Teorija granica i kontinuiteta. §2. Varijabilna granica

Dom

Redoslijed brojeva.

Varijabla koja prolazi kroz niz brojeva Ako za svaki prirodan broj n dodelio pravi broj x n

1, 2, 3, 4, …, Ako za svaki prirodan broj, …

, tj.

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , … dodelio pravi broj onda kažu da je dat niz brojeva sa zajedničkim pojmom . U nastavku ćemo reći da je varijabla data x dodelio pravi broj, prolazeći kroz niz brojeva sa zajedničkim pojmom dodelio pravi broj. U ovom slučaju, ovu varijablu ćemo označiti dodelio pravi broj. Varijabilne vrijednosti su predstavljene tačkama na.

brojčana osovina

: Na primjer, s obzirom na varijable: ;

: 1, 4, 6, …, 2Ako za svaki prirodan broj ..

ili Broj A pozvao granica varijable x n , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj dodelio pravi broj N Ako za svaki prirodan broj , čiji broj , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj više broja

, zadovoljiti nejednakost.

Ova činjenica je simbolično zapisana na sljedeći način: dodelio pravi broj Geometrijski, to znači da su tačke koje predstavljaju vrijednosti varijable Broj.

, zgusnuti, akumulirati oko tačke Imajte na umu da ako varijabla ima ograničenje, onda je ona jedina. Granica konstante je sama konstanta, tj. , Ako c=konst

. Varijabla možda uopće nema ograničenja. Na primjer, varijabilna x n =(-1) n .

nema ograničenja, tj. Ne postoji jedan broj oko kojeg se akumuliraju vrijednosti varijable. Geometrijski je to očigledno

Ograničena varijabla dodelio pravi broj A Varijabilna ograničeno , ako takav broj postoji M dodelio pravi broj| < , ako takav broj postoji> 0, što | za sve brojeve

n. Zadana varijabla. Kao broj M Ako za svaki prirodan broj možete uzeti, na primjer, 3. Očigledno, za sve brojeve

Ograničena varijabla dodelio pravi broj = 2Ako za svaki prirodan broj. Stoga je ograničena varijabla. Ako za svaki prirodan broj je neograničen, jer kako se broj povećava , ako takav broj postoji njegove vrijednosti se povećavaju i nemoguće je pronaći takav broj Ako za svaki prirodan broj| < , ako takav broj postoji> 0, što | Ako za svaki prirodan broj.

> 0 do |2 Teorema..

Ako varijabla ima konačan limit, onda je ograničena

Obratna teorema nije tačna.

Ograničena varijabla dodelio pravi broj A Beskonačno male količine infinitezimal

, ako je njegova granica 0.

Na primjer, količine koje su beskonačno male su:

Jer ;

Jer

Količina nije beskonačno mala, to je konačna količina.

Zbir (razlika) konačnog broja infinitezimala je beskonačno mala veličina.

Proizvod infinitezimalnog na konstantnu količinu ili na infinitezimal ili na količinu koja ima konačnu granicu je infinitezimalna veličina.

Ograničena varijabla dodelio pravi broj A Beskonačno velike količine beskonačno velika , ako je za bilo koji proizvoljno veliki broj A>0 , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj, postoji takav prirodan broj dodelio pravi broj N , da su sve vrijednosti varijable više broja

n>N

Na primjer, sljedeće varijable su beskonačno velike:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; x n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n × n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Može se vidjeti da se veličine vrijednosti ovih varijabli neograničeno povećavaju.

, , .

Umnožak beskonačno velikog na beskonačno veliku ili na količinu koja ima ograničenje je beskonačan velika vrijednost.

Zbir beskonačno velikih brojeva jednog znaka je beskonačno velik.

Recipročna vrijednost beskonačno velikog je infinitezimal.

Recipročna vrijednost beskonačno malog je beskonačno velika.

Komentar.

ako , Broj- broj, onda tako kažu dodelio pravi broj ima konačan limit.

Ako , onda to kažu dodelio pravi broj ima beskrajno limit.

Aritmetičke operacije nad varijablama

Ako su varijable dodelio pravi broj I y n imaju konačne granice, onda njihov zbir, razlika, proizvod i količnik također imaju konačne granice, a ako i tada

(4.3)

komentar: , c = konst.

Konstantni faktor se može uzeti izvan graničnog znaka.

Funkcija

Neka su date dvije varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data I y.

Ograničena varijabla y A funkcija iz varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data, ako je svaka vrijednost . U nastavku ćemo reći da je varijabla data iz određenog skupa, prema određenom zakonu, odgovara određena vrijednost y.

U isto vreme . U nastavku ćemo reći da je varijabla data A nezavisna varijabla Na primjer, s obzirom na varijable: argument , y – zavisna varijabla Na primjer, s obzirom na varijable: funkcija . Označio: y = f(x) Na primjer, s obzirom na varijable: y=y(x).

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA "NACIONALNI ISTRAŽIVAČKI TOMSKI POLITEHNIČKI UNIVERZITET" L.I. Samochernova VIŠA MATEMATIKA II dio Preporučeno kao udžbenik od strane Uredničkog i izdavačkog vijeća Politehničkog univerziteta Tomsk 2. izdanje, revidirano Izdavačka kuća Tomskog politehničkog univerziteta 2005 UDK 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Viša matematika. II dio: udžbenik / L.I. Samo-chernova; Tomsk Politehnički univerzitet. – 2. izd., rev. – Tomsk: Izdavačka kuća Tomskog politehničkog univerziteta, 2005. – 164 str. Tutorial obuhvata tri sekcije više matematike: 1) uvod u matematičku analizu (granica niza i funkcije, beskonačno male i beskonačno velike veličine, poređenje infinitezimalnih, kontinuitet funkcija, tačke diskontinuiteta); 2) diferencijalni račun funkcije jedne varijable (derivacija i diferencijal funkcije, primjene diferencijalnog računa u proučavanju funkcija); 3) integralni račun (neodređeni integral, određeni integral, geometrijske aplikacije određenog integrala). Priručnik je izrađen na Odsjeku za primijenjenu matematiku i namijenjen je studentima stranog obrazovanja koji studiraju u oblastima 080400 „Upravljanje ljudskim resursima“, 080200 „Menadžment“, 080100 „Ekonomija“, 100700 „Trgovina“. sekvence.< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), tada se niz (xn) naziva rastući (opadajući). Rastući i opadajući nizovi se također nazivaju striktno monotonim.< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >Primjer 2. Niz neparnih brojeva 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ..., gdje je xn = 2n − 1, monotono raste. 4 Zaista, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, pa je xn +1 − xn > 0, tj. xn +1 > xn za sve n.< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >Granica niza Definirajmo jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize - granicu niza ili, što je isto, granicu varijable xn koja prolazi nizom x1,x2,...,xn, ... Definicija 5. Konstantni broj a naziva se granični niz x1,x2 ,...,xn ,... ili granica varijable xn, ako se za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj ε može specificirati prirodan broj N takav da je za sve članove niza s brojevima n>N vi - ispunjena nejednakost xn − a N nejednakost (1.3) će biti zadovoljena, u kojoj moramo uzeti a =1; n xn = , odnosno nejednakost n +1 n 1−< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N će pasti u dato susjedstvo.< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд Predstavimo brojeve a, a – ε, a + ε i vrijednosti varijable xn kao tačke na brojevnoj osi (slika 1). Ispunjenje nejednakosti (1.3) pod uslovom n > N geometrijski znači da će sve tačke xn, počevši od tačke x N +1, odnosno od tačke čiji indeks prelazi neki prirodni broj N, sigurno ležati u ε- susjedne tačke a. Izvan ove okoline, čak i ako postoje tačke xn, postojaće ih samo konačan broj. Rice. 1 Test za konvergenciju monotonog niza Teorema 1. Svaki nerastući (neopadajući) niz (xn) ili varijabla xn ograničena odozdo (odozgo) ima granicu. 6 1.2. Beskonačno male i beskonačno velike veličine Definicija 1. Varijabla xn se naziva beskonačno mala ako ima granicu jednaku nuli.< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >Prateći definiciju granice, možemo reći da će xn biti beskonačno malo ako za bilo koje proizvoljno malo ε > 0 postoji N tako da je za sve n > N nejednakost xn< ε полу- n n чаем n >dati broj< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. ε > 0. Primjeri infinitezimalne su varijable 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n za q, koji se smatra beskonačno malom veličinom, služi kao nula (zbog činjenice da je granica konstante jednaka samoj sebi).<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М >0) sa centrom na početku koordinata, tačka xn, koja predstavlja vrijednosti beskonačno velike količine, sa dovoljno velikim brojem n će biti izvan označenog segmenta, a s daljnjim povećanjem n ostat će izvan njega ( Slika 2). Štaviše, ako je xn pozitivna (negativna) beskonačno velika veličina, tada će tačka koja predstavlja njegove vrijednosti biti za dovoljno velike brojeve n izvan navedenog segmenta na desnoj (lijevoj) strani ishodišta. Rice. 2 8 Napomena 2. 1. Simboli ∞, + ∞, − ∞ nisu brojevi, već su uvedeni samo da bi se pojednostavili zapisi i da bi se ukratko izrazila činjenica da je varijabla beskonačno velika, pozitivna beskonačno velika i negativna beskonačno velika. Treba imati na umu da se nad ovim simbolima ne mogu izvoditi aritmetičke operacije! sa beskonačno velikom vrednošću. Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih veličina Teorema 1. Neka je xn ≠0 (za bilo koje n). Ako je xn beskonačno veliko, tada je yn = 1 / xn beskonačno mali; ako je xn beskonačno mali, onda je yn = 1 / xn beskonačno veliko. xn za infinitezimalnu α n je beskonačno mala veličina.

Posljedica 1. Proizvod bilo kojeg konačnog broja beskonačno malih veličina predstavlja beskonačno malu količinu. . U nastavku ćemo reći da je varijabla data – Posljedica 2. Proizvod konstantne količine i beskonačno male količine je beskonačno mala veličina. Posljedica 3. Proizvod promjenljive veličine koja teži granici i beskonačno male količine je beskonačno mala veličina. . U nastavku ćemo reći da je varijabla data Koristeći leme 1 i 2, možemo dokazati sljedeće teoreme o granicama. Teorema 5. Ako varijable xn i yn imaju konačne granice, onda njihov zbir, razlika, proizvod također imaju konačne granice i: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Napomena 1. Ova teorema je tačna za bilo koji fiksni broj pojmova i faktora.

Posljedica. Konstantni faktor se može uzeti izvan predznaka granice, tj. lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ gdje je c neka konstanta. . U nastavku ćemo reći da je varijabla data Teorema 6. Ako varijable xn i yn imaju konačne granice i yn ≠0, lim yn ≠ 0, tada i količnik ovih varijabli ima granicu, a n →∞ 10

Neka . U nastavku ćemo reći da je varijabla data 1 ; . U nastavku ćemo reći da je varijabla data 2 ;varijabilna količina. To znači da je vrijednost . U nastavku ćemo reći da je varijabla data menja svoje značenje. To je ono što ga čini fundamentalno drugačijim od bilo kojeg konstantna vrijednost a, što ne mijenja svoju nepromijenjenu vrijednost. Na primjer, visina stuba je konstantna vrijednost, ali visina živog drveća koja raste je promjenjiva vrijednost.

Varijabilna vrijednost smatra se datim, dat je numerički niz njegova značenja. Odnosno te vrijednosti dodelio pravi broj x

3 ;..., koje dosledno, jedno za drugim, prihvata u procesu svoje promene. Pretpostavićemo da se ovaj proces menja po veličini njegove vrijednosti ne prestaju ni u jednoj fazi (varijabilna

X nikada se ne smrzava, „uvek je živ”). To znači da niz (1) ima beskonačan broj vrijednosti, što je u (1) označeno trijemom. Ako za svaki prirodan broj Vrijednosti varijable se mogu smatrati skupom vrijednosti funkcije prirodnog argumenta

x n =f(n)

. Član . U nastavku ćemo reći da je varijabla data njihova značenja. Odnosno, postavlja se pitanje: mijenjaju li se te vrijednosti nesistematski, haotično ili nekako svrsishodno?

Glavni interes je, naravno, druga opcija. Naime, neka vrijednosti dodelio pravi broj varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data kako se njihov broj povećava Ako za svaki prirodan broj približavaju se u nedogled ( truditi se) na neki određeni broj a. To znači da je razlika (udaljenost) između vrijednosti dodelio pravi broj varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data i broj a ugovore, teći kako raste Ako za svaki prirodan broj(na ) na nulu. Zamjenom riječi "traži" strelicom, gore se može napisati na sljedeći način:

At<=>u (2)

Ako vrijedi (2), onda to kažemo varijabla x teži broju a. Ovaj broj Broj pozvao granica varijable x. I piše ovako:

Pročitajte: granica x je a(x teži a).

Varijabla aspiracije . U nastavku ćemo reći da je varijabla data do vaše granice a može se jasno ilustrirati na brojevnoj osi. Tačno matematičko značenje ove želje . U nastavku ćemo reći da je varijabla data To a je da bez obzira koliko mali pozitivan broj jedan uzme, i stoga bez obzira koliko mali interval niti okružiti broj na brojevnoj pravoj a, u ovom intervalu (u tzv. -komšiluku broja a) će pogoditi počevši od određenog broja , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj, sve vrijednosti dodelio pravi broj varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data. Konkretno, na Sl. 1 u prikazano susjedstvo broja a dobio sve vrednosti dodelio pravi broj varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data, počevši od broja .

definicija: Broj Broj naziva se granica niza (granica varijable konstantna vrijednost a ili granica funkcije f(n)), ako je bilo koji unaprijed određen pozitivan broj, uvijek je moguće pronaći takav prirodan broj , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj, što za sve članove niza s brojevima , da su sve vrijednosti varijable nejednakost će biti zadovoljena.

Ova nejednakost je ekvivalentna sa sljedeće dvije nejednakosti: . Broj , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj zavisi od izabranog. Ako smanjite broj, onda i odgovarajući broj , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan brojće se povećati.

Za sekvencu (ili za varijablu konstantna vrijednost a) nije neophodno imati ograničenje, ali ako postoji, onda je jedino. Poziva se niz koji ima ograničenje konvergentan. Poziva se niz koji nema ograničenja divergentan.

Posljedica. Konstantni faktor se može uzeti izvan predznaka granice, tj. lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ gdje je c neka konstanta. x, možda dostiže svoju granicu na razne načine:

1. ostati ispod svoje granice,

2. ostati iznad svoje granice,

3. fluktuacije oko vaše granice,

4. uzimajući vrijednosti jednake njegovoj granici.

Izbor broja je proizvoljan, ali kada se jednom odabere, ne bi trebao biti podložan daljnjim promjenama.

Varijabilna varijabilna količina koji ima nulu kao svoju granicu (tj. teži nuli) naziva se Beskonačno male količine. Varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data, neograničeno raste u apsolutnoj vrijednosti se zove Beskonačno velike količine(njegov modul teži beskonačnosti).

Dakle, ako , onda . U nastavku ćemo reći da je varijabla data je beskonačno mala promjenjiva veličina, a ako je , onda . U nastavku ćemo reći da je varijabla data– beskonačno velika promenljiva količina. Konkretno, ako ili , tada . U nastavku ćemo reći da je varijabla data– beskonačno velika promenljiva količina.

Ako , onda . I obrnuto ako , To . Odavde dobijamo sledeću važnu vezu između varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data i njegovu granicu a:

Već je rečeno da nije svaka varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data ima ograničenje. Mnoge varijable nemaju ograničenja. Da li postoji ili ne zavisi od niza (1) vrednosti ove varijable.

Primjer 2 . Neka

Evo, očigledno, to jest.

Primjer 3 . Neka

. U nastavku ćemo reći da je varijabla data– beskonačno mali.

Primjer 4 . Neka

Evo, očigledno, to jest. Dakle, varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data– beskonačno velika.

Primjer 5 . Neka

Ovdje je, očigledno, varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data ne teži ničemu. Odnosno, nema ograničenja (ne postoji).

Primjer 6 . Neka

Evo situacije sa limitom varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data nije tako očigledno kao u prethodna četiri primjera. Da bismo razjasnili ovu situaciju, transformirajmo vrijednosti dodelio pravi broj varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data:

Očigledno, kada. znači,

u .

A to znači da, tj.

Primjer 7 . Neka

Evo sekvence ( dodelio pravi broj) varijabilne vrijednosti . U nastavku ćemo reći da je varijabla data predstavlja beskonačnu geometrijsku progresiju sa nazivnikom q. Dakle, granica varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data je granica beskonačne geometrijske progresije.

a) Ako , onda, očito, na . A to znači da ().

b) Ako , onda . To jest, u ovom slučaju vrijednosti varijable . U nastavku ćemo reći da je varijabla data ne mijenjaju se - uvijek su jednaki 1. Tada je i njegova granica jednaka 1 ().

c) Ako , Tada . U ovom slučaju, očigledno ne postoji.

d) Ako je , Tada je beskonačno rastući niz pozitivnih brojeva. Što znači ().

e) Ako , onda uvođenjem oznake , gdje , dobijamo: – naizmjenični numerički niz sa pojmovima koji se beskonačno povećavaju u apsolutnoj vrijednosti:

Što znači varijabla . U nastavku ćemo reći da je varijabla data beskonačno velika. Ali zbog smenjivanja znakova svojih članova, ne teži ni +∞ ni –∞ (nema granice).

Primjer 8. Dokažite da niz sa zajedničkim članom ima granicu jednaku 2.

dokaz: Odaberimo proizvoljno pozitivan broj i pokažimo da je moguće odabrati takav broj , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj, što za sve vrijednosti broja Ako za svaki prirodan broj, veći od ovog broja , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj, nejednakost će biti zadovoljena, u kojoj moramo uzeti a=2, , tj. nejednakost će biti zadovoljena .

Iz ove nejednakosti, nakon svođenja u zagradama na zajednički nazivnik, dobivamo . Dakle: . Za , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj Uzmimo najmanji cijeli broj koji pripada intervalu. Tako smo iz proizvoljno datog pozitivnog mogli odrediti takav prirodni , ako za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav prirodan broj tu nejednakost izvedeno za sve brojeve , da su sve vrijednosti varijable. Ovo dokazuje da je 2 granica niza sa zajedničkim pojmom.

Od posebnog interesa su monotone i ograničene sekvence.

definicija: monotono raste, ako pred svima Ako za svaki prirodan broj svaki njen član je veći od prethodnog, tj. ako , i monotono opadajući ako je svaki njegov član manji od prethodnog, tj. .

Primjer 9. Subsequence prirodni brojevi 1,2,3,….,Ako za svaki prirodan broj,… - monotono raste.

Primjer 10. Niz brojeva, recipročni prirodni brojevi, - monotono opadajuće.

definicija: sekvenca se zove ograničeno, ako su svi njegovi članovi u konačnom intervalu (-M,+M) I M>0, tj. ako , za bilo koji broj Ako za svaki prirodan broj.

Primjer 11. Subsequence (xn), Gdje dodelio pravi broj Postoji Ako za svaki prirodan broj th decimalno mjesto broja je ograničeno, jer .

Primjer 12. Redoslijed je ograničen jer .

Osnovna svojstva varijabli i njihova ograničenja

1) Ako (varijabilna . U nastavku ćemo reći da je varijabla data nepromjenjiv i jednak konstanti a), onda je prirodno pretpostaviti da i . To jest, granica konstante je jednaka samoj sebi:

2) Ako , i a I b su onda konačne . To je