เส้นตรงในอวกาศ – ข้อมูลที่จำเป็น เส้นขนานในอวกาศ ความขนานของเส้นสามเส้น สัญญาณของการข้ามเส้น

บ้าน

เส้นสองเส้นในอวกาศสามารถวางได้หลายวิธี ประการแรกอาจเกิดขึ้นได้ว่าเส้นตรงสองเส้นมีจุดร่วม เห็นได้ชัดว่าพวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน ที่จริงแล้วในการสร้างระนาบดังกล่าวก็เพียงพอที่จะวาดผ่านสามจุด: จุด A ของจุดตัดของเส้นที่ระบุ (รูปที่ 323) และจุด C และ B ซึ่งถ่ายตามลำดับบนเส้น มีจุดร่วมสองจุดในแต่ละเส้น เครื่องบินจะมีทั้งสองเส้น

ตอนนี้ให้เส้นเหล่านี้ไม่มีจุดร่วมกัน นี่ไม่ได้หมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกัน เนื่องจากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกำหนดว่าเส้นตรงต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อแก้ปัญหาตำแหน่งของเส้นตรงของเรา ลองวาดระนาบ K ผ่านหนึ่งในนั้น และนำจุด A ไปยังเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งโดยพลการ เป็นไปได้สองกรณี:

1) ระนาบที่สร้างขึ้นประกอบด้วยเส้นตรงเส้นที่สองทั้งหมด (รูปที่ 324) ในกรณีนี้ เส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันจึงขนานกัน

2) ระนาบ X ตัดกับเส้นตรงที่จุด A จากนั้นเส้นทั้งสองไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นตัดกัน (รูปที่ 325)

ดังนั้นจึงมีสามกรณีหลักที่เป็นไปได้ของตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้น

1. เส้นอยู่ในระนาบเดียวกันและตัดกัน

2. เส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวกันและขนานกัน

3. เส้นตรงตัดกัน กล่าวคือ พวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ตัวอย่าง. จากขอบทั้ง 12 ของลูกบาศก์ สามารถสร้างเส้นตรงคู่ได้ ในจำนวนนี้มี 24 คู่กำลังตัดกัน 24 คู่กำลังตัดกัน และ 18 คู่เป็นคู่ขนาน ผู้อ่านจะตรวจสอบความถูกต้องของสิ่งนี้จากแบบจำลองหรือภาพวาด

โปรดทราบว่าในอวกาศสมมุติฐานของเส้นคู่ขนานยังคงใช้ได้:

เมื่อผ่านจุดนอกเส้นจะมีเส้นขนานเส้นเดียวเท่านั้น

ในความเป็นจริง เส้นตรงและจุดที่กำหนดให้อยู่ด้านนอกจะเป็นตัวกำหนดระนาบซึ่งเส้นตรงที่ต้องการซึ่งขนานกับจุดที่กำหนดจะต้องอยู่ มีลักษณะเฉพาะของมันตามมาจากสมมุติฐานของแนวขนาน

โปรดทราบว่าข้อเสนอ planimetry สองข้อที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเส้นคู่ขนานจะต้องมีเหตุผลพิเศษสำหรับกรณีของช่องว่าง (ดูย่อหน้าที่ 232)

เกี่ยวกับข้อเสนอที่สองเหล่านี้เราทราบว่าคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นตัดกันนั้นขึ้นอยู่กับมัน: มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นคือมุมระหว่างเส้นสองเส้นขนานกับเส้นเหล่านั้นและลากผ่านจุดใดก็ได้ M. เห็นได้ชัดว่าเช่น คำจำกัดความขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ว่ามุมไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M (ดูย่อหน้าที่ 232)

เส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง เข้าใจว่าเป็นเส้นตรงที่ลากจากจุดที่กำหนดในมุมฉากไปยังเส้นที่กำหนดแล้วตัดกัน ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้น เราสามารถวาดจุดตั้งฉากกับจุดนั้นได้

อันที่จริง เส้นตั้งฉากที่ต้องการจะต้องอยู่ในระนาบที่กำหนดโดยเส้นและจุดที่กำหนด ดังนั้นข้อกำหนดของระนาบระนาบจึงมีผลบังคับใช้ อย่างไรก็ตาม จากจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง สามารถวาดตั้งฉากกับจุดนั้นได้เป็นจำนวนอนันต์: หนึ่งจุดในแต่ละระนาบที่ลากผ่านเส้นนี้

ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกันหรือขนานกัน เส้นทั้งสองจะอยู่ในระนาบเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในอวกาศ เส้นสองเส้นสามารถอยู่ในลักษณะที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน กล่าวคือ ไม่มีระนาบใดที่ผ่านทั้งสองเส้นนี้ เห็นได้ชัดว่าเส้นดังกล่าวไม่ได้ตัดกันหรือขนานกัน

พิจารณากรณีของการจัดเรียงเส้นตรงสองเส้นที่เป็นไปได้สามกรณีในอวกาศ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศสามารถ:

1. นอนอยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดร่วม

2. นอนอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

อย่านอนอยู่ในระนาบเดียวกันจึงไม่มีจุดร่วม

คำนิยาม: กล่าวกันว่าเส้นสองเส้นตัดกันหากมีจุดร่วม

คำนิยาม: เส้นสองเส้นจะเรียกว่าขนานกันหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วมหรือตรงกัน

คำนิยาม: เส้นสองเส้นจะเรียกว่าเอียงหากไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน (อย่าอยู่ในระนาบเดียวกัน)

การกำหนด:ก · ข

สัญญาณของการข้ามเส้นตรง

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นใดเส้นหนึ่งอยู่ในระนาบ และอีกเส้นตัดกันระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นแรก เส้นเหล่านี้จะตัดกัน

ที่ให้ไว้: ; ; .

พิสูจน์:ก · ข

การพิสูจน์: (โดยขัดแย้งกัน)

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ นั่นคือ เส้นเหล่านี้ตัดกันหรือขนานกัน: .

ผ่านเส้นตัดกันหรือเส้นขนานสองเส้น จึงสามารถวาดระนาบเดียวได้ ดังนั้นจึงมีระนาบที่แน่นอนซึ่งมีเส้นเหล่านี้อยู่: .

ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท

โดยสมมุติ.

จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทและจากการสันนิษฐานว่าระนาบทั้งสองผ่านเส้นตรง "a" และจุด M ที่ไม่อยู่ในนั้น และเนื่องจากระนาบเดียวเท่านั้นที่สามารถลากผ่านเส้นตรงและ a จุดที่ไม่ได้เป็นของมัน ดังนั้น เครื่องบินจึงตรงกัน -

โดยสมมุติ.

ตามเงื่อนไข.

เราขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้นสมมติฐานจึงไม่เป็นจริง แต่สิ่งที่ต้องพิสูจน์นั้นเป็นความจริง นั่นคือ เส้นตัดกัน: · ข.

เวลาผ่านไปไม่ถึงนาทีก่อนที่ฉันจะสร้างไฟล์ Verdov ใหม่และยังคงหัวข้อที่น่าสนใจเช่นนี้ต่อไป คุณต้องบันทึกช่วงเวลาแห่งอารมณ์การทำงาน ดังนั้นจึงไม่มีการแนะนำโคลงสั้น ๆ จะมีการตบแบบธรรมดา =)

ช่องว่างตรงสองช่องสามารถ:

1) ผสมข้ามพันธุ์;

2) ตัดกันที่จุด ;

3) ขนาน;

4) การแข่งขัน

กรณีที่ 1 มีความแตกต่างจากกรณีอื่นๆ โดยพื้นฐาน เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน- ยกแขนข้างหนึ่งขึ้นแล้วเหยียดแขนอีกข้างไปข้างหน้า นี่คือตัวอย่างของเส้นไขว้ ในจุดที่ 2-4 เส้นตรงจะต้องนอนอยู่ ในเครื่องบินลำเดียว.

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นในอวกาศได้อย่างไร?

พิจารณาช่องว่างทางตรงสองช่อง:

– เส้นตรงที่กำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง
– เส้นตรงที่กำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเรามาสร้างแผนผัง:

ภาพวาดแสดงเส้นตรงที่ตัดกันเป็นตัวอย่าง

จะจัดการกับเส้นตรงเหล่านี้อย่างไร?

เนื่องจากทราบจุดต่างๆ จึงง่ายต่อการค้นหาเวกเตอร์

ถ้าตรง ผสมข้ามพันธุ์แล้วเวกเตอร์ ไม่ใช่ระนาบ(ดูบทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์) ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดจึงไม่เป็นศูนย์ หรือซึ่งจริงๆ แล้วเป็นสิ่งเดียวกัน มันจะไม่เป็นศูนย์: .

ในกรณีที่หมายเลข 2-4 โครงสร้างของเรา "ตก" ลงในระนาบเดียวและเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมและผลคูณผสมของเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นเท่ากับศูนย์: .

มาขยายอัลกอริธึมเพิ่มเติมกัน สมมุติว่า ดังนั้นเส้นทั้งที่ตัดกัน ขนานกัน หรือตรงกัน

ถ้าเวกเตอร์ทิศทาง คอลลิเนียร์แล้วเส้นนั้นขนานหรือบังเอิญ สำหรับตะปูสุดท้าย ฉันขอเสนอเทคนิคต่อไปนี้: นำจุดใดก็ได้บนเส้นหนึ่งและแทนที่พิกัดลงในสมการของเส้นที่สอง ถ้าพิกัด "พอดี" เส้นจะตรงกัน ถ้า "ไม่พอดี" เส้นก็จะขนานกัน

อัลกอริธึมนั้นเรียบง่าย แต่ตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงก็คงไม่เสียหาย:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

สารละลาย: เช่นเดียวกับปัญหาเรขาคณิตหลายๆ ข้อ สะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด:

1) เรานำจุดและเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

2) ค้นหาเวกเตอร์:

ดังนั้น เวกเตอร์จึงเป็นระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวกันและสามารถตัดกัน ขนานกัน หรือตรงกันได้

4) ลองตรวจสอบเวกเตอร์ทิศทางเพื่อหาความสอดคล้องกัน

มาสร้างระบบจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านี้:

จาก ทุกคนสมการเป็นไปตามนั้น ดังนั้น ระบบจึงสอดคล้องกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เป็นสัดส่วน และเวกเตอร์เป็นเส้นตรง

สรุป: เส้นขนานหรือตรงกัน

5) ค้นหาว่าเส้นนั้นมีจุดร่วมกันหรือไม่ ลองใช้จุดที่เป็นของบรรทัดแรกและแทนที่พิกัดของมันลงในสมการของเส้น:

ดังนั้นเส้นต่างๆ จึงไม่มีจุดร่วม และไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องขนานกัน

คำตอบ:

ตัวอย่างที่น่าสนใจในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โปรดทราบว่าบรรทัดที่สองมีตัวอักษรเป็นพารามิเตอร์ ตรรกะ ในกรณีทั่วไป เส้นเหล่านี้เป็นสองบรรทัดที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละบรรทัดจึงมีพารามิเตอร์ของตัวเอง

และขอย้ำอีกครั้งว่าอย่าข้ามตัวอย่าง งานที่ฉันเสนอนั้นห่างไกลจากการสุ่ม ;-)

ปัญหาเกี่ยวกับเส้นในอวกาศ

ในส่วนสุดท้ายของบทเรียน ฉันจะพยายามพิจารณาจำนวนปัญหาต่างๆ สูงสุดเกี่ยวกับเส้นเชิงพื้นที่ ในกรณีนี้ ลำดับดั้งเดิมของเรื่องจะถูกสังเกต: ขั้นแรกเราจะพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับการข้ามเส้น จากนั้นจึงพิจารณาเรื่องเส้นตัดกัน และในตอนท้ายเราจะพูดถึงเส้นคู่ขนานในอวกาศ อย่างไรก็ตามฉันต้องบอกว่างานบางอย่างในบทเรียนนี้สามารถกำหนดตำแหน่งของบรรทัดได้หลายกรณีในคราวเดียวและในเรื่องนี้การแบ่งส่วนออกเป็นย่อหน้านั้นค่อนข้างจะเป็นไปตามอำเภอใจ มีตัวอย่างที่ง่ายกว่า มีตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่า และหวังว่าทุกคนจะพบสิ่งที่ต้องการ

ข้ามเส้น

ฉันขอเตือนคุณว่าเส้นตรงตัดกันหากไม่มีระนาบที่ทั้งคู่นอนอยู่ เมื่อฉันกำลังคิดถึงการฝึกฝน ก็เกิดปัญหาสัตว์ประหลาดขึ้นมา และตอนนี้ฉันดีใจที่ได้นำเสนอมังกรที่มีสี่หัวแก่คุณ:

ตัวอย่างที่ 13

ให้เส้นตรง. ที่จำเป็น:

ก) พิสูจน์ว่าเส้นตัดกัน

b) ค้นหาสมการของเส้นที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

c) เขียนสมการของเส้นตรงที่มี ตั้งฉากทั่วไปข้ามเส้น;

d) ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้น

สารละลาย: ผู้ที่เดินจะเชี่ยวชาญถนน:

ก) ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตัดกัน ลองหาจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้:

มาหาเวกเตอร์:

มาคำนวณกัน ผลคูณของเวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์ ไม่ใช่ระนาบซึ่งหมายความว่าเส้นตัดกันซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทุกคนคงสังเกตมานานแล้วว่าอัลกอริธึมการตรวจสอบจะสั้นที่สุดสำหรับการข้ามเส้น

b) ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและตั้งฉากกับเส้นตรง มาเขียนแบบแผนกันเถอะ:

สำหรับการเปลี่ยนแปลงฉันโพสต์โดยตรง สำหรับตรง ๆ ดูสิว่าทางแยกจะลบนิดหน่อยยังไง การผสมข้ามพันธุ์? ใช่ โดยทั่วไปแล้ว เส้นตรง “de” จะถูกข้ามกับเส้นตรงดั้งเดิม แม้ว่าเราจะไม่สนใจช่วงเวลานี้ แต่เราแค่ต้องสร้างเส้นตั้งฉากเท่านั้นเอง

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับโดยตรง "de"? ทราบจุดที่เป็นของมัน มีเวกเตอร์คำแนะนำไม่เพียงพอ

ตามเงื่อนไข เส้นตรงจะต้องตั้งฉากกับเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ทิศทางของมันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทาง คุ้นเคยจากตัวอย่างที่ 9 แล้ว เรามาค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า:

มาเขียนสมการของเส้นตรง “de” โดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน:

พร้อม. โดยหลักการแล้ว คุณสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในตัวส่วนแล้วเขียนคำตอบลงในแบบฟอร์มได้ แต่ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้

ในการตรวจสอบ คุณจะต้องแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการเส้นตรงที่ได้ จากนั้นจึงใช้ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทาง “pe one” และ “pe two” จริงๆ

จะหาสมการของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากร่วมได้อย่างไร?

c) ปัญหานี้จะยากขึ้น ฉันขอแนะนำให้ข้ามจุดนี้ไปสำหรับหุ่นจำลอง ฉันไม่ต้องการลดความเห็นอกเห็นใจอย่างจริงใจของคุณสำหรับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ =) อย่างไรก็ตาม มันอาจจะดีกว่าสำหรับผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากกว่าที่จะระงับไว้เช่นกัน ความจริงก็คือในแง่ของความซับซ้อนตามตัวอย่าง ควรอยู่ท้ายบทความ แต่ตามหลักการนำเสนอ ควรอยู่ตรงนี้

ดังนั้น คุณจำเป็นต้องค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากทั่วไปกับเส้นเบ้

– นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อเส้นเหล่านี้และตั้งฉากกับเส้นเหล่านี้:

นี่คือหนุ่มหล่อของเรา: - เส้นตั้งฉากทั่วไปของเส้นตัดกัน เขาเป็นคนเดียวเท่านั้น ไม่มีอย่างอื่นที่เหมือนกับมัน เราจำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่มีส่วนนี้

สิ่งที่รู้เกี่ยวกับ "อืม" โดยตรงคืออะไร? ทราบเวกเตอร์ทิศทางซึ่งพบได้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่น่าเสียดายที่เราไม่ทราบจุดเดียวที่เป็นของเส้นตรง "em" และไม่ทราบจุดสิ้นสุดของเส้นตั้งฉาก นั่นคือจุด เส้นตั้งฉากนี้ตัดกับเส้นเดิมสองเส้นที่ไหน? ในแอฟริกา ในแอนตาร์กติกาเหรอ? จากการทบทวนและวิเคราะห์สภาพเบื้องต้นยังไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนเลย... แต่มีเคล็ดลับยุ่งยากเกี่ยวกับการใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

เราจะกำหนดจุดตัดสินใจทีละจุด:

1) มาเขียนสมการของบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:

ลองพิจารณาประเด็น เราไม่ทราบพิกัด แต่- หากจุดเป็นของเส้นที่กำหนด พิกัดของมันจะสอดคล้องกับ ให้เราแสดงด้วย . จากนั้นพิกัดของจุดจะถูกเขียนในรูปแบบ:

ชีวิตเริ่มดีขึ้น หนึ่งคนที่ไม่รู้จักก็ยังไม่ใช่สามสิ่งไม่รู้

2) จะต้องดำเนินการชั่วร้ายแบบเดียวกันในประเด็นที่สอง ให้เราเขียนสมการของบรรทัดที่สองใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:

หากจุดใดเป็นของเส้นที่กำหนด มีความหมายเฉพาะเจาะจงมากพิกัดต้องเป็นไปตามสมการพาราเมตริก:

หรือ:

3) เวกเตอร์ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ที่พบก่อนหน้านี้ จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง วิธีการสร้างเวกเตอร์จากสองจุดมีการอภิปรายกันในชั้นเรียนมาแต่ไหนแต่ไรแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง- ตอนนี้ความแตกต่างคือพิกัดของเวกเตอร์ถูกเขียนด้วยค่าพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก แล้วไงล่ะ? ไม่มีใครห้ามไม่ให้ลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

มีสองจุด: .

การค้นหาเวกเตอร์:

4) เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางเป็นแบบแนวเดียวกัน เวกเตอร์หนึ่งจึงแสดงเป็นเส้นตรงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่แน่นอน “แลมบ์ดา”:

หรือประสานงาน:

มันกลายเป็นเรื่องธรรมดาที่สุด ระบบสมการเชิงเส้นโดยมีสิ่งไม่รู้ 3 อย่าง ซึ่งแก้ได้ตามมาตรฐาน เช่น วิธีการของแครมเมอร์- แต่ที่นี่มีโอกาสที่จะสูญเสียเพียงเล็กน้อย ลองแสดง "แลมบ์ดา" จากสมการที่สามแล้วแทนที่มันลงในสมการที่หนึ่งและที่สอง:

ดังนั้น: และเราไม่ต้องการ "แลมบ์ดา" ความจริงที่ว่าค่าพารามิเตอร์กลับกลายเป็นว่าเหมือนกันนั้นเป็นอุบัติเหตุล้วนๆ

5) ท้องฟ้าแจ่มใสแล้ว ให้แทนที่ค่าที่พบ ถึงประเด็นของเรา:

ไม่จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ทิศทางเป็นพิเศษ เนื่องจากพบเวกเตอร์ทิศทางแล้ว

การตรวจสอบหลังจากการเดินทางอันยาวนานเป็นเรื่องที่น่าสนใจเสมอ

:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการกัน :

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

6) คอร์ดสุดท้าย: มาสร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุด (คุณทำได้) และเวกเตอร์ทิศทาง:

โดยหลักการแล้ว คุณสามารถเลือกจุดที่ "ดี" ด้วยพิกัดที่สมบูรณ์ได้ แต่นี่เป็นเพียงความสวยงาม

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันได้อย่างไร?

d) เราตัดหัวมังกรที่สี่ออก

วิธีที่หนึ่ง- ไม่ใช่แม้แต่วิธีการ แต่เป็นกรณีพิเศษเล็กๆ น้อยๆ ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากทั่วไป: .

