ความชันเชิงลบ สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

บ้าน ในบทที่แล้วแสดงให้เห็นว่าการเลือกระบบพิกัดบนเครื่องบินทำให้เราสามารถทำได้คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ซึ่งแสดงลักษณะของจุดของเส้นที่กำลังพิจารณา จะถูกแสดงเชิงวิเคราะห์ด้วยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง บทนี้จะกล่าวถึงสมการเส้นตรง

ในการสร้างสมการสำหรับเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

ขั้นแรก เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่แสดงลักษณะของเส้นตรงบนระนาบ

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนแกน Ox เพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือกลายเป็นขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ผ่านมุม 180° จะทำให้แกนนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรงอีกครั้ง จึงไม่สามารถเลือกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนได้อย่างชัดเจน (ขึ้นอยู่กับเทอมที่เป็นผลคูณของ ) .

แทนเจนต์ของมุมนี้จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมจึงไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox เรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงลักษณะของเส้นตรง (เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองทิศทางที่ตรงข้ามกันของเส้นตรง) ถ้าความลาดชัน เส้นตรงเท่ากับศูนย์ แล้วเส้นขนานกับแกน x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เรากำลังพิจารณาที่นี่ว่าเล็กที่สุดค่าบวก

มุมเอียง) (รูปที่ 39); ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมมากเท่าไร มุมเอียงของแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นลบมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Ox ไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ไม่มีค่าแทนเจนต์ของมุม)

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

เส้นตรง y=f(x) จะสัมผัสกับกราฟที่แสดงในรูปที่จุด x0 หากเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด (x0; f(x0)) และมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f"(x0) ค้นหา ค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว การรู้คุณลักษณะของแทนเจนต์ก็ไม่ใช่เรื่องยาก

คุณจะต้อง

• - หนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์
• - ดินสอธรรมดา
• - สมุดบันทึก;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

หากไม่มีค่า f'(x0) แสดงว่าไม่มีค่าแทนเจนต์หรือค่านั้นทำงานในแนวตั้ง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้นจึงชัดเจน ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ – การคำนวณความชันของแทนเจนต์

วาดแทนเจนต์เพิ่มเติมที่จะสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x1, x2 และ x3 และยังทำเครื่องหมายมุมที่เกิดจากแทนเจนต์เหล่านี้ด้วยแกน x (มุมนี้จะถูกนับในทิศทางบวกจากแกนถึง เส้นสัมผัสกัน) ตัวอย่างเช่น มุมซึ่งก็คือ α1 จะเป็นมุมแหลม มุมที่สอง (α2) จะเป็นมุมป้าน และมุมที่สาม (α3) จะเป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสกันขนานกับแกน OX ในกรณีนี้ ค่าแทนเจนต์ของมุมป้านจะเป็นลบ ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมจะเป็นค่าบวก และที่ tg0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

โปรดทราบ

กำหนดมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ได้อย่างถูกต้อง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เส้นเอียงสองเส้นจะขนานกันถ้าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ตั้งฉากถ้าผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เหล่านี้เท่ากับ -1

แหล่งที่มา:

• แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

โคไซน์ก็เหมือนกับไซน์ ถูกจัดเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ "โดยตรง" แทนเจนต์ (ร่วมกับโคแทนเจนต์) จัดเป็นอีกคู่หนึ่งที่เรียกว่า "อนุพันธ์" มีคำจำกัดความหลายประการของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ทำให้สามารถค้นหาแทนเจนต์ที่กำหนดได้ คุณค่าที่ทราบโคไซน์ที่มีค่าเท่ากัน

คำแนะนำ

ลบผลหารของ 1 ด้วยค่าโคไซน์ มุมที่กำหนดและแยกรากที่สองออกจากผลลัพธ์ ซึ่งจะเป็นค่าแทนเจนต์ของมุม ซึ่งแสดงด้วยโคไซน์: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²) โปรดทราบว่าในสูตรโคไซน์อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน ความเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์จะทำให้การใช้นิพจน์นี้สำหรับมุมที่เท่ากับ 90° รวมถึงมุมที่แตกต่างจากค่านี้ด้วยตัวเลขที่ทวีคูณของ 180° (270°, 450°, -90° ฯลฯ)

มีอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณแทนเจนต์จากค่าโคไซน์ที่ทราบ สามารถใช้ได้หากไม่มีข้อจำกัดในการใช้งานของผู้อื่น หากต้องการนำวิธีนี้ไปใช้ ขั้นแรกให้กำหนดค่ามุมจากค่าโคไซน์ที่ทราบ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ จากนั้นเพียงคำนวณแทนเจนต์สำหรับมุมของค่าผลลัพธ์ ใน มุมมองทั่วไปอัลกอริทึมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))

นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกแปลกใหม่ที่ใช้คำจำกัดความของโคไซน์และแทนเจนต์ผ่านมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในคำจำกัดความนี้ โคไซน์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบค่าโคไซน์แล้ว คุณสามารถเลือกความยาวที่สอดคล้องกันของทั้งสองด้านได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า cos(α) = 0.5 ดังนั้นด้านประชิดจะเท่ากับ 10 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 20 ซม. ตัวเลขเฉพาะไม่สำคัญที่นี่ - คุณจะได้รับตัวเลขที่เหมือนกันและถูกต้องพร้อมค่าใด ๆ ที่เหมือนกัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้านที่หายไป - ขาตรงข้าม มันจะเท่ากัน รากที่สองจากความแตกต่างระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองกับขาที่ทราบ: √(20²-10²)=√300 ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้ามและขาที่อยู่ติดกัน (√300/10) - คำนวณและรับค่าแทนเจนต์ที่พบโดยใช้ คำจำกัดความแบบคลาสสิกโคไซน์.

แหล่งที่มา:

• โคไซน์ผ่านสูตรแทนเจนต์

หนึ่งใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนใหญ่มักแสดงด้วยตัวอักษร tg แม้ว่าจะพบการกำหนดสีแทนก็ตาม วิธีที่ง่ายที่สุดในการแทนเจนต์คืออัตราส่วนไซน์ มุมถึงโคไซน์ของมัน มันเป็นเรื่องแปลกเป็นระยะและไม่ใช่ ฟังก์ชั่นต่อเนื่องแต่ละรอบจะเท่ากับตัวเลข Pi และจุดพักสอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของตัวเลขนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากใน หลักสูตรของโรงเรียน- ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี- ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย

จำคำจำกัดความ:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:

กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ก็ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ

โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่าฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่างกันสามารถมีได้ ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์ - นั่นคือสามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้

เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ

มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟฟังก์ชันขึ้นไปสูงชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับกราฟในส่วนที่กำหนด และดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม

มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมเข้า สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ภายใต้หมายเลข

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราเข้าใจแล้ว

เรามาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์

เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดจะเกิดขึ้น มุมแหลม- โดยมีทิศทางแกนบวก ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้าน โดยมีทิศทางแกนบวก เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ

จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันได้

หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์ของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้

ความลาดชันเป็นเส้นตรง ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ งานเหล่านี้เป็นงานสำหรับ:

— การหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเมื่อทราบจุดสองจุดที่ผ่านไป
- การหาค่าแอบซิสซาหรือพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ

Abscissa และลำดับของจุดคืออะไรตามที่อธิบายไว้ในส่วนนี้ ในนั้นเราได้พิจารณาปัญหาหลายประการที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดแล้ว คุณต้องเข้าใจอะไรบ้างสำหรับประเภทของปัญหาที่กำลังพิจารณา ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการของเส้นบน ประสานงานเครื่องบินมีรูปแบบ:

ที่ไหน เค – นี่คือความชันของเส้น

วินาทีต่อไป! ความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง นี่คือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับแกนโอ้.

มีตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา

นั่นคือถ้าเราลดสมการของเส้นตรงให้อยู่ในรูป ย = เคเอ็กซ์ + ขจากนั้นเราสามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ k (สัมประสิทธิ์ความชัน) ได้เสมอ

นอกจากนี้ หากตามเงื่อนไขที่เราสามารถหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงได้ เราก็จะได้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของมัน

ประเด็นทฤษฏีต่อไป!สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดสูตรดูเหมือนว่า:

ให้เราพิจารณาปัญหา (คล้ายกับปัญหาจาก เปิดธนาคารงาน):

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–6;0) และ (0;6)

ในปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือการหาค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน x กับเส้นตรงที่กำหนด เรียกได้ว่าเท่ากับความชัน พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้นตรงและแกน x และ oy:

ค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:

*ขาทั้งสองข้างเท่ากับหก (นี่คือความยาว)

แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรในการหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด แต่นี่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยาวกว่า

คำตอบ: 1

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (5;0) และ (0;5)

จุดของเรามีพิกัด (5;0) และ (0;5) วิธี,

มาเอาสูตรมาเข้ารูปกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข

เราพบว่ามีความลาดชัน เค = – 1.

คำตอบ: –1

ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;6) และ (8;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0;10) และขนานกับเส้นตรง ก ขมีเพลา โอ้.

ในปัญหานี้ คุณสามารถค้นหาสมการของเส้นตรงได้ กให้กำหนดความชันของมัน อยู่ที่เส้นตรง ขความชันจะเท่ากันเนื่องจากขนานกัน ต่อไปคุณจะพบสมการของเส้นตรง ข- จากนั้นเมื่อแทนค่า y = 0 เข้าไปแล้วหาค่า Abscissa แต่!

ในกรณีนี้ การใช้สมบัติความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมจะง่ายกว่า

สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้น (ขนาน) และแกนพิกัดจะคล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านที่ตรงกันจะเท่ากัน

Abscissa ที่ต้องการคือ 40/3

คำตอบ: 40/3

ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และ (–12;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0; –12) และขนานกับเส้นตรง ก- ค้นหาจุดตัดของเส้นตรง ขมีเพลา โอ้.

สำหรับปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือใช้สมบัติของความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม แต่เราจะแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น

เรารู้จุดที่เส้นผ่าน ก- เราสามารถเขียนสมการของเส้นตรงได้ สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้

ตามเงื่อนไข จุดต่างๆ จะมีพิกัด (0;8) และ (–12;0) วิธี,

เรามานึกถึงกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข:

ได้มุมนั้นแล้ว เค = 2/3.

*ค่าสัมประสิทธิ์มุมหาได้จากค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 8 และ 12

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์มุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (0;-12) มีรูปแบบดังนี้

หาค่า ขเราสามารถแทนค่า abscissa และจัดลำดับลงในสมการได้:

ดังนั้นเส้นตรงจึงมีลักษณะดังนี้:

ตอนนี้เพื่อค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกน x ที่ต้องการคุณต้องแทนที่ y = 0:

คำตอบ: 18

ค้นหาพิกัดของจุดตัดแกน โอ้และเส้นที่ผ่านจุด B(10;12) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A(10;24)

ลองหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;0) และ (10;24) กัน

สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้

จุดของเรามีพิกัด (0;0) และ (10;24) วิธี,

เรามานึกถึงกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข

ค่าสัมประสิทธิ์มุมของเส้นขนานจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด B(10;12) มีรูปแบบดังนี้

ความหมาย ขลองค้นหาโดยการแทนที่พิกัดของจุด B(10;12) ลงในสมการนี้:

เราได้สมการเส้นตรง:

เพื่อหาพิกัดของจุดตัดของเส้นนี้กับแกน โอ้จะต้องแทนลงในสมการที่พบ เอ็กซ์= 0:

* ทางออกที่ง่ายที่สุด เมื่อใช้การแปลแบบขนาน เราจะเลื่อนบรรทัดนี้ลงไปตามแนวแกน โอ้ถึงจุด (10;12) การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น 12 หน่วย นั่นคือ จุด A(10;24) “ย้าย” ไปยังจุด B(10;12) และจุด O(0;0) “ย้าย” ไปยังจุด (0;–12) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงที่ได้จะตัดกับแกน โอ้ณ จุด (0;–12)

ลำดับที่ต้องการคือ –12

คำตอบ: –12

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ

3x + 2у = 6มีแกน เฮ้ย.

พิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดกับแกน โอ้มีรูปแบบ (0; ที่- ลองแทนค่าแอบซิสซาเข้าไปในสมการกัน เอ็กซ์= 0 และค้นหาพิกัด:

พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและแกน โอ้เท่ากับ 3

*ระบบได้รับการแก้ไขแล้ว:

คำตอบ: 3

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ

3x + 2y = 6และ ย = – x.

เมื่อให้เส้นตรงสองเส้นมา และคำถามเกี่ยวกับการหาพิกัดของจุดตัดของเส้นเหล่านี้ ระบบของสมการเหล่านี้จะได้รับการแก้ไข:

ในสมการแรกเราแทน - เอ็กซ์แทน ที่:

เลขลำดับมีค่าเท่ากับลบหก.

คำตอบ: – 6

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–2;0) และ (0;2)

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (2;0) และ (0;2)

กำหนดเส้นจุดผ่านด้วยพิกัด (0;4) และ (6;0) เส้น b ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และขนานกับเส้น a ค้นหาจุดตัดของเส้น b กับแกน Ox

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของแกน oy กับเส้นที่ผ่านจุด B (6;4) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A (6;8)

1. จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง สิ่งนี้จะช่วยคุณในการแก้ไขปัญหาประเภทนี้มากมาย

2. ต้องเข้าใจสูตรการหาเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอหากให้พิกัดของจุดสองจุดของมัน

3. จำไว้ว่าความชันของเส้นขนานนั้นเท่ากัน

4. ตามที่คุณเข้าใจ ในปัญหาบางอย่าง การใช้การทดสอบความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมนั้นสะดวก ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวาจา

5. ปัญหาที่มีการกำหนดเส้นสองเส้นและจำเป็นต้องค้นหาจุดตัดหรือกำหนดจุดตัดของเส้นทั้งสองนั้น สามารถแก้ไขได้ด้วยภาพกราฟิก นั่นคือสร้างพวกมันบนระนาบพิกัด (บนแผ่นกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และกำหนดจุดตัดด้วยสายตา *แต่วิธีนี้ใช้ไม่ได้เสมอไป

6. และสุดท้าย. หากให้เส้นตรงและพิกัดของจุดตัดกับแกนพิกัดแล้วในปัญหาดังกล่าวจะสะดวกในการค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมโดยการค้นหาแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น วิธี "มองเห็น" สามเหลี่ยมนี้ซึ่งมีตำแหน่งต่างๆ ของเส้นตรงบนเครื่องบินแสดงไว้ในแผนผังด้านล่าง:

>> มุมตรงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา<<

>> มุมตรงตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา<<

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก