Mikä on summan sini? Sinien ja kosinien summa ja erotus: kaavojen johtaminen, esimerkkejä

Yksi matematiikan alueista, jonka kanssa opiskelijat kamppailevat eniten, on trigonometria. Se ei ole yllättävää: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset tilaajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavojen avulla, yksinkertaistaa lausekkeita ja kykyä käyttää lukua pi laskelmat. Lisäksi sinun tulee osata käyttää trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä johtaa monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tähän tieteeseen tutustumisen tulisi alkaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mitä trigonometria tekee yleensä.

Historiallisesti tämän matematiikan tieteenalan pääasiallinen tutkimuskohde olivat suorakulmaiset kolmiot. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää kyseisen kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän mallin ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen välisestä suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkillä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat käytön rajojen laajentamisen Jokapäiväinen elämä tämä matematiikan ala.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijat käyttävät hankittua tietoa fysiikasta ja abstraktien ongelmien ratkaisemisesta. trigonometriset yhtälöt, jonka kanssa työ alkaa lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede ilmestyi seuraava taso Kehitys, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät erilaiset säännöt ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi maanpinta, ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pintamerkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteisessa avaruudessa.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Huomaa - se on saanut kaaren muodon. Pallogeometria käsittelee tällaisia ​​muotoja, joita käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensimmäinen askel on ymmärtää asiaan liittyvät käsitteet suorakulmainen kolmio. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Se on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi jos molemmat sivut ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, geometrisen perustan vakaalla ymmärryksellä, voidaan kääntyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen sivun suhde hypotenuusaan.

Muista, että sini tai kosini eivät voi olla enemmän kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Jos siis vastauksessasi ongelmaan saat sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai perusteluissa. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sinin jakaminen kosinilla antaa saman tuloksen. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jaamme sitten toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on vastaavasti kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yhden tangentilla.

Joten olemme tarkastelleet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme siirtyä kaavoihin.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa et tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Mutta juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos sinun on tiedettävä kulman koko eikä sivu.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja useita peruskaavoja, voit milloin tahansa johtaa tarvittavat monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.

Kaavat kaksoiskulmille ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät sinin ja kosinin arvoihin kulmien summalle ja erolle. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmilla kerroilla, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu edellisistä - harjoituksena yritä saada ne itse ottamalla alfakulma yhtä suuri kuin kulma beeta.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan järjestää uudelleen sinin, kosinin ja tangentin alfan tehon vähentämiseksi.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti ja siten kuvion pinta-ala ja kunkin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kummankin sivun pituus vastakkaisella kulmalla saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän kaksi sädettä, eli ympyrä, joka sisältää kaikki tietyn kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo kerrottuna viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Huolimattomia virheitä

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi katsotaanpa suosituimpia.

Ensinnäkin, sinun ei pitäisi muuntaa murtolukuja desimaaleiksi ennen kuin saat lopullisen tuloksen - voit jättää vastauksen murtoluku, ellei ehdoissa toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että jokaisessa ongelman vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaasi tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti sellaisiin arvoihin kuin kolmen tai kahden juuri, koska niitä löytyy ongelmista joka vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla kaksinkertaisesti, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan osoitat myös täydellisen ymmärryksen puutteen aiheesta. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille, kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opintoja, koska he eivät ymmärrä sen käytännön merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joilla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen tai lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai esineen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Koko trigonometrian pointti tulee siihen tosiasiaan, että kolmion tunnettujen parametrien avulla sinun on laskettava tuntemattomat. Parametria on yhteensä kuusi: pituus kolme puolta ja kolmen kulman koot. Ainoa ero tehtävissä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Tiedät nyt kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, päätavoite Trigonometrinen ongelma tulee tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juurien löytäminen. Ja täällä tavallinen koulumatematiikka auttaa sinua.

Kahden kulman summan ja erotuksen kosini

Tässä osiossa todistetaan seuraavat kaksi kaavaa:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kahden kulman summan (eron) kosini on yhtä suuri kuin näiden kulmien kosinien tulo miinus (plus) näiden kulmien sinien tulo.

Meidän on helpompi aloittaa kaavan (2) todistuksella. Esityksen yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan ensin, että kulmat α Ja β tyydyttää seuraavat ehdot:

1) jokainen näistä kulmista ei ole negatiivinen ja pienempi 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Olkoon 0x-akselin positiivinen osa kulmien yhteinen aloituspuoli α Ja β .

Merkitsemme näiden kulmien päätysivuja 0A:lla ja 0B:llä. Ilmeisesti kulma α - β voidaan katsoa kulmana, jolla sädettä 0B on käännettävä pisteen 0 ympäri vastapäivään niin, että sen suunta on sama kuin säteen 0A suunta.

Säteille 0A ja 0B merkitään pisteet M ja N, jotka sijaitsevat 1:n etäisyydellä koordinaattien 0 origosta siten, että 0M = 0N = 1.

Koordinaatistossa x0y pisteellä M on koordinaatit ( cos α, sin α), ja piste N on koordinaatit ( cos β, sin β). Siksi niiden välisen etäisyyden neliö on:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Laskelmissamme käytimme identiteettiä

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Tarkastellaan nyt toista koordinaattijärjestelmää B0C, joka saadaan kiertämällä 0x- ja 0y-akseleita pisteen 0 ympäri vastapäivään kulman verran β .

Tässä koordinaattijärjestelmässä pisteellä M on koordinaatit (cos ( α - β ), synti ( α - β )), ja piste N on koordinaatit (1,0). Siksi niiden välisen etäisyyden neliö on:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Mutta pisteiden M ja N välinen etäisyys ei riipu siitä, minkä koordinaattijärjestelmän suhteen näitä pisteitä tarkastelemme. Siksi

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Tästä seuraa kaava (2).

Nyt meidän pitäisi muistaa ne kaksi rajoitusta, jotka asetimme kulmien esittämisen yksinkertaistamiseksi α Ja β .

Vaatimus, että jokainen kulmat α Ja β ei ollut negatiivinen, ei todellakaan merkittävä. Loppujen lopuksi mihin tahansa näistä kulmista voit lisätä kulman, joka on 2:n kerrannainen, mikä ei vaikuta kaavan (2) pätevyyteen. Samalla tavalla kustakin näistä kulmista voit vähentää kulman, joka on kerrannainen 2π. Siksi voimme olettaa, että 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Tilanne osoittautuu myös merkityksettömäksi α > β . Todellakin, jos α < β , Tuo β >α ; siksi, kun otetaan huomioon funktion pariteetti cos X , saamme:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

joka on olennaisesti yhtäpitävä kaavan (2) kanssa. Siis kaava

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

totta kaikille kulmille α Ja β . Erityisesti vaihtaminen siihen β päällä - β ja ottaen huomioon, että toiminto cosX on tasainen, ja funktio syntiX outoa, saamme:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

joka todistaa kaavan (1).

Joten kaavat (1) ja (2) on todistettu.

Esimerkkejä.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Harjoitukset

1 . Laske käyttämättä trigonometriset taulukot:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Yksinkertaista lausekkeet:

a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) synti ( α -24°).

V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α synti 2 α .

3 . Laskea :

a) cos(α - β), Jos

cos α = - 2 / 5 , synti β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), jos cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . löytö cos(α + β) ja cos (α - β) , jos se synti tiedetään α = 7/25, cos β = - 5/13 ja molemmat kulmat ( α Ja β ) päättyy samalla vuosineljänneksellä.

5 .Laskea:

A). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

V). cos [ arctan 1/2 + arccos (- 2) ]

Usein kysytyt kysymykset

Onko mahdollista tehdä leima asiakirjaan toimitetun näytteen mukaan? Vastaus Kyllä, se on mahdollista. Lähetä meille sähköpostiosoite skannattu kopio tai valokuva hyvä laatu, ja teemme tarvittavan kaksoiskappaleen.

Millaisia ​​maksutyyppejä hyväksyt? Vastaus Voit maksaa asiakirjan vastaanotettuasi kuriirin, kun olet tarkistanut tutkintotodistuksen täyttämisen ja suorituslaadun. Tämän voi tehdä myös postiennakkopalveluja tarjoavien postiyhtiöiden toimipisteissä.
Kaikki asiakirjojen toimitus- ja maksuehdot on kuvattu kohdassa ”Maksu ja toimitus”. Olemme myös valmiita kuuntelemaan ehdotuksiasi asiakirjan toimitus- ja maksuehtoihin liittyen.

Voinko olla varma, että et katoa rahojeni kanssa tilauksen tekemisen jälkeen? Vastaus Meillä on melko pitkä kokemus diplomituotannosta. Meillä on useita verkkosivustoja, joita päivitetään jatkuvasti. Asiantuntijamme työskentelevät eri puolilla maata ja tuottavat yli 10 dokumenttia päivässä. Vuosien varrella asiakirjamme ovat auttaneet monia ihmisiä ratkaisemaan työllistymisongelmia tai siirtymään muualle korkeapalkkainen työ. Olemme ansainneet luottamusta ja tunnustusta asiakkaiden keskuudessa, joten meillä ei ole mitään syytä tehdä niin. Lisäksi tämä on yksinkertaisesti mahdotonta tehdä fyysisesti: maksat tilauksestasi, kun saat sen käsiisi, ennakkomaksua ei ole.

Voinko tilata tutkinnon mistä tahansa yliopistosta? Vastaus Yleisesti ottaen kyllä. Olemme työskennelleet tällä alalla lähes 12 vuotta. Tänä aikana muodostui lähes täydellinen tietokanta lähes kaikkien maan ja muiden yliopistojen myöntämistä asiakirjoista. eri vuosia liikkeeseenlasku. Sinun tarvitsee vain valita yliopisto, erikoisala, asiakirja ja täyttää tilauslomake.

Mitä tehdä, jos löydät asiakirjasta kirjoitusvirheitä? Vastaus Kun vastaanotat asiakirjan kuriiriltamme tai postiyritykseltämme, suosittelemme tarkistamaan kaikki tiedot huolellisesti. Mikäli kirjoitusvirheen, virheen tai epätarkkuuden havaitaan, sinulla on oikeus olla noutamatta tutkintotodistusta, mutta sinun tulee ilmoittaa havaitsemistasi puutteista henkilökohtaisesti kuriirille tai kirjallisesti lähettämällä kirje osoitteeseen sähköposti.
SISÄÄN niin pian kuin mahdollista Korjaamme asiakirjan ja lähetämme sen uudelleen määritettyyn osoitteeseen. Toimituskulut maksaa tietysti yrityksemme.
Tällaisten väärinkäsitysten välttämiseksi lähetämme asiakkaalle sähköpostitse mallin tulevasta asiakirjasta ennen alkuperäisen lomakkeen täyttämistä lopullisen version tarkistamista ja hyväksymistä varten. Ennen asiakirjan lähettämistä kuriirilla tai postitse otamme myös lisäkuvia ja videoita (myös ultraviolettivalossa), jotta sinulla on visuaalinen esitys siitä, mitä saat lopulta.

Mitä minun tulee tehdä, jotta voin tilata tutkintotodistuksen yrityksestäsi? Vastaus Tilataksesi asiakirjan (todistus, tutkintotodistus, akateeminen todistus jne.) sinun tulee täyttää verkkotilauslomake verkkosivuillamme tai antaa sähköpostiosoitteesi, jotta voimme lähettää sinulle hakulomakkeen, joka sinun tulee täyttää ja lähettää takaisin meille.
Jos et tiedä mitä merkitä johonkin tilauslomakkeen/kyselyn kenttään, jätä ne tyhjäksi. Siksi selvitämme kaikki puuttuvat tiedot puhelimitse.

Uusimmat arvostelut

Aleksei:

Minun täytyi hankkia tutkinto, jotta voisin työskennellä johtajana. Ja mikä tärkeintä, minulla on sekä kokemusta että taitoja, mutta en saa työtä ilman asiakirjaa. Kun törmäsin sivustoosi, päätin lopulta ostaa tutkintotodistuksen. Diplomi valmistui 2 päivässä!! Nyt minulla on työ, josta en koskaan ennen haaveillut!! Kiitos!

Kahden kulman α ja β sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavat mahdollistavat siirtymisen näiden kulmien summasta kulmien α + β 2 ja α - β 2 tuloon. Huomaa heti, että sinun ei pidä sekoittaa sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja summan ja erotuksen sinien ja kosinien kaavoihin. Alla luettelemme nämä kaavat, annamme niiden johdannaiset ja näytämme esimerkkejä sovelluksista tiettyihin ongelmiin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle

Kirjataan ylös, miltä sinien ja kosinien summa- ja erotuskaavat näyttävät

Sinien summa- ja erotuskaavat

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Kosinien summa- ja erotuskaavat

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β 2 · = 2 sin α + β - α 2

Nämä kaavat pätevät kaikille kulmille α ja β. Kulmia α + β 2 ja α - β 2 kutsutaan kulmien alfa ja beta puolisummaksi ja puoli-eroksi. Esitetään kunkin kaavan formulaatio.

Sinien ja kosinien summien ja erojen kaavojen määritelmät

Kahden kulman sinien summa on yhtä suuri kuin kaksi kertaa näiden kulmien puolikkaan summan sinin ja puolikkaan eron kosinin tulo.

Kahden kulman sinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolikkaan eron sinin ja puolisumman kosinin tulo.

Kahden kulman kosinien summa on yhtä suuri kuin kaksi kertaa näiden kulmien puolisumman kosinin ja puolikkaan eron kosinin tulo.

Kahden kulman kosinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolisumman sinin ja puolikkaan eron kosinin tulo negatiivisella etumerkillä.

Johtamiskaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle

Kahden kulman sinin ja kosinin summan ja eron kaavojen johtamiseen käytetään summauskaavoja. Listataan ne alle

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Kuvitellaan myös itse kulmat puolisummien ja puolierojen summana.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Siirrymme suoraan synin ja cosin summa- ja erotuskaavojen johtamiseen.

Sinien summan kaavan johtaminen

Summassa sin α + sin β korvaamme α ja β näiden kulmien edellä annetuilla lausekkeilla. Saamme

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Nyt käytämme yhteenlaskukaavaa ensimmäiseen lausekkeeseen ja toiseen - kulmaerojen sinin kaavaa (katso kaavat yllä)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Avaa sulut, lisää vastaavat termit ja hanki tarvittava kaava

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β α + 2 cos α - β 2

Vaiheet jäljellä olevien kaavojen johtamiseksi ovat samanlaisia.

Sinien eron kaavan johtaminen

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2

Kosinien summan kaavan johtaminen

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + β cos α - β 2

Kosinien erotuksen kaavan johtaminen

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2

Esimerkkejä käytännön ongelmien ratkaisemisesta

Aluksi tarkistetaan yksi kaavoista korvaamalla tietyt arvot kulmat Olkoon α = π 2, β = π 6. Lasketaan näiden kulmien sinien summan arvo. Ensin käytetään perusarvotaulukkoa trigonometriset funktiot, ja käytä sitten sinien summan kaavaa.

Esimerkki 1. Kahden kulman sinien summan kaavan tarkistaminen

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa kulma-arvot poikkeavat taulukossa esitetyistä perusarvoista. Olkoon α = 165°, β = 75°. Lasketaan näiden kulmien sinien välinen ero.

Esimerkki 2. Sinien erotuskaavan soveltaminen

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Käyttämällä sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja voit siirtyä summasta tai erotuksesta trigonometristen funktioiden tuloon. Usein näitä kaavoja kutsutaan kaavoiksi, joilla siirrytään summasta tuloksi. Sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja käytetään laajalti trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen lausekkeiden muuntamisessa.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter