การคำนวณมุมระหว่างเส้นในรูปแบบมาตรฐาน มุมระหว่างเส้นตรงออนไลน์

บ้าน

ก. ให้เส้นตรงสองเส้นดังที่ระบุไว้ในบทที่ 1 ก่อให้เกิดมุมบวกและมุมลบต่างๆ กัน ซึ่งอาจเป็นมุมแหลมหรือมุมป้านก็ได้ เมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหามุมอื่นได้อย่างง่ายดาย

อย่างไรก็ตาม สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ค่าตัวเลขของแทนเจนต์จะเท่ากัน ความแตกต่างจะอยู่ในเครื่องหมายเท่านั้น

สมการของเส้น ตัวเลขคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรกและเส้นที่สอง มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับมุมใดมุมหนึ่งที่เกิดจากเส้นตรง ดังนั้นปัญหาจึงอยู่ที่การกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์

เพื่อความง่าย เราสามารถตกลงกันว่ามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นถูกเข้าใจว่าเป็นมุมบวกเฉียบพลัน (ดังเช่น ในรูปที่ 53)

แล้วแทนเจนต์ของมุมนี้จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้น หากมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของสูตร (1) เราต้องละทิ้งมัน กล่าวคือ บันทึกเฉพาะค่าสัมบูรณ์เท่านั้น

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ตามสูตร (1) ที่เรามี

กับ. หากระบุว่าด้านใดของมุมเป็นจุดเริ่มต้นและด้านใดเป็นจุดสิ้นสุด เมื่อนับทิศทางของมุมทวนเข็มนาฬิกาเสมอ เราก็สามารถดึงบางสิ่งเพิ่มเติมจากสูตร (1) ได้ ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูป 53 เครื่องหมายที่ได้รับทางด้านขวาของสูตร (1) จะระบุว่ามุมใด - แหลมหรือป้าน - เส้นตรงที่สองก่อตัวขึ้นกับมุมแรก

(อันที่จริง จากรูปที่ 53 เราจะเห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางที่หนึ่งและที่สองนั้นเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างเส้นตรง หรือแตกต่างจากมุมนั้น ±180°)

ง. หากเส้นขนานกัน แล้วเวกเตอร์ทิศทางจะขนานกัน เมื่อใช้เงื่อนไขความขนานของเวกเตอร์สองตัว เราจะได้!

นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันของเส้นสองเส้น

ตัวอย่าง. โดยตรง

ขนานกันเพราะว่า

นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันของเส้นสองเส้น

จ. ถ้าเส้นตั้งฉากแล้วเวกเตอร์ทิศทางก็จะตั้งฉากด้วย เมื่อใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว เราจะได้เงื่อนไขตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น กล่าวคือ

ตั้งฉากเพราะว่า

ในการเชื่อมต่อกับเงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉาก เราจะแก้ไขปัญหาสองข้อต่อไปนี้

การแก้ปัญหาจะดำเนินการเช่นนี้ เนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับเส้นนี้ ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ทิศทางของมัน เราจึงสามารถใช้เส้นเดียวกันกับเส้นที่กำหนดได้ เช่น เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และ B จากนั้นสมการของเส้นที่ต้องการจะถูกเขียนเป็น แบบฟอร์ม (§ 1)

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1; 3) ขนานกับเส้นตรง

จะมีต่อไป!

ก. ลากเส้นผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ในที่นี้มันไม่เหมาะที่จะใช้เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และเป็นเวกเตอร์นำทางอีกต่อไป แต่จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ดังนั้นจึงต้องเลือกเส้นโครงของเวกเตอร์นี้ตามเงื่อนไขความตั้งฉากของเวกเตอร์ทั้งสอง กล่าวคือ ตามเงื่อนไข

เงื่อนไขนี้สามารถบรรลุได้หลายวิธีเนื่องจากนี่คือสมการหนึ่งที่ไม่ทราบค่าสองตัว แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหา หรือ จากนั้นสมการของเส้นที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-7; 2) ในเส้นตั้งฉาก

ก็จะมีดังต่อไปนี้(ตามสูตรที่สอง)!

ชม. ในกรณีที่กำหนดเส้นตามสมการของแบบฟอร์ม

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ - นั่นเป็นเหตุผล - เพราะ และ , ที่

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน โปรดทราบว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที- อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

หมายเหตุ 2ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว- จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ - ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปโดยตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกจุดตัดของเส้นด้วย ประสานงานเครื่องบิน- เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ - ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ตะกั่ว สมการทั่วไปโดยตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

- เพราะฉะนั้น, ล: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

หากบนเส้นตรงในอวกาศเราทำเครื่องหมายสองจุดโดยพลการ M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามสมการเส้นตรง ได้รับข้างต้น:

นอกจากนี้ สำหรับจุด M 1 เราสามารถเขียนได้:

.

เมื่อแก้สมการเหล่านี้ร่วมกัน เราจะได้:

.

นี่คือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดในอวกาศ

สมการทั่วไปของเส้นตรงในปริภูมิ

สมการของเส้นตรงถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

สมการทั่วไปของเส้นตรงในรูปแบบพิกัด:

งานภาคปฏิบัติมักจะต้องลดสมการของเส้นตรงลง มุมมองทั่วไปสู่รูปแบบบัญญัติ

ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดก็ได้บนเส้นและตัวเลข m, n, p

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถหาได้จากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติไปยังระนาบที่กำหนด

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการ Canonical หากให้เส้นอยู่ในรูปแบบ:

ในการค้นหาจุดใดๆ บนเส้นตรง เราใช้พิกัด x = 0 แล้วแทนที่ค่านี้ลงในระบบสมการที่กำหนด

เหล่านั้น. เอ(0, 2, 1)

ค้นหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรง:

ตัวอย่าง.นำสมการของเส้นที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐานมาสู่รูปแบบ:

ในการค้นหาจุดใดๆ บนเส้นตรงซึ่งเป็นเส้นตัดของระนาบด้านบน เราใช้ z = 0 จากนั้น:

;

2x – 9x – 7 = 0;

เราได้รับ: A(-1; 3; 0)

เวกเตอร์โดยตรง: .

มุมระหว่างระนาบ

มุมระหว่างระนาบสองระนาบในอวกาศ  สัมพันธ์กับมุมระหว่างเส้นปกติกับระนาบเหล่านี้  1 โดยความสัมพันธ์:  =  1 หรือ  = 180 0 -  1 เช่น

คอส = คอส 1 .

ลองกำหนดมุม 1 เป็นที่ทราบกันว่าระนาบสามารถระบุได้ด้วยความสัมพันธ์:

, ที่ไหน

(ก 1, บี 1, ค 1), (ก 2, บี 2, ค 2) เราพบมุมระหว่างเวกเตอร์ปกติจากผลคูณสเกลาร์:

.

ดังนั้น มุมระหว่างระนาบจึงหาได้จากสูตร:

การเลือกเครื่องหมายของโคไซน์ขึ้นอยู่กับมุมที่ควรพบระหว่างระนาบ - แหลมหรือติดกับมุมป้าน

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของระนาบ

จากสูตรที่ได้รับข้างต้นในการค้นหามุมระหว่างระนาบ เราสามารถหาเงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของระนาบได้

เพื่อให้ระนาบตั้งฉาก มีความจำเป็นและเพียงพอที่โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบจะเท่ากับศูนย์ ตรงตามเงื่อนไขนี้หาก:

ระนาบขนานกัน เวกเตอร์ปกติอยู่ในแนวเดียวกัน:  ตรงตามเงื่อนไขนี้หาก: .

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ

ให้มีสองบรรทัดในอวกาศ สมการพาราเมตริกคือ:

มุมระหว่างเส้นตรง  และมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง  ของเส้นตรงเหล่านี้สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:  =  1 หรือ  = 180 0 -  1 มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางหาได้จากผลคูณสเกลาร์ ดังนั้น:

.

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เส้นตรงสองเส้นขนานกัน จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้จะขนานกัน กล่าวคือ พิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน

ด้วยสิ่งนี้ เครื่องคิดเลขออนไลน์คุณสามารถหามุมระหว่างเส้นตรงได้ มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย ในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง ให้กำหนดมิติ (2 หากพิจารณาเส้นตรงบนระนาบ 3 หากพิจารณาเส้นตรงในอวกาศ) ใส่องค์ประกอบของสมการลงในเซลล์แล้วคลิกที่ "แก้ไข" ปุ่ม. ดูส่วนทางทฤษฎีด้านล่าง

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

1. มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ

1.1. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ปล่อยให้เส้นในพื้นที่สองมิติ ล 1 และ ล

ดังนั้นจากสูตร (1.4) เราสามารถหามุมระหว่างเส้นตรงได้ ล 1 และ ล 2. ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 1 เส้นที่ตัดกันก่อให้เกิดมุมที่อยู่ติดกัน φ และ φ 1. หากมุมที่พบมากกว่า 90° คุณจะสามารถหามุมต่ำสุดระหว่างเส้นตรงได้ ล 1 และ ล 2: φ 1 =180-φ .

จากสูตร (1.4) เราสามารถหาเงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นได้

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดมุมระหว่างเส้น

มาลดความซับซ้อนและแก้โจทย์กัน:

1.2. เงื่อนไขของเส้นคู่ขนาน

อนุญาต φ =0. แล้ว cosφ=1. ในกรณีนี้ นิพจน์ (1.4) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2: พิจารณาว่าเส้นขนานกันหรือไม่

มีความเท่าเทียมกัน (1.9) เป็นที่พอใจ ดังนั้นเส้น (1.10) และ (1.11) จึงขนานกัน

คำตอบ. เส้น (1.10) และ (1.11) ขนานกัน

1.3. เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น

อนุญาต φ =90°. แล้ว cosφ=0. ในกรณีนี้ นิพจน์ (1.4) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณาว่าเส้นตั้งฉากหรือไม่

เป็นไปตามเงื่อนไข (1.13) ดังนั้นเส้น (1.14) และ (1.15) จึงตั้งฉากกัน

คำตอบ. เส้น (1.14) และ (1.15) ตั้งฉากกัน

เส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป

1.4. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ให้เส้นตรงสองเส้น ล 1 และ ล 2 ได้มาจากสมการทั่วไป

จากนิยามผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว เราได้:

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหามุมระหว่างเส้น

การทดแทนค่า ก 1 , บี 1 , ก 2 , บี 2 นิ้ว (1.23) เราได้รับ:

มุมนี้มากกว่า 90° ลองหามุมต่ำสุดระหว่างเส้นตรงกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบมุมนี้ออกจาก 180:

ในทางกลับกันสภาพของเส้นคู่ขนาน ล 1 และ ล 2 เทียบเท่ากับสภาวะคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ n 1 และ n 2 และสามารถแสดงได้ดังนี้:

มีความเท่าเทียมกัน (1.24) ดังนั้นเส้น (1.26) และ (1.27) จึงขนานกัน

คำตอบ. เส้น (1.26) และ (1.27) ขนานกัน

1.6. เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น

เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น ล 1 และ ล 2 สามารถสกัดได้จากสูตร (1.20) โดยการแทนที่ เพราะ(φ )=0. แล้ว ผลิตภัณฑ์ดอท (n 1 ,n 2)=0. ที่ไหน

มีความเท่าเทียมกัน (1.28) เป็นที่พอใจ ดังนั้นเส้น (1.29) และ (1.30) จึงตั้งฉากกัน

คำตอบ. เส้น (1.29) และ (1.30) ตั้งฉากกัน

2. มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ

2.1. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ให้มีเส้นตรงในอวกาศ ล 1 และ ล 2 ได้มาจากสมการบัญญัติ

ที่ไหน | ถาม 1 | และ | ถาม 2 | โมดูลเวกเตอร์ทิศทาง ถาม 1 และ ถาม 2 ตามลำดับ φ -มุมระหว่างเวกเตอร์ ถาม 1 และ ถาม 2 .

จากนิพจน์ (2.3) เราได้รับ:

.

มาลดความซับซ้อนและแก้โจทย์กัน:

.

มาหามุมกัน φ

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอร์ทิศทางและ:

สองตรง ขนานถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ ล 1 เส้นขนาน ล 2 ถ้าและต่อเมื่อขนานกัน .

สองตรง ตั้งฉากถ้าหากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากับศูนย์: .

คุณ เป้าหมายระหว่างเส้นและระนาบ

ให้มันตรงไป ง- ไม่ตั้งฉากกับระนาบ θ;
ง′− การฉายเส้น งไปยังระนาบ θ;
มุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง งและ ง′ เราจะโทร มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ.
ให้เราแสดงว่ามันเป็น φ=( ง,θ)
ถ้า ง⊥θ จากนั้น ( ง,θ)=π/2

อ้อย→เจ→เค→− ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม
สมการเครื่องบิน:

θ: ขวาน+โดย+ซีซี+ดี=0

เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: ง[ม 0,พี→]
เวกเตอร์ n→(ก,บี,ค)⊥θ
จากนั้นก็ยังคงต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ n→ และ พี→ ให้เราแสดงว่ามันเป็น γ=( n→,พี→).

ถ้าเป็นมุม γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

ถ้ามุมคือ γ>π/2 มุมที่ต้องการคือ φ=γ−π/2

บาปφ=บาป(2π−γ)=cosγ

sinφ=บาป(γ−2π)=−cosγ

แล้ว, มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

บาปφ=∣cosγ∣=∣ ∣ แอพ 1+บีพี 2+ซีพี 3∣ ∣ √ก 2+บี 2+ค 2√พี 21+พี 22+พี 23

คำถาม29. แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เครื่องหมายความแน่นอนของรูปกำลังสอง

รูปแบบกำลังสอง j (x 1, x 2, …, xn) n ตัวแปรจำนวนจริง x 1, x 2, …, x nเรียกว่าผลรวมของแบบฟอร์ม
, (1)

ที่ไหน ไอจ – ตัวเลขบางตัวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า ไอจ = จิ.

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ถูกต้อง,ถ้า ไอจ Î GR. เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน รูปแบบกำลังสอง (1) สอดคล้องกับเมทริกซ์สมมาตรเพียงตัวเดียว
นั่นก็คือ เอ ที = อ- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( เอ็กซ์) = x ที อา, ที่ไหน x ต = (เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น). (2)

และในทางกลับกัน เมทริกซ์สมมาตรทุกตัว (2) จะสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองเฉพาะจนถึงสัญลักษณ์ของตัวแปร

อันดับของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ไม่เสื่อมโทรมถ้าเมทริกซ์ของมันไม่เอกพจน์ ก- (จำได้ว่าเมทริกซ์ กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้าปัจจัยกำหนดไม่เท่ากับศูนย์) มิฉะนั้นรูปแบบกำลังสองจะเสื่อมลง

บวกแน่นอน(หรือเชิงบวกอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( เอ็กซ์) > 0 สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).

เมทริกซ์ กรูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก j ( เอ็กซ์) เรียกอีกอย่างว่าค่าบวกแน่นอน ดังนั้น รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวกจึงสอดคล้องกับเมทริกซ์เฉพาะที่แน่นอนเชิงบวกและในทางกลับกัน

เรียกว่ารูปกำลังสอง (1) กำหนดไว้ในทางลบ(หรือเชิงลบอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( เอ็กซ์) < 0, для любого เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).

เช่นเดียวกับข้างต้น เมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสองแน่นอนเชิงลบเรียกอีกอย่างว่าลบแน่นอน

ดังนั้น รูปกำลังสองแน่นอนบวก (ลบ) j ( เอ็กซ์) ถึงค่าต่ำสุด (สูงสุด) j ( เอ็กซ์*) = 0 ณ เอ็กซ์* = (0, 0, …, 0).

โปรดทราบว่า ที่สุดรูปแบบกำลังสองไม่มีเครื่องหมายกำหนด กล่าวคือ ไม่เป็นทั้งเชิงบวกและเชิงลบ รูปแบบกำลังสองดังกล่าวหายไปไม่เพียงแต่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดเท่านั้น แต่ยังหายไปที่จุดอื่นๆ ด้วย

เมื่อไร n> 2 ต้องใช้เกณฑ์พิเศษในการตรวจสอบเครื่องหมายของรูปกำลังสอง มาดูพวกเขากันดีกว่า

ผู้เยาว์รายใหญ่รูปแบบกำลังสองเรียกว่าผู้เยาว์:

นั่นคือเหล่านี้เป็นผู้เยาว์ลำดับที่ 1, 2, ... , nเมทริกซ์ กซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบน ส่วนสุดท้ายตรงกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก.

เกณฑ์ความชัดเจนเชิงบวก (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)

เอ็กซ์) = x ที อาเป็นบวกแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ค่ารองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์ กเป็นบวก นั่นคือ: ม 1 > 0, ม 2 > 0, …, มน > 0. เกณฑ์ความแน่นอนเชิงลบ จะได้รูปกำลังสอง j ( เอ็กซ์) = x ที อาเป็นลบแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผู้เยาว์หลักของลำดับคู่จะเป็นค่าบวก และลำดับคี่ - ลบ เช่น: ม 1 < 0, ม 2 > 0, ม 3 < 0, …, (–1)n