (2) Lauseke (2) antaa sylinterimäisen kappaleen poikkileikkausalan a y:n funktiona. Siksi lieriömäisen kappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla. Toisaalta tämä tilavuus ilmaistaan funktion f(x, y) kaksoisintegraalilla suorakulmion P yli. Tämä tarkoittaa, että S(y):n korvaaminen sen lauseke (2), saadaan kaksoisintegraalin käsitteeseen johtava ongelma Kaksoisintegraalin määritelmä Kaksoisintegraalin perusominaisuudet Tasaisen alueen pinta-ala Kaksoisintegraalin pelkistäminen toistuvaksi integraaliksi Muuttujien korvaaminen kaksoisintegraalissa Pinta-alkio kaarevissa koordinaateissa Jacobilainen ja sen geometrinen merkitys Kaava muuttujien korvaamiseksi kaksoisintegraalissa Kaksoisintegraali napakoordinaateissa Viimeinen relaatio kirjoitetaan yleensä seuraavasti Sylinterimäisen kappaleen tilavuus voidaan löytää myös tasot x = x0. Tämä johtaa kaavaan (4). Kukin kaavojen (3) ja (4) oikealla puolella olevista lausekkeista sisältää kaksi peräkkäistä funktion /(x, y) tavallisen integroinnin operaatiota. Niitä kutsutaan funktion /(x, y) toistuviksi integraaleiksi alueen P yli. Jos f(x, y) on jatkuva suljetussa suorakulmiossa P, niin siirtyminen toistuviin integraaleihin on aina mahdollista ja (5) ts. jatkuvan funktion /(x, y) toistuvien integraalien arvot eivät riipu integrointijärjestyksestä. Esimerkki 1. Etsi funktion kaksoisintegraali toimialueen yli Meillä on (ks. kuva 5): 3.2. Mielivaltaisen alueen tapaus Oletetaan nyt, että integrointialue on mielivaltainen rajoitettu neliöity suljettu alue D xOy-tasolla, joka täyttää seuraavan ehdon: mikä tahansa Oy-akselin suuntainen suora leikkaa alueen D rajan nollapisteessä. enemmän kuin kaksi pistettä tai koko jana (kuva . 6 a). Suljetaan alue D suorakulmion sisään kuvan 1 mukaisesti. 66. Jana [a, 6] on alueen D ortogonaalinen projektio Oxy-akselille ja jana [c, dj on alueen D ortogonaalinen projektio Oy-akselille. Pisteet A ja C jakavat alueen D rajan kahteen käyrään ABC ja AEC. Jokainen näistä käyristä leikkaa mielivaltaisen suoran, joka on yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa enintään yhdessä pisteessä. Siksi niiden yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon, joka on ratkaistu y:n suhteen: Olkoon f(x, y) jokin alueella D jatkuva funktio. Leikataan tarkasteltavana oleva lieriömäinen kappale tason avulla. Jaksossa saadaan kaareva puolisuunnikkaan PQMN (kuva 7), jonka pinta-ala ilmaistaan funktion /(x, y) tavallisella integraalilla, joka on yhden muuttujan y funktio. Tässä tapauksessa muuttuja y muuttuu pisteen P ordinaatista pisteen Q ordinaatiksi piste P on suoran x = const (tasossa) "sisääntulo" alueelle - sen "poistumispiste" tältä alueelta. Koska käyrän ABC yhtälö on ja käyrä on, nämä x:n ordinaatit ovat vastaavasti yhtä suuret. Näin ollen integraali antaa meille lausekkeen lieriömäisen kappaleen tasaisen osan pinta-alalle leikkaustason sijainnin funktiona x = const. Koko kehon tilavuus on yhtä suuri kuin tämän lausekkeen integraali muutosvälissä x:n yli. Siten Erityisesti alueen D alueelle S saadaan: Oletetaan nyt, että jokainen suora leikkaa alueen D rajan korkeintaan kahdessa pisteessä P ja Q, joiden abskissat ovat vastaavasti yhtä suuret ( tai koko segmenttiä pitkin) (kuva 8). Suorittamalla samanlaisen päättelyn päädymme kaavaan, joka myös vähentää kaksoisintegraalin laskennan toistuvaksi. Esimerkki 2. Laske funktion kaksoisintegraali viivoilla rajatulla alueella D. ^ Ensimmäinen menetelmä. Kuvataan integroinnin alue D. Suora y = x ja paraabeli y = x2 leikkaavat pisteissä). Tämä tarkoittaa, että x vaihtelee 8 rajan sisällä arvosta 0. Mikä tahansa suora x = const) leikkaa alueen rajan enintään kahdessa pisteessä. Siksi kaavaa (8) voidaan soveltaa: Toinen menetelmä (Kuva 10). Käyttämällä kaavaa (10). saamme saman tuloksen: Esimerkki 3. Laske kappaleen tilavuus, jonka rajaa pinta, joka leikkaa xOy-tason ellipsin linjaa pitkin puoliakseleilla, johtuen tämän kappaleen symmetriasta suhteessa koordinaattitasot zOzh ja Oh saamme: Huom. Jos alue D on sellainen, että jotkut suorat (ostratekaaliset tai vaakasuuntaiset) leikkaavat sen rajan useammassa kuin kahdessa pisteessä, niin kaksoisintegraalin laskemiseksi alueen D yli, se tulee jakaa asianmukaisesti osiin, toista jokainen integraali osiin. ja lisää saadut tulokset. Esimerkki 4. Laske kaksoisintegraali kahden neliön välissä olevalla alueella D, jonka keskipisteet ja sivut ovat samansuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa, jos sisemmän neliön sivu on 2 ja ulompi on 4. Se on jatkuva kuten kohdassa iso neliö Q, jonka sivu on 4, ja pienessä neliössä R., jonka sivu on yhtä suuri kuin 2 (kuva 12). Lauseen 1 mukaan on olemassa funktion e*** integraalit osoitettujen neliöiden yli, joten vaaditun integraalin arvo §4. Muuttujien muutos kaksoisintegraalissa 4.1. Pisteen kaarevien koordinaattien käsite Olkoon uOv-tason alueella D* funktiopari, jota pidetään tällä alueella jatkuvana ja jolla on jatkuvat osittaiset derivaatat. Yhtälön (1) mukaan alueen D* jokainen piste M*(α, v) vastaa yhtä tiettyä pistettä M(x, y) xOy-tasossa, ja siten alueen D* pisteet vastaavat tietty joukko D pisteitä (x, y) xOy-tasossa (kuva 13). Tässä tapauksessa sanotaan, että funktiot (1) kuvaavat alueen D4 joukkoon D. Oletetaan, että eri pisteet (u, v) vastaavat eri pisteitä (x, y). Tämä vastaa yhtälöiden (1) ainutlaatuista ratkaistavuutta suhteessa u, v: Tässä tapauksessa kartoitusta kutsutaan alueen D* yksi-yhteen-kuvaukseksi alueeseen D. Tällaisella muunnoksella mikä tahansa jatkuva käyrä L*, joka sijaitsee alueella D*, siirtyy jatkuvaksi käyräksi L, joka sijaitsee alueella D. Jos funktiot d(x) y) ja h(x, y) ovat myös jatkuvia, niin mikä tahansa jatkuva viiva LCD avulla muunnos (2) menee jatkuvan linjan L* C D* yli. Tietylle parille Ш, muuttujien Vo arvot ja v alueelta D* voidaan yksiselitteisesti määrittää paitsi pisteen M*(u) sijainti<)>Vq) itse alueella £)*, mutta vastaavan pisteen M(xo, vo) sijainti alueella D, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Tämä antaa aihetta pitää lukuja u, v joinakin uusina xOy-tason alueen M pisteen D koordinaatteina. Niitä kutsutaan pisteen M kaareviksi koordinaateiksi. Alueen D pisteiden joukkoa, joiden yksi koordinaateista pysyy vakiona, kutsutaan koordinaattiviivaksi. Asettamalla u = vq kaavassa (1) saadaan koordinaattiviivan parametriyhtälöt Tässä parametrin roolia on muuttuja u. Kun koordinaatille v annetaan erilaisia (sille mahdollisia) vakioarvoja, saadaan xOy-tasolla koordinaattiviivojen perhe (v = const). Samalla tavalla saadaan toinen koordinaattiviivojen perhe (u = const). Jos alueiden D* ja D välillä on yksi yhteen vastaavuus, saman perheen eri koordinaattiviivat eivät leikkaa toisiaan, ja yksi suora kustakin perheestä kulkee alueen D minkä tahansa pisteen kautta. Kaarevien koordinaattiviivojen ruudukko xOp-tasolla on kuva suorakaiteen muotoisesta ruudukosta uOv-tasolla (katso kuva 13). 4.2. Pinta-alaelementti kaarevissa koordinaateissa. Jakobilainen ja sen geometrinen merkitys Valitaan tasolle Uo*V alueelle D* pieni suorakulmio P*P?P$Pl, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden 0*u ja O"v kanssa ja sivujen pituudet Ai ja Av (tarkkuuden vuoksi oletetaan, että A ) (kuva 14 a) muuttuu kaarevaksi nelikulmioksi alueella D (kuva 146), niin kaavojen (1) mukaisesti ), vastaavilla pisteiden Pi on koordinaatit). nelikulmion kärjet, joissa funktiot ovat kaikki niiden pisteessä lasketut derivaatat Pisteiden koordinaateille löydetyt lausekkeet osoittavat, että jopa pieni). ylempi määräys nelikulmio P\PiPiPa on suunnikas. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että nelikulmion pinta-ala DS voidaan ilmaista likimäärin vektoritulon pituudella Tehtävä, joka johtaa kaksoisintegraalin käsitteeseen Kaksoisintegraalin määritelmä Kaksoisintegraalin perusominaisuudet Pinta-ala. tasainen alue Kaksoisintegraalin pelkistys toistuvaksi integraaliksi Muuttujien korvaaminen kaksoisintegraalissa Pinta-alkio kaarevissa koordinaateissa Jacobilainen ja sen geometrinen merkitys Kaava kaksoisintegraalin muuttujien muuttamiseen Kaksoisintegraali napakoordinaateissa Determinantti Kaavoista (7) ja (8) videosta, että Jacobiaanin absoluuttisella arvolla on alueen D" paikallisen venytyskertoimen rooli (tietyssä pisteessä (tx, v)), kun se kartoitetaan alueeseen D käyttämällä muunnoskaavoja (1). 4.3 Kaava muuttujien muuttamiseen kaksoisintegraalissa Let jatkuvat toiminnot suorittaa yksi-yhteen-kuvaus alueen D* D:hen ja saada jatkuvia ensimmäisen kertaluvun osittaisia derivaattoja. Olkoon jatkuva funktio alueella D xOy-tasolla Jokainen funktion) arvo alueella D vastaa funktion r = yhtä suurta arvoa alueella D", missä. Jaetaan alue D*. osittaisiksi alueiksi ja muodosta vastaava osio alueesta D. Valitse pisteet vastaavilta osa-alueilta (u, v) ja (x, y) niin, että niissä olevien funktioiden arvot ovat samat, ja muodostamme integraalisummat funktiot z = /(x, y) ja v) alueiden D ja D* yli Saamme funktioiden yhtäläisyyden (9) rajaan asti, koska osittaisalueiden D\ suurin halkaisija d* pyrkii nollaan. (kartan (I) jatkuvuudesta johtuen D:n osittaisten alueiden halkaisijasta d suurin pyrkii olemaan nolla), meillä on jossa ehto J Ф 0 on ehto paikallinen yksi-yhteen kartoitus, jonka suorittaa funktiot Lause 4. Jotta suorakulmaisissa koordinaateissa määritetty kaksoisintegraali muunnetaan kaarevien koordinaattien kaksoisintegraaliksi, on integrandifunktion /(x, y) muuttujat x ja y korvattava vastaavasti alue-elementin dx kautta. dy - sen ilmaisu kaarevina koordinaatteina: Esimerkki. Hae hyperbolien m rajaama pinta-ala Osoitetun kuvion alueen löytäminen laskee kaksoisintegraalin alueen O yli. Otetaan käyttöön uudet, kaarevat koordinaatit ja ja o kaavoilla Ehdosta. yhtälöstä, että. Tämä tarkoittaa, että uOv-tasossa on saatu suorakulmio (kuva 156) - yksinkertaisempi luku kuin annettu kuva D. Esitetään x ja y suhteista (11) u:n ja t>:n kautta: Kuva 15 Sitten Double-integraali napakoordinaateissa Kaksoisintegraalin laskentaa yksinkertaistetaan usein korvaamalla suorakaiteen muotoiset koordinaatit x ja y napakoordinaateilla kaavojen mukaisesti. Napakoordinaateissa oleva pinta-ala-alkiolla on muoto ja kaava siirtymiselle suorakulmaisista koordinaateista integraaliin. napakoordinaatit voidaan kirjoittaa seuraavasti: Tässä tapauksessa (13) Pinta-alkio napakoordinaateissa voidaan saada ja geometrisista näkökohdista (katso kuva 16). Varjostetun alueen pinta-ala kuvassa A = pl. aloilla. sektorit Hylkäämällä korkeamman kertaluvun äärettömän pieni määrä, saamme ja otamme sen napakoordinaateissa olevan alueen elementiksi. Joten, jotta voit muuntaa suorakulmaisten koordinaattien kaksoisintegraalin kaksoisintegraaliksi napakoordinaateissa, sinun on korvattava integrandin a: ja y arvoilla p costp ja psini, ja korvattava suorakulmaisten koordinaattien alue-elementti dx dy:llä pinta-alkio napakoordinaateissa p dp dip. Aloitetaan nyt kaksoisintegraalin laskeminen napakoordinaateissa. Kuten suorakulmaisten karteesisten koordinaattien tapauksessa, integraalin laskenta napakoordinaateissa suoritetaan vähentämällä se iteroiduksi integraaliksi. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa napa O on ulkopuolella annettu alue D. Olkoon alueella D se ominaisuus, että mikä tahansa navasta lähtevä säde (koordinaattiviiva y leikkaa rajansa korkeintaan kahdessa pisteessä tai koko janalla (kuva 17). Huomioi napakulman ääriarvot i ovat ulkoisen integraation rajat. Säde μ> = kulkee alueen D ääriviivan pisteen A läpi ja säde pisteen B läpi. Pisteet Aw B jakavat alueen D ääriviivan kahteen osaan: ACB ja AFB Olkoon niiden napaisuus. yhtälöt ja) ovat yksiarvoisia jatkuvia funktioita, jotka täyttävät ehdon. Funktiot ovat sisäisiä rajoituksia. Siirtymällä toistuviin integraaleihin saadaan seuraava kaava. Erityisesti alueen D alueelle S saadaan F(p, r 1) Olkoon nyt napa O alueen D sisällä. Oletetaan, että alue D. on tähti napaan nähden, ts. mikä tahansa säde tp = const leikkaa alueen rajan vain yhdessä pisteessä tai koko segmentissä (Kuva 18 Olkoon alueen rajan yhtälö napakoordinaateissa). Sitten kuva 18. Laske integraali, jossa alue on neljäsosa yksikköympyrästä, joka sijaitsee ensimmäisessä kvadrantissa. Muunnettu integraali on helppo laskea: d Nollasta poikkeava alueella D, niin tämän toimialueen kunkin pisteen tietyssä naapurustossa voi kuitenkin käydä niin, että koko alueen kartoitus ei ole yksi yhteen funktioiden määrittelemä kartoitus Näiden funktioiden jakobinen on yhtä suuri ja siksi kaikkialla erilainen kuin nolla. Siitä huolimatta saamme, joten tämä kartoitus ei ole yksittäinen. Toisaalta, jos kartoituksen jakobilainen katoaa jossain vaiheessa, niin tämän pisteen läheisyydessä oleva kartoitus voi kuitenkin osoittautua yksi-yhteen. Esimerkiksi funktioiden määrittämälle kuvaukselle Jacobian on yhtä suuri kuin nolla ja at, mutta kuvaus on yksi yhteen. Käänteinen kuvaus määräytyy funktioiden mukaan
Kaksoisintegraalit. Kaksoisintegraalin määritelmä ja sen ominaisuudet. Iteroidut integraalit. Kaksoisintegraalien pelkistäminen toistuviksi. Integroinnin rajojen asettaminen. Kaksoisintegraalien laskenta suorakulmaisessa koordinaatistossa.
1. KAKSOISET INTEGRAALIT
1.1. Kaksoisintegraalin määritelmä
Kaksoisintegraali on yleistys määrätyn integraalin käsitteestä kahden muuttujan funktion tapaukseen. Tässä tapauksessa integrointisegmentin sijaan tulee jonkinlainen litteä luku.
Antaa D on jokin suljettu rajoitettu alue, ja f(x, y) on mielivaltainen funktio, joka on määritelty ja rajoitettu tällä alueella. Oletetaan, että alueen rajat D koostuvat äärellisestä määrästä käyriä, jotka on annettu muotoyhtälöillä y=f(x) tai x=g( y), Missä f(x) Ja g(y) ovat jatkuvia toimintoja.
R
Riisi. 1.1
azobiem-alue D satunnaisesti päällä n osat. Neliö i osa merkitään symbolilla s i. Jokaisessa osiossa valitsemme satunnaisesti pisteen P i , ja anna sen olla koordinaatit jossain kiinteässä karteesisessa järjestelmässä ( x i , y i). Sävellytään kokonaissumma toimintoa varten f(x, y) alueen mukaan D, tehdäksesi tämän, etsi funktion arvot kaikista pisteistä P i, kerro ne vastaavien osien pinta-alalla s i ja laske yhteen kaikki saadut tulokset:
.
(1.1)
Soitetaan halkaisija halk(G) alueita G suurin etäisyys tämän alueen rajapisteiden välillä.
Kaksoisintegraali
toimintoja
f(x,
y)
alueen mukaan
D
on raja, johon integraalien sarja pyrkii
määriä
(1.1) osioiden määrän rajoittamattomalla lisäyksellä
n
(jossa
). Tämä on kirjoitettu seuraavasti
.
(1.2)
Huomaa, että yleisesti ottaen tietyn funktion ja tietyn integrointialueen integraalisumma riippuu toimialueen osiointimenetelmästä D ja pisteiden valinta P i. Jos kaksoisintegraali kuitenkin on olemassa, tämä tarkoittaa, että vastaavien integraalisummien raja ei enää riipu ilmoitetuista tekijöistä. Jotta kaksoisintegraali olisi olemassa(tai kuten sanotaan, to toiminto f(x, y) oli integroituna kentälleD), riittää, että integrand-funktio onjatkuva tietyllä integraatioalueella.
P
Riisi. 1.2
.
(1.3)
Kommentti . Jos integrand f(x, y)1, silloin kaksoisintegraali on yhtä suuri kuin integrointialueen pinta-ala:
.
(1.4)
Huomaa, että kaksoisintegraaleilla on samat ominaisuudet kuin määrätyillä integraaleilla. Huomioikaa joitakin niistä.
Kaksoisintegraalien ominaisuudet.
1 0 . Lineaarinen ominaisuus. Funktioiden summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
ja vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
.
2 0 . Lisättävä ominaisuus. Jos integraatioalueDjaettuna kahteen osaan, kaksoisintegraali on yhtä suuri kuin näiden kunkin osan integraalien summa:
.
3 0 . Keskiarvon lause. Jos toiminto f( x, y)jatkuva alueellaD, niin tällä alueella on sellainen piste() , Mitä:
.
Seuraava kysymys on: kuinka kaksoisintegraalit lasketaan? Se voidaan laskea likimääräisesti tätä tarkoitusta varten, on kehitetty tehokkaita menetelmiä vastaavien integraalisummien laskemiseen, jotka lasketaan sitten numeerisesti tietokoneella. Kun kaksoisintegraalit lasketaan analyyttisesti, ne pelkistetään kahdeksi kiinteäksi integraaliksi.
1.2. Iteroidut integraalit
Iteroidut integraalit ovat muodon integraaleja
.
(1.5)
Tässä lausekkeessa lasketaan ensin sisäinen integraali, ts. Ensin suoritetaan integrointi muuttujan yli y(tässä tapauksessa muuttuja x pidetään vakioarvona). Integraation seurauksena y saat jonkin toiminnon mukaan x:
.
Sitten tuloksena oleva toiminto integroidaan päälle x:
.
Esimerkki 1.1. Laske integraalit:
A) 
, b) 
.
Ratkaisu . a) Integroidaan y, olettaen, että muuttuja x= konst. Tämän jälkeen laskemme integraalin yli x:
.
b) Koska sisäisessä integraalissa integrointi suoritetaan muuttujan yli x, Tuo y 3 voidaan ottaa ulompaan integraaliin vakiotekijänä. Koska y 2 sisäisessä integraalissa pidetään vakiona, silloin tämä integraali on taulukkomuotoinen. Suoritetaan peräkkäinen integraatio y Ja x, saamme
Kaksois- ja iteroitujen integraalien välillä on suhde, mutta katsotaanpa ensin yksinkertaisia ja monimutkaisia alueita. Alue on ns yksinkertainen mihin tahansa suuntaan, jos jokin tähän suuntaan piirretty suora leikkaa alueen rajan enintään kahdessa pisteessä. Karteesisessa koordinaatistossa huomioidaan yleensä suuntia O-akseleita pitkin x ja O y. Jos alue on yksinkertainen molempiin suuntiin, he sanovat lyhyesti - yksinkertainen alue korostamatta suuntaa. Jos alue ei ole yksinkertainen, sen sanotaan olevan monimutkainen.
L
a b
Riisi. 1.4
Mikä tahansa monimutkainen alue voidaan esittää yksinkertaisten alueiden summana. Näin ollen mikä tahansa kaksoisintegraali voidaan esittää yksinkertaisten alueiden kaksoisintegraalien summana. Siksi seuraavassa tarkastelemme pääasiassa vain integraaleja yksinkertaisten alueiden yläpuolella.
Lause . Jos integraatioalueD– yksinkertainen akselin suunnassaOy(katso kuva 1.4a), kaksoisintegraali voidaan kirjoittaa toistuvassa muodossa seuraavasti:
;
(1.6)
jos integraatioalueD– yksinkertainen akselin suunnassaHärkä(katso kuva 1.4b), kaksoisintegraali voidaan kirjoittaa toistuvassa muodossa seuraavasti:
.
(1.7)
E
Riisi. 1.3
1.3. INTEGRAATIORAJOJEN ASETTAMINEN
1.3.1. Suorakaiteen muotoinen integrointialue
P
Riisi. 1.5
Esimerkki 1.2. Laske kaksoisintegraali
.
Ratkaisu . Kirjoitetaan kaksoisintegraali iteratiivina:
.
1.3.2. Mielivaltainen integraation alue
Jotta voit siirtyä kaksoisintegraalista toistuvaan integraaliin, sinun tulee:
rakentaa integraation alue;
aseta rajat integraaleihin samalla kun muistat, että ulomman integraalin rajojen on oltava vakioarvot(eli numerot) riippumatta siitä, mistä muuttujasta ulompi integraali lasketaan.
Esimerkki 1.3. Järjestä integroinnin rajat vastaaviin kaksoisintegraalin iteroituihin integraaleihin
, jos) 
b) 
R
Riisi. 1.6
.
Suoritetaan nyt integrointi ulompaan integraaliin sen mukaan y, ja sisäisessä – mukaan x. Tässä tapauksessa arvot y muuttuu 0:sta 2:een. Tällöin kuitenkin muuttujan arvojen muutosten yläraja x tulee koostumaan kahdesta osasta x= y/2 ja x=1. Tämä tarkoittaa, että integraatioalue on jaettava kahteen osaan suoraa y=1. Sitten ensimmäisellä alueella y muuttuu 0:sta 1:ksi ja x suoralta linjalta x= y/2 suoralle viivalle x= y. Toisella alueella y muuttuu 1:stä 2:een ja x– suoralta linjalta x= y/2 suoralle viivalle x=1. Tuloksena saamme
.
b
Riisi. 1.7
; muuttuja segmentissä y vaihtelee y=0 to y=1–x. Täten,
.
Tehdään nyt integrointi ulkoisessa integraalissa sen mukaan y, ja sisäisessä – mukaan x. Tässä tapauksessa y muuttuu 0:sta 1:ksi ja muuttuja x– ympyrän kaarelta 
suoralle viivalle x=1–y. Tuloksena saamme
.
Nämä esimerkit osoittavat, kuinka tärkeää on valita oikea integrointijärjestys.
Esimerkki 1.4. Muuta integroinnin järjestystä
A) 
; b) 
.
R
Riisi. 1.8
.
b) Rakennetaan integraation alue. Segmentillä for y muuttuja x vaihtelee suorasta x=y paraabeliksi 
; segmentillä - suoralta viivalta x=y suoralle viivalle x=
3/4. Tuloksena on seuraava integrointialue (katso kuva 1.9). Konstruoidun kuvan perusteella asetamme integroinnin rajat,
.
Ongelma, joka johtaa kaksoisintegraalin käsitteeseen.
Oletetaan, että osien funktio on määritelty 
ja kirjoita summa muistiin
jota kutsutaan integraaliksi.
V: Toiminnon ja valinnan määrätyn integraalin (d.i.) alla 
Nimitys: 
Numeroita kutsutaan Riemanniksi integroitaviksi .
T. olemassaolo: Edellyttäen, että .
O.i:n määritelmän mukaisesti huomaamme, että integraali riippuu muodosta, rajoista ja, mutta ei riipu muuttujan nimen symbolista, muuten ilmaistaan
Kohtien 17.1.1 ja 17.1.2 sekä o.i:n määritelmän mukaisesti. Kirjataan kaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle: 
, voimantyötä 
päällä : 
Kaksoisintegraalin käsite, integraalisummat.
Kaksoisintegraalin eli integraalisumman rajan olemassaolo näyttää ilmeiseltä, koska tämä raja antaa sylinterimäisen kappaleen tilavuuden. Tämä perustelu ei kuitenkaan ole tiukka. Enemmässä täydet kurssit tämä väite on tiukasti todistettu ja sitä kutsutaan kaksoisintegraalin olemassaolon lauseeksi.
Olemassaololause. Jokaiselle funktiolle, joka on jatkuva rajoitetulla suljetulla alueella, jonka pinta-ala on a, on olemassa kaksoisintegraali, toisin sanoen on olemassa raja integraalisummille, joissa pienten alueiden lukumäärä kasvaa rajattomasti, edellyttäen että jokainen niistä supistuu kohta. Tämä raja ei riipu menetelmästä jakaa alue osiin tai pisteiden valinnasta
Seuraavassa tarkastellaan vain funktioita, jotka ovat jatkuvia integraation alueella.
Olemassaololauseesta seuraa, että voimme esimerkiksi jakaa alueen a pieniksi suorakulmioiksi, joiden sivut ovat suorat koordinaattiakseleiden suuntaisesti (kuva 230). Jossa. Valitsemalla sitten jokaisesta pienestä suorakulmiosta pisteen, voimme kirjoittaa kaksoisintegraalin määritelmän mukaan
Korostaaksemme, että kaksoisintegraali voidaan saada muodon summan rajana, käytämme merkinnän sijasta myös merkintää
Lauseketta kutsutaan karteesisten koordinaattien pinta-alaelementiksi ja se on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa.
Huomaa, että integraalisummaa laskettaessa alueen a rajan viereiset alueet eivät ole suorakaiteen muotoisia. Voidaan kuitenkin todistaa, että virhe, kun tällaisten alueiden korvaaminen suorakulmioilla, joiden alueet ovat rajassa, pienenee nollaan.
Kaksoisintegraalien ominaisuudet
Kaksoisintegraalin ominaisuudet (ja niiden johtaminen) ovat samanlaisia kuin yksittäisen kiinteän integraalin vastaavat ominaisuudet.
1°. Additiivisuus. Jos toiminto f(x, y) on integroitavissa verkkotunnukseen D ja jos alue D käyrän avulla G alue nolla on jaettu kahteen toisiinsa yhteydessä olevaan alueeseen, joilla ei ole yhteisiä sisäpisteitä D 1 ja D 2, sitten toiminto f(x, y) on integroitavissa jokaiseen verkkotunnukseen D 1 ja D 2 ja
2°. Lineaarinen ominaisuus. Jos toiminnot f(x, y) Ja g(x, y) ovat integroitavissa verkkotunnuksiin D, A α Ja β - mitkä tahansa reaaliluvut, sitten funktio [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] on myös integroitavissa verkkotunnukseen D, ja
3°. Jos toiminnot f(x, y) Ja g(x, y) ovat integroitavissa verkkotunnuksiin D, niin näiden funktioiden tulos on integroitavissa D.
4°. Jos toiminnot f(x, y) Ja g(x, y) molemmat ovat verkkotunnuksen integroitavia D ja kaikkialla tällä alueella f(x, y) ≤ g(x, y), Se
5°. Jos toiminto f(x, y) on integroitavissa verkkotunnukseen D, sitten funktio | f(x, y)| integroitavissa alueille D, ja
(Tietenkin integroitavuudesta | f(x, y)| V D integroituvuus ei seuraa f(x, y) V D.)
6°. Keskiarvon lause. Jos molemmat toimivat f(x, y) Ja g(x, y) ovat integroitavissa verkkotunnuksiin D, toiminto g(x, y) ei ole negatiivinen (ei positiivinen) kaikkialla tällä alueella, M Ja m- funktion tarkka ylä- ja alaraja f(x, y) alueella D, sitten on numero μ , tyydyttää eriarvoisuutta m ≤ μ ≤ M ja siten, että kaava on voimassa
Erityisesti jos toiminto f(x, y) on jatkuvassa sisään D, ja alue D johdonmukainen, niin tällä alueella on sellainen piste ( ξ , η ), Mitä μ = f(ξ , η ), ja kaava (11) saa muodon
Tangentti ja normaali pintaan nähden
Määritelmä. Normaali pintaan pisteessä N 0 on suora viiva, joka kulkee pisteen N 0 kautta kohtisuorassa tämän pinnan tangenttitasoon nähden.
Missä tahansa pisteessä pinnalla on joko vain yksi tangenttitaso tai sitä ei ole ollenkaan.
Jos pinta saadaan yhtälöllä z = f(x, y), missä f(x, y) on pisteessä M 0 (x 0, y 0) differentioituva funktio, tangenttitaso pisteessä N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) on olemassa ja sillä on yhtälö:
Pinnan normaalin yhtälö tässä pisteessä on:
Geometrinen tunne kahden muuttujan funktion f(x, y) kokonaisdifferentiaali pisteessä (x 0, y 0) on pintaan kohdistuvan tangentin tason aplikaatio (z-koordinaatit) siirrettäessä pisteestä (x 0) , y 0) pisteeseen (x 0 + Dx, y 0 +Dу).
Kuten voidaan nähdä, kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin geometrinen merkitys on spatiaalinen analogi geometrinen merkitys yhden muuttujan funktion differentiaali.
Esimerkki. Etsi tangenttitason ja pinnan normaalin yhtälöt
pisteessä M(1, 1, 1).
Tangenttitason yhtälö:
Normaali yhtälö:
Kaksoisintegraalin laskenta napakoordinaateissa.
Olkoon alue D rajattu suoralla r = r() ja säteet = Ja = , missä ja r– tason pisteen napakoordinaatit, jotka liittyvät sen suorakulmaisiin koordinaatteihin x Ja y
Suhteet (kuva 5). Tässä tapauksessa
Kommentti. Jos alue D suorakulmaisissa koordinaateissa on annettu yhtälöllä, joka sisältää esimerkiksi binaarin jne., niin on kätevämpää laskea kaksoisintegraali tällaisen alueen yli napakoordinaateissa.
Kaksoisintegraali. Perusmääritelmät ja ominaisuudet.
Kaksoisintegraalit.
Tarkastellaan jotakin suljettua käyrää tasossa, jonka yhtälö on
Kaikkia käyrän sisällä ja itse käyrällä olevia pisteitä kutsutaan suljetuksi alueeksi D. Jos valitset alueen pisteitä ottamatta huomioon käyrällä olevia pisteitä, aluetta kutsutaan avoimeksi alueeksi D.
Geometrialta katsottuna D on ääriviivan rajoittama kuvion alue.
Jaetaan alue D n osa-alueeksi viivojen ruudukolla, jotka ovat erillään toisistaan x-akselilla etäisyydellä Dx i ja y-akselilla etäisyydellä Dу i. Yleisesti ottaen tämä osiointijärjestys on pakollinen, on mahdollista jakaa alue mielivaltaisen muodon ja koon osiin.
Havaitsemme, että alue S on jaettu alkeissuorakulmioihin, joiden pinta-alat ovat yhtä suuria kuin S i = Dx i × Dy i.
Ota jokaiselta osa-alueelta mielivaltainen piste P(x i, y i) ja muodosta integraalisumma
jossa f on jatkuva ja yksiselitteinen funktio alueen D kaikille pisteille.
Jos lisäämme loputtomasti osittaisten alueiden D i määrää, niin jokaisen osittaisalueen S i pinta-ala on luonnollisesti nolla.
Määritelmä: Jos alueen D osioaskeleen lähestyessä nollaa integraalisummilla on äärellinen raja, niin tätä rajaa kutsutaan ns. kaksoisintegraali funktiosta f(x, y) alueen D yli.
Kun otetaan huomioon se tosiasia, että S i = Dx i × Dy i, saadaan:
Yllä olevassa merkinnässä on kaksi S-merkkiä, koska summaus suoritetaan kahdella muuttujalla x ja y.
Koska Integrointialueen jako on mielivaltainen, ja myös pisteiden Р i valinta on mielivaltainen, jolloin, kun kaikki alueet Si ovat samoja, saadaan kaava:
Kaksoisintegraalin olemassaolon ehdot.
Muotoilkaamme riittävät ehdot kaksoisintegraalin olemassaololle.
Lause. Jos funktio f(x, y) on jatkuva suljetussa alueella D, kaksoisintegraali on olemassa
Lause. Jos funktio f(x, y) on rajattu suljettuun alueeseen D ja on siinä jatkuva kaikkialla paitsi rajallista määrää paloittain sileitä viivoja, niin kaksoisintegraali on olemassa.
Kaksoisintegraalin ominaisuudet.
3) Jos D = D 1 + D 2, niin
4) Keskiarvolause. Funktion f(x, y) kaksoisintegraali on yhtä suuri kuin tämän funktion arvon tulo jossain vaiheessa integrointialueen ja integrointialueen alueen.
5) Jos f(x, y) ³ 0 alueella D, niin .
6) Jos f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), niin .
Nro 43 Määritelmä Oletetaan, että käyrä C on annettu vektorifunktiolla, jossa muuttuja s− käyrän kaaren pituus. Sitten vektorifunktion derivaatta
Se on tämän käyrän tangenttia pitkin suunnattu yksikkövektori (kuva 1).
Yllä olevassa kaavassa α, β
Ja γ
− O-akselin tangentin ja positiivisen suunnan väliset kulmat x, O y ja O z, vastaavasti.
Otetaan käyttöön käyrälle määritelty vektorifunktio C, joten skalaarifunktiolle
Siellä oli kaareva integraali C ja on merkitty nimellä
Siis määritelmän mukaan
missä on käyrän tangentin yksikkövektori C.
Viimeinen kaava voidaan myös kirjoittaa uudelleen vektorimuotoon:
Missä.
Jos käyrä C sijaitsee O-tasossa xy, sitten olettaen R= 0, saamme
Toisen tyyppisen kaarevan integraalin ominaisuudet
Toisen tyypin kaarevalla integraalilla on seuraavat ominaisuudet: Olkoon C tarkoittaa käyrää, joka alkaa pisteestä A ja loppupiste B. Merkitään −C käyrä vastakkaiseen suuntaan - alkaen B Vastaanottaja A. Sitten
Jos C− käyrien yhdistäminen C 1 ja C 2 (kuva 2 yllä), sitten Jos käyrä C annetaan parametrisesti muodossa , sitten If käyrä C sijaitsee O-tasossa xy ja yhtälö Tm on annettu (oletetaan, että R= 0 ja t = x), viimeinen kaava kirjoitetaan muotoon
Nro 49Pinta F on annettu eksplisiittisesti z = z(x,y), (x,y)О D (tiivis),
missä z(x,y):llä on ensimmäisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat D:ssä, funktio f(x,y,z) on määritelty ja jatkuva F:llä. Silloin on olemassa integraali, joka on yhtä suuri kuin
Todiste. Niille alueille, joita saamme
Silloin integraalisummat ovat yhtä suuret
Ensimmäinen summa on integraali , toinen voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi valitsemalla riittävän pieni osio. Jälkimmäinen seuraa funktion f(x,y,z(x,y)) tasaisesta jatkuvuudesta D:llä.
Nro 40 (jatkuu) Riittävä ehto ensimmäisen tyyppisen kaarevan integraalin olemassaololle muotoillaan myöhemmin, kun näytämme kuinka se lasketaan.
Ensimmäisen tyyppisen kaarevan integraalin määritelmä on rakenteeltaan sama kuin määrätyn integraalin määritelmä. Siksi ensimmäisen tyypin kaarevalla integraalilla on samat ominaisuudet kuin määrätyllä integraalilla. Esittelemme nämä ominaisuudet ilman todisteita.
1. LAAJAN KÄYRÄJÄN INTEGRAALIN OMINAISUUDET
1. , missä on käyrän pituus.
2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois ensimmäisen tyypin kaarevan integraalin etumerkistä, ts.
3. Kahden (äärellisen luvun) funktion algebrallisen summan ensimmäisen tyypin kaareva integraali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden ensimmäisen lajin kaarevien integraalien algebrallinen summa, ts.
4. Jos käyrä on jaettu kahteen osaan ja sillä ei ole yhteisiä sisäisiä pisteitä, niin
(ensimmäisen tyypin kaarevan integraalin additiivisuusominaisuus).
5. Jos funktio () on kaikkialla käyrällä, niin
6. Jos kaikkialla käyrällä (),
7. (seuraus ominaisuuksista 6 ja 1) Jos ja ovat pienimmät ja vastaavasti korkein arvo toimii sitten käyrällä
missä on käyrän pituus.
8. (ensimmäisen tyyppisen kaarevan integraalin keskiarvolause) Jos funktio on jatkuva käyrällä, niin on olemassa piste, jossa yhtälö
missä on käyrän pituus.
Nro 42 Käyrän pituus.
Jos integrandifunktio f(x, y, z) ≡ 1, niin 1. tyypin kaarevan integraalin määritelmästä saadaan, että tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin sen käyrän pituus, jota pitkin integrointi suoritetaan:
Käyrämassa.
Olettaen, että integrandifunktio γ (x, y, z) määrittää käyrän kunkin pisteen tiheyden, saadaan käyrän massa kaavalla
3. Löydämme käyrän l momentit, päättelyn samalla tavalla kuin tasaisen alueen tapauksessa: -
tasaisen käyrän l staattiset momentit suhteessa Ox- ja Oy-akseleihin;
spatiaalisen käyrän hitausmomentti suhteessa alkupisteeseen;
· käyrän hitausmomentit suhteessa koordinaattiakseleihin.
4. Käyrän massakeskipisteen koordinaatit lasketaan kaavoilla
Nro 38(2) Muuttujien muutos kolmoisintegraaleissa
Laskettaessa kolmoisintegraalia, kuten kaksoisintegraalia, on usein kätevää muuttaa muuttujia. Tämän avulla voit yksinkertaistaa integrointialueen tai integrandin muotoa.
Olkoon alkuperäinen kolmoisintegraali annettu suorakulmaisina koordinaatteina x, y, z alueella U:
Tämä integraali on laskettava uusissa koordinaateissa u, v, w. Vanhojen ja uusien koordinaattien suhdetta kuvaavat suhteet:
Oletetaan valmistuneen seuraavat ehdot:
1. Funktiot φ, ψ, χ ovat jatkuvia osittaisten derivaattiensa kanssa;
2. xyz-avaruuden integrointialueen U pisteiden ja uvw-avaruuden U"-alueen pisteiden välillä on yksi-yhteen vastaavuus;
3. Jakobilainen muunnoksesta I (u,v,w), yhtä suuri kuin
eroaa nollasta ja säilyttää vakiomerkin kaikkialla integroinnin U alueella.
Sitten kaava muuttujien muuttamiseen kolmoisintegraalissa kirjoitetaan seuraavasti:
Yllä olevassa lausekkeessa tarkoittaa jakobilaisen absoluuttista arvoa.
Nro 38 Kolmoisintegraalit pallokoordinaateissa
Pisteen M(x,y,z) pallokoordinaatit ovat kolme numeroa − ρ, φ, θ, jossa
ρ on pisteen M sädevektorin pituus;
φ on kulma, jonka muodostaa sädevektorin projektio Oxy-tasolle ja Ox-akselille;
θ on sädevektorin poikkeamakulma Oz-akselin positiivisesta suunnasta (kuva 1).
Huomaa, että ρ:n, φ:n määritelmät pallomaisissa ja sylinterimäisissä koordinaateissa eroavat toisistaan.
Pisteen pallomaiset koordinaatit suhteutetaan sen suorakulmaisiin koordinaatteihin suhteiden avulla
Karteesista pallomaisiin koordinaatteihin siirtymisen jakobialainen on muotoa:
Laajentamalla determinantin toisen sarakkeen päälle, saamme
Näin ollen jakobisen itseisarvo on yhtä suuri kuin
Siksi kaava muuttujien muuttamiseksi muunnettaessa karteesisia koordinaatteja pallokoordinaateiksi on muotoa:
Kolmoisintegraali on helpompi laskea pallokoordinaateissa, kun integroinnin alue U on pallo (tai jokin sen osa) ja/tai kun integrandin muoto on f (x2 + y2 + z2).
Pinta
Valitaan tasaiselle pinnalle piste M0 (suljettu tai sileän ääriviivan rajoittama) ja piirretään siihen pintaan normaali, valitsemalla sille tietty suunta (yksi kahdesta mahdollisesta). Piirretään pintaa pitkin suljettu ääriviiva, joka alkaa ja päättyy pisteeseen M0. Tarkastellaan pistettä M, joka kiertää tätä ääriviivaa, ja jokaisessa sen asennossa piirretään sen suunnan normaali, johon edellisen pisteen normaali jatkuvasti kulkee. Jos ääriviivan kulkemisen jälkeen normaali palaa pisteessä M0 alkuperäiseen asentoonsa minkä tahansa pinnan pisteen M0 valinnan osalta, pintaa kutsutaan kaksipuoleiseksi. Jos normaalin suunta muuttuu vähintään yhden pisteen kulkemisen jälkeen päinvastaiseksi, pintaa kutsutaan yksipuoliseksi (esimerkki yksipuolisesta pinnasta on Mobius-nauha). normaalin suunta yhdessä pisteessä määrittää yksiselitteisesti normaalin suunnan pinnan kaikissa kohdissa.
Määritelmä
Pinnalla olevien pisteiden joukkoa, joilla on sama normaalisuunta, kutsutaan pinnan sivuksi.
Pinnan suunta.
Tarkastellaan avointa sileää kaksipuolista pintaa S, jota rajoittaa ääriviiva L, ja valitse tämän pinnan toinen puoli.
Määritelmä
Positiiviseksi kutsutaan ääriviivan L kulkusuuntaa, jossa liike ääriviivaa pitkin tapahtuu vastapäivään suhteessa havaitsijaan, joka sijaitsee päätepiste normaali mihin tahansa pinnan S-pisteeseen, joka vastaa pinnan valittua puolta. Ääriviivan käänteissuuntaa kutsutaan negatiiviseksi.
Vektorikentän virtaus.
Tarkastellaan spatiaaliseen alueeseen G määritettyä vektorikenttää A(M), orientoitua sileää pintaa S G ja yksikkönormaalien kenttää n(M) pinnan S valitulla puolella.
Määritelmä 13.3. Pintaintegraali 1. tyyppi, (13.1)
missä An - skalaarituote vastaavat vektorit, ja An on vektorin A projektio normaalisuuntaan, jota kutsutaan vektorikentän A(M) virtaukseksi pinnan S valitun puolen läpi.
Huomautus 1.
Jos valitset pinnan toisen puolen, normaalin ja siten vuon merkki muuttuu.
Muistio 2.
Jos vektori A määrittelee nesteen virtausnopeuden tietyssä pisteessä, niin integraali (13.1) määrittää pinnan S läpi positiiviseen suuntaan aikayksikköä kohti virtaavan nesteen määrän (siis yleinen termi "virtaus").
Nro 53 Toisen tyyppinen pintaintegraali. Määritelmä ja pyhät.
Määritelmä
Tarkastellaan kaksipuolista pintaa, tasaista tai paloittain sileää, ja kiinnitetään mikä tahansa sen kahdesta sivusta, mikä vastaa tietyn suunnan valitsemista pinnalle.
Varmuuden vuoksi oletetaan ensin, että pinta on annettu eksplisiittisellä yhtälöllä ja piste vaihtelee alueella, jota rajaa paloittain tasainen ääriviiva.
Määritetään nyt jokin funktio tämän pinnan kohdissa. Jakattuamme pinnan paloittain tasaisten käyrien verkostolla osiin ja valinnut pisteen jokaisesta tällaisesta osasta, laskemme funktion arvon tietyssä pisteessä ja kerromme sen projektion pinta-alalla elementti, joka on varustettu tietyllä merkillä. Tehdään kokonaissumma:
Tämän integraalisumman lopullista rajaa, koska kaikkien osien halkaisijat pyrkivät olemaan nolla, kutsutaan toisen tyyppisen integraalin pintaintegraaliksi.
levinnyt pinnan valitulle puolelle ja on merkitty symbolilla
(tässä) muistuttaa meitä pintaelementin projektioalueesta tasoon
Jos tason sijasta projisoimme pintaelementtejä tasolle tai , niin saadaan kaksi muuta toisen tyyppistä pintaintegraalia:
Sovelluksissa kohdataan useimmiten kaikkien näiden tyyppien integraalien kytkennät:
jossa ovat tehtäviä , Määritelty pisteitä pinnan.
Toisen ja ensimmäisen tyypin pintaintegraalien välinen suhde
Missä on pinnan yksikkönormaalivektori - ort.
Ominaisuudet
1. Lineaarisuus: ;
2. Additiivisuus: ;
3. Kun pinnan suunta muuttuu, pintaintegraali vaihtaa etumerkkiä.
No. 60 Operatornabla (Hamiltonin operaattori)-, merkitty symbolilla (nabla). Kolmiulotteiselle euklidiselle avaruudelle suorakulmaisissa suorakulmaisissa koordinaateissa nabla-operaattori määritellään seuraavasti: missä ovat x-, y-, z-akselien yksikkövektorit.
Havaittavan operaattorin ominaisuudet. Tämä vektori on järkevä yhdistettynä skalaari- tai vektorifunktioon, johon sitä sovelletaan. Jos kerrot vektorin skalaarilla φ, saat vektorin, joka edustaa funktion gradienttia. Jos vektori kerrotaan skalaarisesti vektorilla, tuloksena on skalaari
eli vektorin divergentti. Jos kerrot vektorilla, saat vektorin roottorin:
Huomaa: sekä yleisesti skalaari- ja vektoritulon merkitsemiseen, kun niitä käytetään nabla-operaattorin kanssa, käytetään usein vastaavia vaihtoehtoisia merkintöjä, esimerkiksi sen sijaan, että usein kirjoitettaisiin , ja niiden sijaan kirjoittaa; tämä koskee myös alla annettuja kaavoja.
Näin ollen skalaaritulo on skalaarioperaattori, jota kutsutaan Laplace-operaattoriksi. Jälkimmäinen on myös nimetty. Karteesisissa koordinaateissa Laplace-operaattori määritellään seuraavasti: Koska nabla-operaattori on differentiaalioperaattori, on lausekkeita muunnettaessa otettava huomioon sekä vektorialgebran säännöt että differentiaatiosäännöt. Esimerkiksi:
Toisin sanoen kahdesta kentästä riippuvan lausekkeen derivaatta on lausekkeiden summa, joissa kussakin on vain yksi kenttä. Selvityksen helpottamiseksi, mihin kenttiin nabla vaikuttaa, on yleisesti hyväksyttyä, että kenttien ja operaattoreiden tulossa kukin operaattori toimii sen oikealla puolella olevan lausekkeen mukaan, ei kaikkeen vasemmalla. Jos operaattorin on toimittava vasemmalla olevassa kentässä, tämä kenttä merkitään jollain tavalla, esimerkiksi asettamalla nuoli kirjaimen yläpuolelle: Tätä merkintätapaa käytetään yleensä välimuunnoksissa. Sen haitan vuoksi he yrittävät päästä eroon lopullisen vastauksen nuolista.
