Dužina srednje linije trougla paralelnog sa stranicom. Kako pronaći srednju liniju trougla? Osnovna svojstva, definicije i metode. Srednja linija trougla
Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.
Srednja linija trapeza
Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.
Teorema:
Ako je prava linija koja siječe sredinu jedne stranice paralelna s osnovama trapeza, tada ona siječe drugu stranu trapeza na pola.
Teorema:
Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.
Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.
Srednja linija trougla
Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe sredinu jedne strane trougla paralelna s drugom stranom dati trougao, zatim prepolovi treću stranu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza
Dijeljenje segmenta određenim iznosom jednaki dijelovi.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i crtamo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One sijeku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektovati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.
1 Dodatna konstrukcija koja vodi do teoreme o srednjoj liniji trougla, trapezu i svojstvima sličnosti trokuta.
I ona jednaka polovini hipotenuze.
Posljedica 1.
Posljedica 2.
Odavde je to jasno 
1 Svi pravougli trouglovi sa istim oštrim uglom su slični. Pogled na trigonometrijske funkcije.
Trokuti s temeljnim i neprimiranim stranicama slični su u smislu jednakosti njihova dva ugla. Dakle, gde
To znači da ovi odnosi zavise samo od oštrog ugla pravouglog trokuta i da ga, zapravo, određuju. Ovo je jedan od razloga za pojavu trigonometrijske funkcije:
Često je zapis trigonometrijskih funkcija ugla u sličnim pravokutnim trokutima jasniji od zapisa odnosa sličnosti!
2 Primjer dodatne konstrukcije je visina spuštena na hipotenuzu. Izvođenje Pitagorine teoreme na osnovu sličnosti trouglova.
Spustimo visinu CH na hipotenuzu AB. Imamo tri slična trougla ABC, AHC i CHB. Napišimo izraze za trigonometrijske funkcije:
Odavde je to jasno . Dodajući, dobijamo Pitagorinu teoremu, jer:
Za još jedan dokaz Pitagorine teoreme, pogledajte komentar problema 4.
3 Važan primjer dodatne konstrukcije je konstrukcija ugla jednakog jednom od uglova trougla.
Vodeći sa vrha pravi ugao segment prave linije koji čini ugao sa krakom CA jednak uglu CAB datog pravouglog trougla ABC. Kao rezultat, dobijamo jednakokraki trokut ACM sa uglovima u osnovi. Ali drugi trokut koji proizlazi iz takve konstrukcije također će biti jednakokračan, budući da je svaki njegov ugl u osnovi jednak (po svojstvu uglova pravokutnog trokuta i konstrukcijom, ugao je "oduzet" od desnog ugao). Zbog činjenice da su trouglovi BMC i AMC jednakokraki sa zajedničkom stranom MC, imamo jednakost MB=MA=MC, tj. MC- medijana povučena do hipotenuze pravokutnog trougla, i ona jednaka polovini hipotenuze.
Posljedica 1. Sredina hipotenuze je centar kružnice opisane oko ovog trougla, jer se pokazalo da je središte hipotenuze jednako udaljeno od vrhova pravouglog trougla.
Posljedica 2. Srednja linija pravokutnog trokuta, koja povezuje sredinu hipotenuze i središte kateta, paralelna je sa suprotnom krakom i jednaka je njegovoj polovini.
U jednakokračnim trouglovima BMC i AMC, spustimo visine MH i MG na osnovice. Jer u jednakokraki trougao, visina spuštena na osnovu je također medijana (i simetrala), tada su MH i MG linije pravokutnog trokuta koje spajaju sredinu hipotenuze sa sredinama kateta. Po konstrukciji, ispada da su paralelni sa suprotnim kracima i jednaki njihovim polovicama, jer su trokuti jednaki MHC i MGC (štaviše, MHCG je pravougaonik). Ovaj rezultat je osnova za dokazivanje teoreme o srednjoj liniji proizvoljnog trougla i, dalje, srednje linije trapeza i svojstva proporcionalnosti segmenata odsječenih paralelnim linijama na dvije prave koje ih seku.
Zadaci
Korištenje svojstava sličnosti -1
Korištenje osnovnih svojstava - 2
Korištenje dodatne građe 3-4
1 2 3 4
Visina spuštena iz vrha pravog ugla pravouglog trougla jednaka je kvadratnom korijenu dužina odsječaka na koje dijeli hipotenuzu.
Rješenje se čini očiglednim ako znate izvođenje Pitagorine teoreme iz sličnosti trokuta:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
odakle \(h^2=c_1c_2\).
Nađite geometrijsko mjesto (GMT) sjecišta medijana svih mogućih pravokutnih trouglova, čija je hipotenuza AB fiksna.
Tačka presjeka medijana bilo kojeg trougla odsijeca jednu trećinu od medijane, računajući od tačke njenog preseka sa odgovarajućom stranom. IN pravougaonog trougla medijana povučena iz pravog ugla je polovina hipotenuze. Dakle, željeni GMT je krug radijusa jednak 1/6 dužine hipotenuze, sa centrom u sredini ove (fiksne) hipotenuze.
Video kurs "Dobijte A" uključuje sve teme koje trebate uspješna isporuka UPOTREBA iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilni ispit matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.
Sva potrebna teorija. Quick Ways rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.
Kurs sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
Slika 1 prikazuje dva trougla. Trokut ABC sličan je trokutu A1B1C1. A susjedne strane su proporcionalne, to jest, AB je povezan sa A1B1 na isti način na koji je AC povezan sa A1C1. Iz ova dva uslova proizilazi sličnost trouglova.
Kako pronaći srednju liniju trougla - znak paralelnih linija
Slika 2 prikazuje linije a i b u sekciji do c. Ovo stvara 8 uglova. Uglovi 1 i 5 su odgovarajući, ako su prave paralelne, onda su odgovarajući uglovi jednaki, i obrnuto. 
Kako pronaći srednju liniju trougla
Na slici 3, M je sredina AB i N je sredina AC, BC je baza. Segment MN se naziva sredinom trougla. Sama teorema kaže - Srednja linija trougla je paralelna sa osnovicom i jednaka je njegovoj polovini.
Da bismo dokazali da je MN srednja linija trougla, potreban nam je drugi test sličnosti za trouglove i test paralelizma za prave.
Trokut AMN je sličan trokutu ABC na drugi način. IN sličnih trouglova odgovarajući uglovi su jednaki, ugao 1 jednaka uglu 2, a ti uglovi odgovaraju na preseku dve prave sekanse, dakle, prave su paralelne, MN je paralelna sa BC. Ugao A ukupno, AM/AB = AN/AC = ½
Koeficijent sličnosti ovih trokuta je ½, što znači da je ½ = MN/BC, MN = ½ BC 
Tako smo pronašli srednju liniju trougla i dokazali teoremu o srednjoj liniji trougla, ako još uvijek ne razumijete kako pronaći srednju liniju, pogledajte video ispod.
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine 2 njegove stranice. Prema tome, svaki trougao ima tri srednje linije. Poznavajući kvalitetu srednje linije, kao i dužine stranica trougla i njegovih uglova, moguće je pronaći dužinu srednje linije.
Trebaće ti
- Stranice trougla, uglovi trougla
Uputstvo
1. Neka je u trouglu ABC MN srednja linija koja spaja sredine stranica AB (tačka M) i AC (tačka N). Po svojstvu, srednja linija trougla koji povezuje sredine 2 stranice je paralelna sa trećom stranom i jednaka je pola toga. To znači da će srednja linija MN biti paralelna sa stranicom BC i jednaka BC/2.Shodno tome, da bi se odredila dužina srednje linije trougla, dovoljno je znati dužinu stranice ove treće strane.
2. Upoznajmo sada stranice čije su sredine povezane srednjom linijom MN, odnosno AB i AC, kao i ugao BAC između njih. Pošto je MN srednja linija, onda je AM = AB/2, a AN = AC/2. Tada, prema kosinusnoj teoremi, objektivno: MN ^ 2 = (AM ^ 2) + (AN ^ 2) -2 * AM * AN * cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Odavde, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Ako su strane AB i AC poznate, tada se srednja linija MN može naći poznavanjem ugla ABC ili ACB. Neka je, recimo, ugao ABC poznat. Jer, po svojstvu srednje linije, MN je paralelan sa BC, tada su uglovi ABC i AMN odgovarajući, i, posledično, ABC = AMN. Zatim po zakonu kosinusa: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Prema tome, MN strana se može naći iz kvadratne jednačine (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Kvadratni trokut se pravilnije naziva pravokutnim trokutom. Odnos između stranica i uglova ovoga geometrijska figura detaljno se razmatraju u matematičkoj disciplini trigonometrija.
Trebaće ti
- - papir;
- - olovka;
- - Bradis stolovi;
- - kalkulator.
Uputstvo
1. Otkrijte strana pravougaona trougao uz podršku Pitagorine teoreme. Prema ovoj teoremi, kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrati nogu: c2 = a2 + b2, gdje je c hipotenuza trougao, a i b su njegove noge. Da biste primijenili ovu jednačinu, morate znati dužinu bilo koje 2 strane pravougaonika trougao .
2. Ako uvjeti određuju dimenzije kateta, pronađite dužinu hipotenuze. Da biste to učinili uz podršku kalkulatora, izdvojite Kvadratni korijen od zbira kateta, od kojih svaka mora biti kvadrirana unaprijed.
3. Izračunajte dužinu jednog od kateta, ako su poznate dimenzije hipotenuze i drugog kraka. Koristeći kalkulator, uzmite kvadratni korijen razlike između hipotenuze na kvadrat i vođene noge, također na kvadrat.
4. Ako su hipotenuza i jedan od oštrih uglova uz nju dati u zadatku, koristite Bradysove tablice. Oni daju vrijednosti trigonometrijskih funkcija za veliki broj uglovi. Koristite kalkulator sa sinusnim i kosinusnim funkcijama, kao i teoremama trigonometrije koje opisuju odnos između stranica i uglova pravougaonika trougao .
5. Nađite katete koristeći osnovne trigonometrijske funkcije: a = c*sin ?, b = c*cos ?, gdje je a krak nasuprot uglu?, b je krak uz ugao?. Slično, izračunajte veličinu stranica trougao, ako je hipotenuza i drugo oštar ugao: b = c*sin ?, a = c*cos ?, gdje je b krak nasuprot uglu?, a da li je krak susjedni uglu?.
6. U slučaju kada vodimo nogu a i oštar ugao uz nju?, ne zaboravite da je u pravokutnom trokutu zbir oštrih uglova uvijek jednak 90 °: ? +? = 90°. Odrediti vrijednost ugla suprotnog kraku a:? = 90° -?. Ili koristite formule trigonometrijske redukcije: sin ? = sin (90° -?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tan?.
7. Ako zadržimo krak a i oštar ugao nasuprot njemu?, koristeći Bradisove tablice, kalkulator i trigonometrijske funkcije, izračunamo hipotenuzu koristeći formulu: c=a*sin?, krak: b=a*tg?.
Povezani video zapisi
Koncept srednje linije trougla
Hajde da uvedemo koncept srednje linije trougla.
Definicija 1
Ovo je segment koji povezuje sredine dve strane trougla (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trougla
Teorema srednje linije trougla
Teorema 1
Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je njegovoj polovini.
Dokaz.
Neka nam je dat trougao $ABC$. $MN$ - srednja linija (kao na slici 2).
Slika 2. Ilustracija teoreme 1
Pošto je $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, onda su trouglovi $ABC$ i $MBN$ slični prema drugom kriterijumu sličnosti trougla. Sredstva
Također, slijedi da $\angle A=\angle BMN$ znači $MN||AC$.
Teorema je dokazana.
Posljedice iz teoreme srednje linije trougla
Korol 1: Medijani trougla se sijeku u jednoj tački i dijele točku sjecišta u omjeru $2:1$ počevši od vrha.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova medijana. Pošto medijane dijele strane na pola. Razmotrite srednju liniju $A_1B_1$ (slika 3).
Slika 3. Ilustracija posljedica 1
Prema teoremi 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, dakle $\ugao ABB_1=\ugao BB_1A_1,\ \ugao BAA_1=\ugao AA_1B_1$. Stoga su trouglovi $ABM$ i $A_1B_1M$ slični prema kriteriju sličnosti prvog trougla. Onda
Slično, dokazano je da
Teorema je dokazana.
Posljedica 2: Tri srednje linije trokuta dijele ga na 4 trokuta slična originalnom trokutu sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$ sa srednjim linijama $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (slika 4)
Slika 4. Ilustracija posljedica 2
Razmotrimo trougao $A_1B_1C$. Pošto je $A_1B_1$ srednja linija, onda
Ugao $C$ je zajednički ugao ovih trouglova. Prema tome, trokuti $A_1B_1C$ i $ABC$ su slični prema drugom kriterijumu sličnosti za trokute sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Slično, dokazano je da su trokuti $A_1C_1B$ i $ABC$, te trokuti $C_1B_1A$ i $ABC$ slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Razmotrimo trougao $A_1B_1C_1$. Pošto su $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ srednje linije trougla, tada
Dakle, prema trećem kriteriju sličnosti za trouglove, trokuti $A_1B_1C_1$ i $ABC$ su slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Teorema je dokazana.
Primjeri zadatka na konceptu srednje linije trougla
Primjer 1
Dat je trougao sa stranicama $16$ cm, $10$ cm i $14$ cm. Pronađite obim trougla čiji vrhovi leže u sredinama stranica datog trougla.
Rješenje.
Budući da vrhovi željenog trougla leže u sredinama stranica datog trougla, onda su njegove stranice središnje linije originalnog trougla. Korolarom 2 dobijamo da su stranice željenog trougla $8$ cm, $5$ cm i $7$ cm.
odgovor:$20$ vidi
Primjer 2
Dat je trougao $ABC$. Tačke $N\ i\ M$ su sredine stranica $BC$ i $AB$ respektivno (slika 5).
Slika 5
Obim trougla $BMN=14$ cm Nađite obim trougla $ABC$.
Rješenje.
Pošto su $N\ i\ M$ sredine stranica $BC$ i $AB$, onda je $MN$ srednja linija. Sredstva
Prema teoremi 1, $AC=2MN$. Dobijamo: