Eksponencijalna jednadžba s različitim bazama. Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na složenije rješavanje eksponencijalne jednačine, podsjetimo se na glavne teorijske odredbe u vezi sa eksponencijalnom funkcijom.

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, tehnika rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina

Prisjetite se definicije i glavnih svojstava eksponencijalne funkcije. Na svojstvima se zasniva rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen i ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y - zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastući i opadajući eksponent, ilustrujući eksponencijalnu funkciju na bazi veći od jedan i manje od jedan, ali veće od nule, respektivno.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste kao , smanjuje se kao .

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti s jednom vrijednošću argumenta.

Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule, uključujući, na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, uključujući.

2. Rješenje tipičnih eksponencijalnih jednačina

Prisjetimo se kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe svode se na takve jednačine.

Jednakost eksponenata pri jednake osnove zbog svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.

Metoda rješenja:

Izjednačiti osnove stepeni;

Izjednačite eksponente.

Prijeđimo na složenije eksponencijalne jednadžbe, naš cilj je svaku od njih svesti na najjednostavniju.

Riješimo se korijena s lijeve strane i smanjimo stupnjeve na istu bazu:

Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na jednostavnu, često se koristi promjena varijabli.

Koristimo svojstvo stepena:

Predstavljamo zamjenu. Neka onda . Sa takvom zamjenom, očito je da y uzima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:

Dobivenu jednačinu množimo sa dva i sve članove prenosimo na lijevu stranu:

Prvi korijen ne zadovoljava interval od y vrijednosti, odbacujemo ga. Dobijamo:

Dovedemo stepene do istog indikatora:

Predstavljamo zamjenu:

Neka onda . Sa ovom zamjenom, očito je da y uzima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:

Znamo riješiti slične kvadratne jednadžbe, ispisujemo odgovor:

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti prema Vietinom teoremu, odnosno pronaći zbir korijena i njihovog proizvoda i provjeriti s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.

Dobijamo:

3. Tehnika rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena

Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:

Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f sa parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g sa parametrom f.

Metoda rješenja:

Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna, ali je lakše učiniti obrnuto. Trebalo bi razmotriti dva slučaja:

U prvom slučaju dobijamo

U drugom slučaju imamo pravo da podijelimo najvećim stepenom i dobijemo:

Trebalo bi da uvedemo promenu varijabli, dobijamo kvadratna jednačina sa poštovanjem prema:

Imajte na umu da funkcije f i g mogu biti proizvoljne, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.

4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:

Dobijamo:

Predstavljamo zamjenu: (prema svojstvima eksponencijalne funkcije)

Dobili smo kvadratnu jednačinu:

Određujemo korijene prema Vietinoj teoremi:

Prvi korijen ne zadovoljava interval y vrijednosti, odbacujemo ga, dobijamo:

Koristimo svojstva stepena i sve stepene svedemo na jednostavne baze:

Lako je uočiti funkcije f i g:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada .

U fazi pripreme za završno testiranje srednjoškolci treba da usavrše svoja znanja na temu „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Stoga srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju pažljivo savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose sa ovom vrstom zadataka, maturanti će moći da računaju na visoke rezultate polaganje ispita matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje zajedno sa Školkovom!

Prilikom ponavljanja obrađenog gradiva mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Studirajući na našoj stranici, moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju upravo na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici "Školkova" prikupili su, sistematizovali i predstavili sve što je potrebno za uspješna isporuka KORISTITE materijal na najjednostavniji i najpristupačniji način.

Glavne definicije i formule predstavljene su u odjeljku "Teorijske reference".

Za bolju asimilaciju gradiva preporučujemo da uvježbate zadatke. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina sa rješenjima predstavljenim na ovoj stranici kako biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga nastavite sa zadacima u odjeljku "Katalozi". Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u "Favorite". Tako da ih možete brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa nastavnikom.

Da biste uspješno položili ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

Šta je eksponencijalna jednačina? Primjeri.

Dakle, eksponencijalna jednačina... Novi jedinstveni eksponat na našoj općoj izložbi širokog spektra jednačina!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako i ovdje. ključna riječ u terminu "eksponencijalna jednačina" je riječ "demonstrativno". Šta to znači? Ova riječ znači da je nepoznato (x). u smislu bilo kog stepena. I samo tamo! Ovo je izuzetno važno.

Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ili čak ova čudovišta:

2 sin x = 0,5

Molim vas da odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: u osnove stepeni (dole) - samo brojevi. Ali unutra indikatori stepeni (vrh) - širok izbor izraza sa x. Apsolutno bilo koji.) Sve zavisi od specifične jednačine. Ako odjednom, x izađe u jednadžbi negdje drugdje, pored indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), tada će takva jednadžba već biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za rješavanje. Stoga ih u ovoj lekciji nećemo razmatrati. Na radost učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednačine u "čistom" obliku.

Uopšteno govoreći, čak i čiste eksponencijalne jednačine nisu jasno riješene u svim slučajevima, a ne uvijek. Ali među bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednačina, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ove vrste jednačina ćemo razmotriti s vama. A primjere ćemo svakako riješiti.) Pa se smjestimo udobno i - na put! Kao i u kompjuterskim "pucalima", naše putovanje će proći kroz nivoe.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Na putu će vas čekati i tajni nivo - trikovi i metode za rješavanje nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, na kraju je, naravno, završni gazda u vidu domaće zadaće.)

Nivo 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednačina? Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Za početak, pogledajmo neke iskrene elementarne. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:

2 x = 2 2

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom logikom i zdrav razum jasno je da je x = 2. Ne postoji drugi način, zar ne? Nijedna druga vrijednost x nije dobra... A sada da skrenemo pažnju na unos odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:

2 x = 2 2

X = 2

Šta nam se desilo? I dogodilo se sljedeće. Mi smo, naime, uzeli i ... samo izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, ono što je drago, pogodite metak!

Da, zaista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi lijevo i desno isto brojeva u bilo kom stepenu, onda se ovi brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava.) I onda možete odvojeno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično je, zar ne?

Evo ključne ideje rješavanja bilo koje (da, baš bilo koje!) eksponencijalne jednadžbe: preko identične transformacije potrebno je osigurati da su lijevo i desno u jednačini isto bazni brojevi u raznim stepenima. I tada možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.

A sada se prisjećamo željeznog pravila: moguće je ukloniti iste baze ako i samo ako su u jednadžbi s lijeve i desne strane bazni brojevi u ponosnoj samoći.

Šta to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Objašnjavam.

Na primjer, u jednadžbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Ne možete ukloniti trojke! Zašto? Jer na lijevoj strani imamo ne samo usamljenu trojku u stepenu, već rad 3 3 x-5 . Dodatna trojka stoji na putu: koeficijent, razumiješ.)

Isto se može reći i za jednačinu

5 3 x = 5 2 x +5 x

I ovdje su sve baze iste - pet. Ali na desnoj strani nemamo ni jedan stepen od pet: postoji zbir stepeni!

Ukratko, imamo pravo ukloniti iste baze samo kada naša eksponencijalna jednačina izgleda ovako i samo ovako:

af (x) = a g (x)

Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe se naziva najjednostavniji. ili naučno, kanonski . I bez obzira kakva je uvrnuta jednačina pred nama, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti na tako jednostavan (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da agregati jednačine ove vrste. Tada naša najjednostavnija jednačina može biti u opšti pogled prepiši ovako:

F(x) = g(x)

I to je to. Ovo će biti ekvivalentna transformacija. U isto vrijeme, apsolutno bilo koji izrazi sa x mogu se koristiti kao f(x) i g(x). Kako god.

Možda će se posebno radoznali učenik zapitati: zašto, pobogu, tako lako i jednostavno odbacujemo iste osnove s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali odjednom, u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga, ovaj pristup će se pokazati pogrešnim? Da li je uvijek legalno bacati iste baze? Nažalost, za rigorozan matematički odgovor na ovo zanimljivo pitanje, potrebno je prilično duboko i ozbiljno zaroniti u opšta teorija ponašanje uređaja i funkcije. I malo konkretnije – u fenomenu stroga monotonost. Konkretno, stroga monotonost eksponencijalna funkcijay= sjekira. Budući da je eksponencijalna funkcija i njena svojstva koja su u osnovi rješenja eksponencijalnih jednačina, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dat u posebnoj posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednadžbi korištenjem monotonosti različitih funkcija.)

