การใช้เวกเตอร์ในชีวิตประจำวัน เวกเตอร์ในเกมคอมพิวเตอร์

จุดที่เรียงกันเรียกว่าเวกเตอร์ จุดแรกเรียกว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จุดที่สองคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เรียกว่าความยาว เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าศูนย์ ความยาวของมันคือศูนย์ ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นบวก จะเรียกว่าไม่ใช่ศูนย์ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ยังสามารถกำหนดเป็นส่วนกำกับ กล่าวคือ ส่วนที่ถือว่าจุดขอบเขตจุดหนึ่งเป็นจุดแรก (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และอีกจุดหนึ่งคือจุดที่สอง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์) แน่นอนว่าทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์นั้นไม่ได้กำหนดไว้

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A และจุดสิ้นสุดที่จุด B จะแสดงและแสดงโดยลูกศรที่หันไปทางจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 1.1, a) จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เรียกอีกอย่างว่าจุดใช้งาน เวกเตอร์บอกว่าเป็น \ ลูกศรขวา (AB)แนบกับจุด A ความยาวเวกเตอร์ \ ลูกศรขวา (AB)หรือ \ vec (a) เท่ากับความยาวของส่วน AB หรือ a และแสดงแทน \ vline \, \ overrightarrow (AB) \, \ vlineหรือ | \ vec (ก) | ... เมื่อคำนึงถึงการกำหนดนี้ ความยาวของเวกเตอร์จึงเรียกว่าโมดูลัส ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ Zero vector like \ ลูกศรขวา (CC), แสดงด้วยสัญลักษณ์ \ vec (o) และแสดงด้วยจุดเดียว (จุด C ในรูปที่ 1.1, a) เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งหรือถ่ายเป็นหนึ่งเรียกว่าเวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ AB นอกเหนือจากส่วนที่กำกับแล้ว ยังกำหนดรังสี AB ที่มีมัน (โดยมีจุดกำเนิดที่จุด A) และเส้นตรง AB (รูปที่ 1.1, a)

เวกเตอร์คอลลิเนียร์

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเรียกว่า collinear ถ้าพวกมันเป็นของเส้นตรงเส้นเดียวหรือเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น มิฉะนั้นจะเรียกว่า noncollinear Collinearity ของเวกเตอร์แสดงด้วย \ ขนาน เนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์ว่างนั้นไม่ได้กำหนดไว้ จึงถือว่าวางแนวขนานกับเวกเตอร์ใดๆ เวกเตอร์แต่ละตัวมีความคล้ายคลึงกันกับตัวมันเอง

เวกเตอร์คอลลิเนียร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองเส้นจะเรียกว่าทิศทางเดียวกัน (กำกับร่วม) ถ้าพวกมันอยู่ในเส้นตรงคู่ขนานและปลายของพวกมันอยู่ในระนาบครึ่งเดียวกันจากเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพวกมัน (รูปที่ 1.2, a); หรือถ้าเวกเตอร์เป็นของเส้นตรงเส้นหนึ่ง และรังสีที่กำหนดโดยเวกเตอร์หนึ่งนั้นเป็นของรังสีที่กำหนดโดยเวกเตอร์อีกอันหนึ่งทั้งหมด (รูปที่ 1.2.6) มิฉะนั้น เวกเตอร์ collinear จะเรียกว่ากำกับตรงข้าม (รูปที่ 1.2, c, d) เวกเตอร์ที่กำกับอย่างเท่าเทียมกันและกำกับตรงข้ามจะแสดงด้วยลูกศรคู่ \ uparrow \ uparrow และ \ uparrow \ ลูกศรชี้ลงตามลำดับ แนวความคิดของเวกเตอร์ collinear ที่กำกับเหมือนกันนำไปใช้กับเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้

Coplanar vectors

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามตัวเรียกว่า coplanar หากอยู่ในระนาบเดียวกันหรือในระนาบคู่ขนาน (รูปที่ 1.3, a) มิฉะนั้นจะเรียกว่า non-coplanar (รูปที่ 1.3.6) เนื่องจากไม่มีการกำหนดทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ จึงถือเป็นโคพลานาร์ที่มีเวกเตอร์สองตัวใดๆ เวกเตอร์ Coplanar ครอบคลุมเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้

เวกเตอร์เท่ากัน

เวกเตอร์สองตัวจะเรียกว่าเท่ากันถ้าเป็น:

ก) collinear กำกับอย่างเท่าเทียมกัน

b) มีความยาวเท่ากัน

เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากัน

คำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้แสดงถึงลักษณะที่เรียกว่าเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์อิสระนี้สามารถถ่ายโอนโดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางและความยาวไปยังจุดใดๆ ในอวกาศ (แยกจากจุดใดก็ได้) ในขณะที่เราจะได้รับเวกเตอร์เท่ากับอันนี้ ดังนั้น เวคเตอร์อิสระจึงกำหนดคลาสของเวกเตอร์ทั้งหมดให้เท่ากัน ซึ่งแตกต่างกันเฉพาะในจุดที่ใช้ นอกจากนี้เราจะพิจารณาเวกเตอร์อิสระในขณะที่คำว่า "ฟรี" จะถูกละเว้น

หมายเหตุ 1.1.

1. คำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องความยาวของเวกเตอร์ เวกเตอร์สองตัว \ ลูกศรขวา (AB)และไม่นอนบนเส้นตรงเส้นเดียวเรียกว่าเท่ากัน ถ้ารูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 1.4, a) เวกเตอร์ \ ลูกศรขวา (AB)และ \ overrightarrow (ซีดี)ที่อยู่ในเส้นตรงเดียวกันจะถือว่าเท่ากันถ้ามีเวกเตอร์เท่ากับพวกมัน \ ลูกศรขวา (EF)ไม่ได้อยู่ในบรรทัดนี้ (รูปที่ 1.4.6) คำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: เวกเตอร์สองตัว \ ลูกศรขวา (AB)และ \ overrightarrow (ซีดี)เรียกว่าเท่ากันหากจุดกึ่งกลางของกลุ่ม AD และ AD ตรงกัน (รูปที่ 1.4, c)

2. ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์เป็นความสัมพันธ์ที่สมมูล อันที่จริง สำหรับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน = (\ vec (a) = \ vec (b) - " vector \ vec (a) เท่ากับ vector \ vec (b)") ที่กำหนดไว้ในชุดของคู่คำสั่ง \ langle \ vec (a), \ vec (b) \ rangeleเวกเตอร์ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

a) เวกเตอร์แต่ละตัวมีค่าเท่ากับตัวมันเอง (การสะท้อนกลับ);

b) ถ้าเวกเตอร์ \ vec (a) เท่ากับเวกเตอร์ \ vec (b) แล้วเวกเตอร์ \ vec (b) จะเท่ากับเวกเตอร์ \ vec (a) (สมมาตร);

c) ถ้าเวกเตอร์ \ vec (a) เท่ากับเวกเตอร์ \ vec (b) และเวกเตอร์ \ vec (b) เท่ากับเวกเตอร์ \ vec (c) แล้วเวกเตอร์ \ vec (a) จะเท่ากับ เวกเตอร์ \ vec (c) (สกรรมกริยา)

ซึ่งหมายความว่าเซตของเวกเตอร์แบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่เกี่ยวข้องกัน (ดูหัวข้อ B.3) เช่น เวกเตอร์แต่ละตัวสัมพันธ์กับเวกเตอร์ทั้งคลาสที่เท่ากัน ซึ่งแตกต่างกันเฉพาะในจุดที่ใช้ ดังนั้นพวกเขาจึงบอกว่าเวกเตอร์อิสระกำหนดคลาสของเวกเตอร์เท่ากับมัน

3. สำหรับจุด A และเวกเตอร์ใด ๆ \ vec (a) จะมีจุดเฉพาะ B ซึ่ง แน่นอนถ้าเวกเตอร์ \ vec (a) ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด A ขนานกับเวกเตอร์ a (รูปที่ 1.5, a) หรือมีไว้ (รูปที่ 1.5, b) เส้นนี้มีสองจุดที่อยู่ห่างจากจุด A ที่ระยะทาง | \ vec (a) |> 0 จากสองจุดนี้เราเลือกจุด B ซึ่งเวกเตอร์ \ ลูกศรขวา (AB)และ \ vec (a) กลายเป็นทิศทางเดียวกัน โดยการก่อสร้างเราได้รับ \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)... หากเวกเตอร์ \ vec (a) เป็นศูนย์ ดังนั้นจุดที่ต้องการ B จะตรงกับจุด A ที่กำหนด

ดังนั้นเวกเตอร์ \ vec (a) ใด ๆ กำหนดให้แต่ละจุด A จุดเฉพาะ B เช่นนั้น \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)... การติดต่อนี้เรียกว่าการโอนแบบขนาน ดังนั้น เวกเตอร์อิสระสามารถระบุได้ด้วยการถ่ายโอนแบบขนาน

4. การก่อสร้างที่พิจารณาในวรรค 3 เรียกว่าการเลื่อนเวกเตอร์ \ vec (a) จากจุด A หรือใช้เวกเตอร์ \ vec (a) ไปยังจุด A

เมื่อใช้โครงสร้างนี้ เราสามารถให้คำจำกัดความของ collinearity และ coplanarity ที่เท่าเทียมกันได้ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเรียกว่า collinear ถ้าหลังจากนำไปใช้กับจุดหนึ่งแล้วพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามตัวเรียกว่า coplanar ถ้าหลังจากนำไปใช้กับจุดหนึ่งแล้วพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกัน

5. นอกจากเวกเตอร์อิสระในแอปพลิเคชันของพีชคณิตเวกเตอร์แล้ว ยังมีการใช้เวกเตอร์แบบเลื่อน เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง (ประยุกต์) เป็นต้น ซึ่งแตกต่างจากเวกเตอร์อิสระตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์เลื่อนเรียกว่าเท่ากันถ้าอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มีทิศทางเดียวกัน และมีความยาวเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่เหมือนเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์แบบเลื่อนสามารถถ่ายโอนได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางและความยาว เฉพาะตามแนวเส้นตรงที่มีเวกเตอร์นี้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อวัตถุที่แข็งกระด้างจะแสดงด้วยเวกเตอร์เลื่อน และความเร็วเชิงมุมจะแสดงด้วยเวกเตอร์อิสระ แรงที่กระทำต่อวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้เป็นตัวอย่างของเวกเตอร์ที่เรียกว่าเวกเตอร์ การเปลี่ยนแปลงจุดของการใช้กำลังจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในผลกระทบต่อร่างกาย

ตัวอย่าง 1.1.จากรูปสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 1.6) จุด L, M, N คือจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สำหรับเวกเตอร์ที่แสดงในรูปที่ 1.6 ระบุ collinear กำกับเท่า ๆ กัน กำกับตรงข้าม เท่ากับ

สารละลาย.โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เส้นกลางสามเหลี่ยมเราสรุปได้ว่า ML \ ขนาน AB, ~ LN \ ขนาน AC... ดังนั้นเวกเตอร์ \ overrightarrow (AM), \ overrightarrow (MC), \ overrightarrow (NL)- collinear (เนื่องจากอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวหรือขนานกัน) โดยให้เส้นตรงเท่ากันและมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงเป็นเวกเตอร์ที่เท่ากัน: \ overrightarrow (AM) = \ overrightarrow (MC) = \ overrightarrow (NL)... ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า

\ overrightarrow (AN) = \ overrightarrow (ML), \ quad \ overrightarrow (AN) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (BN), \ quad \ overrightarrow (BN) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (ML), \ quad \ overrightarrow (CL) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (BL) \ ,.

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ในการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX!

คำนิยาม

เวกเตอร์(จาก lat. " เวกเตอร์"-" แบริ่ง ") - ส่วนที่เป็นเส้นตรงในอวกาศหรือบนระนาบ

ในทางกราฟิก เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวที่กำหนด เวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดหนึ่งและจุดสิ้นสุดที่จุดหนึ่งจะแสดงเป็น (รูปที่ 1) นอกจากนี้ เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็กหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น

หากมีการระบุระบบพิกัดในอวกาศ เวกเตอร์สามารถระบุได้โดยไม่ซ้ำกันโดยชุดพิกัดของมัน นั่นคือเวกเตอร์เข้าใจว่าเป็นวัตถุที่มีขนาด (ความยาว) ทิศทางและจุดใช้งาน (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์)

จุดเริ่มต้นของแคลคูลัสเวกเตอร์ปรากฏในผลงานในปี พ.ศ. 2374 ในผลงานของนักคณิตศาสตร์ ช่างกล นักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และนักธรณีวิทยาชาวเยอรมัน โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777-1855) งานเกี่ยวกับการดำเนินการกับเวกเตอร์ได้รับการตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ ช่างกล และนักฟิสิกส์ชาวไอริช เซอร์ วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (1805-1865) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแคลคูลัสควอเตอร์เนียนของเขา นักวิทยาศาสตร์เสนอคำว่า "เวกเตอร์" และอธิบายการดำเนินการบางอย่างเกี่ยวกับเวกเตอร์ แคลคูลัสเวกเตอร์ได้รับการพัฒนาต่อไปด้วยงานเกี่ยวกับแม่เหล็กไฟฟ้าโดยนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษนักคณิตศาสตร์และช่าง James Clerk Maxwell (1831-1879) ในยุค 1880 หนังสือ "Elements of Vector Analysis" โดยนักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน นักฟิสิกส์เคมี นักคณิตศาสตร์และช่าง Josiah Willard Gibbs (1839-1903) ได้รับการตีพิมพ์ การวิเคราะห์เวกเตอร์สมัยใหม่อธิบายไว้ในปี ค.ศ. 1903 โดยนักวิทยาศาสตร์ วิศวกร นักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษชื่อ Oliver Heaviside (1850-1925)

คำนิยาม

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์คือความยาวของส่วนกำกับที่กำหนดเวกเตอร์ มันถูกระบุว่าเป็น

เวกเตอร์ประเภทพื้นฐาน

เวกเตอร์ศูนย์เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์

เวกเตอร์ขนานกับเส้นตรงเส้นเดียวหรือนอนบนเส้นตรงเส้นเดียวเรียกว่า collinear(รูปที่ 2).

ร่วมกำกับถ้าทิศทางของพวกเขาตรงกัน

ในรูปที่ 2 พวกนี้คือเวกเตอร์และ ทิศทางร่วมของเวกเตอร์แสดงดังนี้:.

เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวเรียกว่า ตรงกันข้ามถ้าทิศทางของพวกเขาตรงกันข้าม

ในรูปที่ 3 พวกนี้คือเวกเตอร์และ การกำหนด:.

คำนิยาม คอลเล็กชันที่สั่งซื้อ (x 1, x 2, ..., x n) n จำนวนจริงเรียกว่า เวกเตอร์ n มิติและตัวเลข x i (i =) - ส่วนประกอบหรือ พิกัด,

ตัวอย่าง. ตัวอย่างเช่น หากโรงงานรถยนต์บางแห่งต้องผลิตรถยนต์ 50 คัน รถบรรทุก 100 คัน รถโดยสาร 10 คัน อะไหล่รถยนต์ 50 ชุด และ 150 ชุดสำหรับ รถบรรทุกและรถโดยสาร โปรแกรมการผลิตของโรงงานแห่งนี้สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ (50, 100, 10, 50, 150) ที่มีห้าองค์ประกอบ

สัญกรณ์ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็กหรือตัวอักษรตัวหนาที่มีแถบหรือลูกศรอยู่ด้านบน เช่น NSหรือ... เวกเตอร์ทั้งสองนี้เรียกว่า เท่ากับหากมีจำนวนส่วนประกอบเท่ากันและส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน

ส่วนประกอบเวกเตอร์ไม่สามารถสลับได้ เช่น (3, 2, 5, 0, 1)และ (2, 3, 5, 0, 1) เวกเตอร์ต่างกัน
การดำเนินการกับเวกเตอร์ผลพลอยได้ NS= (x 1, x 2, ..., x n) โดยจำนวนจริงλ เรียกว่าเวกเตอร์λ NS= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

ผลรวมNS= (x 1, x 2, ..., x n) และ y= (y 1, y 2, ..., y n) เรียกว่า vector x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n)

ช่องว่างของเวกเตอร์ NS -พื้นที่เวกเตอร์มิติ NS n ถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์ n มิติทั้งหมดซึ่งการดำเนินการของการคูณด้วย ตัวเลขจริงและนอกจากนี้

ภาพประกอบทางเศรษฐกิจ ภาพประกอบทางเศรษฐกิจของพื้นที่เวกเตอร์ n มิติ: พื้นที่ของสินค้า (สินค้า). ภายใต้ สินค้าโภคภัณฑ์เราจะเข้าใจสินค้าหรือบริการบางอย่างที่วางขาย ณ เวลาหนึ่ง ณ ที่ใดที่หนึ่ง สมมติว่ามีสิ่งของในมือจำนวนจำกัด n; ปริมาณของแต่ละรายการที่ผู้บริโภคซื้อนั้นมีลักษณะเป็นชุดของสินค้า

NS= (x 1, x 2, ..., x n),

โดยที่ x i หมายถึงจำนวนสินค้าที่ i-th ที่ผู้บริโภคซื้อ เราจะถือว่าสินค้าทั้งหมดมีคุณสมบัติในการหารโดยพลการ เพื่อให้สามารถซื้อแต่ละรายการในปริมาณที่ไม่เป็นลบได้ ชุดของสินค้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเวกเตอร์ของพื้นที่ของสินค้า C = ( NS= (x 1, x 2, ..., xn) x ผม ≥ 0, ผม =)

ความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบ อี 1 , อี 2 , ... , อี m เวกเตอร์มิติ n เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลขดังกล่าวλ 1, λ 2, ..., λ m ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งไม่เป็นศูนย์ เท่ากับว่าความเท่าเทียมกันλ 1 อี 1 + λ 2 อี 2 + ... + λ ม อีม. = 0; มิฉะนั้น ระบบนี้เวกเตอร์เรียกว่า อิสระเชิงเส้นนั่นคือความเท่าเทียมกันที่ระบุเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด . ความหมายทางเรขาคณิตการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน NS 3 ตีความเป็นส่วนกำกับ อธิบายทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์เท่านั้น

ทฤษฎีบท 2 เพื่อให้เวกเตอร์สองตัวขึ้นอยู่กับเส้นตรง มันจำเป็นและเพียงพอที่พวกมันจะขนานกัน (ขนานกัน)

ทฤษฎีบท 3 ... เพื่อให้เวกเตอร์สามตัวต้องอาศัยเชิงเส้นตรง มันจำเป็นและเพียงพอที่พวกมันจะเป็นระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)

ทริปเปิ้ลซ้ายและขวาของเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่แนวระนาบสามตัว ก, ข, คเรียกว่า ขวาถ้าผู้สังเกตจากแหล่งกำเนิดร่วมกันข้ามปลายเวกเตอร์ ก, ข, คตามลำดับที่แสดง ดูเหมือนว่าจะเป็นตามเข็มนาฬิกา มิฉะนั้น ก, ข, ค -ทริปเปิ้ลซ้าย... เรียกเวกเตอร์สามตัวทางขวา (หรือซ้าย) ทั้งหมด เท่ากัน มุ่งเน้น

พื้นฐานและพิกัด ทรอยก้า อี 1, อี 2 , อี 3 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกันใน NS 3 เรียกว่า พื้นฐานและเวกเตอร์เอง อี 1, อี 2 , อี 3 - ขั้นพื้นฐาน... เวกเตอร์ใดๆ NSสามารถขยายได้เฉพาะในแง่ของเวกเตอร์พื้นฐาน กล่าวคือ แสดงในรูปแบบ

NS= x 1 อี 1 + x 2 อี 2 + x 3 อี 3, (1.1)

ตัวเลข x 1, x 2, x 3 ในการขยาย (1.1) เรียกว่า พิกัดNSบนพื้นฐาน อี 1, อี 2 , อี 3 และแสดงว่า NS(x 1, x 2, x 3)

พื้นฐานทางออร์โธปกติ ถ้าเวกเตอร์ อี 1, อี 2 , อี 3 ตั้งฉากคู่และความยาวของแต่ละอันมีค่าเท่ากับหนึ่งจากนั้นเรียกว่าฐาน orthonormal, และพิกัด x 1, x 2, x 3 - สี่เหลี่ยมเวกเตอร์พื้นฐานของพื้นฐาน orthonormal จะแสดงโดย ผม, เจ, เค.

เราจะถือว่าในอวกาศ NS 3 เลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนที่ถูกต้อง (0, ผม, เจ, k}.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ NSต่อเวกเตอร์ NSเรียกว่าเวกเตอร์ คซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการดังต่อไปนี้:

1. ความยาวของเวกเตอร์ คเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ NSและ NS,เช่น.
ค= | ก || ข |บาป ( NS^NS).

2. เวกเตอร์ คตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว NSและ NS.

3. เวกเตอร์ NS, NSและ คดำเนินการตามลำดับที่ระบุในรูปแบบสามทางขวา

สำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ คมีการแนะนำสัญกรณ์ ค =[อะบี] หรือ
ค = เป็ × NS.

ถ้าเวกเตอร์ NSและ NS collinear แล้วบาป ( ก ^ ข) = 0 และ [ อะบี] = 0 โดยเฉพาะ [ อ้า] = 0 ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วย: [ อิจ]=เค, [jk] = ผม, [คิ]=NS.

ถ้าเวกเตอร์ NSและ NSให้ไว้เป็นฐาน ผม, เจ, kพิกัด NS(a 1, 2, a 3), NS(b 1, b 2, b 3) จากนั้น

งานผสม. ถ้าผลคูณของเวกเตอร์สองตัว NSและ NSสเกลาร์คูณด้วยเวกเตอร์ที่สาม ค,ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์สามตัวนั้นจึงเรียกว่า งานผสมและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ NS ข.

ถ้าเวกเตอร์ ก, ขและ คบนพื้นฐาน ผม, เจ, kกำหนดโดยพิกัด
NS(a 1, 2, a 3), NS(ข 1, ข 2, ข 3), ค(c 1, c 2, c 3) จากนั้น

.

ผลิตภัณฑ์ผสมมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย - เป็นสเกลาร์เท่ากับค่าสัมบูรณ์กับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ทั้งสามนี้

หากเวกเตอร์สร้างแฝดสามทางขวา ผลคูณของพวกมันจะเป็นจำนวนบวกเท่ากับปริมาตรที่ระบุ ถ้าสาม ก ข ค -ซ้ายแล้ว a b c<0 и V = - a b c, ดังนั้น V =| a b c |.

พิกัดของเวกเตอร์ที่พบในปัญหาของบทแรกจะถือว่าให้สัมพันธ์กับพื้นฐานทางออร์โธปกติที่ถูกต้อง เวกเตอร์หน่วย codirectional กับเวกเตอร์ NS,แสดงด้วยสัญลักษณ์ NSโอ. เครื่องหมาย NS=โอมแสดงโดยเวกเตอร์รัศมีของจุด M, สัญลักษณ์ a, AB หรือ| ก |, | AB |โมดูลของเวกเตอร์ NSและ เอบี.

ตัวอย่าง 1.2. หามุมระหว่างเวกเตอร์ NS= 2NS+4NSและ NS= m-n, ที่ไหน NSและ NS -เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่าง NSและ NSเท่ากับ 120 หน้า

สารละลาย... เรามี: cos φ = อะบี/ เอบี ab =(2NS+4NS) (m-n) = 2NS 2 - 4NS 2 +2m=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; ก = ; NS 2 = (2NS+4NS) (2NS+4NS) =
= 4NS 2 +16m+16NS 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12 ดังนั้น a = ข = ; NS 2 =
= (ม-n)(m-n) = NS 2 -2m+NS 2 = 1-2 (-0.5) +1 = 3 ดังนั้น b = สุดท้าย เรามี: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

ตัวอย่าง 1.3.รู้จักเวกเตอร์ AB(-3, -2.6) และ BC(-2,4,4) คำนวณความยาวของความสูง AD ของสามเหลี่ยม ABC

สารละลาย... แสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ถึง S เราได้รับ:
S = 1/2 ปีก่อนคริสตกาล แล้ว AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×เอซี |. AC = AB + BCดังนั้น เวกเตอร์ ACมีพิกัด
. .

ตัวอย่าง 1.4 ... ให้เวกเตอร์สองตัว NS(11,10,2) และ NS(4,0,3). ค้นหาเวกเตอร์หน่วย ค,ตั้งฉากกับเวกเตอร์ NSและ NSและกำกับเพื่อให้คำสั่งสามของเวกเตอร์ ก, ข, คถูกต้อง

สารละลาย.เราแสดงพิกัดของเวกเตอร์ คเกี่ยวกับพื้นฐาน orthonormal ที่ถูกต้องในแง่ของ x, y, z

ตราบเท่าที่ ค ⊥ ก, ค ⊥NS, แล้ว ca= 0, cb= 0 โดยเงื่อนไขของปัญหา กำหนดให้ c = 1 และ a b c >0.

เรามีระบบสมการสำหรับ หา x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0.4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0

จากสมการที่หนึ่งและสองของระบบ เราได้ z = -4/3 x, y = -5/6 x แทน y และ z ในสมการที่สาม จะได้: x 2 = 36/125
x =± ... การใช้เงื่อนไข a b c> 0 เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน

โดยคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ z และ y เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นใหม่ในรูปแบบ: 625/6 x> 0 ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น x> 0 ดังนั้น x =, y = -, z = -

เวกเตอร์
ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์คือปริมาณที่แสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง ในฟิสิกส์ มีปริมาณที่สำคัญหลายอย่างที่เป็นเวกเตอร์ เช่น แรง ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง แรงบิด โมเมนตัม ความแรงของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก สามารถเปรียบเทียบกันได้กับปริมาณอื่นๆ เช่น มวล ปริมาตร ความดัน อุณหภูมิ และความหนาแน่น ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยจำนวนปกติ และเรียกว่า "สเกลาร์" สัญกรณ์เวกเตอร์ใช้เมื่อทำงานกับค่าที่ไม่สามารถระบุได้ทั้งหมดโดยใช้ตัวเลขธรรมดา ตัวอย่างเช่น เราต้องการอธิบายตำแหน่งของวัตถุที่สัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง เราสามารถบอกระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ แต่เราไม่สามารถระบุตำแหน่งของวัตถุได้อย่างสมบูรณ์จนกว่าเราจะทราบทิศทางที่มันตั้งอยู่ ดังนั้นตำแหน่งของวัตถุจึงมีลักษณะเป็นค่าตัวเลข (ระยะทางเป็นกิโลเมตร) และทิศทาง ในทางกราฟิก เวกเตอร์ถูกแสดงเป็นส่วนของเส้นตรงที่กำกับโดยความยาวที่กำหนด ดังในรูปที่ 1. ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงแรงห้ากิโลกรัมแบบกราฟิก คุณต้องวาดส่วนของเส้นตรงยาวห้าหน่วยตามทิศทางของแรง ลูกศรบ่งชี้ว่าแรงกระทำจาก A ถึง B; ถ้าแรงกระทำจาก B ถึง A เราจะเขียน หรือ เพื่อความสะดวก เวกเตอร์มักจะแสดงเป็นตัวหนา (A, B, C เป็นต้น) เวกเตอร์ A และ -A มีค่าตัวเลขเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม ค่าตัวเลขของเวกเตอร์ A เรียกว่าโมดูลัสหรือความยาว และเขียนแทนด้วย A หรือ | A | แน่นอนว่าปริมาณนี้เป็นสเกลาร์ เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าศูนย์และแสดงโดย O

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าเท่ากัน (หรือฟรี) หากโมดูลและทิศทางตรงกัน ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ คำจำกัดความนี้ต้องใช้ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากแรงสองแรงเท่ากันที่ใช้กับจุดต่างๆ ของร่างกายในกรณีทั่วไปจะนำไปสู่ ผลลัพธ์ที่แตกต่าง... ในเรื่องนี้ เวกเตอร์ถูกจัดประเภทเป็น "เชื่อมโยง" หรือ "เลื่อน" ดังต่อไปนี้: เวกเตอร์ที่เชื่อมโยงมีจุดใช้งานที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์รัศมีระบุตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดที่แน่นอน เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องจะถือว่าเท่ากันหากพวกมันไม่เพียงแต่มีโมดูลและทิศทางที่เหมือนกันเท่านั้น แต่พวกมันยังมีจุดใช้งานร่วมกันด้วย เวกเตอร์เลื่อนเป็นเวกเตอร์ที่เท่ากันซึ่งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว
การบวกเวกเตอร์แนวคิดในการเพิ่มเวกเตอร์เกิดขึ้นจากการที่เราสามารถหาเวกเตอร์ตัวเดียวที่มีผลเหมือนกับเวกเตอร์อีกสองตัวรวมกัน หากจะไปถึงจุดหนึ่ง เราต้องไปทางหนึ่ง A กิโลเมตรก่อน แล้วไปอีกทาง B กิโลเมตร เราก็จะสามารถไปถึงได้ จุดสิ้นสุดหลังจากผ่าน C กิโลเมตรไปในทิศทางที่สาม (รูปที่ 2) ในแง่นี้เราสามารถพูดได้ว่า

A + B = C
เวกเตอร์ C เรียกว่า "เวกเตอร์ผลลัพธ์" ของ A และ B ซึ่งกำหนดโดยโครงสร้างที่แสดงในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ A และ B เช่นเดียวกับด้านข้าง และ C คือเส้นทแยงมุมที่เชื่อมจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B จากรูปที่ 2 แสดงว่าการเพิ่มเวกเตอร์เป็น "การสับเปลี่ยน" นั่นคือ A + B = B + A ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถเพิ่มเวกเตอร์ได้หลายตัว เชื่อมต่อพวกมันด้วย "ลูกโซ่ต่อเนื่อง" ตามลำดับ ดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับเวกเตอร์สามตัว D, E และ F จากรูปที่ 3 ยังแสดงให้เห็นว่า

(D + E) + F = D + (E + F) เช่น การบวกเวกเตอร์เป็นการเชื่อมโยงกัน สามารถบวกเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ และเวกเตอร์ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน การลบเวกเตอร์แสดงเป็นการบวกด้วยเวกเตอร์ลบ ตัวอย่างเช่น A - B = A + (-B) โดยที่ -B เป็นเวกเตอร์เท่ากับ B ในโมดูลัส แต่มีทิศทางตรงกันข้าม กฎการบวกนี้สามารถใช้เป็นเกณฑ์จริงในการตรวจสอบว่าปริมาณหนึ่งๆ เป็นเวกเตอร์หรือไม่ การเคลื่อนไหวมักจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขของกฎนี้ สามารถพูดได้เหมือนกันเกี่ยวกับความเร็ว กองกำลังรวมกันในลักษณะเดียวกัน ดังที่เห็นได้จาก "สามเหลี่ยมของแรง" อย่างไรก็ตาม ปริมาณบางอย่างที่มีทั้งค่าตัวเลขและทิศทางไม่เป็นไปตามกฎนี้ ดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นเวกเตอร์ ตัวอย่างคือการหมุนจำกัด
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ผลคูณของ mA หรือ Am โดยที่ m (m # 0) เป็นสเกลาร์ และ A เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์อื่นที่ยาวกว่า A m เท่าและมีทิศทางเดียวกับ A ถ้าตัวเลข m เป็นบวก และในทางกลับกัน ถ้า m เป็นลบ ดังแสดงในรูป 4 โดยที่ m คือ 2 และ -1/2 ตามลำดับ ยิ่งกว่านั้น 1A = A นั่นคือ เวกเตอร์ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณด้วย 1 ค่า -1A เป็นเวกเตอร์เท่ากับ A ในความยาว แต่มีทิศทางตรงกันข้าม ปกติเขียนเป็น -A ถ้า A เป็นเวกเตอร์ศูนย์ และ (หรือ) m = 0 แล้ว mA จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ การคูณเป็นแบบกระจาย กล่าวคือ

เราสามารถเพิ่มเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ และลำดับของเงื่อนไขจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ใด ๆ ถูกแบ่งออกเป็น "องค์ประกอบ" สองอย่างหรือมากกว่านั้น เป็นเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งเมื่อเพิ่มเข้าไป จะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่นในรูป 2, A และ B คือองค์ประกอบ C การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่มีเวกเตอร์จะง่ายขึ้นหากเวกเตอร์ถูกแบ่งออกเป็นสามองค์ประกอบในสามทิศทางตั้งฉากซึ่งกันและกัน ให้เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ถนัดขวาด้วยแกน Ox, Oy และ Oz ดังแสดงในรูปที่ 5. ด้วยระบบพิกัดมือขวา เราหมายความว่าแกน x, y และ z อยู่ในตำแหน่งที่ใหญ่ ดัชนี และ นิ้วกลาง มือขวา... จากระบบพิกัดมือขวาระบบหนึ่ง คุณสามารถรับระบบพิกัดทางขวาอีกระบบหนึ่งได้เสมอโดยการหมุนตามนั้น ในรูป 5 แสดงการสลายตัวของเวกเตอร์ A เป็นสามองค์ประกอบ และรวมกันเป็นเวกเตอร์ A ตั้งแต่

เพราะฉะนั้น,

ขั้นแรกคุณสามารถเพิ่มและรับแล้วเพิ่มไปยังการฉายภาพของเวกเตอร์ A บนแกนพิกัดสามแกน ซึ่งแสดง Axe, Ay และ Az เรียกว่า "ส่วนประกอบสเกลาร์" ของเวกเตอร์ A:

โดยที่ a, b และ g คือมุมระหว่าง A และแกนพิกัดทั้งสาม ตอนนี้เราแนะนำเวกเตอร์สามตัวของความยาวหน่วย i, j และ k (เวกเตอร์หน่วย) ซึ่งมีทิศทางเดียวกับแกน x, y และ z ที่สอดคล้องกัน จากนั้น หาก Axe คูณด้วย i ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์เท่ากับ and

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบสเกลาร์ที่สอดคล้องกันเท่านั้น ดังนั้น A = B ก็ต่อเมื่อ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz สามารถเพิ่มเวกเตอร์สองตัวได้โดยการเพิ่มส่วนประกอบ:

นอกจากนี้ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ฟังก์ชันเชิงเส้น นิพจน์ aA + bB โดยที่ a และ b เป็นสเกลาร์ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นของเวกเตอร์ A และ B เป็นเวกเตอร์ในระนาบเดียวกับ A และ B ถ้า A และ B ไม่ขนานกัน เมื่อ a และ b เปลี่ยนไป เวกเตอร์ aA + bB จะเคลื่อนที่ผ่านระนาบทั้งหมด (รูปที่ 6) ถ้า A, B และ C ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน เวกเตอร์ aA + bB + cC (a, b และ c เปลี่ยนไป) จะเคลื่อนที่ไปทั่วช่องว่าง สมมติว่า A, B และ C เป็นเวกเตอร์หน่วย i, j และ k เวกเตอร์ ai อยู่บนแกน x; เวกเตอร์ ai + bj สามารถเคลื่อนที่ไปตามระนาบ xy ทั้งหมดได้ เวกเตอร์ ai + bj + ck สามารถเคลื่อนที่ไปทั่วพื้นที่ได้

คุณสามารถเลือกเวกเตอร์ตั้งฉากกันสี่เวกเตอร์ i, j, k และ l และกำหนดเวกเตอร์สี่มิติเป็นปริมาณ A = Axi + Ayj + Azk + Awl
มีความยาว

แต่หนึ่งสามารถดำเนินต่อไปได้ถึงห้า หก หรือหลายมิติ แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะนึกภาพเวกเตอร์ดังกล่าว แต่ก็ไม่มีปัญหาทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นที่นี่ บันทึกดังกล่าวมักมีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น สถานะของอนุภาคเคลื่อนที่อธิบายโดยเวกเตอร์หกมิติ P (x, y, z, px, py, pz) ส่วนประกอบคือตำแหน่งในอวกาศ (x, y, z) และโมเมนตัม (px, py, pz). พื้นที่นี้เรียกว่า "เฟสสเปซ"; ถ้าเราพิจารณาอนุภาคสองตัว พื้นที่เฟสจะเป็น 12 มิติ หากเป็นสาม ก็เท่ากับ 18 เป็นต้น สามารถเพิ่มจำนวนมิติได้ไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม ปริมาณที่เราจะจัดการกับพฤติกรรมในลักษณะเดียวกับที่เราจะพิจารณาในส่วนที่เหลือของบทความนี้ กล่าวคือเวกเตอร์สามมิติ
การคูณเวกเตอร์สองตัวกฎการบวกเวกเตอร์ได้มาจากการศึกษาพฤติกรรมของปริมาณที่แสดงโดยเวกเตอร์ ไม่มี เหตุผลที่ชัดเจนโดยที่เวกเตอร์สองตัวไม่สามารถคูณด้วยวิธีใดๆ ได้ แต่การคูณนี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อสามารถแสดงความสอดคล้องทางคณิตศาสตร์ได้เท่านั้น นอกจากนี้ เป็นที่พึงประสงค์ว่างานนั้นมีความแน่นอน ความหมายทางกายภาพ... มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ผลลัพธ์ของหนึ่งในนั้นคือสเกลาร์ ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเรียกว่า "ผลิตภัณฑ์จุด" หรือ "ผลิตภัณฑ์ภายใน" ของเวกเตอร์สองตัวและเขียนว่า ABB หรือ (A, B) การคูณอีกอันทำให้เกิดเวกเตอร์ที่เรียกว่า "vector product" หรือ "outer product" และเขียนเป็น A * B หรือ [] ผลิตภัณฑ์ Dot มีความหมายทางกายภาพสำหรับหนึ่ง สอง หรือสามมิติ ในขณะที่ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ถูกกำหนดสำหรับสามมิติเท่านั้น
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์หากภายใต้การกระทำของแรง F จุดที่ถูกใช้เคลื่อนที่เป็นระยะทาง r แสดงว่างานที่ทำจะเท่ากับผลคูณของ r และส่วนประกอบ F ในทิศทาง r องค์ประกอบนี้เท่ากับ F cos bF, rc โดยที่ bF, rc คือมุมระหว่าง F และ r เช่น งานที่ทำ = Fr cos bF, rc. นี่คือตัวอย่างเหตุผลทางกายภาพของผลิตภัณฑ์ดอทที่กำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัว A, B โดยใช้สูตร
A * B = AB cos bA, Bc.
เนื่องจากปริมาณทั้งหมดทางด้านขวาของสมการเป็นสเกลาร์ ดังนั้น A * B = B * A; ดังนั้นการคูณสเกลาร์จึงเป็นการสับเปลี่ยน การคูณสเกลาร์ยังมีคุณสมบัติการกระจาย: A * (B + C) = A * B + A * C หากเวกเตอร์ A และ B ตั้งฉากกัน ดังนั้น cos bA, Bc จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น A * B = 0 แม้ว่าทั้ง A และ B จะไม่ใช่ศูนย์ก็ตาม นั่นคือสาเหตุที่เราไม่สามารถหารด้วยเวกเตอร์ได้ สมมุติว่าเราหารทั้งสองข้างของสมการ A * B = A * C ด้วย A จะได้ B = C และถ้าหารได้ ความเสมอภาคนี้จะมีเพียงตัวเดียว ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้... อย่างไรก็ตาม หากเราเขียนสมการ A * B = A * C ใหม่เป็น A * (B - C) = 0 และจำไว้ว่า (B - C) เป็นเวกเตอร์ ย่อมชัดเจนว่า (B - C) ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ และดังนั้น B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ C ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันเหล่านี้แสดงว่าการหารเวกเตอร์เป็นไปไม่ได้ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นอีกวิธีหนึ่งในการเขียนค่าตัวเลข (โมดูลัส) ของเวกเตอร์: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
ดังนั้น

สามารถเขียนผลคูณดอทได้อีกทางหนึ่ง ในการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า: A = Axe i + Ayj + Azk สังเกตว่า

แล้ว,

เนื่องจากสมการสุดท้ายมี x, y และ z เป็นตัวห้อย สมการจึงดูขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เลือกไว้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณี ดังที่เห็นได้จากคำจำกัดความ ซึ่งไม่ขึ้นกับแกนพิกัดที่เลือก
งานศิลปะเวกเตอร์เวกเตอร์หรือผลคูณภายนอกของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ที่มีโมดูลัสเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของพวกมันโดยไซน์ของมุมตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมและประกอบเป็นสามเท่าด้านขวาร่วมกับพวกมัน ผลิตภัณฑ์นี้แนะนำได้ง่ายที่สุดโดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วและความเร็วเชิงมุม อย่างแรกคือเวกเตอร์ ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าสิ่งหลังสามารถตีความได้ว่าเป็นเวกเตอร์ด้วย ความเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนได้ถูกกำหนดดังนี้: เลือกจุดใดก็ได้บนวัตถุแล้ววาดเส้นตั้งฉากจากจุดนี้ไปยังแกนของการหมุน จากนั้นความเร็วเชิงมุมของวัตถุคือจำนวนเรเดียนที่เส้นนี้หมุนต่อหน่วยเวลา ถ้าความเร็วเชิงมุมเป็นเวกเตอร์ จะต้องมีค่าตัวเลขและทิศทาง ค่าตัวเลขแสดงเป็นเรเดียนต่อวินาที สามารถเลือกทิศทางได้ตามแกนของการหมุน คุณสามารถกำหนดได้โดยกำหนดทิศทางเวกเตอร์ไปในทิศทางที่สกรูถนัดขวาจะเคลื่อนที่เมื่อหมุนไปกับตัวเครื่อง พิจารณาการหมุนของร่างกายรอบแกนคงที่ หากเราติดตั้งแกนนี้ภายในวงแหวน ซึ่งถูกยึดไว้บนแกนที่สอดเข้าไปในวงแหวนอีกอันหนึ่ง เราสามารถหมุนตัวภายในวงแหวนแรกด้วยความเร็วเชิงมุม w1 แล้วทำให้วงแหวนด้านใน (และตัวเครื่อง) หมุนที่ ความเร็วเชิงมุม w2 รูปที่ 7 แสดงจุด; ลูกศรวงกลมแสดงทิศทางการหมุน วัตถุนี้เป็นทรงกลมทึบที่มีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี r

ข้าว. 7. SPHERE CENTERED O หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w1 ภายในวงแหวน BC ซึ่งในทางกลับกัน จะหมุนภายในวงแหวน DE ด้วยความเร็วเชิงมุม w2 ทรงกลมหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม เท่ากับจำนวนเงินความเร็วเชิงมุมและจุดทั้งหมดบนเส้น POP "อยู่ในสถานะพักทันที

ให้การเคลื่อนที่ของวัตถุนี้ ซึ่งก็คือผลรวมของความเร็วเชิงมุมที่ต่างกันสองความเร็ว การเคลื่อนไหวนี้ค่อนข้างยากที่จะเห็นภาพ แต่ค่อนข้างชัดเจนว่าร่างกายไม่หมุนรอบแกนคงที่อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถพูดได้ว่ามันหมุนได้ เพื่อแสดงสิ่งนี้ให้เราเลือกจุด P บนพื้นผิวของร่างกายซึ่งในขณะที่เรากำลังพิจารณาอยู่นั้นตั้งอยู่บนวงกลมขนาดใหญ่ที่เชื่อมต่อจุดที่แกนสองแกนตัดกันพื้นผิวของทรงกลม วางเส้นตั้งฉากจาก P บนแกน เส้นตั้งฉากเหล่านี้กลายเป็นรัศมี PJ และ PK ของวงกลม PQRS และ PTUW ตามลำดับ ให้เราวาดเส้นตรง POPў ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม ตอนนี้ ชี้ P ในขณะที่เป็นปัญหา เคลื่อนที่ไปตามวงกลมที่สัมผัสที่จุด P พร้อมกัน สำหรับช่วงเวลาเล็ก ๆ Dt, P จะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง

ระยะนี้เป็นศูนย์ถ้า

ในกรณีนี้ จุด P อยู่ในสถานะพักทันทีและในทำนองเดียวกันทุกจุดบนเส้น POP "ส่วนที่เหลือของทรงกลมจะเคลื่อนที่ (วงกลมที่จุดอื่นเคลื่อนที่ไม่ได้สัมผัส แต่ตัดกัน ) ดังนั้น POPў จึงเป็นแกนของการหมุนของทรงกลมในทันที เฉกเช่นล้อที่หมุนไปตามถนนในแต่ละช่วงเวลาหมุนรอบจุดต่ำสุดของมัน ความเร็วเชิงมุมของทรงกลมเท่ากับเท่าใด เพื่อความง่าย เราเลือกจุด A ที่แกน w1 ตัดกับพื้นผิว ในขณะที่เรากำลังพิจารณา มันเคลื่อนที่ในเวลา Dt ที่ระยะทาง

รอบวงกลมรัศมี r บาป w1 ตามนิยาม ความเร็วเชิงมุม

จากสูตรและความสัมพันธ์นี้ (1) เราได้รับ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าคุณเขียนค่าตัวเลขและเลือกทิศทางของความเร็วเชิงมุมตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ปริมาณเหล่านี้จะถูกเพิ่มเป็นเวกเตอร์และถือได้ว่าเป็นค่าดังกล่าว ตอนนี้คุณสามารถป้อนผลิตภัณฑ์ข้ามได้ พิจารณาวัตถุที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w ลองเลือกจุด P บนร่างกายและจุดกำเนิดของพิกัด O ซึ่งอยู่บนแกนหมุน ให้ r เป็นเวกเตอร์ที่กำกับจาก O ถึง P จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็ว V = w r sin (w, r) เวกเตอร์ความเร็ว V สัมผัสกับวงกลมและชี้ไปในทิศทางที่แสดงในรูปที่ แปด.

สมการนี้ให้การพึ่งพาความเร็ว V ของจุดบนการรวมกันของเวกเตอร์สองตัว w และ r เราใช้อัตราส่วนนี้เพื่อกำหนด ชนิดใหม่ผลิตภัณฑ์และจด: V = w * r. เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณนั้นเป็นเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์นี้จึงถูกเรียกว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์สองตัว A และ B ถ้า A * B = C แล้ว C = AB บาป bA, Bc และทิศทางของเวกเตอร์ C จะตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน A และ B และชี้ไปในทิศทาง ประจวบกับทิศทางการเคลื่อนที่ของสกรู dextrorotatory หากขนานกับ C และหมุนจาก A ถึง B กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถพูดได้ว่า A, B และ C อยู่ในลำดับนี้ สร้างชุดแกนพิกัดที่ถูกต้อง ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นต่อต้านการเปลี่ยนแปลง เวกเตอร์ B * A มีโมดูลัสเดียวกับ A * B แต่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม: A * B = -B * A. ผลิตภัณฑ์นี้เป็นแบบกระจายแต่ไม่สัมพันธ์กัน สามารถพิสูจน์ได้ว่า

ลองดูว่าผลคูณไขว้เขียนอย่างไรในแง่ของส่วนประกอบและเวกเตอร์หน่วย ก่อนอื่น สำหรับเวกเตอร์ A ใดๆ A * A = AA sin 0 = 0
ดังนั้นในกรณีของเวกเตอร์หน่วย i * i = j * j = k * k = 0 และ i * j = k, j * k = i, k * i = j แล้ว,

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นตัวกำหนด:

ถ้า A * B = 0 ดังนั้น A หรือ B จะเป็น 0 หรือ A และ B เป็น collinear ดังนั้น ในกรณีของผลิตภัณฑ์ดอท การหารด้วยเวกเตอร์เป็นไปไม่ได้ ค่า A * B เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน A และ B ซึ่งมองเห็นได้ง่าย เนื่องจาก B บาป bA Bc คือความสูงและ A เป็นฐาน มีปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ อีกมากมายที่เป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่สำคัญที่สุดตัวหนึ่งปรากฏในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและเรียกว่าเวกเตอร์ Poyting เวกเตอร์นี้ได้รับดังนี้: P = E * H โดยที่ E และ H เป็นเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กตามลำดับ เวกเตอร์ P สามารถคิดได้ว่าเป็นการไหลของพลังงานที่กำหนดในหน่วยวัตต์ต่อตารางเมตร ณ จุดใดก็ได้ ต่อไปนี้คือตัวอย่างเพิ่มเติม: โมเมนต์ของแรง F (แรงบิด) ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดของพิกัดที่กระทำต่อจุดซึ่งเวกเตอร์รัศมี r ถูกกำหนดเป็น r * F; อนุภาคตั้งอยู่ที่จุด r มวล m และความเร็ว V มีโมเมนตัมเชิงมุม mr * V สัมพันธ์กับจุดกำเนิดของพิกัด แรงที่กระทำต่ออนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า q ผ่านสนามแม่เหล็ก B ด้วยความเร็ว V คือ qV * B
สามงาน.จากเวกเตอร์สามตัว เราสามารถสร้างผลคูณสามต่อไปนี้: เวกเตอร์ (A * B) * C; เวกเตอร์ (A * B) * C; สเกลาร์ (A * B) * C. ประเภทแรกเป็นผลคูณของเวกเตอร์ C และสเกลาร์ A * B; เราได้พูดถึงงานดังกล่าวแล้ว ประเภทที่สองเรียกว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คู่ เวกเตอร์ A * B ตั้งฉากกับระนาบที่ A และ B นอน ดังนั้น (A * B) * C เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในระนาบ A และ B และตั้งฉากกับ C ดังนั้น โดยทั่วไป (A * B) * C ไม่เท่ากับ A * (B * C) การเขียน A, B และ C ในแง่ของพิกัด (ส่วนประกอบ) ตามแกน x, y และ z และการคูณ คุณสามารถแสดงว่า A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * NS). ผลิตภัณฑ์ประเภทที่สามซึ่งเกิดขึ้นเมื่อคำนวณแลตทิซในฟิสิกส์สถานะของแข็ง มีค่าเท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ A, B, C ตั้งแต่ (A * B) * C = A * (B * C) เครื่องหมายของการคูณสเกลาร์และเวกเตอร์สามารถสลับกันได้ และส่วนนี้มักเขียนเป็น (ABC) ผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับดีเทอร์มีแนนต์

โปรดทราบว่า (A B C) = 0 ถ้าเวกเตอร์ทั้งสามอยู่ในระนาบเดียวกันหรือถ้า A = 0 หรือ (และ) B = 0 หรือ (และ) C = 0
ความแตกต่างของเวกเตอร์
สมมติว่าเวกเตอร์ U เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสเกลาร์หนึ่งตัว t ตัวอย่างเช่น U สามารถเป็นเวกเตอร์รัศมีที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดเคลื่อนที่ และ t เป็นเวลา ให้ t เปลี่ยนเล็กน้อย Dt ซึ่งจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงใน U โดย DU สิ่งนี้แสดงในรูปที่ 9. อัตราส่วน DU / Dt เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ DU เราสามารถกำหนดอนุพันธ์ของ U เทียบกับ t as

โดยมีเงื่อนไขว่าข้อจำกัดดังกล่าวมีอยู่ ในทางกลับกัน คุณสามารถแสดง U เป็นผลรวมของส่วนประกอบตามสามแกนและเขียน

ถ้า U คือเวกเตอร์รัศมี r แล้ว dr / dt คือความเร็วของจุด ซึ่งแสดงเป็นฟังก์ชันของเวลา ความแตกต่างในเวลาอีกครั้งเราได้รับอัตราเร่ง สมมติว่าจุดเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งที่แสดงในรูปที่ 10. ให้เป็นระยะทางที่เดินทางโดยจุดตามแนวโค้ง ในช่วงเวลาสั้นๆ Dt จุดจะครอบคลุมระยะทาง Ds ตามเส้นโค้ง ตำแหน่งของเวกเตอร์รัศมีจะเปลี่ยนเป็น Dr. ดังนั้น Dr / Ds จึงเป็นเวกเตอร์ที่กำกับเหมือน Dr. ไกลออกไป

Vector Dr - เปลี่ยนเวกเตอร์รัศมี

คือเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์กับเส้นโค้ง ดังจะเห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อจุด Q เข้าใกล้จุด P PQ จะเข้าใกล้แทนเจนต์และ Dr เข้าใกล้ Ds สูตรสำหรับการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์จะคล้ายกับสูตรสำหรับการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันสเกลาร์ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากผลคูณไขว้นั้นต่อต้านการสับเปลี่ยน ลำดับของการคูณจึงต้องคงไว้ นั่นเป็นเหตุผลที่

ดังนั้น เราจะเห็นว่าถ้าเวกเตอร์เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสเกลาร์ตัวเดียว เราก็สามารถแทนอนุพันธ์ได้ในลักษณะเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันสเกลาร์
สนามเวกเตอร์และสเกลาร์ ไล่โทนสีในวิชาฟิสิกส์ คุณมักจะต้องจัดการกับเวกเตอร์หรือปริมาณสเกลาร์ที่แตกต่างกันไปในแต่ละจุด พื้นที่ที่กำหนด... พื้นที่ดังกล่าวเรียกว่า "ทุ่งนา" ตัวอย่างเช่น สเกลาร์อาจเป็นอุณหภูมิหรือความดัน เวกเตอร์สามารถเป็นความเร็วของของไหลเคลื่อนที่หรือสนามไฟฟ้าสถิตของระบบประจุ หากเราเลือกระบบพิกัดบางจุด จุดใดๆ P (x, y, z) ในพื้นที่ที่กำหนดจะสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีบางจุด r (= xi + yj + zk) และค่าของปริมาณเวกเตอร์ U (r) หรือ สเกลาร์ f (r) เกี่ยวข้องกับมัน สมมติว่า U และ f ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันในโดเมน เหล่านั้น. แต่ละจุดสอดคล้องกับปริมาณ U หรือ f เพียงหนึ่งเดียวแม้ว่าจุดที่แตกต่างกันสามารถมีได้ ความหมายต่างกัน... สมมติว่าเราต้องการอธิบายความเร็วที่ U และ f เปลี่ยนไปเมื่อเราเคลื่อนที่ไปรอบๆ บริเวณนี้ อนุพันธ์บางส่วนอย่างง่ายเช่น dU / dx และ df / dy ไม่เหมาะกับเราเพราะขึ้นอยู่กับแกนพิกัดเฉพาะที่เลือก อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะแนะนำตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลเวกเตอร์ โดยไม่ขึ้นกับการเลือกแกนพิกัด โอเปอเรเตอร์นี้เรียกว่า "การไล่ระดับสี" สมมติว่าเรากำลังจัดการกับสนามสเกลาร์ f ขั้นแรกให้พิจารณาเป็นตัวอย่าง แผนที่เค้าร่างภูมิภาคของประเทศ ในกรณีนี้ f คือความสูงเหนือระดับน้ำทะเล เส้นชั้นความสูงเชื่อมต่อจุดที่มีค่า f เท่ากัน เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นเหล่านี้ f จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าเราเคลื่อนที่ตั้งฉากกับเส้นเหล่านี้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f จะสูงสุด เราสามารถเชื่อมโยงแต่ละจุดกับเวกเตอร์ที่ระบุขนาดและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็ว f; แผนที่ดังกล่าวและเวกเตอร์เหล่านี้บางส่วนแสดงไว้ในรูปที่ 11. ถ้าเราทำเช่นนี้กับแต่ละจุดของสนาม เราก็จะได้สนามเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับสนามสเกลาร์ f นี่คือสนามของเวกเตอร์ที่เรียกว่า "gradient" f ซึ่งเขียนเป็น grad f หรือ Cf (สัญลักษณ์ C เรียกอีกอย่างว่า "nabla")

ในกรณีของสามมิติ เส้นชั้นความสูงจะกลายเป็นพื้นผิว การกระจัดเล็กน้อย Dr (= iDx + jDy + kDz) นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงใน f ซึ่งเขียนเป็น

โดยที่จุดแสดงถึงเงื่อนไขลำดับที่สูงกว่า นิพจน์นี้สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์จุด

เราหารด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้ด้วย Ds และให้ Ds มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แล้ว

โดยที่ dr / ds เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางที่เลือก นิพจน์ในวงเล็บเป็นเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับจุดที่เลือก ดังนั้น df / ds มีค่าสูงสุด เมื่อ dr / ds ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน นิพจน์ในวงเล็บคือการไล่ระดับสี ดังนั้น,

เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันและประจวบกันในทิศกับ ความเร็วสูงสุดการเปลี่ยนแปลงใน f สัมพันธ์กับพิกัด เกรเดียนต์ f มักเขียนเป็น

ซึ่งหมายความว่าโอเปอเรเตอร์ C มีอยู่ในตัวของมันเอง ในหลายกรณี มันมีลักษณะเหมือนเวกเตอร์และในความเป็นจริงแล้วเป็น "ตัวดำเนินการส่วนต่างของเวกเตอร์" ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลที่สำคัญที่สุดในวิชาฟิสิกส์ แม้ว่า C จะมีเวกเตอร์หน่วย i, j และ k อยู่ แต่ความหมายทางกายภาพของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เลือก ความสัมพันธ์ระหว่าง Cf และ f คืออะไร? ก่อนอื่น สมมติว่า f กำหนดศักยภาพ ณ จุดใดก็ได้ สำหรับการกระจัดเล็กน้อย Dr ค่าของ f จะเปลี่ยนโดย

ถ้า q เป็นปริมาณ (เช่น มวล ประจุ) ย้ายไปที่ Dr งานที่ทำโดยการย้าย q ไปที่ Dr จะเท่ากับ

ตั้งแต่ Dr - การกระจัด จากนั้นqСf - แรง; -Cf - แรงตึง (แรงต่อหน่วยปริมาณ) ที่เกี่ยวข้องกับ f ตัวอย่างเช่น ให้ U เป็นศักย์ไฟฟ้าสถิต แล้ว E คือความแรงของสนามไฟฟ้า กำหนดโดยสูตร E = -CU สมมติว่า U ถูกสร้างขึ้นโดยประจุไฟฟ้าจุดในคิวคูลอมบ์ วางไว้ที่จุดกำเนิด ค่า U ที่จุด P (x, y, z) กับเวกเตอร์รัศมี r ถูกกำหนดโดยสูตร

โดยที่ e0 คือค่าคงที่ไดอิเล็กตริกของพื้นที่ว่าง นั่นเป็นเหตุผลที่

ดังนั้นมันจึงเป็นไปตามที่ E กระทำในทิศทาง r และค่าของมันคือ q / (4pe0r3) เมื่อทราบฟิลด์สเกลาร์ คุณสามารถกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องได้ ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน จากมุมมองของการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ ฟิลด์สเกลาร์ใช้งานได้ง่ายกว่าฟิลด์เวกเตอร์ เนื่องจากมีการระบุโดยฟังก์ชันพิกัดเดียว ในขณะที่ฟิลด์เวกเตอร์ต้องการฟังก์ชันสามฟังก์ชันที่สอดคล้องกับส่วนประกอบของเวกเตอร์ในสามทิศทาง ดังนั้น คำถามจึงเกิดขึ้น: ให้สนามเวกเตอร์ เราสามารถเขียนสนามสเกลาร์ที่เกี่ยวข้องได้หรือไม่?
ไดเวอร์เจนซ์และโรเตอร์เราได้เห็นผลลัพธ์ของ C ที่กระทำต่อฟังก์ชันสเกลาร์แล้ว จะเกิดอะไรขึ้นถ้า C ถูกนำไปใช้กับเวกเตอร์? มีความเป็นไปได้สองอย่าง: ให้ U (x, y, z) เป็นเวกเตอร์ จากนั้นเราสามารถสร้างเวกเตอร์และผลคูณสเกลาร์ได้ดังนี้:

นิพจน์แรกคือสเกลาร์ที่เรียกว่า divergence U (แสดงโดย divU) ที่สองคือเวกเตอร์ที่เรียกว่าโรเตอร์ U (แสดงโดย rotU) ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ไดเวอร์เจนซ์ และโรเตอร์ เหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ลองนึกภาพว่า U เป็นเวกเตอร์ และมันกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมันต่อเนื่องกันในบางพื้นที่ ให้ P เป็นจุดในบริเวณนี้ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิดขนาดเล็ก S ซึ่งล้อมรอบปริมาตร DV ให้ n เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับพื้นผิวนี้ในแต่ละจุด (n เปลี่ยนทิศทางเมื่อเคลื่อนที่ไปรอบๆ พื้นผิว แต่มีความยาวหน่วยเสมอ) ให้ n ชี้ออกไปด้านนอก แสดงว่า

ที่นี่ S ระบุว่าอินทิกรัลเหล่านี้ถูกนำไปใช้ทั่วทั้งพื้นผิว da เป็นองค์ประกอบของพื้นผิว S เพื่อความเรียบง่าย เราจะเลือกรูปร่างที่สะดวก S ในรูปแบบของสี่เหลี่ยมด้านขนานขนาดเล็ก (ดังแสดงในรูปที่ 12) กับด้าน Dx , Dy และ Dz; จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของเส้นขนาน ให้เราคำนวณอินทิกรัลจากสมการ (4) ก่อนตามหน้าหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับด้านหน้า n = i (เวกเตอร์หน่วยขนานกับแกน x); ดา = DyDz การมีส่วนร่วมของอินทิกรัลจากด้านหน้าคือ

ฝั่งตรงข้าม n = -i; ใบหน้านี้มีส่วนทำให้อินทิกรัล

โดยใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ เราได้รับผลงานทั้งหมดจากสองหน้า

โปรดทราบว่า DxDyDz = DV ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณการมีส่วนร่วมจากใบหน้าอีกสองคู่ ปริพันธ์ที่สมบูรณ์คือ

และถ้าเราใส่ DV (r) 0 เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สูงขึ้นจะหายไป ตามสูตร (2) นิพจน์ในวงเล็บคือ divU ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (4) ความเท่าเทียมกัน (5) สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน มาใช้กันอีกครั้ง มะเดื่อ. 12; จากนั้นผลงานจากด้านหน้าถึงอินทิกรัลจะเท่ากับ

และโดยใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ เราพบว่าผลรวมของอินทิกรัลจากใบหน้าทั้งสองมีรูปแบบ

เหล่านั้น. นี่เป็นคำศัพท์สองคำจากนิพจน์สำหรับ rotU ในสมการ (3) อีกสี่เงื่อนไขจะได้รับหลังจากพิจารณาการมีส่วนร่วมจากอีกสี่หน้า โดยพื้นฐานแล้วอัตราส่วนเหล่านี้หมายความว่าอย่างไร พิจารณาความเท่าเทียมกัน (4). สมมติว่า U คือความเร็ว (เช่น ของของเหลว) จากนั้น nЧU da = Un da ​​โดยที่ Un คือ องค์ประกอบปกติเวกเตอร์ U กับพื้นผิว ดังนั้น Un da ​​คือปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่าน da ต่อหน่วยเวลา และเป็นปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่าน S ต่อหน่วยเวลา เพราะฉะนั้น,

อัตราการขยายตัวของหน่วยปริมาตรรอบจุด P ดังนั้นไดเวอร์เจนซ์จึงได้ชื่อมา มันแสดงความเร็วที่ของไหลขยายออกจาก (กล่าวคือ แยกออกจาก) P. เพื่ออธิบายความหมายทางกายภาพของโรเตอร์ U ให้พิจารณาส่วนประกอบอื่นๆ ของพื้นผิวเหนือปริมาตรทรงกระบอกเล็ก h รอบจุด P; พื้นผิวระนาบขนานสามารถวางในทิศทางใดก็ได้ที่เราเลือก ให้ k เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับแต่ละพื้นผิว และให้พื้นที่ของแต่ละพื้นผิวเป็น DA จากนั้นปริมาตรรวม DV = hDA (รูปที่ 13) พิจารณาตอนนี้อินทิกรัล

อินทิกรัลเป็นผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามเท่าที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ ผลิตภัณฑ์นี้จะเป็นศูนย์บนพื้นผิวเรียบโดยที่ k และ n ขนานกัน บนพื้นผิวโค้ง

โดยที่ ds เป็นองค์ประกอบเส้นโค้งดังแสดงในรูปที่ 13. เปรียบเทียบความเท่าเทียมกันเหล่านี้กับความสัมพันธ์ (5) เราได้รับสิ่งนั้น

เรายังถือว่า U คือความเร็ว อะไรในกรณีนี้จะเท่ากับความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของของไหลรอบ k? เห็นได้ชัดว่า

ถ้า DA ไม่ใช่ 0 นิพจน์นี้จะสูงสุดเมื่อ k และ rotU ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน นี่หมายความว่า rotU เป็นเวกเตอร์เท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของของไหลที่จุด P หากของไหลหมุนสัมพันธ์กับ P แล้ว rotU № 0 และเวกเตอร์ U จะหมุนรอบ P นี่คือที่ที่ชื่อของโรเตอร์ เกิดขึ้น ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (Ostrogradskii - ทฤษฎีบทเกาส์) เป็นลักษณะทั่วไปของสูตร (4) สำหรับปริมาณจำกัด เธออ้างว่าสำหรับปริมาตร V บางตัวที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด S

บทนำ

เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่ามีคนไม่กี่คนที่คิดว่าเวกเตอร์ล้อมรอบเราทุกที่และช่วยเราใน ชีวิตประจำวัน... พิจารณาสถานการณ์: ผู้ชายนัดกับผู้หญิงห่างจากบ้านสองร้อยเมตร จะหากันเจอมั้ย? ไม่แน่นอน เนื่องจากชายหนุ่มลืมระบุสิ่งสำคัญ: ทิศทาง นั่นคือเวกเตอร์ในทางวิทยาศาสตร์ นอกจากนี้ ในกระบวนการทำงานในโครงการนี้ ฉันจะยกตัวอย่างที่น่าสนใจอีกมากมายของเวกเตอร์

โดยทั่วไปแล้ว ฉันเชื่อว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจ โดยความรู้ที่ไม่มีขอบเขต ฉันเลือกหัวข้อของเวกเตอร์ด้วยเหตุผลบางอย่าง ฉันสนใจมากในความจริงที่ว่าแนวคิดของ "เวกเตอร์" นั้นอยู่เหนือขอบเขตของวิทยาศาสตร์เดียว นั่นคือ คณิตศาสตร์ และล้อมรอบเราเกือบทุกที่ ดังนั้น ทุกคนควรรู้ว่าเวกเตอร์คืออะไร ฉันคิดว่าหัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องมาก ในทางจิตวิทยา ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ จะใช้แนวคิดของ "เวกเตอร์" ฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

วัตถุประสงค์ ของโครงการนี้คือการได้มาซึ่งทักษะในการทำงานกับเวกเตอร์ ความสามารถในการมองเห็นสิ่งผิดปกติในสิ่งปกติ การพัฒนาทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อโลกรอบตัว

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดเวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ วิวัฒนาการของแนวคิดของเวกเตอร์เกิดขึ้นเนื่องจากมีการใช้แนวคิดนี้อย่างกว้างขวางในด้านคณิตศาสตร์ กลศาสตร์ และเทคโนโลยี

เวกเตอร์ค่อนข้างใหม่ แนวคิดทางคณิตศาสตร์... คำว่า "เวกเตอร์" ปรากฏขึ้นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2388 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวไอริช วิลเลียม แฮมิลตัน (1805 - 1865) ในงานของเขาเกี่ยวกับการสร้างระบบตัวเลขที่สรุปจำนวนเชิงซ้อน แฮมิลตันยังเป็นเจ้าของคำว่า "ผลิตภัณฑ์สเกลาร์", "ผลิตภัณฑ์สเกลาร์", "ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์" การวิจัยไปในทิศทางเดียวกันเกือบจะพร้อมกันกับเขา แต่จากมุมมองที่แตกต่างกันได้ดำเนินการโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Hermann Grassmann (1809 - 1877) ชาวอังกฤษ วิลเลียม คลิฟฟอร์ด (ค.ศ. 1845 - พ.ศ. 2422) สามารถรวมสองแนวทางเข้าด้วยกันภายในกรอบนี้ ทฤษฎีทั่วไปซึ่งรวมถึงแคลคูลัสเวกเตอร์ปกติ และรูปแบบสุดท้ายที่ใช้ในผลงานของนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) ซึ่งในปี 1901 ได้ตีพิมพ์หนังสือเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์

จุดสิ้นสุดของศตวรรษที่ผ่านมาและต้นศตวรรษปัจจุบันมีการพัฒนาอย่างกว้างขวางของแคลคูลัสเวกเตอร์และการประยุกต์ พีชคณิตเวกเตอร์และการวิเคราะห์เวกเตอร์ ทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ ถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีเหล่านี้ใช้ในการสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทฤษฎีทั่วไปซึ่งเล่นโดยเฉพาะ บทบาทสำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่

แนวคิดของเวกเตอร์เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องจัดการกับวัตถุที่มีขนาดและทิศทาง ตัวอย่างเช่น ปริมาณทางกายภาพบางอย่าง เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง ฯลฯ ไม่ได้มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย ในเรื่องนี้ เป็นการสะดวกที่จะแสดงปริมาณทางกายภาพที่ระบุเป็นส่วนที่กำหนด ตามความต้องการ โปรแกรมใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์กลายเป็นหนึ่งในแนวคิดชั้นนำ หลักสูตรโรงเรียนคณิตศาสตร์.

เวกเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A และจุดสิ้นสุดที่จุด B มักจะแสดงเป็น AB เวกเตอร์สามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรละตินขนาดเล็กที่มีลูกศร (บางครั้งมีเส้นประ) อยู่ด้านบน ตัวอย่างเช่น

เวกเตอร์ในเรขาคณิตนั้นสัมพันธ์กับการถ่ายโอนตามธรรมชาติ (การถ่ายโอนแบบขนาน) ซึ่งอธิบายที่มาของชื่อได้ชัดเจน (เวกเตอร์ละติน, แบริ่ง) อันที่จริง ส่วนที่กำกับกำกับแต่ละส่วนกำหนดการแปลคู่ขนานของระนาบหรือช่องว่างอย่างไม่ซ้ำกัน เช่น เวกเตอร์ AB กำหนดการแปลโดยธรรมชาติโดยที่จุด A ไปที่จุด B และในทางกลับกัน การแปลแบบคู่ขนาน โดยที่ A ไปที่ B จะกำหนด ตัวเองเป็นส่วนทิศทางเดียว AB

ความยาวของเวกเตอร์ AB คือความยาวของเซ็กเมนต์ AB ซึ่งมักจะแสดงเป็น AB บทบาทของศูนย์ระหว่างเวกเตอร์นั้นเล่นโดยเวกเตอร์ศูนย์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน มันไม่เหมือนกับเวกเตอร์อื่น ๆ ที่ไม่ได้กำหนดทิศทางใด ๆ

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่า collinear ถ้าอยู่บนเส้นตรงขนานกัน หรือบนเส้นตรงเส้นเดียว เวกเตอร์สองตัวเรียกว่า co-direction ถ้าพวกมันเป็น collinear และกำกับไปในทิศทางเดียวกัน ทิศทางตรงกันข้ามถ้าพวกมัน collinear และกำกับไปในทิศทางที่ต่างกัน

ปฏิบัติการเกี่ยวกับเวกเตอร์

โมดูลัสเวกเตอร์

โมดูลัสของเวกเตอร์ AB คือจำนวน เท่ากับความยาวเซ็กเมนต์ AB มันถูกกำหนดให้เป็น AB ผ่านพิกัดคำนวณดังนี้:

การเพิ่มเวกเตอร์

ในการแทนค่าพิกัด เวกเตอร์ผลรวมได้มาจากการรวมพิกัดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข:

) (\ displaystyle (\ vec (a)) + (\ vec (b)) = (a_ (x) + b_ (x), a_ (y) + b_ (y), a_ (z) + b_ (z) ))

กฎที่แตกต่างกัน (วิธีการ) ใช้เพื่อสร้างเวกเตอร์รวมเชิงเรขาคณิต (\ displaystyle (\ vec (c)) = (\ vec (a)) + (\ vec (b))) c = แต่ทั้งหมดให้ผลลัพธ์เหมือนกัน . การใช้กฎนี้หรือกฎนั้นมีเหตุผลโดยปัญหาที่กำลังแก้ไข

กฎสามเหลี่ยม

กฎสามเหลี่ยมเป็นไปตามธรรมชาติที่สุดจากการทำความเข้าใจเวกเตอร์เป็นการแปล เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ของการใช้เครื่องหมายยัติภังค์สองอันต่อเนื่องกัน (\ displaystyle (\ vec (a))) และ (\ displaystyle (\ vec (b))) ในบางจุดจะเหมือนกับการใช้ยัติภังค์เดียว (\ displaystyle ( \ vec (a )) + (\ vec (b))) ตรงกับกฎนี้ ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัว (\ displaystyle (\ vec (a))) และ (\ displaystyle (\ vec (b))) ตามกฎสามเหลี่ยม เวกเตอร์ทั้งสองนี้แปลขนานกันเพื่อให้จุดเริ่มต้นของหนึ่งในนั้น ประจวบกับปลายอีกด้านหนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์ของผลรวมจะถูกระบุโดยด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมที่ได้ และจุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง

กฎนี้สามารถสรุปได้โดยตรงและเป็นธรรมชาติสำหรับการบวกเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ โดยส่งผ่านเข้าไปใน กฎเส้นขาด:

กฎรูปหลายเหลี่ยม

จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของจุดแรก จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สามเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง และต่อๆ ไป ผลรวม (\ displaystyle n) ของเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ โดยมีจุดเริ่มต้นประจวบกับ จุดเริ่มต้นของส่วนแรกและจุดสิ้นสุดที่ประจวบกับจุดสิ้นสุดของ (\ displaystyle n) - th (กล่าวคือ แสดงเป็นส่วนกำกับที่ปิด polyline) เรียกอีกอย่างว่ากฎโพลีไลน์

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัว (\ displaystyle (\ vec (a))) และ (\ displaystyle (\ vec (b))) ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ทั้งสองจะถูกแปลขนานกันเพื่อให้ต้นกำเนิดตรงกัน จากนั้นเวกเตอร์ของผลรวมจะได้รับจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากแหล่งกำเนิดทั่วไป

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานจะสะดวกเป็นพิเศษเมื่อมีความจำเป็นต้องแสดงเวกเตอร์ของผลรวมที่ใช้ทันทีกับจุดเดียวกันกับที่ใช้ทั้งสองคำ นั่นคือ เพื่อแสดงถึงเวกเตอร์ทั้งสามที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน

การลบเวกเตอร์

เพื่อให้ได้ความแตกต่างในรูปแบบพิกัด คุณต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์:

‚(\ Displaystyle (\ vec (a)) - (\ vec (b)) = (a_ (x) -b_ (x), a_ (y) -b_ (y), a_ (z) -b_ (z) ))

เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความแตกต่าง (\ displaystyle (\ vec (c)) = (\ vec (a)) - (\ vec (b))) จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะรวมกันและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ (\ displaystyle ( \ vec (c))) คือจุดสิ้นสุด (\ displaystyle (\ vec (b))) และจุดสิ้นสุดคือ (\ displaystyle (\ vec (a))) เขียนโดยใช้จุดเวกเตอร์ AC-AB = BC (\ displaystyle (\ overrightarrow (AC)) - (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (BC)))

การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

การคูณเวกเตอร์ (\ displaystyle (\ vec (a))) ด้วย (\ displaystyle \ alpha 0) จะทำให้เวกเตอร์ co-directional (\ displaystyle \ alpha) ยาวนานขึ้น การคูณเวกเตอร์ (\ displaystyle (\ vec (a))) ด้วยตัวเลข (\ displaystyle \ alpha ให้เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือ (\ displaystyle \ alpha) นานกว่า เวกเตอร์จะคูณตัวเลขในรูปแบบพิกัดโดยการคูณทั้งหมด พิกัดตามหมายเลขนี้:

(\ displaystyle \ alpha (\ vec (a)) = (\ alpha a_ (x), \ alpha a_ (y), \ alpha a_ (z)))

ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์สเกลาร์

ผลคูณจุดคือจำนวนที่ได้จากการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ มันถูกพบโดยสูตร:

ดอทโปรดัคยังสามารถหาได้จากความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน การประยุกต์เวกเตอร์ในสาขาวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์ในวิชาฟิสิกส์เวกเตอร์ - เครื่องมืออันทรงพลังคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ กฎพื้นฐานของกลศาสตร์และอิเล็กโทรไดนามิกถูกกำหนดขึ้นในภาษาของเวกเตอร์ เพื่อให้เข้าใจฟิสิกส์ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับเวกเตอร์ ในวิชาฟิสิกส์ เช่นเดียวกับในคณิตศาสตร์ เวกเตอร์คือปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง ในฟิสิกส์ มีปริมาณที่สำคัญหลายอย่างที่เป็นเวกเตอร์ เช่น แรง ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง แรงบิด โมเมนตัม ความแรงของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เวกเตอร์ในวรรณคดีขอให้เราระลึกถึงนิทานของ Ivan Andreevich Krylov เกี่ยวกับวิธีที่ "หงส์, กั้งและหอกเริ่มบรรทุกเกวียนพร้อมกระเป๋าเดินทางของพวกเขา" นิทานอ้างว่า "สิ่งต่างๆ ยังคงอยู่" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ว่าผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่ใช้กับเกวียนของกองกำลังมีค่าเท่ากับศูนย์ และแรงอย่างที่คุณทราบคือปริมาณเวกเตอร์ เวกเตอร์ในวิชาเคมี

บ่อยครั้ง แม้แต่นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ก็ยังแสดงความคิดที่ว่า ปฏิกิริยาเคมีเป็นเวกเตอร์ ที่จริงแล้ว ปรากฏการณ์ใดๆ สามารถสรุปได้ภายใต้แนวคิดของ "เวกเตอร์" เวกเตอร์คือนิพจน์ของการกระทำหรือปรากฏการณ์ที่มีทิศทางที่ชัดเจนในอวกาศและในสภาวะเฉพาะ ซึ่งสะท้อนจากขนาดของมัน ทิศทางของเวกเตอร์ในอวกาศถูกกำหนดโดยมุมที่เกิดขึ้นระหว่างเวกเตอร์กับแกนพิกัด และความยาว (ขนาด) ของเวกเตอร์นั้นถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมัน

อย่างไรก็ตาม การอ้างว่าปฏิกิริยาเคมีเป็นเวกเตอร์นั้นยังไม่แน่ชัด อย่างไรก็ตาม ข้อความนี้อิงตามกฎต่อไปนี้: "ปฏิกิริยาเคมีใดๆ ถูกตอบด้วยสมการสมมาตรของเส้นตรงในอวกาศที่มีพิกัดกระแสในรูปของปริมาณของสาร (โมล) มวลหรือปริมาตร"

ปฏิกิริยาเคมีโดยตรงทั้งหมดผ่านจุดกำเนิด เส้นตรงใดๆ ในอวกาศสามารถแสดงได้โดยเวกเตอร์ได้ง่าย แต่เนื่องจากเส้นตรงของปฏิกิริยาเคมีผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด จึงสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์ของปฏิกิริยาเคมีโดยตรงตั้งอยู่บนเส้นตรงเองและ เรียกว่าเวกเตอร์รัศมี จุดกำเนิดของเวกเตอร์นี้ตรงกับที่มาของระบบพิกัด ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า ปฏิกิริยาเคมีใดๆ มีลักษณะเฉพาะโดยตำแหน่งของเวกเตอร์ในอวกาศ เวกเตอร์ในชีววิทยา

เวกเตอร์ (ในทางพันธุศาสตร์) - โมเลกุล กรดนิวคลีอิคส่วนใหญ่มักใช้ DNA ในพันธุวิศวกรรมเพื่อถ่ายโอนสารพันธุกรรมไปยังเซลล์อื่น

เวกเตอร์ในทางเศรษฐศาสตร์

พีชคณิตเชิงเส้นเป็นหนึ่งในสาขาของคณิตศาสตร์ชั้นสูง องค์ประกอบของมันถูกใช้อย่างกว้างขวางในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่มีลักษณะทางเศรษฐกิจ ในหมู่พวกเขา แนวคิดของเวกเตอร์ตรงบริเวณสถานที่สำคัญ

เวกเตอร์คือลำดับของตัวเลข ตัวเลขในเวกเตอร์โดยคำนึงถึงตำแหน่งตามตัวเลขในลำดับ เรียกว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์ โปรดทราบว่าเวกเตอร์ถือได้ว่าเป็นองค์ประกอบของลักษณะใด ๆ รวมถึงลักษณะทางเศรษฐกิจ สมมุติว่าโรงงานทอผ้าบางแห่งต้องผลิตผ้าปูเตียง 30 ชุด ผ้าเช็ดตัว 150 ผืน เสื้อคลุม 100 ชุดในกะเดียว จากนั้นโปรแกรมการผลิตของโรงงานนี้สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ ซึ่งทุกอย่างที่โรงงานต้องผลิตคือสาม -เวกเตอร์มิติ

เวกเตอร์ในทางจิตวิทยา

วันนี้มี จำนวนมากแหล่งข้อมูลเพื่อความรู้ในตนเอง ทิศทางของจิตวิทยาและการพัฒนาตนเอง และไม่ยากที่จะสังเกตว่าทิศทางที่ผิดปกติเช่นจิตวิทยาเวกเตอร์ระบบกำลังได้รับความนิยมมากขึ้นเรื่อย ๆ มีเวกเตอร์ 8 ตัวอยู่ในนั้น

เวกเตอร์ในชีวิตประจำวัน

ฉันสังเกตว่าเวกเตอร์นอกเหนือจากวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนแล้ว ฉันพบทุกวัน ตัวอย่างเช่นในขณะที่เดินในสวนสาธารณะฉันสังเกตเห็นว่าต้นสนนั้นถือได้ว่าเป็นตัวอย่างของเวกเตอร์ในอวกาศ: ส่วนล่างของมันคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และด้านบนของต้นไม้คือ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ และป้ายที่มีภาพเวกเตอร์เมื่อไปที่ร้านค้าขนาดใหญ่ช่วยให้เราค้นหาแผนกใดแผนกหนึ่งได้อย่างรวดเร็วและประหยัดเวลา

เวกเตอร์ในสัญญาณ การจราจรบนถนน

ทุกๆ วัน จากการออกจากบ้าน เรากลายเป็นผู้ใช้ถนนทั้งในฐานะคนเดินถนนหรือคนขับ ทุกวันนี้แทบทุกครอบครัวมีรถยนต์ซึ่งแน่นอนว่าไม่สามารถส่งผลกระทบต่อความปลอดภัยของผู้ใช้ถนนทุกคนได้ และเพื่อหลีกเลี่ยงเหตุการณ์บนท้องถนน คุณควรปฏิบัติตามกฎจราจรทั้งหมด แต่อย่าลืมว่าทุกอย่างในชีวิตเชื่อมต่อถึงกัน และแม้ในป้ายบอกทางที่เรียบง่ายที่สุด เราก็เห็นลูกศรบอกทิศทางของการเคลื่อนไหว ในวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเวกเตอร์ ลูกศร (เวกเตอร์) เหล่านี้แสดงทิศทางของการเคลื่อนไหว ทิศทางของการเคลื่อนไหว ข้างทางเบี่ยง และอื่นๆ อีกมากมาย ข้อมูลทั้งหมดนี้สามารถอ่านได้จากป้ายบอกทางริมถนน

บทสรุป

แนวคิดพื้นฐานของ "เวกเตอร์" ที่เราพิจารณาในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน เป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนในสาขาวิชาเคมีทั่วไป ชีววิทยาทั่วไป, ฟิสิกส์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ ฉันเห็นความจำเป็นของเวกเตอร์ในชีวิตซึ่งช่วยในการค้นหาวัตถุที่ถูกต้อง ประหยัดเวลา พวกเขาทำหน้าที่กำหนดสัญญาณจราจร

ข้อสรุป

แต่ละคนต้องเผชิญกับเวกเตอร์ในชีวิตประจำวันอย่างต่อเนื่อง

เราต้องการเวกเตอร์เพื่อศึกษาไม่เพียงแต่คณิตศาสตร์เท่านั้นแต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์อื่นๆ ด้วย

ทุกคนควรรู้ว่าเวกเตอร์คืออะไร

ที่มาของ

Bashmakov M.A. เวกเตอร์คืออะไร 2nd ed., Sr. - M.: Kvant, 1976.-221s

Vygodsky M. Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษา.-3 เอ็ด. ลบ. - M.: Nauka, 1978.-186s.

Gusyatnikov P.B. พีชคณิตเวกเตอร์ในตัวอย่างและปัญหา 2nd ed., P. - M.: บัณฑิตวิทยาลัย, 1985.-302s.

Zaitsev V.V. คณิตศาสตร์เบื้องต้น. ซ้ำหลักสูตร.-3rd ed., Sr. - M.: Nauka, 1976.-156s.

ค็อกซีเตอร์ จี.เอส. การเผชิญหน้าครั้งใหม่กับเรขาคณิต.-2nd ed., Erased. - ม.: เนาก้า, 1978.-324p.

A.V. Pogorelov เรขาคณิตวิเคราะห์ - 3rd ed., Erased. - M.: Kvant, 1968.-235s.