Tg เป็นฟังก์ชันคู่ กราฟของฟังก์ชันคู่และคี่

บ้าน

ซ่อนแสดง

วิธีการระบุฟังก์ชัน

ให้สูตรกำหนดฟังก์ชัน: y=2x^(2)-3 ด้วยการกำหนดค่าใด ๆ ให้กับตัวแปรอิสระ x คุณสามารถคำนวณโดยใช้สูตรนี้ซึ่งเป็นค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม y ตัวอย่างเช่น หาก x=-0.5 เมื่อใช้สูตร เราจะพบว่าค่าที่สอดคล้องกันของ y คือ y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5

ย

เมื่อใช้ตารางนี้ คุณจะเห็นว่าสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ −1 ค่าฟังก์ชัน −3 จะสอดคล้องกัน และค่า x=2 จะสอดคล้องกับ y=0 เป็นต้น สิ่งสำคัญคือต้องทราบด้วยว่าค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าในตารางสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียวเท่านั้น

สามารถระบุฟังก์ชันเพิ่มเติมได้โดยใช้กราฟ การใช้กราฟจะกำหนดว่าค่าของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กับค่า x ที่กำหนด ส่วนใหญ่แล้ว ค่านี้จะเป็นค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคู่และคี่ ฟังก์ชั่นคือแม้กระทั่งฟังก์ชั่น

ฟังก์ชันคู่และคี่ เมื่อ f(-x)=f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oyฟังก์ชั่นคี่

ฟังก์ชันคู่และคี่ เมื่อ f(-x)=-f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด O (0;0), ไม่ได้ด้วยซ้ำไม่แปลก และถูกเรียกว่า การทำงาน มุมมองทั่วไป

เมื่อไม่มีความสมมาตรรอบแกนหรือจุดกำเนิด

ให้เราตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้เพื่อความเท่าเทียมกัน:

ฉ(x)=3x^(3)-7x^(7) D(f)=(-\infty ; +\infty) โดยมีโดเมนสมมาตรที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ฉ(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))=.

-ฉ(x)

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f(x)=3x^(3)-7x^(7) เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันคาบ ฟังก์ชัน y=f(x) ในโดเมนที่ความเท่าเทียมกัน f(x+T)=f(x-T)=f(x) ถือสำหรับ x ใดๆ เรียกว่าฟังก์ชั่นเป็นระยะ

โดยมีจุด T \neq 0

การทำซ้ำกราฟของฟังก์ชันบนส่วนใดๆ ของแกน x ที่มีความยาว T

ช่วงที่ฟังก์ชันเป็นบวก นั่นคือ f(x) > 0 คือส่วนของแกนแอบซิสซาที่สอดคล้องกับจุดของกราฟฟังก์ชันซึ่งอยู่เหนือแกนแอบซิสซา f(x) > 0 เปิด

(x_(1); x_(2)) \ถ้วย (x_(3); +\infty)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นลบ นั่นคือ f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ถ้วย (x_(2); x_(3))

ฟังก์ชั่นจำกัด

กั้นจากด้านล่างเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีตัวเลข A ซึ่ง f(x) \geq A ใช้สำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตจากด้านล่าง: y=\sqrt(1+x^(2)) เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 สำหรับ x ใดๆ

ล้อมรอบจากด้านบนฟังก์ชัน y=f(x), x \in X ถูกเรียกเมื่อมีตัวเลข B ซึ่ง f(x) \neq B มีค่าไม่เท่ากันสำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 สำหรับใด ๆ x \in [-1;1]

จำกัดเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีจำนวน K > 0 ซึ่งค่าอสมการ \left | ฉ(x)\ขวา | \neq K สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันแบบจำกัด: y=\sin x ถูกจำกัดไว้ทั่วทั้งฟังก์ชัน แกนจำนวน, เพราะ \ซ้าย | \บาป x \right | \neq1.

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่พิจารณาเป็น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นเมื่อไร มูลค่าที่สูงขึ้น x จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน y=f(x) ตามมาว่าการรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) จากช่วงเวลาที่พิจารณาด้วย x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1)) > ใช่(x_(2))

ฟังก์ชันที่ลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณาเรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อค่า x ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) ตามมาว่าเมื่อพิจารณาจากช่วงเวลาภายใต้การพิจารณาค่าสองค่าโดยพลการของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) และ x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1))< y(x_{2}) .

รากของฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดที่ฟังก์ชัน F=y(x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y(x)=0)

ก) ถ้าสำหรับ x > 0 แม้กระทั่งฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น แล้วลดลงเมื่อ x< 0

b) เมื่อฟังก์ชันเลขคู่ลดลงที่ x > 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่ x< 0

c) เมื่อฟังก์ชันคี่เพิ่มขึ้นที่ x > 0 ก็จะเพิ่มขึ้นที่ x ด้วย< 0

d) เมื่อฟังก์ชันคี่ลดลงสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันก็จะลดลงสำหรับ x ด้วย< 0

สุดขีดของฟังก์ชัน

จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งย่านใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) > f จะเป็น พอใจ (x_(0)) . y_(นาที) - การกำหนดฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด

จุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) จะเป็นที่น่าพอใจ< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: f"(x)=0 เมื่อฟังก์ชัน f(x) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_(0) จะมีจุดสุดโต่ง ณ จุดนี้

สภาพที่เพียงพอ

1. เมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แล้ว x_(0) จะเป็นจุดต่ำสุด
2. x_(0) - จะเป็นจุดสูงสุดเฉพาะเมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดที่นิ่ง x_(0) .

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ขั้นตอนการคำนวณ:

1. ค้นหาอนุพันธ์ f"(x);
2. พบจุดคงที่และจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดที่อยู่ในส่วนนั้น
3. ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ที่จุดคงที่และจุดวิกฤตและส่วนปลายของเซ็กเมนต์ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่นและอีกมากมาย - ใหญ่ที่สุด.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้กระดาษกราฟหรือเครื่องคิดเลขกราฟ เลือกค่าตัวแปรอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ x (\รูปแบบการแสดงผล x)และเสียบเข้ากับฟังก์ชันเพื่อคำนวณค่าของตัวแปรตาม y (\displaystyle y)- พล็อตพิกัดที่พบของจุดต่างๆ ประสานงานเครื่องบินแล้วเชื่อมต่อจุดเหล่านี้เพื่อสร้างกราฟให้กับฟังก์ชัน

• แทนค่าตัวเลขบวกลงในฟังก์ชัน x (\รูปแบบการแสดงผล x)และค่าตัวเลขลบที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชัน แทนค่าต่อไปนี้ลงไป x (\รูปแบบการแสดงผล x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9)- เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3)- เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9)- เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน และความเท่าเทียมกันก็มีส่วนที่น่าประทับใจ หลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ โดยส่วนใหญ่จะกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่เกี่ยวข้อง

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันกัน โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันที่กำลังศึกษาจะได้รับการพิจารณาแม้ว่าค่าตรงข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความนั้นค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

เรามาให้คำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้กันดีกว่า พิจารณาฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D มันจะเป็นแม้ว่าจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความก็ตาม:

• -x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตนี้เช่นกัน

• ฉ(-x) = ฉ(x)

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าว กล่าวคือ สมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด เนื่องจากหากมีจุด b บางจุดอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของคู่ ฟังก์ชัน ดังนั้นจุด b ที่สอดคล้องกันก็อยู่ในโดเมนนี้ด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้น จึงสรุปได้ว่า ฟังก์ชันคู่มีรูปแบบสมมาตรเทียบกับแกนพิกัด (Oy)

จะตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

ปล่อยให้ระบุโดยใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ตามอัลกอริทึมที่ตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง เราจะตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความก่อน เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือเป็นไปตามเงื่อนไขแรก

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่ค่าตรงข้าม (-x) สำหรับอาร์กิวเมนต์ (x)
เราได้รับ:
ชั่วโมง(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการบวกเป็นไปตามกฎการสลับสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) จึงชัดเจนว่า h(-x) = h(x) และค่าที่กำหนด การพึ่งพาการทำงาน- สม่ำเสมอ.

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) ตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราจะได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x ลบออกในที่สุดเราก็มี
ชั่วโมง(-x)=-(11^x-11^(-x))=- ชั่วโมง(x) ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่ามีฟังก์ชันที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้ได้ เรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคู่ก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

• อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน พวกเขาได้ฟังก์ชั่นที่เท่ากัน
• อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• แม้กระทั่ง แม้กระทั่ง;
• อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• อันเป็นผลมาจากการคูณฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
• หากคุณยกกำลังสองฟังก์ชันคี่ คุณจะได้ฟังก์ชันคู่

ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันคู่ ก็จะเพียงพอที่จะหาคำตอบสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร รากผลลัพธ์ของสมการจะต้องรวมกับจำนวนตรงข้าม หนึ่งในนั้นต้องได้รับการตรวจสอบ

นอกจากนี้ยังใช้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 จะมีสามรากหรือไม่

หากเราคำนึงว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ จะเห็นได้ชัดว่าการแทนที่ x ด้วย - x สมการที่กำหนดจะไม่เปลี่ยนแปลง ตามมาว่าหากจำนวนหนึ่งเป็นราก จำนวนตรงข้ามก็จะเป็นรากด้วย ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการที่แตกต่างจากศูนย์จะรวมอยู่ในชุดคำตอบ "เป็นคู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่ 0 นั่นคือจำนวนรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้นและโดยธรรมชาติแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์นั้นไม่สามารถมีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 สามารถเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ก็ได้ แน่นอนมันง่ายที่จะตรวจสอบชุดของราก สมการที่กำหนดมีสารละลายเป็นคู่ ลองตรวจสอบว่า 0 เป็นรูตหรือไม่ เมื่อเราแทนมันลงในสมการ เราจะได้ 2=2 ดังนั้นนอกเหนือจากค่าที่ "จับคู่" แล้ว 0 ยังเป็นรากซึ่งพิสูจน์เลขคี่อีกด้วย

ซึ่งคุ้นเคยกับคุณในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น มีการบันทึกไว้ด้วยว่าสต็อกของคุณสมบัติฟังก์ชันจะค่อยๆ เติมเต็ม เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติใหม่สองประการในส่วนนี้

คำจำกัดความ 1.

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X ถูกเรียกแม้ว่าค่า x ใดๆ จากเซต X จะมีความเท่าเทียมกัน f (-x) = f (x) ก็ตาม

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X เรียกว่าคี่ ถ้าค่า x ใดๆ จากเซต X ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ยังคงอยู่

พิสูจน์ว่า y = x 4 เป็นฟังก์ชันคู่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 แต่(-x) 4 = x 4 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน f(-x) = f(x) ยังคงอยู่ นั่นคือ ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y - x 2, y = x 6, y - x 8 เป็นเลขคู่

พิสูจน์ว่า y = x 3 ~ เป็นฟังก์ชันคี่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 แต่ (-x) 3 = -x 3 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใด ๆ ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ถืออยู่นั่นคือ ฟังก์ชั่นแปลก

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y = x, y = x 5, y = x 7 เป็นเลขคี่

เราได้เห็นมากกว่าหนึ่งครั้งแล้วว่าคำศัพท์ใหม่ในคณิตศาสตร์มักมีต้นกำเนิด "ทางโลก" เช่น พวกเขาสามารถอธิบายได้ เป็นกรณีที่มีทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ โปรดดู: y - x 3, y = x 5, y = x 7 เป็นฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ y = x 2, y = x 4, y = x 6 เป็นฟังก์ชันคู่ และโดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = x" (ด้านล่างเราจะศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้โดยเฉพาะ) โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ เราสามารถสรุปได้ว่า ถ้า n เป็นจำนวนคี่ ฟังก์ชัน y = x" ก็คือ แปลก; ถ้า n เป็นจำนวนคู่ ฟังก์ชัน y = xn จะเป็นเลขคู่

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือคี่อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = 2x + 3 แท้จริงแล้ว f(1) = 5 และ f (-1) = 1 ดังที่คุณเห็นในที่นี้ ไม่มีตัวตน f(-x) = f ( x) หรือเอกลักษณ์ f(-x) = -f(x)

ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเลขคู่ คี่ หรือเป็นค่าทั้งสองก็ได้

กำลังศึกษาคำถามว่า. ฟังก์ชันที่กำหนดคู่หรือคี่มักเรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน

ในคำจำกัดความ 1 และ 2 เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับค่าของฟังก์ชันที่จุด x และ -x นี่ถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ทั้งจุด x และจุด -x ซึ่งหมายความว่าจุด -x อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันพร้อมกับจุด x หากเซตตัวเลข X พร้อมด้วยสมาชิก x แต่ละตัว มีสมาชิกตรงข้าม -x ด้วยเช่นกัน X จะเรียกว่าเซตสมมาตร สมมติว่า (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) เป็นเซตสมมาตร ในขณะที่ \).

เนื่องจาก \(x^2\geqslant 0\) ดังนั้นด้านซ้ายของสมการ (*) จึงมากกว่าหรือเท่ากับ \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)

ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (*) จะเป็นที่น่าพอใจก็ต่อเมื่อทั้งสองด้านของสมการเท่ากับ \(\mathrm(tg)^2\,1\) เท่านั้น และนี่หมายความว่า \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(กรณี)\quad\ลูกศรซ้ายขวา\quad x=0\]ดังนั้น ค่า \(a=-\mathrm(tg)\,1\) จึงเหมาะกับเรา

คำตอบ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

ภารกิจที่ 2 #3923

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน \

สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

หากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นเลขคี่ นั่นคือ \(f(-x)=-f(x)\) ถือเป็น \(x\) ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ของฟังก์ชัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นซึ่ง \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ขวาน)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \ลูกศรขวา \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ชิด)\]

สมการสุดท้ายจะต้องเป็นไปตามทุก \(x\) จากโดเมนของ \(f(x)\) ดังนั้น \(\sin(2\pi a)=0 \ลูกศรขวา a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

คำตอบ:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

ภารกิจที่ 3 #3069

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) โดยแต่ละสมการ \ มี 4 คำตอบ โดยที่ \(f\) เป็นฟังก์ชันคาบคู่ที่มีจุด \(T=\dfrac(16)3\) กำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด และ \(f(x)=ax^2\) สำหรับ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(งานจากสมาชิก)

เนื่องจาก \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันคู่ กราฟของมันจะสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด ดังนั้น เมื่อ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ขวาน^2\) . ดังนั้นเมื่อ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)และนี่คือส่วนของความยาว \(\dfrac(16)3\) , ฟังก์ชัน \(f(x)=ax^2\)

1) ให้ \(a>0\) . จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) จะมีลักษณะดังนี้:


จากนั้น เพื่อให้สมการมี 4 คำตอบ กราฟ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ต้องผ่านจุด \(A\) :


เพราะฉะนั้น, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(ชิด)\end(รวบรวม)\right \quad\ลูกศรซ้าย\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(ชิด) \end( รวบรวม)\right.\]เนื่องจาก \(a>0\) ดังนั้น \(a=\dfrac(18)(23)\) จึงเหมาะสม

2) ให้ \(ก<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


จำเป็นที่กราฟ \(g(x)\) จะผ่านจุด \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(ชิด) \end(รวบรวม)\right.\]เนื่องจาก \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) กรณีที่ \(a=0\) ไม่เหมาะสม เนื่องจากแล้ว \(f(x)=0\) สำหรับทั้งหมด \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) และ สมการจะมีเพียง 1 รูท

คำตอบ:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

ภารกิจที่ 4 #3072

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าจะมีสมการ \

มีอย่างน้อยหนึ่งราก

(งานจากสมาชิก)

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ \ และพิจารณาสองฟังก์ชัน: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) และ \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
ฟังก์ชัน \(g(x)\) เป็นเลขคู่และมีจุดต่ำสุด \(x=0\) (และ \(g(0)=49\) )
ฟังก์ชัน \(f(x)\) สำหรับ \(x>0\) กำลังลดลง และสำหรับ \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
อันที่จริง เมื่อ \(x>0\) โมดูลที่สองจะเปิดขึ้นในเชิงบวก (\(|x|=x\) ) ดังนั้น ไม่ว่าโมดูลแรกจะเปิดอย่างไร \(f(x)\) จะเท่ากัน ถึง \( kx+A\) โดยที่ \(A\) คือการแสดงออกของ \(a\) และ \(k\) เท่ากับ \(-9\) หรือ \(-3\) เมื่อ \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
ลองหาค่าของ \(f\) ที่จุดสูงสุด: \

เพื่อให้สมการมีวิธีการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ กราฟของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) จำเป็นต้องมีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด ดังนั้นคุณต้องมี: \ \\]

คำตอบ:

\(ก\ใน \(-7\)\ถ้วย\)

ภารกิจที่ 5 #3912

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าจะมีสมการ \

มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันหกแบบ

มาทำการแทนที่ \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ \ เราจะค่อยๆ เขียนเงื่อนไขที่สมการดั้งเดิมจะมีคำตอบหกข้อ
โปรดทราบว่าสมการกำลังสอง \((*)\) สามารถมีคำตอบได้สูงสุดสองคำตอบ สมการลูกบาศก์ใดๆ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) สามารถมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ดังนั้น หากสมการ \((*)\) มีสองคำตอบที่แตกต่างกัน (บวก! เนื่องจาก \(t\) ต้องมากกว่าศูนย์) \(t_1\) และ \(t_2\) จากนั้นจึงทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราได้รับ: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(ชิด)\end(รวบรวม)\right.\]เนื่องจากจำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็น \(\sqrt2\) ได้ในระดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)จากนั้นสมการแรกของเซตจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ \ ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว สมการกำลังสามใดๆ จะมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ดังนั้น แต่ละสมการในชุดจะมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ซึ่งหมายความว่าทั้งชุดจะมีวิธีแก้ปัญหาได้ไม่เกินหกข้อ
ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้สมการดั้งเดิมมีหกคำตอบ สมการกำลังสอง \((*)\) จะต้องมีสองคำตอบที่แตกต่างกัน และแต่ละสมการลูกบาศก์ผลลัพธ์ (จากเซต) จะต้องมีสามคำตอบที่แตกต่างกัน (และไม่ใช่คำตอบเดียวของ สมการหนึ่งควรตรงกับสมการใด ๆ - โดยการตัดสินใจของวินาที!)
แน่นอนว่า หากสมการกำลังสอง \((*)\) มีคำตอบเดียว เราจะไม่ได้คำตอบหกข้อจากสมการดั้งเดิม

แผนการแก้ปัญหาจึงมีความชัดเจน มาเขียนเงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตามทีละจุด

1) เพื่อให้สมการ \((*)\) มีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบ ค่าจำแนกต้องเป็นค่าบวก: \

2) นอกจากนี้ยังจำเป็นที่รากทั้งสองจะต้องเป็นบวก (เนื่องจาก \(t>0\) ) หากผลคูณของรากทั้งสองเป็นบวกและผลรวมของมันเป็นบวก รากนั้นก็จะเป็นบวก ดังนั้นคุณต้องมี: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\ลูกศรซ้าย\quad a<10\]

ดังนั้นเราจึงได้เตรียมรากที่เป็นบวกที่แตกต่างกันสองอันไว้แล้ว \(t_1\) และ \(t_2\)

3) ลองดูที่สมการนี้ \ \(t\) จะมีวิธีแก้ปัญหาสามแบบที่แตกต่างกันไปเพื่ออะไร
พิจารณาฟังก์ชัน \(f(x)=x^3-3x^2+4\)
สามารถแยกตัวประกอบได้: \ ดังนั้น ค่าศูนย์ของมันคือ: \(x=-1;2\)
หากเราพบอนุพันธ์ \(f"(x)=3x^2-6x\) เราก็จะได้จุดสุดขั้วสองจุด \(x_(max)=0, x_(min)=2\)
ดังนั้นกราฟจึงมีลักษณะดังนี้:


เราจะเห็นว่าเส้นแนวนอนใดๆ \(y=k\) โดยที่ \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสามวิธี จำเป็นที่ \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
ดังนั้นคุณต้องการ: \[\begin(กรณี) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] โปรดทราบว่าหากตัวเลข \(t_1\) และ \(t_2\) ต่างกัน ดังนั้นตัวเลข \(\log_(\sqrt2)t_1\) และ \(\log_(\sqrt2)t_2\) จะเป็น ต่างกันซึ่งหมายถึงสมการ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)และ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ก็จะมีรากที่แตกต่างกัน
ระบบ \((**)\) สามารถเขียนใหม่ได้ดังต่อไปนี้: \[\begin(กรณี) 1

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาแล้วว่ารากทั้งสองของสมการ \((*)\) ต้องอยู่ในช่วง \((1;4)\) จะเขียนเงื่อนไขนี้ได้อย่างไร?
เราจะไม่เขียนรากออกมาอย่างชัดเจน
พิจารณาฟังก์ชัน \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) กราฟของมันคือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น ซึ่งมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน x (เราเขียนเงื่อนไขนี้ไว้ในย่อหน้าที่ 1)) กราฟควรมีลักษณะอย่างไรเพื่อให้จุดตัดกับแกน x อยู่ในช่วง \((1;4)\) ดังนั้น:


ประการแรก ค่า \(g(1)\) และ \(g(4)\) ของฟังก์ชันที่จุด \(1\) และ \(4\) จะต้องเป็นบวก และประการที่สอง จุดยอดของ พาราโบลา \(t_0\ ) จะต้องอยู่ในช่วงเวลา \((1;4)\) ด้วย ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนระบบได้: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) มีอย่างน้อยหนึ่งรูต \(x=0\) เสมอ ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้บรรลุเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องมีสมการ \

มีสี่รากที่แตกต่างกัน แตกต่างจากศูนย์ แทน ร่วมกับ \(x=0\) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โปรดทราบว่าฟังก์ชัน \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าถ้า \(x_0\) เป็นรากของสมการ \( (*)\ ) จากนั้น \(-x_0\) จะเป็นรูทของมันด้วย จากนั้น จึงจำเป็นที่รากของสมการนี้จะต้องเรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปหามาก: \(-2d, -d, d, 2d\) (จากนั้น \(d>0\)) เมื่อถึงเวลานั้นตัวเลขทั้งห้านี้จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (โดยมีส่วนต่าง \(d\))

เพื่อให้รากเหล่านี้เป็นตัวเลข \(-2d, -d, d, 2d\) มันจำเป็นที่ตัวเลข \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) จะเป็นรากของ สมการ \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) จากนั้นตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ \ และพิจารณาสองฟังก์ชัน: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) และ \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
ฟังก์ชัน \(g(x)\) มีจุดสูงสุด \(x=0\) (และ \(g_(\text(บนสุด))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\)- อนุพันธ์เป็นศูนย์: \(x=0\) เมื่อ \(x<0\) имеем: \(g">0\) สำหรับ \(x>0\) : \(g"<0\) .
ฟังก์ชัน \(f(x)\) สำหรับ \(x>0\) กำลังเพิ่มขึ้น และสำหรับ \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
อันที่จริง เมื่อ \(x>0\) โมดูลแรกจะเปิดขึ้นในเชิงบวก (\(|x|=x\)) ดังนั้น ไม่ว่าโมดูลที่สองจะเปิดขึ้นอย่างไร \(f(x)\) จะเท่ากัน ถึง \( kx+A\) โดยที่ \(A\) คือการแสดงออกของ \(a\) และ \(k\) เท่ากับ \(13-10=3\) หรือ \(13+10 =23\) . เมื่อ \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
ลองหาค่าของ \(f\) ที่จุดต่ำสุด: \

เพื่อให้สมการมีวิธีการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ กราฟของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) จำเป็นต้องมีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด ดังนั้นคุณต้องมี: \ การแก้ปัญหาชุดระบบนี้ เราได้รับคำตอบ: \\]

คำตอบ:

\(ก\ใน \(-2\)\ถ้วย\)