Objasniti ovu stvar sada u detalje znači samo izvaditi mozak prosječnom đaku i unaprijed ga uplašiti suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Za naše glavne ovog trenutka zadatak - naučite rješavati eksponencijalne jednačine! Najjednostavniji! Stoga, dok se ne oznojimo i hrabro izbacimo iste razloge. Ovo je mogu, vjerujte mi na riječ!) I tada već rješavamo ekvivalentnu jednačinu f (x) = g (x). U pravilu je jednostavniji od originalnog eksponencijala.

Pretpostavlja se, naravno, da ljudi već znaju riješiti barem , a jednadžbe, već bez x u indikatorima.) Ko još ne zna kako, slobodno zatvori ovu stranicu, prošeta po odgovarajućim linkovima i popuni stare praznine. U suprotnom, biće vam teško, da...

Ja ćutim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednačinama koje također mogu nastati u procesu eliminacije baza. Ali nemojte se uznemiravati, za sada nećemo razmatrati iskreni lim u smislu stepeni: prerano je. Treniraćemo samo na najjednostavnijim jednačinama.)

Sada razmotrite jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da ih svedete na najjednostavnije. Da ih razlikujemo, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, idemo na sljedeći nivo!

Nivo 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Priznajte diplome! prirodni pokazatelji.

Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednačina su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće raditi. Avaj. Dakle, ako ima problema sa diplomama, za početak ste dobrodošli. Osim toga, potrebno nam je i . Ove transformacije (čak dvije!) su osnova za rješavanje svih matematičkih jednačina općenito. I ne samo vitrine. Pa ko je zaboravio, prošetaj i linkom: stavio sam ih s razlogom.

Ali samo akcije sa moćima i identične transformacije nisu dovoljne. Takođe zahteva lično posmatranje i domišljatost. Trebaju nam iste osnove, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!

Na primjer, ova jednadžba:

3 2x – 27x +2 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni su drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vreme je da se toga setimo

27 = 3 3

Brojevi 3 i 27 su rođaci po stepenu! Štaviše, rođaci.) Stoga, imamo pravo da zapišemo:

27 x +2 = (3 3) x+2

A sada povezujemo naše znanje o akcije sa ovlastima(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:

(am) n = a mn

Sada, ako ga pokrenete u toku, generalno ispada dobro:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Originalni primjer sada izgleda ovako:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Odlično, osnove stepeni su se poravnale. Ono čemu smo težili. Pola posla je gotovo.) I sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - prenosimo 3 3 (x +2) udesno. Niko nije otkazao elementarne radnje matematike, da.) Dobijamo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Šta nam daje ovakvu jednačinu? I činjenica da je sada naša jednadžba redukovana kanonskom obliku: lijevo i desno su isti brojevi (trojke) po stepenu. I obe trojke - u sjajnoj izolaciji. Hrabro uklanjamo trojke i dobijamo:

2x = 3(x+2)

Rešavamo ovo i dobijamo:

X=-6

To je sve. Ovo je tačan odgovor.)

I sada shvatamo tok odluke. Šta nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o stepenima trojke. Kako tačno? Mi identifikovan broj 27 šifrirano tri! Ovaj trik (kodiranje iste baze pod različitim brojevima) jedan je od najpopularnijih u eksponencijalnim jednačinama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i takođe, usput. Zato su posmatranje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima toliko važni u eksponencijalnim jednačinama!

Praktični savjeti:

Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!

Naravno, svako može podići dva na sedmi stepen ili tri na peti. Ne mislim, barem na nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo je češće potrebno ne dizati na stepen, već, naprotiv, saznati koji se broj i u kojoj mjeri krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A ovo je već više Komplikovano od jednostavnog eksponencijalnog, vidite. Osjetite razliku, kako kažu!

Budući da je sposobnost prepoznavanja stepena na licu korisna ne samo na ovom nivou, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (razbacani, naravno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da da! Nemojte se iznenaditi da ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8 , 4 4 i 16 2 su svi 256.

Nivo 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Priznajte diplome! Negativni i frakcijski eksponenti.

Na ovom nivou već u potpunosti koristimo naše znanje o stepenu. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske indikatore! Da da! Moramo da izgradimo snagu, zar ne?

Na primjer, ova strašna jednadžba:

Opet, prvo pogledajte temelje. Osnove su različite! I ovoga puta ni izdaleka sličan prijatelj na prijatelja! 5 i 0,04... A za eliminaciju baza su potrebne iste... Šta da se radi?

Uredu je! U stvari, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizuelno slabo vidljiva. Kako da izađemo? I idemo na broj od 0,04 do obična frakcija! I tu je, vidite, sve formirano.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Ispostavilo se da je 0,04 1/25! Pa ko bi pomislio!)

Pa, kako? Sada je lakše uočiti vezu između brojeva 5 i 1/25? to je ono...

A sada, prema pravilima rada sa ovlaštenjima s negativan indikator može se napisati čvrstom rukom:

To je sjajno. Tako smo stigli do iste baze - pet. Sada zamjenjujemo neugodan broj 0.04 u jednadžbi sa 5 -2 i dobijamo:

Opet, prema pravilima rada sa ovlastima, sada možemo napisati:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Za svaki slučaj, podsjećam (odjednom, ko ne zna) da osnovna pravila za radnje sa diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Zato slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednačina postaje sve bolja i bolja:

Sve! Osim usamljenih petica u stepenima lijevo i desno, nema ništa drugo. Jednačina se svodi na kanonski oblik. A onda - uz nazubljenu stazu. Uklanjamo petice i izjednačavamo indikatore:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primjer je skoro gotov. Ostaje elementarna matematika srednjih klasa - otvaramo (ispravno!) zagrade i skupljamo sve na lijevoj strani:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Riješimo ovo i dobijemo dva korijena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je sve.)

Hajde da razmislimo ponovo. U ovom primjeru, opet smo morali prepoznati isti broj u različitom stepenu! Naime, da vidite šifrovanu peticu u broju 0,04. I ovog puta, u negativan stepen! Kako smo to uradili? U pokretu - nema šanse. Ali nakon prelaska iz decimalni razlomak 0,04 prema običnom razlomku 1/25 sve je istaknuto! A onda je cijela odluka prošla kao po satu.)

Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.

Ako u eksponencijalnoj jednadžbi postoje decimalni razlomci, onda prelazimo s decimalnih razlomaka na obične. AT obični razlomci mnogo je lakše prepoznati moći mnogih popularnih brojeva! Nakon prepoznavanja prelazimo sa razlomaka na stepene s negativnim eksponentima.

Imajte na umu da se takva finta u eksponencijalnim jednačinama dešava vrlo, vrlo često! A osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uznemiri se. Njemu je nepoznato da je to ista dvojka, samo u različitim stepenima... Ali već ste u temi!)

Riješite jednačinu:

In! Izgleda kao tihi horor... Međutim, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba, uprkos svojoj zastrašujućoj izgled. A sada ću vam to pokazati.)

Prvo se bavimo svim brojevima koji se nalaze u bazama i koeficijentima. Očigledno se razlikuju, da. Ali i dalje preuzimamo rizik i pokušavamo ih ostvariti isto! Hajde da pokušamo da dođemo do toga isti broj u različitim stepenima. I, po mogućnosti, najmanji mogući broj. Dakle, počnimo s dešifriranjem!

Pa, sve je jasno sa četvorkom odjednom - to je 2 2 . Dakle, već nešto.)

Sa frakcijom od 0,25 - još nije jasno. Treba provjeriti. Koristimo praktične savjete - idite od decimalnog do običnog:

0,25 = 25/100 = 1/4

Već mnogo bolje. Za sada je već jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Odlično, a broj 0,25 je također sličan dvojki.)

Zasada je dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen od dva!Šta raditi sa ovom paprikom? Može li se i ona predstaviti kao stepen dvojke? I ko zna...

Pa, opet se penjemo u našu riznicu znanja o diplomama! Ovog puta dodatno povezujemo svoja znanja o korenima. Od 9. razreda, ti i ja smo morali da trpimo da se svaki koren, po želji, uvek može pretvoriti u diplomu sa razlomkom.

Volim ovo:

u našem slučaju:

Kako! Ispada da je kvadratni korijen od dva 2 1/2. To je to!

To je u redu! Svi naši neugodni brojevi zapravo su se ispostavili kao šifrirana dvojka.) Ne raspravljam, negdje vrlo sofisticirano šifrovano. Ali također povećavamo našu profesionalnost u rješavanju takvih šifri! I tada je sve već očigledno. Brojeve 4, 0,25 i korijen od dva u našoj jednadžbi zamjenjujemo stepenom dva:

Sve! Osnove svih stupnjeva u primjeru su postale iste - dva. A sada se koriste standardne akcije sa stepenima:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Za lijevu stranu dobijate:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desnu stranu će biti:

A sada je naša zla jednačina počela izgledati ovako:

Za one koji nisu shvatili kako je tačno ova jednadžba ispala, onda pitanje nije o eksponencijalnim jednačinama. Pitanje je o akcijama sa ovlastima. Zamolio sam hitno da ponovim onima koji imaju problema!

Evo cilja! Primljeno kanonski pogled eksponencijalna jednačina! Pa, kako? Jesam li te uvjerio da nije tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo indikatore:

Ostaje samo riješiti ovu linearnu jednačinu. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Riješite ono što već postoji! Pomnožite oba dijela sa dva (da biste uklonili razlomak 3/2), pomjerite pojmove sa Xs ulijevo, bez Xs udesno, donesite slične, brojite - i bićete sretni!

Sve bi trebalo da ispadne prelepo:

X=4

Hajde da preispitamo odluku. U ovom primjeru nas je spasio prijelaz iz kvadratni korijen to stepen sa eksponentom 1/2. Štaviše, samo nam je takva lukava transformacija pomogla posvuda da dođemo do iste osnove (dvojke), što je spasilo situaciju! I, da nije bilo toga, onda bismo imali svaku priliku da se zauvijek smrznemo i da se nikada ne nosimo s ovim primjerom, da...

Stoga ne zanemarujemo sljedeće praktične savjete:

Ako postoje korijeni u eksponencijalnoj jednadžbi, onda prelazimo s korijena na stepene s razlomačnim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija pojašnjava dalju situaciju.

Naravno, negativne i frakcijske moći su već mnogo složenije od prirodnih. Barem u smislu vizualne percepcije i, posebno, prepoznavanja s desna na lijevo!

Jasno je da direktno povećanje, na primjer, dvojke na stepen -3 ili četiri na stepen -3/2 nije tako veliki problem. Za one koji znaju.)

Ali idi, na primjer, odmah to shvati

0,125 = 2 -3

Or

Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasan pogled, Što je negativan i razlomak eksponent. Kao i - praktični saveti! Da, da, te zeleno.) Nadam se da će vam ipak pomoći da se bolje snađete u svoj šarolikoj raznolikosti stepena i značajno povećate svoje šanse za uspjeh! Zato ih nemojmo zanemariti. Nisam uzalud u zelenoj boji Ponekad pišem.)

S druge strane, ako postanete "ti" čak i sa takvim egzotičnim moćima kao što su negativne i razlomke, tada će se vaše mogućnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi uvelike proširiti i već ćete moći rukovati gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne bilo koja, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednačina - sigurno! Da, da, ne šalim se!

Dakle, naš prvi dio upoznavanja s eksponencijalnim jednačinama došao je do svog logičnog zaključka. I, kao između treninga, tradicionalno predlažem da riješite malo sami.)

Vježba 1.

Da moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomačkih stupnjeva nisu uzaludne, predlažem da se igramo mala igra!

Izrazite broj kao stepen dva:

Odgovori (u neredu):

Desilo se? Fino! Zatim radimo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i jednostavne eksponencijalne jednadžbe!

Zadatak 2.

Riješite jednačine (svi odgovori su nered!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

odgovori:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Desilo se? Zaista, mnogo lakše!

Zatim rješavamo sljedeću igru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

A ovi primjeri jednog lijevog? Fino! Vi rastete! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I da li je odlučeno? Pa, postovanje! Skidam kapu.) Dakle, lekcija nije bila uzaludna, i Prvi nivo rješavanje eksponencijalnih jednačina može se smatrati uspješno savladanim. naprijed - sledeći nivoi i više složene jednačine! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo - u sledećoj lekciji!

Nešto nije uspjelo? Dakle, najvjerovatnije su problemi u . Ili u . Ili oboje u isto vrijeme. Ovdje sam nemoćan. Može unutra još jednom ponudite samo jedno - ne budite lijeni i prošetajte linkovima.)

Nastavlja se.)

Državni univerzitet u Belgorodu

CHAIR algebra, teorija brojeva i geometrija

Radna tema: Jednačine i nejednakosti eksponencijalne snage.

Diplomski rad student Fizičko-matematičkog fakulteta

Supervizor:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Uvod			3
Predmet I.	Analiza literature na temu istraživanja.
Predmet II.	Funkcije i njihova svojstva korištena u rješavanju jednadžbi i nejednačina eksponencijalne snage.
	I.1.	Funkcija napajanja i njegove osobine.
	I.2.	Eksponencijalna funkcija i njena svojstva.
Predmet III.	Rješenje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.
Predmet IV.	Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri.
Predmet v.	Iskustvo u izvođenju nastave sa školarcima na temu: "Rješenje eksponencijalnih jednačina i nejednačina".
v. 1.	Nastavni materijal.
v. 2.	Zadaci za samostalno rješavanje.
Zaključak.	Zaključci i ponude.
Bibliografija.
Prijave

Uvod.

"...radost viđenja i razumijevanja..."

A. Einstein.

U ovom radu pokušao sam da prenesem svoje iskustvo nastavnika matematike, da bar donekle prenesem svoj stav prema tome da je podučavam – ljudska stvar u kojoj su matematička nauka, pedagogija, didaktika, psihologija, pa čak i filozofija iznenađujuće. isprepleteni.

Imao sam priliku da radim sa decom i maturantima, sa decom koja stoje na polovima intelektualnog razvoja: onom koja su bila na evidenciji kod psihijatra i koja je zaista bila zainteresovana za matematiku

Rešio sam mnoge metodološki zadaci. Pokušaću da pričam o onima koje sam uspeo da rešim. Ali još više - nije bilo moguće, a u onima koja se čine riješenim pojavljuju se nova pitanja.

Ali još važnije od samog iskustva su učiteljeva razmišljanja i sumnje: zašto je baš tako, ovo iskustvo?

I ljeto je sada drugačije, a zaokret edukacije postao je zanimljiviji. “Pod Jupiterima” danas nije potraga za mitskim optimalnim sistemom podučavanja “svakog i svega”, već za samo dijete. Ali onda - po potrebi - i učitelj.

AT školski kurs algebra i početak analize od 10. do 11. razreda, prilikom polaganja ispita za predmet srednja škola a na prijemnim ispitima na fakultetima nalaze se jednadžbe i nejednačine koje sadrže nepoznatu u osnovi i eksponente - to su jednačine i nejednačine eksponencijalnog stepena.

U školi im se posvećuje malo pažnje, u udžbenicima praktički nema zadataka na ovu temu. Međutim, savladavanje metodologije za njihovo rješavanje, čini mi se, vrlo je korisno: povećava mentalne i kreativne sposobnosti učenika, otvaraju nam se potpuno novi horizonti. Prilikom rješavanja zadataka učenici stiču prve vještine istraživački rad, obogaćuje se njihova matematička kultura, njihova sposobnost da logičko razmišljanje. Školarci razvijaju takve osobine ličnosti kao što su svrhovitost, postavljanje ciljeva, samostalnost, koje će im koristiti u kasnijem životu. A tu je i ponavljanje, proširenje i duboka asimilacija obrazovnog materijala.

Počeo sam raditi na ovoj temi mog istraživanja teze pisanjem seminarskog rada. U toku kojeg sam detaljnije proučavao i analizirao matematičku literaturu o ovoj temi, identifikovao sam najprikladniji metod za rešavanje jednačina i nejednačina eksponencijalnog stepena.

Ona leži u činjenici da pored opšteprihvaćenog pristupa prilikom rešavanja jednadžbi eksponencijalne snage (baza se uzima veća od 0) i kod rešavanja istih nejednačina (baza se uzima veća od 1 ili veća od 0, ali manja od 1), razmatraju se i slučajevi kada su baze negativne, 0 i 1.

Pisana analiza ispitnih radova studenata pokazuje da je nepoznavanje problematike negativnu vrijednost argument eksponencijalne funkcije u školski udžbenici, uzrokuje im niz poteškoća i dovodi do pojave grešaka. Takođe imaju problema u fazi sistematizacije dobijenih rezultata, gde se, usled prelaska na jednačinu - posledica ili nejednakost - posledica, mogu pojaviti strani koreni. Da bismo eliminisali greške, koristimo provjeru izvorne jednačine ili nejednakosti i algoritam za rješavanje jednadžbi eksponencijalnih snaga, odnosno plan za rješavanje nejednakosti eksponencijalnih snaga.

Kako bi studenti uspješno položili maturu i prijemni ispiti, smatram da je potrebno više pažnje posvetiti rješavanju eksponencijalnih jednačina i nejednačina u učionici, ili dodatno na izbornim predmetima i kružocima.

Dakle predmet , moj teza definira se na sljedeći način: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine".

Ciljevi sadašnji rad su:

1. Analizirajte literaturu o ovoj temi.

2. Dati potpunu analizu rješenja jednadžbi i nejednačina eksponencijalne snage.

3. Navedite dovoljan broj različitih vrsta primjera na ovu temu.

4. Provjeriti u razrednim, izbornim i kružnim razredima kako će se percipirati predložene metode za rješavanje jednačina i nejednačina eksponencijalnog stepena. Dajte odgovarajuće preporuke za proučavanje ove teme.

Predmet naše istraživanje je razvoj tehnike za rješavanje jednadžbi i nejednačina eksponencijalne snage.

Svrha i predmet studije zahtijevali su rješavanje sljedećih zadataka:

1. Proučite literaturu na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine".

2. Ovladati metodama rješavanja jednačina i nejednačina eksponencijalne snage.

3. Odabrati materijal za obuku i razviti sistem vježbi na različitim nivoima na temu: "Rješavanje jednačina i nejednačina eksponencijalne snage."

U toku istraživanja teze analizirano je više od 20 radova posvećenih primjeni različitih metoda za rješavanje jednadžbi i nejednačina eksponencijalne snage. Odavde dobijamo.

Plan teze:

Uvod.

Poglavlje I. Analiza literature na temu istraživanja.

Poglavlje II. Funkcije i njihova svojstva korištena u rješavanju jednadžbi i nejednačina eksponencijalne snage.

II.1. Funkcija snage i njena svojstva.

II.2. Eksponencijalna funkcija i njena svojstva.

Poglavlje III. Rješenje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.

Poglavlje IV. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri.

Poglavlje V. Iskustvo u vođenju nastave sa školarcima na ovu temu.

1. Edukativni materijal.

2. Zadaci za samostalno rješavanje.

Zaključak. Zaključci i ponude.

Spisak korišćene literature.

Literatura analizirana u poglavlju I

1º. eksponencijalne jednačine ime jednadžbi koje sadrže varijablu u eksponentu.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi zasniva se na svojstvu stepena: dva stepena sa istom bazom su jednaka ako i samo ako su im eksponenti jednaki.

2º. Osnovni načini rješavanja eksponencijalnih jednačina:

1) najjednostavnija jednačina ima rješenje;

2) jednačina oblika po logaritmu prema osnovici a dovesti do pameti;

3) jednačina oblika je ekvivalentna jednačini;

4) jednačina oblika je ekvivalentna jednadžbi.

5) jednačina oblika se zamjenom svodi na jednačinu, a zatim se rješava skup najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina;

6) jednačina sa recipročnim veličinama zamjenom svesti na jednadžbu, a zatim riješiti skup jednačina;

7) jednačine homogene s obzirom na a g(x) i b g (x) s obzirom na to vrsta kroz zamjenu svesti na jednadžbu , a zatim riješiti skup jednačina .

Klasifikacija eksponencijalnih jednadžbi.

1. Jednačine riješene prijelazom na jednu bazu.

Primjer 18. Riješite jednačinu .

Rješenje: Iskoristimo činjenicu da su sve baze potencija potenci od 5: .

2. Jednačine se rješavaju prelaskom na jedan eksponent.

Ove jednadžbe se rješavaju transformacijom izvorne jednadžbe u oblik , koji se svede na najjednostavniji način koristeći svojstvo proporcije.

Primjer 19. Riješite jednačinu:

3. Jednačine riješene stavljanjem zajedničkog faktora u zagrade.

Ako se u jednačini svaki eksponent razlikuje od drugog za neki broj, tada se jednačine rješavaju stavljanjem stepena u zagrade najmanjim eksponentom.

Primjer 20. Riješite jednačinu.

Rješenje: Stavimo stepen s najmanjim eksponentom van zagrada na lijevu stranu jednačine:

Primjer 21. Riješite jednačinu

Rješenje: Grupiramo odvojeno na lijevoj strani jednačine članove koji sadrže stupnjeve sa osnovom 4, na desnoj strani - sa osnovom 3, a zatim iz zagrada stavljamo stepene sa najmanjim eksponentom:

4. Jednačine koje se svode na kvadratne (ili kubične) jednačine.

Sljedeće se jednadžbe svode na kvadratnu jednačinu u odnosu na novu varijablu y:

a) vrstu zamjene, dok ;

b) vrsta zamjene , dok .

