ความเร่งของจุดหนึ่งถูกกำหนดทิศทาง การเร่งความเร็วแบบจุด การเร่งความเร็วของจุดแข็งของร่างกาย

บ้าน

และเหตุใดจึงจำเป็น? เรารู้อยู่แล้วว่าระบบอ้างอิง สัมพัทธภาพการเคลื่อนที่ และจุดวัตถุคืออะไร เอาล่ะ ถึงเวลาที่ต้องเดินหน้าต่อไปแล้ว! ที่นี่เราจะดูแนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์ รวบรวมสูตรที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับพื้นฐานของจลนศาสตร์ และยกตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ มาแก้ไขปัญหานี้กัน:

จุดหนึ่งเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีรัศมี 4 เมตร กฎการเคลื่อนที่แสดงได้ด้วยสมการ S=A+Bt^2 A=8ม. B=-2ม./วินาที^2 ความเร่งปกติของจุดหนึ่งจะเท่ากับ 9 m/s^2 ณ จุดใด จงหาความเร็ว วงสัมผัส และความเร่งรวมของจุดในช่วงเวลานี้

วิธีแก้ปัญหา: เรารู้ว่าในการหาความเร็ว เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของกฎการเคลื่อนที่ในครั้งแรก และความเร่งปกติจะเท่ากับผลหารของกำลังสองของความเร็วและรัศมีของวงกลมที่จุดนั้น กำลังเคลื่อนไหว ด้วยความรู้นี้ เราจะพบปริมาณที่ต้องการ

ต้องการความช่วยเหลือในการแก้ปัญหาหรือไม่? บริการนักศึกษามืออาชีพพร้อมให้บริการแล้ว

ให้เราแนะนำหน่วยเวกเตอร์ τ ที่เกี่ยวข้องกับจุดเคลื่อนที่ A และกำหนดทิศทางแบบสัมผัสไปยังวิถีในทิศทางของการเพิ่มพิกัดส่วนโค้ง (รูปที่ 1.6) เห็นได้ชัดว่า τ เป็นเวกเตอร์ตัวแปร: ขึ้นอยู่กับ l เวกเตอร์ความเร็ว v ของจุด A ถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร จึงสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้

โดยที่ v τ =dl/dt คือเส้นโครงของเวกเตอร์ v ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ τ และ v τ คือปริมาณพีชคณิต นอกจากนั้น |v τ |=|v|=v

การเร่งความเร็วแบบจุด

(1.23)

มาแยกความแตกต่าง (1.22) เทียบกับเวลากันดีกว่า

(1.24)

ลองแปลงเทอมสุดท้ายของนิพจน์นี้กัน

ให้เราพิจารณาการเพิ่มขึ้นของเวกเตอร์ τ ด้วย dl (รูปที่ 1.7) ดังที่เห็นได้จากรูป 1.7 มุม .

จากที่ไหน และที่

ด้วยการนำเวกเตอร์หน่วย n ของเส้นปกติมาสู่วิถีโคจรที่จุดที่ 1 ซึ่งมุ่งสู่จุดศูนย์กลางของความโค้ง เราจะเขียนความเท่าเทียมกันสุดท้ายในรูปแบบเวกเตอร์

(1.26)

ให้เราแทน (1.23) เป็น (1.24) และนิพจน์ผลลัพธ์เป็น (1.22) ส่งผลให้เราพบว่า ในที่นี้เทอมแรกเรียกว่าวงสัมผัส τ วินาที -ปกติ

หนึ่ง.

ดังนั้น ความเร่งรวม a ของจุดสามารถแสดงเป็นผลรวมทางเรขาคณิตของความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ

(1.27)

โมดูลเร่งความเร็วเต็มจุด

มันมุ่งตรงไปยังความเว้าของวิถีที่มุม α ถึงเวกเตอร์ความเร็ว และ

ถ้ามุม α เป็นแบบเฉียบพลัน ดังนั้น tanα>0 ดังนั้น dv/dt>0 เนื่องจาก v 2 /R>0 จะเป็นเสมอ เร่ง(รูปที่ 1.8)

ในกรณีที่ความเร็วลดลงเมื่อเวลาผ่านไป การเคลื่อนไหวจะถูกเรียก ช้า(รูปที่ 1.9)

ถ้ามุม α=90°, tanα=∞ นั่นคือ dv/dt=0 ในกรณีนี้ ความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงตามขนาดเมื่อเวลาผ่านไป และความเร่งรวมจะเท่ากับจุดศูนย์กลาง

(1.28)

โดยเฉพาะการเร่งความเร็วโดยรวมของเครื่องแบบ การเคลื่อนไหวแบบหมุน(R=const, v=const) คือความเร่งสู่ศูนย์กลาง ซึ่งมีขนาดเท่ากับ n =v 2 /R และพุ่งเข้าหาศูนย์กลางตลอดเวลา

ในทางกลับกัน ในการเคลื่อนที่เชิงเส้น ความเร่งรวมของร่างกายจะเท่ากับค่าวงสัมผัส ในกรณีนี้ a n =0 เนื่องจากวิถีเส้นตรงถือได้ว่าเป็นวงกลมที่มีรัศมีใหญ่เป็นอนันต์ และด้วย R→∞; โวลต์ 2 /R=0; n =0; a=a τ .

การเร่งความเร็วคือปริมาณที่แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

ตัวอย่างเช่น เมื่อรถยนต์เริ่มเคลื่อนที่ มันจะเพิ่มความเร็ว กล่าวคือ เคลื่อนที่เร็วขึ้น ในตอนแรกความเร็วจะเป็นศูนย์ เมื่อเคลื่อนที่แล้ว รถจะค่อยๆ เร่งความเร็วจนถึงระดับหนึ่ง ถ้าไฟแดงมารถจะหยุด แต่จะไม่หยุดทันที แต่เมื่อเวลาผ่านไป นั่นคือความเร็วจะลดลงเหลือศูนย์ - รถจะเคลื่อนที่ช้าๆ จนกระทั่งหยุดสนิท อย่างไรก็ตาม ในฟิสิกส์ไม่มีคำว่า "ชะลอตัว" หากวัตถุเคลื่อนที่โดยลดความเร็วลง ก็จะเป็นการเร่งความเร็วของร่างกายด้วย โดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้น (ดังที่คุณจำได้ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์)

> คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อระยะเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ สูตรความเร่งเฉลี่ยสามารถกำหนดได้:

ข้าว. 1.8. อัตราเร่งเฉลี่ยในเอสไอ หน่วยเร่งความเร็ว– คือ 1 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที (หรือเมตรต่อวินาทียกกำลังสอง) กล่าวคือ

เมตรต่อวินาทีกำลังสองเท่ากับความเร่งของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ซึ่งความเร็วของจุดนี้จะเพิ่มขึ้น 1 เมตร/วินาทีในหนึ่งวินาที กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร่งจะกำหนดความเร็วของร่างกายที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งวินาที ตัวอย่างเช่น หากความเร่งคือ 5 m/s2 นั่นหมายความว่าความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้น 5 m/s ทุกๆ วินาที

ความเร่งของร่างกายทันที ( จุดวัสดุ) วี ในขณะนี้เวลาคือปริมาณทางกายภาพเท่ากับขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มในขณะที่ช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือความเร่งที่ร่างกายพัฒนาขึ้นในช่วงเวลาอันสั้นมาก:

ด้วยการเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบเร่ง ความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้นตามค่าสัมบูรณ์ กล่าวคือ

วี 2 > วี 1

และทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ความเร็ว

ถ้าความเร็วของร่างกายลดลงตามค่าสัมบูรณ์ นั่นก็คือ

วี 2< v 1

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว หรืออีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้ สิ่งที่เกิดขึ้นคือ ชะลอตัวลงในกรณีนี้ ความเร่งจะเป็นลบ (และ< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

ข้าว. 1.9. การเร่งความเร็วทันที

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ไม่เพียงแต่โมดูลความเร็วจะเปลี่ยนไป แต่ยังเปลี่ยนทิศทางด้วย ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งจะแสดงเป็นสององค์ประกอบ (ดูหัวข้อถัดไป)

ความเร่งในวงสัมผัส (วงสัมผัส)– นี่คือองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่พุ่งไปตามเส้นสัมผัสของวิถี ณ จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ ความเร่งในวงโคจรแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง

ข้าว. 1.10. ความเร่งในวงสัมผัส

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งวงโคจร (ดูรูปที่ 1.10) เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นหรืออยู่ตรงข้ามกับทิศทางนั้น นั่นคือเวกเตอร์ความเร่งในวงสัมผัสอยู่บนแกนเดียวกันกับวงกลมแทนเจนต์ซึ่งเป็นวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุ

อัตราเร่งปกติ

อัตราเร่งปกติเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่พุ่งไปตามเส้นปกติไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนดบนวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกาย นั่นคือเวกเตอร์ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ (ดูรูปที่ 1.10) ความเร่งปกติแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทางและเขียนแทนด้วยตัวอักษร เวกเตอร์ความเร่งปกติจะกำกับตามรัศมีความโค้งของวิถี

อัตราเร่งเต็มที่

อัตราเร่งเต็มที่ในระหว่างการเคลื่อนที่โค้ง จะประกอบด้วยความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ และถูกกำหนดโดยสูตร:

(ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

เรามาดูกันว่าความเร็วและความเร่งของจุดคำนวณอย่างไรหากการเคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยสมการ (3) หรือ (4) คำถามในการกำหนดวิถีในกรณีนี้ได้รับการพิจารณาแล้วในมาตรา 37

สูตร (8) และ (10) ซึ่งกำหนดค่าของ v และ a มีอนุพันธ์ของเวลาของเวกเตอร์ . ในความเท่าเทียมกันที่มีอนุพันธ์ของเวกเตอร์ การเปลี่ยนไปสู่การพึ่งพาระหว่างการฉายภาพจะดำเนินการโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้: การฉายภาพอนุพันธ์ของเวกเตอร์บนแกนที่คงที่ในระบบอ้างอิงที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของการฉายภาพของเวกเตอร์เชิงอนุพันธ์ ลงบนแกนเดียวกัน กล่าวคือ

1. การกำหนดความเร็วของจุด เวกเตอร์ความเร็วของจุด จากที่นี่ ตามสูตร (I) โดยคำนึงถึงสิ่งที่เราพบ:

โดยที่จุดเหนือตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์ของความแตกต่างตามเวลา ดังนั้น การคาดคะเนความเร็วของจุดบนแกนพิกัดจะเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเทียบกับเวลา

เมื่อทราบเส้นโครงของความเร็ว เราจะหาขนาดและทิศทางของมัน (เช่น มุมที่เวกเตอร์ v ก่อตัวพร้อมกับแกนพิกัด) โดยใช้สูตร

2. การหาความเร่งของจุด เวกเตอร์ความเร่งของจุด จากที่นี่ตามสูตร (11) เราได้รับ:

เช่น. เส้นโครงความเร่งของจุดหนึ่งไปยังแกนพิกัดจะเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเส้นโครงความเร็วหรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเทียบกับเวลา ขนาดและทิศทางของความเร่งหาได้จากสูตร

มุมที่เกิดจากเวกเตอร์ความเร่งกับแกนพิกัดอยู่ที่ไหน

ดังนั้น หากการเคลื่อนที่ของจุดถูกกำหนดไว้ในพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนด้วยสมการ (3) หรือ (4) ความเร็วของจุดจะถูกกำหนดโดยสูตร (12) และ (13) และความเร่งด้วยสูตร (14) และ (15) นอกจากนี้ ในกรณีที่มีการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นในระนาบเดียว ควรละทิ้งการฉายภาพบนแกนในทุกสูตร

ให้ทราบฟังก์ชันนี้แล้ว ในรูป 5.10
และ
 เวกเตอร์ความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่ ณ เวลาหนึ่ง ทีและ  ที- เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความเร็วเพิ่มขึ้น
ย้ายเวกเตอร์ให้ขนานกัน
ตรงประเด็น ม:

ความเร่งเฉลี่ยของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง  ที เรียกว่าอัตราส่วนเพิ่มเวกเตอร์ความเร็ว
เป็นระยะเวลาหนึ่ง ที:

เพราะฉะนั้น, ความเร่งของจุด ณ เวลาที่กำหนด เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับเวลาของเวกเตอร์ความเร็วของจุด หรืออนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์รัศมีสัมพันธ์กับเวลา

. (5.11)

การเร่งความเร็วแบบจุด นี่คือปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป

มาสร้างเครื่อง Hodograph ความเร็วกัน (รูปที่ 5.11) ตามคำนิยาม กราฟแสดงความเร็วคือเส้นโค้งที่วาดโดยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ความเร็วเมื่อจุดเคลื่อนที่ หากเวกเตอร์ความเร็วถูกพล็อตจากจุดเดียวกัน

การกำหนดความเร็วของจุดโดยใช้วิธีพิกัดเพื่อระบุการเคลื่อนที่

ให้การเคลื่อนที่ของจุดระบุโดยวิธีพิกัดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

เอ็กซ์ = x(ที), ย = ย(ที), z = z(ที)

เวกเตอร์รัศมีของจุดเท่ากับ

เนื่องจากเวกเตอร์หน่วย
คงที่แล้วตามคำจำกัดความ

. (5.12)

ให้เราแสดงถึงเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็วบนแกน โอ้, โอ้และ ออนซ์ผ่าน วี x , วี ย , วี z

(5.13)

เราได้รับการเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (5.12) และ (5.13)

(5.14)

ต่อไปนี้ อนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเวลาจะแสดงด้วยจุดด้านบน นั่นคือ

โมดูลัสความเร็วของจุดถูกกำหนดโดยสูตร

. (5.15)

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วถูกกำหนดโดยทิศทางโคไซน์:

การหาความเร่งของจุดโดยใช้วิธีพิกัดเพื่อระบุการเคลื่อนที่

เวกเตอร์ความเร็วในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมีค่าเท่ากับ

ตามคำนิยาม

ให้เราแสดงเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร่งบนแกน โอ้, โอ้และ ออนซ์ผ่าน ก x , ก ย , ก zดังนั้นเราจึงขยายเวกเตอร์ความเร็วไปตามแกน:

. (5.17)

เราได้รับการเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (5.16) และ (5.17)

โมดูลของเวกเตอร์ความเร่งจุดคำนวณคล้ายกับโมดูลของเวกเตอร์ความเร็วจุด:

, (5.19)

และทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งคือโคไซน์ทิศทาง:

การกำหนดความเร็วและความเร่งของจุดโดยใช้วิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่

วิธีนี้ใช้แกนธรรมชาติเริ่มต้นที่ตำแหน่งปัจจุบันของจุด มบนวิถี (รูปที่ 5.12) และเวกเตอร์หน่วย
เวกเตอร์หน่วย กำหนดทิศทางสัมผัสไปยังวิถีโคจรไปยังการอ้างอิงเชิงบวกของส่วนโค้ง เวกเตอร์หน่วย มุ่งไปตามเส้นปกติหลักของวิถีไปทางเว้า เวกเตอร์หน่วย มุ่งไปตามวิถีชีวปกติไปสู่วิถีที่จุดนั้น ม.