Koje su sredine stranica trougla? Srednja linija trougla. Definicija. Kako pronaći srednju liniju trougla

Dom

Kako pronaći sredinu trougla: problem geometrije. Glavni elementarni problemi u euklidskoj geometriji došli su do nas od antike. Oni sadrže samu primarnu suštinu i neophodna osnovna znanja o ljudskoj percepciji prostornih oblika. Jedan takav problem je problem pronalaženja sredine trougla. Danas se ovaj problem smatra obrazovnom tehnikom za razvoj intelektualnih sposobnosti školaraca. U antičkom svijetu znanje o tome kako pronaći sredinu trokuta također se koristilo u praksi: u upravljanju zemljištem, u proizvodnji raznih mehanizama itd. Šta je suština ovog geometrijskog rebusa? Šta je medijana? Prije nego što riješite problem, morate se upoznati s najjednostavnijom geometrijskom terminologijom koja se odnosi na trokutove. Prije svega, svaki trougao ima tri vrha, tri stranice i tri ugla, odakle i potiče naziv ovog trougla. geometrijska figura

. Važno je znati kako se zovu prave koje povezuju vrhove sa suprotnim stranama: visina, simetrala i medijana.

Visina je prava okomita na stranu suprotnu od temena iz koje je povučena; simetrala - dijeli kut na pola; Medijan dijeli stranu suprotnu izlaznom vrhu na pola. Da biste riješili ovaj problem, morate znati pronaći koordinate sredine segmenta, jer je to tačka presjeka medijana trougla koja je njegova sredina.

Pronađite sredine stranica trougla. Pronalaženje sredine segmenta je takođe klasičan geometrijski zadatak, za rješavanje kojeg će vam trebati šestar i ravnalo bez podjela. Iglu šestara postavljamo na krajnju tačku segmenta i na sredini zadnjeg iscrtavamo polukrug veći od polovine segmenta. Isto radimo na drugoj strani segmenta. Rezultirajući polukrugovi će se nužno sijeći u dvije točke, jer su njihovi polumjeri veći od polovine originalnog segmenta.

Gradimo sredinu trougla. Povezivanjem vrhova trougla sa sredinama suprotnih strana pravim linijama dobijamo tri medijane. Ovo može neke iznenaditi, ali jedan od zakona harmonije ove geometrijske figure je da se sve tri medijane uvijek seku u jednoj tački. Upravo će ta tačka biti željena sredina trougla, koju nije tako teško pronaći ako znate kako konstruirati sredinu segmenta.

Zanimljivo je i da tačka preseka medijana predstavlja ne samo geometrijsku, već i „fizičku“ sredinu trougla. Odnosno, ako, na primjer, izrežite trokut iz šperploče, pronađete njegovu sredinu i stavite ovu točku na vrh igle, tada će u idealnom slučaju takva figura uravnotežiti i neće pasti. Elementarna geometrija sadrži mnogo takvih fascinantnih "tajni", čije poznavanje pomaže da se shvati harmonija okolnog svijeta i prirode složenijih stvari.

Koncept srednje linije trougla

Hajde da uvedemo koncept srednje linije trougla.

Definicija 1

Ovo je segment koji povezuje sredine dvije strane trougla (slika 1).

Slika 1. Srednja linija trougla

Teorema srednje linije trougla

Teorema 1

Srednja linija trougla paralelna je jednoj od njegovih stranica i jednaka je njegovoj polovini.

Dokaz.

Neka nam je dat trougao $ABC$. $MN$ je srednja linija (kao na slici 2).

Slika 2. Ilustracija teoreme 1

Pošto je $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, onda su trokuti $ABC$ i $MBN$ slični prema drugom kriterijumu sličnosti trokuta . Sredstva

Takođe, sledi da je $\angle A=\angle BMN$, što znači $MN||AC$.

Teorema je dokazana.

Posljedice teoreme srednje linije trougla

Korol 1: Medijani trougla se sijeku u jednoj tački i dijele se sa presječnom tačkom u omjeru $2:1$ počevši od vrha.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$, gdje su $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegove medijane. Pošto medijane dijele strane na pola. Hajde da razmotrimo srednja linija$A_1B_1$ (slika 3).

Slika 3. Ilustracija posljedica 1

Prema teoremi 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, dakle, $\ugao ABB_1=\ugao BB_1A_1,\ \ugao BAA_1=\ugao AA_1B_1$. To znači da su trouglovi $ABM$ i $A_1B_1M$ slični prema prvom kriterijumu sličnosti trouglova. Onda

Slično, dokazano je da

Teorema je dokazana.

Korol 2: Tri srednje linije trokuta dijele ga na 4 trokuta slična originalnom trokutu sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ sa srednjim linijama $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (slika 4)

Slika 4. Ilustracija posljedica 2

Razmotrimo trougao $A_1B_1C$. Pošto je $A_1B_1$ srednja linija, onda

Ugao $C$ je zajednički ugao ovih trouglova. Prema tome, trokuti $A_1B_1C$ i $ABC$ su slični prema drugom kriteriju sličnosti trokuta sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.

Slično, dokazano je da su trokuti $A_1C_1B$ i $ABC$, te trouglovi $C_1B_1A$ i $ABC$ slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.

Razmotrimo trougao $A_1B_1C_1$. Pošto su $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ srednje linije trougla, onda

Dakle, prema trećem kriteriju sličnosti trokuta, trokuti $A_1B_1C_1$ i $ABC$ su slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka o konceptu srednje linije trougla

Primjer 1

Dat je trokut sa stranicama $16$ cm, $10$ cm i $14$ cm Nađite obim trougla čiji vrhovi leže na sredini stranica dati trougao.

Rješenje.

Budući da vrhovi željenog trougla leže u sredinama stranica datog trougla, onda su njegove stranice središnje linije originalnog trougla. Korolarom 2 nalazimo da su stranice željenog trougla jednake $8$ cm, $5$ cm i $7$ cm.

odgovor:$20$ vidi

Primjer 2

Dat je trougao $ABC$. Tačke $N\ i\ M$ su sredine stranica $BC$ i $AB$, respektivno (slika 5).

Slika 5.

Obim trokuta $BMN=14$ cm Nađite obim trougla $ABC$.

Rješenje.

Pošto su $N\ i\ M$ sredine stranica $BC$ i $AB$, onda je $MN$ srednja linija. Sredstva

Prema teoremi 1, $AC=2MN$. dobijamo:

Ponekad teme koje se objašnjavaju u školi možda nisu uvijek jasne prvi put. Ovo posebno važi za predmet kao što je matematika. Ali stvari postaju mnogo komplikovanije kada se ova nauka počne deliti na dva dela: algebru i geometriju.

Svaki učenik može imati sposobnost u jednom od dva smjera, a posebno u osnovna škola Važno je razumjeti osnove i algebre i geometrije. U geometriji, jednom od glavnih tema smatra se dio o trouglovima.

Kako pronaći srednju liniju trougla? Hajde da to shvatimo.

Osnovni koncepti

Za početak, da biste shvatili kako pronaći srednju liniju trougla, važno je razumjeti šta je to.

Nema ograničenja za crtanje srednje linije: trokut može biti bilo što (jednakokraki, jednakostranični, pravougaoni). I sva svojstva koja se odnose na srednju liniju bit će na snazi.

Srednja linija trougla je segment koji povezuje sredine njegove 2 strane. Dakle, svaki trokut može imati 3 takve prave.

Svojstva

Da bismo znali kako pronaći srednju liniju trokuta, označimo njegova svojstva koja treba zapamtiti, inače bez njih neće biti moguće riješiti probleme s potrebom da se odredi dužina srednje linije, jer svi dobiveni podaci moraju biti potkrijepljeni i argumentovano teoremama, aksiomima ili svojstvima.

Dakle, da biste odgovorili na pitanje: "Kako pronaći srednju liniju trougla ABC?", dovoljno je znati jednu od stranica trougla.

Dajemo primjer

Pogledajte sliku. Prikazuje trokut ABC sa srednjom linijom DE. Imajte na umu da je paralelna sa bazom AC u trouglu. Stoga, bez obzira na vrijednost AC, prosječna linija DE će biti upola manja. Na primjer, AC=20 znači DE=10, itd.

Na ove jednostavne načine možete razumjeti kako pronaći srednju liniju trougla. Zapamtite njegova osnovna svojstva i definiciju i tada nikada nećete imati problema da pronađete njegovo značenje.

Slika 1 prikazuje dva trougla. Trokut ABC je sličan trokutu A1B1C1. A susjedne strane su proporcionalne, to jest, AB je prema A1B1 kao što je AC prema A1C1. Iz ova dva uslova slijedi sličnost trouglova.

Kako pronaći srednju liniju trougla - znak paralelizma linija

Slika 2 prikazuje prave a i b, sekansa c. Ovo stvara 8 uglova. Uglovi 1 i 5 su odgovarajući, ako su prave paralelne, onda su odgovarajući uglovi jednaki, i obrnuto.

Kako pronaći srednju liniju trougla

Na slici 3, M je sredina AB, a N sredina AC, BC je baza. Segment MN se naziva sredinom trougla. Sama teorema kaže: Srednja linija trougla je paralelna osnovici i jednaka je njegovoj polovini.

Da bismo dokazali da je MN srednja linija trougla, potreban nam je drugi test za sličnost trokuta i test za paralelnost pravih.

Trougao AMN je sličan trouglu ABC, prema drugom kriterijumu. IN sličnih trouglova odgovarajući uglovi su jednaki, ugao 1 jednaka uglu 2, a ovi uglovi odgovaraju kada se dvije prave seku sa transverzalom, dakle, prave su paralelne, MN je paralelna sa BC. Ugao A je uobičajen, AM/AB = AN/AC = ½

Koeficijent sličnosti ovih trokuta je ½, iz toga slijedi da je ½ = MN/BC, MN = ½ BC


Tako smo pronašli srednju liniju trougla i dokazali teoremu o srednjoj liniji trougla, ako još uvijek ne razumijete kako pronaći srednju liniju, pogledajte video ispod.

Srednja linija trougla je segment koji povezuje sredine njegove 2 strane. Prema tome, svaki trougao ima tri srednje linije. Poznavajući kvalitetu srednje linije, kao i dužine stranica trokuta i njegovih uglova, možete odrediti dužinu srednje linije.

Trebaće ti

• Stranice trougla, uglovi trougla

Uputstva

1. Neka je u trouglu ABC MN srednja linija koja spaja sredine stranica AB (tačka M) i AC (tačka N) Po svojstvu, srednja linija trougla koja povezuje sredine 2 strane je paralelna sa trećom stranom i jednaka je polovini. to. To znači da će srednja linija MN biti paralelna sa stranicom BC i jednaka BC/2. Prema tome, da bi se odredila dužina srednje linije trougla, dovoljno je znati dužinu stranice ove treće strane.

2. Neka su sada poznate stranice čije su sredine povezane srednjom linijom MN, odnosno AB i AC, kao i ugao BAC između njih. Budući da je MN srednja linija, onda je AM = AB/2, a AN = AC/2 Tada, prema kosinusnoj teoremi, objektivno: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Dakle, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Ako su stranice AB i AC poznate, tada se srednja prava MN može naći poznavanjem ugla ABC ili ACB. Recimo da je kutak ABC poznat. Budući da je prema svojstvu srednje linije MN paralelna sa BC, tada su uglovi ABC i AMN odgovarajući, i, prema tome, ABC = AMN. Zatim, prema kosinusnom teoremu: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Prema tome, strana MN se može detektovati sa kvadratna jednačina(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Kvadratni trokut se pravilnije naziva pravokutni trokut. Odnosi između stranica i uglova ove geometrijske figure detaljno su obrađeni u matematičkoj disciplini trigonometrija.

Trebaće ti

• - list papira;
• - olovka;
• — Bradis stolovi;
• - kalkulator.

Uputstva

1. Otkrijte strana pravougaona trougao uz podršku Pitagorine teoreme. Prema ovoj teoremi, kvadrat hipotenuze jednak zbiru kvadrata kateta: c2 = a2+b2, gdje je c hipotenuza trougao, a i b su njegove noge. Da biste primijenili ovu jednačinu, morate znati dužinu bilo koje 2 strane pravougaonika trougao .

2. Ako uvjeti određuju dimenzije kateta, pronađite dužinu hipotenuze. Da biste to učinili, pomoću kalkulatora izvucite kvadratni korijen zbira kateta, unaprijed kvadrirajte svaki od njih.

3. Izračunajte dužinu jednog od kateta ako znate dimenzije hipotenuze i druge katete. Koristeći kalkulator, izvucite kvadratni korijen razlike između hipotenuze na kvadrat i vodeće noge također na kvadrat.

4. Ako problem specificira hipotenuzu i jedan od oštrih uglova uz nju, koristite Bradisove tablice. Oni pokazuju vrijednosti trigonometrijske funkcije Za veliki broj uglovi Koristite kalkulator sa sinusnim i kosinusnim funkcijama, kao i teoreme trigonometrije koje opisuju odnose između stranica i uglova pravokutnika trougao .

5. Nađite katete koristeći osnovne trigonometrijske funkcije: a = c*sin?, b = c*cos?, gdje je a noga suprotna uglu?, b je noga uz ugao?. Na isti način izračunajte veličinu stranica trougao, ako je hipotenuza i drugo akutni ugao: b = c*sin?, a = c*cos?, gdje je b krak nasuprot uglu?, a da li je noga susjedna uglu?.

6. U slučaju kada crtamo krak a i oštar ugao uz nju?, ne zaboravite to u pravougaonog trougla zbir oštrih uglova je uvek jednak 90°: ? + ? = 90°. Pronađite vrijednost ugla suprotnog kraku a: ? = 90° – ?. Ili koristite formule trigonometrijske redukcije: sin? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Ako imamo krak a i oštar ugao nasuprot njemu?, koristeći Bradisove tablice, kalkulator i trigonometrijske funkcije, izračunaj hipotenuzu koristeći formulu: c=a*sin?, krak: b=a*tg?.

Video na temu

Video kurs “Stekni A” uključuje sve teme koje su vam potrebne uspješan završetak Jedinstveni državni ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila u matematici. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci prvog dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.