Primjer 22. Riješite jednačinu .

Rješenje: Napravimo promjenu varijable i riješimo kvadratnu jednačinu:

.

Odgovor: 0; jedan.

5. Homogene jednadžbe s obzirom na eksponencijalne funkcije.

Jednačina oblika je homogena jednačina drugog stepena u odnosu na nepoznate sjekira i b x. Takve jednačine se redukuju preliminarnim dijeljenjem oba dijela i naknadnom zamjenom kvadratnim jednadžbama.

Primjer 23. Riješite jednačinu.

Rješenje: Podijelite obje strane jednačine sa:

Stavljajući , dobijamo kvadratnu jednadžbu s korijenima .

Sada se problem svodi na rješavanje skupa jednačina . Iz prve jednadžbe nalazimo da . Druga jednadžba nema korijen, jer za bilo koju vrijednost x.

Odgovor: -1/2.

6. Jednadžbe racionalne s obzirom na eksponencijalne funkcije.

Primjer 24. Riješite jednačinu.

Rješenje: Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa 3 x i umjesto dvije dobijamo jednu eksponencijalnu funkciju:

7. Jednačine oblika .

Takve jednadžbe sa skupom dopuštenih vrijednosti (ODV) određenih uvjetom, uzimanjem logaritma oba dijela jednačine, svode se na ekvivalentno jednačini, koji su zauzvrat ekvivalentni skupu dvije jednačine ili .

Primjer 25. Riješite jednačinu:.

.

didaktički materijal.

Riješite jednačine:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Pronađite proizvod korijena jednadžbe .

27. Nađite zbir korijena jednačine .

Pronađite vrijednost izraza:

28. , gdje x0- korijen jednačine;

29. , gdje x0 je korijen jednadžbe .

Riješite jednačinu:

31. ; 32. .

odgovori: deset; 2.-2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; pedeset; 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20.-1, 0; 21.-2, 2; 22.-2, 2; 23.4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31.; 32. .

Tema broj 8.

eksponencijalne nejednakosti.

1º. Poziva se nejednakost koja sadrži varijablu u eksponentu uzorna nejednakost.

2º. Odluka eksponencijalne nejednakosti tip se zasniva na sljedećim izjavama:

ako , tada je nejednakost ekvivalentna ;

ako , tada je nejednakost ekvivalentna .

Prilikom rješavanja eksponencijalnih nejednačina koriste se iste tehnike kao i kod rješavanja eksponencijalnih jednačina.

Primjer 26. Riješite nejednačinu (način prelaska na jednu osnovu).

Rešenje: Jer , tada se data nejednakost može napisati kao: . Budući da , ova nejednakost je ekvivalentna nejednakosti .

Rješavajući posljednju nejednakost, dobivamo .

Primjer 27. Riješite nejednačinu: ( metoda uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada).

Rješenje: Izvadimo zagrade na lijevoj strani nejednakosti, na desnoj strani nejednakosti i podijelimo obje strane nejednakosti sa (-2), mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan:

Budući da se tada u prijelazu na nejednakost indikatora, predznak nejednakosti ponovo mijenja u suprotan. Dobijamo . Dakle, skup svih rješenja ove nejednakosti je interval .

Primjer 28. Riješite nejednačinu ( metoda uvođenja nove varijable).

Rješenje: Neka . Tada ova nejednakost poprima oblik: ili , čije je rješenje interval .

Odavde. Budući da se funkcija povećava, onda .

didaktički materijal.

Navedite skup rješenja nejednakosti:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Na kojim vrijednostima x leže li tačke grafa funkcije ispod prave?

7. Na kojim vrijednostima x da li tačke grafa funkcije ne leže ispod prave?

Riješite nejednačinu:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Navedite najveće cjelobrojno rješenje nejednačine .

14. Pronađite proizvod najvećeg cijelog broja i najmanjeg cjelobrojnog rješenja nejednačine .

Riješite nejednačinu:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Pronađite opseg funkcije:

27. ; 28. .

29. Pronađite skup vrijednosti argumenata za koje su vrijednosti svake od funkcija veće od 3:

i .

odgovori: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15. (0; 0,5); šesnaest. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20.(0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23.(0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )