ค่าประมาณของขนาดและข้อผิดพลาดของคำจำกัดความการประมาณ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ

บ้าน

ในทางปฏิบัติเราแทบไม่เคยรู้ค่าที่แน่นอนของปริมาณเลย ไม่มีมาตราส่วน ไม่ว่าจะแม่นยำแค่ไหน ก็สามารถแสดงน้ำหนักได้อย่างแม่นยำอย่างแน่นอน เทอร์โมมิเตอร์ใด ๆ ที่แสดงอุณหภูมิโดยมีข้อผิดพลาดอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่มีแอมป์มิเตอร์ใดที่สามารถอ่านค่ากระแสได้อย่างแม่นยำ ฯลฯ นอกจากนี้ตาของเราไม่สามารถอ่านค่าที่อ่านได้จากเครื่องมือวัดได้อย่างถูกต้องอย่างแน่นอน ดังนั้นแทนที่จะต้องจัดการกับค่าที่แท้จริงของปริมาณ เราจึงถูกบังคับให้ดำเนินการด้วยค่าโดยประมาณของมัน ความจริงนั้น เอ" เป็นค่าประมาณของตัวเลข ก

, เขียนไว้ดังนี้:.

ก อยู่ที่" ถ้า เอ" เป็นค่าประมาณของตัวเลข เป็นค่าประมาณของปริมาณ Δ = แล้วความแตกต่าง ก-ก" เรียกว่า*.

* Δ ข้อผิดพลาดในการประมาณ ε - ตัวอักษรกรีก อ่าน: เดลต้า ถัดมาเป็นอักษรกรีกอีกฉบับ

(อ่าน: เอปไซลอน) Δ ตัวอย่างเช่น หากแทนที่ตัวเลข 3.756 ด้วยค่าประมาณ 3.7 ข้อผิดพลาดจะเท่ากับ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

= 3.756 - 3.7 = 0.056 หากเราใช้ 3.8 เป็นค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาดจะเท่ากับ: Δ ในทางปฏิบัติ ข้อผิดพลาดในการประมาณมักถูกใช้บ่อยที่สุด Δ และค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ | - ต่อไปนี้เราจะเรียกค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ว่าข้อผิดพลาดแน่นอน - การประมาณค่าหนึ่งจะถือว่าดีกว่าอีกค่าหนึ่งหากความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณค่าแรกน้อยกว่าข้อผิดพลาดแน่นอน
|Δ การประมาณครั้งที่สอง เช่น การประมาณ 3.8 สำหรับหมายเลข 3.756 นั้นดีกว่าการประมาณ 3.7 เพราะสำหรับการประมาณครั้งแรก Δ | = |0,056| = 0,056.

- - - 0.044| =0.044 และสำหรับตัวที่สอง | ถ้า เป็นค่าประมาณของตัวเลขตัวเลขε ขึ้นไปε :

|แล้วความแตกต่าง | < ε .

ถ้าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณนี้น้อยกว่า< 0,1.

เช่น 3.6 คือการประมาณตัวเลข 3.671 โดยมีความแม่นยำ 0.1 เนื่องจาก |3.671 - 3.6| - 0.071| = 0.071

ก อยู่ที่" ถ้า < เป็นค่าประมาณของตัวเลข ในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก ถ้า , ที่ เป็นค่าประมาณของตัวเลข เรียกว่าค่าประมาณของตัวเลข.

มีข้อเสีย ถ้า > เป็นค่าประมาณของตัวเลข ในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก ถ้า , ที่ เป็นค่าประมาณของตัวเลข ถ้า

ในความอุดมสมบูรณ์< 3,671, а - 3 / 2 есть приближенное значение числа - 8 / 5 c избытком, так как - 3 / 2 > - 8 / 5 .

เช่น 3.6 คือค่าประมาณของเลข 3.671 ที่มีข้อเสีย เนื่องจาก 3.6 เป็นค่าประมาณของตัวเลข ถ้าแทนที่จะเป็นตัวเลขเรา และ ข ถ้า ถ้าแทนที่จะเป็นตัวเลขเรา รวมค่าโดยประมาณเข้าด้วยกัน ข" แล้วผลลัพธ์ ก" + ข" จะเป็นค่าประมาณของผลรวม - คำถามเกิดขึ้น: จะประเมินความถูกต้องของผลลัพธ์นี้ได้อย่างไรหากทราบความแม่นยำของการประมาณของแต่ละเทอม? วิธีแก้ปัญหานี้และปัญหาที่คล้ายกันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ต่อไปนี้:

|จะเป็นค่าประมาณของผลรวม | < |ก | + |และ |.

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

คู่มือระเบียบวิธีปฏิบัติงานภาคปฏิบัติสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ตอนที่ 1

คู่มือระเบียบวิธีเพื่อดำเนินการ งานภาคปฏิบัติตามวินัย..เพื่อวิชาชีพระดับเริ่มต้น อาชีวศึกษาและสาขาวิชาเฉพาะทางอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา..

หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

หมายเหตุอธิบาย
คู่มือวิธีการรวบรวมตาม โปรแกรมการทำงานในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์" ซึ่งพัฒนาขึ้นบนพื้นฐานของสหพันธรัฐ มาตรฐานการศึกษารุ่นที่สามn

สัดส่วน ความสนใจ.
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: 1) สรุปความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “ร้อยละและสัดส่วน”

2) พิจารณาประเภทและอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ จัดทำสัดส่วนและแก้ไข
สัดส่วน.

สัดส่วน (จากภาษาละติน proportio - อัตราส่วน, สัดส่วน), 1) ในทางคณิตศาสตร์ - ความเท่าเทียมกันระหว่างสองอัตราส่วนของสี่ปริมาณ a, b, c,
งานภาคปฏิบัติครั้งที่ 2

“สมการและอสมการ” วัตถุประสงค์ของบทเรียน: 1) สรุปความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “สมการและอสมการ”
2) พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาในหัวข้อ “คุณ สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัสโมดูลัสของตัวเลขถูกกำหนดดังนี้ ตัวอย่าง: แก้สมการ

วิธีแก้ไข: ถ้า แล้ว และ
สมการที่กำหนด

จะเอาแบบฟอร์ม คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:
สมการที่มีตัวแปรในตัวส่วน ลองพิจารณาสมการของแบบฟอร์มกัน (1) การแก้สมการประเภท (1) จะขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 และตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์เท่านั้นสมการตรรกยะ

สมการ f(x) = g(x) เรียกว่าตรรกยะ ถ้า f(x) และ g(x)
-การแสดงออกอย่างมีเหตุผล

- ยิ่งไปกว่านั้น หาก f(x) และ g(x) เป็นนิพจน์จำนวนเต็ม สมการนี้จะเรียกว่าจำนวนเต็ม
สมการเรียกว่าสมการไร้เหตุผล โดยที่ตัวแปรอยู่ภายใต้เครื่องหมายรากหรือภายใต้เครื่องหมายของการยกกำลังเศษส่วน วิธีหนึ่งในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีวอซม์

วิธีช่วงเวลา
ตัวอย่าง: แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย. ODZ: โดยที่เรามี x [-1; 5) (5; +) แก้สมการ ตัวเศษของเศษส่วนเท่ากับ 0 ที่ x = -1 นี่คือรากของสมการ
แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

3x + (20 – x) = 35.2, (x – 3) - x = 7 – 5x
(x + 2) - 11(x + 2) = 12. x = x, 3y = 96, x + x + x + 1 = 0, – 5.5n(n – 1)(n + 2.5)( n-

งานภาคปฏิบัติครั้งที่ 4
“ฟังก์ชัน คุณสมบัติ และกราฟ” วัตถุประสงค์ของบทเรียน: 1) สรุปความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “ฟังก์ชัน คุณสมบัติ และกราฟ”

2) พิจารณาอัลกอริทึม
มันจะเป็นความผิดพลาดร้ายแรงหากคุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับโดยไม่ระมัดระวังเมื่อวาดรูป

ตัวอย่างที่ 3 สร้างสาขาด้านขวาของไฮเปอร์โบลา เราใช้วิธีการสร้างแบบ pointwise ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นประโยชน์ในการเลือกค่าเพื่อที่จะหารด้วยจำนวนเต็ม:
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

มาสร้างกราฟของอาร์กไซน์กันเถอะ มาสร้างกราฟของอาร์คโคไซน์กันดีกว่า มาสร้างกราฟของอาร์กแทนเจนต์กัน เพียงแค่สาขากลับหัวของแทนเจนต์เท่านั้น เรามาแสดงรายการหลักกัน

ภาพสุภาษิตทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์สมัยใหม่รู้จักฟังก์ชันต่างๆ มากมาย และแต่ละฟังก์ชันก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง เช่นเดียวกับรูปลักษณ์ที่เป็นเอกลักษณ์ของผู้คนหลายพันล้านคนที่อาศัยอยู่บนโลกก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว อย่างไรก็ตามแม้จะมีความไม่เหมือนกันของคนเพียงคนเดียวก็ตาม
สร้างกราฟของฟังก์ชัน a)y=x2,y=x2+1,y=(x-2)2 b)y=1/x, y=1/(x-2),y=1/x -2 บน ระนาบพิกัดหนึ่งอัน

ฟังก์ชันกราฟค
ตัวเลขธรรมชาติ

คุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ
a + b = b + a - สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก (a + b) + c = a + (b +c) - สมบัติการเชื่อมโยงของการบวก ab = ba

สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติ
ถ้าแต่ละเทอมหารด้วยตัวเลขลงตัว ผลรวมก็จะหารด้วยจำนวนนั้นลงตัว ถ้าในผลิตภัณฑ์อย่างน้อยหนึ่งปัจจัยที่หารด้วยจำนวนหนึ่ง ผลิตภัณฑ์นั้นก็หารด้วยเช่นกัน

มาตราส่วนและพิกัด
ความยาวของส่วนต่างๆ วัดด้วยไม้บรรทัด มีรอยขีดบนไม้บรรทัด (รูปที่ 19) พวกเขาแบ่งผู้ปกครองออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ส่วนเหล่านี้เรียกว่าดิวิชั่น ในรูปที่ 19 ความยาว kaเป็นการเขียนเศษส่วนด้วยตัวส่วนอีกรูปแบบหนึ่ง เช่น หากการแยกตัวประกอบของตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะมีเพียง 2 และ 5 เศษส่วนนี้สามารถเขียนเป็น dec

รากของ 2
ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: มันเป็นตรรกยะ นั่นคือ มันแสดงในรูปของเศษส่วนที่ลดไม่ได้ โดยที่คือจำนวนเต็ม และ - จำนวนธรรมชาติ- ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันที่ควรจะเป็น:

จากที่นี่
ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองตัวใดๆ จะไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์< a, то величина a называется

ข้อผิดพลาด ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่แน่นอน x และค่าประมาณ a เรียกว่าข้อผิดพลาดของจำนวนโดยประมาณนี้ หากทราบแล้วว่า | x - ก |
ระดับพื้นฐาน

ตัวอย่าง:คำนวณ สารละลาย: . คำตอบ: 2.5. ตัวอย่าง. คำนวณ. วิธีแก้ปัญหา: คำตอบ: 15.มี ประเภทต่างๆแบบฝึกหัดสำหรับ

การเปลี่ยนแปลงตัวตน
การแสดงออก ประเภทแรก: มีการระบุการเปลี่ยนแปลงที่ต้องทำอย่างชัดเจน

การเปลี่ยนแปลงตัวตน
ตัวอย่างเช่น. 1

การเปลี่ยนแปลงตัวตน
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

ทำเครื่องหมายหมายเลขของคำตอบที่ถูกต้อง: ผลลัพธ์ของการลดความซับซ้อนของนิพจน์คือ 1 ; 4. ;
2. ; 5. .

3. ;

ค่าของนิพจน์คือ 1) 4; 2) ; 3) ค้นหาค่าของนิพจน์ 1. .2 - 2. . 3. . 4. . 5. .7. - 6..ณ. 7..ณ. 8..ณ. 9. ณ. 1คำถามที่ 1. ค้นหาลอการิทึมของ 25 ถึงฐาน 5 คำถามที่ 2 ค้นหาลอการิทึมถึงฐาน 5 คำถามที่ 3

งานภาคปฏิบัติครั้งที่ 17

“ สัจพจน์ของสามมิติและผลที่ตามมา” วัตถุประสงค์ของบทเรียน: 1) สรุปความรู้ทางทฤษฎี ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ บุคคลจะต้องวัดปริมาณต่างๆ คำนึงถึงวัสดุและผลิตภัณฑ์ของแรงงาน และทำการคำนวณต่างๆ ผลการวัด การคำนวณ และการคำนวณต่างๆ เป็นตัวเลข ตัวเลขที่ได้รับจากการวัดเพียงประมาณเท่านั้นโดยมีความแม่นยำระดับหนึ่งเท่านั้นที่จะระบุลักษณะปริมาณที่ต้องการ การวัดที่แม่นยำนั้นเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่ถูกต้องของเครื่องมือวัด ความไม่สมบูรณ์ของอวัยวะในการมองเห็นของเรา และบางครั้งวัตถุที่วัดได้ก็ไม่อนุญาตให้เรากำหนดขนาดของมันด้วยความแม่นยำใด ๆไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงและค่าประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณนี้เท่ากับ เอ็กซ์,แล้วพวกเขาก็เขียน เอ็กซ์.

ด้วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเท่ากัน เราจะได้ค่าประมาณที่ต่างกัน การประมาณแต่ละครั้งจะแตกต่างจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เท่ากับ เช่น ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ บุคคลจะต้องวัดปริมาณต่างๆ คำนึงถึงวัสดุและผลิตภัณฑ์ของแรงงาน และทำการคำนวณต่างๆ ผลการวัด การคำนวณ และการคำนวณต่างๆ เป็นตัวเลข ตัวเลขที่ได้รับจากการวัดเพียงประมาณเท่านั้นโดยมีความแม่นยำระดับหนึ่งเท่านั้นที่จะระบุลักษณะปริมาณที่ต้องการ การวัดที่แม่นยำนั้นเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่ถูกต้องของเครื่องมือวัด ความไม่สมบูรณ์ของอวัยวะในการมองเห็นของเรา และบางครั้งวัตถุที่วัดได้ก็ไม่อนุญาตให้เรากำหนดขนาดของมันด้วยความแม่นยำใด ๆตามจำนวนหนึ่งซึ่งเราจะเรียก ข้อผิดพลาด.คำนิยาม. ถ้าตัวเลข x เป็นการประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณบางปริมาณที่มีค่าจริงเท่ากับตัวเลข ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ บุคคลจะต้องวัดปริมาณต่างๆ คำนึงถึงวัสดุและผลิตภัณฑ์ของแรงงาน และทำการคำนวณต่างๆ ผลการวัด การคำนวณ และการคำนวณต่างๆ เป็นตัวเลข ตัวเลขที่ได้รับจากการวัดเพียงประมาณเท่านั้นโดยมีความแม่นยำระดับหนึ่งเท่านั้นที่จะระบุลักษณะปริมาณที่ต้องการ การวัดที่แม่นยำนั้นเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่ถูกต้องของเครื่องมือวัด ความไม่สมบูรณ์ของอวัยวะในการมองเห็นของเรา และบางครั้งวัตถุที่วัดได้ก็ไม่อนุญาตให้เรากำหนดขนาดของมันด้วยความแม่นยำใด ๆแล้วโมดูลัสของผลต่างของตัวเลข เป็นค่าประมาณของตัวเลขและ เอ็กซ์ก-ก" - ต่อไปนี้เราจะเรียกค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ว่าของการประมาณนี้และแสดงแทน ก x: หรือเพียงแค่ ก- ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว

ก x = a-x (1)

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้น

ก = x ก x (2)

หากรู้ว่าเรากำลังพูดถึงปริมาณเท่าใดก็ให้อยู่ในสัญกรณ์ ก xดัชนี เป็นค่าประมาณของตัวเลขถูกละไว้และความเท่าเทียมกัน (2) ถูกเขียนดังนี้:

ก = x x (3)

เนื่องจากส่วนใหญ่มักไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่ต้องการ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพบข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณปริมาณนี้ คุณสามารถระบุเฉพาะจำนวนบวกในแต่ละกรณีเท่านั้น ซึ่งมากกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์นี้ไม่สามารถระบุได้ จำนวนนี้เรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณค่า กและถูกกำหนดไว้ ชม. ก- ดังนั้นหาก x-- การประมาณค่า a ตามอำเภอใจสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ

ก x = a-x ชั่วโมง ก (4)

จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามว่าถ้า ชม. กคือขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่า เป็นค่าประมาณของตัวเลขแล้วจำนวนใดๆ ที่มากกว่า ชม. กจะเป็นขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่าด้วย เป็นค่าประมาณของตัวเลข.

ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกเนื่องจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัดจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (4)

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน axh กเราเข้าใจแล้ว เป็นค่าประมาณของตัวเลขอยู่ภายในขอบเขต

เอ็กซ์ - ชม ก ก x + ชม ก (5)

แนวคิดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นเกี่ยวกับขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สามารถให้ไว้ได้ดังนี้

อนุญาต เอ็กซ์- การประมาณที่แตกต่างกันมากมาย เอ็กซ์ปริมาณ เป็นค่าประมาณของตัวเลขสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ แล้วเลขไหนก็ได้. ชม., เป็นไปตามเงื่อนไข axh กแต่อย่างใด xXเรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณจากเซต เอ็กซ์- ให้เราแสดงโดย ชม. กอย่างน้อยที่สุด ตัวเลขที่รู้จัก ชม.- เบอร์นี้ ชม. กและได้รับเลือกในทางปฏิบัติให้เป็นขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ไม่ได้บ่งบอกถึงคุณภาพของการวัด จริงๆ แล้วถ้าเราวัดความยาวใดๆ ด้วยความแม่นยำ 1 ซม. แล้วในกรณีนี้ เมื่อใด เรากำลังพูดถึงการกำหนดความยาวของดินสอจะทำให้ความแม่นยำต่ำ หากคุณกำหนดความยาวหรือความกว้างของสนามวอลเลย์บอลด้วยความแม่นยำ 1 ซม. ก็จะมีความแม่นยำสูง

เพื่อระบุลักษณะความแม่นยำในการวัด จึงได้นำแนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มาใช้

คำนิยาม. ถ้า ก x: มีข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ เอ็กซ์ปริมาณบางอย่างที่มีค่าจริงเท่ากับจำนวน เป็นค่าประมาณของตัวเลขแล้วความสัมพันธ์ ก xถึงโมดูลัสของตัวเลข เอ็กซ์เรียกว่าความคลาดเคลื่อนการประมาณสัมพัทธ์และระบุแทน ก xหรือ x.

ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ต่างจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นปริมาณมิติ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือปริมาณไร้มิติ

ในทางปฏิบัติ ไม่ใช่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ถูกพิจารณา แต่เป็นข้อผิดพลาดที่เรียกว่าขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: ตัวเลขดังกล่าว อี กมากกว่าที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการประมาณค่าที่ต้องการไม่สามารถเป็นได้

ดังนั้น, ก x อี ก .

ก อยู่ที่" ชม. ก-- ขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณค่า เป็นค่าประมาณของตัวเลขในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก ก x ชม กและด้วยเหตุนี้

แน่นอนว่าจะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ อีเมื่อตรงตามเงื่อนไขจะเป็นขอบเขตข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ในทางปฏิบัติ มักจะทราบการประมาณค่าบางอย่าง เอ็กซ์ปริมาณ เป็นค่าประมาณของตัวเลขและขีดจำกัดข้อผิดพลาดที่แน่นอน จากนั้นขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะถือเป็นตัวเลข

ภูมิภาคซาคาลิน

"โรงเรียนอาชีวศึกษาที่ 13"

แนวทางสำหรับ งานอิสระนักเรียน

อเล็กซานดรอฟสค์-ซาคาลินสกี้

ค่าประมาณของปริมาณและข้อผิดพลาดในการประมาณ: วิธีการระบุ / คอมพ์

GBOU NPO "โรงเรียนอาชีวศึกษาหมายเลข 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

แนวปฏิบัตินี้จัดทำขึ้นสำหรับนักศึกษาทุกสาขาอาชีพที่กำลังศึกษาหลักสูตรคณิตศาสตร์

ประธานกรรมการ มค

ค่าประมาณของขนาดและค่าคลาดเคลื่อนของการประมาณ

บ้าน

, เขียนไว้ดังนี้: .

= 3.756 - 3.7 = 0.056 หากเราใช้ 3.8 เป็นค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาดจะเท่ากับ: Δ ในทางปฏิบัติ ข้อผิดพลาดในการประมาณมักถูกใช้บ่อยที่สุด Δ และค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ | - ต่อไปนี้เราจะเรียกค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ว่า- การประมาณค่าหนึ่งจะถือว่าดีกว่าอีกค่าหนึ่ง หากความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณครั้งแรกน้อยกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณครั้งที่สอง เช่น การประมาณ 3.8 สำหรับหมายเลข 3.756 นั้นดีกว่าการประมาณ 3.7 เพราะสำหรับการประมาณครั้งแรก
|Δ การประมาณครั้งที่สอง เช่น การประมาณ 3.8 สำหรับหมายเลข 3.756 นั้นดีกว่าการประมาณ 3.7 เพราะสำหรับการประมาณครั้งแรก Δ | = |0,056| = 0,056.

|แล้วความแตกต่าง | < ε .

ถ้าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณนี้น้อยกว่า< 0,1.

ในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก

< เป็นค่าประมาณของตัวเลข ในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก ถ้า , ที่ เป็นค่าประมาณของตัวเลข เรียกว่าค่าประมาณของตัวเลข.

ในความอุดมสมบูรณ์< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

|จะเป็นค่าประมาณของผลรวม | < |ก | + |และ |.

ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองตัวใดๆ จะไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์

ข้อผิดพลาด

ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่แน่นอน x และค่าประมาณ a เรียกว่าข้อผิดพลาดของจำนวนโดยประมาณนี้ หากทราบแล้วว่า | x - ก |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

อัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่าง. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

จริงหรือ,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. ไม้บรรทัดธรรมดาสามารถวัดความยาวได้แม่นยำแค่ไหน?

2.นาฬิกามีความเที่ยงตรงแค่ไหน?

3. คุณรู้หรือไม่ว่าเครื่องชั่งไฟฟ้าสมัยใหม่สามารถวัดน้ำหนักตัวได้อย่างแม่นยำเพียงใด?

4. ก) จำนวนดังกล่าวอยู่ภายในขีดจำกัดใด? เป็นค่าประมาณของตัวเลข ถ้าค่าประมาณที่มีความแม่นยำ 0.01 เท่ากับ 0.99?

b) จำนวนนั้นมีอยู่ในขีดจำกัดใด? เป็นค่าประมาณของตัวเลข ถ้าค่าประมาณที่มีข้อเสียตรงถึง 0.01 คือ 0.99 ล่ะ?

c) ขีดจำกัดของจำนวนคืออะไร? เป็นค่าประมาณของตัวเลข ถ้าค่าประมาณที่เกิน 0.01 เท่ากับ 0.99?

5. ตัวเลขประมาณไหนครับ π µ3.1415 ดีกว่า: 3.1 หรือ 3.2?

6. ค่าประมาณของตัวเลขจำนวนหนึ่งที่มีความแม่นยำ 0.01 ถือเป็นค่าประมาณของตัวเลขเดียวกันที่มีความแม่นยำ 0.1 ได้หรือไม่? แล้วในทางกลับกันล่ะ?

7. บนเส้นจำนวนจะมีการระบุตำแหน่งของจุดที่สอดคล้องกับตัวเลข เป็นค่าประมาณของตัวเลข - ระบุในบรรทัดนี้:

ก) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าประมาณของตัวเลข เป็นค่าประมาณของตัวเลข มีข้อเสียด้วยความแม่นยำ 0.1;

b) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าโดยประมาณของตัวเลข เป็นค่าประมาณของตัวเลข เกินด้วยความแม่นยำ 0.1;

c) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าประมาณของตัวเลข เป็นค่าประมาณของตัวเลข ด้วยความแม่นยำ 0.1

8. ในกรณีใดคือค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองตัว:

ก) น้อยกว่าผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขเหล่านี้

b) เท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขเหล่านี้?

9. พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) | เอบี | < |ก| + |และ - ข)* | ก - ข | > ||เป็นค่าประมาณของตัวเลข | - | และ ||.

เครื่องหมายเท่ากับเกิดขึ้นในสูตรเหล่านี้เมื่อใด

วรรณกรรม:

1. บาชมาคอฟ ( ระดับพื้นฐาน) เกรด 10-11 – ม., 2012

2. บาชมาคอฟ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 การรวบรวมปัญหา - อ: ศูนย์สำนักพิมพ์ "Academy", 2551

3. Mordkovich: เอกสารอ้างอิง: หนังสือสำหรับนักเรียน - 2nd ed. - M.: การศึกษา, 1990

4. พจนานุกรมสารานุกรมนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์ .-ม.: การสอน, 2532

หน้า 2

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับค่าประมาณของปริมาณเรียกว่าการคำนวณโดยประมาณ จนถึงปัจจุบันวิทยาศาสตร์ทั้งหมดของการคำนวณโดยประมาณได้ถูกสร้างขึ้นซึ่งเป็นบทบัญญัติหลายประการที่เราจะคุ้นเคยในอนาคต

ผลการวัดจะให้ค่าประมาณของปริมาณเสมอ นี่เป็นเพราะความไม่ถูกต้องของการวัดเองและความแม่นยำที่ไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัด

สิ่งที่เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าประมาณของปริมาณ

ในตาราง รูปที่ 25 แสดงค่าโดยประมาณของ /Ci/ - d ที่แอมพลิจูดต่างๆ Um0 สำหรับไดโอด 6X6 ที่โหลดด้วยความต้านทาน R0 5 มก. ตารางนี้เรียบเรียงโดยศาสตราจารย์

ตารางทางคณิตศาสตร์มักจะให้ค่าประมาณของปริมาณ กรณีนี้ถือว่าค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ไม่เกินครึ่งหน่วยของหลักสุดท้าย

ในกรณีนี้จำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของปริมาณโดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่ควรเกินค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้า บน บทเรียนนี้ปัญหาประเภทนี้จะได้รับการพิจารณา

หากในค่าที่แน่นอนหรือค่าโดยประมาณที่กำหนด จำนวนหลักมากกว่าที่จำเป็นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ ตัวเลขนี้จะถูกปัดเศษ การดำเนินการของการปัดเศษตัวเลขประกอบด้วยการทิ้งตัวเลขลำดับต่ำหลายตัวแล้วแทนที่ด้วยศูนย์ ในกรณีนี้ หลักสุดท้ายที่เก็บไว้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากหลักแรกที่ทิ้งน้อยกว่า 5 หากเท่ากับหรือมากกว่า 5 แสดงว่าหลักของหลักสุดท้ายที่ค้างไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่ง

ให้เราตกลงที่จะสมมติว่าค่าโดยประมาณของปริมาณตัวเลขทั้งหมดถูกต้องหากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เกินครึ่งหน่วยของหลักสุดท้าย

ด้วยการปัดเศษนี้ ตัวเลขที่แสดงค่าโดยประมาณของปริมาณจะประกอบด้วยตัวเลขที่ถูกต้อง และตัวเลขต่ำสุดของตัวเลขนี้ (ตัวสุดท้ายในบันทึก) มีความแม่นยำเท่ากับ 1 ของตัวเลขเดียวกัน ตัวอย่างเช่น รายการ t3 68 kg หมายถึง t3 68 0 01 kg และรายการ t3 680 kg หมายถึง t3 680 0 001 kg

จากสมการเป็นที่ชัดเจนว่าผลรวมของค่าโดยประมาณของปริมาณ A และผลรวมของข้อผิดพลาดคือค่าโดยประมาณของผลรวมของปริมาณ X และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

N) ใน (1) หมายถึงค่าโดยประมาณของปริมาณ y (xi, x0, g/o) ที่ได้จากวิธีการที่กำลังพิจารณา

ตามกฎแล้วการคำนวณจะทำด้วยค่าประมาณของปริมาณ - ตัวเลขโดยประมาณ การประมาณข้อผิดพลาดที่สมเหตุสมผลในการคำนวณช่วยให้คุณสามารถระบุจำนวนหลักที่เหมาะสมที่สุดที่ควรเก็บไว้ระหว่างการคำนวณรวมถึงผลลัพธ์สุดท้าย

จากการคำนวณ คุณสามารถรับค่าที่แน่นอนหรือค่าโดยประมาณของปริมาณได้ ในกรณีนี้ สัญญาณที่เพียงพอว่าผลการนับใกล้เข้ามาแล้วคือการมีคำตอบที่แตกต่างกันระหว่างการคำนวณซ้ำ

ในความเป็นจริง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต X จะให้ค่าโดยประมาณของค่า a xf แก่เขาเท่านั้น และหากแผนการทดลองของเขาไม่น่าพอใจหรือเครื่องมือได้รับการทดสอบไม่ดี (เช่น ไม้บรรทัดวัดแทน 1 เมตรจะเท่ากับ 0 999 มม.) ไม่ว่าผู้สังเกตการณ์ของเราจะค้นหาค่า a ได้แม่นยำเพียงใด เขาก็ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่า X หรือ a สอดคล้องกับค่าที่แท้จริงของความเร็วของเสียง ซึ่งสามารถสังเกตได้จากการทดลองอื่นๆ ที่หลากหลาย สมมติฐานหลักที่จะพิสูจน์การประยุกต์ใช้วิธีค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับการวัดทางกายภาพประเภทนี้คือ สมมติฐานที่ว่าปริมาณที่ไม่ทราบคือ xf หรืออีกนัยหนึ่งคือการวัด (หรือการคำนวณ) ดำเนินการโดยไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

ในทางปฏิบัติ เมื่อทำการวัดพื้นที่ เรามักจะใช้ค่าโดยประมาณ

การแนะนำ

ข้อผิดพลาดแน่นอน- เป็นการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนในการวัดสัมบูรณ์ คำนวณแล้ว ในรูปแบบที่แตกต่างกัน- วิธีการคำนวณถูกกำหนดโดยการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ขึ้นอยู่กับการแจกแจงของตัวแปรสุ่มอาจแตกต่างกัน ถ้า เป็นค่าที่วัดได้และเป็นค่าจริง ความไม่เท่าเทียมกันจะต้องพอใจกับความน่าจะเป็นที่แน่นอนใกล้กับ 1 หากมีการกระจายตัวแปรสุ่มตามกฎปกติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักจะถือเป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะวัดในหน่วยเดียวกับปริมาณ

มีหลายวิธีในการเขียนปริมาณพร้อมกับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

· โดยทั่วไปจะใช้สัญกรณ์ที่มีเครื่องหมาย ± ตัวอย่างเช่น สถิติ 100 เมตรที่ตั้งไว้ในปี 1983 คือ 9.930±0.005 วินาที.

· หากต้องการบันทึกปริมาณที่วัดด้วยความแม่นยำสูงมาก จะใช้สัญลักษณ์อื่น: ตัวเลขที่สอดคล้องกับข้อผิดพลาดของหลักสุดท้ายของแมนทิสซาจะถูกเพิ่มในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น ค่าที่วัดได้ของค่าคงที่ของ Boltzmann คือ 1.380 6488 (13)?10 ?23 เจ/เคซึ่งสามารถเขียนได้ยาวกว่ามากเช่น 1.380 6488?10 ?23 ±0.000 0013?10 ?23 เจ/เค.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์- ข้อผิดพลาดในการวัด ซึ่งแสดงเป็นอัตราส่วนของข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ต่อค่าจริงหรือค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้ (RMG 29-99):

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือปริมาณที่ไม่มีมิติหรือวัดเป็นเปอร์เซ็นต์

การประมาณ

มีส่วนเกินและไม่เพียงพอ? ในกระบวนการคำนวณเรามักจะต้องจัดการกับตัวเลขโดยประมาณ อนุญาต ก- ค่าที่แน่นอนอันมีค่าอันหนึ่งซึ่งต่อไปจะเรียกว่า หมายเลขที่แน่นอน Aภายใต้มูลค่าโดยประมาณ เอ,หรือ ตัวเลขโดยประมาณหมายเลขที่เรียก กโดยแทนที่ค่าที่แน่นอนของปริมาณ ก.ก อยู่ที่" เป็นค่าประมาณของตัวเลข< เอ,ที่ เป็นค่าประมาณของตัวเลขเรียกว่าค่าประมาณของตัวเลข และสำหรับการขาดก อยู่ที่" เป็นค่าประมาณของตัวเลข> เอ,- ที่ โดยส่วนเกินเช่น 3.14 เป็นการประมาณตัวเลข รโดยขาดและ 3.15 โดยส่วนเกิน เพื่อระบุลักษณะระดับความแม่นยำของการประมาณนี้ จึงใช้แนวคิดนี้ ข้อผิดพลาดหรือ ข้อผิดพลาด

ความแม่นยำ D เป็นค่าประมาณของตัวเลขจำนวนโดยประมาณ เป็นค่าประมาณของตัวเลขเรียกว่ามีความแตกต่างกันของรูปแบบ

ดี ก = ก-เอ,

ที่ไหน ก- จำนวนที่แน่นอนที่สอดคล้องกัน

จากรูปจะเห็นได้ว่าความยาวของส่วน AB อยู่ระหว่าง 6 ซม. ถึง 7 ซม.

ซึ่งหมายความว่า 6 คือค่าโดยประมาณของความยาวของส่วน AB (เป็นเซนติเมตร) > ที่มีข้อบกพร่อง และ 7 คือส่วนที่เกิน

แสดงถึงความยาวของส่วนด้วยตัวอักษร y เราจะได้: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина ส่วน AB (ดูรูปที่ 149) อยู่ใกล้กับ 6 ซม. มากกว่า 7 ซม. ประมาณเท่ากับ 6 ซม. พวกเขาบอกว่าได้ตัวเลข 6 จากการปัดเศษความยาวของส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม

อ่านอะไรอีก.

ทูน่าคาร์ปาชโชกับมัสตาร์ด ปลาทูน่าเป็นปลาที่ไม่เพียงแต่มีรสชาติที่ยอดเยี่ยม แต่ยังเตรียมได้ง่ายอีกด้วย มีอยู่...

ซี่โครงหมูในซอสน้ำผึ้ง: สูตรโฮมเมด และโดยทั่วไปแล้วสูตรการเตรียมน้ำผึ้งและซีอิ๊วจะทำให้ทุกคนพอใจ! สุดท้ายก็ออกมาพร้อมกับรสหวานอมเปรี้ยว...

สิ่งที่ต้องปรุงเป็นอาหารกลางวันอย่างรวดเร็วง่ายอร่อยและราคาไม่แพง: สูตรอาหารพร้อมรูปถ่าย ซุปไก่หนา แน่นอนว่าแม่บ้านทุกคนคิดเมนูอาหารให้ครอบครัวแทบทุกวัน อาหารเช้า กลางวัน และเย็น เป็น...