Bočna površina konusne formule. Površina bočne i ukupne površine konusa

Dom

Tela rotacije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.

Ako u zadatku na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučite napamet. Ovdje počinje znanje o stereometriji.

2. Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo. Koliko puta je zapremina konusa opisana oko tačnogčetvorougaone piramide

, je veći od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?

Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći. Drugi važna tačka . Zapamtite da u problemima dijela B Opcije objedinjenog državnog ispita u matematici se odgovor piše kao cijeli ili konačan broj decimalni

. Prema tome, ne bi trebalo da ih ima ili u vašem odgovoru u dijelu B. Nema potrebe za zamjenom približne vrijednosti broja! Definitivno se mora smanjiti! U tu svrhu je u nekim problemima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa."

Gdje se još koriste formule za zapreminu i površinu okretnih tijela? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.

Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?

Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise

Uradimo isto sa konusom. Na primjer, "presećimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise (vidi sliku 1).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite da se skeniranje "superponira" samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. imamo:

Konačno dobijamo: .

Uz površinu bočne površine, može se pronaći i područje puna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .

Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.

Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.

Rice. 4. Potreban ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut, formirajući konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .

Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Površina konusa (ili jednostavno površina konusa) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se po formuli: S = πR l, gdje je R polumjer osnove konusa, i l- formiranje konusa.

Budući da je površina osnove stošca jednaka πR 2 (kao površina kruga), površina ukupne površine stošca bit će jednaka: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Dobivanje formule za površinu bočne površine stošca može se objasniti sljedećim obrazloženjem. Neka crtež pokaže razvoj bočne površine konusa. Podijelimo luk AB na moguće veći broj jednake dijelove i povežite sve tačke podjele sa središtem luka, a susjedne jedna s drugom tetivama.

Dobili smo seriju jednakih trouglova. Površina svakog trougla je ah / 2 gdje A- dužina osnove trougla, a h- njegovu visinu.

Zbir površina svih trouglova će biti: ah / 2 n = anh / 2 gdje n- broj trouglova.

At veliki broj podjele, zbir površina trokuta postaje vrlo blizak području razvoja, odnosno površini bočne površine stošca. Zbir osnova trouglova, tj. an, postaje vrlo blizak dužini luka AB, tj. obimu osnove stošca. Visina svakog trougla postaje veoma bliska poluprečniku luka, tj. generatrisi konusa.

Zanemarujući manje razlike u veličinama ovih veličina, dobijamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C obim osnove stošca, l- formiranje konusa.

Znajući da je C = 2πR, gdje je R polumjer kružnice osnove stošca, dobijamo: S = πR l.

Napomena. U formuli S = C l / 2 postoji znak tačne, a ne približne jednakosti, iako bismo na osnovu gornjeg rezonovanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi srednja škola dokazano je da je jednakost

S=C l / 2 je tačno, nije približno.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je proizvodu obima baze i polovine generatrise.

Upišimo u konus (sl.) neke ispravna piramida i označiti slovima r I l brojevi koji izražavaju dužinu perimetra osnove i apotema ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 r l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar r težit će granici uzetoj kao dužina C obima baze i apoteme l imat će za granicu generatrisu stošca (pošto ΔSAK slijedi da SA - SK
1 / 2 r l, težit će granici od 1/2 C L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine konusa. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Pošto je C = 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Dobijamo punu površinu stošca ako površini baze dodamo bočnu površinu; dakle, označavajući kompletnu površinu sa T, imaćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina krnjeg konusa jednaka je umnošku polovine zbira dužina kružnica baza i generatora.

Upišimo u skraćeni konus (sl.) neki pravilan krnje piramide i označiti slovima r, r 1 i l brojevi koji u identičnim linearnim jedinicama izražavaju dužine opsega donje i gornje osnove i apotema ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide jednaka 1/2 ( p + p 1) l

Uz neograničeno povećanje broja bočnih strana upisane piramide, perimetri r I r 1 teži granicama uzetim kao dužine C i C 1 osnovnih kružnica, a apotema l ima za granicu generator L krnjeg konusa. Posljedično, veličina bočne površine upisane piramide teži granici koja je jednaka (C + C 1) L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine krnjeg konusa. Označavajući bočnu površinu skraćenog konusa slovom S, imamo:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere kružnica donje i gornje baze, tada će bočna površina skraćenog konusa biti:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), od čije rotacije se dobije krnji konus, nacrtamo srednja linija pne, tada dobijamo:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

dakle,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg konusa jednaka je proizvodu obima srednjeg presjeka i generatrikse.

3) Ukupna površina T krnjeg konusa biće izražena na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Evo problema sa čunjevima, stanje se odnosi na njegovu površinu. Konkretno, u nekim problemima se postavlja pitanje promjene površine pri povećanju (smanjenju) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrimo sljedeće zadatke:

27135. Obim osnove stošca je 3, generator je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.

Bočna površina stošca jednaka je:

Zamjena podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća za 36 puta, a polumjer osnove ostane isti?

Bočna površina konusa:

Generator se povećava 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se obim baze nije promijenio.

To znači da će bočna površina modificiranog konusa imati oblik:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Odnos je jednostavan, tako da se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove osnove smanji za 1,5 puta?

Bočna površina stošca jednaka je:

Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatriksa je 10 Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljenu sa Pi.

Puna površina konusa:

Morate pronaći radijus:

Visina i generatriksa su poznate, koristeći Pitagorinu teoremu izračunavamo radijus:

ovako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog konusa.

Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer osnove i generatriksa odsječenog konusa biti 2 puta manji od polumjera i generatrike originalnog konusa. Zapišimo površinu odsječenog konusa:

Trebalo bi da bude 4 puta manje površine površina originala, odnosno 108:4 = 27.

*Budući da su originalni i odrezani konus slična tijela, bilo je moguće koristiti i svojstvo sličnosti:

27167. Poluprečnik osnove stošca je 3, a visina 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s Pi.

Formula za ukupnu površinu stošca:

Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatricu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

ovako:

Podijelite rezultat sa Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Odredite koliki je kosinus ugla između generatrise konusa i ravni baze.

Površina osnove stošca je:

To jest, kosinus će biti jednak:

Odgovor: 0,25

Odlučite sami:

27136. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća za 3 puta?

27160. Površina bočne površine stošca je dvostruko veća od površine osnove. Nađite ugao između generatrise konusa i ravni baze. Odgovor dajte u stepenima. .

27161. Ukupna površina stošca je 12. Povučen je presjek paralelan s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog konusa.

To je sve. Sretno vam bilo!

Srdačan pozdrav, Alexander.

*Podijelite informacije o stranici sa svojim prijateljima putem društvenih mreža.