ระดับโปรไฟล์งาน 19 การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์)

บ้าน มีการเขียนที่แตกต่างกัน 30 รายการไว้บนกระดานตัวเลขธรรมชาติ

ซึ่งแต่ละค่าเป็นเลขคู่หรือเลขทศนิยมลงท้ายด้วยเลข 7 ผลรวมของตัวเลขที่เขียนคือ 810

A) บนกระดานมีเลขคู่ 24 ตัวได้ไหม?ลำดับหมายเลข

ได้มาจากสูตรศัพท์ทั่วไป: a_(n) = 1/(n^2+n) ก) ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด< 1/2017.

n ซึ่ง a_(n)

B) ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของ n ซึ่งผลรวมของพจน์ n แรกของลำดับนี้จะมากกว่า 0.99 B) มีสมาชิกคนใดในลำดับนี้ที่ก่อตัวหรือไม่?

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ A) ให้ผลคูณของจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันแปดจำนวนเท่ากับ A และผลิตภัณฑ์ของจำนวนเดียวกันเพิ่มขึ้น 1 จะเท่ากับ B ค้นหามูลค่าสูงสุด

บี/เอ

B) ให้ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ 8 จำนวน (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันเสมอไป) เท่ากับ A และผลคูณของจำนวนเดียวกันเพิ่มขึ้น 1 จะเท่ากับ B ค่าของนิพจน์จะเท่ากับ 210 ได้หรือไม่

C) ให้ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ 8 จำนวน (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันเสมอไป) เท่ากับ A และผลคูณของจำนวนเดียวกันเพิ่มขึ้น 1 จะเท่ากับ B ค่าของนิพจน์ B/A จะเท่ากับ 63 ได้หรือไม่ ด้วยจำนวนธรรมชาติที่พวกเขาผลิตการดำเนินการครั้งต่อไป

: ระหว่างแต่ละหลักสองหลักที่อยู่ติดกัน ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้จะถูกเขียน (ตัวอย่างเช่น จากหมายเลข 1923 จะได้หมายเลข 110911253)

A) ให้ตัวอย่างตัวเลขที่ได้รับ 4106137125

B) หมายเลขใดๆ สามารถสร้างหมายเลข 27593118 ได้หรือไม่ ข) อันไหนจำนวนมากที่สุด

ที่เป็นพหุคูณของ 9 สามารถหาได้จากตัวเลขสามหลักที่เครื่องหมายทศนิยมไม่มีเลขเก้า? มีนักเรียนในกลุ่มจำนวน 32 คน แต่ละคนเขียนหนึ่งหรือสองอันการทดสอบ

< 14.
โดยแต่ละรายการคุณจะได้รับคะแนนตั้งแต่ 0 ถึง 20 คะแนน นอกจากนี้ กระดาษทดสอบทั้งสองแบบแยกกันให้คะแนนเฉลี่ย 14 คะแนน ต่อไป นักเรียนแต่ละคนตั้งชื่อคะแนนสูงสุดของตัวเอง (ถ้าเขาเขียนบทความหนึ่งเรื่อง เขาตั้งชื่อให้) จากคะแนนเหล่านี้พบค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมีค่าเท่ากับ S
B) เป็นไปได้ไหมที่คน 28 คนเขียนการทดสอบสองครั้งและ S=11?

ถาม) จำนวนนักเรียนสูงสุดที่สามารถเขียนแบบทดสอบสองครั้งได้หาก S=11 คือเท่าใด

บนกระดานมีตัวเลขธรรมชาติที่แตกต่างกัน 100 ตัว ซึ่งผลรวมคือ 5130

A) เป็นไปได้ไหมที่หมายเลข 240 เขียนไว้บนกระดาน?

ถาม) จำนวนทวีคูณที่น้อยที่สุดของ 16 ที่สามารถอยู่บนกระดานคือเท่าใด

บนกระดานมีตัวเลขธรรมชาติที่แตกต่างกัน 30 ตัว ซึ่งแต่ละตัวเป็นเลขคู่หรือเลขทศนิยมลงท้ายด้วยเลข 7 ผลรวมของตัวเลขที่เขียนคือ 810

A) บนกระดานมีเลขคู่ 24 ตัวได้ไหม?

B) ตัวเลขสองตัวบนกระดานสามารถลงท้ายด้วย 7 ได้หรือไม่?

ถาม) จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่ลงท้ายด้วย 7 ที่สามารถอยู่บนกระดานได้คือเท่าใด?

นักเรียน 32 คนแต่ละคนเขียนแบบทดสอบหนึ่งในสองแบบหรือเขียนทั้งสองแบบทดสอบ สำหรับงานแต่ละชิ้นคุณจะได้รับคะแนนเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 20 สำหรับการทดสอบทั้งสองแบบแยกกัน เกรดเฉลี่ยอายุ 14 ปี จากนั้นนักเรียนแต่ละคนตั้งชื่อคะแนนสูงสุดของตนเอง (หากนักเรียนเขียนบทความหนึ่งเรื่อง เขาจะตั้งชื่อคะแนนนั้น) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดที่ระบุชื่อมีค่าเท่ากับ S

ก) ยกตัวอย่างเมื่อ S< 14

B) ค่าของ S เท่ากับ 17 ได้ไหม?

C) ค่าที่น้อยที่สุดที่ S สามารถรับได้คือข้อใดหากข้อสอบทั้งสองข้อเขียนโดยนักเรียน 12 คน

19) บนกระดานมีตัวเลข 30 ตัวเขียนอยู่ แต่ละตัวเป็นเลขคู่หรือเลขทศนิยมที่ลงท้ายด้วย 3 ผลรวมคือ 793

A) สามารถมีเลขคู่ได้ 23 ตัวบนกระดานหรือไม่
b) ตัวเลขเดียวเท่านั้นที่ลงท้ายด้วย 3 ได้
c) จำนวนที่น้อยที่สุดของตัวเลขเหล่านี้ที่สามารถลงท้ายด้วย 3 ได้คือเท่าไร?

บนกระดานเขียนจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันหลายจำนวน ผลคูณของสองตัวใด ๆ ที่มากกว่า 40 และน้อยกว่า 100

A) บนกระดานสามารถมีตัวเลข 5 ตัวได้หรือไม่?

B) บนกระดานสามารถมีตัวเลข 6 ตัวได้หรือไม่?

ถาม) ผลรวมของตัวเลขบนกระดานจะมีค่ามากที่สุดเท่าใดถ้ามีสี่ตัว?

ตัวเลขที่กำหนด: 1, 2, 3, ..., 99, 100 เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งตัวเลขเหล่านี้ออกเป็นสามกลุ่มเพื่อ

A) ในแต่ละกลุ่มผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3
b) ในแต่ละกลุ่มผลรวมของตัวเลขหารด้วย 10
c) ผลรวมของตัวเลขในกลุ่มหนึ่งหารด้วย 102 ผลรวมของตัวเลขในอีกกลุ่มหารด้วย 203 และผลรวมของตัวเลขในกลุ่มที่สามหารด้วย 304?

ก) ค้นหาจำนวนธรรมชาติ n โดยที่ผลรวม 1+2+3+...+n เท่ากับตัวเลขสามหลัก ซึ่งทุกหลักจะเหมือนกัน

B) ผลรวมของตัวเลขสี่ตัวที่ประกอบเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 1 และผลรวมของกำลังสามของตัวเลขเหล่านี้คือ 0.1 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

A) ตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 สามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มโดยมีผลคูณเดียวกันของตัวเลขในกลุ่มเหล่านี้ได้หรือไม่?

B) ตัวเลข 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 สามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มโดยมีผลคูณของตัวเลขในกลุ่มเหล่านี้ได้หรือไม่?

ค) จำนวนเลขน้อยที่สุดที่ต้องตัดออกจากเซต 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 คือจำนวนเท่าใดจึงจะแบ่งเลขที่เหลือออกเป็นสองกลุ่มโดย ผลคูณเดียวกันของตัวเลขในกลุ่มเหล่านี้? ยกตัวอย่างการแบ่งดังกล่าวออกเป็นกลุ่ม

ให้ตารางหมากรุกขนาด 6x6

A) สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้สามารถตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมตาหมากรุกที่แตกต่างกันสิบคู่ในทิศทางคู่ได้หรือไม่
B) สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้สามารถตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมตาหมากรุกที่แตกต่างกันสิบเอ็ดคู่ได้หรือไม่
B) รูปสี่เหลี่ยมตารางหมากรุกที่แตกต่างกันในทิศทางคู่จำนวนมากที่สุดที่สามารถตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ได้คือเท่าใด

แต่ละเซลล์ของตาราง 3 x 3 มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 (รูปที่) ในการเคลื่อนไหวครั้งเดียว คุณสามารถไปถึงตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกัน (เซลล์
มีด้านร่วม) บวกจำนวนเต็มเดียวกัน

A) เป็นไปได้ไหมที่จะได้ตารางด้วยวิธีนี้ในทุกเซลล์ซึ่งจะมีตัวเลขเท่ากัน?

B) เป็นไปได้ไหมที่จะได้ตารางในลักษณะนี้ซึ่งประกอบด้วยหนึ่งหนึ่ง (ตรงกลาง) และศูนย์แปดตัว?

C) หลังจากการเคลื่อนไหวหลายครั้ง ตารางจะมีเลขศูนย์แปดตัวและตัวเลข N บางตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ ค้นหา N ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

A) แต่ละจุดบนเครื่องบินจะมีสีใดสีหนึ่งจากสองสี จำเป็นต้องมีจุดสองจุดที่มีสีเดียวกันบนเครื่องบินซึ่งอยู่ห่างจากกัน 1 เมตรพอดีหรือไม่?

B) แต่ละจุดบนเส้นจะมีสีหนึ่งใน 10 สี จำเป็นต้องมีจุดสองจุดที่มีสีเดียวกันบนเส้นตรงโดยแยกจากกันด้วยจำนวนเต็มเมตรหรือไม่?

B) หมายเลขใดๆ สามารถสร้างหมายเลข 27593118 ได้หรือไม่ จำนวนมากที่สุดจุดยอดของลูกบาศก์สามารถระบายสีได้ สีฟ้าดังนั้นในหมู่ ยอดเขาสีน้ำเงินมันเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกสามรูปแบบนั้น สามเหลี่ยมด้านเท่า?

เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนธรรมชาติห้าหลัก N นั้นหารด้วย 12 ลงตัว และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 12 ลงตัว

A) ตัวเลขทั้งห้าหลักใน N สามารถแตกต่างกันได้หรือไม่?
B) ค้นหาจำนวน N ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
B) ค้นหาจำนวน N ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้
D) จำนวนหลักที่เหมือนกันมากที่สุดที่สามารถบรรจุไว้ในหมายเลข N คือเท่าใด มีตัวเลข N จำนวนเท่าใด (ซึ่งมีจำนวนหลักที่เหมือนกันมากที่สุดในรูปแบบ)

มีไม้ 5 อัน ความยาว 2, 3, 4, 5, 6.

A) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้แท่งไม้ทั้งหมด?

B) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้แท่งไม้ทั้งหมด?

ข) อันไหน พื้นที่ที่เล็กที่สุดคุณสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้ไม้ทั้งหมดได้ไหม (คุณไม่สามารถหักไม้ได้)

จำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันสามจำนวนคือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมป้านบางรูป

A) อัตราส่วนของจำนวนที่มากกว่าของจำนวนเหล่านี้ต่อจำนวนที่น้อยกว่าจะเท่ากับ 3/2 ได้หรือไม่?

B) อัตราส่วนระหว่างจำนวนที่มากกว่ากับจำนวนที่น้อยกว่าจะเท่ากับ 5/4 ได้หรือไม่?

C) ค่าที่น้อยที่สุดที่อัตราส่วนของจำนวนที่ใหญ่ที่สุดต่อจำนวนที่น้อยกว่าสามารถทำได้คือเท่าใด หากทราบว่าจำนวนเฉลี่ยคือ 18

ลำดับไฟไนต์ a1,a2,...,a_(n) ประกอบด้วย n มากกว่าหรือเท่ากับ 3 โดยไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกัน และสำหรับ k ธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n-2 ความเท่าเทียมกัน a_(k+2 ) = 2a_(k +1)-a_(k)-1

A) จงยกตัวอย่างลำดับสำหรับ n = 5 โดยที่ a_(5) = 4

B) จำนวนธรรมชาติสามารถเกิดขึ้นได้สามครั้งในลำดับนี้หรือไม่?

C) สำหรับลำดับ n ที่ใหญ่ที่สุดใดที่สามารถประกอบด้วยตัวเลขสามหลักเท่านั้น?

จำนวนเต็ม x, y และ z ตามลำดับนั้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

A) ตัวเลข x+3, y^2 และ z+5 สามารถสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับนั้นได้หรือไม่?

B) ตัวเลข 5x, y และ 3z สามารถสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับนั้นได้หรือไม่?

B) ค้นหา x, y และ z ทั้งหมดจนตัวเลข 5x+3, y^2 และ 3z+5 ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับนั้น

มีตัวเลขธรรมชาติสองตัวเขียนอยู่บนกระดาน: 672 และ 560 ในการเคลื่อนไหวครั้งเดียว คุณสามารถแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยค่าสัมบูรณ์ของผลต่างหรือลดลงครึ่งหนึ่ง (หากตัวเลขเป็นเลขคู่)

A) สามารถมีตัวเลขที่เหมือนกันสองตัวบนกระดานหลังจากขยับไม่กี่ครั้งได้หรือไม่?

B) หมายเลข 2 สามารถปรากฏบนกระดานได้ในไม่กี่การเคลื่อนไหวหรือไม่?

C) ค้นหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่สามารถปรากฏบนกระดานอันเป็นผลมาจากการเคลื่อนไหวดังกล่าว

หมากรุกสามารถชนะ แพ้ หรือเสมอได้ ผู้เล่นหมากรุกเขียนผลลัพธ์ของแต่ละเกมที่เขาเล่นและหลังจากแต่ละเกมเขาจะคำนวณตัวบ่งชี้สามตัว: "ชนะ" - เปอร์เซ็นต์ของชัยชนะปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด "เสมอ" - เปอร์เซ็นต์ของการจับฉลากปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด และ “แพ้” เท่ากับผลต่าง 100 และผลรวมของตัวบ่งชี้ “ชนะ” " และ "เสมอ" (เช่น 13.2 ปัดเศษเป็น 13, 14.5 ปัดเศษเป็น 15, 16.8 ปัดเศษเป็น 17)
a) อัตราการชนะจะเป็น 17 ได้หรือไม่หากเล่นน้อยกว่า 50 เกม?
b) อัตรา "ความพ่ายแพ้" จะเพิ่มขึ้นหลังจากเกมที่ชนะได้หรือไม่?
c) หนึ่งในเกมแพ้ จำนวนเกมที่เล่นน้อยที่สุดคือเท่าใด ตัวบ่งชี้ “ความพ่ายแพ้” อาจเท่ากับ 1 ได้

ให้ q เป็นตัวคูณร่วมน้อย และ d เป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติ x และ y เป็นไปตามค่าที่เท่ากัน 3x=8y–29

กองร้อยมีสองหมวด หมวดแรกมีทหารน้อยกว่าหมวดที่สอง แต่มีมากกว่า 50 นาย และมีทหารรวมกันน้อยกว่า 120 นาย ผู้บังคับบัญชารู้ดีว่ากองร้อยสามารถเรียงคนได้หลายคนติดต่อกันเพื่อที่ แต่ละแถวมีจำนวนทหารเท่ากัน มากกว่า 7 นาย และจะไม่มีทหารจากสองหมวดที่แตกต่างกันในแถวใดเลย

A) หมวดแรกมีทหารกี่คน และหมวดที่สองมีทหารกี่คน? ให้อย่างน้อยหนึ่งตัวอย่าง

B) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างกองร้อยโดยใช้วิธีการที่ระบุ โดยมีทหาร 11 นายในแถวเดียว?

ถาม) บริษัทหนึ่งมีทหารได้กี่คน?

ให้ q เป็นตัวคูณร่วมน้อย และ d เป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติ x และ y เป็นไปตามค่าที่เท่ากัน 3x=8y-29

A) q/d เท่ากับ 170 ได้ไหม?

B) q/d เท่ากับ 2 ได้ไหม?

B) ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของ q/d

ตรวจสอบว่าสองลำดับมีคำศัพท์ที่เหมือนกันหรือไม่

ก) 3; 16; 29; 42;... และ 2; 19; 36; 53;...

ข) 5; 16; 27; 38;... และ 8; 19; 30; 41;...

B) จงหาจำนวนพจน์ทั่วไปที่มากที่สุดที่การก้าวหน้าเลขคณิต 1 สองครั้งสามารถมีได้ - 1,000 และ 9; - 999 หากทราบว่าสำหรับแต่ละรายการ ผลต่างจะเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 1

A) หมายเลข 2016 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 7 จำนวนติดต่อกันได้หรือไม่?

A) ตัวเลขปี 2016 สามารถแสดงเป็นผลรวมของตัวเลขธรรมชาติ 6 ตัวติดต่อกันได้หรือไม่?

B) แทนตัวเลขปี 2016 เป็นผลรวมของจำนวนที่มากที่สุดของจำนวนธรรมชาติคู่ติดต่อกัน

เราเรียกชุดตัวเลขว่าดีหากสามารถแบ่งออกเป็นชุดย่อยสองชุดโดยมีผลรวมของตัวเลขเท่ากัน

A) เซต (200;201;202;...;299) ดีไหม?

B) เซต (2;4;8;...;2^(100)) ดีไหม?

C) เซตย่อยสี่องค์ประกอบที่ดีมีกี่เซต (1;2;4;5;7;9;11)?

การสำรวจพบว่าประมาณ 58% ของผู้ตอบแบบสอบถามชอบต้นคริสต์มาสเทียมมากกว่าต้นคริสต์มาสธรรมชาติ (จำนวน 58 ได้มาจากการปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด) จากการสำรวจเดียวกัน พบว่าประมาณ 42% ของผู้ตอบแบบสอบถามไม่เคยสังเกตเลย ปีใหม่ไม่ได้อยู่ที่บ้าน

A) สามารถเข้าร่วมการสำรวจได้ 40 คนใช่หรือไม่?
b) มีคน 48 คนเข้าร่วมการสำรวจได้หรือไม่?
c) จำนวนคนที่น้อยที่สุดที่สามารถเข้าร่วมการสำรวจครั้งนี้คือเท่าใด?

Vanya กำลังเล่นเกม ในตอนต้นของเกม จะมีการเขียนตัวเลขธรรมชาติสองตัวที่แตกต่างกันตั้งแต่ 1 ถึง 9999 ไว้บนกระดาน ในเทิร์นหนึ่งของเกม Vanya ต้องแก้โจทย์ สมการกำลังสอง x^2-px+q=0 โดยที่ p และ q เป็นตัวเลขสองตัว เรียงตามลำดับที่ Vanya เลือก ซึ่งเขียนไว้บนกระดานตอนเริ่มต้นการเคลื่อนไหวนี้ และหากสมการนี้มีรากธรรมชาติที่แตกต่างกันสองตัว ให้แทนที่ ตัวเลขสองตัวบนกระดานที่มีรากเหล่านี้ หากสมการนี้ไม่มีรากตามธรรมชาติที่แตกต่างกัน Vanya จะไม่สามารถเคลื่อนไหวได้และเกมจะจบลง

A) มีสองตัวเลขที่ Vanya สามารถเคลื่อนไหวได้อย่างน้อยสองครั้งเมื่อเริ่มเล่นหรือไม่?
b) มีสองตัวเลขที่ Vanya สามารถเคลื่อนไหวได้สิบครั้งเมื่อเริ่มเล่นหรือไม่?
c) Vanya สามารถเคลื่อนไหวได้สูงสุดจำนวนเท่าใดภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้?

บนกระดานเขียนตัวเลขธรรมชาติ 30 ตัว (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 14 แต่ไม่เกิน 54 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่เขียนคือ 18 แทนที่จะเขียนตัวเลขแต่ละตัว กลับเขียนตัวเลขไว้บนกระดาน กระดานที่เป็นครึ่งหนึ่งของต้นฉบับ ตัวเลขที่ต่อมากลายเป็นน้อยกว่า 8 จะถูกลบออกจากกระดาน

เราจะเรียกตัวเลขสี่หลักว่าโชคดีมากหากตัวเลขทั้งหมดในเครื่องหมายทศนิยมต่างกัน และผลรวมของสองหลักแรกนี้จะเท่ากับผลรวมของสองหลักสุดท้าย เช่น 3140 ถือเป็นเลขนำโชคมาก
ก) มีตัวเลขสี่หลักสิบตัวติดต่อกัน โดยสองตัวนั้นโชคดีมากหรือไม่?
b) ความแตกต่างระหว่างตัวเลขสี่หลักที่โชคดีมากสองตัวจะเท่ากับปี 2015 ได้หรือไม่?
c) ค้นหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งไม่สามารถคูณจำนวนสี่หลักที่โชคดีได้

นักเรียนจากโรงเรียนแห่งหนึ่งสอบข้อเขียน นักเรียนสามารถรับคะแนนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสำหรับการทดสอบนี้ นักเรียนจะถือว่าผ่านการทดสอบหากเขาได้คะแนนอย่างน้อย 50 คะแนน เพื่อปรับปรุงผลลัพธ์ ผู้เข้าร่วมการทดสอบแต่ละคนจะได้รับ 5 คะแนน ดังนั้นจำนวนผู้ผ่านการทดสอบจึงเพิ่มขึ้น

A) คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ไม่ผ่านการทดสอบจะลดลงหลังจากนี้หรือไม่?

B) คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ไม่เข้าสอบจะลดลงหลังจากนี้ และในขณะเดียวกัน คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ผ่านการทดสอบก็ลดลงด้วยหรือไม่

ค) ให้คะแนนเฉลี่ยเบื้องต้นของผู้เข้าร่วมที่ผ่านการทดสอบคือ 60 คะแนน ผู้ที่สอบไม่ผ่านคือ 40 คะแนน และคะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมทั้งหมดคือ 50 คะแนน หลังจากเพิ่มคะแนนแล้วคะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ผ่านการทดสอบจะกลายเป็น 63 คะแนนและผู้ที่ไม่ผ่านการทดสอบ - 43 ผู้เข้าร่วมจำนวนน้อยที่สุดในสถานการณ์นี้เป็นไปได้คือเท่าใด

เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนธรรมชาติสามจำนวนที่แตกต่างกันคือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมป้านบางอัน

A) อัตราส่วนระหว่างตัวเลขที่มากกว่ากับตัวเลขที่น้อยกว่าจะเท่ากับ 13/7 ได้หรือไม่?

B) อัตราส่วนระหว่างจำนวนที่มากกว่ากับจำนวนที่น้อยกว่าจะเท่ากับ 8/7 ได้หรือไม่?

C) ค่าที่น้อยที่สุดที่อัตราส่วนของจำนวนที่ใหญ่ที่สุดต่อจำนวนที่น้อยกว่าสามารถทำได้คือเท่าใด หากทราบว่าค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้คือ 25

เด็กชายและเด็กหญิงเข้าร่วมการแข่งขันหมากรุก สำหรับชัยชนะในเกมหมากรุก จะได้รับ 1 แต้ม, เสมอ - 0.5 แต้ม, แพ้ - 0 แต้ม ตามกฎของทัวร์นาเมนต์ ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะเล่นกันคนละสองครั้ง

A) จำนวนคะแนนสูงสุดที่เด็กผู้หญิงจะทำได้ทั้งหมดคือเท่าใดหากเด็กชายห้าคนและเด็กผู้หญิงสามคนเข้าร่วมในทัวร์นาเมนต์?

B) ผลรวมของคะแนนที่ผู้เข้าร่วมทั้งหมดทำได้ถ้ามีผู้เข้าร่วมทั้งหมดเก้าคนจะเป็นเท่าใด?

ถาม) มีเด็กผู้หญิงกี่คนที่สามารถเข้าร่วมทัวร์นาเมนต์นี้ได้ หากรู้ว่ามีน้อยกว่าเด็กผู้ชายถึง 9 เท่า และเด็กผู้ชายทำคะแนนได้มากกว่าเด็กผู้หญิงถึงสี่เท่าพอดี

ให้ คือการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (โดยมีผลต่างที่ไม่ใช่ศูนย์) ที่ประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติซึ่งเครื่องหมายทศนิยมไม่มีเลข 9

A) ความก้าวหน้าดังกล่าวมี 10 เงื่อนไขได้หรือไม่?
b) พิสูจน์ว่าจำนวนสมาชิกน้อยกว่า 100
c) พิสูจน์ว่าจำนวนเงื่อนไขของความก้าวหน้าดังกล่าวไม่เกิน 72
ง) ยกตัวอย่างความก้าวหน้าดังกล่าวด้วยคำศัพท์ 72 ข้อ

ดินสอสีแดงราคา 18 รูเบิล ดินสอสีน้ำเงินราคา 14 รูเบิล คุณต้องซื้อดินสอโดยมีเพียง 499 รูเบิลและสังเกต เงื่อนไขเพิ่มเติม: จำนวนดินสอสีน้ำเงินไม่ควรแตกต่างจากจำนวนดินสอสีแดงเกินหกอัน

A) เป็นไปได้ไหมที่จะซื้อดินสอ 30 แท่ง?

B) เป็นไปได้ไหมที่จะซื้อดินสอ 33 แท่ง?

ถาม) ดินสอจำนวนมากที่สุดที่คุณสามารถซื้อได้คือเท่าไร?

เป็นที่ทราบกันว่า a, b, c และ d เป็นตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันแบบคู่
ก) สามารถบรรลุความเท่าเทียมกัน (a+c)/(b+d)=7/19 ได้หรือไม่?
b) เศษส่วน (a+c)/(b+d) สามารถน้อยกว่าผลรวม (a/c)+(b/d) ได้ถึง 11 เท่าได้หรือไม่
c) ค่าที่น้อยที่สุดที่เศษส่วน (a+c)/(b+d) สามารถรับได้คือเท่าใด ถ้า a>3b และ c>6d

เป็นที่ทราบกันว่า a, b, c และ d เป็นตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันแบบคู่

A) สามารถหาความเท่าเทียมกัน (3a+2c)/(b+d) = 12/19 ได้หรือไม่?

B) เศษส่วน (3a+2c)/(b+d) สามารถน้อยกว่าผลรวม 3a/b + 2c/d ได้ถึง 11 เท่าได้หรือไม่

C) ค่าที่น้อยที่สุดที่เศษส่วน (3a+2c)/(b+d) สามารถรับได้คือเท่าใด หาก a>3b และ c>2d?

จำนวนธรรมชาติ a, b, c และ d เป็นไปตามเงื่อนไข a>b>c>d

A) จงหาตัวเลข a, b, c และ d ถ้า a+b+c+d=15 และ a2−b2+c2−d2=19

B) จะมี a+b+c+d=23 และ a2−b2+c2−d2=23 ได้ไหม?

C) ให้ a+b+c+d=1200 และ a2−b2+c2−d2=1200 ค้นหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวเลข a

นักเรียนจากโรงเรียนแห่งหนึ่งกำลังเขียนแบบทดสอบ ผลลัพธ์ของนักเรียนแต่ละคนคือคะแนนจำนวนเต็มไม่เป็นลบ นักเรียนจะถือว่าผ่านการทดสอบหากเขาได้คะแนนอย่างน้อย 85 คะแนน เนื่องจากความจริงที่ว่างานยากเกินไป จึงตัดสินใจเพิ่ม 7 คะแนนให้กับผู้เข้าร่วมการทดสอบทั้งหมด เนื่องจากจำนวนผู้ที่ผ่านการทดสอบเพิ่มขึ้น
ก) เป็นไปได้ไหมว่าหลังจากนี้คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ไม่ผ่านการทดสอบลดลง?
b) เป็นไปได้ไหมว่าหลังจากนี้ คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ผ่านการทดสอบลดลง และคะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ไม่ผ่านการทดสอบก็ลดลงด้วย?
c) เป็นที่ทราบกันดีว่าในตอนแรกคะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมการทดสอบคือ 85 คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ไม่ผ่านการทดสอบคือ 70 หลังจากเพิ่มคะแนนแล้ว คะแนนเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมที่ผ่านการทดสอบจะกลายเป็น 100 และ ผู้ที่ไม่ผ่านการทดสอบ - 72. สถานการณ์นี้เป็นไปได้หรือไม่?

เราเรียกตัวเลขสามตัวว่าเป็นสามเท่าที่ดี ถ้าพวกมันสามารถเป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้
เราเรียกตัวเลขสามตัวว่าเลขสามตัวเยี่ยม หากเป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้
ก) ให้จำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกัน 8 จำนวน เป็นไปได้ไหม? ในหมู่พวกเขามีสามคนที่ดีสักสามคนไม่ใช่หรือ?
b) ให้จำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกัน 4 จำนวน เป็นไปได้ไหมว่าในหมู่พวกเขาคุณจะพบแฝดสามที่ยอดเยี่ยม?
c) ให้ตัวเลขที่แตกต่างกัน 12 ตัว (ไม่จำเป็นต้องเป็นธรรมชาติ) แฝดสามที่ยอดเยี่ยมที่สุดที่สามารถอยู่ในหมู่พวกเขาได้คือจำนวนเท่าใด?

ถังที่เหมือนกันหลายถังบรรจุน้ำได้จำนวนหนึ่ง (ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน) คุณสามารถถ่ายโอนน้ำจำนวนเท่าใดก็ได้จากถังหนึ่งไปอีกถังหนึ่งได้ในคราวเดียว
ก) ให้มีสี่ถังบรรจุ 29, 32, 40, 91 ลิตร เป็นไปได้หรือไม่ที่จะปรับปริมาณน้ำในถังให้เท่ากันโดยถ่ายเทไม่เกินสี่ครั้ง?
b) เส้นทางมีเจ็ดถัง เป็นไปได้หรือไม่ที่จะปรับปริมาณน้ำในถังทั้งหมดให้เท่ากันโดยถ่ายเทไม่เกิน 5 ครั้ง?
ค) จำนวนการถ่ายเลือดน้อยที่สุดที่คุณสามารถรู้ได้เพื่อทำให้ปริมาณน้ำ 26 บาร์เรลเท่ากันคือเท่าไร?

บนกระดานมีตัวเลขธรรมชาติ 30 ตัว (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 4 แต่ไม่เกิน 44 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่เขียนคือ 11 แทนที่จะเขียนตัวเลขแต่ละตัว กลับเขียนตัวเลขแทน บนกระดานที่มีจำนวนครึ่งหนึ่งของตัวเลขเดิม ตัวเลขที่น้อยกว่า 3 ถูกลบออกจากกระดาน
ก) ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่เหลืออยู่บนกระดานมากกว่า 16 หรือไม่?
b) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่เหลืออยู่บนกระดานสามารถมากกว่า 14 แต่น้อยกว่า 15 ได้หรือไม่?
c) ค้นหาค่าที่เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุดของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่เหลืออยู่บนกระดาน

ในงานหนึ่งของการแข่งขันทางบัญชีจำเป็นต้องออกโบนัสให้กับพนักงานของแผนกหนึ่งเป็นจำนวน 800,000 รูเบิล (จำนวนโบนัสสำหรับพนักงานแต่ละคนคือจำนวนเต็มทวีคูณของ 1,000) นักบัญชีได้รับการแจกจ่ายโบนัสและเขาจะต้องแจกโบนัสโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงหรือแลกเปลี่ยนโดยมีตั๋วเงิน 25 ใบ 1,000 รูเบิลและ 110 ใบ 5,000 รูเบิล
ก) จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำงานให้สำเร็จหากมีพนักงานในแผนก 40 คนและทุกคนควรได้รับจำนวนเท่ากัน?
b) เป็นไปได้ไหมที่จะทำงานให้สำเร็จหากผู้เชี่ยวชาญชั้นนำต้องได้รับ 80,000 รูเบิล และส่วนที่เหลือแบ่งเท่าๆ กันระหว่างพนักงาน 80 คน
c) พนักงานจำนวนมากที่สุดในแผนกที่จะช่วยให้งานเสร็จสิ้นสำหรับการแจกจ่ายจำนวนโบนัสคือเท่าไร?

ตัวเลข 2045 และตัวเลขธรรมชาติอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง (อย่างน้อยสองตัว) ที่ไม่เกิน 5,000 เขียนไว้บนกระดาน ตัวเลขทั้งหมดที่เขียนบนกระดานแตกต่างกัน ผลรวมของตัวเลขสองตัวใดๆ ที่เขียนไว้จะถูกหารด้วยตัวอื่นๆ
ก) สามารถเขียนตัวเลข 1,024 ตัวบนกระดานได้หรือไม่?
b) สามารถเขียนตัวเลขห้าตัวบนกระดานได้หรือไม่?
c) จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนบนกระดานได้คือเท่าไร?

ตัวเลขธรรมชาติสองหลักที่ไม่จำเป็นต้องต่างกันหลายตัวโดยไม่มีเลขศูนย์ในรูปแบบทศนิยมถูกเขียนไว้บนกระดาน ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับ 2970 ในแต่ละหมายเลขมีการสลับหลักตัวแรกและตัวที่สอง (เช่น หมายเลข 16 ถูกแทนที่ด้วย 61)
ก) จงยกตัวอย่างจำนวนเดิมที่ผลรวมของตัวเลขผลลัพธ์น้อยกว่าผลรวมของตัวเลขเดิม 3 เท่าพอดี
b) ผลรวมของตัวเลขผลลัพธ์จะน้อยกว่าผลรวมของตัวเลขเดิม 5 เท่าได้หรือไม่?
c) ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของตัวเลขผลลัพธ์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อันจำกัดที่เพิ่มขึ้นประกอบด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบหลายตัว นักคณิตศาสตร์คำนวณความแตกต่างระหว่างกำลังสองของผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าและผลรวมของกำลังสอง จากนั้นนักคณิตศาสตร์ก็บวกเทอมถัดไปเข้ากับความก้าวหน้านี้ และคำนวณผลต่างเดิมอีกครั้ง
A) ให้ยกตัวอย่างความก้าวหน้าดังกล่าว หากครั้งที่สองมีความแตกต่างมากกว่าครั้งแรกถึง 48 เท่า
B) ครั้งที่สองความแตกต่างคือ 1,440 มากกว่าครั้งแรก ความก้าวหน้าในตอนแรกประกอบด้วยสมาชิก 12 คนได้หรือไม่?
C) ครั้งที่สองความแตกต่างคือ 1,440 มากกว่าครั้งแรก จำนวนสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในความก้าวหน้าในตอนแรกคือเท่าใด?

ตัวเลขตั้งแต่ 9 ถึง 18 จะถูกเขียนหนึ่งครั้งในวงกลมตามลำดับ สำหรับคู่จำนวนสิบคู่ที่อยู่ติดกัน จะพบตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
ก) เป็นไปได้ไหมที่ตัวหารร่วมมากทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1? ก) เซต -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4 เขียนไว้บนกระดาน
b) สำหรับตัวเลขที่แตกต่างกันในชุดที่เขียนไว้บนกระดาน เลข 0 จะปรากฏ 2 ครั้งพอดี
จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่สามารถคิดได้คือเท่าใด?
c) สำหรับตัวเลขที่วางแผนไว้บางชุด จะมีการเขียนชุดไว้บนกระดาน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะระบุตัวเลขที่ต้องการจากชุดนี้อย่างไม่คลุมเครือ?

มีการสร้างจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ตัวเลขเหล่านี้และผลรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (2, 3 ฯลฯ) เขียนไว้บนกระดานตามลำดับแบบไม่ลดลง หากตัวเลข n ตัวหนึ่งเขียนบนกระดานซ้ำหลายครั้ง ก็จะเหลือตัวเลข n ตัวหนึ่งไว้บนกระดาน และตัวเลขที่เหลือเท่ากับ n จะถูกลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น หากตัวเลขคือ 1, 3, 3, 4 เซต 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 จะถูกเขียนไว้บนกระดาน
ก) ให้ยกตัวอย่างตัวเลขตามแผนที่จะเขียนชุด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ไว้บนกระดาน
b) มีตัวอย่างของตัวเลขที่คิดขึ้นหรือไม่ โดยจะเขียนเซต 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 บน กระดาน?
c) ให้ตัวอย่างทั้งหมดของตัวเลขที่คิดซึ่งชุด 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41 จะถูกเขียนไว้บนกระดาน

มีบล็อกหิน: 50 ชิ้น ชิ้นละ 800 กก., 60 ชิ้น ชิ้นละ 1,000 กก. และ 60 ชิ้น ชิ้นละ 1,500 กก. (ไม่สามารถแยกบล็อกได้)
ก) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะขนส่งบล็อกเหล่านี้ทั้งหมดพร้อมกันบนรถบรรทุก 60 คัน โดยแต่ละบล็อกสามารถรับน้ำหนักได้ 5 ตัน โดยสมมติว่าบล็อกที่เลือกจะพอดีกับรถบรรทุก
b) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะขนส่งบล็อกเหล่านี้ทั้งหมดพร้อมกันบนรถบรรทุก 38 คัน โดยแต่ละบล็อกสามารถรับน้ำหนักได้ 5 ตัน โดยสมมติว่าบล็อกที่เลือกจะพอดีกับรถบรรทุก
c) จำนวนรถบรรทุกที่น้อยที่สุด ซึ่งแต่ละคันสามารถรองรับน้ำหนักได้ 5 ตัน จะต้องเป็นจำนวนเท่าใดในการถอดบล็อกเหล่านี้ทั้งหมดออกพร้อมๆ กัน โดยสมมติว่าบล็อกที่เลือกจะพอดีกับรถบรรทุก

เมื่อพิจารณาจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันซึ่งประกอบกันเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (n มากกว่าหรือเท่ากับ 3)

A) ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดนี้สามารถเท่ากับ 18 ได้หรือไม่?

B) ค่า n ที่ใหญ่ที่สุดคือเท่าใด หากผลรวมของตัวเลขที่กำหนดทั้งหมดน้อยกว่า 800?

B) ค้นหาทุกสิ่ง ค่าที่เป็นไปได้ n ถ้าผลรวมของตัวเลขที่ให้ทั้งหมดคือ 111?

มีการสร้างจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ตัวเลขเหล่านี้และผลรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (2, 3 ฯลฯ) เขียนไว้บนกระดานตามลำดับแบบไม่ลดลง หากตัวเลข n ตัวหนึ่งเขียนบนกระดานซ้ำหลายครั้ง ก็จะเหลือตัวเลข n ตัวหนึ่งไว้บนกระดาน และตัวเลขที่เหลือเท่ากับ n จะถูกลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น หากตัวเลขคือ 1, 3, 3, 4 เซต 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 จะถูกเขียนไว้บนกระดาน

A) ให้ยกตัวอย่างตัวเลขที่วางแผนไว้ซึ่งจะเขียนชุด 2, 4, 6, 8, 10 บนกระดาน

ไพ่ถูกพลิกและสับ ด้านที่ว่างให้เขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งอีกครั้ง:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
หลังจากนั้น ตัวเลขบนไพ่แต่ละใบจะถูกบวก และผลรวมแปดผลลัพธ์จะถูกคูณ

A) ผลลัพธ์อาจเป็น 0 ได้หรือไม่?

B) ผลลัพธ์อาจเป็น 117 ได้หรือไม่?

ถาม) จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบที่เล็กที่สุดที่สามารถให้ผลลัพธ์ได้คือข้อใด

มีการสร้างจำนวนเต็มหลายจำนวน ชุดของตัวเลขเหล่านี้และผลรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (2, 3 ฯลฯ) จะถูกเขียนไว้บนกระดานตามลำดับแบบไม่ลดลง ตัวอย่างเช่น หากตัวเลขคือ 2, 3, 5 เซต 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 จะถูกเขียนไว้บนกระดาน

A) ชุดของ -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6 เขียนไว้บนกระดาน
b) สำหรับตัวเลขที่แตกต่างกันในชุดที่เขียนไว้บนกระดาน เลข 0 จะปรากฏ 4 ครั้งพอดี จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่สามารถคิดได้คือเท่าใด? ก) บนกระดานเขียนตัวเลขจำนวนเท่าใด?
b) ตัวเลขใดที่เขียนได้มากกว่า: บวกหรือลบ?
c) จำนวนบวกที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในจำนวนนี้คือเท่าใด?

การสอบ Unified State ในระดับโปรไฟล์ทางคณิตศาสตร์

งานประกอบด้วย 19 งาน
ส่วนที่ 1:
8 ภารกิจคำตอบสั้น ๆ ระดับความยากพื้นฐาน
ส่วนที่ 2:
4 งานตอบสั้น ๆ
7 งานพร้อมคำตอบโดยละเอียดของความยากระดับสูง

ระยะเวลาดำเนินการ - 3 ชั่วโมง 55 นาที

ตัวอย่างงานการสอบ Unified State

แก้งานสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ค่าไฟฟ้า 1 กิโลวัตต์ชั่วโมง 1 รูเบิล 80 โกเปค
มิเตอร์ไฟฟ้าแสดงค่าไฟฟ้าได้ 12,625 กิโลวัตต์-ชั่วโมง ในวันที่ 1 พฤศจิกายน และ 12,802 กิโลวัตต์-ชั่วโมง ในวันที่ 1 ธันวาคม
เดือนพฤศจิกายนจ่ายค่าไฟเท่าไหร่?
ให้คำตอบเป็นรูเบิล

ที่สำนักงานแลกเปลี่ยน 1 Hryvnia ราคา 3 รูเบิล 70 kopecks
ผู้พักร้อนแลกเปลี่ยนรูเบิลกับฮรีฟเนียและซื้อมะเขือเทศ 3 กิโลกรัมในราคา 4 ฮรีฟเนียต่อ 1 กิโลกรัม
การซื้อครั้งนี้มีค่าใช้จ่ายกี่รูเบิล? ปัดเศษคำตอบของคุณให้เป็นจำนวนเต็ม

Masha ส่งข้อความ SMS ด้วย คำอวยพรปีใหม่ถึงเพื่อนทั้ง 16 คนของฉัน
ค่าใช้จ่ายของข้อความ SMS หนึ่งข้อความคือ 1 รูเบิล 30 โกเปค ก่อนที่จะส่งข้อความ Masha มีเงิน 30 รูเบิลในบัญชีของเธอ
Masha จะเหลือรูเบิลกี่รูเบิลหลังจากส่งข้อความทั้งหมด?

ทางโรงเรียนมีเต็นท์พักแรมสามคน
เต็นท์จำนวนน้อยที่สุดที่คุณต้องใช้ในการตั้งแคมป์ที่มีคน 20 คนคือเท่าใด

รถไฟโนโวซีบีร์สค์-ครัสโนยาสค์ออกเดินทางเวลา 15:20 น. และมาถึงเวลา 4:20 น. ของวันถัดไป (เวลามอสโก)
รถไฟเดินทางกี่ชั่วโมง?

แก้สมการ:

1/คอส 2 x + 3tgx - 5 = 0

กรุณาระบุต้นตอ.
อยู่ในส่วนนั้น(-p; หน้า/2)

สารละลาย:

1) ลองเขียนสมการดังนี้:

(tg 2 x +1) + 3tgx - 5 = 0

Tg 2 x + 3tgx - 4 = 0

tgx = 1 หรือ tgx = -4

เพราะฉะนั้น:

X = n/4 + nk หรือ x = -arctg4 + nk

ส่วน (-p; p/2)

รากเป็นของ -3p/4, -arctg4, p/4

คำตอบ: -3p/4, -arctg4, p/4

คุณรู้อะไรไหม?

หากคุณคูณอายุของคุณด้วย 7 แล้วคูณด้วย 1443 ผลลัพธ์จะเป็นอายุของคุณเขียนสามครั้งติดต่อกัน

เราคิดว่าจำนวนลบเป็นเรื่องธรรมชาติ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป จำนวนติดลบได้รับการรับรองครั้งแรกในประเทศจีนในศตวรรษที่ 3 แต่ใช้เฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้น เนื่องจากโดยทั่วไปถือว่าไม่มีความหมาย หลังจากนั้นไม่นานอินเดียก็เริ่มใช้ตัวเลขติดลบเพื่อระบุหนี้ แต่ทางตะวันตกพวกเขาไม่ได้หยั่งราก - Diophantus แห่งอเล็กซานเดรียผู้โด่งดังแย้งว่าสมการ 4x+20=0 นั้นไร้สาระ

George Danzig นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ขณะเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของมหาวิทยาลัย ครั้งหนึ่งเคยไปเรียนสายและเข้าใจผิดสมการที่เขียนบนกระดานดำว่า การบ้าน- ดูเหมือนเขาจะยากกว่าปกติ แต่หลังจากนั้นไม่กี่วันเขาก็สามารถทำมันให้สำเร็จได้ ปรากฎว่าเขาได้แก้ไขปัญหาที่ "แก้ไม่ได้" สองปัญหาในสถิติที่นักวิทยาศาสตร์หลายคนต้องเผชิญ

ในวรรณคดีคณิตศาสตร์ของรัสเซีย 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่ในวรรณคดีตะวันตก ตรงกันข้าม มันเป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ

เราใช้อยู่ ระบบทศนิยมตัวเลขเกิดขึ้นเนื่องจากบุคคลนั้นมี 10 นิ้วบนมือ ผู้คนไม่ได้พัฒนาความสามารถในการนับแบบนามธรรมในทันทีและการใช้นิ้วในการนับจะสะดวกที่สุด อารยธรรมมายาและโดยอิสระจากพวกเขา ชุคชีในอดีตใช้ระบบตัวเลขยี่สิบหลัก โดยใช้นิ้วมือไม่เพียงแต่บนมือเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิ้วเท้าด้วย ระบบเลขฐานสองและเลขฐานสิบหกซึ่งพบเห็นได้ทั่วไปในสุเมเรียนและบาบิโลนโบราณก็มีพื้นฐานมาจากการใช้มือเช่นกัน โดยให้นับนิ้วหัวแม่มือของนิ้วมืออีกข้างหนึ่งซึ่งมีจำนวน 12 นิ้ว

เพื่อนผู้หญิงคนหนึ่งขอให้ไอน์สไตน์โทรหาเธอ แต่เตือนว่าหมายเลขโทรศัพท์ของเธอจำยากมาก: - 24-361 คุณจำได้ไหม? ทำซ้ำ! ไอน์สไตน์ตอบด้วยความประหลาดใจว่า “ฉันจำได้!” สองโหล 19 กำลังสอง

Stephen Hawking เป็นหนึ่งในนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีชั้นนำและผู้เผยแพร่วิทยาศาสตร์ ในเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเขาเอง ฮอว์คิงกล่าวว่าเขากลายเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์โดยไม่ได้รับการศึกษาด้านคณิตศาสตร์เลยตั้งแต่นั้นมา โรงเรียนมัธยมปลาย- เมื่อฮอว์คิงเริ่มสอนคณิตศาสตร์ที่อ็อกซ์ฟอร์ด เขาอ่านหนังสือเรียนล่วงหน้าสองสัปดาห์จากนักเรียนของเขาเอง

จำนวนสูงสุดที่สามารถเขียนเป็นเลขโรมันได้โดยไม่ละเมิดกฎของ Shvartsman (กฎสำหรับการเขียนเลขโรมัน) คือ 3999 (MMMCMXCIX) - คุณไม่สามารถเขียนเกินสามหลักในแถวได้

มีคำอุปมามากมายเกี่ยวกับการที่คนหนึ่งชวนอีกคนมาจ่ายค่าบริการบางอย่างดังนี้: ที่จัตุรัสแรก กระดานหมากรุกเขาจะใส่ข้าวหนึ่งเมล็ดในเซลล์ที่สอง - สองและอื่น ๆ : ในแต่ละเซลล์ถัดไปมากกว่าสองเท่าของเซลล์ก่อนหน้า ส่งผลให้ผู้ที่จ่ายเงินด้วยวิธีนี้จะต้องล้มละลายอย่างแน่นอน ไม่น่าแปลกใจ: คาดว่าเป็นเช่นนั้น น้ำหนักรวมข้าวจะมีปริมาณมากกว่า 460 พันล้านตัน

ในหลายแหล่งข้อมูล มักมีจุดประสงค์เพื่อสนับสนุนนักเรียนที่มีผลการเรียนไม่ดี มีข้อความว่าไอน์สไตน์ล้มเหลวคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน หรือยิ่งกว่านั้น โดยทั่วไปแล้วยังเรียนได้แย่มากในทุกวิชา ในความเป็นจริง ทุกอย่างไม่เป็นอย่างนั้น อัลเบิร์ตเริ่มแสดงความสามารถทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่อายุยังน้อย และรู้มากกว่าหลักสูตรของโรงเรียนมาก

การสอบ Unified State 2019 ในงานคณิตศาสตร์ 19 พร้อมเฉลย

สาธิต ตัวเลือกการสอบ Unified State 2019 ในวิชาคณิตศาสตร์

การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ 2019 รูปแบบไฟล์ PDF ระดับพื้นฐาน | ระดับโปรไฟล์

งานมอบหมายเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์: ระดับพื้นฐานและเฉพาะทางพร้อมคำตอบและเฉลย

คณิตศาสตร์: พื้นฐาน | โปรไฟล์ 1-12 | - - - - - - - บ้าน

การสอบ Unified State 2019 ในงานคณิตศาสตร์ 19

การสอบ Unified State 2019 ในงานระดับโปรไฟล์คณิตศาสตร์ 19 พร้อมวิธีแก้ปัญหา

การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

จำนวน P เท่ากับผลคูณของจำนวนธรรมชาติ 11 จำนวนที่มากกว่า 1
จำนวนตัวหารธรรมชาติที่น้อยที่สุด (รวมทั้งตัวหนึ่งและตัวมันเองด้วย) คือจำนวน P ที่มีได้

จำนวนธรรมชาติใดๆ N สามารถแสดงเป็นผลคูณได้:

N = (p1 x k1) (p2 x k2) ... ฯลฯ

โดยที่ p1, p2 ฯลฯ - หมายเลขเฉพาะ

และ k1, k2 เป็นต้น - จำนวนเต็มไม่เป็นลบ

ตัวอย่างเช่น:

15 = (3 1) (5 1)

72 = 8 x 9 = (2 x 3) (3 2)

ดังนั้น จำนวนตัวหารธรรมชาติของจำนวน N ทั้งหมดจึงเท่ากับ

(เค1+1) (เค2+1) ...

ดังนั้นตามเงื่อนไข P = N1 N2 ... N11 โดยที่
N1 = (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 = (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
ซึ่งหมายความว่า
P = (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...,

และจำนวนตัวหารธรรมชาติทั้งหมดของ P เท่ากับ

(เค + เค + ... + เค + 1) (เค + เค + ... + เค + 1) ...

นิพจน์นี้จะใช้ค่าต่ำสุดหากตัวเลขทั้งหมด N1...N11 เป็นพลังธรรมชาติที่ต่อเนื่องกันของจำนวนเฉพาะเดียวกัน โดยเริ่มจาก 1: N1 = p, N2 = p 2 , ... N11 = p 1 1

กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น
N1 = 2 1 = 2
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
...
N11 = 2 1 1 = 2048

แล้วจำนวนตัวหารธรรมชาติของ P เท่ากับ
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

สารละลาย:

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนสามารถเป็นเลขคู่ (2 k) หรือคี่ (2 k+1)

1. หากตัวเลขเป็นเลขคี่:
n = 2 k+1 = (k)+(k+1) จำนวน k และ k+1 นั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

(หากมีเลข d ตัวใดตัวหนึ่งที่เป็นตัวหารของ x และ y ตัวเลข |x-y| จะต้องหารด้วย d ลงตัวด้วย (k+1)-(k) = 1 กล่าวคือ 1 จะต้องหารด้วย d ลงตัว นั่นคือ d=1 และนี่คือข้อพิสูจน์ถึงความเรียบง่ายร่วมกัน)

นั่นคือเราได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวนคี่ทั้งหมดสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวที่ค่อนข้างสูงได้
ข้อยกเว้นตามเงื่อนไขจะเป็นตัวเลข 1 และ 3 เนื่องจาก 1 ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของธรรมชาติได้เลย และ 3 = 2+1 และไม่มีอย่างอื่นอีกเลย และอีก 1 รายการเป็นคำที่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข

2. ถ้าจำนวนเป็นเลขคู่:
n=2k
ที่นี่เราต้องพิจารณาสองกรณี:

2.1. k - แม้กระทั่งนั่นคือ แทนค่าได้เป็น k = 2 m
จากนั้น n = 4 m = (2 m+1)+(2 m-1)
ตัวเลข (2 m+1) และ (2 m-1) มีได้เฉพาะตัวหารร่วม (ดูด้านบน) ที่หารด้วยตัวเลข (2 m+1)-(2 m-1) = 2 เท่านั้น 2 หารลงตัว โดย 1 และ 2
แต่หากตัวหารเป็น 2 ปรากฎว่าเลขคี่ 2 m+1 ต้องหารด้วย 2 ลงตัว สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ จึงเหลือเพียง 1 เท่านั้น

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าตัวเลขทั้งหมดในรูปแบบ 4 m (นั่นคือ ผลคูณของ 4) สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวที่ค่อนข้างมากได้
ข้อยกเว้นคือเลข 4 (m=1) ซึ่งถึงแม้จะแทนด้วย 1+3 ได้ แต่หน่วยเป็นคำก็ยังไม่เหมาะกับเรา

2.1. k - คี่นั่นคือ แสดงเป็น k = 2 m-1
จากนั้น n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
ตัวเลข (2 m-3) และ (2 m+1) สามารถมีตัวหารร่วมที่หาร 4 ได้ นั่นคือ 1 หรือ 2 หรือ 4 แต่ทั้ง 2 และ 4 ไม่เหมาะ เนื่องจาก (2 m+ 1) - ตัวเลขเป็นเลขคี่และไม่สามารถหารด้วย 2 หรือ 4 ได้

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าตัวเลขทั้งหมดในรูปแบบ 4 m-2 (นั่นคือ ผลคูณของ 2 ทั้งหมด แต่ไม่ใช่ผลคูณของ 4) ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวที่ค่อนข้างมากได้
ข้อยกเว้นคือตัวเลข 2 (m=1) และ 6 (m=2) ซึ่งเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในการแยกย่อยเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีค่าสัมพัทธ์จะเท่ากับ 1

ภารกิจที่ 19 ในระดับโปรไฟล์ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์มีวัตถุประสงค์เพื่อระบุความสามารถของนักเรียนในการทำงานกับตัวเลข ได้แก่ คุณสมบัติของพวกเขา งานนี้ยากที่สุดและต้องใช้แนวทางที่ไม่ได้มาตรฐานและมีความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขเป็นอย่างดี มาดูงานทั่วไปกันดีกว่า

การวิเคราะห์ตัวเลือกทั่วไปสำหรับงานหมายเลข 19 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับโปรไฟล์

เวอร์ชันแรกของงาน (เวอร์ชันสาธิต 2018)

มีจำนวนเต็มมากกว่า 40 แต่น้อยกว่า 48 เขียนบนกระดาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้คือ –3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าบวกทั้งหมดคือ 4 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าลบทั้งหมดคือ –8

ก) บนกระดานเขียนตัวเลขจำนวนเท่าใด?

b) ตัวเลขใดที่เขียนได้มากกว่า: บวกหรือลบ?

c) จำนวนบวกที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในจำนวนนี้คือเท่าใด?

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. เราแนะนำตัวแปร k ล, ม.
2. หาผลรวมของชุดตัวเลข
3. เราตอบข้อ ก)
4. เราพิจารณาว่าตัวเลขใดมากกว่า (จุด b))
5. พิจารณาว่ามีจำนวนบวกกี่จำนวน.

สารละลาย:

1. ให้ k เป็นจำนวนบวกในบรรดาตัวเลขที่เขียนบนกระดาน ตัวเลขติดลบ ลและศูนย์ ม.

2. ผลรวมของตัวเลขที่เขียนเท่ากับตัวเลขในรายการที่กำหนดบนกระดานคูณด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต กำหนดจำนวนเงิน:

4k−8 ล+ 0⋅m = − 3(k + ล+ม)

3. โปรดทราบว่าทางด้านซ้ายของค่าเท่ากันที่เพิ่งให้ไป แต่ละพจน์หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นผลรวมของจำนวนตัวเลขแต่ละประเภท k + ล+ m ก็หารด้วย 4 ลงตัวเช่นกัน ตามเงื่อนไข จำนวนทั้งหมดตัวเลขที่เป็นลายลักษณ์อักษรสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน:

40 < k + ล+ม< 48

แล้วเค+ ล+ m = 44 เพราะ 44 เป็นจำนวนธรรมชาติเพียงตัวเดียวระหว่าง 40 ถึง 48 ที่หารด้วย 4 ลงตัว

ซึ่งหมายความว่ามีเพียง 44 หมายเลขที่เขียนบนกระดาน

4. พิจารณาว่ามีตัวเลขประเภทใดมากกว่า: บวกหรือลบ ในการทำสิ่งนี้ เราจะนำเสนอความเท่าเทียมกัน 4k −8l = − 3(k + ล+m) เป็นรูปแบบที่เรียบง่ายมากขึ้น: 5 ล= 7,000 + 3 นาที

5. m≥ 0 นี่หมายถึง: 5 ล≥ 7k, ล> เค ปรากฎว่ามีการเขียนจำนวนลบมากกว่าจำนวนบวก เราแทน k + ล+ ม. หมายเลข 44 ในความเท่าเทียมกัน

4k −8l = − 3(k + ล+ ม)

4k - 8 ล= −132, k = 2 ล − 33

เค + ล≤ 44 ปรากฎว่า: 3 ล− 33 ≤ 44; 3ล ≤ 77;ล≤ 25; เค = 2 ล− 33 ≤17 จากนี้เราก็สรุปได้ว่ามีเลขบวกไม่เกิน 17 ตัว

หากมีตัวเลขบวกเพียง 17 ตัว เลข 4 จะถูกเขียนบนกระดาน 17 ครั้ง เลข −8 จะถูกเขียน 25 ครั้ง และเลข 0 จะถูกเขียน 2 ครั้ง

คำตอบ: ก) 44; ข) ลบ; ค) 17.

ตัวเลือกที่สอง 1 (จาก Yashchenko หมายเลข 1)

บนกระดานมีตัวเลขธรรมชาติที่แตกต่างกัน 35 ตัว ซึ่งแต่ละตัวเป็นเลขคู่หรือเลขทศนิยมลงท้ายด้วยเลข 3 ผลรวมของตัวเลขที่เขียนคือ 1,062

ก) บนกระดานมีเลขคู่ 27 ตัวได้ไหม?

b) ตัวเลขสองตัวบนกระดานสามารถลงท้ายด้วย 3 ได้หรือไม่?

c) จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่ลงท้ายด้วย 3 ที่สามารถอยู่บนกระดานได้คือเท่าใด?

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. เรามายกตัวอย่างชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข (ซึ่งเป็นการยืนยันความเป็นไปได้ของชุดตัวเลข)
2. เราตรวจสอบความน่าจะเป็นของเงื่อนไขที่สอง
3. เราค้นหาคำตอบสำหรับคำถามที่สามโดยการแนะนำตัวแปร n
4. เราเขียนคำตอบ

สารละลาย:

1. รายการตัวเลขบนกระดานโดยประมาณนี้ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

นี่เป็นการตอบคำถาม a ในเชิงยืนยัน

2. ให้เขียนตัวเลขไว้สองตัวบนกระดาน โดยหลักสุดท้ายคือ 3 จากนั้นจะมีเลขคู่เขียนอยู่ 33 ตัว ผลรวมของพวกเขา:

สิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าผลรวมของตัวเลขที่เขียนคือ 1,062 นั่นคือไม่มีคำตอบที่ยืนยันสำหรับคำถาม b

3. เราถือว่าบนกระดานมีตัวเลข n จำนวนที่ลงท้ายด้วย 3 และ (35 – n) ของตัวเลขที่เขียนออกมาเป็นเลขคู่ แล้วผลรวมของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 3 จะเท่ากับ

และผลรวมของจำนวนคู่:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260

จากนั้นจากเงื่อนไข:

เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น:

ปรากฎว่า. จากตรงนี้ เมื่อรู้ว่า n เป็นจำนวนธรรมชาติ เราจะได้

3. จำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุดที่ลงท้ายด้วย 3 สามารถเป็นได้เพียง 5 เท่านั้น และบวกเลขคู่ 30 ตัวเข้าด้วยกัน แล้วผลรวมของตัวเลขทั้งหมดจะเป็นเลขคี่ หมายความว่ามีตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 3 มากกว่า มากกว่าห้า เนื่องจากผลรวมตามเงื่อนไขจะเท่ากับเลขคู่ ลองเอาเลข 6 ตัวมา โดยหลักสุดท้ายคือ 3

ลองยกตัวอย่างเมื่อตัวเลข 6 ตัวลงท้ายด้วยสาม และเลขคู่ 29 ตัว ผลรวมของพวกเขาคือ 1,062 ผลลัพธ์คือรายการต่อไปนี้:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

คำตอบ:ก. ใช่; B: ไม่; ค) 6.

ตัวเลือกที่สาม (จาก Yashchenko หมายเลข 4)

Masha และ Natasha ถ่ายรูปเป็นเวลาหลายวันติดต่อกัน ในวันแรก Masha ถ่ายรูป m และ Natasha - n รูปถ่าย ในแต่ละวันต่อมา สาวๆ แต่ละคนถ่ายรูปมากกว่าวันก่อนหน้าหนึ่งภาพ เป็นที่ทราบกันดีว่านาตาชาถ่ายรูปมากกว่า Masha ทั้งหมด 1,173 รูปและถ่ายรูปนานกว่าหนึ่งวัน

ก) พวกเขาสามารถถ่ายรูปเป็นเวลา 17 วันได้หรือไม่?

b) พวกเขาสามารถถ่ายรูปเป็นเวลา 18 วันได้หรือไม่?

c) จำนวนภาพถ่ายรวมที่ใหญ่ที่สุดที่ Natasha สามารถถ่ายได้ตลอดทั้งวันคือเท่าใด หากทราบว่าในวันสุดท้าย Masha ถ่ายภาพน้อยกว่า 45 ภาพ?

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. มาตอบคำถามก)
2. มาหาคำตอบของคำถาม b)
3. มาดูจำนวนภาพถ่ายทั้งหมดที่นาตาชาถ่ายกัน
4. มาเขียนคำตอบกัน

สารละลาย:

1. ถ้า Masha ถ่ายรูป m ในวันที่ 1 จากนั้นใน 17 วันเธอก็ถ่ายรูป รูปภาพ.

การสอบ Unified State 2017 คณิตศาสตร์ ระดับโปรไฟล์ ภารกิจที่ 19 การแก้โจทย์และสมการในจำนวนเต็ม Sadovnichy Yu.V.

อ.: 2017. - 128 น.

หนังสือเล่มนี้กล่าวถึงปัญหาการใช้คุณสมบัติของจำนวนเต็ม การใช้ตัวอย่างของปัญหาที่คล้ายกับปัญหาจากตัวแปรการสอบ Unified State รวมถึงงานที่นำเสนอในการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกทางคณิตศาสตร์ต่างๆ มีการพยายามจัดระบบตามประเภทและร่างโครงร่างวิธีการหลักในการแก้ปัญหา ผู้เขียนหวังว่าหนังสือเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย การศึกษาด้วยตนเองไปจนถึงการสอบ Unified State ตลอดจนครูคณิตศาสตร์ ผู้นำชมรม และผู้ที่ต้องการเรียนรู้อย่างอิสระในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

รูปแบบ: pdf

ขนาด: 1.4 ลบ

รับชมดาวน์โหลด:ไดรฟ์.google

สารบัญ
บทนำ 4
บทที่ 1 เรียงลำดับสมการไดโอแฟนไทน์ครั้งแรกโดยไม่ทราบค่าสองตัว 6
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 11
บทที่ 2 สมการไดโอแฟนไทน์อันดับสองที่มีสองสิ่งที่ไม่รู้จัก 12
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 20
บทที่ 3 สมการอื่น ๆ ในจำนวนเต็ม 22
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 25
บทที่ 4 ปัญหาข้อความโดยใช้สมการจำนวนเต็ม 28
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 33
บทที่ 5 การประมาณค่าตัวแปร การจัดระบบการค้นหา 36
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 45
บทที่ 6 ความไม่เท่าเทียมกันในจำนวนเต็ม ภาพประกอบกราฟิก 51
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 60
บทที่ 7 ปัญหาการแบ่งแยก 62
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ 68
บทที่ 8 ปัญหาข้อความโดยใช้การหารจำนวนเต็ม 70
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 75
บทที่ 9 ปัญหาร้ายแรงในจำนวนเต็ม 79
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ 87
บทที่ 10 ความก้าวหน้าจำนวนเต็ม 91
ปัญหาสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ 97
บทที่ 11 จำนวนเต็มและตรีโกณมิติ 99
ปัญหาสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ 105
บทที่ 12 งานที่คล้ายกับงาน 19 จากการใช้งาน 107
ปัญหาสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ 113
บทที่ 13 ปัญหาของคณิตศาสตร์โอลิมปิก 115
ปัญหาสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ 120
คำตอบสำหรับปัญหาสำหรับการศึกษาอิสระ
แนวทางแก้ไข 124

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ความสนใจในปัญหาที่ใช้คุณสมบัติของจำนวนเต็มเพิ่มขึ้นอย่างมาก ประการแรกสิ่งนี้ถูกกำหนดโดยรูปแบบที่เปลี่ยนแปลงของยูไนเต็ด การสอบของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์ ในตัวแปรการสอบ Unified State ปีที่ผ่านมาปัญหาระดับสูง (ปัญหา 19) มักจะเกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม นอกจากนี้ปัญหาดังกล่าวยังพบได้ในเกือบทุกรุ่นของโอลิมปิกต่างๆ ที่จัดขึ้นสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและมอบสิทธิประโยชน์ในการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย
ปัญหาจำนวนเต็มถือเป็นปัญหาที่ท้าทายที่สุดสำหรับนักเรียนมัธยมปลายมาโดยตลอด นี่เป็นเพราะขาดวิธีการเดียวหรือหลายวิธีในการแก้ปัญหา ในเวลาเดียวกัน การแก้ปัญหาส่วนใหญ่ ยกเว้นปัญหาที่เป็นไปได้ที่ตรวจสอบในหลักสูตรพิเศษในโรงเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ไม่มีเนื้อหาทางทฤษฎีที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ยิ่งไปกว่านั้น ในแง่หนึ่งแล้ว ทฤษฎีโดยทั่วไปจะถูกลดให้เหลือน้อยที่สุดที่นี่ ตัวอย่างเช่น ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม ไม่จำเป็นต้องรู้สูตรตรีโกณมิติทั้งหมดเลย แต่สิ่งที่จำเป็นจริงๆ ก็คือความสามารถในการคิดอย่างมีเหตุมีผล ที่จะยอมรับปัญหาทั้งหมด ดังที่ผู้เล่นหมากรุกพูดไว้ว่า “คำนวณล่วงหน้าหลายๆ ก้าว”

ในภารกิจที่ 19 ของระดับพื้นฐาน มีการเสนอปัญหาในหัวข้อ “การหารจำนวนธรรมชาติ” ในการแก้ปัญหานี้ คุณจำเป็นต้องรู้สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติเป็นอย่างดี

สัญญาณของการแบ่งแยก

สัญญาณของการหารด้วย 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1,000 ลงตัว

1. ทดสอบการหารด้วย 2 - ตัวเลขหารด้วย 2 ลงตัวได้ถ้าหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 2 ลงตัว ตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัวจะเรียกว่าเป็นเลขคู่ และตัวเลขที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัวจะเรียกว่าคี่

2. การทดสอบการหารด้วย 4 - ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวได้หากตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว

3. ทดสอบการหารด้วย 8 - ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวได้หากตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว

4. สัญญาณแห่งความแตกแยกเป็น 3 และ 9 - ตัวเลขจะหารด้วย 3 ลงตัวถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลขจะหารด้วย 9 ลงตัวถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว

5. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 6 - ตัวเลขหารด้วย 6 ถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

6. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 5 - ตัวเลขหารด้วย 5 ได้ถ้าหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือ 5

7. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 25 - ตัวเลขหารด้วย 25 ลงตัวได้หากตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่หารด้วย 25 ลงตัว

8. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 10 - ตัวเลขหารด้วย 10 ถ้าหลักสุดท้ายเป็นศูนย์

9. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 100 - ตัวเลขหารด้วย 100 ได้หากตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์

10. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 1000 - ตัวเลขหารด้วย 1,000 หากตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์

11. การทดสอบการหารลงตัวด้วย 11 - เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่จะหารด้วย 11 ถ้าผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคู่หรือแตกต่างจากตัวเลขที่หารด้วย 11 ลงตัว (เช่น 12364 หารด้วย 11 เพราะ 1+3+4=2+6.)

ซา-ดา-นี่ 19 (1). ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามหลัก ผลรวมของตัวเลขคือ 20 และผลรวมของกำลังสองของตัวเลขหารด้วย 3 แต่ไม่ใช่ -sya บน 9

สารละลาย.

แบ่งเลข 20 ออกเป็นส่วนอ่อนๆ ด้วยวิธีต่างๆ:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

ค้นหาผลรวมของกำลังสองในแต่ละส่วนขยายแล้วตรวจสอบว่าหารด้วย 3 ลงตัวและหารด้วย 9 ไม่ลงตัวหรือไม่?

เราสังเกตว่าถ้าในการแยกย่อย ตัวเลข 2 ตัวหารด้วย 3 ลงตัว ผลรวมของกำลังสองจะหารด้วย 3 ไม่ลงตัว

9 2 +9 2 +2 2 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

เมื่อหารด้วย (1)−(4) ผลบวกของกำลังสองของตัวเลขจะหารด้วย 3 ไม่ลงตัว

เมื่อแบ่งวิธี (5) ผลรวมของกำลังสองจะถูกหารด้วย 3 และ 9

อุปนิสัยประการที่ ๖ ย่อมเป็นไปตามเงื่อนไขในการทำเช่นนั้น. ดังนั้นเงื่อนไขจึงเป็นที่พอใจด้วยตัวเลขใดๆ เช่น ตัวเลข 5, 7 และ 8 เช่น ตัวเลข 578 หรือ 587 หรือ 785 เป็นต้น