№61 Toisen asteen vektoridifferentiaalioperaatiot Seuraavia viittä toimintoa kutsutaan:
1. missä on Laplace-operaattori.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Tässä on vektorisuure, joka saadaan soveltamalla Laplace-operaattoria jokaiseen vektorin projektioon.
- - - - - - - - - - - - - - -
Kaksoisintegraalilla on samanlaiset ominaisuudet kuin määrätyllä integraalilla. Huomautetaan vain tärkeimmät:
1. Jos toiminnot ja 
integroitu alueille 
, niin niiden summa ja erotus ovat integroitavissa siihen, ja
2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois kaksoisintegraalin etumerkistä:
3. Jos 
integroitavissa alueille 
, ja tämä alue on jaettu kahteen ei-päällekkäiseen alueeseen 
Ja 
, Tuo
.
4. Jos 
Ja 
integroitu alueille 
, jossa 
, Tuo
.
5. Jos olet alueella 
toiminto 
tyydyttää eriarvoisuudet 
,Missä 
Ja 
jotkut todellisia lukuja, Tuo
,
Missä 
– alueen alue 
.
Näiden ominaisuuksien todistukset ovat samanlaisia kuin vastaavien lauseiden todistukset määrätylle integraalille.
Kaksoisintegraalin laskenta suorakulmaisissa suorakulmaisissa koordinaateissa
Oletetaan, että meidän on laskettava kaksoisintegraali 
, missä alue 
- epäyhtälöiden määrittelemä suorakulmio 
,
.
Teeskennetäänpä sitä 
on jatkuva tässä suorakulmiossa ja ottaa siinä ei-negatiivisia arvoja, niin tämä kaksoisintegraali on yhtä suuri kuin rungon tilavuus kantan kanssa 
, jonka yläpuolelta rajaa pinta 
, sivuilta - lentokoneet 
,
,
,
:
.
Toisaalta tällaisen luvun tilavuus voidaan laskea käyttämällä tiettyä integraalia:
,
Missä 
- tietyn kappaleen poikkileikkausala pisteen läpi kulkevan tason mukaan 
ja kohtisuorassa akseliin nähden 
. Ja koska tarkasteltavana oleva osa on kaareva puolisuunnikkaan muotoinen 
, jota rajoittaa edellä funktion kaavio 
, Missä 
kiinteä ja 
, Tuo
.
Näistä kolmesta yhtäläisyydestä seuraa se
.
Joten tämän kaksoisintegraalin laskenta on pelkistetty kahden kiinteän integraalin laskemiseen; kun lasketaan "sisäinen integraali" (kirjoitettu suluissa) 
pidetään pysyvänä.
Kommentti. Voidaan todistaa, että viimeinen kaava pätee myös 
, ja myös siinä tapauksessa, kun toiminto 
muuttaa merkkiä määritetyssä suorakulmiossa.
Kaavan oikeaa puolta kutsutaan iteroiduksi integraaliksi ja se merkitään seuraavasti:
.
Vastaavasti se voidaan osoittaa
.
Yllä olevasta seuraa, että
.
Viimeinen yhtäläisyys tarkoittaa, että integraation tulos ei riipu integroinnin järjestyksestä.
Tarkastellaan yleisempää tapausta, otamme käyttöön vakioverkkotunnuksen käsitteen. Normaali (tai säännöllinen) tietyn akselin suuntainen alue on sellainen alue, jossa mikä tahansa tämän akselin suuntainen suora leikkaa alueen rajan enintään kahdessa pisteessä. Toisin sanoen se leikkaa itse alueen ja sen rajan vain yhtä suoraa segmenttiä pitkin.
Oletetaan, että rajoitettu alue 
ja sen yläpuolella rajoittaa funktion kuvaaja 
, alla - funktiokaavio 
. Anna R( 
,
) - pienin suorakulmio, joka ympäröi tämän alueen 
.
Päästä alueelle 
määritelty ja jatkuva toiminto 
. Esittelemme uuden toiminnon:
,
sitten kaksoisintegraalin ominaisuuksien mukaisesti
.
Ja siksi
.
Segmentistä lähtien 
kuuluu kokonaan alueelle 
niin siis 
klo 
, ja jos 
on sitten tämän segmentin ulkopuolella 
.
Kiinteänä 
voimme kirjoittaa:
.
Koska ensimmäinen ja kolmas integraali oikealla ovat nolla, niin
.
Siten,
.
Mistä saamme kaavan kaksoisintegraalin laskemiseksi aluestandardin yli suhteessa akseliin 
vähentämällä se iteroiduksi integraaliksi:
.
Jos alue 
on vakiona akselisuunnassa 
ja sen määrää epätasa-arvo 
,
, samoin se voidaan todistaa
.
Kommentti. Alueelle 
, vakiona akselien suunnassa 
Ja 
, molemmat viimeiset yhtäläisyydet täyttyvät siis
Tämä kaava muuttaa integroinnin järjestystä laskettaessa vastaavaa kaksoisintegraalia.
Kommentti. Jos integrointialue ei ole standardi (oikea) molempien koordinaattiakselien suunnassa, niin se jaetaan standardialueiden summaksi ja integraali esitetään näiden alueiden integraalien summana.
Esimerkki. Laske kaksoisintegraali 
alueen mukaan 
, jota rajoittavat viivat: 
,
,
.
Ratkaisu.
Tämä alue on standardi suhteessa akseliin 
, ja suhteessa akseliin 
.
Lasketaan integraali ottaen huomioon, että pinta-ala on vakio akselin suhteen 
.
.
Kommentti. Jos lasketaan integraali ottaen huomioon pinta-alan standardi suhteessa akseliin 
, saamme saman tuloksen:
.
Esimerkki. Laske kaksoisintegraali 
alueen mukaan 
, jota rajoittavat viivat: 
,
,
.
Ratkaisu. Kuvataan annettu integrointialue kuvassa.
Tämä alue on standardi suhteessa akseliin 
.
.
Esimerkki. Muuta integroinnin järjestystä iteroidussa integraalissa:
Ratkaisu. Kuvataan integraatioalue kuvassa.
Integraation rajoista löydämme integraatioaluetta rajoittavat linjat: 
,
,
,
. Jos haluat muuttaa integrointijärjestystä, ilmaisemme 
funktioina 
ja etsi risteyspisteet:
,
,
.
Koska yhdellä intervalleista funktio 
ilmaistaan kahdella analyyttisellä lausekkeella, integrointialue on jaettava kahteen alueeseen ja toistettu integraali on esitettävä kahden integraalin summana.
.