Koliki je zbir trougla? Teorema o zbroju ugla trougla

Dom Teorema.

Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je dvama pravim uglovima.

Uzmimo neki trougao ABC (slika 208). Označimo njegove unutrašnje uglove brojevima 1, 2 i 3. Dokažimo to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Provucimo kroz neki vrh trougla, na primjer B, pravu liniju MN paralelnu sa AC.

U vrhu B imamo tri ugla: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihov zbir je pravi ugao, pa je jednak 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ali ∠4 = ∠1 su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom AB.

∠5 = ∠3 - ovo su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom BC.

To znači da ∠4 i ∠5 mogu biti zamijenjeni njihovim jednakima ∠1 i ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema je dokazana.

2. Svojstvo vanjskog ugla trougla. Teorema. Vanjski ugao trougla jednak zbiru

dva unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

U stvari, u trouglu ABC (slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ali i ∠VSD, spoljni ugao ovog trougla, koji nije susedan sa ∠1 i ∠2, takođe je jednak 180° - ∠3 .

ovako:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izvedeno svojstvo spoljašnjeg ugla trougla pojašnjava sadržaj prethodno dokazane teoreme o spoljašnjem uglu trougla, koja je samo govorila da je spoljašnji ugao trougla veći od svakog unutrašnjeg ugla trougla koji mu nije susedan; sada je utvrđeno da je vanjski ugao jednak zbiru oba unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

2. Svojstvo vanjskog ugla trougla. 3. Svojstvo pravouglog trougla sa uglom od 30°. Noga pravougaonog trougla

, koja leži nasuprot ugla od 30°, jednaka je polovini hipotenuze.

Neka je ugao B u pravouglom trouglu ACB jednak 30° (Sl. 210). Tada će njegov drugi oštri ugao biti jednak 60°.

Dokažimo da je krak AC jednak polovini hipotenuze AB. Produžimo krak AC izvan temena pravog ugla C i odvojimo segment CM jednak segmentu AC. Povežimo tačku M sa tačkom B. Dobijeni trougao VSM jednak je trouglu ACB. Vidimo da je svaki ugao trougla ABM jednak 60°, stoga je ovaj trougao jednakostraničan trougao.

Ova teorema je takođe formulisana u udžbeniku L.S. Atanasyana. , a u udžbeniku Pogorelov A.V. . Dokazi ove teoreme u ovim udžbenicima se ne razlikuju bitno, te stoga predstavljamo njen dokaz, na primjer, iz udžbenika A.V.

Teorema: Zbir uglova trougla je 180°

Dokaz. Neka ABC - dati trougao. Povučemo pravu kroz vrh B paralelnu pravoj AC. Označimo na njoj tačku D tako da tačke A i D leže na suprotnim stranama prave BC (slika 6).

Uglovi DBC i ACB jednaki su kao unutrašnji unakrsno ležeći, formirani sekantom BC sa paralelnim pravim linijama AC i BD. Dakle, zbir uglova trougla na vrhovima B i C jednak je uglu ABD. A zbir sva tri ugla trougla jednak je zbiru uglova ABD i BAC. Pošto su ovo jednostrani unutrašnji uglovi za paralelu AC i BD i sekantu AB, njihov zbir je 180°. Teorema je dokazana.

Ideja ovog dokaza je izvođenje paralelna linija i označavanje jednakosti željenih uglova. Rekonstruirajmo ideju takve dodatne konstrukcije dokazujući ovu teoremu korištenjem koncepta misaonog eksperimenta. Dokaz teoreme pomoću misaonog eksperimenta. Dakle, predmet našeg misaonog eksperimenta su uglovi trougla. Postavimo ga mentalno u uslove u kojima se njegova suština može otkriti sa posebnom sigurnošću (faza 1).

Takvi uslovi će biti takav raspored uglova trougla u kojem će sva tri njihova vrha biti kombinovana u jednoj tački. Takva kombinacija je moguća ako dozvolimo mogućnost „pomeranja“ uglova pomeranjem stranica trougla bez promene ugla nagiba (Sl. 1). Takvi pokreti su u suštini naknadne mentalne transformacije (faza 2).

Označavanjem uglova i stranica trougla (slika 2), uglova dobijenih „kretanjem“, mi na taj način misaono formiramo okruženje, sistem veza u koji postavljamo svoj predmet mišljenja (faza 3).

Prava AB, "krećući se" duž prave BC i ne menjajući ugao nagiba prema njoj, prenosi ugao 1 na ugao 5, a "krećući se" duž prave AC, prenosi ugao 2 na ugao 4. Budući da sa takvim "kretanjem" prava AB ne mijenja ugao nagiba na prave AC i BC, onda je zaključak očigledan: zrake a i a1 su paralelne sa AB i pretvaraju se jedna u drugu, a zrake b i b1 su nastavak stranica BC i AC, redom. Pošto su ugao 3 i ugao između zraka b i b1 vertikalni, oni su jednaki. Zbir ovih uglova jednak je rotiranom uglu aa1 - što znači 180°.

ZAKLJUČAK

IN diplomski rad„konstruisani“ dokazi nekih školskih geometrijskih teorema izvedeni su pomoću strukture misaonog eksperimenta, koji je potvrdio formulisanu hipotezu.

Prikazani dokazi su se zasnivali na takvim vizuelnim i čulnim idealizacijama: „stiskanje“, „istezanje“, „klizanje“, koje su omogućile da se originalni geometrijski objekat transformiše na poseban način i istakne njegove bitne karakteristike, što je tipično za misao. eksperiment. U ovom slučaju, misaoni eksperiment djeluje kao određeno „kreativno oruđe“ koje doprinosi nastanku geometrijskog znanja (npr. srednja linija trapeza ili oko uglova trougla). Takve idealizacije omogućavaju da se shvati cijela ideja dokaza, ideja izvođenja "dodatne konstrukcije", što nam omogućava da govorimo o mogućnosti svjesnijeg razumijevanja procesa formalnog deduktivnog dokazivanja od strane školaraca. geometrijske teoreme.

Misaoni eksperiment je jedan od osnovne metode dobijanje i otkrivanje geometrijskih teorema. Potrebno je razviti metodologiju za prenošenje metode na studenta. Ostaje otvoreno pitanje o uzrastu učenika prihvatljivom za „prihvatanje” metode, o „ nuspojave» dokaze izvedene na ovaj način.

Ova pitanja zahtijevaju dalje proučavanje. Ali u svakom slučaju, jedno je sigurno: misaoni eksperiment razvija teorijsko mišljenje kod školaraca, njegova je osnova i stoga je potrebno razvijati sposobnost misaonog eksperimentiranja.

Materijali koji se nalaze na ovoj stranici zaštićeni su autorskim pravima. Kopiranje radi objavljivanja na drugim stranicama dozvoljeno je samo uz izričit pristanak autora i administracije stranice.

Zbir uglova trougla.

Smirnova I. N., nastavnica matematike.
Informativni prospekt za otvorenu lekciju.

Svrha metodičkog časa: upoznati nastavnike sa savremenim metodama i tehnike za korištenje IKT alata u razne vrste obrazovne aktivnosti.
Tema lekcije: Zbir uglova trougla.
Naziv lekcije:"Znanje je samo znanje kada se stiče naporima nečijih misli, a ne pamćenjem." L. N. Tolstoj.
Metodičke inovacije koje će činiti osnovu lekcije.
Lekcija će pokazati metode naučna istraživanja korištenje ICT-a (upotreba matematičkih eksperimenata kao jednog od oblika stjecanja novih znanja; eksperimentalno testiranje hipoteza).
Pregled modela lekcije.

1. Motivacija za proučavanje teoreme.
2. Razotkrivanje sadržaja teoreme tokom matematičkog eksperimenta korišćenjem nastavno-metodičkog kompleta „Živa matematika“.
3. Motivacija za potrebu dokazivanja teoreme.
4. Rad na strukturi teoreme.
5. Pronalaženje dokaza teoreme.
6. Dokaz teoreme.
7. Konsolidacija formulacije teoreme i njen dokaz.
8. Primjena teoreme.

Čas geometrije u 7. razredu
prema udžbeniku "Geometrija 7-9"
na temu: "Zbir uglova trougla."

Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.
Ciljevi lekcije:
edukativni: dokazati teoremu o zbiru uglova trougla; stječu vještine u radu sa programom „Živa matematika“, razvijajući interdisciplinarne veze.
edukativni: poboljšanje sposobnosti svjesnog provođenja takvih tehnika razmišljanja kao što su poređenje, generalizacija i sistematizacija.
edukativni: negovanje samostalnosti i sposobnosti za rad u skladu sa planiranim planom.
Oprema: multimedijalni kabinet, interaktivna tabla, kartice sa planom praktičan rad, program “Živa matematika”.

Struktura lekcije.

1. Ažuriranje znanja.
   1. Mobilizirajući početak lekcije.
   2. Postavljanje problematičnog problema kako bi se motivisalo proučavanje novog gradiva.
   3. Postavljanje zadatka za učenje.
2. 1. Praktični rad "Zbir uglova trougla."
   2. Dokaz teoreme o zbiru uglova trougla.
3. 1. Rješavanje problematičnog problema.
   2. Rješavanje problema pomoću gotovih crteža.
   3. Sumiranje lekcije.
   4. Postavljanje domaće zadaće.

Napredak lekcije.

1. Ažuriranje znanja.

   Plan lekcije:

   1. Eksperimentalno ustanovite i izložite hipotezu o zbiru uglova bilo kojeg trougla.
   2. Dokažite ovu pretpostavku.
   3. Učvrstite utvrđenu činjenicu.
2. Formiranje novih znanja i metoda djelovanja.
   1. Praktični rad "Zbir uglova trougla."

      Učenici sjedaju za svoje računare i dobijaju kartice sa planom za praktičan rad.

      Praktični rad na temu "Zbir uglova trougla" (uzorak kartice)

      Odštampajte karticu
      

      Studenti predaju rezultate praktičnog rada i sjedaju za svoje stolove.
      Nakon razmatranja rezultata praktičnog rada, postavlja se hipoteza da je zbir uglova trokuta 180°.
      Učitelj: Zašto još ne možemo reći da je zbir uglova apsolutno bilo kojeg trougla jednak 180°?
      student: Nemoguće je napraviti apsolutno tačne konstrukcije, niti apsolutno tačna mjerenja, čak ni na kompjuteru.
      Tvrdnja da je zbir uglova trougla 180° odnosi se samo na trouglove koje smo razmatrali. Za ostale trouglove ne možemo ništa reći, jer nismo mjerili njihove uglove.
      Učitelj: Ispravnije bi bilo reći: trouglovi koje smo razmatrali imaju zbir uglova približno jednak 180°. Da bismo bili sigurni da je zbroj uglova trokuta tačno jednak 180°, a za bilo koji trokut još uvijek moramo provesti odgovarajuće rezonovanje, odnosno dokazati valjanost iskaza koji nam je sugeriran iskustvom.
      

   2. Dokaz teoreme o zbiru uglova trougla.

      Učenici otvaraju svoje sveske i zapisuju temu lekcije „Zbir uglova trougla“.

      Rad na strukturi teoreme.

      Da biste formulirali teoremu, odgovorite na sljedeća pitanja:
      • Koji su trouglovi korišteni u procesu mjerenja?
      • Šta je uključeno u uslove teoreme (šta je dato)?
      • Šta smo otkrili tokom mjerenja?
      • Koji je zaključak teoreme (šta treba dokazati)?
      • Pokušajte formulirati teoremu o zbiru uglova trokuta.

      Izrada crteža i kratki zapis teoreme

      U ovoj fazi od učenika se traži da naprave crtež i zapišu šta je dato, a šta treba dokazati.

      Izrada crteža i kratki zapis teoreme.

      Dato: Trougao ABC.
      dokazati:
      டA + டB + டC = 180°.

      Pronalaženje dokaza teoreme

      Kada tražite dokaz, trebali biste pokušati proširiti uvjet ili zaključak teoreme. U teoremi o zbiru uglova trougla pokušaji proširenja uslova su beznadežni, pa je razumno raditi sa učenicima na razvijanju zaključka.
      Učitelj: Koje tvrdnje govore o uglovima čiji je zbir jednak 180°?
      student: Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°.
      Zbir susjednih uglova je 180°.
      Učitelj: Pokušajmo upotrijebiti prvu tvrdnju da to dokažemo. S tim u vezi, potrebno je konstruisati dve paralelne prave i sekantu, ali to mora biti urađeno na način da najveći broj uglovi trokuta su postali unutrašnji ili uključeni u njih. Kako se to može postići?
      

      Pronalaženje dokaza teoreme.

      

      student: Nacrtajte ravnu liniju paralelnu s drugom stranom kroz jedan od vrhova trougla, tada će stranica biti sekansa. Na primjer, kroz vrh B.
      Učitelj: Imenujte unutrašnje jednostrane uglove koje formiraju ove prave i transverzala.
      student: Uglovi DBA i BAC.
      Učitelj: Koji uglovi zajedno iznose 180°?
      student:டDBA i டBAC.
      Učitelj:Šta se može reći o veličini ugla ABD?
      student: Njegova vrijednost je jednaka zbiru uglova ABC i SVK.
      Učitelj: Koja nam je izjava potrebna da bismo dokazali teoremu?
      student:டDBC = டACB.
      Učitelj: Koji su to uglovi?
      student: Unutrašnje leže poprečno.
      Učitelj: Na osnovu čega možemo reći da su jednaki?
      student: Prema svojstvu unutrašnjih poprečnih uglova za paralelne prave i transverzale.

      Kao rezultat traženja dokaza, sastavlja se plan za dokazivanje teoreme:
      

      Plan dokaza teoreme.

      1. Povucite pravu liniju kroz jedan od vrhova trougla paralelno sa suprotnom stranom.
      2. Dokazati jednakost unutrašnjih poprečnih uglova.
      3. Zapišite zbir unutrašnjih jednostranih uglova i izrazite ih uglovima trougla.

      Dokaz i njegovo snimanje.

      
      1. Hajdemo BD || AC (aksiom paralelnih linija).
      2. ட3 = ட4 (pošto su ovo poprečni uglovi sa BD || AC i sekantom BC).
      3. டA + டAVD = 180° (pošto su ovo jednostrani uglovi sa BD || AC i sekantom AB).
      4. டA + டAVD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, što je trebalo dokazati.

      Konsolidacija formulacije teoreme i njen dokaz.

      Da bi savladali formulaciju teoreme, od učenika se traži da urade sljedeće zadatke:

      1. Navedite teoremu koju smo upravo dokazali.
      2. Istaknite uslov i zaključak teoreme.
      3. Na koje se oblike primjenjuje teorema?
      4. Formulirajte teoremu riječima “ako... onda...”.
3. Primena znanja, razvoj veština i sposobnosti.

Trougao je mnogougao koji ima tri strane (tri ugla). Najčešće su stranice označene malim slovima koji odgovaraju velikim slovima koji predstavljaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati sa vrstama ovih geometrijskih figura, teoremom koja određuje koliko je jednak zbir uglova trokuta.

Vrste prema veličini ugla

Razlikovati sledeće vrste poligon sa tri vrha:

• oštrougao, u kojem su svi uglovi oštri;
• pravokutni, koji ima jedan pravi ugao, njegovi generatori se nazivaju nogama, a strana koja se nalazi nasuprot pravi ugao, naziva se hipotenuza;
• tupo kada jedan ;
• jednakokraki, u kojima su dvije strane jednake, i nazivaju se bočnim, a treća je osnova trokuta;
• jednakostraničan, sa sve tri jednake strane.

Svojstva

Postoje osnovna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:

• Nasuprot veće strane uvijek postoji veći ugao, i obrnuto;
• suprotne strane jednake veličine su jednakih uglova, i obrnuto;
• bilo koji trougao ima dva oštra ugla;
• vanjski ugao je veći od bilo kojeg unutrašnjeg ugla koji mu nije susjedan;
• zbir bilo koja dva ugla je uvijek manji od 180 stepeni;
• vanjski ugao jednak je zbiru druga dva ugla koji se s njim ne seku.

Teorema o zbroju ugla trougla

Teorema kaže da ako saberete sve uglove date geometrijske figure, koja se nalazi na euklidovoj ravni, onda će njihov zbir biti 180 stepeni. Pokušajmo dokazati ovu teoremu.

Neka nam je proizvoljan trokut sa vrhovima KMN.

Kroz vrh M povlačimo KN (ova prava se još naziva i Euklidska prava linija). Na njoj označavamo tačku A tako da se tačke K i A nalaze na različitim stranama prave MH. Dobijamo jednake uglove AMN i KNM, koji, kao i unutrašnji, leže poprečno i formirani su sekantom MN zajedno sa ravnima KH i MA, koje su paralelne. Iz ovoga slijedi da je zbir uglova trougla koji se nalazi na vrhovima M i H jednak veličini ugla KMA. Sva tri ugla čine zbir koji je jednak zbiru uglova KMA i MKN. Pošto su ovi uglovi unutrašnji jednostrani u odnosu na paralelne prave KN i MA sa sekantom KM, njihov zbir je 180 stepeni. Teorema je dokazana.

Posljedica

Iz gore dokazane teoreme slijedi sljedeći zaključak: svaki trougao ima dva oštra ugla. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da ova geometrijska figura ima samo jedan oštar ugao. Takođe se može pretpostaviti da nijedan od uglova nije oštar. U tom slučaju moraju postojati najmanje dva ugla čija je veličina jednaka ili veća od 90 stepeni. Ali tada će zbir uglova biti veći od 180 stepeni. Ali to se ne može dogoditi, jer je prema teoremi zbir uglova trougla jednak 180° - ni više ni manje. To je ono što je trebalo dokazati.

Svojstvo vanjskih uglova

Koliki je zbir vanjskih uglova trougla? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti pomoću jedne od dvije metode. Prvi je da je potrebno pronaći zbir uglova koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, odnosno tri ugla. Drugi podrazumijeva da morate pronaći zbir svih šest uglova vrhova. Prvo, pogledajmo prvu opciju. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih uglova - dva u svakom vrhu.

Svaki par ima jednake uglove jer su okomiti:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Osim toga, poznato je da je vanjski ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja koja se s njim ne sijeku. dakle,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Iz ovoga ispada da će zbir vanjskih uglova, koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, biti jednak:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Uzimajući u obzir činjenicu da je zbir uglova jednak 180 stepeni, možemo reći da je ∟A + ∟B + ∟C = 180°. To znači da je ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ako se koristi druga opcija, tada će zbir šest uglova biti, shodno tome, dvostruko veći. To jest, zbir vanjskih uglova trougla bit će:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Pravokutni trokut

Koliki je zbir oštrih uglova pravouglog trougla? Odgovor na ovo pitanje, opet, slijedi iz teoreme, koja kaže da su uglovi u trouglu 180 stepeni. A naša izjava (svojstvo) zvuči ovako: u pravokutnom trokutu oštri uglovi ukupno je 90 stepeni. Dokažimo njegovu istinitost.

Neka nam je dat trougao KMN, u kojem je ∟N = 90°. Potrebno je dokazati da je ∟K + ∟M = 90°.

Dakle, prema teoremi o zbiru uglova ∟K + ∟M + ∟N = 180°. Naš uslov kaže da je ∟H = 90°. Dakle, ispada, ∟K + ∟M + 90° = 180°. To jest, ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. To je upravo ono što smo trebali dokazati.

Pored gore navedenih svojstava pravokutnog trokuta, možete dodati sljedeće:

• uglovi koji leže nasuprot krakova su oštri;
• hipotenuza je trouglasto veća od bilo koje katete;
• zbir kateta je veći od hipotenuze;
• Krak trougla, koji leži nasuprot ugla od 30 stepeni, je polovina veličine hipotenuze, odnosno jednaka je njegovoj polovini.

Kao još jedno svojstvo ove geometrijske figure možemo istaknuti Pitagorinu teoremu. Ona navodi da je u trouglu sa uglom od 90 stepeni (pravougaonom) zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze.

Zbir uglova jednakokračnog trougla

Ranije smo rekli da se zove jednakokraki poligon sa tri vrha koji sadrži dvije jednake stranice. Ovo svojstvo ove geometrijske figure je poznato: uglovi u njenoj osnovi su jednaki. Dokažimo to.

Uzmimo trougao KMN, koji je jednakokraki, KN mu je osnova.

Od nas se traži da dokažemo da je ∟K = ∟N. Dakle, recimo da je MA simetrala našeg trougla KMN. Trokut MKA, uzimajući u obzir prvi znak jednakosti, jednak je trokutu MNA. Naime, uslovom je dato da je KM = NM, MA je zajednička stranica, ∟1 = ∟2, pošto je MA simetrala. Koristeći činjenicu da su ova dva trougla jednaka, možemo reći da je ∟K = ∟N. To znači da je teorema dokazana.

Ali nas zanima koliki je zbir uglova trougla (jednakokrakog). Pošto u tom pogledu nema svoje karakteristike, mi ćemo se nadovezati na teoremu o kojoj smo ranije govorili. To jest, možemo reći da je ∟K + ∟M + ∟N = 180°, ili 2 x ∟K + ∟M = 180° (pošto je ∟K = ∟N). Ova nekretnina Nećemo to dokazivati, jer je teorema o zbiru uglova samog trougla ranije dokazana.

Pored svojstava o uglovima trougla o kojima se raspravlja, važe i sledeće važne izjave:

• na kojoj je spuštena na osnovu, istovremeno je i medijana, simetrala ugla koji se nalazi između jednakih stranica, kao i njegova osnova;
• medijane (simetrale, visine) koje su povučene na bočne strane takve geometrijske figure su jednake.

Jednakostranični trougao

Naziva se i regularnim, ovo je trougao u kojem su sve strane jednake. I stoga su uglovi takođe jednaki. Svaki od njih je 60 stepeni. Dokažimo ovo svojstvo.

Recimo da imamo trougao KMN. Znamo da je KM = NM = KN. To znači da je, prema svojstvu uglova koji se nalaze u osnovi u jednakokračnom trouglu, ∟K = ∟M = ∟N. Pošto je, prema teoremi, zbir uglova trougla ∟K + ∟M + ∟N = 180°, onda je 3 x ∟K = 180° ili ∟K = 60°, ∟M = 60°, ∟ N = 60°. Dakle, izjava je dokazana.

Kao što se može vidjeti iz gornjeg dokaza zasnovanog na teoremi, zbir uglova, kao i zbir uglova bilo kojeg drugog trougla, iznosi 180 stepeni. Nema potrebe ponovo dokazivati ​​ovu teoremu.

Postoje i svojstva karakteristična za jednakostranični trougao:

• medijana, simetrala, visina u takvoj geometrijskoj figuri se poklapaju, a njihova dužina se računa kao (a x √3): 2;
• ako opišemo krug oko datog poligona, tada će njegov polumjer biti jednak (a x √3): 3;
• ako upišete kružnicu u jednakostranični trougao, tada će njegov polumjer biti (a x √3): 6;
• Površina ove geometrijske figure izračunava se po formuli: (a2 x √3) : 4.

Tupokutni trokut

Po definiciji, jedan od njegovih uglova je između 90 i 180 stepeni. Ali s obzirom na to da su druga dva ugla ove geometrijske figure oštra, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stepeni. Stoga, teorema o sumi uglova trougla radi u izračunavanju zbira uglova u tupouglu. Ispada da možemo sa sigurnošću reći, na osnovu gore pomenute teoreme, da je zbir uglova tupouglog trougla jednak 180 stepeni. Opet, ovu teoremu ne treba ponovo dokazivati.

Preliminarne informacije

Prvo, pogledajmo direktno koncept trougla.

Definicija 1

Nazvaćemo ga trougao geometrijska figura, koji se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).

Definicija 2

U okviru definicije 1, tačke ćemo nazvati vrhovima trougla.

Definicija 3

U okviru definicije 1, segmente ćemo nazvati stranicama trougla.

Očigledno, svaki trougao će imati 3 vrha, kao i tri stranice.

Teorema o zbiru uglova u trouglu

Hajde da uvedemo i dokažemo jednu od glavnih teorema vezanih za trouglove, odnosno teoremu o zbiru uglova u trokutu.

Teorema 1

Zbir uglova u bilo kom proizvoljnom trouglu je $180^\circ$.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $EGF$. Dokažimo da je zbir uglova u ovom trouglu jednak $180^\circ$. Napravimo dodatnu konstrukciju: nacrtaj pravu liniju $XY||EG$ (slika 2)

Pošto su prave $XY$ i $EG$ paralelne, onda $∠E=∠XFE$ leže poprečno na sekanti $FE$, a $∠G=∠YFG$ poprečno na sekanti $FG$

Ugao $XFY$ će biti obrnut i stoga je jednak $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Dakle

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorema je dokazana.

Teorema o vanjskom kutu trougla

Druga teorema o zbiru uglova za trokut može se smatrati teoremom o vanjskom kutu. Prvo, hajde da predstavimo ovaj koncept.

Definicija 4

Spoljni ugao trougla nazivaćemo ugao koji će biti susedan bilo kom uglu trougla (slika 3).

Razmotrimo sada teoremu direktno.

Teorema 2

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.

Dokaz.

Razmotrimo proizvoljan trougao $EFG$. Neka ima vanjski ugao trougla $FGQ$ (slika 3).

Prema teoremi 1, imaćemo da je $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, dakle,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Pošto je ugao $FGQ$ spoljašnji, on je susedan uglu $∠G$, tada

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka

Primjer 1

Nađi sve uglove trougla ako je jednakostraničan.

Pošto su sve stranice jednakostraničnog trougla jednake, imaćemo da su i svi uglovi u njemu jednaki. Označimo njihove mjere stepena sa $α$.

Zatim, prema teoremi 1 dobijamo

$α+α+α=180^\circ$

Odgovor: svi uglovi su jednaki $60^\circ$.

Primjer 2

Pronađite sve uglove jednakokračnog trougla ako je jedan od njegovih uglova jednak $100^\circ$.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju za uglove u jednakokračnom trokutu:

Pošto u uslovu nije dato tačno kojem je ugao $100^\circ$, onda su moguća dva slučaja:

Ugao jednak $100^\circ$ je ugao u osnovi trougla.

Koristeći teoremu o uglovima u osnovi jednakokračnog trougla, dobijamo

$∠2=∠3=100^\circ$

Ali tada će samo njihov zbir biti veći od $180^\circ$, što je u suprotnosti sa uslovima teoreme 1. To znači da se ovaj slučaj ne dešava.

Ugao jednak $100^\circ$ je ugao između jednakih stranica, tj