Zadatak 19 nivo profila. Jedinstveni državni ispit iz matematike (profil)

Dom Na tabli je napisano 30 različitih prirodni brojevi

, od kojih je svaki paran ili se njegov decimalni zapis završava brojem 7. Zbir zapisanih brojeva je 810.

A) Može li na ploči biti tačno 24 parna broja? Redoslijed brojeva

je dato formulom opšteg termina: a_(n) = 1/(n^2+n) A) Pronađite najmanju vrijednost< 1/2017.

n , za koji je a_(n)

B) Pronađite najmanju vrijednost n pri kojoj će zbir prvih n članova ovog niza biti veći od 0,99. B) Postoje li članovi u ovom nizu koji se formiraju?

aritmetička progresija A) Neka je proizvod osam različitih prirodnih brojeva jednak A, a proizvod istih brojeva uvećanih za 1 jednak B. Nađi najveća vrijednost

B/A.

B) Neka je proizvod osam prirodnih brojeva (koji nisu nužno različiti) jednak A, a proizvod istih brojeva uvećanih za 1 jednak B. Može li vrijednost izraza biti jednaka 210?

C) Neka je proizvod osam prirodnih brojeva (koji nisu nužno različiti) jednak A, a proizvod istih brojeva uvećanih za 1 jednak je B. Može li vrijednost izraza B/A biti jednaka 63? Sa prirodnim brojem koji proizvode sledeća operacija

: između svake dve njegove susedne cifre upisuje se zbir ovih cifara (na primer, iz broja 1923 dobija se broj 110911253).

A) Navedite primjer broja iz kojeg se dobija 4106137125

B) Može li bilo koji broj proizvesti broj 27593118? B) Koji najveći broj

, višekratnik 9, može se dobiti iz trocifrenog broja čiji decimalni zapis nema devetke? U grupi su 32 učenika. Svaki od njih piše jedno ili dva testovi

< 14.
, za svaku od kojih možete dobiti od 0 do 20 bodova. Štaviše, svaki od dva test rada posebno daje prosjek od 14 bodova. Zatim je svaki učenik imenovao svoj najveći rezultat (ako je napisao jedan rad, imenovao ga je zbog toga), iz ovih rezultata je pronađena aritmetička sredina i ona je jednaka S.
B) Može li biti da 28 ljudi napiše dva testa i S=11?

P) Koliki je maksimalan broj učenika koji bi mogli napisati dva testa ako je S=11?

Na ploči je napisano 100 različitih prirodnih brojeva, čiji je zbir 5130

A) Da li je moguće da je na tabli napisan broj 240?

P) Koji je najmanji broj višekratnika od 16 koji može biti na ploči?

Na ploči je napisano 30 različitih prirodnih brojeva, od kojih je svaki paran ili se decimalni zapis završava na broj 7. Zbir napisanih brojeva je 810.

A) Može li na ploči biti tačno 24 parna broja?

B) Mogu li se tačno dva broja na ploči završiti na 7?

P) Koji je najmanji broj brojeva koji se završavaju na 7 koji može biti na tabli?

Svaki od 32 učenika ili je napisao jedan od dva testa ili oba testa. Za svaki rad možete dobiti cijeli broj bodova od 0 do 20 uključujući. Za svaki od dva testa posebno GPA je bilo 14. Zatim je svaki učenik naveo svoj najveći rezultat (ako je učenik napisao jedan rad, onda je za njega odredio rezultat). Pokazalo se da je aritmetička sredina navedenih tačaka jednaka S.

A) Navedite primjer kada je S< 14

B) Može li vrijednost S biti jednaka 17?

C) Koja je najmanja vrijednost koju bi S mogao uzeti ako bi oba testa napisalo 12 učenika?

19) Na tabli je napisano 30 brojeva. Svaki od njih je paran ili decimalni broj koji završava na 3. Njihov zbir je 793.

A) može li na ploči biti tačno 23 parna broja;
b) može se samo jedan od brojeva završavati na 3;
c) koji je najmanji broj ovih brojeva koji se mogu završiti na 3?

Na ploči je napisano nekoliko različitih prirodnih brojeva, od kojih je umnožak bilo koja dva veći od 40 i manji od 100.

A) Može li na tabli biti 5 brojeva?

B) Može li na tabli biti 6 brojeva?

P) Koja je najveća vrijednost koju zbir brojeva na tabli može imati ako ih ima četiri?

Dati brojevi: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Da li je moguće ove brojeve podijeliti u tri grupe tako da

A) U svakoj grupi zbir brojeva je podijeljen sa 3.
b) u svakoj grupi zbir brojeva je podijeljen sa 10.
c) zbir brojeva u jednoj grupi podeljen je sa 102, zbir brojeva u drugoj grupi sa 203, a zbir brojeva u trećoj grupi sa 304?

a) Nađi prirodan broj n takav da je zbir 1+2+3+...+n jednak trocifrenom broju čije su sve cifre iste.

B) Zbir četiri broja koji čine aritmetičku progresiju je 1, a zbir kubova ovih brojeva je 0,1. Pronađite ove brojeve.

A) Mogu li se brojevi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 podijeliti u dvije grupe sa istim proizvodom brojeva u tim grupama?

B) Mogu li se brojevi 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 podijeliti u dvije grupe sa istim proizvodom brojeva u tim grupama?

C) Koji je najmanji broj brojeva koji se mora izbaciti iz skupa 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 da bi se preostali brojevi mogli podijeliti u dvije grupe sa isti proizvod brojeva u ovim grupama? Navedite primjer takve podjele na grupe.

Dat je karirani kvadrat dimenzija 6x6.

A) Može li se ovaj kvadrat izrezati na deset različitih kariranih mnogouglova u paru?
B) Može li se ovaj kvadrat izrezati na jedanaest različitih kariranih poligona u paru?
B) Koliki je najveći broj u paru različitih kariranih pravougaonika na koje se ovaj kvadrat može izrezati?

Svaka ćelija tabele 3 x 3 sadrži brojeve od 1 do 9 (Sl.). U jednom potezu moguće je doći do dva susjedna broja (ćelije
imaju zajedničku stranu) dodaju isti cijeli broj.

A) Da li je moguće na ovaj način dobiti tabelu u kojoj će u svim ćelijama biti isti brojevi?

B) Da li je moguće dobiti tabelu na ovaj način koja se sastoji od jedne jedinice (u sredini) i osam nula?

C) Nakon nekoliko poteza, tabela sadrži osam nula i neki broj N koji nije nula. Pronađite sve moguće N.

A) Svaka tačka na ravni je obojena u jednu od dvije boje. Da li nužno postoje dvije tačke iste boje na ravni koje su jedna od druge udaljene tačno 1 m?

B) Svaka tačka na liniji je obojena u jednu od 10 boja. Da li na pravoj liniji nužno postoje dvije tačke iste boje, koje su jedna od druge odvojene cijelim brojem metara?

B) Može li bilo koji broj proizvesti broj 27593118? najveći broj Vrhovi kocke mogu biti obojeni plava tako da među plavi vrhovi bilo je nemoguće izabrati tri u tom obliku jednakostranični trougao?

Za petocifreni prirodni broj N poznato je da je djeljiv sa 12, a zbir njegovih cifara je djeljiv sa 12.

A) Mogu li svih pet cifara u N biti različite?
B) Pronađite najmanji mogući broj N;
B) Pronađite najveći mogući broj N;
D) Koliki je najveći broj identičnih cifara koji može biti sadržan u broju N? Koliko ima takvih brojeva N (koji sadrže najveći broj identičnih cifara u svojoj notaciji)?

Postoji pet štapova dužine 2, 3, 4, 5, 6.

A) Da li je moguće formirati jednakokraki trokut koristeći sve štapiće?

B) Da li je moguće formirati pravougao trougao koristeći sve štapiće?

B) Koji najmanja površina možeš li napraviti trougao koristeći sve štapiće? (Ne možete slomiti štapove)

Tri različita prirodna broja su dužine stranica nekog tupouglog trougla.

A) Može li omjer većeg od ovih brojeva i manjeg od njih biti jednak 3/2?

B) Može li omjer većeg od ovih brojeva i manjeg od njih biti jednak 5/4?

C) Koja je najmanja vrijednost koju može zauzeti omjer najvećeg od ovih brojeva i manjeg od njih, ako se zna da je prosječan broj 18?

Konačni niz a1,a2,...,a_(n) sastoji se od n većeg ili jednakog sa 3 ne nužno različita prirodna broja, a za sve prirodne k manje ili jednako n-2 jednakost a_(k+2 ) = 2a_(k +1)-a_(k)-1.

A) Navedite primjer takvog niza za n = 5, u kojem je a_(5) = 4.

B) Može li se prirodni broj pojaviti tri puta u ovom nizu?

C) Za koje najveće n se takav niz može sastojati samo od trocifrenih brojeva?

Cijeli brojevi x, y i z, tim redoslijedom, formiraju geometrijsku progresiju.

A) Mogu li brojevi x+3, y^2 i z+5 formirati aritmetičku progresiju tim redoslijedom?

B) Mogu li brojevi 5x, y i 3z formirati aritmetičku progresiju tim redoslijedom?

B) Pronađite sve x, y i z tako da brojevi 5x+3, y^2 i 3z+5 formiraju aritmetičku progresiju tim redoslijedom.

Na ploči su napisana dva prirodna broja: 672 i 560. U jednom potezu možete bilo koji od ovih brojeva zamijeniti modulom njihove razlike ili ga prepoloviti (ako je broj paran).

A) Mogu li biti dva identična broja na tabli nakon nekoliko poteza?

B) Može li se broj 2 pojaviti na tabli u nekoliko poteza?

C) Pronađite najmanji prirodni broj koji se može pojaviti na tabli kao rezultat takvih poteza.

Šah se može dobiti, izgubiti ili neriješeno. Šahist zapisuje rezultat svake partije koju igra i nakon svake partije izračunava tri pokazatelja: “pobjede” - postotak pobjeda, zaokružen na najbližu cjelinu, “neriješeno” - postotak neriješenih rezultata, zaokružen na najbližu cjelinu , i „porazi“, jednaki razlici od 100 i zbroju pokazatelja „pobjeda“ i „neriješenih“. (Na primjer, 13,2 je zaokruženo na 13, 14,5 je zaokruženo na 15, 16,8 je zaokruženo na 17).
a) Može li stopa pobjeda u nekom trenutku biti 17 ako je odigrano manje od 50 utakmica?
b) Može li se stopa “poraza” povećati nakon dobijene utakmice?
c) Jedna od partija je izgubljena. Za koji je najmanji broj odigranih utakmica indikator „poraza“ može biti jednak 1?

Neka je q najmanji zajednički višekratnik, a d najveći zajednički djelitelj prirodnih brojeva x i y koji zadovoljava jednakost 3x=8y–29.

U četi su dva voda, prvi vod ima manje vojnika od drugog, ali više od 50, a zajedno ima manje vojnika od 120. Komandir zna da četa može biti postrojena sa nekoliko ljudi u nizu tako da svaki red ima isti broj vojnika, više od 7, a ni u jednom redu neće biti vojnika iz dva različita voda.

A) Koliko je vojnika u prvom, a koliko u drugom vodu? Navedite barem jedan primjer.

B) Da li je moguće izgraditi četu na navedeni način, 11 vojnika u jednom redu?

P) Koliko vojnika može biti u jednoj četi?

Neka je q najmanji zajednički višekratnik, a d najveći zajednički djelitelj prirodnih brojeva x i y koji zadovoljava jednakost 3x=8y-29.

A) Može li q/d biti jednako 170?

B) Može li q/d biti jednako 2?

B) Pronađite najmanju vrijednost q/d

Odredite da li dva niza imaju zajedničke pojmove

A) 3; 16; 29; 42;... i 2; 19; 36; 53;...

B) 5; 16; 27; 38;... i 8; 19; 30; 41;...

B) Odrediti najveći broj zajedničkih pojmova koji mogu imati dvije aritmetičke progresije 1; ...; 1000 i 9; ...; 999, ako je poznato da je za svaki od njih razlika cijeli broj različit od 1.

A) Može li se broj 2016 predstaviti kao zbir sedam uzastopnih prirodnih brojeva?

A) Može li se broj 2016 predstaviti kao zbir šest uzastopnih prirodnih brojeva?

B) Izrazite broj 2016 kao zbir najvećeg broja uzastopnih parnih prirodnih brojeva.

Skup brojeva nazivamo dobrim ako se može podijeliti na dva podskupa sa istim zbirom brojeva.

A) Da li je skup (200;201;202;...;299) dobar?

B) Da li je skup (2;4;8;...;2^(100)) dobar?

C) Koliko dobrih podskupova od četiri elementa ima skup (1;2;4;5;7;9;11)?

Istraživanje je pokazalo da otprilike 58% ispitanika preferira umjetnu jelku nego prirodnu (broj 58 je dobijen zaokruživanjem na najbliži cijeli broj). Iz istog istraživanja proizilazi da otprilike 42% ispitanika nikada nije primijetilo Nova godina ne kod kuce.

A) Da li bi u anketi moglo učestvovati tačno 40 ljudi?
b) Da li bi u anketi moglo učestvovati tačno 48 ljudi?
c) Koji je najmanji broj ljudi koji bi mogli učestvovati u ovoj anketi?

Vanja igra igru. Na početku igre na tabli su ispisana dva različita prirodna broja od 1 do 9999. U jednom okretu igre Vanja mora riješiti kvadratna jednačina x^2-px+q=0, gdje su p i q dva broja, uzeta redoslijedom koji je izabrao Vanya, ispisana na ploči na početku ovog poteza, i, ako ova jednadžba ima dva različita prirodna korijena, zamijenite dva broja na tabli sa ovim korijenima. Ako ova jednadžba nema dva različita prirodna korijena, Vanja ne može napraviti potez i igra se završava.

A) Postoje li dva broja takva da Vanja može napraviti barem dva poteza kada počne igrati?
b) Postoje li dva broja sa kojima Vanja može napraviti deset poteza kada počne igrati?
c) Koliki je maksimalni broj poteza koje Vanya može napraviti pod ovim uslovima?

Na tabli je napisano 30 prirodnih brojeva (ne nužno različitih), od kojih je svaki veći od 14, ali ne prelazi 54. Aritmetička sredina napisanih brojeva bila je 18. Umjesto svakog od brojeva, napisan je broj ploča koja je bila upola manja od originalne. Brojevi za koje se kasnije ispostavilo da su manji od 8 su izbrisani sa ploče.

Četvorocifreni broj ćemo nazvati veoma srećnim ako su sve cifre u njegovom decimalnom zapisu različite, a zbir prve dve od ovih cifara jednak je zbiru poslednje dve od njih. Na primjer, 3140 je veoma srećan broj.
a) Ima li deset uzastopnih četvorocifrenih brojeva, među kojima su dva veoma srećna?
b) Može li razlika između dva veoma srećna četvorocifrena broja biti jednaka 2015?
c) Pronađite najmanji prirodan broj za koji ne postoji višekratnik vrlo srećnog četvorocifrenog broja.

Učenici određene škole su pisali test. Za ovaj test učenik može dobiti cijeli broj bodova koji nije negativan. Smatra se da je učenik položio ispit ako postigne najmanje 50 bodova. Za poboljšanje rezultata svaki učesnik testa dobio je 5 bodova, pa se povećao broj ljudi koji su prošli test.

A) Da li su prosječni rezultati učesnika koji su pali na testu mogli pasti nakon ovoga?

B) Može li se nakon ovoga smanjiti prosječna ocjena učesnika koji nisu pristupili testu, a da se u isto vrijeme smanji i prosječan rezultat učesnika koji su prošli test?

C) Neka početna prosječna ocjena učesnika koji su prošli test bude 60 bodova, onih koji nisu prošli test 40 bodova, a prosječna ocjena svih učesnika 50 bodova. Nakon sabiranja bodova, prosječna ocjena učesnika koji su prošli test je 63 boda, a onih koji nisu prošli test - 43. Koji je najmanji broj učesnika kod kojih je moguća ova situacija?

Za tri različita prirodna broja poznato je da su oni dužine stranica nekog tupouglog trougla.

A) Može li omjer većeg od ovih brojeva i manjeg od njih biti jednak 13/7?

B) Može li omjer većeg od ovih brojeva i manjeg od njih biti jednak 8/7?

C) Koja je najmanja vrijednost koju može uzeti omjer najvećeg od ovih brojeva prema manjem, ako je poznato da je prosjek ovih brojeva 25?

Dječaci i djevojčice učestvuju na šahovskom turniru. Za pobjedu u partiji šaha dodjeljuje se 1 bod, za neriješeno - 0,5 bodova, za poraz - 0 bodova. Prema pravilima turnira, svaki učesnik igra dva puta međusobno.

A) Koliki je maksimalni broj bodova koji bi djevojčice mogle ukupno osvojiti ako na turniru učestvuju pet dječaka i tri djevojčice?

B) Koliki je zbir bodova svih učesnika ako ih ima ukupno devet?

P) Koliko bi djevojčica moglo učestvovati na turniru ako se zna da ih je 9 puta manje nego dječaka i da su momci osvojili tačno četiri puta više bodova od djevojčica?

Dato je aritmetička progresija (s razlikom od nule) sastavljena od prirodnih brojeva čiji decimalni zapis ne sadrži broj 9.

A) Može li takva progresija imati 10 termina?
b) Dokazati da je broj njegovih članova manji od 100.
c) Dokažite da broj članova bilo koje takve progresije nije veći od 72.
d) Navedite primjer takve progresije sa 72 člana.

Crvena olovka košta 18 rubalja, plava 14 rubalja. Morate kupiti olovke sa samo 499 rubalja i promatranjem dodatni uslov: Broj plavih olovaka ne bi trebalo da se razlikuje od broja crvenih za više od šest.

A) Da li je moguće kupiti 30 olovaka?

B) Da li je moguće kupiti 33 olovke?

P) Koji je najveći broj olovaka koji možete kupiti?

Poznato je da su a, b, c i d parno različiti dvocifreni brojevi.
a) Može li biti zadovoljena jednakost (a+c)/(b+d)=7/19?
b) Može li razlomak (a+c)/(b+d) biti 11 puta manji od zbira (a/c)+(b/d)
c) Koja je najmanja vrijednost koju razlomak (a+c)/(b+d) može uzeti ako je a>3b i c>6d

Poznato je da su a, b, c i d parno različiti dvocifreni brojevi.

A) Može li se ispuniti jednakost (3a+2c)/(b+d) = 12/19?

B) Može li razlomak (3a+2c)/(b+d) biti 11 puta manji od zbira 3a/b + 2c/d

C) Koja je najmanja vrijednost koju razlomak (3a+2c)/(b+d) može uzeti ako je a>3b i c>2d?

Prirodni brojevi a, b, c i d zadovoljavaju uslov a>b>c>d.

A) Pronađite brojeve a, b, c i d ako su a+b+c+d=15 i a2−b2+c2−d2=19.

B) Može li postojati a+b+c+d=23 i a2−b2+c2−d2=23?

C) Neka su a+b+c+d=1200 i a2−b2+c2−d2=1200. Pronađite broj mogućih vrijednosti broja a.

Učenici jedne škole su pisali test. Rezultat svakog učenika je cijeli nenegativan broj bodova. Smatra se da je učenik položio ispit ako postigne najmanje 85 bodova. Zbog činjenice da su se zadaci pokazali preteški, odlučeno je dodati 7 bodova svim učesnicima testa, zbog čega se povećao broj onih koji su prošli test.
a) Da li je moguće da je prosječan rezultat učesnika koji su pali na testu nakon ovoga opao?
b) Da li je moguće da se nakon ovoga smanjila prosječna ocjena učesnika koji su prošli test, a da se smanji i prosječna ocjena učesnika koji nisu položili test?
c) Poznato je da je u početku prosječna ocjena učesnika testa bila 85, prosječna ocjena učesnika koji nisu prošli test 70. Nakon sabiranja bodova, prosječna ocjena učesnika koji su položili test je postala 100, a onih koji nisu položili test - 72. Sa kojim najmanjim brojem učesnika Da li je ova situacija moguća?

Tri broja nazivamo dobrom trojkom ako mogu biti dužine stranica trougla.
Tri broja nazivamo odličnom trojkom ako mogu biti dužine stranica pravokutnog trougla.
a) Dato je 8 različitih prirodnih brojeva. Može li biti? da među njima nema nijedno dobro troje?
b) Data su 4 različita prirodna broja. Može li se ispostaviti da među njima možete pronaći tri odlične trojke?
c) Dato je 12 različitih brojeva (ne nužno prirodnih). Koji je najveći broj odličnih trojki koje bi mogle biti među njima?

Nekoliko identičnih bačvi sadrži određeni broj litara vode (ne nužno iste). Možete prenijeti bilo koju količinu vode iz jednog bureta u drugo u isto vrijeme.
a) Neka postoje četiri bačve od 29, 32, 40, 91 litar. Da li je moguće izjednačiti količinu vode u bačvama u ne više od četiri transfera?
b) Staza ima sedam buradi. Da li je uvijek moguće izjednačiti količinu vode u svim bačvama u ne više od pet transfera?
c) Koji je najmanji broj transfuzije koji možete znati da bi se izjednačila količina vode u 26 buradi?

Na ploči je napisano 30 prirodnih brojeva (ne nužno različitih), od kojih je svaki veći od 4, ali ne prelazi 44. Aritmetička sredina napisanih brojeva bila je 11. Umjesto svakog od brojeva upisan je broj na tabli to je bilo upola manje od originalnog broja. Brojevi za koje se tada ispostavilo da su manji od 3 su izbrisani sa ploče.
a) Može li se ispostaviti da je aritmetička sredina preostalih brojeva na tabli veća od 16?
b) Može li aritmetička sredina preostalih brojeva na tabli biti veća od 14, ali manja od 15?
c) Pronađite najveću moguću vrijednost aritmetičke sredine preostalih brojeva na tabli.

U jednom od zadataka na računovodstvenom natjecanju potrebno je izdati bonuse zaposlenicima određenog odjela u ukupnom iznosu od 800.000 rubalja (iznos bonusa za svakog zaposlenika je cjelobrojni umnožak od 1000). Računovođa dobija distribuciju bonusa, a on ih mora izdati bez promjene ili zamjene, imajući 25 novčanica od 1000 rubalja i 110 novčanica od 5000 rubalja.
a) Da li će biti moguće izvršiti zadatak ako u odjeljenju ima 40 zaposlenih i svi treba da dobiju isti iznos?
b) Da li će biti moguće izvršiti zadatak ako vodećem specijalistu treba dati 80.000 rubalja, a ostatak podijeliti jednako na 80 zaposlenih?
c) Koji je najveći broj zaposlenih u odjelu koji će omogućiti da se izvrši zadatak za bilo kakvu raspodjelu bonusa?

Broj 2045 i još nekoliko (najmanje dva) prirodnih brojeva koji ne prelaze 5000 su napisani na ploči. Zbir bilo koja dva napisana broja podijeljen je s bilo kojim od ostalih.
a) Može li se na tabli napisati tačno 1024 broja?
b) Može li se na tabli napisati tačno pet brojeva?
c) Koji je najmanji broj brojeva koji se može napisati na tabli?

Na ploči je napisano nekoliko ne nužno različitih dvocifrenih prirodnih brojeva bez nula u decimalnom zapisu. Pokazalo se da je zbroj ovih brojeva jednak 2970. U svakom broju, prva i druga znamenka su zamijenjene (na primjer, broj 16 je zamijenjen sa 61)
a) Navedite primjer originalnih brojeva za koje je zbir dobijenih brojeva tačno 3 puta manji od zbira originalnih brojeva.
b) Može li zbir dobijenih brojeva biti tačno 5 puta manji od zbira originalnih brojeva?
c) Pronađite najmanju moguću vrijednost zbira dobijenih brojeva.

Rastuća konačna aritmetička progresija se sastoji od raznih nenegativnih cijelih brojeva. Matematičar je izračunao razliku između kvadrata zbira svih članova progresije i zbira njihovih kvadrata. Zatim je matematičar dodao sljedeći član ovoj progresiji i ponovo izračunao istu razliku.
A) Navedite primjer takve progresije ako je drugi put razlika bila 48 veća nego prvi put.
B) Drugi put razlika je bila 1440 veća nego prvi put. Može li se progresija u početku sastojati od 12 članova?
C) Drugi put razlika je bila 1440 veća nego prvi put. Koji je najveći broj članova koji bi mogao biti u progresiji na početku?

Brojevi od 9 do 18 se pišu jednom u krugu nekim redom. Za svaki od deset parova susjednih brojeva nalazi se njihov najveći zajednički djelitelj.
a) Može li se dogoditi da su svi najveći zajednički djelitelji jednaki 1? a) Na tabli je napisan skup -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4 Koji su brojevi bili namijenjeni?
b) Za neke različite zamišljene brojeve u skupu napisanom na tabli, broj 0 se pojavljuje tačno 2 puta.
Koji je najmanji broj brojeva koji se može zamisliti?
c) Za neke planirane brojeve, skup je ispisan na tabli. Da li je uvijek moguće nedvosmisleno odrediti željene brojeve iz ovog skupa?

Zamišljeno je nekoliko (ne nužno različitih) prirodnih brojeva. Ovi brojevi i svi njihovi mogući zbroji (2, 3, itd.) ispisani su na tabli bez opadanja. Ako se neki broj n napisan na ploči ponovi nekoliko puta, tada se jedan takav broj n ostavlja na ploči, a preostali brojevi jednaki n se brišu. Na primjer, ako su brojevi 1, 3, 3, 4, tada će na ploči biti napisan skup 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
a) Navedite primjer planiranih brojeva za koje će skup 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 biti ispisan na tabli.
b) Postoji li primjer tako zamišljenih brojeva za koje bi skup 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 bio napisan na odbor?
c) Navedite sve primjere zamišljenih brojeva za koje će skup 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41 biti ispisan na tabli.

Ima kamenih blokova: 50 komada po 800 kg, 60 komada od 1.000 kg svaki i 60 komada od 1.500 kg svaki (blokovi se ne mogu cijepati).
a) Da li je moguće transportovati sve ove blokove istovremeno na 60 kamiona, svaki nosivosti 5 tona, pod pretpostavkom da će odabrani blokovi stati u kamion?
b) Da li je moguće transportovati sve ove blokove istovremeno na 38 kamiona, svaki nosivosti 5 tona, pod pretpostavkom da će odabrani blokovi stati u kamion?
c) Koji je najmanji broj kamiona, svaki nosivosti 5 tona, koji će biti potreban da se svi ovi blokovi uklone istovremeno, pod pretpostavkom da će odabrani blokovi stati u kamion?

Dato je n različitih prirodnih brojeva koji čine aritmetičku progresiju (n je veće ili jednako 3).

A) Može li zbir svih ovih brojeva biti jednak 18?

B) Koja je najveća vrijednost n ako je zbir svih datih brojeva manji od 800?

B) Pronađite sve moguće vrijednosti n ako je zbir svih datih brojeva 111?

Zamišljeno je nekoliko (ne nužno različitih) prirodnih brojeva. Ovi brojevi i svi njihovi mogući zbroji (2, 3, itd.) ispisani su na tabli bez opadanja. Ako se neki broj n napisan na ploči ponovi nekoliko puta, tada se jedan takav broj n ostavlja na ploči, a preostali brojevi jednaki n se brišu. Na primjer, ako su brojevi 1, 3, 3, 4, tada će na ploči biti napisan skup 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

A) Navedite primjer planiranih brojeva za koje će skup 2, 4, 6, 8, 10 biti ispisan na tabli.

Karte se okreću i miješaju. Na svojim praznim stranama ponovo pišu jedan od brojeva:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Nakon toga, brojevi na svakoj kartici se zbrajaju, a dobijenih osam suma se množe.

A) Može li rezultat biti 0?

B) Može li rezultat biti 117?

P) Koji je najmanji nenegativni cijeli broj koji može rezultirati?

Zamišljeno je nekoliko cijelih brojeva. Skup ovih brojeva i svi njihovi mogući zbroji (2, 3, itd.) ispisani su na tabli u neopadajućem redoslijedu. Na primjer, ako su brojevi 2, 3, 5, tada će skup 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 biti napisan na ploči.

A) Na tabli je napisan skup -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Koji su brojevi planirani?
b) Za neke različite zamišljene brojeve u skupu napisanom na tabli, broj 0 se pojavljuje tačno 4 puta. Koji je najmanji broj brojeva koji se može zamisliti? a) Koliko je brojeva napisano na tabli?
b) Koji su brojevi napisani više: pozitivni ili negativni?
c) Koji je najveći broj pozitivnih brojeva koji mogu biti među njima?

Jedinstveni državni ispit na nivou matematičkog profila

Rad se sastoji od 19 zadataka.
1. dio:
8 zadataka sa kratkim odgovorima osnovnog nivoa težine.
dio 2:
4 zadatka sa kratkim odgovorom
7 zadataka sa detaljnim odgovorima visokog nivoa težine.

Trajanje - 3 sata i 55 minuta.

Primjeri zadataka Jedinstvenog državnog ispita

Rješavanje jedinstvenih ispitnih zadataka iz matematike.

Za nezavisna odluka:

1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublja 80 kopejki.
Strujomjer je 1. novembra pokazao 12.625 kilovat-sati, a 1. decembra 12.802 kilovat-sati.
Koliko treba da platim struju za novembar?
Odgovor dajte u rubljama.

U mjenjačnici 1 grivna košta 3 rublje 70 kopejki.
Turisti su zamijenili rublje za grivne i kupili 3 kg paradajza po cijeni od 4 grivne za 1 kg.
Koliko ih je rubalja koštala ova kupovina? Zaokružite odgovor na cijeli broj.

Masha je slala SMS poruke sa Novogodišnje čestitke za mojih 16 prijatelja.
Cijena jedne SMS poruke je 1 rublja 30 kopejki. Prije slanja poruke, Maša je na računu imala 30 rubalja.
Koliko će rubalja ostati Maši nakon što pošalje sve poruke?

Škola ima šatore za tri osobe.
Koji je najmanji broj šatora koji trebate ponijeti na kampiranje u kojem učestvuje 20 osoba?

Voz Novosibirsk-Krasnojarsk polazi u 15:20 i stiže u 4:20 sledećeg dana (po moskovskom vremenu).
Koliko sati vozi voz?

Riješite jednačinu:

1/cos 2 x + 3tgx - 5 = 0

Molimo navedite korijene
koji pripadaju segmentu(-p; p/2).

Rješenje:

1) Zapišimo jednačinu ovako:

(tg 2 x +1) + 3tgx - 5 = 0

Tg 2 x + 3tgx - 4 = 0

tgx = 1 ili tgx = -4.

dakle:

X = n/4 + nk ili x = -arctg4 + nk.

Segment (-p; p/2)

Korijeni pripadaju -3p/4, -arctg4, p/4.

Odgovor: -3p/4, -arctg4, p/4.

Znaš šta?

Ako svoju dob pomnožite sa 7, a zatim pomnožite sa 1443, rezultat će biti vaša starost napisana tri puta zaredom.

O negativnim brojevima razmišljamo kao o nečemu prirodnom, ali to nije uvijek bio slučaj. Negativni brojevi su prvi put legalizovani u Kini u 3. veku, ali su korišćeni samo u izuzetnim slučajevima, jer su se, generalno, smatrali besmislenim. Nešto kasnije u Indiji su se počeli upotrebljavati negativni brojevi za označavanje dugova, ali na zapadu nisu zaživjeli - poznati Diofant iz Aleksandrije tvrdio je da je jednadžba 4x+20=0 apsurdna.

Američki matematičar George Danzig, dok je diplomirao na univerzitetu, jednom je zakasnio na čas i pomiješao je jednačine napisane na tabli za domaći zadatak. Činilo mu se teže nego inače, ali nakon nekoliko dana uspio je to dovršiti. Ispostavilo se da je riješio dva "nerješiva" problema u statistici sa kojima su se mnogi naučnici borili.

U ruskoj matematičkoj literaturi nula nije prirodan broj, ali u zapadnoj literaturi, naprotiv, pripada skupu prirodnih brojeva.

Koristimo kod nas decimalni sistem Brojevi su nastali zbog činjenice da osoba ima 10 prstiju na rukama. Ljudi nisu odmah razvili sposobnost apstraktnog brojanja, a pokazalo se da je najzgodnije koristiti prste za brojanje. Civilizacija Maja i, nezavisno od njih, Čukči su istorijski koristili sistem brojeva od dvadeset cifara, koristeći prste ne samo na rukama, već i na nožnim prstima. Duodecimalni i seksagezimalni sistemi uobičajeni u starom Sumeru i Babilonu takođe su bili zasnovani na upotrebi ruku: falange ostalih prstiju dlana, čiji je broj 12, brojale su se palcem.

Jedna prijateljica je zamolila Ajnštajna da je nazove, ali je upozorila da je njen broj telefona veoma teško zapamtiti: - 24-361. Sjećaš li se? Ponavljam! Iznenađen, Ajnštajn je odgovorio: "Naravno da se sećam!" Dva tuceta i 19 na kvadrat.

Stephen Hawking jedan je od vodećih teorijskih fizičara i popularizatora nauke. U svojoj priči o sebi, Hawking je spomenuo da je postao profesor matematike, a da nije stekao nikakvo matematičko obrazovanje od srednja škola. Kada je Hoking počeo da predaje matematiku na Oksfordu, pročitao je udžbenik dve nedelje pre svojih učenika.

Maksimalan broj koji se može napisati rimskim brojevima bez kršenja Shvartsmanovih pravila (pravila za pisanje rimskih brojeva) je 3999 (MMMCMXCIX) - ne možete pisati više od tri znamenke u nizu.

Postoji mnogo parabola o tome kako jedna osoba poziva drugu da mu plati neku uslugu na sljedeći način: na prvom kvadratu šahovska tabla staviće jedno zrno pirinča, na drugo - dva, i tako redom: na svaku sledeću ćeliju duplo više nego na prethodnu. Kao rezultat toga, onaj ko plati na ovaj način sigurno će bankrotirati. To nije iznenađujuće: procjenjuje se da ukupna težina pirinča će iznositi više od 460 milijardi tona.

U mnogim izvorima, često sa svrhom ohrabrivanja učenika sa lošim uspjehom, postoji izjava da je Ajnštajn pao matematiku u školi ili, štaviše, generalno vrlo loše učio sve predmete. U stvari, sve nije bilo tako: Albert je počeo da pokazuje talenat za matematiku u ranoj mladosti i znao je to daleko izvan školskog programa.

Jedinstveni državni ispit 2019. iz matematičkog zadatka 19 sa rješenjem

Demo Opcija objedinjenog državnog ispita 2019 iz matematike

Jedinstveni državni ispit iz matematike 2019 pdf format Osnovni nivo | Nivo profila

Zadaci za pripremu za Jedinstveni državni ispit iz matematike: osnovni i specijalistički nivo sa odgovorima i rješenjima.

Matematika: osnovna | profil 1-12 | | | | | |

| | Dom

Jedinstveni državni ispit 2019 iz matematičkog zadatka 19

Jedinstveni državni ispit 2019. iz matematičkog profila 19. zadatak sa rješenjem

Jedinstveni državni ispit iz matematike
Broj P jednak je proizvodu 11 različitih prirodnih brojeva većih od 1.

Koji je najmanji broj prirodnih djelitelja (uključujući jedan i sam broj) koji broj P može imati.

Bilo koji prirodni broj N može se predstaviti kao proizvod:

N = (p1 x k1) (p2 x k2) ... itd.,

Gdje su p1, p2 itd. - prosti brojevi,

I k1, k2, itd. - nenegativni cijeli brojevi.

15 = (3 1) (5 1)

na primjer:

72 = 8 x 9 = (2 x 3) (3 2)

Dakle, ukupan broj prirodnih djelitelja broja N jednak je

(k1 + 1) (k2 + 1) ...
N1 = (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 = (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
što znači da
P = (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...,

A ukupan broj prirodnih djelitelja P je jednak

(k + k + ... + k + 1) (k + k + ... + k + 1) ...

Ovaj izraz poprima minimalnu vrijednost ako su svi brojevi N1...N11 uzastopni prirodni potenci istog prostog broja, počevši od 1: N1 = p, N2 = p 2 , ... N11 = p 1 1.

To je npr.
N1 = 2 1 = 2,
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
...
N11 = 2 1 1 = 2048.

Tada je broj prirodnih djelitelja P jednak
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

Jedinstveni državni ispit 2019. iz matematičkog profila 19. zadatak sa rješenjem

Rješenje:

Svaki prirodan broj može biti paran (2 k) ili neparan (2 k+1).

1. Ako je broj neparan:
n = 2 k+1 = (k)+(k+1). Brojevi k i k+1 su uvijek relativno prosti

(ako postoji neki broj d koji je delilac x i y, onda broj |x-y| takođe mora biti deljiv sa d. (k+1)-(k) = 1, odnosno 1 mora biti deljiv sa d , odnosno d=1, a ovo je dokaz međusobne jednostavnosti)

To jest, dokazali smo da se svi neparni brojevi mogu predstaviti kao zbir dva relativno prosta broja.
Izuzetak prema uslovu bit će brojevi 1 i 3, jer se 1 uopće ne može predstaviti kao zbir prirodnih, a 3 = 2+1 i ništa drugo, a jedan kao pojam ne odgovara uslovu.

2. Ako je broj paran:
n=2k
Ovdje moramo razmotriti dva slučaja:

2.1. k - paran, tj. predstaviti kao k = 2 m.
Tada je n = 4 m = (2 m+1)+(2 m-1).
Brojevi (2 m+1) i (2 m-1) mogu imati samo zajednički djelitelj (vidi gore) koji dijeli broj (2 m+1)-(2 m-1) = 2. 2 je djeljivo sa 1 i 2.
Ali ako je djelitelj 2, ispada da neparni broj 2 m+1 mora biti djeljiv sa 2. To se ne može dogoditi, tako da ostaje samo 1.

Tako smo dokazali da se svi brojevi oblika 4 m (tj. višekratnici broja 4) mogu predstaviti i kao zbir dva relativno jednostavna.
Izuzetak je ovdje broj 4 (m=1), koji, iako se može predstaviti kao 1+3, jedinica kao pojam ipak nam nije prikladan.

2.1. k - neparan, tj. predstaviti kao k = 2 m-1.
Tada je n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
Brojevi (2 m-3) i (2 m+1) mogu imati zajednički djelitelj koji dijeli broj 4. To jest, ili 1, ili 2, ili 4. Ali ni 2 ni 4 nisu pogodni, jer (2 m+ 1) - broj je neparan i ne može se podijeliti ni sa 2 ni sa 4.

Tako smo dokazali da se svi brojevi oblika 4 m-2 (tj. svi višekratnici 2, ali ne i 4) mogu predstaviti i kao zbir dva relativno jednostavna.
Izuzetak su brojevi 2 (m=1) i 6 (m=2), za koje je jedan od članova u dekompoziciji u par relativno prostih brojeva jednak jedan.

19. zadatak na profilnom nivou Jedinstvenog državnog ispita iz matematike ima za cilj utvrđivanje sposobnosti učenika da operišu brojevima, odnosno njihovim svojstvima. Ovaj zadatak je najteži i zahtijeva nestandardan pristup i dobro poznavanje svojstava brojeva. Idemo dalje na razmatranje tipičnog zadatka.

Analiza tipičnih opcija za zadatke broj 19 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike na nivou profila

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018)

Na ploči je napisano više od 40, ali manje od 48 cijelih brojeva. Aritmetička sredina ovih brojeva je –3, aritmetička sredina svih pozitivnih je 4, a aritmetička sredina svih negativnih je –8.

a) Koliko brojeva je napisano na tabli?

b) Koji su brojevi napisani više: pozitivni ili negativni?

c) Koji je najveći broj pozitivnih brojeva koji mogu biti među njima?

Algoritam rješenja:

1. Uvodimo varijable k, l, m.
2. Pronađite zbir skupa brojeva.
3. Odgovaramo na tačku a).
4. Određujemo koji su brojevi veći (tačka b)).
5. Odredite koliko pozitivnih brojeva ima.

Rješenje:

1. Neka su k pozitivni brojevi među brojevima napisanim na tabli. Negativni brojevi l i nula m.

2. Zbir napisanih brojeva jednak je njihovom broju u datom unosu na tabli, pomnoženom sa aritmetičkom sredinom. Odredite količinu:

4k−8 l+ 0⋅m = − 3(k + l+m)

3. Imajte na umu da je s lijeve strane u upravo datoj jednakosti svaki od članova djeljiv sa 4, dakle zbir broja svake vrste brojeva k + l+ m je također djeljiv sa 4. Po uslovu ukupan broj napisani brojevi zadovoljavaju nejednakost:

40 < k + l+m< 48

Tada k + l+ m = 44, jer je 44 jedini prirodan broj između 40 i 48 koji je djeljiv sa 4.

To znači da su na tabli ispisana samo 44 broja.

4. Odredite koje vrste brojeva ima više: pozitivnih ili negativnih. Da bismo to učinili, predstavljamo jednakost 4k −8l = − 3(k + l+m) na pojednostavljeni oblik: 5 l= 7k + 3m.

5. m≥ 0. To implicira: 5 l≥ 7k, l> k. Ispada da je napisano više negativnih brojeva nego pozitivnih. Zamjenjujemo k + l+ m broj 44 u jednakosti

4k −8l = − 3(k + l+ m).

4k − 8 l= −132, k = 2 l − 33

k + l≤ 44, onda ispada: 3 l− 33 ≤ 44; 3l ≤ 77;l≤ 25; k = 2 l− 33 ≤17. Odavde dolazimo do zaključka da nema više od 17 pozitivnih brojeva.

Ako postoji samo 17 pozitivnih brojeva, onda je broj 4 napisan na ploči 17 puta, broj −8 je napisan 25 puta, a broj 0 je napisan 2 puta.

Odgovor: a) 44; b) negativan; c) 17.

Druga opcija 1 (od Yashchenka, br. 1)

Na ploči je napisano 35 različitih prirodnih brojeva, od kojih je svaki ili paran ili se njegov decimalni zapis završava na broj 3. Zbir napisanih brojeva je 1062.

a) Može li na ploči biti tačno 27 parnih brojeva?

b) Mogu li tačno dva broja na ploči da se završavaju na 3?

c) Koji je najmanji broj brojeva koji se završavaju na 3 koji može biti na tabli?

Algoritam rješenja:

1. Dajemo primjer skupa brojeva koji zadovoljava uvjet (Ovo potvrđuje mogućnost skupa brojeva).
2. Provjeravamo vjerovatnoću drugog uslova.
3. Odgovor na treće pitanje tražimo uvođenjem varijable n.
4. Zapisujemo odgovore.

Rješenje:

1. Ova približna lista brojeva na tabli ispunjava date uslove:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Ovo odgovara na pitanje a potvrdno.

2. Neka su na ploči ispisana tačno dva broja, od kojih je zadnja cifra 3. Tada su na njoj zapisana 33 parna broja. Njihov zbir:

Ovo je u suprotnosti sa činjenicom da je zbir zapisanih brojeva 1062, odnosno da nema potvrdnog odgovora na pitanje b.

3. Pretpostavljamo da je na tabli ispisanih n brojeva koji se završavaju na 3, a (35 – n) od ispisanih je paran. Tada je zbir brojeva koji završavaju na 3 jednak

i zbir parnih jedinica:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Zatim iz uslova:

Rješavamo rezultirajuću nejednačinu:

Ispostavilo se da . Odavde, znajući da je n prirodan broj, dobijamo .

3. Najmanji broj brojeva koji završavaju na 3 može biti samo 5. I doda se 30 parnih brojeva, tada je zbir svih brojeva neparan. To znači da ima više brojeva koji se završavaju na 3. od pet, pošto je zbir po uslovu jednak parnom broju. Pokušajmo uzeti 6 brojeva, pri čemu je posljednja cifra 3.

Navedimo primjer kada se 6 brojeva završava na tri, a 29 parnih brojeva. Njihov zbir je 1062. Rezultat je sljedeća lista:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

odgovor: a) da; b) ne; c) 6.

Treća opcija (od Yashchenka, br. 4)

Maša i Nataša fotografisale su se nekoliko dana zaredom. Prvog dana Maša je napravila m fotografija, a Nataša - n fotografija. Svakog narednog dana svaka od djevojaka je napravila po jednu fotografiju više nego prethodnog dana. Poznato je da je Nataša snimila ukupno 1173 fotografije više od Maše i da su fotografisali duže od jednog dana.

a) Da li bi mogli da fotografišu 17 dana?

b) Da li bi mogli da fotografišu 18 dana?

c) Koliki je najveći ukupan broj fotografija koje je Nataša mogla da snimi za sve dane fotografisanja, ako se zna da je Maša poslednjeg dana napravila manje od 45 fotografija?

Algoritam rješenja:

1. Odgovorimo na pitanje a).
2. Hajde da nađemo odgovor na pitanje b).
3. Hajde da pronađemo ukupan broj fotografija koje je napravila Natasha.
4. Hajde da zapišemo odgovor.

Rješenje:

1. Ako je Maša snimila m fotografija prvog dana, onda je fotografisala za 17 dana slike.

Jedinstveni državni ispit 2017. Matematika. Nivo profila. Zadatak 19. Rješavanje zadataka i jednačina u cijelim brojevima. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2017. - 128 str.

Ova knjiga je posvećena problemima u kojima se koriste svojstva cijelih brojeva. Na primjeru zadataka sličnih zadacima iz varijanti Jedinstvenog državnog ispita, kao i zadacima ponuđenim na raznim matematičkim olimpijadama, pokušano je da se sistematiziraju po vrstama i navedu glavne metode rješavanja. Autor se nada da će ova knjiga biti korisna srednjoškolcima samostalno učenje Jedinstvenom državnom ispitu, kao i nastavnicima matematike, voditeljima klubova i svima onima koji žele samostalno naučiti rješavati zanimljive matematičke zadatke.

Format: pdf

Veličina: 1,4 MB

Pogledajte, preuzmite:drive.google

SADRŽAJ
UVOD 4
POGLAVLJE 1. DIOFANTOVE JEDNAČINE PRVOG REDA SA DVA NEPOZNATA 6
Zadaci za samostalno rješenje 11
POGLAVLJE 2. DIOFANTOVE JEDNAČINE DRUGOG REDA SA DVE NEPOZNATE 12
Zadaci za samostalno rješenje 20
POGLAVLJE 3. DRUGE JEDNAČINE U CIJELIM BROJEVIMA 22
Zadaci za samostalno rješenje 25
POGLAVLJE 4. TEKSTNI PROBLEMI KORIŠTENJEM CJELOBROJNIH JEDNAČINA 28
Zadaci za samostalno rješenje 33
POGLAVLJE 5. Varijabilne procjene. ORGANIZACIJA PRETRAGE 36
Zadaci za samostalno rješenje 45
POGLAVLJE 6. NEJEDNAKOSTI U CIJELIM BROJEVIMA. GRAFIČKE ILUSTRACIJE 51
Zadaci za samostalno rješenje 60
POGLAVLJE 7. PROBLEMI PODJELA 62
Zadaci za samostalno rješenje 68
POGLAVLJE 8. TEKSTNI PROBLEMI KORIŠTENJEM DIJELJENJA CIJELIH BROJEVA 70
Zadaci za samostalno rješenje 75
POGLAVLJE 9. EKSTREMNI PROBLEMI U CIJELIM BROJEVIMA 79
Zadaci za samostalno rješenje 87
POGLAVLJE 10. CIJELOBROJNE PROGRESIJE 91
Zadaci za samostalno rješenje 97
POGLAVLJE 11. CIJELI I KVADRATNI TRINOM 99
Zadaci za samostalno rješenje 105
POGLAVLJE 12. ZADACI SLIČNI ZADACIMA 19 IZ UPOTREBE 107
Zadaci za samostalno rješenje 113
POGLAVLJE 13. ZADACI MATEMATIČKE OLIMPIJADE 115
Zadaci za samostalno rješenje 120
ODGOVORI NA PROBLEME ZA SAMOSTALNO UČENJE
RJEŠENJA 124

Poslednjih godina značajno je poraslo interesovanje za probleme koji koriste svojstva celih brojeva. To je determinisano, prije svega, promijenjenim formatom Uniteda državni ispit u matematici. U varijantama Jedinstvenog državnog ispita poslednjih godina Problem visokog nivoa (problem 19) tradicionalno se povezuje sa celim brojevima. Osim toga, takvi problemi se nalaze u gotovo svakoj verziji raznih olimpijada koje se održavaju za srednjoškolce i koje pružaju pogodnosti za upis na univerzitete.
Cjelobrojni problemi su oduvijek smatrani jednim od najizazovnijih problema koji se nude srednjoškolcima. To je zbog nedostatka jedne metode ili čak nekoliko metoda za njihovo rješavanje. Istovremeno, rješenje većine ovih problema, sa mogućim izuzetkom zadataka koji se ispituju u specijalnim predmetima u školama fizike i matematike, ne sadrži teorijski materijal koji izlazi iz okvira nastavnog plana i programa srednjoškolskog matematičkog programa. Štaviše, teorija je, u izvesnom smislu, ovde generalno svedena na minimum. Na primjer, za rješavanje problema koji uključuju cijele brojeve, uopće nije potrebno poznavati sve trigonometrijske formule. Ali ono što je apsolutno neophodno je sposobnost da se logično razmišlja, da se obuhvati čitav problem, kako kažu šahisti, da se „izračuna nekoliko poteza unapred“.

U zadatku 19 osnovnog nivoa predlažu se zadaci na temu „Djeljivost prirodnih brojeva“. Da biste riješili takav problem, morate dobro poznavati znakove djeljivosti prirodnih brojeva.

Znakovi djeljivosti.

Znakovi djeljivosti sa 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Test djeljivosti po 2 . Broj je djeljiv sa 2 ako je njegova posljednja znamenka nula ili djeljiva sa 2. Brojevi djeljivi sa dva nazivaju se parni, a brojevi koji nisu djeljivi sa dva neparni.

2. Test djeljivosti po 4 . Broj je djeljiv sa 4 ako su njegove posljednje dvije cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 4.

3. Test djeljivosti po 8 . Broj je djeljiv sa 8 ako su njegove posljednje tri cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 8.

4. Znakovi djeljivosti na 3 I 9 . Broj je djeljiv sa 3 ako mu je zbir cifara djeljiv sa 3. Broj je djeljiv sa 9 ako mu je zbir cifara djeljiv sa 9.

5. Test djeljivosti po 6 . Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv sa 2 i 3.

6. Test djeljivosti po 5 . Broj je djeljiv sa 5 ako mu je zadnja cifra nula ili 5.

7. Test djeljivosti po 25 . Broj je djeljiv sa 25 ako su njegove posljednje dvije cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 25.

8. Test djeljivosti po 10 . Broj je djeljiv sa 10 ako mu je zadnja cifra nula.

9. Test djeljivosti po 100 . Broj je djeljiv sa 100 ako su njegove posljednje dvije cifre nule.

10. Test djeljivosti po 1000 . Broj je djeljiv sa 1000 ako su njegove posljednje tri cifre nule.

11. Test djeljivosti po 11 . Samo ti brojevi su djeljivi sa 11 ako je zbir cifara na neparnim mjestima ili jednak zbiru cifara na parnim mjestima ili se od njega razlikuje brojem djeljivim sa 11. (Na primjer, 12364 je djeljivo sa 11, jer 1+3+4=2+6.)

Za-da-nie 19 (1). Na primjer, trocifreni broj, zbir cifara je jednak 20, a zbir kvadrata cifara podijeljen je sa 3, ali ne de-lit -sya na 9.

Rješenje.

Podijelite broj 20 na slabe-različite načine:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Pronađite zbroj kvadrata u svakom proširenju i provjerite da li je djeljiv sa 3, a nije djeljiv sa 9?

Napominjemo da ako su u dekompoziciji 2 broja djeljiva sa 3, tada zbir kvadrata nije djeljiv sa 3.

9 2 +9 2 +2 2 nije djeljivo sa 3

Prilikom dijeljenja uz pomoć (1)−(4), zbir kvadrata brojeva nije djeljiv sa 3.

Prilikom dijeljenja metode (5), zbir kvadrata se dijeli sa 3 i 9.

Dispozicija na šesti način ispunjava uslove za to. Dakle, uslov je zadovoljen bilo kojim brojem, kao što su cifre 5, 7 i 8, na primer brojevi 578 ili 587 ili 785, itd.