ลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัวและตัวอย่างที่ซับซ้อน สมการอตรรกยะ คู่มือที่ครอบคลุม

บ้าน

ผู้ฝึกสอนหมายเลข 1 หัวข้อ: การเปลี่ยนแปลงอำนาจและ ir

1. การแสดงออกที่มีเหตุผล

   หลักสูตรวิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

   โปรแกรม แอปพลิเคชัน. การประยุกต์สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อ การเปลี่ยนแปลง. การแสดงออก 4. เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ และตารางเวลาของพวกเขา สรุป.... . 16.01-20.01 18 การแปลงใจเย็น และ การเปลี่ยนแปลง. 23.01-27.01 19 ...

2. ไม่มีเหตุผล

   ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่องพีชคณิตสื่อการศึกษาและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

   ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่อง และ. และตารางเวลาของพวกเขา สรุป.... . 16.01-20.01 18 การแปลงใจเย็น และ การเปลี่ยนแปลงตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล และตารางเวลาของพวกเขา สรุป.... . 16.01-20.01 18- 2 2 2 กันยายน คุณสมบัติของลอการิทึม การเปลี่ยนแปลงลอการิทึม - 1 1 1 ...นิ้วอย่างเต็มที่ ได้รับการพิจารณาจากเหล่านั้น

3. นักเรียนที่มีความทะเยอทะยานสูง...

   หัวข้อบทเรียน ประเภทบทเรียน (4)

   ... บทเรียนการเปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงตัวเลขและตัวอักษร ซึ่งประกอบด้วย ... องศาองศา รู้: แนวคิดระดับ องศามีตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว คุณสมบัติพื้นฐาน ซึ่งประกอบด้วย- สามารถ: ค้นหาความหมาย กับไม่มีเหตุผล ... 3 ถึง « หัวข้อระดับ

4. เลขบวก...

   หัวข้อ: รากฐานทางวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์เพื่อการพัฒนาความรู้ทางจิตวิทยาในการทำงาน หัวข้อ: แรงงานในฐานะความเป็นจริงทางสังคมและจิตวิทยา

   เอกสาร ฯลฯ)หัวข้อ แรงงานมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเศรษฐกิจและสังคมการเปลี่ยนแปลง - เช่น ... การปรับโครงสร้างจิตสำนึก สัญชาตญาณไม่มีเหตุผล แนวโน้มเช่นความขัดแย้งภายใน ซึ่งประกอบด้วย ... กำลังตรวจสอบห้องว่างและความรุนแรง

5. บุคคลมีความแน่นอน...

   หัวข้อบทเรียน ประเภทบทเรียน (4)

   การแปลงนิพจน์ที่มีรากที่สอง (1) การแสดงออกเรียบเรียงโดย S.A. เทลยาคอฟสกี้ และตารางเวลาของพวกเขา สรุป.... . 16.01-20.01 18 การเปลี่ยนแปลงบทเรียน: บทเรียนที่มีสี่เหลี่ยมจตุรัส...) ซึ่งประกอบด้วยรากของผลิตภัณฑ์ เศษส่วน และ , การคูณ... ( การก่อตัวของทักษะที่เหมือนกัน และ การเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลง

- หมายเลข 421. (ที่กระดานดำ... บทความเปิดเผยความหมายการแสดงออกที่ไม่ลงตัว

และการเปลี่ยนแปลงร่วมกับพวกเขา ลองพิจารณาแนวคิดเรื่องการแสดงออกที่ไม่ลงตัว การเปลี่ยนแปลง และการแสดงออกของลักษณะเฉพาะกัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

การแสดงออกที่ไม่ลงตัวคืออะไร?

เมื่อแนะนำรากเหง้าที่โรงเรียน เราจะศึกษาแนวคิดของการแสดงออกที่ไม่ลงตัว สำนวนดังกล่าวมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับราก

คำจำกัดความ 1การแสดงออกที่ไม่ลงตัว

เป็นสำนวนที่มีราก นั่นคือนี่คือสำนวนที่มีราก ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความนี้

เมื่อพิจารณานิพจน์ x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 เราพบว่านิพจน์นั้นมีเหตุผล นิพจน์เหตุผลประกอบด้วยพหุนามและเศษส่วนพีชคณิต สิ่งที่ไม่มีเหตุผล ได้แก่ การทำงานกับนิพจน์ลอการิทึมหรือนิพจน์ที่รุนแรง

การแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวประเภทหลัก

เมื่อคำนวณนิพจน์ดังกล่าวจำเป็นต้องคำนึงถึง DZ บ่อยครั้งพวกเขาต้องการการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมในรูปแบบของวงเล็บเปิด โดยนำสมาชิกที่คล้ายกัน การจัดกลุ่ม และอื่นๆ พื้นฐานของการแปลงดังกล่าวคือการดำเนินการกับตัวเลข การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่ไม่ลงตัวเป็นไปตามคำสั่งที่เข้มงวด

ตัวอย่างที่ 1

แปลงนิพจน์ 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่หมายเลข 9 ด้วยนิพจน์ที่มีรูท แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

นิพจน์ที่ได้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดังนั้น เรามาทำการย่อและจัดกลุ่มกันดีกว่า เราได้รับ

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
คำตอบ: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

ตัวอย่างที่ 2

นำเสนอนิพจน์ x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 เป็นผลคูณของการไม่มีเหตุผลสองประการโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

โซลูชั่น

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

เราแทน 9 ในรูปแบบของ 3 2 และเราใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 +2

ผลลัพธ์ การเปลี่ยนแปลงตัวตนนำไปสู่ผลคูณของนิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผลสองประการที่ต้องค้นหา

คำตอบ:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

คุณสามารถทำการแปลงอื่นๆ ได้อีกหลายอย่างที่ใช้กับนิพจน์ที่ไม่ลงตัวได้

การแปลงนิพจน์ Radical

สิ่งสำคัญคือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันได้ ข้อความนี้ทำให้สามารถทำงานกับการแสดงออกที่รุนแรงได้ ตัวอย่างเช่น 1 + 6 สามารถแทนที่ด้วย 7 หรือ 2 · a 5 4 - 6 ด้วย 2 · a 4 · a 4 - 6 พวกมันเท่ากันดังนั้นการแทนที่จึงสมเหตุสมผล

เมื่อไม่มี 1 ที่แตกต่างจาก a โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ a n = a 1 n นั้นถูกต้อง ความเท่าเทียมกันดังกล่าวจะเกิดขึ้นได้เฉพาะกับ a = a 1 เท่านั้น ค่าของนิพจน์ดังกล่าวจะเท่ากับค่าใดๆ ของตัวแปร

การใช้คุณสมบัติรูท

คุณสมบัติของรากถูกใช้เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น หากต้องการใช้คุณสมบัติ a · b = a · b โดยที่ a ≥ 0, b ≥ 0 จากนั้นจากรูปแบบที่ไม่ลงตัว 1 + 3 · 12 สามารถเท่ากับ 1 + 3 · 12 ได้เหมือนกัน คุณสมบัติ. - - n k n 2 n 1 = n 1 · n 2 · , . - - , · nk โดยที่ ≥ 0 หมายความว่า x 2 + 4 4 3 สามารถเขียนได้ในรูปแบบ x 2 + 4 24

มีความแตกต่างบางประการเมื่อแปลงนิพจน์ที่รุนแรง หากมีนิพจน์ - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 เราไม่สามารถเขียนลงไปได้เนื่องจากสูตร a b n = a n b n ทำหน้าที่เฉพาะสำหรับ a ที่ไม่เป็นลบและบวก b หากใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้องผลลัพธ์จะเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม 7 4 81 4 .

