Razlomci, operacije sa razlomcima. Obični razlomci. Brojač, imenilac. Razlomci

Dom Ovaj članak je o obični razlomci . Ovdje ćemo uvesti pojam razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Dalje ćemo se fokusirati na prihvaćene notacije

za obične razlomke i dajte primjere razlomaka, razgovarajmo o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga ćemo dati definicije pravih i nepravilnih, pozitivnih i negativnih razlomaka, a također ćemo razmotriti položaj razlomaka na koordinatnoj zraci. U zaključku navodimo glavne operacije s razlomcima.

Navigacija po stranici.

Dionice cjeline Prvo predstavljamo.

koncept udjela Pretpostavimo da imamo neki objekat sastavljen od nekoliko apsolutno identičnih (tj. jednakih) delova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko dijelova jednake dijelove , ili narandža koja se sastoji od nekoliko jednakih segmenata. Svaki od ovih jednakih dijelova koji čine cijeli objekt naziva se delovi celine ili samo.

dionice

Imajte na umu da su udjeli različiti. Hajde da objasnimo ovo. Daj nam dve jabuke. Prvu jabuku isecite na dva jednaka dela, a drugu na 6 jednakih delova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke. Ovisno o broju dionica koje čine cijeli objekt, ove dionice imaju vlastita imena. Hajde da to sredimo imena otkucaja

. Ako se objekt sastoji od dva dijela, bilo koji od njih se naziva jednim drugim dijelom cijelog objekta; ako se objekt sastoji od tri dijela, onda se bilo koji od njih naziva jednim trećim dijelom, i tako dalje. Jedna sekunda dionica ima – posebno ime pola . Jedna trećina se zove treće , i jedna četvrtina -.

četvrtina Radi sažetosti, uvedeno je sljedeće: beat simboli

. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna trećina dionica označava se kao ili 1/3; jedna četvrtina dionica - lajk ili 1/4 i tako dalje. Imajte na umu da se zapis s horizontalnom trakom češće koristi. Da bismo pojačali gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava sto šezdeset sedmi dio cjeline.

Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka

Da opišemo broj dionica koje koristimo Ovaj članak je o. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da pristupimo definiciji običnih razlomaka.

Neka se narandža sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele narandže, odnosno . Označavamo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , I tako dalje, 12 otkucaja označavamo kao . Svaki od datih unosa naziva se običan razlomak.

Sada dajmo generala definicija običnih razlomaka.

Glasovna definicija običnih razlomaka nam omogućava da damo primjeri običnih razlomaka: 5/10, , 21/1, 9/4, . A evo i zapisa ne odgovaraju navedenoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.

Brojač i nazivnik

Radi praktičnosti razlikuju se obične frakcije brojilac i imenilac.

Definicija.

Brojač obični razlomak (m/n) je prirodan broj m.

Definicija.

Nazivnik obični razlomak (m/n) je prirodan broj n.

Dakle, brojilac se nalazi iznad linije razlomka (lijevo od kose crte), a imenilac ispod linije razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojilac ovog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.

Ostaje da razgovaramo o značenju sadržanom u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Imenitelj razlomka pokazuje od koliko se dijelova sastoji jedan predmet, a brojnik, zauzvrat, označava broj takvih udjela. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedan predmet sastoji od pet udjela, a brojnik 12 znači da se uzima 12 takvih udjela.

Prirodni broj kao razlomak sa nazivnikom 1

Imenilac običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju možemo smatrati da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, predstavlja nešto cjelovito. Brojač takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih objekata uzeto. Dakle, obični razlomak oblika m/1 ima smisla prirodni broj m. Tako smo potkrijepili valjanost jednakosti m/1=m.

Zapišimo posljednju jednakost na sljedeći način: m=m/1. Ova jednakost nam omogućava da bilo koji prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103.498 jednak je razlomku 103.498/1.

dakle, svaki prirodni broj m može se predstaviti kao običan razlomak sa nazivnikom 1 kao m/1, a svaki obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.

Razlomak kao znak dijeljenja

Predstavljanje originalnog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo do podjela na n jednakih dijelova. Nakon što se stavka podijeli na n dionica, možemo je podijeliti na n ljudi - svaki će dobiti po jednu dionicu.

Ako u početku imamo m identičnih objekata, od kojih je svaki podijeljen na n dionica, onda možemo jednako podijeliti ovih m objekata između n ljudi, dajući svakoj osobi po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica od 1/n, a m dionica od 1/n daje obični razlomak m/n. Dakle, zajednički razlomak m/n može se koristiti za označavanje podjele m stavki između n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (vidi opću ideju ​​​dijeljenja prirodnih brojeva). Ova veza se izražava na sljedeći način: razlomak se može shvatiti kao znak podjele, odnosno m/n=m:n.

Koristeći obični razlomak, možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodna broja za koja se ne može izvršiti cijelo dijeljenje. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka sa 8 ljudi može se zapisati kao 5/8, odnosno, svako će dobiti pet osmina jabuke: 5:8 = 5/8.

Jednaki i nejednaki razlomci, poređenje razlomaka

Prilično prirodna akcija je upoređivanje razlomaka, jer je jasno da je 1/12 narandže različito od 5/12, a 1/6 jabuke je isto što i druga 1/6 ove jabuke.

Kao rezultat poređenja dva obična razlomka, dobije se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nejednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, a u drugom – nejednaki obični razlomci. Hajde da damo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.

Definicija.

jednaka, ako je jednakost a·d=b·c tačna.

Definicija.

Dva obična razlomka a/b i c/d nije jednako, ako jednakost a·d=b·c nije zadovoljena.

Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, jer je 1·4=2·2 (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je prepolovljena, a druga na 4 dijela. Očigledno je da su dvije četvrtine jabuke jednake 1/2 udjela. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1.620/1.000.

Ali obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki, jer je 4·14=56 i 13·5=65, odnosno 4·14≠13·5. Drugi primjeri nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.

Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, možda ćete morati saznati koji od ovih običnih razlomaka manje različite, a koje - više. Da bismo saznali, koristi se pravilo za poređenje običnih razlomaka, čija je suština da se uspoređeni razlomci dovedu u zajednički nazivnik, a zatim uporede brojioce. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.

Razlomci brojeva

Svaki razlomak je zapis razlomak broj. To jest, razlomak je samo „ljuska“ razlomka, njegov izgled, a svo semantičko opterećenje sadržano je u razlomku. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncepti razlomka i razlomka su kombinovani i jednostavno se nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak - mislimo na razlomak, kažemo razlomak - mislimo na razlomak.

Razlomci na koordinatnoj zraci

Svi razlomci koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto na , to jest, postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i tačaka koordinatnog zraka.

Da biste došli do tačke na koordinatnoj zraci koja odgovara razlomku m/n, potrebno je izdvojiti m segmenata od početka u pozitivnom smjeru, čija je dužina 1/n razlomka jediničnog segmenta. Takvi segmenti se mogu dobiti dijeljenjem jediničnog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.

Na primjer, pokažimo tačku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14/10. Dužina segmenta sa krajevima u tački O i tačkom koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog segmenta. Tačka sa koordinatom 14/10 udaljena je od početka na udaljenosti od 14 takvih segmenata.

Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomku, odnosno jednaki razlomci su koordinate iste tačke na koordinatnoj zraci. Na primjer, koordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odgovaraju jednoj tački na koordinatnoj zraci, budući da su svi upisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od pola položenog jediničnog segmenta od početka u pozitivnom smjeru).

Na horizontalnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci, tačka čija je koordinata veći razlomak nalazi se desno od tačke čija je koordinata manji razlomak. Slično, tačka sa manjom koordinatom leži levo od tačke sa većom koordinatom.

Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri

Među običnim frakcijama ima pravilni i nepravilni razlomci. Ova podjela se zasniva na poređenju brojnika i nazivnika.

Definirajmo pravilne i nepravilne obične razlomke.

Definicija.

Pravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, odnosno ako je m

Definicija.

Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, odnosno, ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan.

Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4, , 32,765/909,003. Zaista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojilac je manji od nazivnika (ako je potrebno, pogledajte članak u kojem se upoređuju prirodni brojevi), tako da su oni tačni po definiciji.

Evo primjera nepravilnih razlomaka: 9/9, 23/4, . Zaista, brojilac prvog od napisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a u preostalim razlomcima brojilac je veći od nazivnika.

Postoje i definicije pravih i nepravih razlomaka, zasnovane na poređenju razlomaka sa jedan.

Definicija.

ispravan, ako je manji od jedan.

Definicija.

Zove se običan razlomak pogrešno, ako je ili jednako jedan ili veće od 1.

Dakle, uobičajeni razlomak 7/11 je tačan, budući da je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Razmislimo o tome kako obični razlomci s brojnikom većim ili jednakim nazivniku zaslužuju takvo ime - "nepravilno".

Na primjer, uzmimo nepravilan razlomak 9/9. Ovaj razlomak znači da se od objekta koji se sastoji od devet dijelova uzima devet dijelova. Odnosno, od dostupnih devet dijelova možemo napraviti cijeli objekt. To jest, nepravilan razlomak 9/9 u suštini daje cijeli objekt, to jest, 9/9 = 1. Općenito, nepravilni razlomci čiji je brojilac jednak nazivniku označavaju jedan cijeli predmet, a takav razlomak se može zamijeniti prirodnim brojem 1.

Sada razmotrite nepravilne razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od ovih sedam trećih dijelova možemo sastaviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt se sastoji od 3 dijela, a za sastavljanje dva cijela objekta trebat će nam 3 + 3 = 6 dijelova) i još će ostati jedan treći dio . To jest, nepravilan razlomak 7/3 u suštini znači 2 objekta i također 1/3 takvog objekta. A od dvanaest četvrtinskih dijelova možemo napraviti tri cijela objekta (tri predmeta sa po četiri dijela). To jest, razlomak 12/4 u suštini znači 3 cijela objekta.

Razmatrani primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: nepravilni razlomci se mogu zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojilac podijeli ravnomjerno sa nazivnikom (na primjer, 9/9=1 i 12/4=3), ili zbirom prirodnog broja i pravilnog razlomka, kada brojilac nije jednako djeljiv sa nazivnikom (na primjer, 7/3=2+1/3). Možda je to upravo ono zbog čega su nepravilni razlomci dobili naziv "nepravilni".

Posebno je zanimljivo predstavljanje nepravilnog razlomka kao zbira prirodnog broja i pravilnog razlomka (7/3=2+1/3). Ovaj proces se naziva odvajanjem cijelog dijela od nepravilnog razlomka i zaslužuje odvojeno i pažljivije razmatranje.

Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Svaki uobičajeni razlomak odgovara pozitivnom razlomku (pogledajte članak o pozitivnim i negativnim brojevima). To jest, obični razlomci jesu pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada trebate istaknuti pozitivnost razlomka, ispred njega se stavlja znak plus, na primjer, +3/4, +72/34.

Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, onda će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju možemo razgovarati o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n su suprotni brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci.

Pozitivni razlomci, poput pozitivnih brojeva općenito, označavaju dodatak, prihod, promjenu bilo koje vrijednosti naviše, itd. Negativni razlomci odgovaraju trošku, dugu ili smanjenju bilo koje količine. Na primjer, negativni razlomak −3/4 može se tumačiti kao dug čija je vrijednost jednaka 3/4.

U vodoravnom i desnom smjeru, negativni razlomci se nalaze lijevo od početka. Tačke koordinatne linije čije su koordinate pozitivni razlomak m/n i negativni razlomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od početka, ali na suprotnim stranama tačke O.

Ovdje je vrijedno spomenuti razlomke oblika 0/n. Ovi razlomci su jednaki broju nula, odnosno 0/n=0.

Pozitivni razlomci, negativni razlomci i 0/n razlomci se kombinuju da formiraju racionalne brojeve.

Operacije sa razlomcima

Već smo raspravljali o jednoj radnji s običnim razlomcima - poređenje razlomaka - gore. Definirane su još četiri aritmetičke funkcije operacije sa razlomcima– sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Pogledajmo svaki od njih.

Opća suština operacija s razlomcima slična je suštini odgovarajućih operacija s prirodnim brojevima. Hajde da napravimo analogiju.

Množenje razlomaka može se smatrati radnjom pronalaženja razlomka iz razlomka. Da pojasnimo, dajmo primjer. Recimo da imamo 1/6 jabuke i da moramo uzeti 2/3 od nje. Dio koji nam treba je rezultat množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak (koji je u posebnom slučaju jednak prirodnom broju). Zatim preporučujemo da proučite informacije u članku Množenje razlomaka - pravila, primjeri i rješenja.

Reference.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5. razred. obrazovne institucije.
• Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Razlomci jedinice i predstavljen je kao \frac(a)(b).

Brojač razlomka (a)- broj koji se nalazi iznad linije razlomaka i koji pokazuje broj dionica na koje je jedinica podijeljena.

Imenilac razlomka (b)- broj koji se nalazi ispod linije razlomka i pokazuje na koliko dijelova je jedinica podijeljena.

Sakrij prikaz

Glavno svojstvo razlomka

Ako je ad=bc onda dva razlomka \frac(a)(b) I \frac(c)(d) smatraju se jednakim. Na primjer, razlomci će biti jednaki \frac35 I \frac(9)(15), budući da je 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) I \frac(24)(14), budući da je 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Iz definicije jednakosti razlomaka slijedi da će razlomci biti jednaki \frac(a)(b) I \frac(am)(bm), budući da je a(bm)=b(am) jasan primjer upotrebe asocijativnih i komutativnih svojstava množenja prirodnih brojeva u akciji.

Sredstva \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- ovako to izgleda glavno svojstvo razlomka.

Drugim riječima, razlomak jednak zadanom dobivamo množenjem ili dijeljenjem brojnika i nazivnika originalnog razlomka istim prirodnim brojem.

Smanjenje razlomka je proces zamjene razlomka u kojem je novi razlomak jednak originalnom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom.

Uobičajeno je reducirati razlomke na osnovu osnovnog svojstva razlomka.

na primjer, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(brojilac i imenilac su podeljeni brojem 3); rezultujući razlomak se opet može smanjiti dijeljenjem sa 5, tj \frac(15)(20)=\frac 34.

Nesvodljivi razlomak je djelić forme \frac 34, gdje su brojnik i imenilac međusobno prosti brojevi. Glavna svrha redukcije razlomka je da se razlomak učini nesvodljivim.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Uzmimo dva razlomka kao primjer: \frac(2)(3) I \frac(5)(8) sa različitim nazivnicima 3 i 8. Da bismo te razlomke doveli do zajedničkog nazivnika, prvo pomnožimo brojnik i imenilac razlomka \frac(2)(3) do 8. Dobijamo sljedeći rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Zatim množimo brojilac i imenilac razlomka \frac(5)(8) do 3. Kao rezultat dobijamo: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Dakle, originalni razlomci su svedeni na zajednički imenilac 24.

Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima

Sabiranje običnih razlomaka

a) Ako su imenioci isti, brojilac prvog razlomka dodaje se brojiocu drugog razlomka, a imenilac ostaje isti. Kao što možete vidjeti u primjeru:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Za različite nazivnike, razlomci se prvo svode na zajednički nazivnik, a zatim se brojnici sabiraju prema pravilu a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Oduzimanje razlomaka

a) Ako su imenioci isti, oduzmi brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ostavljajući imenilac isti:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Ako su imenioci razlomaka različiti, tada se prvo razlomci dovode do zajedničkog imenioca, a zatim se radnje ponavljaju kao u tački a).

Množenje običnih razlomaka

Množenje razlomaka poštuje sljedeće pravilo:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

to jest, množe brojače i nazivnike odvojeno.

na primjer:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Dijeljenje razlomaka

Razlomci se dijele na sljedeći način:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

odnosno razlomak \frac(a)(b) pomnoženo razlomkom \frac(d)(c).

primjer: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Recipročni brojevi

Ako je ab=1, tada je broj b recipročan broj za broj a.

Primjer: za broj 9 recipročna vrijednost je \frac(1)(9), jer 9\cdot\frac(1)(9)=1, za broj 5 - \frac(1)(5), jer 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Decimale

Decimala naziva se pravi razlomak čiji je imenilac 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

na primjer: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Nepravilni brojevi sa nazivnikom 10^n ili mešoviti brojevi se pišu na isti način.

na primjer: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Svaki obični razlomak sa nazivnikom koji je djelitelj određenog stepena 10 predstavlja se kao decimalni razlomak.

Primjer: 5 je djelitelj 100, dakle razlomak \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmetičke operacije nad decimalama

Dodavanje decimala

Da biste dodali dva decimalna razlomka, trebate ih rasporediti tako da su identične znamenke jedna ispod druge i zarez ispod zareza, a zatim zbrojite razlomke kao obične brojeve.

Oduzimanje decimala

Izvodi se na isti način kao i sabiranje.

Množenje decimala

Prilikom množenja decimalnih brojeva dovoljno je pomnožiti date brojeve, ne obraćajući pažnju na zareze (kao prirodni brojevi), a u rezultirajućem odgovoru zarez na desnoj strani odvaja onoliko cifara koliko ih ima iza decimalnog zareza u oba faktora ukupno.

Pomnožimo 2,7 sa 1,3. Imamo 27 \cdot 13=351 . Dvije cifre na desnoj strani odvajamo zarezom (prvi i drugi broj imaju jednu cifru iza decimalnog zareza; 1+1=2). Kao rezultat, dobijamo 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Ako rezultirajući rezultat sadrži manje znamenki nego što je potrebno odvojiti zarezom, tada se nule koje nedostaju upisuju ispred, na primjer:

Da biste pomnožili sa 10, 100, 1000, trebate pomaknuti decimalni zarez za 1, 2, 3 znamenke udesno (ako je potrebno, određeni broj nula se dodjeljuje udesno).

Na primjer: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.

Decimalna podjela

Dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način kao i dijeljenje prirodnog broja prirodnim brojem. Zarez u količniku se stavlja nakon što je dijeljenje cijelog dijela završeno.

Ako cijeli dio Ako je dividenda manja od djelitelja, tada će odgovor biti nula cijelih brojeva, na primjer:

Pogledajmo dijeljenje decimale sa decimalom. Recimo da trebamo podijeliti 2,576 sa 1,12. Prvo, pomnožimo deljenicu i delilac razlomka sa 100, odnosno pomerimo decimalni zarez udesno u deljenici i djelitelju za onoliko cifara koliko ima u djelitelju nakon decimalnog zareza (u ovom primjeru, dva). Zatim morate podijeliti razlomak 257,6 prirodnim brojem 112, odnosno problem se svodi na već razmatrani slučaj:

Dešava se da se konačni rezultat ne dobije uvijek decimalni prilikom dijeljenja jednog broja drugim. Rezultat je beskonačan decimalni razlomak. U takvim slučajevima prelazimo na obične razlomke.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Započet ćemo naše razmatranje ove teme proučavanjem koncepta razlomka kao cjeline, što će nam dati potpunije razumijevanje značenja običnog razlomka. Dajemo osnovne pojmove i njihovu definiciju, proučimo temu u geometrijskoj interpretaciji, tj. na koordinatnoj liniji, a takođe definiše listu osnovnih operacija sa razlomcima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Navigacija po stranici.

Zamislimo objekt koji se sastoji od nekoliko, potpuno jednakih dijelova. Na primjer, to može biti naranča koja se sastoji od nekoliko identičnih kriški.

Definicija 1

Razlomak cjeline ili razlomak- ovo je svaki od jednakih dijelova koji čine cijeli objekt.

Očigledno, udjeli mogu biti različiti. Da biste jasno objasnili ovu tvrdnju, zamislite dvije jabuke, od kojih je jedna isječena na dva jednaka dijela, a druga na četiri. Jasno je da će veličina rezultirajućih režnjeva varirati od jabuke do jabuke.

Udjeli imaju svoje nazive, koji zavise od broja udjela koji čine cijeli objekt. Ako objekat ima dva udela, onda će svaki od njih biti definisan kao jedan drugi deo ovog objekta; kada se objekat sastoji od tri dela, onda je svaki od njih jedna trećina i tako dalje.

Definicija 2

Pola- jedan drugi dio objekta.

Treće– trećina udjela u objektu.

Kvart- jedna četvrtina objekta.

Da bi se skratio zapis, uvedene su sljedeće oznake za razlomke: polovina - 1 2 ili 1/2; treći - 1 3 ili 1/3; jedna cetvrtina dionica - 1 4 ili 1/4 i tako dalje. Unosi sa horizontalnim trakama se češće koriste.

Koncept udjela prirodno se širi sa objekata na količine. Dakle, za mjerenje malih objekata, razlomci metra (trećina ili stoti dio) mogu se koristiti kao jedna od jedinica dužine. Proporcije drugih količina mogu se primijeniti na sličan način.

Obični razlomci, definicija i primjeri

Obični razlomci se koriste za opisivanje broja dionica. Pogledajmo jednostavan primjer koji će nas približiti definiciji običnog razlomka.

Zamislimo narandžu koja se sastoji od 12 segmenata. Svaka dionica će tada biti jedna dvanaestina ili 1/12. Dva otkucaja – 2/12; tri takta – 3/12 itd. Svih 12 otkucaja ili cijeli broj će izgledati ovako: 12/12. Svaka od notacija korištenih u primjeru je primjer običnog razlomka.

Definicija 3

Obična frakcija je zapis obrasca m n ili m/n, gdje su m i n bilo koji prirodni brojevi.

Prema ovoj definiciji, primjeri običnih razlomaka uključuju sljedeće unose: 4 / 9, 11 34, 917 54. I ovi unosi: 11 5, 1, 9 4, 3 nisu obični razlomci.

Brojač i nazivnik

Brojač običan razlomak mn ili m/n je prirodni broj m.

Nazivnik običan razlomak mn ili m/n je prirodni broj n.

One. Brojilac je broj koji se nalazi iznad linije običnog razlomka (ili lijevo od kose crte), a nazivnik je broj koji se nalazi ispod linije (desno od kose crte).

Šta znače brojnik i nazivnik? Imenitelj običnog razlomka pokazuje od koliko se udjela sastoji jedan predmet, a brojnik nam daje informaciju o tome koliki je broj takvih udjela u pitanju. Na primjer, običan razlomak 7 54 nam ukazuje da se određeni objekt sastoji od 54 udjela, a za razmatranje smo uzeli 7 takvih udjela.

Prirodni broj kao razlomak sa nazivnikom 1

Imenilac običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju, moguće je reći da je predmet (kvantiteta) o kojem je riječ nedjeljiv i da predstavlja nešto cjelinu. Brojilac u takvom razlomku će pokazati koliko je takvih predmeta uzeto, tj. običan razlomak oblika m 1 ima značenje prirodnog broja m. Ova izjava služi kao opravdanje za jednakost m 1 = m.

Zapišimo posljednju jednakost na sljedeći način: m = m 1 . To će nam dati priliku da koristimo bilo koji prirodan broj kao običan razlomak. Na primjer, broj 74 je običan razlomak oblika 74 1.

Definicija 5

Svaki prirodni broj m može se napisati kao običan razlomak, gdje je imenilac jedan: m 1.

Zauzvrat, bilo koji obični razlomak oblika m 1 može se predstaviti prirodnim brojem m.

Razlomak kao znak dijeljenja

Predstavljanje datog objekta kao n dionica korišteno gore nije ništa drugo do podjela na n jednakih dijelova. Kada se predmet podijeli na n dijelova, imamo mogućnost da ga podijelimo na n ljudi - svako dobija svoj dio.

U slučaju kada u početku imamo m identičnih objekata (svaki podijeljen na n dijelova), onda se tih m objekata može jednako podijeliti na n ljudi, dajući svakom od njih po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica od 1 n, a m dionica od 1 n će dati običan razlomak m n. Stoga se razlomak m n može koristiti za predstavljanje podjele m stavki između n ljudi.

Rezultirajuća izjava uspostavlja vezu između običnih razlomaka i dijeljenja. I ovaj odnos se može izraziti na sljedeći način : Razlomak se može smatrati znakom podjele, tj. m/n = m:n.

Koristeći obični razlomak, možemo zapisati rezultat dijeljenja dva prirodna broja. Na primjer, zapisujemo podjelu 7 jabuka sa 10 ljudi kao 7 10: svaka osoba će dobiti sedam desetina.

Jednaki i nejednaki obični razlomci

Logična radnja je upoređivati ​​obične razlomke, jer je očigledno da je, na primjer, 1 8 jabuke različito od 7 8.

Rezultat poređenja običnih razlomaka može biti: jednak ili nejednak.

Definicija 6

Jednaki obični razlomci– obični razlomci a b i c d, za koje vrijedi jednakost: a · d = b · c.

Nejednaki obični razlomci- obični razlomci a b i c d, za koje jednakost: a · d = b · c nije tačna.

Primjer jednakih razlomaka: 1 3 i 4 12 – pošto vrijedi jednakost 1 · 12 = 3 · 4.

U slučaju kada se pokaže da razlomci nisu jednaki, obično je potrebno i utvrditi koji je od datih razlomaka manji, a koji veći. Da bi se odgovorilo na ova pitanja, obični razlomci se uspoređuju tako što se svode na zajednički nazivnik, a zatim upoređuju brojnici.

Razlomci brojeva

Svaki razlomak je zapis razlomka, koji je u suštini samo „ljuska“, vizualizacija semantičkog opterećenja. Ali ipak, radi praktičnosti, kombiniramo koncepte razlomka i razlomka, jednostavno govoreći - razlomak.

Svi razlomci, kao i svaki drugi broj, imaju svoju jedinstvenu lokaciju na koordinatnoj zraci: postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i tačaka na koordinatnoj zraci.

Da bismo pronašli tačku na koordinatnoj zraci koja označava razlomak m n, potrebno je iscrtati m segmenata od početka u pozitivnom smjeru, od kojih će dužina svakog biti 1 n dio jediničnog segmenta. Segmenti se mogu dobiti dijeljenjem jediničnog segmenta na n jednakih dijelova.

Kao primjer, označimo tačku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14 10. Dužina segmenta čiji su krajevi tačka O i najbliža tačka, označena malom crticom, jednaka je 1 10 delova jediničnog segmenta. Tačka koja odgovara razlomku 14 10 nalazi se na udaljenosti od 14 takvih segmenata od početka.

Ako su razlomci jednaki, tj. odgovaraju istom razlomku, onda ti razlomci služe kao koordinate iste tačke na koordinatnoj zraci. Na primjer, koordinate u obliku jednakih razlomaka 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 odgovaraju istoj tački na koordinatnoj zraci, koja se nalazi na udaljenosti od trećine jediničnog segmenta položenog od početka u pozitivnom pravcu.

Ovdje radi isti princip kao i kod cijelih brojeva: na horizontalnoj koordinatnoj zraci usmjerenoj udesno, tačka kojoj odgovara veći razlomak nalazit će se desno od točke kojoj odgovara manji razlomak. I obrnuto: tačka čija je koordinata manji razlomak nalazit će se lijevo od tačke kojoj odgovara veća koordinata.

Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri

Osnova dijeljenja razlomaka na prave i neprave je poređenje brojnika i nazivnika unutar istog razlomka.

Definicija 7

Pravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojilac manji od nazivnika. To jest, ako je nejednakost m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Nepravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku. To jest, ako je nejednakost undefined zadovoljena, tada je obični razlomak m n nepravilan.

Evo nekoliko primjera: - pravi razlomci:

Primjer 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Nepravilni razlomci:

Primjer 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Također je moguće definirati prave i nepravilne razlomke na osnovu poređenja razlomka sa jedinicom.

Definicija 8

Pravilan razlomak– običan razlomak manji od jedan.

Nepravilan razlomak– običan razlomak jednak ili veći od jedan.

Na primjer, razlomak 8 12 je tačan, jer 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 i 14 14 = 1.

Hajdemo malo dublje u to zašto se razlomci u kojima je brojilac veći ili jednak nazivniku nazivaju "nepravilnim".

Razmotrimo nepravilan razlomak 8 8: on nam govori da je uzeto 8 dijelova od objekta koji se sastoji od 8 dijelova. Dakle, od dostupnih osam dionica možemo napraviti cijeli objekt, tj. dati razlomak 8 8 u suštini predstavlja cijeli objekt: 8 8 = 1. Razlomci u kojima su brojnik i nazivnik jednaki u potpunosti zamjenjuju prirodni broj 1.

Razmotrimo i razlomke u kojima brojilac premašuje imenilac: 11 5 i 36 3. Jasno je da razlomak 11 5 pokazuje da od njega možemo napraviti dva cijela objekta i da nam ostane još jedna petina. One. razlomak 11 5 je 2 objekta i još 1 5 od njega. Zauzvrat, 36 3 je razlomak koji u suštini znači 12 cijelih objekata.

Ovi primjeri omogućavaju da se zaključi da se nepravilni razlomci mogu zamijeniti prirodnim brojevima (ako je brojilac djeljiv nazivnikom bez ostatka: 8 8 = 1; 36 3 = 12) ili zbirom prirodnog broja i pravilnog razlomka (ako brojilac nije djeljiv sa nazivnikom bez ostatka: 11 5 = 2 + 1 5). To je vjerovatno razlog zašto se takvi razlomci nazivaju “nepravilnim”.

Ovdje se također susrećemo s jednom od najvažnijih brojčanih vještina.

Definicija 9

Odvajanje cijelog dijela od nepravilnog razlomka- Ovo je zapis nepravilnog razlomka kao zbira prirodnog broja i pravilnog razlomka.

Također imajte na umu da postoji bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Gore smo rekli da svaki obični razlomak odgovara pozitivnom razlomku. One. Obični razlomci su pozitivni razlomci. Na primjer, razlomci 5 17, 6 98, 64 79 su pozitivni, a kada je potrebno posebno naglasiti "pozitivnost" razlomka, piše se znakom plus: + 5 17, + 6 98, + 64 79.

Ako običnom razlomku dodijelimo znak minus, tada će rezultirajući zapis biti zapis negativnog razlomka, au ovom slučaju govorimo o negativnim razlomcima. Na primjer, - 8 17, - 78 14, itd.

Pozitivni i negativni razlomci m n i - m n su suprotni brojevi Na primjer, razlomci 7 8 i - 7 8 su suprotni.

Pozitivni razlomci, kao i svaki pozitivni brojevi općenito, znače sabiranje, promjenu naviše. Zauzvrat, negativni razlomci odgovaraju potrošnji, promjeni u smjeru smanjenja.

Ako pogledamo koordinatnu liniju, vidjet ćemo da se negativni razlomci nalaze lijevo od početne točke. Tačke kojima odgovaraju suprotni razlomci (m n i - m n) nalaze se na istoj udaljenosti od početka koordinata O, ali na suprotnim stranama od njega.

Ovdje ćemo također posebno govoriti o razlomcima napisanim u obliku 0 n. Takav razlomak je jednak nuli, tj. 0 n = 0 .

Sumirajući sve navedeno, dolazimo do najvažnijeg pojma racionalnih brojeva.

Definicija 10

Racionalni brojevi je skup pozitivnih razlomaka, negativnih razlomaka i razlomaka oblika 0 n.

Operacije sa razlomcima

Nabrojimo osnovne operacije sa razlomcima. Općenito, njihova suština je ista kao i odgovarajuće operacije s prirodnim brojevima

1. Uspoređivanje razlomaka - o ovoj akciji smo raspravljali gore.
2. Zbrajanje razlomaka - rezultat zbrajanja običnih razlomaka je običan razlomak (u određenom slučaju sveden na prirodan broj).
3. Oduzimanje razlomaka je obrnuto od sabiranja, kada se jedan poznati razlomak i dati zbir razlomaka koriste za određivanje nepoznatog razlomka.
4. Množenje razlomaka - ova radnja se može opisati kao pronalaženje razlomka iz razlomka. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak (u određenom slučaju jednak prirodnom broju).
5. Dijeljenje razlomaka je inverzna operacija množenja, kada odredimo razlomak kojim se dati jedan mora pomnožiti da bi se dobio poznati proizvod dva razlomka.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Brojač i imenilac razlomka. Vrste razlomaka. Nastavimo gledati razlomke. Prvo, malo odricanje od odgovornosti - dok razmatramo razlomke i odgovarajuće primjere s njima, za sada ćemo raditi samo s njihovim numeričkim prikazom. Postoje i razlomci doslovni izrazi(sa i bez brojeva).Međutim, svi „principi“ i pravila važe i za njih, ali ćemo o takvim izrazima u budućnosti posebno govoriti. Preporučujem da posjetite i proučite (zapamte) temu razlomaka korak po korak.

Najvažnije je razumjeti, zapamtiti i shvatiti da je RAZLOMAK BROJ!!!

Obična frakcija je broj u obliku:

Broj koji se nalazi "na vrhu" (u ovom slučaju m) naziva se brojilac, a broj koji se nalazi ispod (broj n) naziva se imenilac. Oni koji su se upravo dotakli ove teme često imaju zabunu oko toga kako je nazivaju.

Evo trika kako zauvijek zapamtiti gdje je brojilac, a gdje imenilac. Ova tehnika je povezana sa verbalno-figurativnim asocijacijama. Zamislite teglu sa mutna voda. Poznato je da kako se voda taloži, čista voda ostaje na vrhu, a zamućenost (prljavština) se taloži, zapamtite:

CHISS otopljena voda IZNAD (CHISS litel top)

Grya Z33NN voda je ISPOD (ZNNNN amenator je ispod)

Dakle, čim se pojavi potreba da se setimo gde je brojilac, a gde imenilac, odmah smo vizuelno zamislili teglu istaložene vode sa ČISTA voda, i ispod Prljava voda. Postoje i drugi trikovi pamćenja, ako vam pomažu, onda dobro.

Primjeri običnih razlomaka:

Šta znači vodoravna linija između brojeva? Ovo nije ništa drugo do znak podjele. Ispada da se razlomak može smatrati primjerom akcije dijeljenja. Ova radnja je jednostavno zabilježena u ovom obliku. To jest, gornji broj (brojilac) je podijeljen sa donjim (imenik):

Osim toga, postoji još jedan oblik zapisa - razlomak se može napisati ovako (kroz kosu crtu):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 i tako dalje...

Gornje razlomke možemo napisati ovako:

Rezultat dijeljenja je kako je ovaj broj poznat.

Shvatili smo - OVO JE RAZLOM!!!

Kao što ste već primijetili, u običnom razlomku brojilac može biti manji od nazivnika, može biti veći od nazivnika, a može mu biti i jednak. Ima ih mnogo važne tačke, koji su intuitivno razumljivi, bez ikakvih teorijskih dopuna. na primjer:

1. Razlomci 1 i 3 mogu se zapisati kao 0,5 i 0,01. Idemo malo naprijed - ovo su decimalni razlomci, o njima ćemo malo niže.

2. Razlomci 4 i 6 rezultiraju cijelim brojem 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Razlomak 5 rezultira jednim 155:155 = 1.

Koji se zaključci sugeriraju sami od sebe? sljedeće:

1. Brojilac kada se podijeli sa nazivnikom može dati konačan broj. Možda neće raditi, podijelite kolonom 7 sa 13 ili 17 sa 11 - nema šanse! Možete dijeliti beskonačno, ali o tome ćemo također govoriti u nastavku.

2. Razlomak može rezultirati cijelim brojem. Dakle, bilo koji cijeli broj možemo predstaviti kao razlomak, odnosno beskonačan niz razlomaka, gledajte, svi ovi razlomci su jednaki 2:

Više! Uvijek možemo zapisati bilo koji cijeli broj kao razlomak - sam broj je u brojiocu, jedinica je u nazivniku:

3. Jedinicu uvijek možemo predstaviti kao razlomak sa bilo kojim nazivnikom:

*Ove tačke su izuzetno važne za rad sa razlomcima tokom proračuna i transformacija.

Vrste razlomaka.

A sada o teorijskoj podjeli običnih razlomaka. Podijeljeni su na ispravno i pogrešno.

Razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva se pravi razlomak. primjeri:

Razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku naziva se nepravilan razlomak. primjeri:

Miješana frakcija(mješoviti broj).

Mješoviti razlomak je razlomak napisan kao cijeli broj i pravi razlomak i razumije se kao zbir ovog broja i njegovog razlomka. primjeri:

Mješoviti razlomak se uvijek može predstaviti kao nepravilan razlomak i obrnuto. Idemo dalje!

Decimalni razlomci.

Već smo ih se dotakli gore, ovo su primjeri (1) i (3), sada detaljnije. Evo primjera decimalnih razlomaka: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Razlomak čiji je imenilac stepen od 10, kao što su 10, 100, 1000, itd., naziva se decimala. Nije teško napisati prva tri navedena razlomka u obliku običnih razlomaka:

Četvrti je mješoviti razlomak (mješoviti broj):

Decimalni razlomak ima sljedeći oblik - sapočinje cijeli dio, zatim je razdjelnik cijelog i razlomaka točka ili zarez, a zatim razlomački dio, broj znamenki razlomljenog dijela strogo je određen dimenzijom razlomaka: ako su to desetine, razlomački dio se piše jednom cifrom; ako hiljaditi - tri; desethiljaditih - četiri itd.

Ovi razlomci mogu biti konačni ili beskonačni.

Primjeri završnih decimalnih razlomaka: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Primjeri su beskrajni. Na primjer, broj Pi je beskonačan decimalni razlomak, također – 0,333333333333…... 0,16666666666…. i drugi. Također rezultat vađenja korijena brojeva 3, 5, 7, itd. će biti beskonačan razlomak.

Razlomak može biti cikličan (sadrži ciklus), dva gornja primjera su upravo ovakva, i još primjera:

0,123123123123…... ciklus 123

0,781781781718......ciklus 781

0,0250102501…. ciklus 02501

Mogu se zapisati kao 0,(123) 0,(781) 0,(02501).

Broj Pi nije ciklički razlomak, kao, na primjer, korijen od tri.

U primjerima u nastavku zvučat će riječi kao što je "okretanje" razlomka - to znači da su brojnik i nazivnik zamijenjeni. U stvari, takav razlomak ima ime - recipročni razlomak. Primjeri recipročnih razlomaka:

Mali sažetak! Razlomci su:

Običan (tačan i netačan).

Decimale (konačne i beskonačne).

Mješoviti (mješoviti brojevi).

To je sve!

Srdačan pozdrav, Alexander.

Razlomak- oblik predstavljanja broja u matematici. Traka razlomaka označava operaciju dijeljenja. Brojač razlomak se naziva dividenda, i imenilac- razdjelnik. Na primjer, u razlomku je brojilac 5, a imenilac 7.

Tačno Zove se razlomak kod kojeg je modul brojila veći od modula nazivnika. Ako je razlomak pravilan, tada je modul njegove vrijednosti uvijek manji od 1. Svi ostali razlomci jesu pogrešno.

Razlomak se zove mješovito, ako je zapisano kao cijeli broj i razlomak. Ovo je isto kao zbir ovog broja i razlomka:

Glavno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti, tj.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste dva razlomka doveli u zajednički nazivnik, potrebno vam je:

1. Pomnožite brojilac prvog razlomka sa imeniocem drugog
2. Pomnožite brojilac drugog razlomka sa imeniocem prvog
3. Zamijenite nazivnike oba razlomka njihovim proizvodom

Operacije sa razlomcima

Dodatak. Za sabiranje dva razlomka trebate

1. Dodajte nove brojioce oba razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen

primjer:

Oduzimanje. Da biste oduzeli jedan razlomak od drugog, trebate

1. Smanjite razlomke na zajednički nazivnik
2. Oduzmi brojilac drugog od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostavi nepromijenjen

primjer:

Množenje. Da pomnožite jedan razlomak drugim, pomnožite njihove brojnike i nazivnike:

Division. Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, pomnožite brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog i pomnožite nazivnik prvog razlomka s brojnikom drugog: