Primjer proizvoljnih veličina matrice. Matrice. Akcije na matrice. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica. Gornja trokutasta matrica

Dom Dato metodološki priručnik pomoći će vam da naučite kako se izvoditi operacije sa matricama

: sabiranje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>..

Pokušaću da minimiziram teorijske proračune na nekim mjestima moguća su objašnjenja „na prste“ i upotreba nenaučnih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molim vas da se ne upuštate u kritiku, naš zadatak je nauči da izvodi operacije sa matricama

Za SUPER BRZU pripremu na temu (ko gori) postoji intenzivni pdf kurs Matrica, determinanta i test! Matrica je pravokutna tablica nekih Matrica, determinanta i test! elementi . As razmatraćemo brojeve, odnosno numeričke matrice.

ELEMENT je pojam. Preporučljivo je zapamtiti termin, često će se pojavljivati, nije slučajno što sam koristio podebljan font da ga istaknem. Oznaka:

matrice se obično označavaju velikim slovima latiničnim slovima

primjer: Matrica, determinanta i test!:

Razmotrite matricu dva po tri:

Ova matrica se sastoji od šest

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju: To je samo tabela (skup) brojeva! I mi ćemo se složiti

nemojte preuređivati

brojeva, osim ako je drugačije navedeno u objašnjenjima. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne može se miješati!

Matrica u pitanju ima dva reda: i tri kolone: STANDARD: kada govorimo o veličinama matrice, onda

isprva označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri. Ako je broj redova i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat

, Na primjer: – matrica tri po tri..

U stvari, koncept matrice znamo još od škole, uzmimo u obzir, na primjer, tačku s koordinatama “x” i “y”: . U suštini, koordinate tačke se upisuju u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je red brojeva bitan: a to su dvije potpuno različite tačke na ravni.

A sada pređimo na učenje operacije sa matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerovatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stanovišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa i jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomerimo minus van matrice tako što ćemo promeniti predznak SVAKOM elementu matrice:

Na nuli, kao što razumete, znak se ne menja, nula je i nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Hajde da unesemo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOGA elementa matrice:

Pa, ispalo je mnogo ljepše. I, što je najvažnije, biće LAKŠE izvršiti bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takva matematička narodni znak: što više minusa, to je više zabune i grešaka.

2) Drugi čin. Množenje matrice brojem.

matrice se obično označavaju velikim slovima

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, potrebno vam je svaki matrični element pomnožen datim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Drugi koristan primjer:

– množenje matrice sa razlomkom

Prvo da pogledamo šta da radimo NO NEED:

NEMA POTREBE unositi razlomak u matricu, prvo, to samo komplikuje dalje radnje sa matricom, drugo, nastavniku otežava provjeru rješenja (naročito ako – konačni odgovor zadatka).

I, štaviše, NO NEED podijelite svaki element matrice sa minus sedam:

Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sećamo se toga decimale u višoj matematici pokušavaju ih izbjeći na sve moguće načine.

Jedina stvar je poželjno Ono što treba učiniti u ovom primjeru je dodati minus u matricu:

Ali ako samo SVE matrični elementi su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

matrice se obično označavaju velikim slovima

U ovom slučaju, možete NEED TO pomnožite sve elemente matrice sa , jer su svi brojevi matrice djeljivi sa 2 bez traga.

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept “podjele”. Umjesto da kažete “ovo podijeljeno s onim”, uvijek možete reći “ovo pomnoženo s razlomkom”. Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Treći čin. Matrix Transpose.

Da biste transponovali matricu, potrebno je da njene redove upišete u kolone transponovane matrice.

matrice se obično označavaju velikim slovima

Transponovana matrica

Ovdje je samo jedan red i po pravilu ga treba pisati u stupac:

– transponovana matrica.

Transponovana matrica se obično označava superskriptom ili prostim brojem u gornjem desnom uglu.

Korak po korak primjer:

Transponovana matrica

Prvo prepisujemo prvi red u prvu kolonu:

Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac:

I konačno, prepisujemo treći red u treću kolonu:

Spreman. Grubo rečeno, transponovanje znači okretanje matrice na stranu.

4) Četvrti čin. Zbir (razlika) matrica.

Zbir matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SAVIJATI. Za obavljanje sabiranja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se može dodati samo sa matricom dva po dva i ničim drugim!

matrice se obično označavaju velikim slovima

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

matrice se obično označavaju velikim slovima

Pronađite razliku matrice ,

Kako možete lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa da biste to učinili, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept „oduzimanja“. Umjesto da kažete „oduzmi ovo od ovoga“, uvijek možete reći „ovome dodajte negativan broj“. Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj sabiranja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje matrice se mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila sa matricom, neophodno je tako da je broj stupaca matrice jednak broju redova matrice.

matrice se obično označavaju velikim slovima
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

To znači da se matrični podaci mogu množiti.

Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Dakle, množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke sa trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očigledno nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, moguće su i množenje i množenje

Matrice. Akcije na matrice. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica.

Matrice (i, prema tome, matematički dio - matrična algebra) imati važno u primijenjenoj matematici, jer omogućavaju da se zapiše značajan dio matematički modeli objekata i procesa. Termin "matrica" ​​pojavio se 1850. godine. Matrice se prvi put spominju u staroj Kini, a kasnije od strane arapskih matematičara.

Matrix A=A mn poziva se red m*n pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redova i n - kolona.

Matrični elementi aij, za koje se i=j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.

Za kvadratnu matricu (m=n), glavnu dijagonalu čine elementi a 11, a 22,..., a nn.

Matrična jednakost.

A=B, ako matrica naređuje A I B su isti i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Akcije na matrice.

1. Sabiranje matrice - operacija po elementima

2. Oduzimanje matrica - operacija po elementima

3. Proizvod matrice i broja je operacija po elementima

4. Množenje A*B matrice prema pravilu red u kolonu(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redova matrice B)

A mk *B kn =C mn i svaki element sa ij matrice Cmn jednak zbiru proizvode elemenata i-tog reda matrice A odgovarajućim elementima j-te kolone matrice B, tj.

Hajde da demonstriramo operaciju množenja matrice koristeći primer

5. Eksponencijacija

m>1 je pozitivan cijeli broj. A je kvadratna matrica (m=n) tj. relevantno samo za kvadratne matrice

6. Transponovanje matrice A. Transponovana matrica je označena sa A T ili A"

Redovi i kolone su zamijenjeni

Primjer

Svojstva operacija nad matricama

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vrste matrica

1. Pravokutni: m I n- proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva

2. Kvadrat: m=n

3. Red matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva se matrica naziva vektor

4. Matrični stupac: n=1. Na primjer

5. Dijagonalna matrica: m=n I a ij =0, Ako i≠j. Na primjer

6. Matrica identiteta: m=n I

7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trouglasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.

9. Simetrična matrica: m=n I a ij =a ji(tj., jednaki elementi se nalaze na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu), i stoga A"=A

na primjer,

10. Koso-simetrična matrica: m=n I a ij =-a ji(tj. suprotni elementi se nalaze na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu). Shodno tome, na glavnoj dijagonali postoje nule (od kada i=j imamo a ii =-a ii)

jasno, A"=-A

11. Hermitska matrica: m=n I a ii =-ã ii (ã ji- složeno - konjugirano na a ji, tj. Ako A=3+2i, zatim kompleksni konjugat Ã=3-2i)

Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od praktičnog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg smjera.

Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojom količinom podataka o pretplatnicima nisu ništa drugo do matrice. Takve matrice izgledaju otprilike ovako:

Jasno je da svi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze s različitim brojem redova (različitih kao imenik telefonske kompanije, koji može imati hiljade, stotine hiljada ili čak milione redova, i nova bilježnica koju ste upravo započeli, koja ima manje od deset redova) i stupaca ( imenik zvaničnici neka organizacija u kojoj mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i vaš isti adresar, gde možda nema podataka osim imena, pa samim tim u njemu postoje samo dve kolone - ime i broj telefona).

Mogu se sabirati i množiti razne matrice, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete koristiti svoj um.

Ali mnoge matrice se mogu i trebaju sabirati i množiti i na taj način riješiti razne hitne probleme. Ispod su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima je zabilježena proizvodnja ovog proizvoda:

Možete dodati matrice ovog tipa, koje uzimaju u obzir izlaz sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:

Posljednje dvije vrste matrica mogu se pomnožiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili samo matrica ) i piše se ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao i u determinanti, prvi indeks označava broj reda, drugi – kolonu na čijem se preseku element nalazi; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravougaona , Ako .

Ako m = n, tada se matrica zove označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri. , a broj n je njegov po redu .

Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. To je označeno simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nije posebno (ili nedegenerisan , ne-jednina ), ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerisati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se pozivaju jednaka , ako imaju isti broj redova i stupaca i svi odgovarajući elementi se podudaraju.

Matrica se zove null , ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nultu matricu ćemo označiti simbolom 0 ili .

na primjer,

Matrica-red (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica-kolona (ili columnar ) – m 1-matrica.

Matrix A", koji se dobija iz matrice A zamena redova i kolona u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1) transponovana matrica je

Operacija prijelaza matrice A" transponirano u odnosu na matricu A, naziva se matrična transpozicija A. Za mn-matrica transponovana je nm-matrica.

Matrica transponovana u odnosu na matricu je A, odnosno

(A")" = A .

Primjer 1. Pronađite matricu A", transponirano u odnosu na matricu

i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.

Glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Poziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Među njima može biti jednako nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju, različiti od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2. Zadate matrice:

Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trougla, nalazimo

Matrična determinanta B izračunajmo koristeći formulu

Lako to shvatamo

Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B– poseban (degenerisan, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.

Sami riješite problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Zadane matrice

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

Strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno bilježe u obliku matrica. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima korištenjem linearne algebre.

Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model, koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada između industrija, dolazi do međuindustrijskog povezivanja, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.

Volumen proizvoda i-ta industrija (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se punim outputom i-th industrija. Problemi se mogu zgodno smjestiti n-komponentni red matrice.

Broj jedinica i-industrija koju treba potrošiti j-industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.

Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kaže se da ova matrica ima dimenziju m on n.

Opšti izgled matrice:

Za matrična rješenja potrebno je razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:

• Glavna dijagonala, koja se sastoji od elemenata a 11, a 22…..a mn.
• Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Glavne vrste matrica:

• Kvadrat je matrica u kojoj je broj redova = broj kolona ( m=n).
• Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
• Transponovana matrica - matrica IN, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
• Jedinstvo - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
• Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s originalnom matricom, rezultira matricom identiteta.

Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.

Metode rješavanja matrica.

Skoro sve matrične metode rješavanja sastoji se u pronalaženju njegove determinante n-. reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje druge, racionalnije metode.

Pronalaženje determinanti 2. reda.

Za izračunavanje determinante matrice A 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:

Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.

Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.

Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od matrične metode rješavanja, može se prikazati na ovaj način:

Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani pravim linijama uzima se sa znakom “+”; Također, za 2. odrednicu, odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:

At rješavanje matrica korištenjem Sarrusovog pravila, desno od determinante, dodati prve 2 kolone i proizvode odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzeti sa znakom “+”; i produkte odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":

Dekomponovanje determinante u red ili kolonu prilikom rješavanja matrica.

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično se bira red/kolona koji sadrži nule. Red ili stupac duž kojeg se vrši dekompozicija bit će označen strelicom.

Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.

At rješavanje matrica metodom svođenja determinante na trokutasti oblik, funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutastog oblika i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali.

Laplaceov teorem za rješavanje matrica.

Kada rješavate matrice korištenjem Laplaceove teoreme, morate znati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ - ovo je odrednica n-th red. Odabiremo bilo koju k redovi (ili kolone), predviđeni k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k-ti red koji se nalazi u odabranom k redovi (kolone), po svojim algebarskim komplementama biće jednaki determinanti.

Rješavanje inverzne matrice.

Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja:

1. Odredite da li je data matrica kvadratna. Ako je odgovor negativan, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
2. Računamo algebarske komplemente.
3. Sastavljamo unijsku (međusobnu, adjuint) matricu C.
4. Sastavljamo inverznu matricu od algebarskih sabiranja: svi elementi adjunktne matrice C podijeliti sa determinantom početne matrice. Konačna matrica će biti tražena inverzna matrica u odnosu na datu.
5. Provjeravamo obavljeni posao: pomnožimo početnu matricu i rezultujuću matricu, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.

Rešavanje matričnih sistema.

Za rješenja matričnih sistema Najčešće se koristi Gausova metoda.

Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAE) a leži u činjenici da se varijable sekvencijalno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi do ekvivalentnog sistema trokutastog oblika i iz njega, uzastopno, počevši od posljednjeg (brojem ), svaki element sistema je pronađen.

Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat da nađemo rješenje matrica. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode.

Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobijanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) kretanja. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminiranja varijabli.

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Matrica veličine m× n zove set m·n brojevi raspoređeni u pravougaonu tabelu m linije i n kolone. Ova tabela je obično zatvorena u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, A ili IN.

IN opšti pogled veličina matrice m× n napiši ovako

.

Pozivaju se brojevi koji čine matricu matričnih elemenata. Pogodno je dati matrične elemente sa dva indeksa a ij: Prvi označava broj reda, a drugi broj kolone. na primjer, a 23– element je u 2. redu, 3. koloni.

Ako matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca, tada se matrica naziva označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri., a broj njegovih redova ili stupaca se poziva po redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen red je 3, a četvrta matrica je njen red 1.

Poziva se matrica u kojoj broj redova nije jednak broju stupaca pravougaona. U primjerima ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jednu kolonu.

Poziva se matrica sa samo jednim redom matrica - red(ili string) i matrica sa samo jednom kolonom matrica - kolona.

Poziva se matrica čiji su svi elementi nula null i označava se sa (0), ili jednostavno 0. Na primjer,

.

Glavna dijagonala kvadratne matrice nazivamo dijagonalom koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla.

Zove se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trouglasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedan single matrica i označena je slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

AKCIJE NA MATRICAMA

Matrična jednakost. Dvije matrice A I B se kaže da su jednaki ako imaju isti broj redova i kolona i ako su im odgovarajući elementi jednaki a ij = b ij. Pa ako I , To A=B, Ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 I a 22 = b 22.

Transponirati. Razmotrimo proizvoljnu matricu A od m linije i n kolone. Može se povezati sa sljedećom matricom B od n linije i m kolone, u kojima je svaki red kolona matrice A sa istim brojem (dakle, svaka kolona je red matrice A sa istim brojem). Pa ako , To .

Ova matrica B pozvao transponovano matrica A, i prijelaz iz A To B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redova i stupaca matrice. Matrica transponovana u matricu A, obično se označava A T.

Komunikacija između matrice A a njegovo transponovanje se može napisati u obliku .

Na primjer. Odrediti transponiranu matricu date.

Sabiranje matrice. Neka matrice A I B sastoje se od istog broja redova i istog broja kolona, ​​tj. imati iste veličine. Zatim da biste dodali matrice A I B potrebno za matrične elemente A dodati elemente matrice B stoje na istim mestima. Dakle, zbir dvije matrice A I B zove se matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Pronađite zbir matrica:

Lako je provjeriti da se sabiranje matrice pridržava sljedećih zakona: komutativno A+B=B+A i asocijativno ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k svaki element matrice je potreban A pomnožite sa ovim brojem. Dakle, matrični proizvod A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koje brojeve a I b i matrice A I B vrijede sljedeće jednakosti:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova operacija se izvodi prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine faktorskih matrica moraju biti konzistentne. Možete množiti samo one matrice u kojima se broj stupaca prve matrice poklapa s brojem redova druge matrice (tj. dužina prvog reda je jednaka visini drugog stupca). Posao matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element koji se nalazi u 1. redu i 3. koloni od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente reda sa odgovarajućim elementima kolone i dodati rezultirajuće proizvode. I drugi elementi matrice proizvoda se dobijaju korišćenjem sličnog proizvoda redova prve matrice i kolona druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (a ij) veličina m× n na matricu B = (b ij) veličina n× str, tada dobijamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij dobija se kao rezultat proizvoda elemenata i th red matrice A na odgovarajuće elemente j th kolona matrice B i njihove dopune.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, a kao rezultat dobijamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica se uvijek može množiti sama sa sobom, tj. kvadrat.

Drugi važan slučaj je množenje matrice reda sa matricom stupaca, a širina prve mora biti jednaka visini druge, što rezultira matricom prvog reda (tj. jednim elementom). stvarno,

.

Primjeri.

Dakle ovi jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se potvrditi da množenje matrica poštuje asocijativne i distributivne zakone, tj. (AB)C=A(BC) I (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti prilikom množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda ponovo dobijamo matricu A, i AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što znate, proizvod 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to možda nije slučaj, tj. proizvod 2 matrice koje nisu nula može se pokazati jednakim matrici nula.

Na primjer, Ako , To

.

POJAM ODREDNICA

Neka je data matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva reda i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara datoj matrici je broj dobijen na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, potrebno je da oduzmete proizvod elemenata duž druge dijagonale od proizvoda elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i njenu odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara datoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

.

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 i svodi izračunavanje determinante trećeg reda na izračunavanje determinanti drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično, mogu se uvesti koncepti determinanti četvrte, pete itd. redosleda, snižavajući njihov poredak proširenjem na elemente 1. reda, sa naizmjencem znakova “+” i “–” pojmova.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.