สำหรับการแปลงที่ถูกต้องจะใช้การแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวโดยใช้คุณสมบัติของรูต

การป้อนตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูท

วางไว้ใต้ป้ายรูท– หมายถึงการแทนที่นิพจน์ B · C n และ B และ C คือตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 การแสดงออกที่เท่าเทียมกันซึ่งมีรูปแบบ B n · C n หรือ - B n · C n

หากเราลดความซับซ้อนของนิพจน์ของแบบฟอร์ม 2 x 3 จากนั้นหลังจากบวกเข้ากับรูทแล้ว เราจะได้ 2 3 x 3 การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นไปได้หลังจากการศึกษากฎโดยละเอียดสำหรับการแนะนำตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูทเท่านั้น

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

หากมีการแสดงออกของรูปแบบ B n · C n ก็จะลดลงเป็นรูปแบบ B · C n โดยมี n เป็นเลขคี่ ซึ่งอยู่ในรูปแบบ B · C n โดยที่เลขคู่ n , B และ C เป็นตัวเลขบางตัว และการแสดงออก

นั่นคือถ้าเราใช้นิพจน์ที่ไม่ลงตัวของรูปแบบ 2 3 x 3 ลบตัวประกอบออกจากใต้รูต จากนั้นเราจะได้นิพจน์ 2 x 3 หรือ x + 1 2 · 7 จะทำให้เกิดนิพจน์ในรูปแบบ x + 1 · 7 ซึ่งมีรูปแบบอื่นอยู่ในรูปแบบ x + 1 · 7

จำเป็นต้องลบตัวคูณออกจากใต้รูทเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและแปลงอย่างรวดเร็ว

การแปลงเศษส่วนที่มีราก

การแสดงออกที่ไม่ลงตัวอาจเป็นเช่น จำนวนธรรมชาติและอยู่ในรูปเศษส่วน ในการแปลงนิพจน์เศษส่วน ให้ใส่ใจกับตัวส่วนให้มาก หากเราหาเศษส่วนของรูปแบบ (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3 ตัวเศษก็จะอยู่ในรูปแบบ 5 x 4 และเมื่อใช้คุณสมบัติของรากเราจะพบว่าตัวส่วนจะกลายเป็น x 2 + 5 6. เศษส่วนเดิมสามารถเขียนได้เป็น 5 x 4 x 2 + 5 6

จำเป็นต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เราเข้าใจแล้ว

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

การลดเศษส่วนมักใช้ในการทำให้ง่ายขึ้น เราเข้าใจแล้ว

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 ลด x + 4 3 - 1 . เราได้นิพจน์ 3 x x + 4 3 - 1 2

ก่อนที่จะลดขนาด จำเป็นต้องทำการแปลงที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น และทำให้สามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ที่ซับซ้อนได้ สูตรคูณแบบย่อมักใช้กันมากที่สุด

หากเราใช้เศษส่วนของรูปแบบ 2 · x - y x + y จำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่ u = x และ v = x จากนั้นนิพจน์ที่กำหนดจะเปลี่ยนรูปแบบและกลายเป็น 2 · u 2 - v 2 u + โวลต์ ตัวเศษควรแยกย่อยเป็นพหุนามตามสูตร แล้วเราจะได้ค่านั้น

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราก็มาถึงรูปแบบ 2 x - y ซึ่งเท่ากับรูปแบบเดิม

อนุญาตให้ลดตัวส่วนใหม่ได้ จากนั้นจึงจำเป็นต้องคูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม หากเราหาเศษส่วนของรูปแบบ x 3 - 1 0, 5 · x เราก็ลดมันลงเป็นตัวส่วน x ในการทำเช่นนี้คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนด้วยนิพจน์ 2 x จากนั้นเราจะได้นิพจน์ x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

การลดเศษส่วนหรือการนำเศษส่วนที่คล้ายกันมาใช้นั้นจำเป็นเฉพาะกับ ODZ ของเศษส่วนที่ระบุเท่านั้น เมื่อเราคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์ที่ไม่ลงตัว เราจะพบว่าเรากำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนออกไป

กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

เมื่อนิพจน์กำจัดรากในตัวส่วนด้วยการแปลง เรียกว่าการกำจัดความไร้เหตุผล ลองดูตัวอย่างเศษส่วนของแบบฟอร์ม x 3 3 กัน หลังจากกำจัดความไร้เหตุผลออกไป เราก็จะได้เศษส่วนใหม่ของรูปแบบ 9 3 x 3

การเปลี่ยนจากรากไปสู่อำนาจ

การเปลี่ยนจากรากไปสู่พลังเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่ไม่ลงตัวอย่างรวดเร็ว หากเราพิจารณาความเท่าเทียมกัน a m n = a m n เราจะเห็นว่าสามารถใช้มันได้เมื่อ a เป็นจำนวนบวก m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ หากเราพิจารณานิพจน์ 5 - 2 3 มิฉะนั้นเรามีสิทธิ์เขียนเป็น 5 - 2 3 สำนวนเหล่านี้เทียบเท่ากัน

เมื่อรากมีจำนวนลบหรือตัวเลขที่มีตัวแปร สูตร a m n = a m n จะไม่สามารถใช้ได้เสมอไป หากคุณต้องการแทนที่รากดังกล่าว (- 8) 3 5 และ (- 16) 2 4 ด้วยพลัง เราจะได้ - 8 3 5 และ - 16 2 4 ตามสูตร a m n = a m n เราไม่ทำงานกับลบ a เพื่อวิเคราะห์รายละเอียดเกี่ยวกับหัวข้อของการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงและความเรียบง่ายจำเป็นต้องศึกษาบทความเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากรากไปสู่พลังและด้านหลัง ควรจำไว้ว่าสูตร a m n = a m n ไม่สามารถใช้ได้กับนิพจน์ประเภทนี้ทั้งหมด การกำจัดความไร้เหตุผลช่วยให้การแสดงออกการเปลี่ยนแปลงและการแก้ปัญหาง่ายขึ้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การแสดงออกที่ไม่ลงตัวและการเปลี่ยนแปลง

ครั้งล่าสุดที่เราจำได้(หรือเรียนรู้แล้วแต่ใคร)ว่ามันคืออะไร เรียนรู้วิธีการแยกรากดังกล่าว คิดออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของรากทีละชิ้นๆ และตัดสินใจไม่ทำ ตัวอย่างที่ซับซ้อนมีราก

บทเรียนนี้จะเป็นบทเรียนต่อเนื่องจากบทเรียนก่อนหน้าและจะเน้นไปที่การแปลงสำนวนที่หลากหลายซึ่งมีรากทุกประเภท สำนวนดังกล่าวเรียกว่า ไม่มีเหตุผล- นิพจน์ด้วยตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม การกำจัดความไม่ลงตัวของเศษส่วน และเทคนิคขั้นสูงบางประการในการทำงานกับรากจะปรากฏที่นี่ เทคนิคที่จะกล่าวถึงในบทเรียนนี้จะกลายเป็นพื้นฐานที่ดีในการแก้ปัญหา ปัญหาการสอบ Unified State(และไม่เพียงเท่านั้น) ของความซับซ้อนเกือบทุกระดับ มาเริ่มกันเลย

ก่อนอื่น ฉันจะทำซ้ำสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติของรากที่นี่ เพื่อไม่ให้กระโดดจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง พวกเขาอยู่ที่นี่:

ที่

คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้และสามารถนำไปใช้ได้ และทั้งสองทิศทาง - ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย มันขึ้นอยู่กับพวกเขาว่าการแก้ปัญหาสำหรับงานส่วนใหญ่ที่มีรากฐานของความซับซ้อนในระดับใดก็ตาม เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดในตอนนี้ - ด้วยการใช้สูตรโดยตรงหรือการผสมกัน

การใช้สูตรอย่างง่ายดาย

ในส่วนนี้จะพิจารณาตัวอย่างที่เรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย - โดยไม่มีตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม และลูกเล่นอื่น ๆ อย่างไรก็ตามแม้ในตัวเลือกเหล่านี้ตามกฎแล้วก็ยังมีตัวเลือกอยู่ และยิ่งตัวอย่างซับซ้อนมากเท่าไรก็ยิ่งมีตัวเลือกดังกล่าวมากขึ้นเท่านั้น และนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ประสบปัญหาหลัก - จะเริ่มตรงไหน? คำตอบที่นี่ง่าย - หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร จงทำสิ่งที่คุณทำได้- ตราบใดที่การกระทำของคุณอยู่ในความสงบและสอดคล้องกับกฎของคณิตศาสตร์และไม่ขัดแย้งกับกฎเหล่านั้น) ตัวอย่างเช่นงานนี้:

คำนวณ:

แม้แต่ตัวอย่างง่ายๆ เช่นนี้ ยังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายทาง

วิธีแรกคือการคูณรากด้วยคุณสมบัติแรกแล้วแยกรากออกจากผลลัพธ์:

ตัวเลือกที่สองคือ: เราไม่ได้แตะต้องมัน เราทำงานกับ . เรานำตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูทแล้ว - ตามคุณสมบัติแรก แบบนี้:

คุณสามารถตัดสินใจได้มากเท่าที่คุณต้องการ ในตัวเลือกใดๆ คำตอบคือ หนึ่ง - แปด ตัวอย่างเช่น มันง่ายกว่าสำหรับฉันที่จะคูณ 4 กับ 128 แล้วได้ 512 และสามารถแยกรากที่สามออกจากตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย หากใครจำไม่ได้ว่า 512 มี 8 ลูกบาศก์ก็ไม่สำคัญ คุณสามารถเขียน 512 เป็น 2 9 ได้ (หวังว่าคุณจะจำ 10 เลขยกกำลัง 2 ตัวแรกได้ไหม) แล้วใช้สูตรหารากของเลขยกกำลัง : :

อีกตัวอย่างหนึ่ง

คำนวณ: .

หากคุณทำงานตามคุณสมบัติแรก (วางทุกอย่างไว้ใต้รากเดียว) คุณจะได้ตัวเลขจำนวนมากซึ่งสามารถแยกรากออกมาได้ - ไม่ใช่น้ำตาลด้วย และไม่ใช่ความจริงที่ว่าจะถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน) ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการลบตัวประกอบออกจากใต้รากของจำนวน และใช้ประโยชน์สูงสุดจาก:

และตอนนี้ทุกอย่างเรียบร้อยดี:

สิ่งที่เหลืออยู่คือเขียนแปดและสองไว้ใต้รูทเดียว (ตามคุณสมบัติแรก) และงานก็เสร็จสิ้น -

ทีนี้มาบวกเศษส่วนกัน.

คำนวณ:

ตัวอย่างนี้ค่อนข้างดั้งเดิม แต่ก็มีตัวเลือกเช่นกัน คุณสามารถใช้ตัวคูณเพื่อแปลงตัวเศษและลดด้วยตัวส่วน:

หรือคุณสามารถใช้สูตรหารรากได้ทันที:

อย่างที่เราเห็นวิธีนี้และวิธีนั้นถูกต้อง) ถ้าไม่สะดุดครึ่งทางแล้วทำผิด แม้ว่าฉันจะไปผิดที่นี่ได้ที่ไหน ...

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างล่าสุดจาก การบ้านบทเรียนสุดท้าย:

ลดความซับซ้อน:

ชุดรากที่ไม่สามารถจินตนาการได้อย่างสมบูรณ์และแม้แต่รากที่ซ้อนกัน ฉันควรทำอย่างไร? สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัว! ที่นี่เราสังเกตเห็นเลข 2, 4 และ 32 ยกกำลังสองเป็นครั้งแรกใต้ราก สิ่งแรกที่ต้องทำคือลดจำนวนทั้งหมดลงเหลือสอง: ยิ่งตัวเลขในตัวอย่างเหมือนกันมากเท่าไหร่และต่างกันน้อยลงก็ยิ่งง่ายขึ้น) เรามาเริ่มกันที่ปัจจัยแรกแยกกัน:

ตัวเลขสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการลดสองตัวใต้รากโดยให้สี่อยู่ในเลขชี้กำลังราก:

ตอนนี้ตามรากฐานของงาน:

.

ในจำนวนที่เรานำทั้งสองออกมาเป็นเครื่องหมายรูท:

และเราจัดการกับนิพจน์โดยใช้รูทของสูตรรูท:

ดังนั้นปัจจัยแรกจะถูกเขียนดังนี้:

รากที่ซ้อนกันหายไปจำนวนก็น้อยลงซึ่งเป็นที่ชื่นชอบอยู่แล้ว เพียงว่ารากแตกต่างกัน แต่เราจะทิ้งมันไว้อย่างนั้นในตอนนี้ หากจำเป็นเราจะแปลงให้เป็นอันเดียวกัน ลองใช้ปัจจัยที่สองกัน)

เราแปลงปัจจัยที่สองในลักษณะเดียวกัน โดยใช้สูตรรากของผลิตภัณฑ์และรากของราก ในกรณีที่จำเป็น เราจะลดตัวบ่งชี้โดยใช้สูตรที่ห้า:

เราวางทุกอย่างลงในตัวอย่างดั้งเดิมและรับ:

เราได้รับผลผลิตจากรากที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คงจะดีถ้านำพวกมันทั้งหมดมารวมกันเป็นตัวบ่งชี้เดียว แล้วเราจะได้เห็นกัน มันค่อนข้างเป็นไปได้ เลขชี้กำลังรากที่ใหญ่ที่สุดคือ 12 และที่เหลือทั้งหมด - 2, 3, 4, 6 - เป็นตัวหารของหมายเลข 12 ดังนั้นเราจะลดรากทั้งหมดตามคุณสมบัติที่ห้าให้เหลือหนึ่งเลขชี้กำลัง - 12:

เรานับและรับ:

เราไม่ได้เบอร์สวยแต่ก็ไม่เป็นไร เราถูกถาม ลดความซับซ้อนการแสดงออก ไม่ใช่ นับ- ประยุกต์? แน่นอน! และประเภทของคำตอบ (จำนวนเต็มหรือไม่) จะไม่มีบทบาทใดๆ อีกต่อไป

สูตรการบวก/ลบ และสูตรคูณแบบย่อบางสูตร

น่าเสียดายที่สูตรทั่วไปสำหรับ การบวกและการลบรากไม่ในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในงานมักจะพบการกระทำเหล่านี้ที่มีราก ที่นี่จำเป็นต้องเข้าใจว่ารากใด ๆ นั้นเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เดียวกันกับตัวอักษรในพีชคณิตทุกประการ) และเทคนิคและกฎเดียวกันนี้ใช้กับรากเช่นเดียวกับตัวอักษร - วงเล็บเปิด, นำอันที่คล้ายกัน, สูตรคูณแบบย่อ ฯลฯ p.

ตัวอย่างเช่น เป็นที่ชัดเจนสำหรับทุกคนว่า เหมือนกันทุกประการ เหมือนกันรากสามารถเพิ่ม/ลบซึ่งกันและกันได้ค่อนข้างง่าย:

ถ้ารากต่างกัน เราจะมองหาวิธีที่จะทำให้มันเหมือนกัน - โดยการบวก/ลบตัวคูณ หรือใช้คุณสมบัติที่ห้า หากไม่ทำให้ง่ายขึ้น แต่อย่างใด การแปลงอาจมีความยุ่งยากมากขึ้น

ลองดูตัวอย่างแรกกัน

ค้นหาความหมายของสำนวน: .

ทั้งสามรากถึงแม้จะเป็นลูกบาศก์ก็มาจาก แตกต่างตัวเลข พวกมันไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างหมดจดและถูกบวก/ลบออกจากกัน ดังนั้นการใช้สูตรทั่วไปจึงไม่ได้ผลที่นี่ ฉันควรทำอย่างไร? เรามาแยกปัจจัยในแต่ละรูตกันดีกว่า ไม่ว่าในกรณีใด มันจะไม่เลวร้ายไปกว่านี้) ยิ่งกว่านั้น ในความเป็นจริงไม่มีตัวเลือกอื่น:

ดังนั้น, .

นั่นคือวิธีแก้ปัญหา ที่นี่เราย้ายจากรากที่ต่างกันมาสู่รากเดียวกันด้วยความช่วยเหลือ ลบตัวคูณออกจากใต้รูท- แล้วพวกเขาก็นำสิ่งที่คล้ายกันมา) เราตัดสินใจต่อไป

ค้นหาค่าของนิพจน์:

คุณไม่สามารถทำอะไรกับรากเหง้าของเลขสิบเจ็ดได้อย่างแน่นอน เราทำงานตามคุณสมบัติแรก - เราสร้างหนึ่งรูตจากผลคูณของสองรูต:

ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า เรามีอะไรอยู่ใต้ใหญ่ รากที่สาม- ความแตกต่างคือควา... แน่นอน! ความแตกต่างของกำลังสอง:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการแยกราก: .

คำนวณ:

ที่นี่คุณจะต้องแสดงความฉลาดทางคณิตศาสตร์) เราคิดประมาณดังนี้: “ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของราก ภายใต้รากหนึ่งคือความแตกต่าง และอีกรากหนึ่งคือผลรวม คล้ายกับผลต่างของสูตรกำลังสองมาก แต่... รากมันต่างกัน! อันแรกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และอันที่สองเป็นของระดับที่สี่... คงจะดีถ้าทำให้เหมือนกัน ตามคุณสมบัติที่ห้าเราสามารถได้อย่างง่ายดาย รากที่สองสร้างรากที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกกำลังสองการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง”

ถ้าคุณคิดแบบเดียวกัน คุณก็มาได้ครึ่งทางของความสำเร็จแล้ว ถูกต้องที่สุด! ลองเปลี่ยนตัวประกอบแรกเป็นรากที่สี่กัน แบบนี้:

ตอนนี้ ไม่มีอะไรต้องทำ แต่คุณจะต้องจำสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างไว้ เมื่อนำไปใช้กับรากเท่านั้น แล้วไงล่ะ? เหตุใดรากจึงแย่กว่าตัวเลขหรือสำนวนอื่น ๆ ! เราสร้าง:

“อืม พวกเขาสร้างมันขึ้นมา แล้วไงล่ะ? มะรุมไม่หวานกว่าหัวไชเท้า หยุด! และถ้าคุณเอาสี่อันใต้รากออกไปล่ะ? จากนั้นสำนวนเดียวกันนี้จะปรากฏภายใต้รากที่สอง โดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้น และนี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ!”

ขวา! เอาล่ะสี่:

.

และตอนนี้ - เรื่องของเทคโนโลยี:

นี่คือวิธีการแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อน) ตอนนี้ถึงเวลาฝึกเศษส่วนแล้ว

คำนวณ:

ชัดเจนว่าจะต้องแปลงตัวเศษ ยังไง? การใช้สูตรกำลังสองของผลรวมแน่นอน เรามีทางเลือกอื่นอีกหรือไม่? :) เรายกกำลังสอง เอาปัจจัยออก ลดตัวบ่งชี้ (หากจำเป็น):

ว้าว! เราได้ตัวส่วนของเศษส่วนพอดี) ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนทั้งหมดจะเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด:

อีกตัวอย่างหนึ่ง ตอนนี้ใช้สูตรอื่นสำหรับการคูณแบบย่อเท่านั้น)

คำนวณ:

เป็นที่ชัดเจนว่าต้องใช้กำลังสองของความแตกต่างในทางปฏิบัติ เราเขียนตัวส่วนแยกกันและ - ไปกันเลย!

เราดึงปัจจัยต่างๆ ออกมาจากใต้ราก:

เพราะฉะนั้น,

ตอนนี้ทุกสิ่งเลวร้ายลดลงอย่างยอดเยี่ยมและปรากฎว่า:

เอาล่ะ เรามายกระดับกันต่อไป -

ตัวอักษรและเงื่อนไขเพิ่มเติม

สำนวนตามตัวอักษรที่มีรากเป็นสิ่งที่ยุ่งยากกว่า นิพจน์ตัวเลขและเป็นบ่อเกิดของข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญและร้ายแรงมากไม่สิ้นสุด มาปิดแหล่งข้อมูลนี้กันดีกว่า) ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากงานดังกล่าวมักเกี่ยวข้องกับตัวเลขและนิพจน์ที่เป็นลบ พวกเขาจะมอบให้เราโดยตรงในงานหรือซ่อนอยู่ใน ตัวอักษรและเงื่อนไขเพิ่มเติม- และในกระบวนการทำงานกับราก เราต้องจำไว้เสมอว่าในราก แม้แต่ปริญญาทั้งใต้รากและผลจากการสกัดรากก็ควรมี การแสดงออกที่ไม่เป็นลบ- สูตรสำคัญในงานของย่อหน้านี้จะเป็นสูตรที่สี่:

ไม่มีคำถามที่มีรากขององศาคี่ - ทุกอย่างจะถูกแยกออกมาเสมอทั้งบวกและลบ และเครื่องหมายลบ (หากมี) จะถูกนำไปข้างหน้า มาตรงไปที่รากกัน สม่ำเสมอองศา.) เช่น งานสั้นๆ แบบนี้

ลดความซับซ้อน: , ถ้า .

ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะง่าย มันจะกลายเป็น X.) แต่ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น เงื่อนไขเพิ่มเติม - ในกรณีเช่นนี้ การประมาณค่าด้วยตัวเลขจะเป็นประโยชน์ เพื่อตัวฉันเองเท่านั้น) ถ้าแล้ว x ก็เป็นจำนวนลบอย่างเห็นได้ชัด เช่น ลบสาม เป็นต้น หรือลบสี่สิบ. อนุญาต . คุณยกลบ 3 ยกกำลัง 4 ได้ไหม? แน่นอน! ผลลัพธ์คือ 81 เป็นไปได้ไหมที่จะแยกรากที่สี่ของ 81 ออก? ทำไมไม่? สามารถ! คุณได้รับสาม ตอนนี้เรามาวิเคราะห์ห่วงโซ่ทั้งหมดของเรา:

เราเห็นอะไร? ข้อมูลเข้าเป็นจำนวนลบ และผลลัพธ์เป็นค่าบวกอยู่แล้ว ลบสามแล้ว ตอนนี้บวกสามแล้ว) กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ไม่ต้องสงสัยเลยว่าโมดูโลจะเป็น X อย่างแน่นอน แต่มีเพียง X เท่านั้นที่เป็นลบ (ตามเงื่อนไข!) และผลลัพธ์ของการแยก (เนื่องจากรูทเลขคณิต!) จะต้องเป็นบวก จะได้รับบวกได้อย่างไร? ง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าจำนวนลบที่ชัดเจน) และ การตัดสินใจที่ถูกต้องดูเหมือนว่านี้:

อย่างไรก็ตาม หากเราใช้สูตร เมื่อจำคำจำกัดความของโมดูลได้ เราก็จะได้คำตอบที่ถูกต้องทันที เนื่องจาก

|x| = -x ที่ x<0.

นำตัวประกอบออกจากเครื่องหมายราก: , ที่ไหน .

การมองแวบแรกคือการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่ ไม่ว่าในกรณีใดก็จะไม่เป็นลบ มาเริ่มทำการสกัดกัน เมื่อใช้สูตรสำหรับรากของผลิตภัณฑ์ เราจะแยกรากของแต่ละปัจจัยออกมา:

ฉันไม่คิดว่าไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าโมดูลมาจากไหน) ทีนี้มาวิเคราะห์แต่ละโมดูลกันดีกว่า

ตัวคูณ | ก - เราไม่เปลี่ยนแปลง: เราไม่มีเงื่อนไขใด ๆ สำหรับจดหมายก- เราไม่รู้ว่ามันเป็นบวกหรือลบ โมดูลถัดไป |ข 2 - สามารถละเว้นได้อย่างปลอดภัย: ไม่ว่าในกรณีใด ให้ใช้นิพจน์ข 2 ไม่เป็นลบ แต่เกี่ยวกับ |ค 3 - - มีปัญหาอยู่แล้วที่นี่) ถ้า, แล้ว ค 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть ด้วยเครื่องหมายลบ: | ค 3 | = - ค 3 - โดยรวมแล้ว วิธีแก้ไขที่ถูกต้องคือ:

และตอนนี้ - ปัญหาย้อนกลับ ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ฉันเตือนคุณทันที!

ป้อนตัวคูณใต้เครื่องหมายรูท: .

หากคุณเขียนวิธีแก้ปัญหาเช่นนี้ทันที

แล้วคุณ ตกหลุมพราง- นี้ การตัดสินใจที่ผิด- เกิดอะไรขึ้น?

มาดูสำนวนใต้รากกันดีกว่า ภายใต้รากฐานของกำลังที่สี่อย่างที่เราทราบกันดีว่ามันควรจะมี ไม่เป็นลบการแสดงออก. มิฉะนั้นรากจะไม่มีความหมาย) ดังนั้น และนี่ก็หมายความว่าและด้วยเหตุนี้ตัวมันเองจึงไม่เป็นบวกเช่นกัน: .

และข้อผิดพลาดที่นี่คือเรากำลังแนะนำตั้งแต่ต้นตอ ไม่เป็นบวกตัวเลข: ระดับที่สี่เปลี่ยนเป็น ไม่เป็นลบและได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง - ทางด้านซ้ายจะมีเครื่องหมายลบโดยเจตนาและทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายบวกอยู่แล้ว และวางไว้ที่ราก สม่ำเสมอเรามีสิทธิ์เท่านั้นที่จะ ไม่เป็นลบตัวเลขหรือสำนวน และทิ้งเครื่องหมายลบ (ถ้ามี) ไว้หน้ารูต) เราจะเลือกตัวประกอบที่ไม่เป็นลบในตัวเลขได้อย่างไรโดยรู้ว่าตัวเองเป็นลบหมดเลย? ใช่แล้ว เหมือนกันทุกประการ! ใส่เครื่องหมายลบ) และเพื่อไม่ให้มีอะไรเปลี่ยนแปลง ให้ชดเชยด้วยเครื่องหมายลบอีกอัน แบบนี้:

และตอนนี้แล้ว ไม่เป็นลบเราป้อนหมายเลข (-b) ใต้รูทอย่างใจเย็นตามกฎทั้งหมด:

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า คำตอบที่ถูกต้องไม่ได้เป็นไปตามสูตรโดยอัตโนมัติเสมอไป ซึ่งต่างจากสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ คุณต้องคิดและตัดสินใจอย่างถูกต้องเป็นการส่วนตัว) คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษกับการลงชื่อเข้าใช้ สมการไม่ลงตัวและอสมการ.

เรามาดูเทคนิคสำคัญต่อไปเมื่อทำงานกับรูต - กำจัดความไร้เหตุผล.

ขจัดความไร้เหตุผลในรูปเศษส่วน

หากนิพจน์มีราก ฉันขอเตือนคุณว่านิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า การแสดงออกด้วยความไร้เหตุผล- ในบางกรณี การกำจัดความไร้เหตุผลอย่างยิ่งนี้ออกไป (เช่น ราก) อาจมีประโยชน์ คุณจะกำจัดรากได้อย่างไร? รากของเราจะหายไปเมื่อ... ยกขึ้นเป็นพลัง ด้วยตัวบ่งชี้ที่เท่ากับตัวบ่งชี้รูทหรือตัวคูณ แต่ถ้าเรายกกำลังรากขึ้นมา (เช่น คูณรากด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ) นิพจน์ก็จะเปลี่ยนไป ไม่ดีเลย) อย่างไรก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์มีหลายหัวข้อที่การคูณค่อนข้างไม่ลำบาก ในรูปเศษส่วน เป็นต้น ตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ถ้าตัวเศษและตัวส่วนคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมมติว่าเราได้รับเศษส่วนนี้:

เป็นไปได้ไหมที่จะกำจัดรากในตัวส่วน? สามารถ! ในการทำเช่นนี้รากจะต้องถูกยกกำลังสาม เราขาดอะไรในตัวส่วนของลูกบาศก์เต็ม? เราขาดตัวคูณเช่น- เราก็คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย

รากในตัวส่วนหายไป แต่... เขาปรากฏตัวในตัวเศษ ไม่มีอะไรที่สามารถทำได้นั่นคือโชคชะตา) สิ่งนี้ไม่สำคัญสำหรับเราอีกต่อไป: เราถูกขอให้ปล่อยตัวส่วนออกจากราก ปล่อยแล้ว? ไม่ต้องสงสัยเลย)

อย่างไรก็ตาม ผู้ที่มีความคุ้นเคยกับตรีโกณมิติอยู่แล้วอาจให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าในหนังสือเรียนและตารางบางเล่มมีการกำหนดแตกต่างกัน: ที่ไหนสักแห่ง และบางแห่ง . คำถามคือ - อะไรคือสิ่งที่ถูกต้อง? คำตอบ: ทุกอย่างถูกต้อง!) หากคุณเดาอย่างนั้น– นี่เป็นเพียงผลลัพธ์ของการปลดปล่อยจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน. :)

เหตุใดเราจึงควรหลุดพ้นจากความไม่ลงตัวของเศษส่วน? มันสร้างความแตกต่างอะไร - รากอยู่ในตัวเศษหรือในตัวส่วน? เครื่องคิดเลขจะคำนวณทุกอย่างอยู่แล้ว) สำหรับผู้ที่ไม่ได้ใช้เครื่องคิดเลขแทบไม่มีความแตกต่างเลย... แต่ถึงแม้จะใช้เครื่องคิดเลขคุณก็สามารถใส่ใจกับความจริงที่ว่า แบ่งบน ทั้งหมดหมายเลขจะสะดวกและรวดเร็วกว่าเปิดอยู่เสมอ ไม่มีเหตุผล- และฉันจะเงียบเกี่ยวกับการแบ่งออกเป็นคอลัมน์)

ตัวอย่างต่อไปนี้จะยืนยันคำพูดของฉันเท่านั้น

เราจะกำจัดสแควร์รูทของตัวส่วนตรงนี้ได้อย่างไร? หากตัวเศษและส่วนคูณด้วยนิพจน์ ตัวส่วนจะเป็นกำลังสองของผลรวม ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองจะให้ตัวเลขที่ไม่มีรากซึ่งน่าพอใจมาก อย่างไรก็ตาม...มันจะปรากฏขึ้นมา ผลิตภัณฑ์คู่เลขตัวแรกถึงตัวที่สอง โดยที่รากของเลขสามยังคงอยู่ มันไม่มีช่อง.. ฉันควรทำอย่างไร? จำอีกสูตรที่ยอดเยี่ยมสำหรับการคูณแบบย่อ! โดยที่ไม่มีผลคูณสองเท่า มีแต่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:

นิพจน์ที่เมื่อคูณด้วยผลรวม (หรือผลต่าง) จะสร้างออกมา ความแตกต่างของกำลังสองเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกร่วมกัน- ในตัวอย่างของเรา นิพจน์คอนจูเกตจะมีความแตกต่าง ดังนั้นเราจึงคูณทั้งเศษและส่วนด้วยผลต่างนี้:

ฉันจะพูดอะไรได้บ้าง? ผลจากการยักย้ายของเรา ไม่เพียงแต่รากของตัวส่วนหายไป แต่เศษส่วนก็หายไปทั้งหมดด้วย! :) ถึงแม้จะใช้เครื่องคิดเลข การลบรากของสามจากสามยังง่ายกว่าการคำนวณเศษส่วนโดยมีรากอยู่ในตัวส่วน อีกตัวอย่างหนึ่ง

ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน:

จะออกไปจากสิ่งนี้ได้อย่างไร? สูตรสำหรับการคูณแบบย่อด้วยกำลังสองไม่ทำงานทันที - มันเป็นไปไม่ได้ที่จะกำจัดรากออกอย่างสมบูรณ์เนื่องจากคราวนี้รากของเราไม่เป็นกำลังสอง แต่ ลูกบาศก์- จำเป็นต้องยกรากให้เป็นลูกบาศก์ ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรใดสูตรหนึ่งที่มีลูกบาศก์ อันไหน? ลองคิดดูสิ ตัวส่วนคือผลรวม เราจะบรรลุลูกบาศก์ของรูตได้อย่างไร? คูณด้วย ผลต่างกำลังสองบางส่วน- ดังนั้นเราจะใช้สูตร ผลรวมของลูกบาศก์- อันนี้:

เช่น กเรามีสามอย่างและมีคุณภาพ ข– รากที่สามของห้า:

และเศษส่วนก็หายไปอีกครั้ง) สถานการณ์เช่นนี้เมื่อเศษส่วนหายไปพร้อมกับรากอย่างสมบูรณ์เมื่อเป็นอิสระจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนเศษส่วนนั้นก็จะหายไปพร้อมกับรากอย่างสมบูรณ์ คุณชอบตัวอย่างนี้อย่างไร!

คำนวณ:

ลองบวกเศษส่วนทั้งสามนี้ดูสิ! ไม่มีข้อผิดพลาด! :) ตัวส่วนร่วมตัวเดียวก็คุ้มค่า จะเป็นอย่างไรถ้าเราพยายามปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน? เรามาลองกัน:

ว้าว น่าสนใจจังเลย! เศษส่วนหมด! อย่างสมบูรณ์. และตอนนี้ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้สองวิธี:

เรียบง่ายและสง่างาม และไม่มีการคำนวณที่ยาวและน่าเบื่อ -

นั่นคือเหตุผลที่เราต้องสามารถดำเนินการปลดปล่อยจากการไร้เหตุผลเป็นเศษส่วนได้ ในตัวอย่างที่ซับซ้อนเช่นนี้ สิ่งเดียวที่ช่วยประหยัดได้ ใช่แล้ว) แน่นอนว่าไม่มีใครยกเลิกความใส่ใจได้ มีงานที่คุณถูกขอให้กำจัดความไร้เหตุผล เศษ- งานเหล่านี้ไม่แตกต่างจากที่พิจารณา มีเพียงตัวเศษเท่านั้นที่ถูกล้างออกจากราก)

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ยังคงต้องพิจารณาเทคนิคพิเศษบางอย่างในการทำงานกับรากและการฝึกฝนการแยกส่วนไม่ใช่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด จากนั้นข้อมูลที่ได้รับจะเพียงพอที่จะแก้ไขงานที่มีรากฐานของความซับซ้อนทุกระดับ เอาเลย) ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับรูทที่ซ้อนกันเมื่อรูทจากสูตรรูทไม่ทำงาน ตัวอย่างเช่น นี่คือตัวอย่าง

คำนวณ:

รากอยู่ใต้ราก... ยิ่งไปกว่านั้น ใต้รากคือผลรวมหรือผลต่าง ดังนั้นสูตรรากของราก (ที่มีการคูณเลขชี้กำลัง) จึงอยู่ที่นี่ ไม่ทำงาน- ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทำอะไรสักอย่าง การแสดงออกที่รุนแรง: เราไม่มีทางเลือกอื่นเลย ในตัวอย่างนี้ ส่วนใหญ่แล้วรูทขนาดใหญ่จะถูกเข้ารหัส กำลังสองที่สมบูรณ์แบบจำนวนเท่าใดก็ได้ หรือความแตกต่าง และรากของสี่เหลี่ยมก็ถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์แบบแล้ว! และตอนนี้หน้าที่ของเราคือการถอดรหัสมัน) การถอดรหัสดังกล่าวทำได้อย่างสวยงาม ระบบสมการ- ตอนนี้คุณจะเห็นทุกอย่างด้วยตัวคุณเอง)

ดังนั้นภายใต้รูทแรกเรามีนิพจน์นี้:

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเดาไม่ถูก? มาตรวจสอบกัน! เรายกกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

ถูกต้องครับ) แต่... ไปเอาสำนวนนี้มาจากไหน? จากฟากฟ้า?

ไม่) เราจะทำให้มันลดลงเล็กน้อยโดยสุจริต เพียงใช้นิพจน์นี้ ฉันแสดงให้เห็นว่าผู้เขียนงานเข้ารหัสช่องสี่เหลี่ยมดังกล่าวอย่างไร :) 54 คืออะไร? นี้ ผลรวมกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สอง- และให้ความสนใจโดยไม่มีราก! และรากยังคงอยู่ ผลิตภัณฑ์คู่ซึ่งในกรณีของเราเท่ากับ ดังนั้น การไขตัวอย่างดังกล่าวจึงเริ่มต้นด้วยการค้นหาผลิตภัณฑ์สองเท่า หากคุณคลี่คลายด้วยการเลือกตามปกติ และโดยวิธีการเกี่ยวกับสัญญาณ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้า double แสดงว่ากำลังสองของผลรวม หากเป็นลบ นั่นคือความแตกต่าง) เรามีเครื่องหมายบวก - นั่นหมายถึงกำลังสองของผลรวม) และตอนนี้ - วิธีถอดรหัสเชิงวิเคราะห์ที่สัญญาไว้ ผ่านระบบ)

ดังนั้นภายใต้รากเหง้าของเราจึงมีการแสดงออกอย่างชัดเจน (ก+ข) 2และหน้าที่ของเราคือค้นหา กใจเย็น ข- ในกรณีของเรา ผลรวมของกำลังสองให้ 54 ดังนั้นเราจึงเขียนว่า:

ตอนนี้เพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า เรามีมัน- ดังนั้นเราจึงเขียนมันลงไป:

เราได้รับระบบนี้:

เราแก้ด้วยวิธีทดแทนปกติ ตัวอย่างเช่น เราแสดงจากสมการที่สอง และแทนที่มันลงในสมการแรก:

มาแก้สมการแรกกัน:

ได้รับ ทวิภาคสมการสัมพัทธ์ก - เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

วิธี,

เราได้ค่าที่เป็นไปได้มากถึงสี่ค่าก- เราไม่กลัว. ตอนนี้เราจะกำจัดสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปทั้งหมด) หากเราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละค่าที่พบทั้งสี่ค่า เราจะได้วิธีแก้ปัญหาสี่วิธีสำหรับระบบของเรา พวกเขาอยู่ที่นี่:

และคำถามก็คือ - โซลูชันใดที่เหมาะกับเรา ลองคิดดูสิ วิธีแก้ปัญหาเชิงลบสามารถละทิ้งได้ทันที: เมื่อทำการยกกำลังสอง minuses จะ "หมดแรง" และการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงโดยรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง) สองตัวเลือกแรกยังคงอยู่ คุณสามารถเลือกได้โดยพลการ: การจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ยังคงไม่เปลี่ยนผลรวม) สมมุติว่า ,

โดยรวมแล้วเราได้กำลังสองของผลรวมต่อไปนี้ใต้ราก:

ทุกอย่างชัดเจน)

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันอธิบายกระบวนการตัดสินใจโดยละเอียด เพื่อให้ชัดเจนว่าการถอดรหัสเกิดขึ้นได้อย่างไร) แต่มีปัญหาอยู่ประการหนึ่ง วิธีวิเคราะห์ของการถอดรหัสแม้ว่าจะเชื่อถือได้ แต่ก็ใช้เวลานานและยุ่งยากมาก คุณต้องแก้สมการกำลังสอง หาวิธีแก้ปัญหาสี่วิธีให้กับระบบ แล้วยังคิดว่าจะเลือกวิธีไหน... หนักใจไหม? เห็นด้วยครับ ลำบากใจ วิธีนี้ใช้ได้ผลดีกับตัวอย่างเหล่านี้ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณสามารถประหยัดงานได้มากและค้นหาตัวเลขทั้งสองอย่างสร้างสรรค์ โดยการคัดเลือก) ใช่แล้ว! ตอนนี้ โดยใช้ตัวอย่างของเทอมที่สอง (รากที่สอง) ฉันจะแสดงวิธีที่ง่ายกว่าและเร็วกว่าในการแยกกำลังสองทั้งหมดใต้ราก

ตอนนี้เรามีรากนี้: .

ลองคิดแบบนี้: “ภายใต้รูทนั้นน่าจะเป็นสแควร์ที่สมบูรณ์ที่ถูกเข้ารหัส เมื่อมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าค่าสองเท่า หมายความว่ากำลังสองของผลต่าง ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองทำให้เราได้ตัวเลขนั้น 54- แต่พวกนี้เป็นสี่เหลี่ยมแบบไหน? 1 และ 53? 49 และ 5 - มีตัวเลือกมากเกินไป... ไม่ ควรเริ่มแกะออกโดยเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่าจะดีกว่า ของเราสามารถเขียนเป็น . สินค้าไทม์ เพิ่มเป็นสองเท่าจากนั้นเราก็ทิ้งทั้งสองทันที จากนั้นผู้สมัครรับบทบาท a และ b ยังคงเป็น 7 และ แล้วถ้าเป็น 14 และ./2 - มันเป็นไปได้. แต่เรามักเริ่มต้นด้วยสิ่งที่เรียบง่ายเสมอ!”งั้น, ให้, ก. ลองตรวจสอบผลรวมของกำลังสอง:

มันได้ผล! ซึ่งหมายความว่านิพจน์รากของเราคือกำลังสองของผลต่าง:

นี่เป็นวิธีง่ายๆ ในการหลีกเลี่ยงการยุ่งกับระบบ มันไม่ได้ผลเสมอไป แต่ในหลายตัวอย่างเหล่านี้ ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้น ใต้รากจึงมีกำลังสองสมบูรณ์ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากอย่างถูกต้องและคำนวณตัวอย่าง:

ทีนี้เรามาดูงานที่ไม่ได้มาตรฐานบนรูทกันดีกว่า)

พิสูจน์ว่าเลข A– จำนวนเต็ม ถ้า .

ไม่มีการสกัดโดยตรง รากถูกฝัง และแม้แต่ในระดับที่แตกต่างกัน... ฝันร้าย! อย่างไรก็ตาม งานนี้สมเหตุสมผล) ดังนั้นจึงมีกุญแจสำคัญในการแก้ไข) และกุญแจสำคัญคือสิ่งนี้ พิจารณาความเท่าเทียมกันของเรา

ยังไง สมการสัมพัทธ์ ก- ใช่ ใช่! คงจะดีถ้ากำจัดรากออกไป รากของเราเป็นลูกบาศก์ ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการกัน ตามสูตรครับ ลูกบาศก์ของผลรวม:

ลูกบาศก์และรากลูกบาศก์หักล้างกัน และใต้รากใหญ่แต่ละอัน เราจะนำวงเล็บหนึ่งอันจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วยุบผลคูณของผลต่างและผลรวมให้เป็นผลต่างของกำลังสอง:

แยกกันเราคำนวณความแตกต่างของกำลังสองใต้ราก:

เมื่อทำการแปลงรูททางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของพวกมันจะถูกใช้ (ดูย่อหน้าที่ 35)

ลองดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของรากเลขคณิตในการแปลงรากอย่างง่าย ในกรณีนี้ เราจะถือว่าตัวแปรทั้งหมดรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1. แยกรากของผลิตภัณฑ์ โซลูชัน เมื่อใช้คุณสมบัติ 1° เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 ลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

สารละลาย.

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงคือการทำให้นิพจน์รากศัพท์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ตามคุณสมบัติ 3° ที่เรามี โดยปกติแล้วพวกมันจะพยายามทำให้นิพจน์รากง่ายขึ้น โดยจะดึงตัวประกอบออกจากเครื่องหมายของราก เรามี

ตัวอย่างที่ 4: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ลองแปลงนิพจน์โดยใส่ตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายราก: ตามคุณสมบัติ 4° ที่เรามี

ตัวอย่างที่ 5: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ด้วยสมบัติของ 5° เรามีสิทธิ์หารเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน หากในตัวอย่างที่กำลังพิจารณาเราแบ่งตัวบ่งชี้ที่ระบุด้วย 3 เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์: ก)

วิธีแก้ปัญหา a) ตามคุณสมบัติ 1° เราพบว่าในการคูณรากที่มีระดับเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะคูณนิพจน์รากและแยกรากที่มีระดับเดียวกันออกจากผลลัพธ์ที่ได้ วิธี,

b) ก่อนอื่น เราต้องลดอนุมูลให้เหลือตัวบ่งชี้เดียว จากคุณสมบัติของ 5° เราสามารถคูณเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากันได้ ดังนั้น ต่อไปเรามี และตอนนี้ในผลลัพธ์ที่ได้การหารตัวบ่งชี้ของรูตและระดับของการแสดงออกที่รุนแรงด้วย 3 เราได้

คุณสมบัติของรากรองรับการเปลี่ยนแปลงสองครั้งถัดไป เรียกว่า นำพวกมันมาไว้ใต้เครื่องหมายรูท และนำพวกมันออกจากใต้เครื่องหมายรูท ซึ่งตอนนี้เราจะหันไปหา

การป้อนตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูท

การแนะนำตัวประกอบใต้เครื่องหมายหมายถึงการแทนที่นิพจน์ โดยที่ B และ C คือตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน และ n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 โดยมีนิพจน์ในรูปแบบ หรือ ที่เท่ากัน

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ที่ไม่ลงตัวหลังจากใส่ตัวประกอบเป็น 2 ไว้ใต้เครื่องหมายรูทจะอยู่ในรูปแบบ

รากฐานทางทฤษฎีของการเปลี่ยนแปลงนี้ กฎสำหรับการนำไปปฏิบัติ ตลอดจนวิธีแก้ไขสำหรับตัวอย่างทั่วไปต่างๆ มีระบุไว้ในบทความแนะนำตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูต

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

การแปลง ในแง่หนึ่งซึ่งตรงกันข้ามกับการนำตัวประกอบมาอยู่ใต้เครื่องหมายราก คือการเอาตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก ประกอบด้วยการแสดงรากเป็นผลคูณของเลขคี่ n หรือเป็นผลคูณของเลขคู่ n โดยที่ B และ C คือตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน

ตัวอย่างเช่น กลับไปที่ย่อหน้าก่อนหน้า: นิพจน์ที่ไม่ลงตัวหลังจากลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูทแล้ว จะใช้แบบฟอร์ม อีกตัวอย่างหนึ่ง: การลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูทในนิพจน์จะให้ผลคูณ ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น .

การเปลี่ยนแปลงนี้มีพื้นฐานมาจากอะไรและตามกฎที่ดำเนินการ เราจะตรวจสอบในบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับการลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ที่นั่นเราจะให้คำตอบสำหรับตัวอย่างและรายการวิธีลดนิพจน์รากให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการคูณ

การแปลงเศษส่วนที่มีราก

นิพจน์ที่ไม่ลงตัวสามารถประกอบด้วยเศษส่วนที่มีรากอยู่ในตัวเศษและตัวส่วน ด้วยเศษส่วนดังกล่าวคุณสามารถทำสิ่งพื้นฐานใดก็ได้ การแปลงเอกลักษณ์ของเศษส่วน.

ประการแรก ไม่มีอะไรขัดขวางคุณจากการทำงานกับนิพจน์ในตัวเศษและส่วน ยกตัวอย่างให้พิจารณาเศษส่วน นิพจน์ที่ไม่ลงตัวในตัวเศษจะเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด และเมื่อเปลี่ยนเป็นคุณสมบัติของราก นิพจน์ในตัวส่วนจะถูกแทนที่ด้วยรากได้ เป็นผลให้เศษส่วนดั้งเดิมถูกแปลงเป็นรูปแบบ

ประการที่สอง คุณสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วนได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเศษหรือส่วน ตัวอย่างเช่น การแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวเกิดขึ้นดังต่อไปนี้: .

ประการที่สาม บางครั้งเป็นไปได้และแนะนำให้ลดเศษส่วนลง ตัวอย่างเช่น วิธีปฏิเสธตัวเองว่าไม่มีความสุขในการลดเศษส่วน กับการแสดงออกที่ไม่ลงตัว ด้วยเหตุนี้เราจึงได้ .

เป็นที่ชัดเจนว่าในหลายกรณี ก่อนที่จะลดเศษส่วน จะต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ในตัวเศษและส่วนออกก่อน ซึ่งในกรณีง่ายๆ สามารถทำได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ และบางครั้งก็ช่วยลดเศษส่วนด้วยการแทนที่ตัวแปร ซึ่งช่วยให้คุณย้ายจากเศษส่วนดั้งเดิมแบบไร้เหตุผลไปเป็นเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งสะดวกและคุ้นเคยในการทำงานด้วยมากกว่า

ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์ เรามาแนะนำตัวแปรใหม่และ ในตัวแปรเหล่านี้นิพจน์ดั้งเดิมจะมีรูปแบบ มีการแสดงในตัวเศษ