แทนเจนต์ในสัญญาณไตรมาสที่สอง วงกลมตรีโกณมิติ สุดยอดคู่มือ (2019)

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน”... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป...

"[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น สำหรับช่วงเวลาต่อไป เท่ากับครั้งแรกอคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ในอาโพเรียนี้ ความขัดแย้งทางตรรกะมันสามารถเอาชนะได้อย่างง่ายดาย - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็น ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ใช้งานได้ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มนึกถึงฟิสิกส์อย่างเมามัน: เปิด เหรียญที่แตกต่างกันมีสิ่งสกปรกในปริมาณที่แตกต่างกัน โครงสร้างผลึก และการจัดเรียงอะตอมจะไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด คำถามที่น่าสนใจ: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูที่นี่ เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและทำอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลข หมายเลขที่กำหนด- เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกตัวเอง มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็จะไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณโดยฉับพลัน:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (หนึ่งภาพ) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดระดับ) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

หากคุณคุ้นเคยแล้ว วงกลมตรีโกณมิติ และคุณเพียงต้องการรีเฟรชหน่วยความจำขององค์ประกอบบางอย่างหรือคุณใจร้อนโดยสิ้นเชิงนี่คือ:

ที่นี่เราจะวิเคราะห์ทุกอย่างโดยละเอียดทีละขั้นตอน

วงกลมตรีโกณมิติไม่ใช่สิ่งหรูหรา แต่เป็นสิ่งจำเป็น

ตรีโกณมิติ หลายคนเชื่อมโยงมันกับไม้พุ่มที่ผ่านเข้าไปไม่ได้ ทันใดนั้น ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมากมาย มีสูตรมากมายกองรวมกัน...แต่เหมือนว่ามันไม่ได้ผลตั้งแต่แรก และ... ไปกันเลย... เข้าใจผิดกันหมด...

มันสำคัญมากที่จะไม่ยอมแพ้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, - พวกเขาบอกว่าคุณสามารถดูเดือยด้วยตารางค่าได้ตลอดเวลา

หากคุณกำลังดูตารางที่มีค่าของสูตรตรีโกณมิติอยู่ตลอดเวลา เรามากำจัดนิสัยนี้กันเถอะ!

เขาจะช่วยเราเอง! คุณจะต้องทำงานกับมันหลายครั้ง และจากนั้นมันก็จะผุดขึ้นมาในหัวของคุณ ดีกว่าโต๊ะยังไง? ใช่ ในตารางคุณจะพบค่าจำนวนจำกัด แต่บนวงกลม - ทุกอย่าง!

เช่น พูดขณะมองดู ตารางมาตรฐานของค่าสูตรตรีโกณมิติ , ทำไม เท่ากับไซน์พูดว่า 300 องศาหรือ -45

ไม่มีทาง?.. คุณสามารถเชื่อมต่อได้แน่นอน สูตรลด... และเมื่อดูวงกลมตรีโกณมิติแล้ว ก็สามารถตอบคำถามดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย แล้วคุณจะรู้ได้อย่างไร!

และเมื่อตัดสินใจแล้ว สมการตรีโกณมิติและอสมการที่ไม่มีวงกลมตรีโกณมิติ - ไม่มีเลย

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

ไปตามลำดับกันเลย

ก่อนอื่น เรามาเขียนชุดตัวเลขนี้กันก่อน:

และตอนนี้:

และสุดท้ายอันนี้:

แน่นอนว่า เป็นที่แน่ชัดว่า ที่จริงแล้ว อันดับแรกคือ ลำดับที่สองคือ และอันดับสุดท้ายคือ นั่นคือเราจะสนใจโซ่มากขึ้น

แต่มันออกมาสวยงามขนาดไหน! หากมีสิ่งใดเกิดขึ้น เราจะฟื้นฟู “บันไดมหัศจรรย์” นี้

และทำไมเราถึงต้องการมัน?

สายโซ่นี้เป็นค่าหลักของไซน์และโคไซน์ในไตรมาสแรก

ให้เราวาดวงกลมที่มีหน่วยรัศมีในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (นั่นคือ เราหารัศมีตามความยาวใดๆ แล้วประกาศความยาวของรัศมีเป็นหน่วย)

จากลำแสง "0-Start" เราวางมุมตามทิศทางของลูกศร (ดูรูป)

เราได้จุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม ดังนั้นหากเราฉายจุดบนแต่ละแกน เราจะได้ค่าจากห่วงโซ่ข้างต้นอย่างแน่นอน

ทำไมคุณถึงถาม?

อย่าวิเคราะห์ทุกอย่าง ลองพิจารณาดู หลักการซึ่งจะช่วยให้คุณรับมือกับสถานการณ์อื่นที่คล้ายคลึงกันได้

สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมี . และเรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุม b มีขาครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก (เรามีด้านตรงข้ามมุมฉาก = รัศมีของวงกลม นั่นคือ 1)

ซึ่งหมายถึง AB= (และดังนั้น OM=) และตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ฉันหวังว่าบางสิ่งบางอย่างจะชัดเจนขึ้นแล้ว?

ดังนั้นจุด B จะสอดคล้องกับค่า และจุด M จะสอดคล้องกับค่า

เช่นเดียวกับค่าอื่น ๆ ของไตรมาสแรก

ตามที่เข้าใจแกนที่คุ้นเคย (วัว) จะเป็น แกนโคไซน์และแกน (oy) – แกนของไซน์ - ภายหลัง.

ทางด้านซ้ายของศูนย์ตามแนวแกนโคไซน์ (ต่ำกว่าศูนย์ตามแนวแกนไซน์) แน่นอนว่าจะต้องมีค่าลบ

ดังนั้น นี่คือผู้ทรงอำนาจ หากไม่มีตรีโกณมิติก็ไม่มีที่ไหนเลย

แต่เราจะพูดถึงวิธีใช้วงกลมตรีโกณมิติค่ะ

เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับจตุภาคพิกัดซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ตัวเลขอยู่เท่านั้น ใน ครั้งสุดท้ายเราเรียนรู้ที่จะแปลงข้อโต้แย้งจากการวัดเรเดียนเป็นการวัดระดับ (ดูบทเรียน “ การวัดเรเดียนและองศาของมุม”) จากนั้นจึงกำหนดไตรมาสของพิกัดเดียวกันนี้ ทีนี้เรามาพยายามหาสัญลักษณ์ของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์กันดีกว่า

ไซน์ของมุม α คือพิกัด (พิกัด y) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

โคไซน์ของมุม α คือพิกัด x) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

แทนเจนต์ของมุม α คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ หรือที่เหมือนกัน คืออัตราส่วนของพิกัด y กับพิกัด x

สัญกรณ์: บาป α = y ; cos α = x ; ทีจี α = y : x .

คำจำกัดความทั้งหมดนี้คุ้นเคยกับคุณจากพีชคณิตระดับมัธยมปลาย อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจคำจำกัดความของตัวเอง แต่สนใจในผลที่ตามมาที่เกิดขึ้นกับวงกลมตรีโกณมิติ ลองดู:

สีฟ้าบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OY (แกนพิกัด) สีแดงบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OX (แกน abscissa) บน "เรดาร์" นี้ สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะชัดเจน โดยเฉพาะ:

1. sin α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ II เนื่องจากตามคำจำกัดความแล้ว ไซน์เป็นพิกัด (พิกัด y) และพิกัด y จะเป็นค่าบวกอย่างแม่นยำในไตรมาสพิกัด I และ II
2. cos α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัดที่ 1 หรือ 4 เพราะมีเพียงพิกัด x (หรือที่รู้จักกันในชื่อ abscissa) เท่านั้นที่จะมากกว่าศูนย์
3. tan α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ III สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความ: ท้ายที่สุดแล้ว tan α = y : x ดังนั้นจึงเป็นบวกเฉพาะในกรณีที่สัญญาณของ x และ y ตรงกันเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในไตรมาสพิกัดแรก (ในที่นี้ x > 0, y > 0) และไตรมาสพิกัดที่สาม (x< 0, y < 0).

เพื่อความชัดเจน เราจะสังเกตเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชัน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ บน "เรดาร์" ที่แยกจากกัน เราได้รับภาพต่อไปนี้:

หมายเหตุ: ในการสนทนา ฉันไม่เคยพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สี่ - โคแทนเจนต์เลย ความจริงก็คือสัญญาณโคแทนเจนต์ตรงกับสัญญาณแทนเจนต์ - ไม่มีกฎพิเศษในนั้น

ตอนนี้ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกับปัญหา B11 จาก ทดลองสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งจัดขึ้นเมื่อวันที่ 27 กันยายน พ.ศ. 2554 หลังจากนั้น วิธีที่ดีที่สุดทฤษฎีความเข้าใจคือการปฏิบัติ แนะนำให้ฝึกเยอะๆ แน่นอนว่าเงื่อนไขของภารกิจมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย

งาน. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติและนิพจน์ (ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันเอง):

1. บาป(3π/4);
2. คอส(7π/6);
3. ทีจี(5π/3);
4. บาป (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. บาป (5π/6) cos (7π/4);
7. สีแทน (3π/4) cos (5π/3);
8. กะรัต (4π/3) tg (π/6)

แผนปฏิบัติการมีดังนี้ ขั้นแรกเราจะแปลงมุมทั้งหมดจากการวัดเรเดียนเป็นองศา (π → 180°) จากนั้นดูว่าตัวเลขผลลัพธ์นั้นอยู่ในพิกัดไตรมาสใด เมื่อรู้ไตรมาสแล้วเราสามารถค้นหาสัญญาณได้อย่างง่ายดาย - ตามกฎที่อธิบายไว้ เรามี:

1. บาป (3π/4) = บาป (3 · 180°/4) = บาป 135° เนื่องจาก 135° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด II แต่ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวก ดังนั้นบาป (3π/4) > 0;
2. คอส (7π/6) = คอส (7 · 180°/6) = คอส 210° เพราะ 210° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด III ซึ่งโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos(7π/6)< 0;
3. ค่า tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300° ตั้งแต่ 300° ∈ เราอยู่ในควอเตอร์ที่ 4 โดยที่แทนเจนต์รับค่าลบ ดังนั้น สีแทน (5π/3)< 0;
4. บาป (3π/4) cos (5π/6) = บาป (3 180°/4) cos (5 180°/6) = บาป 135° cos 150° มาจัดการกับไซน์กันดีกว่า: เพราะว่า 135° ∈ นี่คือควอเตอร์ที่สองที่ไซน์เป็นบวก เช่น sin (3π/4) > 0 ตอนนี้เราทำงานกับโคไซน์: 150° ∈ - อีกครั้งในไตรมาสที่สอง โคไซน์ที่เป็นลบ ดังนั้น cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45° เราดูที่โคไซน์: 120° ∈ คือควอเตอร์ของพิกัด II ดังนั้น cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. อีกครั้งที่เราได้รับผลิตภัณฑ์ที่ปัจจัยมีสัญญาณที่แตกต่างกัน เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้ลบ” เรามี: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. บาป (5π/6) cos (7π/4) = บาป (5 180°/6) cos (7 180°/4) = บาป 150° cos 315° เราทำงานกับไซน์: ตั้งแต่ 150° ∈ , เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไตรมาสพิกัด II โดยที่ไซน์เป็นบวก ดังนั้น sin (5π/6) > 0 ในทำนองเดียวกัน 315° ∈ คือควอเตอร์พิกัด IV ซึ่งโคไซน์นั้นเป็นค่าบวก ดังนั้น cos (7π/4) > 0 เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนบวกสองตัว - นิพจน์ดังกล่าวจะเป็นค่าบวกเสมอ เราสรุปได้ว่า: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300° แต่มุม 135° ∈ คือควอเตอร์ที่สอง นั่นคือ ทีจี(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้เครื่องหมายลบ” เรามี: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. กะรัต (4π/3) กะรัต (π/6) = กะรัต (4 180°/3) กะรัต (180°/6) = กะรัต 240° กะ 30° เราดูที่อาร์กิวเมนต์โคแทนเจนต์: 240° ∈ คือควอเตอร์พิกัด III ดังนั้น ctg (4π/3) > 0 ในทำนองเดียวกัน สำหรับแทนเจนต์ที่เรามี: 30° ∈ คือควอเตอร์พิกัด I กล่าวคือ มุมที่ง่ายที่สุด ดังนั้น สีแทน (π/6) > 0 เรามีสำนวนเชิงบวกสองสำนวนเหมือนเดิม - ผลคูณของสำนวนนั้นก็จะเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น cot (4π/3) tg (π/6) > 0

สุดท้ายนี้ เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กัน นอกจากการหาสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คุณจะต้องคำนวณเล็กๆ น้อยๆ ตรงนี้ด้วย เช่นเดียวกับที่ทำในโจทย์จริง B11 โดยหลักการแล้ว ปัญหาเหล่านี้เกือบจะเป็นปัญหาจริงที่ปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.64 และ α ∈ [π/2; พาย].

เนื่องจากบาป 2 α = 0.64 เรามี: sin α = ±0.8 สิ่งที่เหลืออยู่คือการตัดสินใจ: บวกหรือลบ? โดยเงื่อนไข มุม α ∈ [π/2; π] คือควอเตอร์พิกัด II โดยที่ไซน์ทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้น sin α = 0.8 - ความไม่แน่นอนพร้อมสัญญาณจะถูกกำจัด

งาน. ค้นหา cos α ถ้า cos 2 α = 0.04 และ α ∈ [π; 3π/2].

เราทำเช่นเดียวกันนั่นคือ สารสกัด รากที่สอง: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2 ตามเงื่อนไข มุม α ∈ [π; 3π/2] กล่าวคือ เรากำลังพูดถึงไตรมาสพิกัดที่สาม โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos α = −0.2

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.25 และ α ∈

เรามี: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5 เราดูมุมอีกครั้ง: α ∈ คือไตรมาสพิกัด IV ซึ่งดังที่เราทราบ ไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: sin α = −0.5

งาน. ค้นหา tan α ถ้า tan 2 α = 9 และ α ∈

ทุกอย่างเหมือนกันหมด เฉพาะแทนเจนต์เท่านั้น แยกรากที่สอง: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3 แต่ตามเงื่อนไข มุม α ∈ คือควอเตอร์พิกัด I ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมถึง แทนเจนต์ มีบวก ดังนั้น tan α = 3 แค่นั้นแหละ!

หลากหลาย บางส่วนเกี่ยวกับว่าโคไซน์เป็นบวกและลบในสี่ส่วน ซึ่งไซน์เป็นบวกและลบในสี่ส่วน ทุกอย่างจะกลายเป็นเรื่องง่ายหากคุณรู้วิธีคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในมุมต่างๆ และคุ้นเคยกับหลักการพล็อตฟังก์ชันบนกราฟ

ค่าโคไซน์คืออะไร?

หากเราพิจารณา เราจะได้อัตราส่วนกว้างยาวต่อไปนี้ซึ่งเป็นตัวกำหนด: โคไซน์ของมุม กคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB (รูปที่ 1): cos ก= พ.ศ./เอบี

เมื่อใช้สามเหลี่ยมเดียวกัน คุณจะพบไซน์ของมุม แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ไซน์จะเป็นอัตราส่วนของด้านตรงข้ามของมุม AC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB พบแทนเจนต์ของมุมถ้าไซน์ของมุมที่ต้องการหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน เมื่อแทนสูตรที่เกี่ยวข้องในการค้นหาไซน์และโคไซน์ เราจะได้ค่า tg นั้น ก= เอซี/บีซี โคแทนเจนต์ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันกับแทนเจนต์จะพบได้ดังนี้: ctg ก= พ.ศ./เอซี

นั่นคือด้วยค่ามุมที่เท่ากัน พบว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากอัตราส่วนกว้างยาวจะเท่ากันเสมอ ดูเหมือนจะชัดเจนว่าค่าเหล่านี้มาจากไหน แต่ทำไมเราถึงได้ตัวเลขติดลบ?

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องพิจารณารูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งมีทั้งค่าบวกและค่าลบ

ชัดเจนว่าไตรมาสไหนอยู่ที่ไหน?

พิกัดคาร์ทีเซียนคืออะไร? หากเราพูดถึงอวกาศสองมิติ เรามีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันที่จุด O ซึ่งได้แก่แกนแอบซิสซา (Ox) และแกนพิกัด (Oy) จากจุด O ไปในทิศทางของเส้นตรงจะมีจำนวนบวก และในทิศทางตรงกันข้าม - จะเป็นจำนวนลบ ท้ายที่สุดแล้ว สิ่งนี้จะกำหนดโดยตรงว่าโคไซน์ตัวใดเป็นค่าบวกและค่าลบตัวใดตามลำดับ

ไตรมาสแรก

ถ้าคุณวาง สามเหลี่ยมมุมฉากในไตรมาสแรก (จาก 0 o ถึง 90 o) โดยที่แกน x และ y มี ค่าบวก(ส่วน AO และ BO อยู่บนแกนโดยที่ค่ามีเครื่องหมาย “+”) จากนั้นทั้งไซน์และโคไซน์ก็จะมีค่าบวกเช่นกัน และพวกมันจะถูกกำหนดค่าด้วยเครื่องหมาย “บวก” แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณย้ายสามเหลี่ยมไปที่ควอเตอร์ที่สอง (จาก 90 o ถึง 180 o)?

ไตรมาสที่สอง

เราจะเห็นว่าขาของ AO ได้รับตามแกน y ค่าลบ- โคไซน์ของมุม กตอนนี้มีด้านนี้สัมพันธ์กับลบ ดังนั้นค่าสุดท้ายจึงกลายเป็นลบ ปรากฎว่าในไตรมาสใดที่โคไซน์เป็นบวกนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และในกรณีนี้ โคไซน์ของมุมจะได้รับค่าลบ แต่สำหรับไซน์นั้น ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง เนื่องจากคุณต้องมีด้าน OB เพื่อระบุเครื่องหมาย ซึ่งในกรณีนี้ยังคงอยู่ที่เครื่องหมายบวก มาสรุปสองไตรมาสแรกกันดีกว่า

หากต้องการทราบว่าโคไซน์เป็นบวกในช่วงไตรมาสใดและช่วงใดเป็นลบ (รวมถึงไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ) คุณต้องดูว่าเครื่องหมายใดถูกกำหนดให้กับด้านใด สำหรับโคไซน์ของมุม กด้าน AO มีความสำคัญ สำหรับไซน์ - OB

จนถึงขณะนี้ ไตรมาสแรกกลายเป็นไตรมาสเดียวที่ตอบคำถาม: “ไตรมาสใดที่มีไซน์และโคไซน์เป็นบวกในเวลาเดียวกัน” มาดูกันเพิ่มเติมว่าจะมีความบังเอิญอีกหรือไม่ในสัญลักษณ์ของฟังก์ชันทั้งสองนี้

ในไตรมาสที่สอง ด้าน AO เริ่มมีค่าเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าโคไซน์ก็กลายเป็นลบด้วย ไซน์จะเป็นค่าบวก

ไตรมาสที่สาม

ตอนนี้ทั้งสองด้าน AO และ OB กลายเป็นลบ ให้เรานึกถึงความสัมพันธ์ของโคไซน์และไซน์:

เพราะ = AO/AB;

บาป = VO/AV

AB จะมีเครื่องหมายบวกเสมอในระบบพิกัดที่กำหนด เนื่องจากไม่ได้พุ่งไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทางที่กำหนดโดยแกน แต่ขากลายเป็นลบซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของทั้งสองฟังก์ชันก็เป็นลบเช่นกัน เพราะถ้าคุณทำการคูณหรือหารด้วยตัวเลข โดยที่อันเดียวเท่านั้นมีเครื่องหมายลบ ผลลัพธ์ก็จะมีเครื่องหมายนี้ด้วย

ผลลัพธ์ในขั้นตอนนี้:

1) โคไซน์เป็นบวกในไตรมาสใด ในครั้งแรกของสาม

2) ไซน์บวกในไตรมาสใด ในครั้งแรกและครั้งที่สองของสาม

ไตรมาสที่สี่ (จาก 270 o ถึง 360 o)

ตรงนี้ด้าน AO ได้เครื่องหมายบวกอีกครั้ง และโคไซน์ด้วย

สำหรับไซน์ สิ่งต่างๆ ยังคงเป็น "เชิงลบ" เนื่องจากขา OB ยังคงต่ำกว่าจุดเริ่มต้น O

ข้อสรุป

เพื่อให้เข้าใจว่าโคไซน์เป็นบวก ลบ ฯลฯ ในไตรมาสใด คุณต้องจำความสัมพันธ์ในการคำนวณโคไซน์: ขาที่อยู่ติดกับมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ครูบางคนแนะนำให้จำสิ่งนี้: k(osine) = (k) angle หากคุณจำ "สูตรโกง" นี้ คุณจะเข้าใจโดยอัตโนมัติว่าไซน์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่อนข้างยากที่จะจำได้ว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นค่าบวกและค่าลบในช่วงใด มีฟังก์ชันตรีโกณมิติมากมาย และทุกฟังก์ชันก็มีความหมายในตัวเอง แต่ผลที่ตามมาก็คือค่าบวกของไซน์คือ 1.2 ควอเตอร์ (ตั้งแต่ 0 o ถึง 180 o) สำหรับโคไซน์ 1.4 ไตรมาส (จาก 0 o ถึง 90 o และจาก 270 o ถึง 360 o) ในควอเตอร์ที่เหลือ ฟังก์ชันจะมีค่าลบ

บางทีอาจจะง่ายกว่าสำหรับคนที่จะจดจำว่าสัญลักษณ์ใดเป็นสัญลักษณ์ใดโดยพรรณนาถึงฟังก์ชัน

สำหรับไซน์นั้นชัดเจนว่าจากศูนย์ถึง 180 o สันเขาอยู่เหนือเส้นค่า sin(x) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันตรงนี้เป็นค่าบวก สำหรับโคไซน์จะเหมือนกัน: ในไตรมาสใดโคไซน์เป็นบวก (ภาพที่ 7) และที่เป็นลบ คุณสามารถดูได้โดยการเลื่อนเส้นด้านบนและด้านล่างแกน cos(x) เป็นผลให้เราสามารถจำสองวิธีในการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์:

1. จากวงกลมจินตภาพที่มีรัศมีเท่ากับ 1 (แม้ว่าในความเป็นจริงแล้ว รัศมีของวงกลมจะเป็นอย่างไรไม่สำคัญก็ตาม นี่คือตัวอย่างที่มักให้ไว้ในตำราเรียนบ่อยที่สุด ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น แต่ที่ ขณะเดียวกันเว้นแต่จะกำหนดไว้ว่า ไม่เป็นไร เด็กอาจสับสนได้)

2. โดยแสดงให้เห็นการพึ่งพาฟังก์ชันตาม (x) กับอาร์กิวเมนต์ x เองดังในรูปสุดท้าย

เมื่อใช้วิธีแรก คุณจะเข้าใจได้ว่าสัญญาณนั้นขึ้นอยู่กับอะไร และเราได้อธิบายรายละเอียดข้างต้นแล้ว รูปที่ 7 ซึ่งสร้างจากข้อมูลเหล่านี้ แสดงภาพฟังก์ชันผลลัพธ์และเครื่องหมายของฟังก์ชันในวิธีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

มันเกือบจะเหมือนกับในบทเรียนที่แล้ว มีแกน วงกลม มุม ทุกอย่างเป็นระเบียบ เพิ่มหมายเลขควอเตอร์ (ที่มุมของจัตุรัสใหญ่) - ตั้งแต่ตัวแรกถึงตัวที่สี่ ถ้าใครไม่รู้ล่ะ? อย่างที่คุณเห็น ไตรมาส (เรียกอีกอย่างว่า เป็นคำที่สวยงาม"ควอแดรนท์") จะมีตัวเลขทวนเข็มนาฬิกา เพิ่มค่ามุมบนแกน ทุกอย่างชัดเจนไม่มีปัญหา

และมีลูกศรสีเขียวเพิ่มเข้ามา ด้วยข้อดี มันหมายความว่าอะไร? ผมขอเตือนคุณว่าด้านคงที่ของมุม เสมอ ตอกเข้ากับ OX กึ่งแกนบวก ดังนั้นหากเราหมุนด้านที่ขยับได้ของมุม ตามลูกศรด้วยเครื่องหมายบวก, เช่น. ตามลำดับตัวเลขไตรมาสจากน้อยไปหามาก มุมจะถือว่าเป็นบวกตามตัวอย่าง รูปภาพจะแสดงมุมบวกที่ +60°

ถ้าเราละมุม ในทิศทางตรงกันข้ามตามเข็มนาฬิกา มุมจะถือเป็นลบวางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) คุณจะเห็นลูกศรสีน้ำเงินพร้อมเครื่องหมายลบ นี่คือทิศทางของการอ่านค่ามุมลบ ตัวอย่างเช่น มุมลบ (- 60°) จะปรากฏขึ้น และคุณจะเห็นด้วยว่าตัวเลขบนแกนเปลี่ยนไปอย่างไร... ฉันแปลงมันเป็นมุมลบด้วย การนับเลขควอแดรนท์ไม่เปลี่ยนแปลง

นี่คือจุดเริ่มต้นของความเข้าใจผิดครั้งแรก ยังไงล่ะ!? จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมลบบนวงกลมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมบวก!? และโดยทั่วไปปรากฎว่าตำแหน่งเดียวกันของด้านที่กำลังเคลื่อนที่ (หรือจุดบนวงกลมตัวเลข) สามารถเรียกได้ว่าเป็นทั้งมุมลบและมุมบวก!?

ใช่. ถูกต้องแล้ว สมมติว่ามุมบวก 90 องศาตัดกับวงกลม เหมือนกันทุกประการ วางตำแหน่งเป็นมุมลบลบ 270 องศา มุมบวก เช่น ใช้เวลา +110° เหมือนกันทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบ -250°

ไม่มีคำถาม. สิ่งใดถูกต้อง) การเลือกการคำนวณมุมบวกหรือลบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงาน ถ้าเงื่อนไขไม่บอกอะไร เป็นข้อความที่ชัดเจน เกี่ยวกับสัญลักษณ์ของมุม (เช่น "กำหนดสิ่งที่เล็กที่สุด เชิงบวกมุม" ฯลฯ ) จากนั้นเราจะทำงานกับค่าที่สะดวกสำหรับเรา

ข้อยกเว้น (เราจะอยู่ได้อย่างไรถ้าไม่มีพวกมัน!) คือความไม่เท่าเทียมกันทางตรีโกณมิติ แต่เราจะเชี่ยวชาญเคล็ดลับนี้

และตอนนี้คำถามสำหรับคุณ ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าตำแหน่งของมุม 110° เหมือนกับตำแหน่งของมุม -250°
ฉันขอบอกเป็นนัยว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับการปฏิวัติโดยสมบูรณ์ ในแบบ 360°... ไม่ชัด? จากนั้นเราก็วาดวงกลม เราวาดมันเองบนกระดาษ ทำเครื่องหมายที่มุม ประมาณ 110° และ เราคิดเหลือเวลาอีกเท่าใดจึงจะเกิดการปฏิวัติเต็มรูปแบบ จะเหลือเพียง 250°...

เข้าใจแล้ว? และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ถ้ามุม 110° และ -250° ครอบครองวงกลม สิ่งเดียวกัน สถานการณ์แล้วไงล่ะ? ใช่ มุมคือ 110° และ -250° เหมือนกันทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
เหล่านั้น. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) และอื่นๆ ตอนนี้มันสำคัญมาก! และในตัวมันเองมีงานมากมายที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและเป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนรู้สูตรการลดลงและความซับซ้อนอื่น ๆ ของตรีโกณมิติในภายหลัง

แน่นอนว่าฉันสุ่มตัวอย่างที่ 110° และ -250° เพียงอย่างเดียว ความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ใช้ได้กับมุมใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม 60° และ -300°, -75° และ 285° และอื่นๆ ขอผมสังเกตทันทีว่ามุมในคู่นี้คือ แตกต่าง.แต่พวกมันมีฟังก์ชันตรีโกณมิติ - เหมือนกัน

ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจว่ามุมลบคืออะไร มันค่อนข้างง่าย ทวนเข็มนาฬิกา - การนับเชิงบวก ระหว่างทาง - เชิงลบ พิจารณามุมบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเรา- จากความปรารถนาของเรา แน่นอนว่าและจากงานด้วย... ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีย้ายจากมุมลบไปยังมุมบวกและย้อนกลับในฟังก์ชันตรีโกณมิติ วาดวงกลมเป็นมุมโดยประมาณ แล้วดูว่าต้องขาดไปเท่าไรจึงจะครบวงรอบ เช่น สูงถึง 360°

มุมที่มากกว่า 360°

ลองจัดการกับมุมที่มากกว่า 360° กัน มีของแบบนี้ด้วยเหรอ? มีแน่นอน จะวาดพวกมันเป็นวงกลมได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! สมมติว่าเราต้องเข้าใจว่ามุม 1,000° จะตกอยู่ในไตรมาสใด อย่างง่ายดาย! เราหมุนทวนเข็มนาฬิกาเต็มหนึ่งรอบ (มุมที่เราได้รับนั้นเป็นค่าบวก!) เราหมุนกลับ 360° เอาล่ะ เดินหน้าต่อไป! หมุนอีกครั้ง - ตอนนี้อยู่ที่ 720° แล้ว เหลือกี่อัน? 280° เลี้ยวเต็มอย่างเดียวไม่พอ... แต่มุมนั้นมากกว่า 270° - และนี่คือเส้นเขตระหว่างควอเตอร์ที่สามและสี่ ดังนั้น มุม 1,000° ของเราจึงตกอยู่ในควอเตอร์ที่สี่ ทั้งหมด.

อย่างที่คุณเห็นมันค่อนข้างง่าย ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่ามุม 1,000° และมุม 280° ซึ่งเราได้รับจากการละทิ้งการปฏิวัติเต็ม "พิเศษ" นั้น พูดอย่างเคร่งครัด แตกต่างมุม แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพวกนี้ เหมือนกันทุกประการ- เหล่านั้น. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° เป็นต้น ถ้าฉันเป็นไซน์ ฉันคงไม่สังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองมุมนี้...

ทำไมทั้งหมดนี้ถึงจำเป็น? ทำไมเราต้องแปลงมุมจากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง? ใช่ ทั้งหมดเพื่อสิ่งเดียวกัน) เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ที่จริงแล้ว การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็นงานหลักของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน และระหว่างทางก็ฝึกศีรษะด้วย)

เรามาฝึกซ้อมกันไหม?)

เราตอบคำถาม สิ่งง่ายๆก่อน

1. มุม -325° อยู่ในควอเตอร์ใด

2. มุม 3000° อยู่ในควอเตอร์ใด

3. มุม -3000° ตกอยู่ในไตรมาสใด

มีปัญหาอะไรไหม? หรือความไม่แน่นอน? มาดูมาตรา 555 การฝึกปฏิบัติเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติกันดีกว่า นั่นเองในบทเรียนแรกของเรื่องนี้” การปฏิบัติงาน..." อย่างละเอียด... อิน เช่นคำถามของความไม่แน่นอนที่จะเป็น ไม่ควร!

4. sin555° มีสัญลักษณ์อะไร?

5. tg555° มีสัญลักษณ์อะไร?

คุณได้ตัดสินใจแล้วหรือยัง? ยอดเยี่ยม! คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? คุณต้องไปที่มาตรา 555... ยังไงก็ตาม คุณจะได้เรียนรู้การวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บน วงกลมตรีโกณมิติ- สิ่งที่มีประโยชน์มาก

และตอนนี้คำถามก็ซับซ้อนมากขึ้น

6. ลดนิพจน์ sin777° ให้เป็นไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

7. ลดนิพจน์ cos777° ให้เป็นโคไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

8. ลดนิพจน์ cos(-777°) ให้เป็นโคไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

9. ลดนิพจน์ sin777° ให้เป็นไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

อะไร คำถาม 6-9 ทำให้คุณงง? ทำความคุ้นเคยกับมันแล้ว ในการสอบ Unified State คุณจะไม่พบสูตรดังกล่าว... ยังไงก็ตาม ฉันจะแปลมันเอง เพียงสำหรับคุณ!

คำว่า "bring an expression to..." หมายถึง การแปลงการแสดงออกให้มีคุณค่า ยังไม่เปลี่ยนแปลงก รูปร่างเปลี่ยนไปตามที่ได้รับมอบหมาย ดังนั้นในงานที่ 6 และ 9 เราจะต้องได้ไซน์ซึ่งข้างในนั้นมีอยู่ มุมบวกที่เล็กที่สุดทุกสิ่งทุกอย่างไม่สำคัญ

ฉันจะแจกคำตอบตามลำดับ (ฝ่าฝืนกฎของเรา) จะทำอย่างไรมีเพียงสองสัญญาณและมีเพียงสี่ในสี่... คุณจะไม่ถูกเลือก

6. บาป 57°

7. คอส(-57°)

8.คอส57°.

9. -ซิน(-57°)

ฉันคิดว่าคำตอบของคำถามที่ 6-9 ทำให้บางคนสับสน โดยเฉพาะ -บาป(-57°)จริงเหรอ?) จริงๆ แล้วในกฎเบื้องต้นสำหรับการคำนวณมุม มีพื้นที่สำหรับข้อผิดพลาด... นั่นคือเหตุผลที่ฉันต้องเรียนบทเรียน: "จะระบุสัญญาณของฟังก์ชันและกำหนดมุมบนวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร" ในมาตรา 555 ให้กล่าวถึงงานที่ 4 - 9 ไว้ด้วย จัดเรียงอย่างดีพร้อมข้อผิดพลาดทั้งหมด และพวกเขาอยู่ที่นี่)

ในบทต่อไป เราจะมาพูดถึงเรเดียนลึกลับและตัวเลข "Pi" มาเรียนรู้วิธีการแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกันอย่างง่ายดายและถูกต้อง และเราจะแปลกใจเมื่อพบว่าข้อมูลพื้นฐานนี้บนเว็บไซต์ เพียงพอแล้ว เพื่อแก้ปัญหาตรีโกณมิติแบบกำหนดเอง!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้