ค้นหาสัญลักษณ์ของนิพจน์ตรีโกณมิติ คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: คู่ คี่ คาบ สัญญาณของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาส

บ้าน

การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก

และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”) มันเกือบจะเหมือนกับในบทเรียนที่แล้ว มีแกน วงกลม มุม ทุกอย่างเป็นระเบียบ เพิ่มหมายเลขควอเตอร์ (ที่มุมของจัตุรัสใหญ่) - ตั้งแต่ตัวแรกถึงตัวที่สี่ ถ้าใครไม่รู้ล่ะ? อย่างที่คุณเห็น ไตรมาส (เรียกอีกอย่างว่าเป็นคำที่สวยงาม

"ควอแดรนท์") จะมีตัวเลขทวนเข็มนาฬิกา เพิ่มค่ามุมบนแกน ทุกอย่างชัดเจนไม่มีปัญหา และมีลูกศรสีเขียวเพิ่มเข้ามา ด้วยข้อดี มันหมายความว่าอะไร? ผมขอเตือนคุณว่าด้านคงที่ของมุม เสมอ ตอกเข้ากับ OX กึ่งแกนบวก ดังนั้นหากเราหมุนด้านที่ขยับได้ของมุมตามลูกศรด้วยเครื่องหมายบวก , เช่น. ตามลำดับตัวเลขไตรมาสจากน้อยไปหามากมุมจะถือว่าเป็นบวก

ตามตัวอย่าง รูปภาพจะแสดงมุมบวกที่ +60° ถ้าเราละมุม ในทิศทางตรงกันข้ามตามเข็มนาฬิกามุมจะถือเป็นลบ

วางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) คุณจะเห็นลูกศรสีน้ำเงินพร้อมเครื่องหมายลบ นี่คือทิศทางของการอ่านค่ามุมลบ ตัวอย่างเช่น มุมลบ (- 60°) จะปรากฏขึ้น และคุณจะเห็นด้วยว่าตัวเลขบนแกนเปลี่ยนไปอย่างไร... ฉันแปลงมันเป็นมุมลบด้วย การนับเลขควอแดรนท์ไม่เปลี่ยนแปลง

นี่คือจุดเริ่มต้นของความเข้าใจผิดครั้งแรก ยังไงล่ะ!? จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมลบบนวงกลมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมบวก!? และโดยทั่วไปปรากฎว่าตำแหน่งเดียวกันของด้านที่กำลังเคลื่อนที่ (หรือจุดบนวงกลมตัวเลข) สามารถเรียกได้ว่าเป็นทั้งมุมลบและมุมบวก!? ใช่. ถูกต้องแล้ว สมมติว่ามุมบวก 90 องศาตัดกับวงกลม เหมือนกันทุกประการ ใช่. ถูกต้องแล้ว สมมติว่ามุมบวก 90 องศาตัดกับวงกลม วางตำแหน่งเป็นมุมลบลบ 270 องศา มุมบวก เช่น ใช้เวลา +110°

ตำแหน่งเป็นมุมลบ -250° ไม่มีคำถาม. สิ่งใดถูกต้อง) การเลือกการคำนวณมุมบวกหรือลบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงาน ถ้าเงื่อนไขไม่บอกอะไร เป็นข้อความที่ชัดเจน เกี่ยวกับสัญลักษณ์ของมุม (เช่น "กำหนดสิ่งที่เล็กที่สุดเชิงบวก

ข้อยกเว้น (เราจะอยู่ได้อย่างไรถ้าไม่มีพวกมัน!) คือความไม่เท่าเทียมกันทางตรีโกณมิติ แต่เราจะเชี่ยวชาญเคล็ดลับนี้

และตอนนี้คำถามสำหรับคุณ ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าตำแหน่งของมุม 110° เหมือนกับตำแหน่งของมุม -250°
ฉันขอบอกเป็นนัยว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับการปฏิวัติโดยสมบูรณ์ ในแบบ 360°... ไม่ชัด? จากนั้นเราก็วาดวงกลม เราวาดมันเองบนกระดาษ ทำเครื่องหมายที่มุม ประมาณ 110° และ เราคิดเหลือเวลาอีกเท่าใดจึงจะเกิดการปฏิวัติเต็มรูปแบบ จะเหลือเพียง 250°...

เข้าใจแล้ว? และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ถ้ามุม 110° และ -250° ครอบครองวงกลม สิ่งเดียวกัน สถานการณ์แล้วไงล่ะ? ใช่ มุมคือ 110° และ -250° เหมือนกันทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
เหล่านั้น. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) และอื่นๆ ตอนนี้มันสำคัญมาก! และในตัวมันเองมีงานมากมายที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและเป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนรู้สูตรการลดลงและความซับซ้อนอื่น ๆ ของตรีโกณมิติในภายหลัง

แน่นอนว่าฉันสุ่มตัวอย่างที่ 110° และ -250° เพียงอย่างเดียว ความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ใช้ได้กับมุมใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม 60° และ -300°, -75° และ 285° และอื่นๆ ขอผมสังเกตทันทีว่ามุมในคู่นี้คือ แตกต่าง.แต่พวกมันมีฟังก์ชันตรีโกณมิติ - เหมือนกัน

ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจว่ามุมลบคืออะไร มันค่อนข้างง่าย ทวนเข็มนาฬิกา - การนับเชิงบวก ระหว่างทาง - เชิงลบ พิจารณามุมบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเรา- จากความปรารถนาของเรา แน่นอนว่าและจากงานด้วย... ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีย้ายฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมลบไปยังมุมบวกและด้านหลัง วาดวงกลมเป็นมุมโดยประมาณ แล้วดูว่าต้องขาดไปเท่าไรจึงจะครบวงรอบ เช่น สูงถึง 360°

มุมที่มากกว่า 360°

ลองจัดการกับมุมที่มากกว่า 360° กัน มีของแบบนี้ด้วยเหรอ? มีแน่นอน จะวาดพวกมันเป็นวงกลมได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! สมมติว่าเราต้องเข้าใจว่ามุม 1,000° จะตกอยู่ในไตรมาสใด อย่างง่ายดาย! เราหมุนทวนเข็มนาฬิกาเต็มหนึ่งรอบ (มุมที่เราได้รับนั้นเป็นค่าบวก!) เราหมุนกลับ 360° เอาล่ะ เดินหน้าต่อไป! หมุนอีกครั้ง - ตอนนี้อยู่ที่ 720° แล้ว เหลือกี่อัน? 280° เลี้ยวเต็มอย่างเดียวไม่พอ... แต่มุมนั้นมากกว่า 270° - และนี่คือเส้นเขตระหว่างควอเตอร์ที่สามและสี่ ดังนั้น มุม 1,000° ของเราจึงตกอยู่ในควอเตอร์ที่สี่ ทั้งหมด.

อย่างที่คุณเห็นมันค่อนข้างง่าย ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่ามุม 1,000° และมุม 280° ซึ่งเราได้รับจากการละทิ้งการปฏิวัติเต็ม "พิเศษ" นั้น พูดอย่างเคร่งครัด แตกต่างมุม แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพวกนี้ เหมือนกันทุกประการ- เหล่านั้น. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° เป็นต้น ถ้าฉันเป็นไซน์ ฉันคงไม่สังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองมุมนี้...

ทำไมทั้งหมดนี้ถึงจำเป็น? ทำไมเราต้องแปลงมุมจากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง? ใช่ ทั้งหมดเพื่อสิ่งเดียวกัน) เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ที่จริงแล้ว การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็นงานหลักของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน และระหว่างทางก็ฝึกศีรษะด้วย)

เรามาฝึกซ้อมกันไหม?)

เราตอบคำถาม สิ่งง่ายๆก่อน

1. มุม -325° อยู่ในควอเตอร์ใด

2. มุม 3000° อยู่ในควอเตอร์ใด

3. มุม -3000° ตกอยู่ในไตรมาสใด

มีปัญหาอะไรไหม? หรือความไม่แน่นอน? มาดูมาตรา 555 การฝึกปฏิบัติเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติกันดีกว่า นั่นเองในบทเรียนแรกของเรื่องนี้” การปฏิบัติงาน..." อย่างละเอียด... อิน เช่นคำถามของความไม่แน่นอนที่จะเป็น ไม่ควร!

4. sin555° มีสัญลักษณ์อะไร?

5. tg555° มีสัญลักษณ์อะไร?

คุณได้ตัดสินใจแล้วหรือยัง? ยอดเยี่ยม! คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? คุณต้องไปที่มาตรา 555... อย่างไรก็ตาม คุณจะได้เรียนรู้การวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติที่นั่น สิ่งที่มีประโยชน์มาก

และตอนนี้คำถามก็ซับซ้อนมากขึ้น

6. ลดนิพจน์ sin777° ให้เป็นไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

7. ลดนิพจน์ cos777° ให้เป็นโคไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

8. ลดนิพจน์ cos(-777°) ให้เป็นโคไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

9. ลดนิพจน์ sin777° ให้เป็นไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

อะไร คำถาม 6-9 ทำให้คุณงง? ทำความคุ้นเคยกับมันแล้ว ในการสอบ Unified State คุณจะไม่พบสูตรดังกล่าว... ยังไงก็ตาม ฉันจะแปลมันเอง เพียงสำหรับคุณ!

คำว่า "bring an expression to..." หมายถึง การแปลงการแสดงออกให้มีคุณค่า ยังไม่เปลี่ยนแปลงก รูปร่างเปลี่ยนไปตามที่ได้รับมอบหมาย ดังนั้นในงานที่ 6 และ 9 เราจะต้องได้ไซน์ซึ่งข้างในนั้นมีอยู่ มุมบวกที่เล็กที่สุดทุกสิ่งทุกอย่างไม่สำคัญ

ฉันจะแจกคำตอบตามลำดับ (ฝ่าฝืนกฎของเรา) จะทำอย่างไรมีเพียงสองสัญญาณและมีเพียงสี่ในสี่... คุณจะไม่ถูกเลือก

6. บาป 57°

7. คอส(-57°)

8.คอส57°.

9. -ซิน(-57°)

ฉันคิดว่าคำตอบของคำถามที่ 6-9 ทำให้บางคนสับสน โดยเฉพาะ -บาป(-57°)จริงเหรอ?) จริงๆ แล้วในกฎเบื้องต้นสำหรับการคำนวณมุม มีพื้นที่สำหรับข้อผิดพลาด... นั่นคือเหตุผลที่ฉันต้องเรียนบทเรียน: "จะระบุสัญญาณของฟังก์ชันและกำหนดมุมบนวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร" ในมาตรา 555 ให้กล่าวถึงงานที่ 4 - 9 ไว้ด้วย จัดเรียงอย่างดีพร้อมข้อผิดพลาดทั้งหมด และพวกเขาอยู่ที่นี่)

ในบทต่อไป เราจะมาพูดถึงเรเดียนลึกลับและตัวเลข "Pi" มาเรียนรู้วิธีการแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกันอย่างง่ายดายและถูกต้อง และเราจะแปลกใจเมื่อพบว่าข้อมูลพื้นฐานนี้บนเว็บไซต์ เพียงพอแล้ว เพื่อแก้ปัญหาตรีโกณมิติแบบกำหนดเอง!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้มาจากนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินและการวางแนวที่แม่นยำโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลมในขณะที่เข้า หลักสูตรของโรงเรียนศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของสามเหลี่ยมระนาบ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในสหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉาก.

ไซน์ โคไซน์ และการพึ่งพาอื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง มุมที่คมชัดและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของ sin A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:

วงกลมในกรณีนี้คือตัวแทนทุกสิ่ง ค่าที่เป็นไปได้มุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นได้จากรูป แต่ละฟังก์ชันจะมีค่าลบ หรือ ค่าบวกขึ้นอยู่กับขนาดของมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น

มาลองสร้างกัน ตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและหาค่าของปริมาณ

ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยการสุ่ม คำว่า π ในตารางเป็นชื่อเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ได้รับการแนะนำเพื่อสร้างการพึ่งพาสากล เมื่อคำนวณเป็นเรเดียน ความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณา ตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นทำได้ง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจที่สัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน

1. Y = สีแทน x
2. แทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
4. Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:

1. Y = เปล x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
4. คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
5. Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x ถูกต้อง

เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับจตุภาคพิกัดซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ตัวเลขอยู่เท่านั้น ใน ครั้งสุดท้ายเราเรียนรู้ที่จะแปลงข้อโต้แย้งจากการวัดเรเดียนเป็นการวัดระดับ (ดูบทเรียน “ การวัดเรเดียนและองศาของมุม”) จากนั้นจึงกำหนดไตรมาสของพิกัดเดียวกันนี้ ทีนี้เรามาพยายามหาสัญลักษณ์ของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์กันดีกว่า

ไซน์ของมุม α คือพิกัด (พิกัด y) ของจุดบน วงกลมตรีโกณมิติซึ่งเกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

โคไซน์ของมุม α คือพิกัด x) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

แทนเจนต์ของมุม α คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ หรือที่เหมือนกัน คืออัตราส่วนของพิกัด y กับพิกัด x

สัญกรณ์: บาป α = y ; cos α = x ; ทีจี α = y : x .

คำจำกัดความทั้งหมดนี้คุ้นเคยกับคุณจากพีชคณิตระดับมัธยมปลาย อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจคำจำกัดความของตัวเอง แต่สนใจในผลที่ตามมาที่เกิดขึ้นกับวงกลมตรีโกณมิติ ลองดู:

สีฟ้าบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OY (แกนพิกัด) สีแดงบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OX (แกน abscissa) บน "เรดาร์" นี้ สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะชัดเจน โดยเฉพาะ:

1. sin α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ II เนื่องจากตามคำจำกัดความแล้ว ไซน์เป็นพิกัด (พิกัด y) และพิกัด y จะเป็นค่าบวกอย่างแม่นยำในไตรมาสพิกัด I และ II
2. cos α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัดที่ 1 หรือ 4 เพราะมีเพียงพิกัด x (หรือที่รู้จักกันในชื่อ abscissa) เท่านั้นที่จะมากกว่าศูนย์
3. tan α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ III สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความ: ท้ายที่สุดแล้ว tan α = y : x ดังนั้นจึงเป็นบวกเฉพาะในกรณีที่สัญญาณของ x และ y ตรงกันเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในไตรมาสพิกัดแรก (ในที่นี้ x > 0, y > 0) และไตรมาสพิกัดที่สาม (x< 0, y < 0).

เพื่อความชัดเจน เราจะสังเกตเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชัน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ บน "เรดาร์" ที่แยกจากกัน เราได้รับภาพต่อไปนี้:

หมายเหตุ: ในการสนทนา ฉันไม่เคยพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สี่ - โคแทนเจนต์เลย ความจริงก็คือสัญญาณโคแทนเจนต์ตรงกับสัญญาณแทนเจนต์ - ไม่มีกฎพิเศษในนั้น

ตอนนี้ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกับปัญหา B11 จาก ทดลองสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งจัดขึ้นเมื่อวันที่ 27 กันยายน พ.ศ. 2554 หลังจากนั้น วิธีที่ดีที่สุดทฤษฎีความเข้าใจคือการปฏิบัติ แนะนำให้ฝึกเยอะๆ แน่นอนว่าเงื่อนไขของภารกิจมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย

งาน. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติและนิพจน์ (ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันเอง):

1. บาป(3π/4);
2. คอส(7π/6);
3. ทีจี(5π/3);
4. บาป (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. บาป (5π/6) cos (7π/4);
7. สีแทน (3π/4) cos (5π/3);
8. กะรัต (4π/3) tg (π/6)

แผนปฏิบัติการมีดังนี้ ขั้นแรกเราจะแปลงมุมทั้งหมดจากการวัดเรเดียนเป็นองศา (π → 180°) จากนั้นดูว่าตัวเลขผลลัพธ์นั้นอยู่ในพิกัดไตรมาสใด เมื่อรู้ไตรมาสแล้วเราสามารถค้นหาสัญญาณได้อย่างง่ายดาย - ตามกฎที่อธิบายไว้ เรามี:

1. บาป (3π/4) = บาป (3 · 180°/4) = บาป 135° เนื่องจาก 135° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด II แต่ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวก ดังนั้นบาป (3π/4) > 0;
2. คอส (7π/6) = คอส (7 · 180°/6) = คอส 210° เพราะ 210° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด III ซึ่งโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos(7π/6)< 0;
3. ค่า tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300° ตั้งแต่ 300° ∈ เราอยู่ในควอเตอร์ที่ 4 ซึ่งเป็นจุดที่แทนเจนต์เกิดขึ้น ค่าลบ- ดังนั้น สีแทน (5π/3)< 0;
4. บาป (3π/4) cos (5π/6) = บาป (3 180°/4) cos (5 180°/6) = บาป 135° cos 150° มาจัดการกับไซน์กันดีกว่า: เพราะว่า 135° ∈ นี่คือควอเตอร์ที่สองที่ไซน์เป็นบวก เช่น sin (3π/4) > 0 ตอนนี้เราทำงานกับโคไซน์: 150° ∈ - อีกครั้งในไตรมาสที่สอง โคไซน์ที่เป็นลบ ดังนั้น cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45° เราดูที่โคไซน์: 120° ∈ คือควอเตอร์ของพิกัด II ดังนั้น cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. อีกครั้งที่เราได้รับผลิตภัณฑ์ที่ปัจจัยมีสัญญาณที่แตกต่างกัน เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้ลบ” เรามี: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. บาป (5π/6) cos (7π/4) = บาป (5 180°/6) cos (7 180°/4) = บาป 150° cos 315° เราทำงานกับไซน์: ตั้งแต่ 150° ∈ , เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไตรมาสพิกัด II โดยที่ไซน์เป็นบวก ดังนั้น sin (5π/6) > 0 ในทำนองเดียวกัน 315° ∈ คือควอเตอร์พิกัด IV ซึ่งโคไซน์นั้นเป็นค่าบวก ดังนั้น cos (7π/4) > 0 เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนบวกสองตัว - นิพจน์ดังกล่าวจะเป็นค่าบวกเสมอ เราสรุปได้ว่า: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300° แต่มุม 135° ∈ คือควอเตอร์ที่สอง นั่นคือ ทีจี(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้เครื่องหมายลบ” เรามี: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. กะรัต (4π/3) กะรัต (π/6) = กะรัต (4 180°/3) กะรัต (180°/6) = กะรัต 240° กะ 30° เราดูที่อาร์กิวเมนต์โคแทนเจนต์: 240° ∈ คือควอเตอร์พิกัด III ดังนั้น ctg (4π/3) > 0 ในทำนองเดียวกัน สำหรับแทนเจนต์ที่เรามี: 30° ∈ คือควอเตอร์พิกัด I กล่าวคือ มุมที่ง่ายที่สุด ดังนั้น สีแทน (π/6) > 0 เรามีสำนวนเชิงบวกสองสำนวนเหมือนเดิม - ผลคูณของสำนวนนั้นก็จะเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น cot (4π/3) tg (π/6) > 0

สุดท้ายนี้ เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กัน นอกจากการหาสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คุณจะต้องคำนวณเล็กๆ น้อยๆ ตรงนี้ด้วย เช่นเดียวกับที่ทำในโจทย์จริง B11 โดยหลักการแล้ว ปัญหาเหล่านี้เกือบจะเป็นปัญหาจริงที่ปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.64 และ α ∈ [π/2; พาย].

เนื่องจากบาป 2 α = 0.64 เรามี: sin α = ±0.8 สิ่งที่เหลืออยู่คือการตัดสินใจ: บวกหรือลบ? โดยเงื่อนไข มุม α ∈ [π/2; π] คือควอเตอร์พิกัด II โดยที่ไซน์ทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้น sin α = 0.8 - ความไม่แน่นอนพร้อมสัญญาณจะถูกกำจัด

งาน. ค้นหา cos α ถ้า cos 2 α = 0.04 และ α ∈ [π; 3π/2].

เราทำเช่นเดียวกันนั่นคือ สารสกัด รากที่สอง: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2 ตามเงื่อนไข มุม α ∈ [π; 3π/2] กล่าวคือ เรากำลังพูดถึงไตรมาสพิกัดที่สาม โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos α = −0.2

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.25 และ α ∈

เรามี: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5 เราดูมุมอีกครั้ง: α ∈ คือไตรมาสพิกัด IV ซึ่งดังที่เราทราบ ไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: sin α = −0.5

งาน. ค้นหา tan α ถ้า tan 2 α = 9 และ α ∈

ทุกอย่างเหมือนกันหมด เฉพาะแทนเจนต์เท่านั้น แยกรากที่สอง: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3 แต่ตามเงื่อนไข มุม α ∈ คือควอเตอร์พิกัด I ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด รวมถึง แทนเจนต์ มีบวก ดังนั้น tan α = 3 แค่นั้นแหละ!

หากคุณคุ้นเคยแล้ว วงกลมตรีโกณมิติ และคุณเพียงต้องการรีเฟรชหน่วยความจำขององค์ประกอบบางอย่างหรือคุณใจร้อนโดยสิ้นเชิงนี่คือ:

ที่นี่เราจะวิเคราะห์ทุกอย่างโดยละเอียดทีละขั้นตอน

วงกลมตรีโกณมิติไม่ใช่สิ่งหรูหรา แต่เป็นสิ่งจำเป็น

ตรีโกณมิติ หลายคนเชื่อมโยงมันกับไม้พุ่มที่ผ่านเข้าไปไม่ได้ ทันใดนั้น ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมากมาย มีสูตรมากมายกองรวมกัน...แต่เหมือนว่ามันไม่ได้ผลตั้งแต่แรก และ... ไปกันเลย... เข้าใจผิดกันหมด...

มันสำคัญมากที่จะไม่ยอมแพ้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, - พวกเขาบอกว่าคุณสามารถดูเดือยด้วยตารางค่าได้ตลอดเวลา

หากคุณกำลังดูตารางที่มีค่าของสูตรตรีโกณมิติอยู่ตลอดเวลา เรามากำจัดนิสัยนี้กันเถอะ!

เขาจะช่วยเราเอง! คุณจะต้องทำงานกับมันหลายครั้ง และจากนั้นมันก็จะผุดขึ้นมาในหัวของคุณ ดีกว่าโต๊ะยังไง? ใช่ ในตารางคุณจะพบค่าจำนวนจำกัด แต่บนวงกลม - ทุกอย่าง!

เช่น พูดขณะมองดู ตารางมาตรฐานของค่าสูตรตรีโกณมิติ , ทำไม เท่ากับไซน์พูดว่า 300 องศาหรือ -45

ไม่มีทาง?.. คุณสามารถเชื่อมต่อได้แน่นอน สูตรลด... และเมื่อดูวงกลมตรีโกณมิติแล้ว ก็สามารถตอบคำถามดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย แล้วคุณจะรู้ได้อย่างไร!

และเมื่อตัดสินใจแล้ว สมการตรีโกณมิติและอสมการที่ไม่มีวงกลมตรีโกณมิติ - ไม่มีเลย

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

ไปตามลำดับกันเลย

ก่อนอื่น เรามาเขียนชุดตัวเลขนี้กันก่อน:

และตอนนี้:

และสุดท้ายอันนี้:

แน่นอนว่า เป็นที่แน่ชัดว่า ที่จริงแล้ว อันดับแรกคือ ลำดับที่สองคือ และอันดับสุดท้ายคือ นั่นคือเราจะสนใจโซ่มากขึ้น

แต่มันออกมาสวยงามขนาดไหน! หากมีสิ่งใดเกิดขึ้น เราจะฟื้นฟู “บันไดมหัศจรรย์” นี้

และทำไมเราถึงต้องการมัน?

สายโซ่นี้เป็นค่าหลักของไซน์และโคไซน์ในไตรมาสแรก

ให้เราวาดวงกลมที่มีหน่วยรัศมีในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (นั่นคือ เราหารัศมีตามความยาวใดๆ แล้วประกาศความยาวของรัศมีเป็นหน่วย)

จากลำแสง "0-Start" เราวางมุมตามทิศทางของลูกศร (ดูรูป)

เราได้จุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม ดังนั้นหากเราฉายจุดบนแต่ละแกน เราจะได้ค่าจากห่วงโซ่ข้างต้นอย่างแน่นอน

ทำไมคุณถึงถาม?

อย่าวิเคราะห์ทุกอย่าง ลองพิจารณาดู หลักการซึ่งจะช่วยให้คุณรับมือกับสถานการณ์อื่นที่คล้ายคลึงกันได้

สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมี . และเรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุม b มีขาครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก (เรามีด้านตรงข้ามมุมฉาก = รัศมีของวงกลม นั่นคือ 1)

ซึ่งหมายถึง AB= (และดังนั้น OM=) และตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ฉันหวังว่าบางสิ่งบางอย่างจะชัดเจนขึ้นแล้ว?

ดังนั้นจุด B จะสอดคล้องกับค่า และจุด M จะสอดคล้องกับค่า

เช่นเดียวกับค่าอื่น ๆ ของไตรมาสแรก

ตามที่เข้าใจแกนที่คุ้นเคย (วัว) จะเป็น แกนโคไซน์และแกน (oy) – แกนของไซน์ - ภายหลัง.

ทางด้านซ้ายของศูนย์ตามแนวแกนโคไซน์ (ต่ำกว่าศูนย์ตามแนวแกนไซน์) แน่นอนว่าจะต้องมีค่าลบ

ดังนั้น นี่คือผู้ทรงอำนาจ หากไม่มีตรีโกณมิติก็ไม่มีที่ไหนเลย

แต่เราจะพูดถึงวิธีใช้วงกลมตรีโกณมิติค่ะ

ไซนัสตัวเลข กเรียกว่าพิกัดของจุดแทนเลขนี้บนวงกลมเลข ไซน์ของมุมเข้า กเรเดียนเรียกว่าไซน์ของจำนวน ก.

ไซนัส- ฟังก์ชั่นตัวเลข x- ของเธอ ขอบเขตของคำจำกัดความ

ช่วงไซน์- ส่วนจาก -1 ถึง 1 เนื่องจากจำนวนใดๆ ของส่วนนี้บนแกนพิกัดคือเส้นโครงของจุดใดๆ บนวงกลม แต่ไม่มีจุดใดนอกส่วนนี้เป็นเส้นโครงของจุดใดๆ เหล่านี้

คาบไซน์

สัญญาณไซน์:

1. ไซน์เท่ากับศูนย์ที่ โดยที่ n- จำนวนเต็มใดๆ

2. ไซน์เป็นบวกที่ ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

3.ไซน์เป็นลบเมื่อ

ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

ไซนัส- การทำงาน แปลก xและ -xจากนั้นพิกัด - ไซน์ - ก็จะกลายเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามเช่นกัน นั่นก็คือ สำหรับใครก็ตาม x.

1. ไซน์เพิ่มขึ้นในส่วนต่างๆ , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

2. ไซน์ลดลงในส่วนนั้น , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

ที่ ;

ที่ .

โคไซน์

โคไซน์ตัวเลข กเรียกว่า Abscissa ของจุดที่แทนตัวเลขนี้บนวงกลมตัวเลข โคไซน์ของมุมใน กเรเดียนเรียกว่าโคไซน์ของตัวเลข ก.

โคไซน์- ฟังก์ชั่นของตัวเลข ของเธอ ขอบเขตของคำจำกัดความ- เซตของตัวเลขทั้งหมด เนื่องจากสำหรับตัวเลขใดๆ คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดที่เป็นตัวแทนได้

ช่วงโคไซน์- ส่วนจาก -1 ถึง 1 เนื่องจากจำนวนใดๆ ของส่วนนี้บนแกน x คือเส้นโครงของจุดใดๆ บนวงกลม แต่ไม่มีจุดใดนอกส่วนนี้ที่เป็นเส้นโครงของจุดใดๆ เหล่านี้

คาบโคไซน์เท่ากับ ท้ายที่สุดแล้ว ทุกครั้งที่ตำแหน่งของจุดที่แสดงถึงตัวเลขนั้นถูกทำซ้ำทุกประการ

เครื่องหมายโคไซน์:

1. โคไซน์เท่ากับศูนย์ที่ โดยที่ n- จำนวนเต็มใดๆ

2. โคไซน์เป็นบวกเมื่อ , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

3.โคไซน์เป็นลบเมื่อ , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

โคไซน์- การทำงาน สม่ำเสมอ- ประการแรก โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซตของตัวเลขทั้งหมด ดังนั้นจึงมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด และประการที่สอง ถ้าเรากันเลขตรงข้ามสองตัวไว้ตั้งแต่ต้น: xและ -xจากนั้น abscissas - โคไซน์ - จะเท่ากัน นั่นก็คือ

สำหรับใครก็ตาม x.

1. โคไซน์เพิ่มขึ้นในส่วนต่างๆ , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

2. โคไซน์ลดลงในส่วนต่างๆ , ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

ที่ ;

ที่ .

แทนเจนต์

แทนเจนต์ของจำนวนหนึ่งเรียกว่าอัตราส่วนของไซน์ของจำนวนนี้ต่อโคไซน์ของจำนวนนี้:

แทนเจนต์มุมเข้า กเรเดียนคือแทนเจนต์ของตัวเลข ก.

แทนเจนต์- ฟังก์ชั่นของตัวเลข ของเธอ ขอบเขตของคำจำกัดความ- เซตของตัวเลขทั้งหมดที่มีโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากไม่มีข้อจำกัดอื่นในการกำหนดแทนเจนต์ และเนื่องจากโคไซน์เท่ากับศูนย์ที่ แล้ว , ที่ไหน .

ช่วงแทนเจนต์

คาบแทนเจนต์ x(ไม่เท่ากัน) ต่างกันด้วย และลากเส้นตรงผ่านเส้นตรงเส้นนี้จะผ่านจุดกำเนิดพิกัดและตัดเส้นแทนเจนต์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ที- ปรากฎว่า นั่นคือ ตัวเลขคือคาบของแทนเจนต์

เครื่องหมายแทนเจนต์:แทนเจนต์คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ ดังนั้นเขา

1. เท่ากับศูนย์เมื่อไซน์เป็นศูนย์ นั่นคือ เมื่อ ที่ไหน n- จำนวนเต็มใดๆ

2. ค่าบวกเมื่อไซน์และโคไซน์มีสัญญาณเหมือนกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในไตรมาสแรกและไตรมาสที่สามเท่านั้นนั่นคือเมื่อใด , ที่ไหน ก- จำนวนเต็มใดๆ

3. ลบ เมื่อไซน์และโคไซน์มี สัญญาณที่แตกต่างกัน- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในไตรมาสที่สองและสี่เท่านั้นนั่นคือเมื่อใด , ที่ไหน ก- จำนวนเต็มใดๆ

แทนเจนต์- การทำงาน แปลก- ประการแรก ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด และประการที่สอง - เนื่องจากความแปลกของไซน์และความเท่ากันของโคไซน์ ตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์จึงเท่ากับ และตัวส่วนเท่ากับ ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนนี้เองจะเท่ากับ

มันเลยกลายเป็นว่า

วิธี, แทนเจนต์จะเพิ่มขึ้นในแต่ละส่วนของขอบเขตคำจำกัดความนั่นคือ ในทุกช่วงของแบบฟอร์ม , ที่ไหน ก- จำนวนเต็มใดๆ

โคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ของจำนวนหนึ่งเรียกว่าอัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวนนี้ต่อไซน์ของจำนวนนี้: โคแทนเจนต์มุมเข้า กเรเดียนเรียกว่าโคแทนเจนต์ของจำนวน ก. โคแทนเจนต์- ฟังก์ชั่นของตัวเลข ของเธอ ขอบเขตของคำจำกัดความ- เซตของตัวเลขทั้งหมดที่มีไซน์ไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากไม่มีข้อจำกัดอื่นใดในคำจำกัดความของโคแทนเจนต์ และเนื่องจากไซน์เท่ากับศูนย์ที่ แล้วที่ไหน

ช่วงโคแทนเจนต์- เซตของจำนวนจริงทั้งหมด

คาบโคแทนเจนต์เท่ากับ ท้ายที่สุดแล้ว หากเราใช้ค่าที่ถูกต้องสองค่าใดๆ x(ไม่เท่ากัน) ต่างกันด้วย และลากเส้นตรงผ่านพวกมัน แล้วเส้นตรงนี้จะผ่านจุดกำเนิดของพิกัดและตัดเส้นโคแทนเจนต์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ที- ปรากฎว่า นั่นคือ จำนวนนั้นคือคาบของโคแทนเจนต์