Test 15 transformacija literalnih izraza. Numerički, alfabetski i varijabilni izrazi: definicije, primjeri. Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Dom Zapisivanje uslova zadataka pomoću notacije prihvaćene u matematici dovodi do pojave tzv. matematički izrazi , koji se jednostavno nazivaju izrazi. U ovom članku ćemo detaljno govoriti o tome numerički, doslovni izrazi i izrazi sa varijablama

: dat ćemo definicije i dati primjere izraza svake vrste.

Navigacija po stranici.

Brojčani izrazi - šta su to? Upoznavanje s brojčanim izrazima počinje gotovo od prvih časova matematike. Ali oni službeno dobivaju svoje ime - numerički izrazi - malo kasnije. Na primjer, ako pratite kurs M.I. Moroa, onda se to događa na stranicama udžbenika matematike za 2 razreda. Tamo se ideja o numeričkim izrazima daje na sljedeći način: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, itd. - ovo je sve numeričke izraze , a ako izvršimo naznačene radnje u izrazu, naći ćemo.

vrijednost izraza

Možemo zaključiti da su u ovoj fazi izučavanja matematike numerički izrazi zapisi sa matematičkim značenjem koji se sastoje od brojeva, zagrada i znakova za sabiranje i oduzimanje. Malo kasnije, nakon upoznavanja sa množenjem i dijeljenjem, pisanje numeričke izraze

počinju sadržavati znakove “·” i “:”. Navedimo nekoliko primjera: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, itd. A u srednjoj školi raznovrsnost zapisa brojčanih izraza raste kao gruda snijega koja se kotrlja niz planinu. Sadrže obične i decimale

, mješoviti brojevi i negativni brojevi, potenci, korijeni, logaritmi, sinusi, kosinusi i tako dalje.

Hajde da sumiramo sve informacije u definiciju numeričkog izraza:

Definicija. Numerički izraz

je kombinacija brojeva, znakova aritmetičkih operacija, razlomaka, znakova korijena (radikala), logaritma, oznaka za trigonometrijske, inverzne trigonometrijske i druge funkcije, kao i zagrada i drugih posebnih matematičkih simbola, sastavljenih u skladu s prihvaćenim pravilima u matematici.

Objasnimo sve komponente navedene definicije.

Sve je jasno sa znacima aritmetičkih operacija - to su znaci sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, koji imaju oblik "+", "−", "·" i ":". Numerički izrazi mogu sadržavati jedan od ovih znakova, neke od njih ili sve odjednom, pa čak i više puta. Evo primjera numeričkih izraza s njima: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Što se tiče zagrada, postoje i numerički izrazi koji sadrže zagrade i izrazi bez njih. Ako u numeričkom izrazu postoje zagrade, onda u osnovi postoje

A ponekad zagrade u numeričkim izrazima imaju neku specifičnu, posebno naznačenu posebnu svrhu. Na primjer, možete pronaći uglaste zagrade koje označavaju cijeli dio broja, tako da numerički izraz +2 znači da se broj 2 dodaje cijelom dijelu broja 1,75.

Iz definicije numeričkog izraza također je jasno da izraz može sadržavati , , log , ln , lg , oznake ili itd. Evo primjera numeričkih izraza s njima: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 i .

Podjela u numeričkim izrazima može se označiti sa . U ovom slučaju se odvijaju numerički izrazi sa razlomcima. Evo primjera takvih izraza: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 i .

Kao posebne matematičke simbole i oznake koje se mogu naći u numeričkim izrazima predstavljamo . Na primjer, pokažimo numerički izraz sa modulom .

Šta su bukvalni izrazi?

Koncept slovnih izraza dat je gotovo odmah nakon upoznavanja sa numeričkim izrazima. Upisuje se otprilike ovako. U određenom numeričkom izrazu jedan od brojeva se ne zapisuje, već se na njegovo mjesto stavlja krug (ili kvadrat, ili nešto slično) i kaže se da se određeni broj može zamijeniti krugom. Na primjer, pogledajmo unos. Ako stavite, na primjer, broj 2 umjesto kvadrata, dobit ćete brojčani izraz 3+2. Dakle, umjesto krugova, kvadrata itd. pristali da zapišu slova, a takvi izrazi sa slovima su se zvali doslovni izrazi. Vratimo se našem primjeru, ako u ovom unosu stavimo slovo a umjesto kvadrata, dobićemo doslovni izraz oblika 3+a.

Dakle, ako u numeričkom izrazu dopustimo prisustvo slova koja označavaju određene brojeve, onda dobijamo takozvani literalni izraz. Dajemo odgovarajuću definiciju.

Hajde da sumiramo sve informacije u definiciju numeričkog izraza:

Poziva se izraz koji sadrži slova koja predstavljaju određene brojeve doslovan izraz.

Od ovu definiciju Jasno je da se doslovni izraz fundamentalno razlikuje od numeričkog izraza po tome što može sadržavati slova. Obično se mala slova koriste u bukvalnim izrazima latinica(a, b, c, ...), a pri označavanju uglova - mala slova grčkog alfabeta (α, β, γ, ...).

Dakle, literalni izrazi mogu biti sastavljeni od brojeva, slova i sadržavati sve matematičke simbole koji se mogu pojaviti u numeričkim izrazima, kao što su zagrade, znakovi korijena, logaritmi, trigonometrijske i druge funkcije, itd. Posebno ističemo da doslovni izraz sadrži barem jedno slovo. Ali može sadržavati i nekoliko identičnih ili različitih slova.

Sada dajmo nekoliko primjera doslovnih izraza. Na primjer, a+b je doslovni izraz sa slovima a i b. Evo još jednog primjera doslovnog izraza 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. I dajmo primjer doslovnog izraza složenog tipa: .

Izrazi sa varijablama

Ako u doslovnom izrazu slovo označava količinu za koju je potrebno više od jedne specifično značenje, i može prihvatiti različita značenja, onda se ovo slovo zove varijabla i izraz se zove izraz sa promenljivom.

Hajde da sumiramo sve informacije u definiciju numeričkog izraza:

Izraz sa varijablama je doslovni izraz u kojem slova (sva ili neka) označavaju količine koje poprimaju različite vrijednosti.

Na primjer, neka slovo x u izrazu x 2 −1 uzima bilo koju prirodnu vrijednost iz intervala od 0 do 10, tada je x varijabla, a izraz x 2 −1 je izraz sa varijablom x.

Vrijedi napomenuti da u izrazu može biti nekoliko varijabli. Na primjer, ako smatramo da su x i y promjenljive, onda je izraz je izraz sa dvije varijable x i y.

Općenito, prijelaz sa koncepta doslovnog izraza na izraz sa varijablama događa se u 7. razredu, kada počnu učiti algebru. Do ove tačke, slovni izrazi su modelirali neke specifične zadatke. U algebri počinju da posmatraju izraz uopštenije, bez osvrta na konkretan problem, sa shvatanjem da je ovaj izraz pogodan za veliki broj problema.

Da zaključimo ovu tačku, obratimo pažnju na još jednu stvar: prema izgled Nemoguće je iz doslovnog izraza znati da li su slova u njemu promjenljive ili ne. Stoga nas ništa ne sprečava da ova slova smatramo varijablama. U ovom slučaju nestaje razlika između pojmova “doslovni izraz” i “izraz s varijablama”.

Reference.

• Matematika. 2 klase Udžbenik za opšte obrazovanje institucije sa pril. po elektronu nosilac. U 14 sati 1. dio / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, itd.] - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2012. - 96 str.: ilustr. - (Ruska škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Program izbornog predmeta „Pretvaranje brojčanih i alfabetskih izraza”

Objašnjenje

IN poslednjih godina Kvalitet školskog matematičkog obrazovanja provjerava se pomoću CMM-a, čiji se najveći dio zadataka nudi u obliku testa. Ovaj oblik verifikacije se razlikuje od klasičnog ispitni rad i zahtijeva posebnu obuku. Karakteristika testiranja u formi koja se do sada razvila je potreba da se odgovori veliki broj pitanja u ograničenom vremenskom periodu, tj. Potrebno je ne samo tačno odgovoriti na postavljena pitanja, već i učiniti to dovoljno brzo. Stoga je važno da učenici ovladaju raznim tehnikama i metodama koje će im omogućiti postizanje željenog rezultata.

Prilikom odlučivanja o skoro svakoj školi matematički problem moraju se napraviti neke transformacije. Često je njegova složenost u potpunosti određena stepenom složenosti i količinom transformacije koju treba izvršiti. Nije neuobičajeno da učenik ne može riješiti problem, ne zato što ne zna kako se rješava, već zato što ne može bez grešaka izvršiti sve potrebne transformacije i proračune u zadanom vremenu.

Primjeri pretvaranja numeričkih izraza nisu važni sami po sebi, već kao sredstvo za razvoj tehnika konverzije. Svake godine školovanje koncept broja je proširen sa prirodnog na realan i, u srednjoj školi, transformacije stepena, logaritamske i trigonometrijski izrazi. Ovaj materijal je prilično težak za proučavanje, jer sadrži mnogo formula i pravila transformacije.

Da biste pojednostavili izraz, izvršili tražene radnje ili izračunali vrijednost izraza, morate znati u kojem smjeru biste se trebali „kretati“ duž putanje transformacija koje vode do tačnog odgovora duž najkraćeg „puta“. Izbor racionalnog puta u velikoj meri zavisi od posedovanja celokupne količine informacija o metodama transformacije izraza.

U srednjoj školi postoji potreba za sistematizacijom i produbljivanjem znanja i praktičnih vještina u radu sa brojevnim izrazima. Statistike pokazuju da je oko 30% grešaka pri prijavljivanju na univerzitete računske prirode. Stoga je prilikom razmatranja relevantnih tema u srednjoj školi i ponavljanja u srednjoj školi potrebno više pažnje posvetiti razvoju računarskih vještina kod školaraca.

Stoga, da pomognem nastavnicima u nastavi u 11. razredu specijalizovana škola možete li predložiti izborni predmet„Pretvaranje numeričkih i alfabetskih izraza u školski kurs matematike."

Ocjene:== 11

Vrsta izbornog predmeta:

sistematizirajući, generalizujući i produbljujući kurs.

Broj sati:

34 (tjedno – 1 sat)

Obrazovna oblast:

matematike

Ciljevi i zadaci kursa:

Sistematizacija, generalizacija i proširenje znanja učenika o brojevima i operacijama s njima; - formiranje interesovanja za računarski proces; - razvoj samostalnosti, kreativnog mišljenja i kognitivni interes studenti; - prilagođavanje studenata novim pravilima za upis na univerzitete.

Organizacija studija kursa

Izborni predmet “Pretvaranje brojčanih i slovnih izraza” proširuje i produbljuje osnovni nastavni plan i program matematike u srednja škola i dizajniran je za učenje u 11. razredu. Predloženi kurs ima za cilj razvijanje računskih vještina i oštrine mišljenja. Kurs je strukturiran prema klasičnom planu nastave, s naglaskom na praktične vježbe. Namijenjen je studentima sa visokim ili srednji nivo matematičku obuku i osmišljen je da im pomogne da se pripreme za upis na univerzitete i olakšaju nastavak ozbiljnog matematičkog obrazovanja.

Planirani rezultati:

Poznavanje klasifikacije brojeva;

Poboljšanje vještina brzog brojanja;

Sposobnost korištenja matematičkih alata pri rješavanju različitih problema;

Razvoj logičko razmišljanje, promovirajući nastavak ozbiljnog matematičkog obrazovanja.

Sadržaj izbornog predmeta „Transformacija brojevnih i alfabetskih izraza”

Cijeli brojevi (4h): Brojne serije. Osnovna teorema aritmetike. GCD i NOC. Znakovi djeljivosti. Metoda matematičke indukcije.

Racionalni brojevi (2h): Definicija racionalni broj. Glavno svojstvo razlomka. Skraćene formule za množenje. Definicija periodičnog razlomka. Pravilo za pretvaranje iz decimalnog periodičnog razlomka u obični razlomak.

Iracionalni brojevi. Radikali. Stepeni. Logaritmi (6h): Definicija iracionalnog broja. Dokaz iracionalnosti broja. Oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Realni brojevi. Svojstva stepena. Svojstva aritmetike n-ti korijen stepeni. Definicija logaritma. Svojstva logaritama.

Trigonometrijske funkcije (4h): Brojčani krug. Numeričke vrijednosti trigonometrijskih funkcija osnovnih uglova. Pretvaranje veličine ugla iz stepena mere u radijansku meru i obrnuto. Osnovne trigonometrijske formule. Formule redukcije. Obrnuto trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske operacije nad funkcijama luka. Osnovni odnosi između funkcija luka.

Kompleksni brojevi (2h): Koncept kompleksnog broja. Radnje sa kompleksnim brojevima. Trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnih brojeva.

Srednje testiranje (2h)

Poređenje brojčanih izraza (4h): Numeričke nejednakosti na skupu realni brojevi. Osobine numeričkih nejednačina. Podržite nejednakosti. Metode dokazivanja numeričkih nejednakosti.

Doslovni izrazi (8h): Pravila za pretvaranje izraza sa varijablama: polinomi; algebarski razlomci; iracionalni izrazi; trigonometrijski i drugi izrazi. Dokazi identiteta i nejednakosti. Pojednostavljivanje izraza.

Edukativni i tematski plan

Plan traje 34 sata. Dizajniran je uzimajući u obzir temu diplomskog rada, pa se razmatraju dva odvojena dijela: numerički i alfabetski izrazi. Po izboru nastavnika, abecedni izrazi se mogu razmatrati zajedno sa brojčanim izrazima u odgovarajućim temama.

IZBORNA TEMA PREDMETA

PRETVARANJE NUMERIČKIH I SLOVENSKIH IZRAZA

Količina 34 sata

viši nastavnik matematike

Opštinska obrazovna ustanova "Srednja škola br. 51"

Saratov, 2008

IZBORNI PREDMETNI PROGRAM

"PRETVARANJE NUMERIČKIH I SLOVNIH IZRAZA"

Objašnjenje

Poslednjih godina završni ispiti u školama, kao i prijemni ispiti na univerzitetima se provode pomoću testova. Ovaj oblik testiranja razlikuje se od klasičnog ispita i zahtijeva posebnu pripremu. Karakteristika testiranja u formi koja se do danas razvila je potreba da se odgovori na veliki broj pitanja u ograničenom vremenskom periodu, odnosno potrebno je ne samo odgovoriti na postavljena pitanja, već i brzo. Stoga je važno ovladati raznim tehnikama i metodama koje vam omogućuju postizanje željenog rezultata.

Kada rješavate gotovo svaki školski problem, morate napraviti neke transformacije. Često je njegova složenost u potpunosti određena stepenom složenosti i količinom transformacije koju treba izvršiti. Nije neuobičajeno da učenik ne može riješiti problem, ne zato što ne zna kako se rješava, već zato što ne može izvršiti sve potrebne transformacije i proračune bez grešaka, u razumnom roku.

Izborni predmet „Pretvaranje brojčanih i slovnih izraza“ proširuje i produbljuje osnovni nastavni plan i program matematike u srednjoj školi i namijenjen je za izučavanje u 11. razredu. Predloženi kurs ima za cilj razvijanje računskih vještina i oštrine mišljenja. Kurs je namijenjen studentima sa visokim ili prosječnim nivoom matematičke spreme i osmišljen je da im pomogne u pripremi za upis na univerzitete i omogući nastavak ozbiljnog matematičkog obrazovanja.

Ciljevi i zadaci:

Sistematizacija, generalizacija i proširenje znanja učenika o brojevima i operacijama s njima;

Razvoj samostalnosti, kreativnog mišljenja i kognitivnog interesovanja učenika;

Formiranje interesovanja za računarski proces;

Prilagođavanje studenata novim pravilima za upis na univerzitete.

Očekivani rezultati:

Poznavanje klasifikacije brojeva;

Poboljšanje vještina brzog brojanja;

Sposobnost korištenja matematičkih alata pri rješavanju različitih problema;

Edukativni i tematski plan

Plan traje 34 sata. Dizajniran je uzimajući u obzir temu diplomskog rada, pa se razmatraju dva odvojena dijela: numerički i alfabetski izrazi. Po izboru nastavnika, abecedni izrazi se mogu razmatrati zajedno sa brojčanim izrazima u odgovarajućim temama.

cijeli brojevi (4h)

Brojne serije. Osnovna teorema aritmetike. GCD i NOC. Znakovi djeljivosti. Metoda matematičke indukcije.

Racionalni brojevi (2h)

Definicija racionalnog broja. Glavno svojstvo razlomka. Skraćene formule za množenje. Definicija periodičnog razlomka. Pravilo za pretvaranje iz decimalnog periodičnog razlomka u obični razlomak.

Iracionalni brojevi. Radikali. Stepeni. logaritmi (6h)

Definicija iracionalnog broja. Dokaz iracionalnosti broja. Oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Realni brojevi. Svojstva stepena. Svojstva aritmetičkog korijena n-ti stepen. Definicija logaritma. Svojstva logaritama.

Trigonometrijske funkcije (4h)

Brojčani krug. Numeričke vrijednosti trigonometrijskih funkcija osnovnih uglova. Pretvaranje veličine ugla iz stepenske mere u radijansku meru i obrnuto. Osnovne trigonometrijske formule. Formule redukcije. Inverzne trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske operacije nad funkcijama luka. Osnovni odnosi između funkcija luka.

Kompleksni brojevi (2h)

Koncept kompleksnog broja. Radnje sa kompleksnim brojevima. Trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnih brojeva.

Srednje testiranje (2h)

Poređenje numeričkih izraza (4h)

Numeričke nejednakosti na skupu realnih brojeva. Osobine numeričkih nejednačina. Podržite nejednakosti. Metode dokazivanja numeričkih nejednakosti.

Slovni izrazi (8h)

Pravila za pretvaranje izraza sa varijablama: polinomi; algebarski razlomci; iracionalni izrazi; trigonometrijski i drugi izrazi. Dokazi identiteta i nejednakosti. Pojednostavljivanje izraza.

1. dio izbornog predmeta: “Numerički izrazi”

LEKCIJA 1(2 sata)

Tema lekcije: Integers

Ciljevi lekcije: Sumirati i sistematizovati znanje učenika o brojevima; zapamtite koncepte GCD i LCM; proširiti znanje o znacima djeljivosti; razmotriti probleme riješene u cijelim brojevima.

Napredak lekcije

I. Uvodno predavanje.

Klasifikacija brojeva:

Prirodni brojevi;

Integers;

Racionalni brojevi;

Realni brojevi;

Kompleksni brojevi.

Uvođenje brojevnog niza u školu počinje konceptom prirodnog broja. Pozivaju se brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata prirodno. Mnogi prirodni brojevi označeni sa N. Prirodni brojevi se dijele na proste i složene. Prosti brojevi imaju samo dva djelitelja: jedan i sam složeni brojevi imaju više od dva djelitelja. Osnovna teorema aritmetike kaže: „Svaki prirodni broj veći od 1 može se predstaviti kao proizvod prosti brojevi(ne nužno različite), i, štaviše, na jedinstven način (do reda faktora).“

Postoje još dva važna aritmetička koncepta povezana s prirodnim brojevima: najveći zajednički djelitelj (GCD) i najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svaki od ovih pojmova zapravo sam sebe definira. Rješavanje mnogih problema olakšano je znakovima djeljivosti koje treba zapamtiti.

Test djeljivosti sa 2 . Broj je djeljiv sa 2 ako je njegova zadnja cifra paran ili o.

Test djeljivosti sa 4 . Broj je djeljiv sa 4 ako su zadnje dvije cifre nule ili čine broj djeljiv sa 4.

Test djeljivosti sa 8. Broj je djeljiv sa 8 ako su njegove posljednje tri cifre nule ili čine broj djeljiv sa 8.

Testovi djeljivosti sa 3 i 9. Samo oni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 3 su djeljivi sa 3; sa 9 – samo oni čiji je zbir cifara djeljiv sa 9.

Test djeljivosti sa 6. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i sa 2 i sa 3.

Test djeljivosti sa 5 . Brojevi čija je zadnja cifra 0 ili 5 djeljivi su sa 5.

Test djeljivosti sa 25. Brojevi čije su posljednje dvije cifre nule ili čine broj djeljiv sa 25 djeljivi su sa 25.

Znakovi djeljivosti sa 10,100,1000. Samo oni brojevi čija je zadnja cifra 0 djeljivi su sa 10, samo oni brojevi čije su zadnje dvije cifre 0 djeljivi su sa 100, a samo oni brojevi čije su posljednje tri cifre 0 djeljivi su sa 1000.

Test djeljivosti sa 11 . Samo ti brojevi su djeljivi sa 11 ako je zbir cifara koje zauzimaju neparna mjesta ili jednak zbiru cifara koje zauzimaju parna mjesta ili se razlikuje od njega brojem djeljivim sa 11.

U prvoj lekciji ćemo se baviti prirodnim brojevima i celim brojevima. Cijeli brojevi su prirodni brojevi, njihove suprotnosti i nula. Skup cijelih brojeva je označen sa Z.

II. Rješavanje problema.

PRIMJER 1. Faktor u proste faktore: a) 899; b) 1000027.

Rješenje: a) ;

b) PRIMJER 2. Pronađite GCD brojeva 2585 i 7975.

Rješenje: Koristimo Euklidski algoritam:

Ako https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Odgovor: gcd(2585.7975) = 55.

PRIMJER 3. Izračunajte:

Rješenje: = 1987100011989. Drugi proizvod je jednak istoj vrijednosti. Dakle, razlika je 0.

PRIMJER 4. Pronađite GCD i LCM brojeva a) 5544 i 1404; b) 198, 504 i 780.

Odgovori: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

PRIMJER 5. Pronađite količnik i ostatak dijeljenja

a) 5 sa 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 do (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 do (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Rješenje: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Rješenje: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

PRIMJER 7..gif" width="67" height="27 src="> na 17.

Rješenje: Unesimo zapis , što znači da kada se podijele sa m brojevi a, b,c,…d daju isti ostatak.

Prema tome, za bilo koje prirodno k će postojati

Ali 1989=16124+5. znači,

Odgovor: Ostatak je 12.

PRIMJER 8. Pronađite najmanji prirodni broj veći od 10 koji bi, kada se podijeli sa 24, 45 i 56, ostavio ostatak od 1.

Odgovor: LOC(24;45;56)+1=2521.

PRIMJER 9. Pronađite najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa 7 i koji ostavlja ostatak od 1 kada se podijeli sa 3, 4 i 5.

Odgovor: 301. Smjer. Među brojevima oblika 60k + 1, morate pronaći najmanji djeljiv sa 7; k = 5.

PRIMJER 10. Dodajte po jednu cifru desno i lijevo do 23 tako da dobijeni četverocifreni broj bude djeljiv sa 9 i 11.

Odgovor: 6237.

PRIMJER 11. Dodajte tri cifre na poleđinu broja tako da dobijeni broj bude djeljiv sa 7, 8 i 9.

Odgovor: 304 ili 808. Napomena. Broj kada se podijeli sa = 789) ostavlja ostatak od 200. Stoga, ako mu dodate 304 ili 808, bit će djeljiv sa 504.

PRIMJER 12. Da li je moguće preurediti cifre u trocifrenom broju deljivom sa 37 tako da dobijeni broj takođe bude deljiv sa 37?

Odgovor: Da. Napomena..gif" width="61" height="24"> je također djeljiv sa 37. Imamo A = 100a + 10b + c = 37k, odakle c =37k -100a – 10b. Tada je B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, odnosno B je podijeljeno sa 37.

PRIMJER 13. Nađite broj koji, kada se podijeli s kojim, brojevi 1108, 1453, 1844 i 2281 daju isti ostatak.

Odgovor: 23. Uputstvo. Razlika bilo koja dva data broja dijeli se sa željenim. To znači da je svaki zajednički djelitelj svih mogućih razlika podataka, osim 1, prikladan za nas

PRIMJER 14. Zamislite 19 kao razliku kocki prirodnih brojeva.

PRIMJER 15. Kvadrat prirodnog broja jednak je proizvodu četiri uzastopna neparna broja. Pronađite ovaj broj.

odgovor: .

PRIMJER 16..gif" width="115" height="27"> nije djeljiv sa 10.

Odgovor: a) Uputstvo. Nakon što ste grupirali prvi i posljednji član, drugi i pretposljednji, itd., koristite formulu za zbir kocki.

b) Indikacija..gif" width="120" height="20">.

4) Pronađite sve parove prirodnih brojeva čiji je GCD 5, a LCM 105.

Odgovor: 5, 105 ili 15, 35.

LEKCIJA 2(2 sata)

Tema lekcije: Metoda matematičke indukcije.

Cilj lekcije: Pregledajte matematičke iskaze koji zahtijevaju dokaz; upoznati studente sa metodom matematičke indukcije; razvijati logičko razmišljanje.

Napredak lekcije

I. Provjera domaćeg.

II. Objašnjenje novog materijala.

U školskom predmetu matematike, uz zadatke „Pronađi vrijednost izraza“, nalaze se zadaci oblika: „Dokaži jednakost“. Jedna od najuniverzalnijih metoda dokazivanja matematičkih tvrdnji koje uključuju riječi “za proizvoljan prirodan broj n” je metoda potpune matematičke indukcije.

Dokaz korištenjem ove metode uvijek se sastoji od tri koraka:

1) Osnova indukcije. Valjanost iskaza se provjerava za n = 1.

U nekim slučajevima potrebno je provjeriti nekoliko

početne vrijednosti.

2) Pretpostavka indukcije. Pretpostavlja se da je izjava tačna za bilo koju

3) Induktivni korak. Dokazuje se valjanost iskaza za

Dakle, počevši od n = 1, na osnovu dokazanog induktivnog prelaza, dobijamo validnost dokazane tvrdnje za

n =2, 3,…t. tj. za bilo koji n.

Pogledajmo nekoliko primjera.

PRIMJER 1: Dokažite da je za bilo koji prirodan broj n broj djeljivo sa 7.

Dokaz: Označimo .

Korak 1..gif" width="143" height="37 src="> je podijeljen sa 7.

Korak 3..gif" width="600" height="88">

Posljednji broj je djeljiv sa 7 jer je razlika dva cijela broja djeljiva sa 7.

PRIMJER 2: Dokazati jednakost https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> se dobija od zamjenjujući n sa k = 1.

III. Rješavanje problema

U prvoj lekciji, od dole navedenih zadataka (br. 1-3), bira se nekoliko za rešavanje po nahođenju nastavnika za analizu na tabli. Druga lekcija pokriva br. 4.5; sprovedeno samostalan rad od br. 1-3; Broj 6 se nudi kao dodatni, sa obaveznim rešenjem na tabli.

1) Dokazati da je a) deljivo sa 83;

b) djeljiv sa 13;

c) djeljiv sa 20801.

2) Dokazati da je za bilo koje prirodno n:

A) djeljivo sa 120;

b) djeljivo sa 27;

V) djeljivo sa 84;

G) djeljivo sa 169;

d) djeljivo sa 8;

e) djeljiv sa 8;

g) djeljiv sa 16;

h) djeljivo sa 49;

i) djeljivo sa 41;

do) djeljivo sa 23;

l) djeljivo sa 13;

m) je podijeljen sa .

3) Dokažite da:

G) ;

4) Izvedite formulu za zbir https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Dokazati da je zbir članova svakog reda tabele

…………….

jednak je kvadratu neparnog broja čiji je broj reda jednak broju reda s početka tabele.

Odgovori i upute.

1) Koristimo unos uveden u primjeru 4 prethodne lekcije.

A) . Dakle, djeljiv je sa 83 .

b) Od , To ;

. dakle, .

c) Pošto je potrebno dokazati da je ovaj broj djeljiv sa 11, 31 i 61..gif" width="120" height="32 src=">. Na isti način se dokazuje i djeljivost sa 11 i 31.

2) a) Dokažimo da je ovaj izraz djeljiv sa 3, 8, 5. Deljivost sa 3 proizlazi iz činjenice da , a od tri uzastopna prirodna broja, jedan je djeljiv sa 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Za provjeru djeljivosti sa 5, dovoljno je uzeti u obzir vrijednosti n=0,1,2,3,4.