Tema: fizičko značenje izvedenice. Fizičko značenje izvedenice

Dom

Ponekad se u zadatku B9 sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, umjesto svima omiljenih grafika funkcije ili derivacije, daje jednostavno jednačina udaljenosti od tačke do ishodišta. Šta učiniti u ovom slučaju? Kako pronaći brzinu ili ubrzanje sa udaljenosti.

To je zapravo jednostavno. Brzina je izvod udaljenosti, a ubrzanje je derivacija brzine (ili, ekvivalentno, drugi izvod udaljenosti). U ovom kratkom videu videćete da se takvi problemi ne rešavaju ništa teže od „klasičnog“ B9.

Danas ćemo analizirati dva problema o fizičkom značenju izvedenica iz Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ovi zadaci se nalaze u dijelu B i značajno se razlikuju od onih koje je većina studenata navikla vidjeti na uzorcima i ispitima. Stvar je u tome što oni zahtijevaju razumijevanje fizičkog značenja derivacije funkcije. U ovim problemima ćemo govoriti o funkcijama koje izražavaju udaljenosti.

Ako je $S=x\left(t \right)$, onda možemo izračunati $v$ na sljedeći način:

Ove tri formule su sve što vam je potrebno za rješavanje takvih primjera o fizičkom značenju izvedenice. Samo zapamtite da je $v$ izvod udaljenosti, a ubrzanje izvod brzine.

Hajde da vidimo kako ovo funkcioniše u rešavanju stvarnih problema.

Primjer #1

gdje je $x$ udaljenost od referentne točke u metrima, $t$ je vrijeme u sekundama koje je prošlo od početka kretanja. Pronađite brzinu tačke (u m/s) u trenutku $t=2c$.

To znači da imamo funkciju koja specificira udaljenost, ali moramo izračunati brzinu u trenutku $t=2c$. Drugim riječima, trebamo pronaći $v$, tj.

To je sve što je trebalo da shvatimo iz uslova: prvo, kako funkcija izgleda, i drugo, šta moramo da pronađemo.

Hajde da odlučimo. Prije svega, izračunajmo derivaciju:

\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]

\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]

Moramo pronaći derivaciju u tački 2. Zamijenimo:

\[=-16+32-12+5=9\]

\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\] To je to, našli smo konačan odgovor. Ukupno, naša brzina materijalna tačka

u trenutku $t=2c$ će biti 9 m/s.

Primjer br. 2

gdje je $x$ udaljenost od referentne tačke u metrima, $t$ je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kom trenutku je njegova brzina bila jednaka 3 m/s?

Pogledajte zadnji put Od nas se tražilo da pronađemo $v$ u vremenu od 2 s, a ovaj put od nas se traži da pronađemo baš trenutak kada je ova brzina jednaka 3 m/s. Možemo reći da znamo konačnu vrijednost, a iz te konačne vrijednosti trebamo pronaći početnu.

Prije svega, ponovo tražimo izvedenicu:

\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]

\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]

Od nas se traži da pronađemo u kom trenutku će brzina biti 3 m/s. Sastavljamo i rješavamo jednačinu kako bismo pronašli fizičko značenje derivacije:

\[((t)^(2))-8t+19=3\]

\[((t)^(2))-8t+16=0\]

\[((\lijevo(t-4 \desno))^(2))=0\]

Rezultirajući broj znači da će u trenutku 4 s $v$ materijalne tačke koja se kreće prema gore opisanom zakonu biti tačno 3 m/s.

Ključne tačke

U zaključku, idemo još jednom na najvažniju točku današnjeg zadatka, a to je pravilo za pretvaranje udaljenosti u brzinu i ubrzanje. Dakle, ako nam problem direktno opisuje zakon koji direktno ukazuje na udaljenost od materijalne tačke do referentne tačke, onda kroz ovu formulu možemo pronaći bilo koju trenutnu brzinu (ovo je samo izvod). Štaviše, možemo pronaći i ubrzanje. Ubrzanje je, pak, jednako derivatu brzine, tj. drugi izvod udaljenosti. Takvi problemi su prilično rijetki, pa ih danas nismo razmatrali. Ali ako vidite riječ "ubrzanje" u stanju, ne dozvolite da vas uplaši, samo pronađite drugu izvedenicu.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da se pripremite za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

IN koordinatna ravan xOy razmotriti graf funkcije y=f(x). Hajde da popravimo stvar M(x 0 ; f (x 0)). Dodajmo apscisu x 0 prirast Δh. Dobićemo novu apscisu x 0 +Δx. Ovo je apscisa tačke N, a ordinata će biti jednaka f (x 0 +Δx). Promjena apscise povlači za sobom promjenu ordinate. Ova promjena naziva se inkrement funkcije i označava se Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kroz tačke M I N nacrtajmo sekantu MN, koji formira ugao φ sa pozitivnim smjerom ose Oh. Odredimo tangentu ugla φ od pravougaonog trougla MPN.

Neka Δh teži nuli. Zatim sekansa MNće težiti da zauzme tangentni položaj MT, i ugao φ postaće ugao α . Dakle, tangenta ugla α je granična vrijednost tangenta ugla φ :

Granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada potonji teži nuli, naziva se derivacija funkcije u datoj tački:

Geometrijsko značenje derivat leži u činjenici da je numerička derivacija funkcije u datoj tački jednaka tangenti ugla koji formira tangenta povučena kroz ovu tačku na datu krivulju i pozitivan smjer ose Oh:

Primjeri.

1. Pronađite prirast argumenta i inkrement funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novi - 4,01 .

Rješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamijenimo podatke: 4.01=4+Δx, otuda i prirast argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Pošto imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije se može naći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Pronađite ugao nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u tački x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Rješenje.

Vrijednost derivacije u tački tangente x 0 i je vrijednost tangente ugla tangente (geometrijsko značenje derivacije). imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

odgovor: tangenta na graf ove funkcije formira ugao s pozitivnim smjerom ose Ox jednakim 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.

Diferencijacija je akcija pronalaženja derivacije funkcije.

Prilikom pronalaženja izvoda koristite formule koje su izvedene na osnovu definicije derivacije, na isti način kao što smo mi izveli formulu za stepen derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tabela derivata Lakše je zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivat konstantna vrijednost jednaka nuli.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije.

4. Izvod stepena jednak je umnošku eksponenta ovog stepena sa stepenom sa istom bazom, ali je eksponent jedan manji.

5. Izvod korijena jednak je jedinici podijeljenom sa dva jednaka korijena.

6. Derivat jedinice podijeljen sa x jednak je minus jedan podijeljen sa x na kvadrat.

7. Derivat sinusa je jednak kosinsu.

8. Derivat kosinusa je jednak minus sinus.

9. Derivat tangente jednak je jedinici podijeljenom s kvadratom kosinusa.

10. Derivat kotangensa jednak je minus jedan podijeljen kvadratom sinusa.

Mi predajemo pravila diferencijacije.

1. Izvod algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru izvoda članova.

2. Izvod proizvoda jednak je umnošku izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog.

3. Derivat “y” podijeljen sa “ve” jednak je razlomku u kojem je brojilac “y prost pomnožen sa “ve” minus “y pomnožen sa ve prostim”, a nazivnik je “ve na kvadrat”.

4. Poseban slučaj formule 3.

Derivat funkcije f (x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije u tački x0 i prirasta argumenta Δx, ako prirast argumenta teži ka nula i označava se sa f '(x0). Čin pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.
Izvod funkcije ima sljedeće fizičko značenje: derivacija funkcije u dati poen- brzina promjene funkcije u datoj tački.

Geometrijsko značenje derivacije. Izvod u tački x0 je jednak nagib tangenta na graf funkcije y=f(x) u ovoj tački.

Fizičko značenje izvedenice. Ako se tačka kreće duž x ose i njena koordinata se menja prema zakonu x(t), tada je trenutna brzina tačke:

Pojam diferencijala, njegova svojstva. Pravila diferencijacije. Primjeri.

Definicija. Diferencijal funkcije u određenoj tački x je glavni, linearni dio prirasta funkcije Diferencijal funkcije y = f(x) jednak je umnošku njene derivacije i priraštaja nezavisne varijable x. (argument).

Napisano je ovako:

ili

Or


Diferencijalna svojstva
Diferencijal ima svojstva slična onim derivacije:





TO osnovna pravila diferencijacije uključuju:
1) stavljanje konstantnog faktora izvan predznaka izvoda
2) derivat zbira, derivat razlike
3) izvod proizvoda funkcija
4) izvod količnika dvije funkcije (derivat razlomka)

Primjeri.
Dokažimo formulu: Po definiciji derivacije imamo:

Proizvoljni faktor se može uzeti izvan znaka prijelaza do granice (ovo je poznato iz svojstava granice), stoga

na primjer: Pronađite izvod funkcije
Rješenje: Koristimo pravilo postavljanja množitelja izvan predznaka izvoda :

Često je potrebno prvo pojednostaviti oblik diferencijabilne funkcije da bi se koristila tabela izvoda i pravila za pronalaženje izvoda. Sljedeći primjeri to jasno potvrđuju.

Formule diferencijacije. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima. Primjeri.

Korištenje diferencijala u približnim proračunima omogućava vam korištenje diferencijala za aproksimaciju vrijednosti funkcije.
Primjeri.
Koristeći diferencijal, izračunajte približno
Da izračunam datu vrijednost primijenimo formulu iz teorije
Uvedemo funkciju u razmatranje i predstavimo datu vrijednost u obliku
onda izračunajmo

Zamenivši sve u formulu, konačno dobijamo
odgovor:

16. L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞. Primjeri.
Granica omjera dva infinitezimala ili dva infinitezimala velike količine jednaka je granici odnosa njihovih derivata.

1)

17. Povećajuća i opadajuća funkcija. Ekstremum funkcije. Algoritam za proučavanje funkcije za monotonost i ekstrem. Primjeri.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. to je, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije se povećava tokom intervala

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naš se smanjuje u intervalima smanjuje se u intervalima .

Ekstremi Tačka se naziva maksimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njenoj blizini. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma maksimum funkcije i označiti .
Tačka se naziva minimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njenoj blizini. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački minimalna funkcija i označiti .
Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Minimalne i maksimalne točke nazivaju se tačke ekstrema, a vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema nazivaju se ekstremi funkcije.

Za istraživanje funkcije do monotonije, koristite sljedeću shemu:
- Pronađite domen definicije funkcije;
- Naći izvod funkcije i oblast definicije izvoda;
- Pronađite nule izvoda, tj. vrijednost argumenta pri kojoj je derivacija jednaka nuli;
- Uključeno numeričke zrake mark zajednički dio domen definicije funkcije i domen definicije njenog izvoda, a na njemu - nule izvoda;
- Odrediti predznake izvoda na svakom od rezultujućih intervala;
- Pomoću predznaka izvoda odrediti na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima opada;
- Napišite odgovarajuće intervale odvojene tačkom i zarezom.

Algoritam istraživanja kontinuirana funkcija y = f(x) za monotonost i ekstreme:
1) Pronađite izvod f ′(x).
2) Pronađite stacionarne (f ′(x) = 0) i kritične (f ′(x) ne postoji) tačke funkcije y = f(x).
3) Označite stacionarne i kritične tačke na brojevnoj pravoj i odredite predznake izvoda na rezultujućim intervalima.
4) Izvući zaključke o monotonosti funkcije i njenih ekstremnih tačaka.

18. Konveksnost funkcije. Pregibne tačke. Algoritam za proučavanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primjeri.

konveksno nadole na X intervalu ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj tački X intervala.

Poziva se funkcija koju treba razlikovati konveksno gore na X intervalu ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj tački u X intervalu.

Formula tačke se zove tačka pregiba grafika funkcija y=f(x), ako u datoj tački postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna sa Oy osi) i postoji takva okolina tačke formule unutar koje se lijevo i desno tačke M graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Pronalaženje intervala za konveksnost:

Ako funkcija y=f(x) ima konačni drugi izvod na intervalu X i ako vrijedi nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje (gore) na X.
Ova teorema vam omogućava da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije koje trebate samo da riješite nejednakosti i, respektivno, na domenu definicije originalne funkcije.

Primjer: Saznaj intervale na kojima je graf funkcije Saznaj intervale na kojima je graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje. ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje.
Rješenje: Domen definicije ove funkcije je cijeli skup realni brojevi.
Nađimo drugi izvod.

Područje definicije druge derivacije poklapa se sa domenom definicije izvorne funkcije, pa je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i shodno tome. Prema tome, funkcija je konveksna prema dolje na formuli intervala i konveksna prema gore na formuli intervala.

19) Asimptote funkcije. Primjeri.

Prava linija se zove vertikalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti jednaka ili .

Komentar. Prava linija ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana u tački. Prema tome, vertikalne asimptote treba tražiti u tačkama diskontinuiteta funkcije.

Prava linija se zove horizontalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka .

Komentar. Graf funkcije može imati samo desnu horizontalnu asimptotu ili samo lijevu.

Prava linija se zove kosa asimptota graf funkcije if

PRIMJER:

Vježbajte. Naći asimptote grafa funkcije

Rješenje. Opseg funkcije:

a) vertikalne asimptote: prava linija - vertikalna asimptota, pošto

b) horizontalne asimptote: nalazimo granicu funkcije u beskonačnosti:

odnosno ne postoje horizontalne asimptote.

c) kose asimptote:

Dakle, kosa asimptota je: .

Odgovori. Vertikalna asimptota je ravna.

Kosa asimptota je ravna.

20) Opšta šema za proučavanje funkcije i crtanje grafa. Primjer.

a.
Pronađite ODZ i točke diskontinuiteta funkcije.

b. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

2. Provesti studiju funkcije koristeći prvi izvod, odnosno pronaći tačke ekstrema funkcije i intervale povećanja i smanjenja.

3. Istražiti funkciju pomoću izvoda drugog reda, odnosno pronaći točke pregiba grafa funkcije i intervale njegove konveksnosti i konkavnosti.

4. Pronađite asimptote grafa funkcije: a) vertikalne, b) kose.

5. Na osnovu istraživanja konstruirati graf funkcije.

Imajte na umu da je prije crtanja grafa korisno utvrditi da li je data funkcija parna ili neparna.

Podsjetimo da se funkcija poziva čak i ako promjena predznaka argumenta ne mijenja vrijednost funkcije: f(-x) = f(x) a funkcija se naziva odd if f(-x) = -f(x).

U ovom slučaju, dovoljno je proučiti funkciju i nacrtati njen graf pozitivne vrijednosti argumenti koji pripadaju ODZ-u. At negativne vrijednosti argument, graf se završava na osnovu toga za ravnomjerna funkcija simetričan je u odnosu na os Oy, i za neparne u odnosu na ishodište.

Primjeri. Istražite funkcije i izgradite njihove grafove.

Function Domain D(y)= (–∞; +∞). Nema prelomnih tačaka.

Raskrsnica sa osom Ox: x = 0,y= 0.

Funkcija je neparna, stoga se može proučavati samo na intervalu )