จุดสูงสุดของตั้งฉากร่วม พบในย่อหน้าก่อนหน้า และงานเป็นระดับเบื้องต้น:

วิธีที่สอง- ในทางปฏิบัติ ส่วนใหญ่มักจะไม่ทราบจุดสิ้นสุดของเส้นตั้งฉากทั่วไป ดังนั้นจึงใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป ระนาบขนานสามารถลากผ่านเส้นตัดกันสองเส้นได้ และระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้จะเท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นตั้งฉากทั่วไปจะยื่นออกมาระหว่างระนาบเหล่านี้

ในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ จากการพิจารณาข้างต้น จะได้สูตรมาเพื่อหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน:
(แทนที่จะเป็นคะแนนของเรา "อืม หนึ่ง สอง" คุณสามารถใช้จุดเส้นใดก็ได้)

ผลคูณผสมของเวกเตอร์พบแล้วในจุด "a": .

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์พบในย่อหน้า "เป็น": ลองคำนวณความยาวของมัน:

ดังนั้น:

เรามาแสดงถ้วยรางวัลกันอย่างภาคภูมิใจในแถวเดียว:

คำตอบ:
ก) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงตัดกันซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
ข) ;
วี) ;
ช)

คุณสามารถบอกอะไรได้อีกเกี่ยวกับการข้ามเส้น? มีมุมที่กำหนดไว้ระหว่างพวกเขา แต่เราจะพิจารณาสูตรมุมสากลในย่อหน้าถัดไป:

การตัดกันช่องว่างตรงจำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน:

ความคิดแรกคือการผลักดันอย่างสุดกำลังไปยังจุดตัด และฉันก็คิดทันทีว่าเหตุใดจึงปฏิเสธความปรารถนาที่ถูกต้องให้กับตัวเอง! ขึ้นไปบนตัวเธอตอนนี้เลย!

จะหาจุดตัดของเส้นอวกาศได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 14

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: ลองเขียนสมการของเส้นใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:

งานนี้ถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในตัวอย่างที่ 7 ของบทเรียนนี้ (ดู สมการของเส้นตรงในอวกาศ- และอีกอย่าง ฉันเอาเส้นตรงมาจากตัวอย่างที่ 12 ฉันจะไม่โกหก ฉันขี้เกียจเกินไปที่คิดสิ่งใหม่

ผลเฉลยเป็นไปตามมาตรฐานและพบแล้วเมื่อเราพยายามหาสมการของเส้นตั้งฉากร่วม

จุดตัดของเส้นเป็นของเส้น ดังนั้นพิกัดจึงเป็นไปตามสมการพาราเมตริกของเส้นนี้ และสอดคล้องกับ ค่าพารามิเตอร์ที่เฉพาะเจาะจงมาก:

แต่จุดเดียวกันนี้ก็เป็นของบรรทัดที่สองด้วย ดังนั้น:

เราเทียบสมการที่เกี่ยวข้องและดำเนินการลดความซับซ้อน:

จะได้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว หากเส้นตัดกัน (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วในตัวอย่างที่ 12) ระบบจำเป็นต้องสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็สามารถแก้ไขได้ วิธีเกาส์เซียนแต่เราจะไม่ทำบาปกับความเชื่อทางไสยศาสตร์ในโรงเรียนอนุบาลเราจะทำให้มันง่ายกว่า: จากสมการแรกเราแสดง "te ศูนย์" และแทนที่มันเป็นสมการที่สองและสาม:

สมการสองอันสุดท้ายกลายเป็นว่าเหมือนกันโดยพื้นฐานแล้ว และตามมาด้วยว่า . แล้ว:

แทนที่ค่าที่พบของพารามิเตอร์ลงในสมการ:

คำตอบ:

ในการตรวจสอบ เราจะแทนที่ค่าที่พบของพารามิเตอร์ลงในสมการ:
ได้รับพิกัดเดียวกันที่ต้องตรวจสอบ ผู้อ่านที่พิถีพิถันสามารถแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการเส้นมาตรฐานดั้งเดิมได้

อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่จะทำสิ่งที่ตรงกันข้าม: หาจุดผ่าน "es ศูนย์" และตรวจสอบผ่าน "te ศูนย์"

ความเชื่อทางไสยศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีกล่าวว่า: เมื่อมีการพูดถึงจุดตัดของเส้น จะมีกลิ่นของเส้นตั้งฉากอยู่เสมอ

จะสร้างเส้นของช่องว่างตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

(เส้นตัดกัน)

ตัวอย่างที่ 15

ก) เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเส้น (เส้นตัดกัน).

b) ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

บันทึก : ข้อ “เส้นตัดกัน” – สำคัญ- ผ่านจุด
คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากที่จะตัดกับเส้นตรง "el" ได้ไม่จำกัดจำนวน วิธีแก้ปัญหาเดียวเกิดขึ้นในกรณีที่ลากเส้นตรงตั้งฉากกับจุดที่กำหนด สองกำหนดโดยเส้นตรง (ดูตัวอย่างที่ 13 จุด "b")

ก) สารละลาย: เราแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วย มาเขียนแบบแผนกันเถอะ:

สิ่งที่รู้เกี่ยวกับเส้นตรง? ตามเงื่อนไขจะมีการให้คะแนน ในการเขียนสมการของเส้นตรง จำเป็นต้องหาเวกเตอร์ทิศทาง เวกเตอร์ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว ดังนั้นเราจะจัดการกับมัน แม่นยำยิ่งขึ้น ลองใช้จุดสิ้นสุดที่ไม่รู้จักของเวกเตอร์ที่ต้นคอ

1) นำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการของเส้นตรง "el" แล้วเขียนสมการใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:

หลายคนเดาว่าตอนนี้เป็นครั้งที่สามระหว่างบทเรียนที่นักมายากลจะดึงหงส์ขาวออกจากหมวก พิจารณาจุดที่มีพิกัดไม่ทราบ เนื่องจากจุดคือ พิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการพาราเมตริกของเส้นตรง “el” และสอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์เฉพาะ:

หรือในบรรทัดเดียว:

2) ตามเงื่อนไข เส้นจะต้องตั้งฉาก ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นมุมตั้งฉาก และถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก แล้วเวกเตอร์เหล่านั้น ผลิตภัณฑ์ดอทเท่ากับศูนย์:

เกิดอะไรขึ้น สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดโดยไม่ทราบค่า:

3) ทราบค่าของพารามิเตอร์แล้ว มาหาประเด็นกัน:

และเวกเตอร์ทิศทาง:
.

4) เราจะเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง :

ตัวส่วนของสัดส่วนกลายเป็นเศษส่วน และนี่เป็นกรณีที่เหมาะสมที่จะกำจัดเศษส่วน ฉันจะคูณมันด้วย -2:

คำตอบ:

บันทึก : การสิ้นสุดการแก้ปัญหาที่เข้มงวดมากขึ้นมีรูปแบบดังนี้: มาเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน - แท้จริงแล้ว ถ้าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง แล้วเวกเตอร์คอลลิเนียร์ ย่อมเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงนี้ด้วย

การตรวจสอบประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1) ตรวจสอบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเพื่อความตั้งฉาก

2) เราแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการของแต่ละบรรทัดซึ่งควร "พอดี" ทั้งตรงนั้นและตรงนั้น

มีการพูดคุยกันมากมายเกี่ยวกับการกระทำทั่วไป ดังนั้นฉันจึงตรวจสอบฉบับร่าง

อย่างไรก็ตาม ฉันลืมอีกจุดหนึ่ง - เพื่อสร้างจุด "zyu" สมมาตรกับจุด "en" สัมพันธ์กับเส้นตรง "el" อย่างไรก็ตาม มี "อะนาล็อกแบบแบน" ที่ดีซึ่งสามารถพบได้ในบทความ ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเส้นตรงบนเครื่องบิน- ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวจะอยู่ในพิกัด "Z" เพิ่มเติม

จะหาระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศได้อย่างไร?

ข) สารละลาย: ลองหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

วิธีที่หนึ่ง- ระยะนี้เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉาก: วิธีแก้ปัญหาก็ชัดเจน: ถ้ารู้ประเด็นต่างๆ , ที่:

วิธีที่สอง- ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฐานของตั้งฉากมักเป็นความลับที่ปิดสนิท ดังนั้นจึงมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้สูตรสำเร็จรูป

ระยะทางจากจุดถึงเส้นแสดงโดยสูตร:
โดยที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “el” อยู่ที่ไหน และ – ฟรีจุดที่อยู่ในบรรทัดที่กำหนด

1) จากสมการของเส้นตรง เรานำเวกเตอร์ทิศทางและจุดที่เข้าถึงได้มากที่สุดออกมา

2) ทราบจุดจากเงื่อนไข ปรับเวกเตอร์ให้คมขึ้น:

3) มาหากัน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และคำนวณความยาวของมัน:

4) คำนวณความยาวของเวกเตอร์ไกด์:

5) ดังนั้น ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:

คำนิยาม.เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าเส้นขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน

ทฤษฎีบทเรื่องเส้นขนานผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

คุณสมบัติของเส้นขนาน

คุณสมบัติ 1.ถ้าเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับระนาบหนึ่ง เส้นอีกเส้นก็จะตัดระนาบนี้ด้วย

คำนิยาม.เส้นสองเส้นจะเรียกว่าเอียงหากไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน

สัญญาณของการข้ามเส้น

หากเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง และอีกเส้นหนึ่งตัดระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นแรก เส้นเหล่านี้จะตัดกัน

ข้าว. 13

ก ข = เค กา

=> a และ b กำลังข้ามเส้น

ข้อสรุป:

กรณีของการจัดเรียงเส้นร่วมกันในอวกาศ

หมายเหตุ:

ปัญหาและการทดสอบในหัวข้อ "หัวข้อที่ 2" ความขนานของเส้น ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นในอวกาศ"

• ความขนานของเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ
• ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นในอวกาศ มุมระหว่างเส้นตรง - ความขนานของเส้นและระนาบ เกรด 10

  บทเรียน: 1 การบ้าน: 9 แบบทดสอบ: 1

• ความเท่าเทียมของเครื่องบิน - ความขนานของเส้นและระนาบ เกรด 10
• สัญญาณของความขนานกันของสองบรรทัด สัจพจน์ของเส้นขนาน - เส้นขนานเกรด 7

  บทเรียน: 2 การมอบหมาย: 11 การทดสอบ: 1

• จัตุรมุขและขนานกัน - ความขนานของเส้นและระนาบ เกรด 10

  บทเรียน: 1 การบ้าน: 8 การทดสอบ: 1

หัวข้อ "สัจพจน์ของสเตอริโอเมทรี" มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแนวคิดเชิงพื้นที่ ดังนั้น พยายามใช้แบบจำลอง (กระดาษแข็งและเข็มถัก) และภาพวาดให้มากขึ้น

หัวข้อ “ความเท่าเทียมในอวกาศ” ให้ความรู้เกี่ยวกับความขนานของเส้นตรงและระนาบในอวกาศ เนื้อหานี้จะสรุปข้อมูลที่ทราบจากแผนผังระนาบเกี่ยวกับความขนานของเส้นตรง เมื่อใช้ตัวอย่างของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด คุณจะได้รับแนวคิดเกี่ยวกับความจำเป็นในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ทราบจากแผนผังระนาบอีกครั้ง ในกรณีที่เรากำลังพูดถึงจุดและเส้นในอวกาศ และไม่เกี่ยวกับระนาบเฉพาะ

ปัญหาการพิสูจน์ได้รับการแก้ไขในหลายกรณีโดยการเปรียบเทียบกับทฤษฎีบทการพิสูจน์ ในการแก้ปัญหาในการคำนวณความยาวของส่วนจำเป็นต้องทำซ้ำหลักสูตร planimetry: ความเท่าเทียมกันและความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมคำจำกัดความคุณสมบัติและลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด