ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมแหลม ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

บ้าน

ความจริงที่ว่า “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ในเรขาคณิตแบบยุคลิดคือ 180 องศา” เป็นสิ่งที่จำได้ง่ายๆ หากการจำไม่ใช่เรื่องง่าย คุณสามารถทำการทดลอง 2-3 ครั้งเพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น

การทดลองที่หนึ่ง

• วาดรูปสามเหลี่ยมหลายๆ รูปบนกระดาษ เช่น:
• มีฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งตามอำเภอใจ
• สามเหลี่ยมหน้าจั่ว;

สามเหลี่ยมมุมฉาก.

อย่าลืมใช้ไม้บรรทัด ตอนนี้คุณต้องตัดสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นออกโดยทำตามเส้นที่ลาก ระบายสีที่มุมของสามเหลี่ยมแต่ละอันด้วยดินสอสีหรือปากกามาร์กเกอร์ ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมแรก มุมทั้งหมดจะเป็นสีแดง ในรูปที่สอง - สีน้ำเงิน และในรูปที่สาม - เขียว http://bit.ly/2gY4Yfz

จากสามเหลี่ยมแรก ให้ตัดมุมทั้ง 3 มุมออกแล้วเชื่อมต่อที่จุดเดียวกับจุดยอด เพื่อให้ด้านที่ใกล้ที่สุดของแต่ละมุมเชื่อมต่อกัน อย่างที่คุณเห็น มุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสร้างมุมขยาย ซึ่งเท่ากับ 180 องศา ทำแบบเดียวกันกับสามเหลี่ยมอีกสองอัน - ผลลัพธ์จะเหมือนกัน http://bit.ly/2zurCrd

การทดลองที่สอง

วาดรูปสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบ เราเลือกจุดยอดใดๆ (เช่น C) และลากเส้นตรง DE ผ่านจุดนั้น ขนานกับด้านตรงข้าม (AB) http://bit.ly/2zbYNzq

1. เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
2. มุม BAC และ ACD เท่ากับมุมภายในที่ตั้งฉากกับ AC
3. มุม ABC และ BCE เท่ากับมุมภายในที่ตั้งฉากกับ BC

เราจะเห็นว่ามุมที่ 1, 2 และ 3 เป็นมุมของสามเหลี่ยมซึ่งเชื่อมต่อกันที่จุดหนึ่งเพื่อสร้างมุม DCE ที่พัฒนาแล้ว ซึ่งเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยมระบุว่าผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180°

ให้มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเป็น a, b และ c แล้ว:

ก + ข + ค = 180°

จากทฤษฎีนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 360° เนื่องจากมุมภายนอกอยู่ประชิดกับมุมภายใน ผลรวมของมันคือ 180° ปล่อยให้มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเป็น a, b และ c จากนั้นมุมภายนอกของมุมเหล่านี้คือ 180° - a, 180° - b และ 180° - c

มาหาผลรวมของมุมภายนอกของสามเหลี่ยม:

180° - ก + 180° - ข + 180° - ค = 540° - (ก + ข + ค) = 540° - 180° = 360°

คำตอบ: ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°; ผลรวมของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือ 360° >>เรขาคณิต: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

บทเรียนที่สมบูรณ์ หัวข้อบทเรียน:

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• รวบรวมและทดสอบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ: “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”;
• การพิสูจน์คุณสมบัติของมุมของรูปสามเหลี่ยม
• การประยุกต์คุณสมบัตินี้ในการแก้ปัญหาง่ายๆ
• การใช้สื่อประวัติศาสตร์เพื่อพัฒนากิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
• ปลูกฝังทักษะความแม่นยำเมื่อสร้างแบบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน

แผนการสอน:

1. สามเหลี่ยม;
2. ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
3. งานตัวอย่าง.

สามเหลี่ยม.

ไฟล์:O.gif Triangle- รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมี 3 จุดยอด (มุม) และ 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่
จุดสามจุดในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นสอดคล้องกับระนาบเดียวเท่านั้น
รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ - กระบวนการนี้เรียกว่า สามเหลี่ยม.
มีส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษากฎของรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ - ตรีโกณมิติ.

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ไฟล์:T.gif ทฤษฎีบทผลรวมของมุมสามเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ระบุว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์" :

ให้ Δ ABC มาให้ ขอให้เราลากเส้นขนานกับ (AC) ผ่านจุดยอด B และทำเครื่องหมายจุด D บนเส้นนั้น เพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้น BC จากนั้นมุม (DBC) และมุม (ACB) จะเท่ากันกับเส้นขวางภายในที่มีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดขวาง (BC) จากนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม (ABD) แต่มุม (ABD) และมุม (BAC) ที่จุดยอด A ของสามเหลี่ยม ABC นั้นเป็นด้านเดียวภายในโดยมีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดมุม (AB) และผลรวมของพวกมันคือ 180° ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์:

ให้ Δ ABC มาให้ จุด D อยู่บนเส้น AC โดยที่ A อยู่ระหว่าง C และ D จากนั้น BAD จะอยู่ภายนอกมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด A และ A + BAD = 180° แต่ A + B + C = 180° ดังนั้น B + C = 180° – A ดังนั้น BAD = B + C ข้อพิสูจน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

งาน.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมนี้ พิสูจน์ว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน
(รูปที่ 1)

สารละลาย:

ให้ Δ ABC ∠DAС อยู่ภายนอก (รูปที่ 1) จากนั้น ∠DAC = 180°-∠BAC (โดยสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน) โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ∠B+∠C = 180°-∠BAC จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราได้รับ ∠DAС=∠В+∠С

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม" :

ในเรขาคณิตโลบาเชฟสกี ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 เสมอ ในเรขาคณิตยุคลิเดียนจะเท่ากับ 180 เสมอ ในเรขาคณิตรีมันน์ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 เสมอ

จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์:

Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในงานของเขา “องค์ประกอบ” ให้คำจำกัดความต่อไปนี้: “เส้นขนานคือเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและเมื่อขยายออกไปทั้งสองทิศทางอย่างไม่มีกำหนด จะไม่บรรจบกันทั้งสองด้าน”
โพซิโดเนียส (ศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช) “เส้นตรงสองเส้นวางอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยมีระยะห่างเท่ากัน”
Pappus นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ได้แนะนำสัญลักษณ์แห่งความขนาน เครื่องหมายตรง- ต่อมานักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษ ริคาร์โด้ (ค.ศ. 1720-1823) ใช้สัญลักษณ์นี้เป็นเครื่องหมายเท่ากับ
เฉพาะในศตวรรษที่ 18 เท่านั้นที่พวกเขาเริ่มใช้สัญลักษณ์สำหรับเส้นคู่ขนาน - เครื่องหมาย ||
ความสัมพันธ์ที่มีชีวิตระหว่างรุ่นต่างๆ จะไม่ถูกขัดจังหวะชั่วขณะ ทุกๆ วันเราเรียนรู้ประสบการณ์ที่บรรพบุรุษของเราสั่งสมมา ชาวกรีกโบราณบนพื้นฐานของการสังเกตและประสบการณ์เชิงปฏิบัติได้ข้อสรุปแสดงสมมติฐานจากนั้นในการประชุมของนักวิทยาศาสตร์ - การประชุมสัมมนา ("งานเลี้ยง" อย่างแท้จริง - พวกเขาพยายามยืนยันและพิสูจน์สมมติฐานเหล่านี้ ครั้งนั้น มีคำกล่าวขึ้นว่า “ความจริงย่อมเกิดในความขัดแย้ง”

คำถาม:

1. สามเหลี่ยมคืออะไร?
2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมบอกอะไร?
3. มุมภายนอกของสามเหลี่ยมคืออะไร?

ข้อมูลเบื้องต้น

ก่อนอื่น มาดูตรงแนวคิดของรูปสามเหลี่ยมกันก่อน

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกมันว่าสามเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 ส่วนต่างๆ จะถูกเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ ก็จะมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้านด้วย

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแนะนำและพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักข้อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม ได้แก่ ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามคือ $180^\circ$

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $EGF$ ลองพิสูจน์ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $180^\circ$ มาสร้างโครงสร้างเพิ่มเติมกัน: วาดเส้นตรง $XY||EG$ (รูปที่ 2)

เนื่องจากเส้น $XY$ และ $EG$ ขนานกัน ดังนั้น $∠E=∠XFE$ จะวางแนวขวางที่เส้นตัด $FE$ และ $∠G=∠YFG$ จะอยู่ตามเส้นตัดขวางที่เส้นตัด $FG$

มุม $XFY$ จะถูกกลับรายการดังนั้นจึงเท่ากับ $180^\circ$

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\วงจร$

เพราะฉะนั้น

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

อีกทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทของมุมภายนอก ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดนี้กันก่อน

คำจำกัดความที่ 4

เราจะเรียกมุมภายนอกของสามเหลี่ยมว่ามุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ให้เราพิจารณาทฤษฎีบทโดยตรง

ทฤษฎีบท 2

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยมใดๆ $EFG$ ปล่อยให้มันมีมุมภายนอกของสามเหลี่ยม $FGQ$ (รูปที่ 3)

ตามทฤษฎีบทที่ 1 เราจะได้ $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ ดังนั้น

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

เนื่องจากมุม $FGQ$ อยู่ภายนอก มันจึงอยู่ประชิดกับมุม $∠G$ ดังนั้น

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

หามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมถ้ามันมีด้านเท่ากันหมด

เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน เราจะได้มุมทุกมุมในนั้นเท่ากัน ให้เราแสดงการวัดระดับของพวกเขาด้วย $α$

จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราได้

$α+α+α=180^\circ$

คำตอบ: ทุกมุมเท่ากับ $60^\circ$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาทุกมุม สามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้ามุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับ $100^\circ$

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับมุมในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดเงื่อนไขว่า $100^\circ$ เท่ากับมุมเท่าใด จึงเป็นไปได้สองกรณี:

มุมที่เท่ากับ $100^\circ$ คือมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม

เราได้โดยใช้ทฤษฎีบทกับมุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

$∠2=∠3=100^\circ$

แต่ผลรวมเท่านั้นที่จะมากกว่า $180^\circ$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 ซึ่งหมายความว่ากรณีนี้จะไม่เกิดขึ้น

มุมที่เท่ากับ $100^\circ$ คือมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน กล่าวคือ

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์:

• ให้สามเหลี่ยม ABC
• ผ่านจุดยอด B เราวาดเส้นตรง DK ขนานกับ AC ฐาน
• \angle CBK= \angle C เป็นเส้นขวางภายในที่มี DK และ AC ขนานกัน และมีเส้นตัด BC
• \angle DBA = \angle เส้นขวางภายในวางอยู่โดยมี DK \AC ขนานและเส้นตัด AB มุม DBK กลับด้านและเท่ากับ
• \มุม DBK = \มุม DBA + \มุม B + \มุม CBK
• เนื่องจากมุมที่กางออกมีค่าเท่ากับ 180 ^\circ และ \angle CBK = \angle C และ \angle DBA = \angle A เราจึงได้ 180 ^\circ = \มุม A + \มุม B + \มุม C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม:

1. ผลรวม มุมที่คมชัดของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับ 90°.
2. ในหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากทุกมุมแหลมจะเท่ากัน 45°.
3. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละมุมจะเท่ากัน 60°.
4. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมทุกมุมจะเป็นมุมแหลม หรือสองมุมจะเป็นมุมแหลม และมุมที่สามจะเป็นมุมป้านหรือมุมขวา
5. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุม 2 มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกนี้

การพิสูจน์:



• จากรูปสามเหลี่ยม ABC โดยที่ BCD คือมุมภายนอก
• \มุม BAC + \มุม ABC +\มุม BCA = 180^0
• จากมุมที่เท่ากัน \มุม BCD + \มุม BCA = 180^0
• เราได้รับ \มุม BCD = \มุม BAC+\มุม ABC

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับมุมฉากสองมุม

ลองหาสามเหลี่ยม ABC กัน (รูปที่ 208) ให้เราแสดงมุมภายในของมันด้วยเลข 1, 2 และ 3 ให้เราพิสูจน์กัน

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

ลองวาดผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม เช่น B ซึ่งเป็นเส้นตรง MN ขนานกับ AC

ที่จุดยอด B เรามีมุมสามมุม: ∠4, ∠2 และ ∠5 ผลรวมของมันคือมุมตรง ดังนั้นมันจึงเท่ากับ 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°

แต่ ∠4 = ∠1 เป็นมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และซีแคนต์ AB

∠5 = ∠3 - นี่คือมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และเส้นตัด BC

ซึ่งหมายความว่า ∠4 และ ∠5 สามารถแทนที่ได้ด้วยค่าเท่ากับ ∠1 และ ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน




ที่จริงแล้ว ในรูปสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 แต่ยังรวมถึง ∠ВСD ด้วย มุมภายนอกของสามเหลี่ยมนี้ซึ่งไม่อยู่ติดกับ ∠1 และ ∠2 ก็เท่ากับ 180° เช่นกัน - ∠3 .

ดังนั้น:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2= ∠BCD

สมบัติที่ได้รับของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมทำให้เนื้อหาของทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้เกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมชัดเจนขึ้น ซึ่งระบุเพียงว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับแล้วว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในทั้งสองมุมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกัน

3. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30°

ทฤษฎีบท. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่วางตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก


ให้มุม B ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB เท่ากับ 30° (รูปที่ 210) จากนั้นมุมแหลมอีกอันจะเท่ากับ 60°



ลองพิสูจน์ว่า AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มาต่อที่เลก AC เหนือระดับบนกันดีกว่า มุมขวา C และแยกส่วน CM ไว้เท่ากับส่วน AC เชื่อมต่อจุด M กับจุด B ผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม ВСМ เท่ากับรูปสามเหลี่ยมเส้นผ่าศูนย์กลาง เราจะเห็นว่าแต่ละมุมของสามเหลี่ยม ABM เท่ากับ 60° ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของ AM และเนื่องจาก AM เท่ากับ AB ดังนั้น AC ขาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB