ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทของเบย์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

บ้าน

ความจำเป็นในการดำเนินการกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเมื่อทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง และจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์เหล่านี้

การบวกความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลรวมเชิงตรรกะของเหตุการณ์สุ่ม ผลรวมของเหตุการณ์ก และบี ผลรวมของเหตุการณ์ + และแสดงถึง ผลรวมของเหตุการณ์ ∪ และหรือ ผลรวมของเหตุการณ์ + และ- ผลรวมของสองเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เท่านั้น นี่หมายความว่า ผลรวมของเหตุการณ์– เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นในระหว่างการสังเกตเท่านั้น และหรือเหตุการณ์ ผลรวมของเหตุการณ์หรือพร้อมกัน และ.

และ ผลรวมของเหตุการณ์หรือพร้อมกัน และหากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ มีความไม่สอดคล้องกันและความน่าจะเป็นของพวกเขาได้รับแล้วความน่าจะเป็นนั้น

เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเหล่านี้จะเกิดขึ้นจากการทดลองหนึ่งครั้ง คำนวณโดยใช้การบวกความน่าจะเป็นทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่เข้ากันไม่ได้จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้: ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ใน ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์+ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์– ตีจากนัดที่สอง เหตุการณ์ ( ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์หรือพร้อมกัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์) – การโจมตีจากนัดแรกหรือนัดที่สองหรือจากสองนัด ดังนั้นหากเกิดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์+ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์– เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้ว

– การเกิดเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์หรือสองเหตุการณ์ตัวอย่างที่ 1

ในกล่องมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 30 ลูก ได้แก่ สีแดง 10 ลูก สีน้ำเงิน 5 ลูก และสีขาว 15 ลูก คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) จะถูกหยิบขึ้นมาโดยไม่มอง ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์สารละลาย. ให้เราสมมุติว่าเหตุการณ์นั้น – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์- “ลูกบอลสีแดงถูกยึด” และเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์:

- “ลูกบอลสีน้ำเงินถูกหยิบไปแล้ว” จากนั้นเหตุการณ์คือ “ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกหยิบ” ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์:

และเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์หรือพร้อมกัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์กิจกรรม

– เข้ากันไม่ได้ เนื่องจากหากหยิบลูกบอลหนึ่งลูก จะไม่สามารถหยิบลูกบอลที่มีสีต่างกันได้ ดังนั้นเราจึงใช้การบวกความน่าจะเป็น:ทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์

หากเหตุการณ์ประกอบขึ้นเป็นชุดเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ผลรวมของความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามก็เท่ากับ 1 เช่นกัน:

เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะก่อให้เกิดชุดเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์คือ 1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามมักจะระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กก พีถาม

- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

โดยมีสูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามดังนี้เป้าหมายในสนามยิงปืนแบ่งออกเป็น 3 โซน ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงบางรายจะยิงไปที่เป้าหมายในโซนแรกคือ 0.15 ในโซนที่สอง – 0.23 ในโซนที่สาม – 0.17 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะเข้าเป้า และความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะพลาดเป้า

วิธีแก้ไข: ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมาย:

มาหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะพลาดเป้า:

สำหรับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น โปรดดูหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

เหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์ร่วม หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมถึงการเกิดเหตุการณ์ที่สองในการสังเกตเดียวกัน เช่น เมื่อโยนลูกเต๋าจะมีเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์โดยถือว่าหมายเลข 4 ได้มีการเปิดตัวและจัดงานแล้ว – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์– การทอยเลขคู่ เนื่องจาก 4 เป็นเลขคู่ ทั้งสองเหตุการณ์จึงเข้ากันได้ ในทางปฏิบัติมีปัญหาในการคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วมความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ร่วมเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ จากนั้นจึงลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะเกิดขึ้นร่วมกัน นั่นคือผลคูณของความน่าจะเป็น สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมมีรูปแบบดังนี้:

ตั้งแต่เหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์หรือพร้อมกัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์เข้ากันได้, เหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์+ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์เกิดขึ้นหากหนึ่งในสามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี- ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราคำนวณได้ดังนี้:

เหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์จะเกิดขึ้นหากหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี- อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้:

เช่นเดียวกัน:

แทนที่นิพจน์ (6) และ (7) ลงในนิพจน์ (5) เราจะได้สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วม:

เมื่อใช้สูตร (8) ควรคำนึงถึงเหตุการณ์นั้นด้วย ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์อาจจะ:

• เป็นอิสระซึ่งกันและกัน
• พึ่งพาซึ่งกันและกัน

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน:

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาซึ่งกันและกัน:

และ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์หรือพร้อมกัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ไม่สอดคล้องกัน ความบังเอิญจึงเป็นกรณีที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ป(เอบี) = 0 สูตรความน่าจะเป็นที่สี่สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือ:

ตัวอย่างที่ 3ในการแข่งรถ เมื่อคุณขับรถคันแรก คุณจะมีโอกาสชนะมากขึ้น และเมื่อคุณขับรถคันที่สอง หา:

• ความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ
• ความน่าจะเป็นที่รถยนต์อย่างน้อยหนึ่งคันจะชนะ

1) ความน่าจะเป็นที่รถคันแรกจะชนะไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของรถคันที่สองดังนั้นเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์(รถคันแรกชนะ) และ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์(รถคันที่สองจะเป็นผู้ชนะ) – กิจกรรมอิสระ ลองหาความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ:

2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถยนต์คันใดคันหนึ่งจากสองคันจะชนะ:

สำหรับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น โปรดดูหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

แก้ปัญหาการบวกความน่าจะเป็นด้วยตนเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4มีการโยนเหรียญสองเหรียญ เหตุการณ์ ผลรวมของเหตุการณ์- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญแรก เหตุการณ์ และ- การสูญเสียตราแผ่นดินบนเหรียญที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค = ผลรวมของเหตุการณ์ + และ .

การคูณความน่าจะเป็น

การคูณความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อต้องคำนวณความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์เชิงตรรกะของเหตุการณ์

ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มจะต้องเป็นอิสระจากกัน กล่าวกันว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่สอง

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์หรือพร้อมกัน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสามครั้งติดต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ตราแผ่นดินจะปรากฏทั้งสามครั้ง

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏในการโยนเหรียญครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม ลองหาความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏทั้งสามครั้ง:

แก้โจทย์ปัญหาการคูณความน่าจะเป็นด้วยตัวเอง แล้วค่อยดูวิธีแก้

ตัวอย่างที่ 6มีกล่องใส่ลูกเทนนิสใหม่เก้าลูก ในการเล่นจะมีการหยิบลูกบอลสามลูกและหลังจากจบเกมพวกเขาจะนำกลับมา ในการเลือกลูกบอล ลูกบอลที่เล่นจะไม่แยกจากลูกบอลที่ไม่ได้เล่น ความน่าจะเป็นที่หลังจากสามเกมจะไม่มีลูกบอลที่ยังไม่ได้เล่นเหลืออยู่ในกรอบคืออะไร?

ตัวอย่างที่ 7ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัดออก สุ่มหยิบไพ่ห้าใบแล้ววางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรจะก่อให้เกิดคำว่า "สิ้นสุด"

ตัวอย่างที่ 8จาก เต็มดาดฟ้าการ์ด (52 แผ่น) นำไพ่สี่ใบออกมาพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบนี้จะคนละดอกกัน

ตัวอย่างที่ 9งานเดียวกับตัวอย่างที่ 8 แต่หลังจากถอดการ์ดแต่ละใบแล้วจะถูกส่งกลับไปยังสำรับ

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณจำเป็นต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น ตลอดจนการคำนวณผลคูณของเหตุการณ์ต่างๆ สามารถพบได้ในหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกันอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเกิดขึ้นสามารถคำนวณได้โดยการลบผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามออกจาก 1 นั่นคือ ใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 10สินค้าจะถูกจัดส่งโดยการขนส่ง 3 รูปแบบ ได้แก่ การขนส่งทางน้ำ ทางรถไฟ และทางถนน ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะถูกส่งโดยการขนส่งทางน้ำเท่ากับ 0.82 โดยทางรถไฟ 0.87 โดยการขนส่งทางถนน 0.90 ค้นหาความน่าจะเป็นที่สินค้าจะถูกส่งมอบอย่างน้อยหนึ่งรายการ สามประเภทขนส่ง.

ในความเป็นจริง สูตร (1) และ (2) เป็นบันทึกสั้นๆ ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยอิงตามตารางคุณลักษณะฉุกเฉิน กลับไปที่ตัวอย่างที่กล่าวถึง (รูปที่ 1) สมมติว่าเราทราบว่าครอบครัวหนึ่งกำลังวางแผนจะซื้อโทรทัศน์จอกว้าง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้จะซื้อทีวีแบบนี้จริงๆ คืออะไร?

ข้าว. 1. พฤติกรรมการซื้อทีวีจอกว้าง

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P (การซื้อเสร็จสมบูรณ์ | วางแผนการซื้อ) เนื่องจากเรารู้ว่าครอบครัวกำลังวางแผนที่จะซื้อ พื้นที่ตัวอย่างจึงไม่ได้ประกอบด้วยทั้งหมด 1,000 ครอบครัว แต่มีเพียงผู้ที่วางแผนจะซื้อทีวีจอไวด์เท่านั้น จาก 250 ครอบครัวดังกล่าว มี 200 ครอบครัวซื้อทีวีเครื่องนี้จริงๆ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวจะซื้อทีวีจอกว้างจริงหากวางแผนจะซื้อ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

P (ซื้อเสร็จแล้ว | วางแผนซื้อ) = จำนวนครอบครัวที่วางแผนและซื้อทีวีจอกว้าง / จำนวนครอบครัวที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้าง = 200 / 250 = 0.8

สูตร (2) ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน:

งานอยู่ที่ไหน ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์คือทางครอบครัวมีแผนจะซื้อทีวีจอไวด์สกรีนและจัดงาน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์- ว่าเธอจะซื้อมันจริงๆ แทนที่ข้อมูลจริงลงในสูตรเราจะได้:

ต้นไม้การตัดสินใจ

ในรูป 1 ครอบครัวแบ่งออกเป็นสี่ประเภท: ผู้ที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้างและผู้ที่ไม่ได้ซื้อ เช่นเดียวกับผู้ที่ซื้อทีวีดังกล่าวและผู้ที่ไม่ได้ซื้อ การจำแนกประเภทที่คล้ายกันสามารถทำได้โดยใช้แผนผังการตัดสินใจ (รูปที่ 2) ต้นไม้ที่แสดงในรูปที่. 2 มีสองสาขาสำหรับครอบครัวที่วางแผนจะซื้อทีวีจอไวด์สกรีน และครอบครัวที่ไม่ได้วางแผน แต่ละสาขาเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองสาขาเพิ่มเติมตามครัวเรือนที่ซื้อทีวีจอไวด์สกรีนและไม่ได้ซื้อ ความน่าจะเป็นที่เขียนไว้ที่ส่วนท้ายของสองสาขาหลักคือความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก เอ'- ความน่าจะเป็นที่เขียนไว้ท้ายสี่สาขาเพิ่มเติมคือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของแต่ละเหตุการณ์รวมกัน ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคำนวณโดยการหารความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์ต่างๆ ด้วยความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของแต่ละรายการ

ข้าว. 2. แผนผังการตัดสินใจ

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ครอบครัวจะซื้อโทรทัศน์จอกว้างหากวางแผนไว้ เราต้องกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การซื้อที่วางแผนไว้และแล้วเสร็จแล้วหารด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ วางแผนการซื้อ- เคลื่อนไปตามแผนผังการตัดสินใจที่แสดงในรูปที่ 1 2 เราได้คำตอบต่อไปนี้ (คล้ายกับคำตอบก่อนหน้า):

ความเป็นอิสระทางสถิติ

ในตัวอย่างการซื้อทีวีจอกว้าง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวสุ่มเลือกซื้อทีวีจอกว้างโดยที่พวกเขาวางแผนจะซื้อคือ 200/250 = 0.8 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่ครอบครัวสุ่มเลือกซื้อทีวีจอกว้างคือ 300/1000 = 0.3 สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปที่สำคัญมาก ข้อมูลก่อนหน้านี้ที่ครอบครัวกำลังวางแผนซื้อมีอิทธิพลต่อแนวโน้มการซื้อกล่าวอีกนัยหนึ่ง เหตุการณ์ทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับกันและกัน ตรงกันข้ามกับตัวอย่างนี้มีเหตุการณ์ที่เป็นอิสระทางสถิติซึ่งความน่าจะเป็นไม่ได้ขึ้นอยู่กับกันและกัน ความเป็นอิสระทางสถิติแสดงโดยอัตลักษณ์: ป(A|B) = ป(A), ที่ไหน ป(เอ|บี)- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์, พี(เอ)- ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A

โปรดทราบว่าเหตุการณ์ดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ ป(A|B) = ป(A)- หากในตารางฉุกเฉินของคุณลักษณะที่มีขนาด 2 × 2 เงื่อนไขนี้เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับเหตุการณ์รวมกันอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์มันจะใช้ได้กับชุดค่าผสมอื่นๆ ในเหตุการณ์ตัวอย่างของเรา วางแผนการซื้อหรือพร้อมกัน การซื้อเสร็จสมบูรณ์ไม่เป็นอิสระทางสถิติเนื่องจากข้อมูลเกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่งส่งผลต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง

ลองดูตัวอย่างที่แสดงวิธีทดสอบความเป็นอิสระทางสถิติของสองเหตุการณ์ ลองสอบถาม 300 ครอบครัวที่ซื้อทีวีจอกว้างว่าพวกเขาพอใจกับการซื้อหรือไม่ (รูปที่ 3) พิจารณาว่าระดับความพึงพอใจในการซื้อและประเภทของทีวีมีความสัมพันธ์กันหรือไม่

ข้าว. 3. ข้อมูลที่แสดงระดับความพึงพอใจของผู้ซื้อทีวีจอไวด์สกรีน

เมื่อพิจารณาจากข้อมูลเหล่านี้

ในเวลาเดียวกัน

P (ลูกค้าพอใจ) = 240 / 300 = 0.80

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าพอใจกับการซื้อและครอบครัวที่ซื้อ HDTV นั้นเท่ากัน และเหตุการณ์เหล่านี้มีความเป็นอิสระทางสถิติเนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกันในทางใดทางหนึ่ง

กฎการคูณความน่าจะเป็น

สูตรคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขช่วยให้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมได้ เอ และ บี- มีสูตรแก้แล้ว (1)

สัมพันธ์กับความน่าจะเป็นร่วมกัน พี(เอ และ บี)เราได้รับกฎทั่วไปสำหรับการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เอ และ บีเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์:

(3) P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

มาดูตัวอย่าง 80 ครอบครัวที่ซื้อโทรทัศน์ HDTV แบบจอกว้าง (รูปที่ 3) ตารางแสดงให้เห็นว่า 64 ครอบครัวพอใจกับการซื้อ และ 16 ครอบครัวไม่พอใจ สมมติว่าสองครอบครัวถูกสุ่มเลือกจากครอบครัวเหล่านั้น กำหนดความน่าจะเป็นที่ลูกค้าทั้งสองจะพึงพอใจ เมื่อใช้สูตร (3) เราได้รับ:

P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

งานอยู่ที่ไหน ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์คือครอบครัวที่สองพอใจกับการซื้อและจัดงาน – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์- ครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อ ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อคือ 64/80 อย่างไรก็ตาม ความเป็นไปได้ที่ครอบครัวที่สองจะพอใจกับการซื้อของพวกเขานั้นขึ้นอยู่กับการตอบสนองของครอบครัวแรกด้วย หากครอบครัวแรกไม่กลับไปที่กลุ่มตัวอย่างหลังการสำรวจ (เลือกโดยไม่ส่งคืน) จำนวนผู้ตอบแบบสอบถามจะลดลงเหลือ 79 คน หากครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อ ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่สองจะพึงพอใจด้วยคือ 63 /79 เนื่องจากเหลือเพียง 63 ครอบครัวในกลุ่มตัวอย่างที่พอใจกับการซื้อ ดังนั้นการแทนที่ข้อมูลเฉพาะลงในสูตร (3) เราจะได้คำตอบดังนี้:

P(A และ B) = (63/79)(64/80) = 0.638

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อคือ 63.8%

สมมติว่าหลังการสำรวจ ครอบครัวแรกกลับคืนสู่กลุ่มตัวอย่าง กำหนดความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อของพวกเขา ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อจะเท่ากัน คือ 64/80 ดังนั้น P(A และ B) = (64/80)(64/80) = 0.64 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อคือ 64.0% ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการเลือกตระกูลที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกตระกูลแรก ดังนั้น การแทนที่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในสูตร (3) ป(เอ|บี)ความน่าจะเป็น พี(เอ)เราได้รับสูตรสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระและ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์มีความเป็นอิสระทางสถิติ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เอ และ บีเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์คูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์.

(4) P(A และ B) = P(A)P(B)

หากกฎข้อนี้เป็นจริงสำหรับเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีความเป็นอิสระทางสถิติ ดังนั้นจึงมีสองวิธีในการพิจารณาความเป็นอิสระทางสถิติของสองเหตุการณ์:

1. และเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก – ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์มีความเป็นอิสระจากกันทางสถิติหากและหากเท่านั้น ป(A|B) = ป(A).
2. และเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก และมีความเป็นอิสระจากกันทางสถิติหากและหากเท่านั้น P(A และ B) = P(A)P(B).

หากอยู่ในตารางฉุกเฉินขนาด 2x2 มีเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งที่ตรงกับเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งรายการ ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ก และมันจะใช้ได้กับชุดค่าผสมอื่นๆ

ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์เบื้องต้น

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

โดยที่เหตุการณ์ B 1, B 2, ... B k เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและครบถ้วนสมบูรณ์

ให้เราอธิบายการประยุกต์ใช้สูตรนี้โดยใช้ตัวอย่างรูปที่ 1 เมื่อใช้สูตร (5) เราได้รับ:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

ที่ไหน พี(เอ)- ความเป็นไปได้ที่จะมีการวางแผนการซื้อ พี(บี 1)- ความน่าจะเป็นที่จะทำการซื้อ พี(บี 2)- ความน่าจะเป็นที่การซื้อจะไม่สมบูรณ์

ทฤษฎีบทของเบย์ส

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์จะพิจารณาข้อมูลของเหตุการณ์อื่นๆ ที่เกิดขึ้นด้วย วิธีการนี้สามารถนำไปใช้ทั้งเพื่อปรับแต่งความน่าจะเป็นโดยคำนึงถึงข้อมูลที่ได้รับใหม่ และเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ผลที่สังเกตได้เป็นผลมาจากสาเหตุเฉพาะ ขั้นตอนการปรับปรุงความน่าจะเป็นเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบย์ ได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดย Thomas Bayes ในศตวรรษที่ 18

สมมติว่าบริษัทที่กล่าวมาข้างต้นกำลังศึกษาตลาดสำหรับทีวีรุ่นใหม่ ในอดีต 40% ของทีวีที่บริษัทสร้างประสบความสำเร็จ ในขณะที่ 60% ของรุ่นไม่ได้รับการยอมรับ ก่อนที่จะประกาศเปิดตัวรถยนต์รุ่นใหม่ ผู้เชี่ยวชาญด้านการตลาดจะศึกษาตลาดอย่างรอบคอบและบันทึกความต้องการ ในอดีต 80% ของแบบจำลองที่ประสบความสำเร็จถูกคาดการณ์ว่าจะประสบความสำเร็จ ในขณะที่ 30% ของการคาดการณ์ที่ประสบความสำเร็จกลับกลายเป็นว่าผิด ฝ่ายการตลาดให้การคาดการณ์ที่ดีสำหรับโมเดลใหม่ โอกาสที่ทีวีรุ่นใหม่จะเป็นที่ต้องการคืออะไร?

ทฤษฎีบทของเบย์สามารถหาได้จากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (1) และ (2) ในการคำนวณความน่าจะเป็น P(B|A) ให้ใช้สูตร (2):

และแทนค่า P(A และ B) จากสูตร (3):

P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

แทนที่สูตร (5) แทน P(A) เราจะได้ทฤษฎีบทของเบย์:

โดยที่เหตุการณ์ B 1, B 2, ... B k เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและครบถ้วนสมบูรณ์

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: เหตุการณ์ S - ทีวีเป็นที่ต้องการ, เหตุการณ์ S’ - ทีวีไม่เป็นที่ต้องการ, เหตุการณ์ F - การพยากรณ์โรคที่ดี, เหตุการณ์ F' - การพยากรณ์โรคที่ไม่ดี- สมมติว่า P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3 เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเบย์เราจะได้:

ความน่าจะเป็นของความต้องการ รุ่นใหม่ทีวีที่มีการพยากรณ์โรคที่ดีคือ 0.64 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะขาดอุปสงค์โดยได้รับการคาดการณ์ที่ดีคือ 1–0.64=0.36 ขั้นตอนการคำนวณจะแสดงในรูป 4.

ข้าว. 4. (a) การคำนวณโดยใช้สูตร Bayes เพื่อประมาณความน่าจะเป็นของความต้องการโทรทัศน์ (b) แผนผังการตัดสินใจเมื่อศึกษาความต้องการทีวีรุ่นใหม่

ลองดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเบย์เพื่อการวินิจฉัยทางการแพทย์ ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะป่วยด้วยโรคใดโรคหนึ่งคือ 0.03 การทดสอบทางการแพทย์สามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นจริงหรือไม่ หากบุคคลหนึ่งป่วยจริง ความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยที่ถูกต้อง (บอกว่าบุคคลนั้นป่วยเมื่อเขาป่วยจริงๆ) คือ 0.9 ถ้าบุคคลมีสุขภาพดี ความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยผลบวกลวง (บอกว่าบุคคลนั้นป่วยเมื่อเขามีสุขภาพดี) คือ 0.02 สมมุติว่า การทดสอบทางการแพทย์ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก ความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะป่วยจริงเป็นเท่าใด? ความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยที่แม่นยำคืออะไร?

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: เหตุการณ์ D - บุคคลนั้นป่วย, เหตุการณ์ D' - บุคคลนั้นมีสุขภาพแข็งแรง, เหตุการณ์ T - การวินิจฉัยเป็นบวก, เหตุการณ์ T' - การวินิจฉัยเป็นลบ- จากเงื่อนไขของปัญหา จะได้ว่า P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02 การใช้สูตร (6) เราได้รับ:

ความน่าจะเป็นที่หากได้รับการวินิจฉัยเชิงบวก บุคคลนั้นป่วยจริงๆ คือ 0.582 (ดูรูปที่ 5 เพิ่มเติม) โปรดทราบว่าตัวส่วนของสูตรเบย์เท่ากับความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยเชิงบวก เช่น 0.0464.

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย P(A) (ในที่นี้ P คืออักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส probabilite - ความน่าจะเป็น) ตามคำนิยาม
(1.2.1)
โดยที่จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A คือ - จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าๆ กันของการทดลอง โดยสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าคลาสสิก มันเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ระยะเริ่มแรกการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ด้วยตัวอักษร . สำหรับเหตุการณ์บางอย่างดังนั้น
(1.2.2)
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ด้วยตัวอักษร สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ดังนั้น
(1.2.3)
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะแสดงเป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่าหนึ่ง เนื่องจากสำหรับเหตุการณ์สุ่มความไม่เท่าเทียมกัน หรือ เป็นที่พอใจแล้ว
(1.2.4)
4. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน
(1.2.5)
ตามมาจากความสัมพันธ์ (1.2.2) - (1.2.4)

– การเกิดเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์หรือสองเหตุการณ์โกศประกอบด้วยลูกบอล 10 ลูกที่มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน โดย 4 ลูกเป็นสีแดงและ 6 ลูกเป็นสีน้ำเงิน ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาจะเป็นสีฟ้าเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย- เราระบุเหตุการณ์ "ลูกบอลที่สุ่มออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน" ด้วยตัวอักษร A การทดสอบนี้มีผลเบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 10 รายการ โดยมีเหตุการณ์โปรดปราน 6 รายการ A ตามสูตร (1.2.1) เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 30 จะถูกเขียนบนการ์ดที่เหมือนกันและวางไว้ในโกศ หลังจากสับไพ่อย่างละเอียดแล้ว การ์ดหนึ่งใบจะถูกดึงออกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5 เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเหตุการณ์ A “ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 30 รายการ โดยเหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ 6 รายการ (ตัวเลข 5, 10, 15, 20, 25, 30) เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B โดยหน้าลูกเต๋ามีแต้มรวม 9 แต้ม

สารละลาย.ในการทดสอบนี้มีเพียง 6 2 = 36 ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนจาก 4 ผลลัพธ์: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 4- สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 10 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะคืออะไร?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร C ว่า “จำนวนที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะ” ในกรณีนี้ n = 10, m = 4 ( หมายเลขเฉพาะ 2, 3, 5, 7) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสมมาตรสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่ด้านบนเหรียญทั้งสองมีตัวเลขเป็นเท่าใด?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร D ว่า “มีตัวเลขอยู่ด้านบนเหรียญแต่ละเหรียญ” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน 4 แบบ: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C) (สัญลักษณ์ (G, C) หมายความว่า เหรียญใบแรกมีตราอาร์ม เหรียญที่สองมีตัวเลข) เหตุการณ์ D ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งรายการ (C, C) เนื่องจาก m = 1, n = 4 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองหลักที่เลือกโดยการสุ่มจะมีตัวเลขเหมือนกันคือเท่าไร?

สารละลาย.ตัวเลขสองหลักคือตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99 มีทั้งหมด 90 หมายเลข มี 9 หมายเลขที่มีหลักเหมือนกัน (ได้แก่ หมายเลข 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) เนื่องจากในกรณีนี้ m = 9, n = 90 ดังนั้น
,
โดยที่ A คือเหตุการณ์ "ตัวเลขที่มีหลักเหมือนกัน"

ตัวอย่างที่ 7จากตัวอักษรของคำ ส่วนต่างจะมีการสุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว ความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรนี้จะเป็น: ก) สระ b) พยัญชนะ c) ตัวอักษร ชม.?

สารละลาย- คำว่าดิฟเฟอเรนเชียลมีตัวอักษร 12 ตัว โดย 5 ตัวเป็นสระ และ 7 ตัวเป็นพยัญชนะ จดหมาย ชม.ไม่มีในคำนี้ ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "อักษรสระ", B - "อักษรพยัญชนะ", C - "ตัวอักษร ชม." จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่น่าพอใจ: - สำหรับเหตุการณ์ A - สำหรับเหตุการณ์ B - สำหรับเหตุการณ์ C เนื่องจาก n = 12 ดังนั้น
, และ .

ตัวอย่างที่ 8มีการโยนลูกเต๋าสองลูกและจดจำนวนแต้มที่ด้านบนของลูกเต๋าแต่ละลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะมีแต้มเท่ากัน

สารละลาย.ลองเขียนเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร A กัน เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ในกรณีนี้ n=6 2 =36 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 9หนังสือมี 300 หน้า ความน่าจะเป็นที่หน้าที่เปิดแบบสุ่มจะมีหมายเลขซีเรียลหารด้วย 5 ลงตัวเป็นเท่าใด

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหา ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์จะเป็น n = 300 ในจำนวนนี้ m = 60 เห็นด้วยกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ระบุ อันที่จริง จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 จะมีรูปแบบ 5k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ และ ดังนั้น - เพราะฉะนั้น,
โดยที่ A - เหตุการณ์ “เพจ” มีหมายเลขลำดับที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 5"

ตัวอย่างที่ 10- โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ได้ทั้งหมด 7 หรือ 8?

สารละลาย- ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "กลิ้ง 7 แต้ม", B - "กลิ้ง 8 แต้ม" เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) และเหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุน โดย 5 ผลลัพธ์: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ n = 6 2 = 36 ซึ่งหมายความว่า และ .

ดังนั้น P(A)>P(B) กล่าวคือ การได้คะแนนรวม 7 แต้มมีโอกาสมากกว่าการได้คะแนนรวม 8 คะแนน

งาน

1. สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นผลคูณของ 3 เป็นเท่าใด
2. ในโกศ กสีแดงและ ขลูกบอลสีน้ำเงิน มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุ่มจากโกศนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด
3. สุ่มเลือกจำนวนไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นตัวหารของ 30 เป็นเท่าใด
4. ในโกศ กสีน้ำเงินและ ขลูกบอลสีแดง มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศนี้แล้วพักไว้ ลูกบอลนี้กลายเป็นสีแดง หลังจากนั้นจะมีการดึงลูกบอลอีกลูกออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองจะเป็นสีแดงด้วย
5. สุ่มเลือกหมายเลขประจำชาติไม่เกิน 50 ความน่าจะเป็นที่หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ?
6. โยนลูกเต๋าสามลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 9 หรือ 10 คะแนน?
7. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของคะแนนที่ทอยได้ อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 11 (เหตุการณ์ A) หรือ 12 คะแนน (เหตุการณ์ B)

คำตอบ

1. 1/3. 2 . ข/(ก+ข). 3 . 0,2. 4 . (ข-1)/(ก+ข-1). 5 .0,3.6 - p 1 = 25/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 9 คะแนน p 2 = 27/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 10 คะแนน หน้า 2 > หน้า 1 7 - P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B)

คำถาม

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เรียกว่าอะไร?
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร?
4. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม?
5. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ?
6. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบใดเรียกว่าคลาสสิก?

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• สามารถยกตัวอย่างเหตุการณ์สุ่มได้
• เข้าใจว่าความน่าจะเป็นคือการวัดตัวเลขของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นนั้นเป็นตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1
• เพื่อแนะนำนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ให้รู้จักแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น
• เรียนรู้การแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

วัสดุทางทฤษฎี

คำนิยาม: ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษากฎหมายความน่าจะเป็นและสถิติ

ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้ทฤษฎีนี้ คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนใดคนหนึ่งในชั้นเรียนจะถูกเรียกไปที่กระดานดำระหว่างชั้นเรียน พิจารณาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

คำนิยาม: เหตุการณ์สุ่ม- สิ่งเหล่านี้คือเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่อาจเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

ฮารัลด์ เครเมอร์ นักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดน หนึ่งในผู้ก่อตั้งสถิติทางคณิตศาสตร์เขียนว่า “เห็นได้ชัดว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำจำกัดความที่แน่ชัดว่าคำว่า “สุ่ม” หมายถึงอะไร ความหมายของคำนี้อธิบายได้ดีที่สุดโดยใช้ตัวอย่าง” เช่น เหตุการณ์สุ่มคือสภาพอากาศที่มีแดดจัด

ตามความหมายปกติ ความน่าจะเป็นคือการประเมินเชิงปริมาณของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่คาดว่าจะเกิดขึ้น

คำจำกัดความ: เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด เรียกว่าเป็นไปไม่ได้

คำจำกัดความ: เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดเรียกว่าเชื่อถือได้

เช่น การจบบทเรียน

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ด้วยความน่าจะเป็นร้อยเปอร์เซ็นต์(เช่น เกิดขึ้นใน 10 กรณีจาก 10 กรณี, ใน 100 กรณีจาก 100 กรณี เป็นต้น) เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่เคยเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ด้วยความน่าจะเป็นเป็นศูนย์.

แต่น่าเสียดาย (และอาจจะโชคดี) ไม่ใช่ทุกสิ่งในชีวิตที่ชัดเจนและแม่นยำนัก มันจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป (เหตุการณ์บางอย่าง) มันจะไม่มีวันเป็น (เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้) บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งบางเหตุการณ์ก็มีโอกาสเป็นไปได้มากกว่า และเหตุการณ์อื่นๆ มีโอกาสน้อยกว่า คนธรรมดาใช้คำว่า "มีโอกาสมากกว่า" หรือ "มีโอกาสน้อยกว่า" ตามที่พวกเขาพูดโดยไม่ได้ตั้งใจ โดยอาศัยสิ่งที่เรียกว่าสามัญสำนึก แต่บ่อยครั้งที่การประมาณการดังกล่าวไม่เพียงพอเนื่องจากสิ่งสำคัญคือต้องรู้ นานแค่ไหนเปอร์เซ็นต์อาจเป็นเหตุการณ์สุ่มหรือ กี่ครั้งเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่งมีแนวโน้มมากกว่าเหตุการณ์อื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการความแม่นยำ เชิงปริมาณคุณต้องสามารถระบุลักษณะความน่าจะเป็นด้วยตัวเลขได้

เราได้ดำเนินการขั้นตอนแรกในทิศทางนี้แล้ว เราบอกว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือนั้นมีลักษณะเป็นหนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้นั้นจะมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจาก 100% เท่ากับ 1 ผู้คนจึงเห็นด้วยกับสิ่งต่อไปนี้:

1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ถือว่าเท่ากับ 1;
2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ถือว่าเท่ากับ 0

จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มได้อย่างไร? ท้ายที่สุดมันก็เกิดขึ้น โดยบังเอิญซึ่งหมายความว่าไม่เป็นไปตามกฎหมาย อัลกอริธึม หรือสูตร ปรากฎว่าในโลกของการสุ่มมีกฎหมายบางข้อที่อนุญาตให้คำนวณความน่าจะเป็นได้ นี่คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า - ทฤษฎีความน่าจะเป็น.

โครงการความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

หากต้องการค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เมื่อทำการทดลอง คุณควร:

1) ค้นหาหมายเลข N ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองนี้
2) ยอมรับสมมติฐานที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดนี้มีโอกาสเท่าเทียมกัน
3) หาจำนวน N(A) ของผลลัพธ์ของการทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น
4) หาผลหาร N(A)/N และมันจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

มาอธิบายกันดีกว่า คำจำกัดความนี้ตามตัวอย่าง พิจารณาการทดลองสุ่มลูกเต๋า เป็นที่รู้กันว่าลูกเต๋ามี 6 ด้านที่มีหมายเลขเท่ากัน ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งจะเป็นหนึ่งในตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ในการทดลองนี้ เรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลายประการ nเท่ากับ 6 ให้เรากำหนดผลลัพธ์ที่คาดหวังให้เป็นเลข 5 เนื่องจากบนลูกเต๋ามีเลข 5 เพียงตัวเดียว จำนวนของผลลัพธ์ที่ดี มจะเท่ากับ 1 การใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก ทำให้ง่ายต่อการคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 คือ 1/6

เป็นที่น่าสังเกตว่าคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นใช้เฉพาะกับเหตุการณ์สุ่มที่มีผลลัพท์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่ากันเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากลูกเต๋ามีด้านไม่เท่ากัน ตัวเลขบางตัวก็มีแนวโน้มที่จะถูกทอยมากกว่าตัวอื่นๆ คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกจะไม่สามารถใช้ได้ในกรณีนี้

ความน่าจะเป็นเป็นจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือ 0 เนื่องจากจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ มเท่ากับ 0

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือ 1 เนื่องจากจำนวนผลลัพธ์ที่ดี มตรงกับจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n.

ส่วนการปฏิบัติ

แก้ไขปัญหา:

1. มีการโยนลูกเต๋าสองลูก: สีแดงและสีน้ำเงิน เมื่อพิจารณาว่าการผสมตัวเลขบนลูกเต๋าสีแดงและสีน้ำเงินทั้งหมดเป็นไปได้เท่ากัน ให้กำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนลูกเต๋าสีแดงและสีน้ำเงินจะเท่ากัน ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด (ชุดตัวเลข) ลูกเต๋าสีแดงสามารถมีตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่หนึ่งถึงหก สำหรับแต่ละตัวเลือกเหล่านี้ จะมีตัวเลือกตัวเลขหกตัวบนลูกเต๋าสีน้ำเงิน สมมติว่า หากลูกเต๋าสีแดงทอยได้สาม ตัวเลือกที่เป็นไปได้คือ (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (ก่อนอื่นเราเขียนตัวเลขบนลูกเต๋าสีแดงแล้วตามด้วยสีน้ำเงิน) โดยรวมแล้วจะมี 6 ґ 6 = 36 ชุด (ผลลัพธ์) พวกเขาสามารถจินตนาการได้ในรูปแบบของตาราง (ดูใบปลิวของหนังสือเรียน) ตามเงื่อนไข แต้มดีคือแต้มที่มีเลขเหมือนกันปรากฏบนลูกเต๋าทั้งสองลูก มีหกคนและยืนอยู่บนแนวทแยงของโต๊ะ: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) ดังนั้นสัดส่วนของผลลัพธ์ที่ดี (ความน่าจะเป็นที่ต้องการ) คือ 6 จาก 36 นั่นคือ 1/6
2. ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนธรรมชาติเมื่อขว้างลูกเต๋าคือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 9 เมื่อขว้างลูกเต๋าเป็นเท่าไหร่?
4. ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อโยนเหรียญเป็นเท่าไหร่?
5. ลอตเตอรีมีตั๋วทั้งหมด 55 ใบ โดย 7 ใบถูกรางวัล

ความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อซื้อตั๋วหนึ่งใบคือเท่าไร? ความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียเมื่อซื้อตั๋วหนึ่งใบคือเท่าไร?

1. การบ้าน
2. พิจารณาความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคี่เมื่อโยนลูกเต๋า
3. ยกตัวอย่างเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จากชีวิตในโรงเรียน
4. ตัวอักษรในคำว่า MISHA ผสมกันแล้ววางตามลำดับแบบสุ่ม (การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน) ความน่าจะเป็นที่คำเดียวกันจะออกมาเป็นเท่าไร? คำถามเดียวกันสำหรับคำว่า MAІІІА และ MAMA

เรามาพูดถึงปัญหาที่วลี "อย่างน้อยหนึ่งรายการ" ปรากฏขึ้น แน่นอนคุณได้พบกับงานดังกล่าวที่บ้านและ การทดสอบและตอนนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น ก่อนอื่นฉันจะพูดถึง กฎทั่วไปแล้วพิจารณาเป็นกรณีพิเศษและเขียนสูตรและตัวอย่างสำหรับแต่ละกรณี

วิธีการและตัวอย่างทั่วไป

เทคนิคทั่วไปเพื่อแก้ไขปัญหาที่เกิดวลี “อย่างน้อยหนึ่ง” ดังนี้