ทดสอบ 15 การแปลงนิพจน์ตามตัวอักษร นิพจน์ตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร: คำจำกัดความ ตัวอย่าง การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

บ้าน การเขียนเงื่อนไขของปัญหาโดยใช้สัญกรณ์ที่เป็นที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเรียกง่ายๆ ว่านิพจน์ ในบทความนี้เราจะพูดถึงรายละเอียดเกี่ยวกับ ตัวเลข,การแสดงออกตามตัวอักษรและนิพจน์ที่มีตัวแปร

: เราจะให้คำจำกัดความและยกตัวอย่างสำนวนแต่ละประเภท

การนำทางหน้า

นิพจน์ตัวเลข - คืออะไร? ความคุ้นเคยกับนิพจน์เชิงตัวเลขเริ่มต้นเกือบตั้งแต่บทเรียนคณิตศาสตร์แรกสุด แต่พวกเขาได้รับชื่ออย่างเป็นทางการ - การแสดงออกเชิงตัวเลข - ในภายหลังเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากคุณเรียนหลักสูตร M.I. Moro สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ 2 เกรด ที่นั่นแนวคิดของนิพจน์ตัวเลขมีดังนี้ 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 เป็นต้น - นี่คือทั้งหมดนิพจน์ตัวเลข และถ้าเราดำเนินการตามที่ระบุในนิพจน์ เราจะพบ.

ค่านิพจน์

เราสามารถสรุปได้ว่าในขั้นตอนนี้ของการศึกษาคณิตศาสตร์ นิพจน์ตัวเลขคือบันทึกที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายบวกและลบ หลังจากนั้นไม่นานหลังจากทำความคุ้นเคยกับการคูณและการหารการเขียนแล้วการแสดงออกทางตัวเลข

เริ่มมีเครื่องหมาย “·” และ “:” ลองยกตัวอย่าง: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 เป็นต้น และในโรงเรียนมัธยมปลาย การบันทึกนิพจน์ตัวเลขที่หลากหลายนั้นเติบโตขึ้นราวกับก้อนหิมะที่กลิ้งลงมาตามภูเขา ประกอบด้วยสามัญและทศนิยม

จำนวนคละและจำนวนลบ ยกกำลัง ราก ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ

เราจะสรุปข้อมูลทั้งหมดให้เป็นคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข:

คำนิยาม.นิพจน์ตัวเลข

คือการรวมกันของตัวเลข สัญลักษณ์ของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เส้นเศษส่วน สัญลักษณ์ของราก (รากศัพท์) ลอการิทึม สัญลักษณ์สำหรับตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติผกผัน และฟังก์ชันอื่น ๆ ตลอดจนวงเล็บและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษอื่น ๆ ที่รวบรวมตามกฎที่ยอมรับ ในวิชาคณิตศาสตร์

ให้เราอธิบายองค์ประกอบทั้งหมดของคำจำกัดความที่ระบุ

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ - นี่คือสัญญาณของการบวกการลบการคูณและการหารตามลำดับโดยมีรูปแบบ "+", "−", "·" และ ":" ตามลำดับ นิพจน์เชิงตัวเลขอาจมีสัญญาณอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ บางส่วนหรือทั้งหมดพร้อมกันและหลายครั้ง นี่คือตัวอย่างนิพจน์ตัวเลข: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

สำหรับวงเล็บนั้นมีทั้งนิพจน์ตัวเลขที่มีวงเล็บและนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ หากมีวงเล็บในนิพจน์ตัวเลข แสดงว่าเป็นค่าพื้นฐาน

และบางครั้งวงเล็บในนิพจน์ตัวเลขก็มีวัตถุประสงค์พิเศษเฉพาะที่ระบุแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถค้นหาวงเล็บเหลี่ยมที่แสดงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขได้ ดังนั้นนิพจน์ตัวเลข +2 หมายความว่านำเลข 2 มาบวกเข้ากับส่วนจำนวนเต็มของเลข 1.75

จากคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข ยังชัดเจนว่านิพจน์อาจมี , , log , ln , lg สัญกรณ์ หรืออื่นๆ นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ตัวเลข: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 และ .

การหารในนิพจน์ตัวเลขสามารถระบุได้ด้วย ในกรณีนี้จะมีนิพจน์ตัวเลขพร้อมเศษส่วนเกิดขึ้น นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 และ .

เนื่องจากเรานำเสนอสัญลักษณ์และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษที่สามารถพบได้ในนิพจน์ตัวเลข ตัวอย่างเช่น ลองแสดงนิพจน์ตัวเลขพร้อมโมดูลัส .

นิพจน์ตามตัวอักษรคืออะไร?

แนวคิดของนิพจน์ตัวอักษรจะเกิดขึ้นเกือบจะในทันทีหลังจากเริ่มคุ้นเคยกับนิพจน์ตัวเลข เข้าไปประมาณนี้ครับ ในนิพจน์ตัวเลขจำนวนหนึ่ง ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้ถูกเขียนลงไป แต่จะมีวงกลม (หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรืออะไรที่คล้ายกัน) เข้ามาแทนที่ และว่ากันว่าตัวเลขจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่วงกลมได้ ตัวอย่างเช่น ลองดูที่รายการ ตัวอย่างเช่น หากคุณใส่ตัวเลข 2 แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณจะได้นิพจน์ตัวเลข 3+2 ดังนั้นแทนที่จะเป็นวงกลม สี่เหลี่ยม ฯลฯ ตกลงที่จะเขียนจดหมายและเรียกสำนวนที่มีตัวอักษรดังกล่าว การแสดงออกตามตัวอักษร- กลับมาที่ตัวอย่างของเรา หากในรายการนี้เราใส่ตัวอักษร a แทนสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะได้นิพจน์ตามตัวอักษรในรูปแบบ 3+a

ดังนั้นหากเราอนุญาตให้มีตัวอักษรที่แสดงถึงตัวเลขบางตัวในนิพจน์ตัวเลข เราก็จะได้สิ่งที่เรียกว่านิพจน์ตามตัวอักษร ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

เราจะสรุปข้อมูลทั้งหมดให้เป็นคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข:

นิพจน์ที่มีตัวอักษรที่แสดงถึงตัวเลขบางตัวเรียกว่า การแสดงออกตามตัวอักษร.

จาก คำจำกัดความนี้เห็นได้ชัดว่านิพจน์ตามตัวอักษรโดยพื้นฐานแล้วแตกต่างจากนิพจน์ตัวเลขตรงที่สามารถมีตัวอักษรได้ โดยปกติแล้วตัวอักษรขนาดเล็กจะใช้ในการแสดงออกตามตัวอักษร ตัวอักษรละติน(a, b, c, ...) และเมื่อกำหนดมุม - ตัวอักษรกรีกตัวเล็ก (α, β, γ, ... )

ดังนั้น นิพจน์ตามตัวอักษรสามารถประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่สามารถปรากฏในนิพจน์ตัวเลข เช่น วงเล็บ เครื่องหมายราก ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และฟังก์ชันอื่นๆ เป็นต้น เราเน้นแยกกันว่านิพจน์ตามตัวอักษรประกอบด้วย อย่างน้อยจดหมายฉบับหนึ่ง แต่อาจมีตัวอักษรที่เหมือนกันหรือต่างกันหลายตัวก็ได้

ตอนนี้เรามายกตัวอย่างสำนวนตามตัวอักษรกัน ตัวอย่างเช่น a+b คือนิพจน์ตามตัวอักษรที่มีตัวอักษร a และ b นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของนิพจน์ตามตัวอักษร 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5 และขอยกตัวอย่างนิพจน์ตามตัวอักษร ประเภทที่ซับซ้อน: .

นิพจน์ที่มีตัวแปร

ถ้าเป็นสำนวนตามตัวอักษร หมายถึง ปริมาณที่ต้องใช้มากกว่าหนึ่งตัว ความหมายเฉพาะและยอมรับได้ ความหมายที่แตกต่างกันแล้วจดหมายฉบับนี้จึงถูกเรียกว่า ตัวแปรและสำนวนนี้เรียกว่า การแสดงออกด้วยตัวแปร.

เราจะสรุปข้อมูลทั้งหมดให้เป็นคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข:

นิพจน์กับตัวแปรเป็นนิพจน์ตามตัวอักษรที่ตัวอักษร (ทั้งหมดหรือบางส่วน) แสดงถึงปริมาณที่ใช้ค่าต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ให้ตัวอักษร x ในนิพจน์ x 2 −1 ใช้ค่าธรรมชาติใดๆ จากช่วง 0 ถึง 10 จากนั้น x จะเป็นตัวแปร และนิพจน์ x 2 −1 คือนิพจน์ที่มีตัวแปร x

เป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถมีตัวแปรได้หลายตัวในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราถือว่า x และ y เป็นตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัวคือ x และ y

โดยทั่วไป การเปลี่ยนจากแนวคิดของนิพจน์ตามตัวอักษรไปเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรจะเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อพวกเขาเริ่มศึกษาพีชคณิต เมื่อถึงจุดนี้ นิพจน์ตัวอักษรได้จำลองงานเฉพาะบางอย่าง ในพีชคณิต พวกเขาเริ่มพิจารณานิพจน์โดยทั่วไปมากขึ้น โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงปัญหาใดปัญหาหนึ่ง โดยเข้าใจว่านิพจน์นี้เหมาะกับปัญหาจำนวนมาก

เพื่อสรุปประเด็นนี้ให้เราให้ความสนใจอีกประเด็นหนึ่ง: ตาม รูปร่างเป็นไปไม่ได้ที่จะรู้จากการแสดงออกตามตัวอักษรว่าตัวอักษรในนั้นเป็นตัวแปรหรือไม่ ดังนั้นจึงไม่มีสิ่งใดขัดขวางเราไม่ให้พิจารณาตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแปร ในกรณีนี้ ความแตกต่างระหว่างคำว่า "นิพจน์ตามตัวอักษร" และ "นิพจน์ที่มีตัวแปร" จะหายไป

อ้างอิง.

• คณิตศาสตร์- 2 ชั้นเรียน หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันที่มีคำวิเศษณ์ ต่ออิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 / [ม. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova ฯลฯ] - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555. - 96 น.: ป่วย. - (โรงเรียนแห่งรัสเซีย) - ไอ 978-5-09-028297-0.
• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.

หลักสูตรวิชาเลือก “การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร”

หมายเหตุอธิบาย

ใน ปีที่ผ่านมาตรวจสอบคุณภาพของการศึกษาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนโดยใช้ CMM ซึ่งส่วนหลักจะมีให้ในรูปแบบการทดสอบ การยืนยันรูปแบบนี้แตกต่างจากแบบคลาสสิก กระดาษสอบและต้องมีการฝึกอบรมเฉพาะด้าน คุณลักษณะของการทดสอบในรูปแบบที่พัฒนามาจนถึงปัจจุบันคือความต้องการตอบสนอง จำนวนมากคำถามในระยะเวลาอันจำกัด เช่น ไม่เพียงแต่ต้องตอบคำถามที่ถูกถามให้ถูกต้องเท่านั้น แต่ยังต้องทำให้เร็วพอด้วย ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญสำหรับนักเรียนที่จะเชี่ยวชาญเทคนิคและวิธีการต่างๆที่จะช่วยให้บรรลุผลตามที่ต้องการ

เมื่อตัดสินใจเลือกโรงเรียนเกือบทุกแห่ง ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง บ่อยครั้งที่ความซับซ้อนนั้นถูกกำหนดโดยระดับของความซับซ้อนและจำนวนการเปลี่ยนแปลงที่ต้องทำ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักเรียนจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ใช่เพราะเขาไม่รู้ว่าจะแก้ไขอย่างไร แต่เพราะเขาไม่สามารถทำการเปลี่ยนแปลงและการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดในเวลาที่กำหนดโดยไม่มีข้อผิดพลาด

ตัวอย่างของการแปลงนิพจน์ตัวเลขไม่ได้มีความสำคัญในตัวมันเอง แต่เป็นวิธีการพัฒนาเทคนิคการแปลง ทุกปี การเรียนแนวคิดเรื่องจำนวนขยายจากธรรมชาติไปสู่จำนวนจริง และในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย การแปลงกำลัง ลอการิทึมและ นิพจน์ตรีโกณมิติ- เนื้อหานี้ค่อนข้างยากในการศึกษาเนื่องจากมีสูตรและกฎการเปลี่ยนแปลงมากมาย

ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ดำเนินการที่จำเป็น หรือคำนวณค่าของนิพจน์ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าคุณควร "เคลื่อนที่" ไปในทิศทางใดตามเส้นทางของการเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่คำตอบที่ถูกต้องตาม "เส้นทาง" ที่สั้นที่สุด การเลือกเส้นทางที่มีเหตุผลส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการครอบครองข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีการเปลี่ยนนิพจน์

ในโรงเรียนมัธยมปลาย มีความจำเป็นต้องจัดระบบและเพิ่มพูนความรู้และทักษะการปฏิบัติในการทำงานกับนิพจน์ตัวเลขให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น สถิติแสดงให้เห็นว่าประมาณ 30% ของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเมื่อสมัครเข้ามหาวิทยาลัยมีลักษณะเป็นการคำนวณ ดังนั้นเมื่อพิจารณาหัวข้อที่เกี่ยวข้องในโรงเรียนมัธยมต้นและเมื่อทำซ้ำในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายจึงจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการพัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ในเด็กนักเรียนมากขึ้น

ดังนั้นเพื่อช่วยครูผู้สอนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 โรงเรียนเฉพาะทางคุณช่วยแนะนำได้ไหม วิชาเลือก“การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษรให้เป็น หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์."

เกรด:== 11

ประเภทวิชาเลือก:

การจัดระบบ การวางนัยทั่วไป และหลักสูตรเชิงลึก

จำนวนชั่วโมง:

34 (ต่อสัปดาห์ – 1 ชั่วโมง)

พื้นที่การศึกษา:

คณิตศาสตร์

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของหลักสูตร:

การจัดระบบ การวางนัยทั่วไป และการขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลขและการปฏิบัติการร่วมกับพวกเขา - การสร้างความสนใจในกระบวนการคำนวณ - การพัฒนาความเป็นอิสระ ความคิดสร้างสรรค์ และ ความสนใจทางปัญญานักเรียน; - การปรับตัวของนักศึกษาให้เข้ากับกฎเกณฑ์ใหม่ในการเข้าศึกษาในมหาวิทยาลัย

การจัดหลักสูตรการศึกษา

วิชาเลือก “การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร” ขยายและเจาะลึกหลักสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐานใน โรงเรียนมัธยมปลายและออกแบบมาเพื่อการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หลักสูตรที่นำเสนอนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะด้านการคำนวณและความเฉียบแหลมในการคิด หลักสูตรนี้จัดโครงสร้างตามแผนการสอนแบบคลาสสิกโดยเน้นที่ แบบฝึกหัดภาคปฏิบัติ- มันถูกออกแบบมาสำหรับนักเรียนที่มีความสูงหรือ ระดับกลางการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเตรียมความพร้อมสำหรับการเข้าศึกษาในมหาวิทยาลัยและอำนวยความสะดวกในการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างจริงจังอย่างต่อเนื่อง

ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้:

ความรู้เกี่ยวกับการจำแนกตัวเลข

พัฒนาทักษะการนับอย่างรวดเร็ว

ความสามารถในการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาต่างๆ

การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะส่งเสริมการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างจริงจังอย่างต่อเนื่อง

เนื้อหาวิชาเลือก “การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร”

จำนวนเต็ม (4h):ชุดตัวเลข ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต GCD และ NOC สัญญาณของการแบ่งแยก วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

จำนวนตรรกยะ (2ชม.):คำนิยาม จำนวนตรรกยะ- คุณสมบัติหลักของเศษส่วน สูตรคูณแบบย่อ คำจำกัดความของเศษส่วนคาบ กฎสำหรับการแปลงจากเศษส่วนเป็นงวดทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา

ตัวเลขอตรรกยะ พวกหัวรุนแรง องศา ลอการิทึม (6h):คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ การพิสูจน์ความไร้เหตุผลของจำนวน กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ตัวเลขจริง. คุณสมบัติของปริญญา คุณสมบัติของเลขคณิต รากที่ nองศา ความหมายของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (4 ชม.):วงกลมตัวเลข. ค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การแปลงขนาดของมุมจากการวัดระดับเป็นการวัดเรเดียนและในทางกลับกัน สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรลด. ย้อนกลับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- การดำเนินการตรีโกณมิติบนฟังก์ชันส่วนโค้ง ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันส่วนโค้ง

จำนวนเชิงซ้อน (2ชม.):แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน การกระทำที่มีจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบระดับกลาง (2 ชม.)

การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข (4 ชม.):อสมการเชิงตัวเลขบนเซต ตัวเลขจริง- คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข สนับสนุนความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

สำนวนตามตัวอักษร (8 ชม.):กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร: พหุนาม; เศษส่วนพีชคณิต การแสดงออกที่ไม่ลงตัว- ตรีโกณมิติและนิพจน์อื่น ๆ การพิสูจน์ตัวตนและความไม่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์

แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง

แผนนี้ใช้เวลา 34 ชั่วโมง ได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงหัวข้อของวิทยานิพนธ์ดังนั้นจึงมีการพิจารณาสองส่วนที่แยกจากกัน: นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู อาจพิจารณาการแสดงออกทางตัวอักษรร่วมกับการแสดงออกทางตัวเลขในหัวข้อที่เหมาะสม

หัวข้อวิชาเลือก

การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร

ปริมาณ 34 ชม

ครูคณิตศาสตร์ชั้นสูง

สถานศึกษาเทศบาล "มัธยมศึกษาปีที่ 51"

ซาราตอฟ, 2008

หลักสูตรวิชาเลือก

"การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร"

หมายเหตุอธิบาย

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมามีการสอบปลายภาคในโรงเรียนอีกด้วย การสอบเข้าในมหาวิทยาลัยจะดำเนินการโดยใช้การทดสอบ การทดสอบรูปแบบนี้แตกต่างจากการสอบแบบคลาสสิกและต้องมีการเตรียมการเป็นพิเศษ คุณลักษณะของการทดสอบในรูปแบบที่พัฒนามาจนถึงปัจจุบันคือความต้องการตอบคำถามจำนวนมากในระยะเวลาที่จำกัด กล่าวคือ ไม่เพียงแต่ต้องตอบคำถามที่ตั้งไว้เท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการอย่างรวดเร็วด้วย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องเชี่ยวชาญเทคนิคและวิธีการต่าง ๆ ที่ช่วยให้คุณบรรลุผลตามที่ต้องการ

เมื่อแก้ปัญหาเกือบทุกปัญหาในโรงเรียน คุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง บ่อยครั้งที่ความซับซ้อนนั้นถูกกำหนดโดยระดับของความซับซ้อนและจำนวนการเปลี่ยนแปลงที่ต้องทำ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักเรียนจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ใช่เพราะเขาไม่รู้ว่าจะแก้ไขอย่างไร แต่เพราะเขาไม่สามารถทำการแปลงและการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดโดยไม่มีข้อผิดพลาดได้ในเวลาที่เหมาะสม

หลักสูตรวิชาเลือก "การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร" จะขยายและเพิ่มความลึกให้กับหลักสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐานในโรงเรียนมัธยมปลาย และได้รับการออกแบบสำหรับการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หลักสูตรที่นำเสนอนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะด้านการคำนวณและความเฉียบแหลมในการคิด หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนที่มีการเตรียมความพร้อมทางคณิตศาสตร์ในระดับสูงหรือปานกลาง และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเตรียมความพร้อมสำหรับการเข้าศึกษาในมหาวิทยาลัย และอำนวยความสะดวกในการศึกษาต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง

เป้าหมายและวัตถุประสงค์:

การจัดระบบ การวางนัยทั่วไป และการขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลขและการปฏิบัติการร่วมกับพวกเขา

การพัฒนาความเป็นอิสระ ความคิดสร้างสรรค์ และความสนใจทางปัญญาของนักเรียน

การก่อตัวของความสนใจในกระบวนการคำนวณ

การปรับตัวของนักศึกษาให้เข้ากับกฎเกณฑ์ใหม่ในการเข้ามหาวิทยาลัย

ผลลัพธ์ที่คาดหวัง:

ความรู้เกี่ยวกับการจำแนกตัวเลข

พัฒนาทักษะการนับอย่างรวดเร็ว

ความสามารถในการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาต่างๆ

แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง

แผนนี้ใช้เวลา 34 ชั่วโมง ได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงหัวข้อของวิทยานิพนธ์ดังนั้นจึงมีการพิจารณาสองส่วนที่แยกจากกัน: นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู อาจพิจารณาการแสดงออกทางตัวอักษรร่วมกับการแสดงออกทางตัวเลขในหัวข้อที่เหมาะสม

จำนวนเต็ม (4h)

ชุดตัวเลข ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต GCD และ NOC สัญญาณของการแบ่งแยก วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

จำนวนตรรกยะ (2ชม.)

คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติหลักของเศษส่วน สูตรคูณแบบย่อ คำจำกัดความของเศษส่วนคาบ กฎสำหรับการแปลงจากเศษส่วนเป็นงวดทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา

ตัวเลขอตรรกยะ พวกหัวรุนแรง องศา ลอการิทึม (6ชม.)

คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ การพิสูจน์ความไร้เหตุผลของจำนวน กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ตัวเลขจริง. คุณสมบัติของปริญญา คุณสมบัติของรูตเลขคณิต ระดับที่ n- ความหมายของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (4 ชม.)

วงกลมตัวเลข. ค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การแปลงขนาดของมุมจากการวัดระดับเป็นการวัดเรเดียนและในทางกลับกัน สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรลด. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน การดำเนินการตรีโกณมิติบนฟังก์ชันส่วนโค้ง ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันส่วนโค้ง

จำนวนเชิงซ้อน (2ชม.)

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน การกระทำที่มีจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบระดับกลาง (2 ชม.)

การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข (4 ชม.)

อสมการเชิงตัวเลขบนเซตของจำนวนจริง คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข สนับสนุนความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

สำนวนตัวอักษร (8 ชม.)

กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร: พหุนาม; เศษส่วนพีชคณิต การแสดงออกที่ไม่ลงตัว; ตรีโกณมิติและนิพจน์อื่น ๆ การพิสูจน์ตัวตนและความไม่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ส่วนที่ 1 วิชาเลือก: “นิพจน์เชิงตัวเลข”

บทเรียนที่ 1(2 ชั่วโมง)

หัวข้อบทเรียน: จำนวนเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลข จำแนวคิดของ GCD และ LCM ขยายความรู้เกี่ยวกับสัญญาณแห่งความแตกแยก พิจารณาปัญหาที่แก้ไขเป็นจำนวนเต็ม

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉัน. การบรรยายเบื้องต้น.

การจำแนกตัวเลข:

ตัวเลขธรรมชาติ

จำนวนเต็ม;

จำนวนตรรกยะ;

จำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อน

การแนะนำชุดตัวเลขที่โรงเรียนเริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติ เรียกตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุ เป็นธรรมชาติ.มากมาย ตัวเลขธรรมชาติเขียนแทนด้วย N จำนวนธรรมชาติแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะมีตัวหารเพียงสองตัวเท่านั้น: ตัวหนึ่งและตัวมันเอง; จำนวนประกอบมีตัวหารมากกว่าสองตัว ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุว่า: “จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ได้ หมายเลขเฉพาะ(ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) และยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะเฉพาะ (ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย)”

มีแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกสองแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ: ตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) แต่ละแนวคิดเหล่านี้กำหนดตัวเองจริงๆ การแก้ปัญหาหลายอย่างได้รับการอำนวยความสะดวกด้วยสัญญาณของความแตกแยกที่ต้องจดจำ

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว . ตัวเลขจะหารด้วย 2 ลงตัวถ้าหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่หรือ o

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว . ตัวเลขจะหารด้วย 4 ลงตัวถ้าตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 8 ลงตัว ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวได้หากตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 8 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 3 และ 9 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่ผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัวเท่านั้นที่จะหารด้วย 3 ด้วย 9 – เฉพาะจำนวนหลักที่หารด้วย 9 ลงตัวเท่านั้น

ทดสอบการหารด้วย 6 ลงตัว ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัว ถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 5 . ตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 25 ลงตัว. ตัวเลขที่มีเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 25 ลงตัวจะหารด้วย 25 ลงตัว

สัญญาณของการหารด้วย 10,100,1000 ลงตัว. เฉพาะตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 10 เฉพาะตัวเลขที่มีเลขสองหลักสุดท้ายคือ 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 100 และเฉพาะตัวเลขที่มีสามหลักสุดท้ายคือ 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 1,000

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 11 . เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่จะหารด้วย 11 ถ้าผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งคู่หรือแตกต่างจากตัวเลขที่หารด้วย 11

ในบทเรียนแรก เราจะดูจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม ทั้งหมดตัวเลขเป็นตัวเลขธรรมชาติ ซึ่งตรงข้ามกับศูนย์ เซตของจำนวนเต็มเขียนแทนด้วย Z

ครั้งที่สอง- การแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1. แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ: ก) 899; ข) 1000027

วิธีแก้ไข: ก) ;

b) ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา GCD ของตัวเลข 2585 และ 7975

วิธีแก้ปัญหา: ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

หาก https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

คำตอบ: gcd(2585.7975) = 55

ตัวอย่าง 3. คำนวณ:

วิธีแก้ไข: = 1987100011989 ผลคูณที่สองมีค่าเท่ากับค่าเดียวกัน ดังนั้นผลต่างคือ 0

ตัวอย่าง 4. ค้นหา GCD และ LCM ของตัวเลข a) 5544 และ 1404; ข) 198, 504 และ 780

คำตอบ: ก) 36; 49896; ข) 6; 360360.

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาผลหารและเศษของการหาร

ก) 5 ถึง 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

ค) -529 ถึง (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

จ) 256 ถึง (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

วิธีแก้ไข: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">

ข)

วิธีแก้ไข: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">

ตัวอย่าง 7..gif" width="67" height="27 src="> คูณ 17

วิธีแก้ไข: มาป้อนบันทึกกัน หมายความว่าเมื่อหารด้วย m ตัวเลข a, b,c,…d จะได้เศษเท่ากัน

ดังนั้น สำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ ก็จะมี

แต่ 1989=16124+5 วิธี,

คำตอบ: ส่วนที่เหลือคือ 12

ตัวอย่าง 8 ค้นหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 10 ซึ่งเมื่อหารด้วย 24, 45 และ 56 จะเหลือเศษ 1

คำตอบ: LOC(24;45;56)+1=2521.

ตัวอย่าง 9. ค้นหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 7 ลงตัวและเหลือเศษ 1 เมื่อหารด้วย 3, 4 และ 5

คำตอบ: 301. ทิศทาง. ในบรรดาตัวเลขในรูปแบบ 60k + 1 คุณต้องหาค่าที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 7 ลงตัว เค = 5.

ตัวอย่าง 10. เพิ่มหนึ่งหลักทางขวาและซ้ายเป็น 23 เพื่อให้ตัวเลขสี่หลักที่ได้หารด้วย 9 และ 11

คำตอบ: 6237.

ตัวอย่างที่ 11 เพิ่มตัวเลขสามหลักที่ด้านหลังของตัวเลขเพื่อให้ตัวเลขผลลัพธ์หารด้วย 7, 8 และ 9 ลงตัว

คำตอบ: 304 หรือ 808 หมายเหตุ จำนวนเมื่อหารด้วย = 789) จะเหลือเศษ 200 ดังนั้น หากคุณบวก 304 หรือ 808 เข้าไป ก็จะหารด้วย 504 ลงตัว

ตัวอย่าง 12. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะจัดเรียงตัวเลขใหม่ให้เป็นตัวเลขสามหลักที่หารด้วย 37 ลงตัว เพื่อให้ตัวเลขผลลัพธ์หารด้วย 37 ลงตัวด้วย

คำตอบ: ใช่ Note..gif" width="61" height="24"> ก็หารด้วย 37 ลงตัวได้เช่นกัน เรามี A = 100a + 10b + c = 37k โดยที่ c =37k -100a – 10b แล้ว B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a นั่นคือ B หารด้วย 37

ตัวอย่าง 13. จงหาจำนวนที่เมื่อหารด้วยจำนวนนั้น ตัวเลข 1108, 1453,1844 และ 2281 จะให้เศษที่เท่ากัน

คำตอบ: 23. คำสั่งสอน ผลต่างของตัวเลขสองตัวที่กำหนดจะถูกหารด้วยจำนวนที่ต้องการ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมของผลต่างของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ไม่ใช่ 1 นั้นเหมาะสำหรับเรา

ตัวอย่าง 14 ลองนึกภาพ 19 ว่าเป็นผลต่างของกำลังสามของจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 15 กำลังสองของจำนวนธรรมชาติเท่ากับผลคูณของเลขคี่สี่ตัวติดต่อกัน ค้นหาหมายเลขนี้

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 16..gif" width="115" height="27"> หารด้วย 10 ไม่ลงตัว

คำตอบ: ก) คำสั่ง เมื่อจัดกลุ่มเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เทอมที่สองและเทอมสุดท้าย ฯลฯ ให้ใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์

b) ข้อบ่งชี้..gif" width="120" height="20">.

4) ค้นหาคู่ของจำนวนธรรมชาติที่มี GCD คือ 5 และ LCM คือ 105

คำตอบ: 5, 105 หรือ 15, 35

บทเรียนที่ 2(2 ชั่วโมง)

หัวข้อบทเรียน:วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:ทบทวนข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ต้องมีการพิสูจน์ แนะนำนักเรียนให้รู้จักกับวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ พัฒนาการคิดเชิงตรรกะ

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉัน. ตรวจการบ้าน.

ครั้งที่สอง- คำอธิบายของวัสดุใหม่

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน พร้อมกับงาน "ค้นหาค่าของนิพจน์" มีงานในรูปแบบ: "พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน" วิธีหนึ่งที่เป็นสากลที่สุดในการพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคำว่า "สำหรับจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ n" คือวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์

การพิสูจน์ด้วยวิธีนี้จะประกอบด้วยสามขั้นตอนเสมอ:

1) พื้นฐานของการเหนี่ยวนำ มีการตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n = 1

ในบางกรณีจำเป็นต้องตรวจสอบหลายรายการ

ค่าเริ่มต้น

2) สมมติฐานการเหนี่ยวนำ ข้อความดังกล่าวจะถือว่าเป็นจริงสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง

3) ขั้นตอนอุปนัย ความถูกต้องของข้อความได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้น เริ่มต้นด้วย n = 1 โดยขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัยที่พิสูจน์แล้ว เราได้รับความถูกต้องของข้อความที่พิสูจน์แล้วสำหรับ

n =2, 3,…ต. นั่นคือสำหรับ n ใดๆ

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1: พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n จำนวนนั้น หารด้วย 7 ลงตัว.

หลักฐาน: ให้เราแสดง .

ขั้นตอนที่ 1..gif" width="143" height="37 src="> หารด้วย 7

ขั้นตอนที่ 3..gif" width="600" height="88">

ตัวเลขสุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากเป็นผลต่างของจำนวนเต็มสองตัวที่หารด้วย 7 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 2: พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> ได้มาจาก แทนที่ n ด้วย k = 1

ที่สาม- การแก้ปัญหา

ในบทเรียนแรก จากงานด้านล่าง (หมายเลข 1-3) มีการเลือกหลายรายการเพื่อแก้ปัญหาตามดุลยพินิจของครูเพื่อวิเคราะห์บนกระดาน บทเรียนที่สองครอบคลุมข้อ 4.5; ดำเนินการ งานอิสระตั้งแต่ข้อ 1-3; มีการเสนอหมายเลข 6 เป็นหมายเลขเพิ่มเติมพร้อมโซลูชันบังคับบนกระดาน

1) พิสูจน์ว่า a) หารด้วย 83 ลงตัว;

b) หารด้วย 13;

c) หารด้วย 20801 ลงตัว

2) พิสูจน์ว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ:

ก) หารด้วย 120;

ข) หารด้วย 27 ลงตัว;

วี) หารด้วย 84 ลงตัว;

ช) หารด้วย 169 ลงตัว;

ง) หารด้วย 8 ลงตัว;

จ) หารด้วย 8;

ก) หารด้วย 16;

ชม) หารด้วย 49 ลงตัว;

และ) หารด้วย 41 ลงตัว;

ถึง) หารด้วย 23 ลงตัว;

ล) หารด้วย 13;

ม) ถูกหารด้วย

3) พิสูจน์ว่า:

ช) ;

4) หาสูตรสำหรับผลรวม https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">

6) พิสูจน์ผลรวมของเงื่อนไขของแต่ละแถวของตาราง

…………….

เท่ากับกำลังสองของเลขคี่ซึ่งมีหมายเลขแถวเท่ากับหมายเลขแถวจากจุดเริ่มต้นของตาราง

คำตอบและคำแนะนำ

1) ลองใช้ข้อความที่แนะนำในตัวอย่างที่ 4 ของบทเรียนก่อนหน้า

ก) ดังนั้นจึงหารด้วย 83 ลงตัว .

ข) ตั้งแต่ , ที่ ;

- เพราะฉะนั้น, .

c) เนื่องจาก จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าจำนวนนี้หารด้วย 11, 31 และ 61..gif" width="120" height="32 src="> ลงตัว การหารด้วย 11 และ 31 ลงตัวก็พิสูจน์ด้วยวิธีเดียวกัน

2) ก) ให้เราพิสูจน์ว่านิพจน์นี้หารด้วย 3, 8, 5 ลงตัว การหารด้วย 3 ลงตัวตามข้อเท็จจริงที่ว่า และจำนวนธรรมชาติสามจำนวนติดต่อกัน หนึ่งจำนวนหารด้วย 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src="> ลงตัว หากต้องการตรวจสอบการหารด้วย 5 ก็เพียงพอที่จะพิจารณาค่า n=0,1,2,3,4