หามุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน การหามุมระหว่างเส้นตรง

บ้านมุม

ระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอร์ทิศทางและ: สองตรงขนาน ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือล ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ 1 เส้นขนาน .

เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอร์ทิศทางและ: 2 ถ้าและต่อเมื่อขนานกันตั้งฉาก

ถ้าหากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากับศูนย์: . คุณ

เป้าหมายระหว่างเส้นและระนาบ ให้มันตรงไปง
ให้มันตรงไป- ไม่ตั้งฉากกับระนาบ θ; ให้มันตรงไป′− การฉายเส้น
ไปยังระนาบ θ; ให้มันตรงไปมุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง ให้มันตรงไปและ ′ เราจะโทร.
มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ให้มันตรงไป,θ)
ให้เราแสดงว่ามันเป็น φ=( ให้มันตรงไปถ้า ให้มันตรงไป⊥θ จากนั้น (

,θ)=π/2→อ้อย→เจเค
→− ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

θ: สมการเครื่องบิน:+ขวาน+โดย+ซีซี=0

ดี ให้มันตรงไป[เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: 0,ม→]
พี เวกเตอร์→(n,ก,บี)⊥θ
ค เวกเตอร์จากนั้นก็ยังคงต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ ม→ และ เวกเตอร์→,ม→).

→ ให้เราแสดงว่ามันเป็น γ=(<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

ถ้าเป็นมุม γ

ถ้ามุมคือ γ>π/2 มุมที่ต้องการคือ φ=γ−π/2

บาปφ=บาป(2π−γ)=cosγ

sinφ=บาป(γ−2π)=−cosγ แล้ว,มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: บาปφ=∣cosγ∣=∣ ∣ 1+แอพ 2+บีพี 3∣ ∣ √n 2+ก 2+บี 2√ม 21+ม 22+ม 23

ซีพี คำถาม29.

แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เครื่องหมายความแน่นอนของรูปกำลังสองรูปแบบกำลังสอง j (x 1, x 2, …, xn) n ตัวแปรจำนวนจริง x 1, x 2, …, x n
, (1)

เรียกว่าผลรวมของแบบฟอร์ม ที่ไหน ไอจ ที่ไหน = – ตัวเลขบางตัวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า.

จิ รูปทรงกำลังสองเรียกว่าถูกต้อง, ที่ไหน ถ้า Î GR.เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง
เรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน รูปแบบกำลังสอง (1) สอดคล้องกับเมทริกซ์สมมาตรเพียงตัวเดียว นั่นก็คือเอ ที = อ - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () = เอ็กซ์ x ที อา , ที่ไหน = (- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 1 - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 2 … x ต). (2)

เอ็กซ์เอ็น

และในทางกลับกัน เมทริกซ์สมมาตรทุกตัว (2) จะสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองเฉพาะจนถึงสัญลักษณ์ของตัวแปรอันดับของรูปแบบกำลังสอง เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ รูปทรงกำลังสองเรียกว่าถ้าเมทริกซ์ของมันไม่เอกพจน์ ก- (จำได้ว่าเมทริกซ์ กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้าปัจจัยกำหนดไม่เท่ากับศูนย์) มิฉะนั้นรูปแบบกำลังสองจะเสื่อมลง

บวกแน่นอน(หรือเชิงบวกอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () > 0 สำหรับใครก็ตาม - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( = (- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 1 , - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 2 , …, x ต), ยกเว้น - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( = (0, 0, …, 0).

เมทริกซ์ กรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนบวก j ( - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () เรียกอีกอย่างว่าค่าบวกแน่นอน ดังนั้น รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวกจึงสอดคล้องกับเมทริกซ์เฉพาะที่แน่นอนเชิงบวกและในทางกลับกัน

เรียกว่ารูปกำลังสอง (1) กำหนดไว้ในทางลบ(หรือเชิงลบอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () < 0, для любого - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( = (- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 1 , - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( 2 , …, x ต), ยกเว้น - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( = (0, 0, …, 0).

เช่นเดียวกับข้างต้น เมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสองแน่นอนเชิงลบเรียกอีกอย่างว่าลบแน่นอน

ดังนั้น รูปกำลังสองแน่นอนบวก (ลบ) j ( - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () ถึงค่าต่ำสุด (สูงสุด) j ( เอ็กซ์*) = 0 ณ เอ็กซ์* = (0, 0, …, 0).

โปรดทราบว่า ที่สุดรูปแบบกำลังสองไม่มีเครื่องหมายกำหนด กล่าวคือ ไม่เป็นทั้งเชิงบวกและเชิงลบ รูปแบบกำลังสองดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น 0 ไม่เพียงแต่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนที่จุดอื่นๆ ด้วย

เมื่อไร เวกเตอร์> 2 ต้องใช้เกณฑ์พิเศษในการตรวจสอบเครื่องหมายของรูปกำลังสอง มาดูพวกเขากันดีกว่า

ผู้เยาว์รายใหญ่รูปแบบกำลังสองเรียกว่าผู้เยาว์:

นั่นคือเหล่านี้เป็นผู้เยาว์ลำดับที่ 1, 2, ... , เวกเตอร์เมทริกซ์ กซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบน ส่วนสุดท้ายตรงกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก.

เกณฑ์ความชัดเจนเชิงบวก (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)

- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () = เอ็กซ์เป็นบวกแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ค่ารองที่สำคัญทั้งหมดของเมทริกซ์ กเป็นบวก นั่นคือ: ม 1 > 0, เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: 2 > 0, …, มน > 0. เกณฑ์ความแน่นอนเชิงลบ จะได้รูปกำลังสอง j ( - ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j () = เอ็กซ์เป็นลบแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผู้เยาว์หลักของลำดับคู่จะเป็นค่าบวก และลำดับคี่ - ลบ เช่น: ม 1 < 0, เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: 2 > 0, ม 3 < 0, …, (–1)n

คำนิยาม.ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 แล้ว มุมแหลมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้า k 1 = -1/ k 2

ทฤษฎีบท.เส้น Ax + Bу + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 = แลม A, B 1 = แลมบ์เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = แลมซีด้วย แสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม.เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y = kx + b แสดงด้วยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่าน จุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง- กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

เค 1 = -3; เค 2 = 2; ทีจีφ = - φ= พี /4.

ตัวอย่าง- แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน

สารละลาย- เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง- ให้เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

สารละลาย- เราพบสมการของด้าน AB: - 4 x = 6 ปี – 6;

2 x – 3 ปี + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค = . แล้ว ย = . เพราะ ระดับความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดของมันก็จะเป็นไปตามนั้น สมการนี้: จากโดยที่ b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3 x + 2 y – 34 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น ภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น การกำหนดจุดตัดของเส้นสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด n(x 1 , ย 1) ในทิศทางที่กำหนดซึ่งกำหนดโดยความชัน เจ,

ย - ย 1 = เจ(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดเส้นดินสอที่ลากผ่านจุดหนึ่งๆ n(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางลำแสง

2. สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด: n(x 1 , ย 1) และ ก(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง nมุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง กคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก nบริเวณจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง ก- ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

ย = เจ 1 x + ก 1 ,

ย = เจ 2 x + ก 2 , (4)

จากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

ควรสังเกตว่าในตัวเศษของเศษส่วนความชันของเส้นแรกจะถูกลบออกจากความชันของเส้นที่สอง

ถ้าให้สมการเส้นตรงมา มุมมองทั่วไป

n 1 x + ก 1 ย + บี 1 = 0,

n 2 x + ก 2 ย + บี 2 = 0, (6)

มุมระหว่างพวกมันถูกกำหนดโดยสูตร

4. เงื่อนไขความขนานของสองบรรทัด:

ก) หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) ด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

เจ 1 = เจ 2 . (8)

b) สำหรับกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับพิกัดกระแสที่สอดคล้องกันในสมการนั้นเป็นสัดส่วน เช่น

5. เงื่อนไขสำหรับการตั้งฉากของเส้นสองเส้น:

ก) ในกรณีที่เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ (4) ด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากคือ เนินเขามีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่น

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนอยู่ในแบบฟอร์มได้เช่นกัน

เจ 1 เจ 2 = -1. (11)

b) หากสมการของเส้นถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขของการตั้งฉาก (จำเป็นและเพียงพอ) คือการตอบสนองความเท่าเทียมกัน

n 1 n 2 + ก 1 ก 2 = 0. (12)

6. พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นหาได้โดยการแก้ระบบสมการ (6) เส้น (6) ตัดกันก็ต่อเมื่อเท่านั้น

1. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M โดยเส้นหนึ่งขนานและอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด l

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ - นั่นเป็นเหตุผล - เพราะ มุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง , ที่

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง:บนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน โปรดทราบว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยมุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที- อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

หมายเหตุ 2ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว- จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ - ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวมุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง เฮ้ยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปโดยตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกจุดตัดของเส้นด้วย ประสานงานเครื่องบิน- เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว มุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง - ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ตะกั่ว สมการทั่วไปโดยตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

- เพราะฉะนั้น, ถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ: .

มุมระหว่างเส้นตรง

บ้านระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

ก. ให้เส้นตรงสองเส้นดังที่ระบุไว้ในบทที่ 1 ก่อให้เกิดมุมบวกและมุมลบต่างๆ กัน ซึ่งอาจเป็นมุมแหลมหรือมุมป้านก็ได้ เมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหามุมอื่นได้อย่างง่ายดาย

อย่างไรก็ตาม สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ค่าตัวเลขของแทนเจนต์จะเท่ากัน ความแตกต่างจะอยู่ในเครื่องหมายเท่านั้น

สมการของเส้น ตัวเลขคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรกและเส้นที่สอง มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับมุมใดมุมหนึ่งที่เกิดจากเส้นตรง ดังนั้นปัญหาจึงอยู่ที่การกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์

เพื่อความง่าย เราสามารถตกลงกันว่ามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเป็นมุมบวกเฉียบพลัน (ดังตัวอย่างในรูปที่ 53)

แล้วแทนเจนต์ของมุมนี้จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้น หากมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของสูตร (1) เราต้องละทิ้งมัน กล่าวคือ บันทึกเฉพาะค่าสัมบูรณ์เท่านั้น

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ตามสูตร (1) ที่เรามี

กับ. หากระบุว่าด้านใดของมุมเป็นจุดเริ่มต้นและด้านใดเป็นจุดสิ้นสุด เมื่อนับทิศทางของมุมทวนเข็มนาฬิกาเสมอ เราก็สามารถดึงบางสิ่งเพิ่มเติมจากสูตร (1) ได้ ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูป 53 เครื่องหมายที่ได้รับทางด้านขวาของสูตร (1) จะระบุว่ามุมใด - แหลมหรือป้าน - เส้นตรงที่สองก่อตัวขึ้นกับมุมแรก

(อันที่จริง จากรูปที่ 53 เราจะเห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางที่หนึ่งและที่สองนั้นเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างเส้นตรง หรือแตกต่างจากมุมนั้น ±180°)

ง. หากเส้นขนานกัน แล้วเวกเตอร์ทิศทางจะขนานกัน เมื่อใช้เงื่อนไขความขนานของเวกเตอร์สองตัว เราจะได้!

นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันของเส้นสองเส้น

ตัวอย่าง. โดยตรง

ขนานกันเพราะว่า

จ. ถ้าเส้นตั้งฉากแล้วเวกเตอร์ทิศทางก็จะตั้งฉากด้วย เมื่อใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว เราจะได้เงื่อนไขตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น กล่าวคือ

ตัวอย่าง. โดยตรง

ตั้งฉากเพราะว่า

ในการเชื่อมต่อกับเงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉาก เราจะแก้ไขปัญหาสองข้อต่อไปนี้

ฉ. ลากเส้นผ่านจุดที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

การแก้ปัญหาจะดำเนินการเช่นนี้ เนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับเส้นนี้ ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ทิศทางของมัน เราจึงสามารถใช้เส้นเดียวกันกับเส้นที่กำหนดได้ เช่น เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และ B จากนั้นสมการของเส้นที่ต้องการจะถูกเขียนเป็น แบบฟอร์ม (§ 1)

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1; 3) ขนานกับเส้นตรง

จะมีต่อไป!

ก. ลากเส้นผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ในที่นี้มันไม่เหมาะที่จะใช้เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และเป็นเวกเตอร์นำทางอีกต่อไป แต่จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ดังนั้นจึงต้องเลือกเส้นโครงของเวกเตอร์นี้ตามเงื่อนไขความตั้งฉากของเวกเตอร์ทั้งสอง กล่าวคือ ตามเงื่อนไข

เงื่อนไขนี้สามารถบรรลุได้หลายวิธี เนื่องจากนี่คือสมการหนึ่งที่มีไม่ทราบค่าสองตัว แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือเขียนสมการของเส้นที่ต้องการ

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-7; 2) ในเส้นตั้งฉาก

ก็จะมีดังต่อไปนี้(ตามสูตรที่สอง)!

ชม. ในกรณีที่กำหนดเส้นตามสมการของแบบฟอร์ม

จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนทุกคนที่เตรียมสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ซ้ำหัวข้อ "การหามุมระหว่างเส้นตรง" ตามสถิติที่แสดง เมื่อผ่านการทดสอบการรับรอง งานในส่วนของ Stereometry ในส่วนนี้จะทำให้เกิดปัญหา ปริมาณมากนักเรียน. ในเวลาเดียวกัน งานที่ต้องมีการหามุมระหว่างเส้นตรงจะพบได้ในการสอบ Unified State ทั้งแบบพื้นฐานและแบบ ระดับโปรไฟล์- ซึ่งหมายความว่าทุกคนควรจะสามารถแก้ปัญหาได้

ไฮไลท์

พื้นที่มี 4 ประเภท ตำแหน่งสัมพัทธ์ตรง พวกมันสามารถตรงกัน ตัดกัน ขนานหรือตัดกันก็ได้ มุมระหว่างอาจเป็นแบบเฉียบพลันหรือแบบตรง

หากต้องการค้นหามุมระหว่างเส้นในการสอบ Unified State หรือตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเด็กนักเรียนในมอสโกวและเมืองอื่น ๆ สามารถใช้หลายวิธีในการแก้ปัญหาในส่วนนี้ของ Stereometry คุณสามารถทำงานให้สำเร็จได้โดยใช้โครงสร้างแบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้คุณควรเรียนรู้สัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานของสเตอริโอเมทรี นักเรียนจะต้องสามารถให้เหตุผลอย่างมีเหตุมีผลและสร้างภาพวาดเพื่อนำโจทย์ไปสู่ปัญหาแผนผังได้

คุณยังสามารถใช้วิธีการเวกเตอร์พิกัดโดยใช้สูตร กฎ และอัลกอริธึมอย่างง่าย สิ่งสำคัญในกรณีนี้คือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง ฝึกฝนทักษะของคุณในการแก้ปัญหาในด้านสามมิติและด้านอื่น ๆ หลักสูตรของโรงเรียนจะช่วยคุณได้ โครงการการศึกษา"ชโคลโคโว".