พวกมันอยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ไหม? สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: คุณสมบัติ คุณสมบัติ และสูตร ข้อความที่ตัดตอนมาจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

บ้านสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ด้านที่เท่ากันเรียกว่าด้านข้าง และด้านสุดท้ายเรียกว่าฐาน ตามคำนิยามแล้ว สามเหลี่ยมปกติก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

• คุณสมบัติ
• มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีขนาดเท่ากัน เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูงที่ดึงมาจากมุมเหล่านี้ก็เท่ากันเช่นกัน
• เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน ความสูง และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ลากไปยังฐานตรงกัน ศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้และวงกลมที่เขียนไว้จะอยู่บนเส้นนี้

มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันจะมีมุมแหลมเสมอ (ตามมาจากความเท่ากัน) อนุญาตก - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วข α - ความยาวของด้านที่สาม β และ - มุมที่สอดคล้องกันร - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบร

- รัศมีจารึก .

ด้านข้างสามารถพบได้ดังนี้:

มุมสามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

(สูตรของนกกระสา)

• สัญญาณ
• มุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน
• ความสูงตรงกับค่ามัธยฐาน
• ความสูงตรงกับเส้นแบ่งครึ่ง
• เส้นแบ่งครึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับค่ามัธยฐาน
• ความสูงทั้งสองเท่ากัน
• ค่ามัธยฐานทั้งสองมีค่าเท่ากัน

เส้นแบ่งครึ่งสองตัวเท่ากัน (ทฤษฎีบทสไตเนอร์-เลมุส)

ดูเพิ่มเติม

• มูลนิธิวิกิมีเดีย
• 2010.

เขตเทศบาล Gremyachinsky ของภูมิภาคระดับการใช้งาน

นักสืบ (อาชีพ)ดูว่า "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร: สามเหลี่ยม ISOScele

- ISOSceles TRIANGLE, TRIANGLE มีสองด้านที่มีความยาวเท่ากัน มุมที่ด้านพวกนี้ก็เท่ากัน...พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค สามเหลี่ยม

- และ (ง่าย) ตรีโกณมิติ, สามเหลี่ยม, มนุษย์ 1. รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นสามเส้นที่ตัดกันทำให้เกิดมุมภายในสามมุม (เสื่อ) สามเหลี่ยมป้าน. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน สามเหลี่ยมมุมฉาก......พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

สามเหลี่ยม- ▲ รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุม, สามเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ถูกกำหนดด้วยจุด 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน สามเหลี่ยม มุมแหลม มุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก: ขา ด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมหน้าจั่ว … … พจนานุกรมอุดมการณ์ของภาษารัสเซีย

สามเหลี่ยม- TRIANGLE1, a, m ของอะไรหรือด้วย def วัตถุที่มีรูปร่างเป็นรูปทรงเรขาคณิตล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม เธอจัดเรียงจดหมายของสามีเป็นสามเหลี่ยมสีเหลืองจากด้านหน้า สามเหลี่ยม2,ก,ม... ... พจนานุกรมอธิบายคำนามภาษารัสเซีย

สามเหลี่ยม- คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ สามเหลี่ยม (ความหมาย) สามเหลี่ยม (ในปริภูมิแบบยุคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สามจุด,... ... วิกิพีเดีย

สามเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยม)- สามเหลี่ยม: 1 แหลม, สี่เหลี่ยมและป้าน; 2 ปกติ (ด้านเท่ากันหมด) และหน้าจั่ว; 3 เส้นแบ่งครึ่ง; 4 ค่ามัธยฐานและจุดศูนย์ถ่วง 5 ความสูง; 6 ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์; 7 สายกลาง. สามเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมที่มี 3 ด้าน บางครั้งภายใต้... ... พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

สามเหลี่ยม พจนานุกรมสารานุกรม

สามเหลี่ยม- ก; ม. 1) ก) รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยมหน้าจั่ว. คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ข) อ๊อต อะไรหรือกับ def หุ่นหรือวัตถุรูปทรงนี้...... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

สามเหลี่ยม- ก; ม. 1. รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม สี่เหลี่ยมหน้าจั่ว t. คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม // อะไรหรือกับ def รูปร่างหรือวัตถุที่มีรูปร่างเช่นนี้ ต.หลังคา. ต… … พจนานุกรมสารานุกรม

โดยที่ด้านทั้งสองยาวเท่ากัน ด้านที่เท่ากันเรียกว่า ด้านข้าง และด้านที่ไม่เท่ากันสุดท้ายเรียกว่าฐาน ตามคำนิยามแล้ว สามเหลี่ยมปกติก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

คำศัพท์เฉพาะทาง

ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้าน และด้านที่สามเรียกว่าฐาน มุมที่เกิดจากด้านข้างเรียกว่า มุมยอดและมุมซึ่งด้านหนึ่งเป็นฐานเรียกว่ามุม มุมที่ฐาน.

คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ด้านที่เท่ากันเรียกว่าด้านข้าง และด้านสุดท้ายเรียกว่าฐาน ตามคำนิยามแล้ว สามเหลี่ยมปกติก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

• คุณสมบัติ
• มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีขนาดเท่ากัน เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูงที่ดึงมาจากมุมเหล่านี้ก็เท่ากันเช่นกัน

มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันจะมีมุมแหลมเสมอ (ตามมาจากความเท่ากัน) อนุญาตก - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วข ชม.- ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(เป็นผลมาจากทฤษฎีบทโคไซน์)
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(เป็นผลมาจากทฤษฎีบทโคไซน์)
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash คอส\backslash อัลฟา$(ทฤษฎีบทการฉายภาพ)

รัศมีของวงกลมด้านในสามารถแสดงได้หกวิธี ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัวของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ทราบ:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash ชื่อผู้ดำเนินการ(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

มุมสามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash อัลฟา;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(ทฤษฎีบทไซน์)
• มุมยังสามารถหาได้โดยไม่ต้อง $(\backslash ปี่)$- ความยาวของด้านที่สาม $ร$- รูปสามเหลี่ยมถูกแบ่งครึ่งด้วยค่ามัธยฐาน และ ได้รับมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีขนาดเท่ากันถูกคำนวณ:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

ปริมณฑลสามเหลี่ยมหน้าจั่วหาได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• $ป\; =\; 2a\; +\; ข$(ตามคำจำกัดความ);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทไซน์)

สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมนั้นพบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

ดูเพิ่มเติม

เขียนคำวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว"

หมายเหตุ

ข้อความที่ตัดตอนมาจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

Marya Dmitrievna แม้ว่าพวกเขาจะกลัวเธอ แต่ก็ถูกมองว่าเป็นแครกเกอร์ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กดังนั้นจากคำพูดของเธอพวกเขาสังเกตเห็นเพียงคำหยาบคายและพูดซ้ำด้วยเสียงกระซิบต่อกันโดยสมมติว่าคำนี้ เต็มไปด้วยเกลือแห่งสิ่งที่กล่าวมา
เจ้าชายวาซิลีซึ่งเมื่อเร็ว ๆ นี้มักจะลืมสิ่งที่เขาพูดและพูดซ้ำ ๆ กันเป็นร้อยครั้งมักจะพูดทุกครั้งที่พบลูกสาวของเขา
“Helene j"ai un mot a vous dire” เขาบอกเธอแล้วพาเธอไปข้าง ๆ แล้วดึงเธอลงด้วยมือ “J”ai eu vent de somes projets relatifs a... Vous savez Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, chere enfant... ne Consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [เฮเลน ฉันต้องบอกอะไรบางอย่างกับคุณ ฉันเคยได้ยินเกี่ยวกับบางสายพันธุ์เกี่ยวกับ... คุณก็รู้ ลูกรักของฉัน คุณก็รู้ว่าหัวใจของพ่อคุณยินดีที่คุณ.. . คุณอดทนมามาก... แต่ที่รัก... ทำตามที่ใจคุณบอกทั้งหมด] - และเขามักจะซ่อนความตื่นเต้นแบบเดิมไว้เสมอ เขากดแก้มของเขาไปที่แก้มของลูกสาวแล้วเดินจากไป
บิลิบินผู้ไม่เคยสูญเสียชื่อเสียงในฐานะคนที่ฉลาดที่สุดและเป็นเพื่อนที่เฮเลนไม่สนใจ หนึ่งในเพื่อนที่ผู้หญิงเก่งๆ มักมี เพื่อนของผู้ชายที่ไม่มีวันกลายเป็นคู่รักได้ บิลิบินเคยอยู่ในกลุ่มเล็กๆ [แวดวงใกล้ชิดเล็กๆ] แสดงออกมา ถึงเฮเลนเพื่อนของเขาในมุมมองของคุณเองเกี่ยวกับเรื่องทั้งหมดนี้
- Ecoutez, Bilibine (เฮเลนมักจะเรียกเพื่อนแบบ Bilibine ด้วยนามสกุลของพวกเขา) - และเธอก็แตะมือที่มีวงแหวนสีขาวของเธอไปที่แขนเสื้อของเขา – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? เลอเกล เด เดอซ์? [ฟังนะ บิลิบิน: บอกฉันสิ คุณจะบอกน้องสาวคุณว่าอย่างไร ฉันควรทำอย่างไร? อันไหนของทั้งสอง?]
บิลิบินรวบรวมผิวหนังไว้เหนือคิ้วและคิดด้วยรอยยิ้มบนริมฝีปาก
“ Vous ne me prenez pas en ผงะ, vous savez” เขากล่าว - Comme แท้จริง ami j"ai pense et repense a votre allowancee Voyez vous. Si vous epousez le Prince (เป็นชายหนุ่ม)" เขางอนิ้ว "vous perdez pour toujours la Chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour. [คุณจะไม่ทำให้ฉันประหลาดใจเลย ในฐานะเพื่อนแท้ ฉันคิดเกี่ยวกับเรื่องของคุณมานานแล้ว จะเสียโอกาสเป็นภรรยาของผู้อื่นตลอดไปและนอกจากนี้ศาลก็จะไม่พอใจ ท้ายที่สุดแล้ว เครือญาติก็เข้ามาเกี่ยวข้องที่นี่) และถ้าคุณแต่งงานกับเคานต์เก่าคุณก็จะมีความสุขในวันสุดท้ายของเขา แล้ว... มันจะไม่เป็นที่น่าอับอายอีกต่อไปที่เจ้าชายแต่งงานกับหญิงม่ายของขุนนาง] - และบิลิบินก็ปล่อยผิวหนังของเขาออก
– Voila ไม่จริงเลยเพื่อน! - เฮเลนยิ้มแย้มแจ่มใสกล่าวพร้อมใช้มือแตะแขนเสื้อของ Bilibip อีกครั้ง – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [นี่คือเพื่อนแท้! แต่ฉันรักทั้งสองคนและฉันไม่อยากทำให้ใครเสียใจ เพื่อความสุขของทั้งคู่ ฉันยอมสละชีวิต] - เธอพูด
บิลิบินยักไหล่ แสดงว่าแม้เขาไม่สามารถช่วยความเศร้าโศกเช่นนั้นได้อีกต่อไป
“พี่สาวแม่บ้าน! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["ผู้หญิงทำได้ดีมาก! นั่นคือสิ่งที่เรียกว่าถามคำถามอย่างมั่นคง เธออยากเป็นภรรยาของทั้งสามคนในเวลาเดียวกัน เวลา."] - คิดบิลิบิน

1. คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
2. สัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
3. สูตรสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:
   • สูตรความยาวด้าน
   • สูตรสำหรับความยาวของด้านเท่ากัน
   • สูตรสำหรับความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน ด้านเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้างและบุคคลที่สาม - พื้นฐาน.

AB = BC - ด้านข้าง

เอซี-ฐาน

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแสดงผ่าน 5 ทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบท 1ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน

หลักฐานของทฤษฎีบท:

พิจารณาหน้าจั่ว Δ เอบีซี มีฐาน เครื่องปรับอากาศ .

ด้านข้างเท่ากัน เอบี = ดวงอาทิตย์ ,

ดังนั้นมุมที่ฐาน ∠ บ = ∠ บีซีเอ .

ทฤษฎีบทเรื่องเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน ระดับความสูงที่ลากไปยังฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• ทฤษฎีบท 2ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและระดับความสูง
• ทฤษฎีบท 3ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานคือเส้นแบ่งครึ่งและระดับความสูง
• ทฤษฎีบท 4ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ระดับความสูงที่ลากไปยังฐานคือเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน

หลักฐานของทฤษฎีบท:

• ให้ ∆ เอบีซี .
• จากจุด ใน มาวาดความสูงกัน บี.ดี.
• สามเหลี่ยมแบ่งออกเป็น Δ เอบีดี และ ∆ ย่านศูนย์กลางธุรกิจ สามเหลี่ยมพวกนี้เท่ากันเพราะว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาทั่วไปเท่ากัน ()
• โดยตรง เครื่องปรับอากาศ - ความยาวของด้านที่สาม บีดี เรียกว่าตั้งฉาก
• วี เดลต้า เอบีดี และ ∆ บีซีดี ∠แย่ = ∠BCD (จากทฤษฎีบท 1)
• เอบี = พ.ศ - ด้านข้างเท่ากัน
• ภาคี ค.ศ = ซีดี, เพราะ จุด ดี แบ่งส่วนออกครึ่งหนึ่ง
• ดังนั้น ∆ เอบีดี = Δ บีซีดี.
• เส้นแบ่งครึ่ง ส่วนสูงและค่ามัธยฐานเป็นส่วนเดียว - บีดี

บทสรุป:

1. ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง
2. ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง
3. เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและระดับความสูง

จดจำ!เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว ให้ลดความสูงลงจนถึงฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เพื่อแบ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันเท่าๆ กัน

• ทฤษฎีบท 5ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากับสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

หลักฐานของทฤษฎีบท:

ให้ Δ ABC และ Δ A 1 B 1 C 1 สองตัว ข้าง AB = A 1 B 1 ; ก่อนคริสต์ศักราช = B 1 C 1 ; เอซี = ก 1 ค 1 .

พิสูจน์โดยความขัดแย้ง

• ให้สามเหลี่ยมไม่เท่ากัน (ไม่เช่นนั้นสามเหลี่ยมจะเท่ากันตามเกณฑ์แรก)
• กำหนดให้ Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC ซึ่งจุดยอด C 2 อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันกับจุดยอด C 1 สัมพันธ์กับเส้นตรง A 1 B 1 ตามสมมติฐาน จุดยอด C 1 และ C 2 ไม่ตรงกัน ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน C 1 C 2 . Δ A 1 C 1 C 2 และ Δ B 1 C 1 C 2 เป็นหน้าจั่วที่มีฐานร่วม C 1 C 2 ดังนั้นค่ามัธยฐาน A 1 D และ B 1 D จึงมีความสูง ซึ่งหมายความว่าเส้น A 1 D และ B 1 D ตั้งฉากกับเส้น C 1 C 2 A 1 D และ B 1 D มีจุด A 1 และ B 1 ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่ตรงกัน แต่ผ่านจุด D ของเส้นตรง C 1 C 2 จะสามารถลากเส้นตรงตั้งฉากได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น
• จากที่นี่เรามาถึงความขัดแย้งและพิสูจน์ทฤษฎีบท

สัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

1. ถ้ามุมสองมุมในสามเหลี่ยมเท่ากัน
2. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°
3. หากอยู่ในรูปสามเหลี่ยม เส้นแบ่งครึ่งคือค่ามัธยฐานหรือส่วนสูง
4. ถ้าในรูปสามเหลี่ยม ค่ามัธยฐานคือเส้นแบ่งครึ่งหรือส่วนสูง
5. ถ้าความสูงของรูปสามเหลี่ยมเป็นค่ามัธยฐานหรือเส้นแบ่งครึ่ง

สูตรสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว- ด้านข้าง (ฐาน)
• ก- ด้านเท่ากัน
• อนุญาต - มุมที่ฐาน
• - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สูตรความยาวด้าน(ฐาน - - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว):

• b = 2a \sin(\beta /2)= a \sqrt ( 2-2 \cos \beta )
• b = 2a\คอส\อัลฟา

สูตรสำหรับความยาวของด้านที่เท่ากัน - (ก):

• a=\frac ( b ) ( 2 \sin(\beta /2) ) = \frac ( b ) ( \sqrt ( 2-2 \cos \beta ) )
• a=\frac ( b ) ( 2 \cos\alpha )

• ล- ความสูง=เส้นแบ่งครึ่ง=ค่ามัธยฐาน
• - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว- ด้านข้าง (ฐาน)
• ก- ด้านเท่ากัน
• อนุญาต - มุมที่ฐาน
• - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว - มุมที่เกิดจากด้านเท่ากัน

สูตรสำหรับความสูง เส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน ผ่านด้านและมุม ( ล):

• L = บาป อนุญาต
• L = \frac ( b ) ( 2 ) *\tg\alpha
• L = a \sqrt ( (1 + \cos \beta)/2 ) =a \cos (\beta)/2)

สูตรหาส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน ผ่านด้าน ( ล):

• L = \sqrt ( ก^ ( 2 ) -b^ ( 2 ) /4 )

• - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว- ด้านข้าง (ฐาน)
• ก- ด้านเท่ากัน
• ชม.- ความสูง

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของความสูง h และฐาน b, ( ส):

S=\frac ( 1 ) ( 2 ) *bh

บ้านสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ด้านที่เท่ากันเรียกว่าด้านข้าง และด้านสุดท้ายเรียกว่าฐาน ตามคำนิยามแล้ว สามเหลี่ยมปกติก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

• คุณสมบัติ
• มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีขนาดเท่ากัน เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูงที่ดึงมาจากมุมเหล่านี้ก็เท่ากันเช่นกัน
• เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน ความสูง และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ลากไปยังฐานตรงกัน ศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้และวงกลมที่เขียนไว้จะอยู่บนเส้นนี้

มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันจะมีมุมแหลมเสมอ (ตามมาจากความเท่ากัน) อนุญาตก - ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วข α - ความยาวของด้านที่สาม β และ - มุมที่สอดคล้องกันร - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบร

- รัศมีจารึก .

ด้านข้างสามารถพบได้ดังนี้:

มุมสามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

(สูตรของนกกระสา)

• สัญญาณ
• มุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน
• ความสูงตรงกับค่ามัธยฐาน
• ความสูงตรงกับเส้นแบ่งครึ่ง
• เส้นแบ่งครึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับค่ามัธยฐาน
• ความสูงทั้งสองเท่ากัน
• ค่ามัธยฐานทั้งสองมีค่าเท่ากัน

เส้นแบ่งครึ่งสองตัวเท่ากัน (ทฤษฎีบทสไตเนอร์-เลมุส)

ดูเพิ่มเติม

เขตเทศบาล Gremyachinsky ของภูมิภาคระดับการใช้งาน

ISOSceles TRIANGLE สามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน มุมที่ด้านพวกนี้ก็เท่ากัน... สามเหลี่ยม ISOScele

และ (อย่างง่าย) ตรีโกณมิติ สามเหลี่ยม มนุษย์ 1. รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นสามเส้นที่ตัดกันทำให้เกิดมุมภายในสามมุม (เสื่อ) สามเหลี่ยมป้าน. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน สามเหลี่ยมมุมฉาก...... สามเหลี่ยม

ISOSceles, aya, oe: สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากันสองด้าน - คำนาม หน้าจั่วและเพศหญิง พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov เอสไอ Ozhegov, N.Y. ชเวโดวา พ.ศ. 2492 พ.ศ. 2535 … พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

สามเหลี่ยม- ▲ รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุม, สามเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ถูกกำหนดด้วยจุด 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน สามเหลี่ยม มุมแหลม มุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก: ขา ด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมหน้าจั่ว … … พจนานุกรมอุดมการณ์ของภาษารัสเซีย

สามเหลี่ยม- TRIANGLE1, a, m ของอะไรหรือด้วย def วัตถุที่มีรูปร่างเป็นรูปทรงเรขาคณิตล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม เธอจัดเรียงจดหมายของสามีเป็นสามเหลี่ยมสีเหลืองจากด้านหน้า สามเหลี่ยม2,ก,ม... ... พจนานุกรมอธิบายคำนามภาษารัสเซีย

คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ สามเหลี่ยม (ความหมาย) สามเหลี่ยม (ในปริภูมิแบบยุคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สามจุด,... ... วิกิพีเดีย

สามเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยม)- สามเหลี่ยม: 1 แหลม, สี่เหลี่ยมและป้าน; 2 ปกติ (ด้านเท่ากันหมด) และหน้าจั่ว; 3 เส้นแบ่งครึ่ง; 4 ค่ามัธยฐานและจุดศูนย์ถ่วง 5 ความสูง; 6 ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์; 7 สายกลาง. สามเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมที่มี 3 ด้าน บางครั้งภายใต้... ... พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

พจนานุกรมสารานุกรม

สามเหลี่ยม- ก; ม. 1) ก) รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยมหน้าจั่ว. คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ข) อ๊อต อะไรหรือกับ def หุ่นหรือวัตถุรูปทรงนี้...... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

ก; ม. 1. รูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นตัดกันสามเส้นที่สร้างมุมภายในสามมุม สี่เหลี่ยมหน้าจั่ว t. คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม // อะไรหรือกับ def รูปร่างหรือวัตถุที่มีรูปร่างเช่นนี้ ต.หลังคา. ต… … พจนานุกรมสารานุกรม

บทเรียนนี้จะครอบคลุมหัวข้อ “สามเหลี่ยมหน้าจั่วและคุณสมบัติของมัน” คุณจะได้เรียนรู้ว่าหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่ามีลักษณะอย่างไร และมีลักษณะเฉพาะอย่างไร พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่ากันของมุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่ง (ค่ามัธยฐานและความสูง) ที่ลากไปที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ในตอนท้ายของบทเรียน คุณจะได้แก้ปัญหาสองข้อโดยใช้คำจำกัดความและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม:หน้าจั่วเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน

ข้าว. 1. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

AB = AC - ข้าง ก่อนคริสต์ศักราช - รากฐาน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง

คำนิยาม:ด้านเท่ากันหมดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน

ข้าว. 2. สามเหลี่ยมด้านเท่า

AB = BC = SA

ทฤษฎีบท 1:ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน

ที่ให้ไว้:เอบี = เอซี

พิสูจน์:∠B =∠ค

ข้าว. 3. การวาดภาพสำหรับทฤษฎีบท

การพิสูจน์:สามเหลี่ยม ABC = สามเหลี่ยม ACB ตามเครื่องหมายแรก (ด้านสองด้านเท่ากันและมุมระหว่างสองด้าน) จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะตามมาว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า ∠B = ∠C ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2:ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แบ่งครึ่งวาดไปที่ฐานคือ ค่ามัธยฐาน- ความยาวของด้านที่สาม ความสูง.

ที่ให้ไว้:เอบี = เอซี, ∠1 = ∠2

พิสูจน์:ВD = DC, AD ตั้งฉากกับ BC

ข้าว. 4. การวาดภาพสำหรับทฤษฎีบท 2

การพิสูจน์:สามเหลี่ยม ADB = สามเหลี่ยม ADC ตามเครื่องหมายแรก (AD - ทั่วไป, AB = AC ตามเงื่อนไข, ∠BAD = ∠DAC) จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะตามมาว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากัน BD = DC เนื่องจากพวกมันอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน AD คือค่ามัธยฐาน นอกจากนี้ ∠3 = ∠4 เนื่องจากพวกมันอยู่ตรงข้ามด้านที่เท่ากัน แต่รวมๆ แล้วมีเท่ากัน ดังนั้น ∠3 = ∠4 = ซึ่งหมายความว่า AD คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องพิสูจน์

ในกรณีเดียว a = b = ในกรณีนี้ เส้น AC และ BD เรียกว่าตั้งฉาก

เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่ง ความสูง และค่ามัธยฐานเป็นส่วนเดียวกัน ข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริงเช่นกัน:

ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง

ตัวอย่างที่ 1:ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ฐานจะมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของด้าน และเส้นรอบรูปคือ 50 ซม. จงหาด้านของสามเหลี่ยม

ที่ให้ไว้: AB = เอซี, BC = เอซี ป = 50 ซม.

หา:พ.ศ. เอซี เอบี

สารละลาย:

ข้าว. 5. การวาดภาพตัวอย่างที่ 1

ให้เราแทนฐาน BC เป็น a จากนั้น AB = AC = 2a

2a + 2a + ก = 50

5a = 50, a = 10

คำตอบ: BC = 10 ซม. AC = AB = 20 ซม.

ตัวอย่างที่ 2:พิสูจน์ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุมเท่ากัน

ที่ให้ไว้: AB = BC = SA

พิสูจน์:∠A = ∠B = ∠C

การพิสูจน์:

ข้าว. 6. ตัวอย่างการวาดภาพ

∠B = ∠C เนื่องจาก AB = AC และ ∠A = ∠B เนื่องจาก AC = BC

ดังนั้น ∠A = ∠B = ∠C ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คำตอบ:พิสูจน์แล้ว

ในบทเรียนวันนี้ เราดูสามเหลี่ยมหน้าจั่วและศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของมัน ในบทต่อไป เราจะมาแก้ปัญหาในหัวข้อสามเหลี่ยมหน้าจั่ว การคำนวณพื้นที่ของหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า

1. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี., แวร์เนอร์ เอ.แอล., ไรซิค วี.ไอ. และอื่นๆ เรขาคณิต 7. - ม.: การศึกษา.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. และอื่นๆ เรขาคณิต 7. 5th ed. - ม.: การตรัสรู้.
3. บูตูซอฟ วี.เอฟ., คาดอมเซฟ เอส.บี., ปราโซโลวา วี.วี. เรขาคณิต 7 / V.F. บูตูซอฟ, S.B. Kadomtsev, V.V. ปราโซโลวา, เอ็ด. ซาดอฟนิเชโก วี.เอ. - อ.: การศึกษา, 2553.

1. พจนานุกรมและสารานุกรมเกี่ยวกับนักวิชาการ ()
2. เทศกาลแนวคิดการสอน “เปิดบทเรียน” ()
3. Kaknauchit.ru ()

1. หมายเลข 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. บูตูซอฟ, S.B. Kadomtsev, V.V. ปราโซโลวา, เอ็ด. ซาดอฟนิเชโก วี.เอ. - อ.: การศึกษา, 2553.

2. เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 35 ซม. และฐานเล็กกว่าด้านข้างสามเท่า ค้นหาด้านของสามเหลี่ยม

3. ให้ไว้: AB = BC พิสูจน์ว่า ∠1 = ∠2

4. เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 20 ซม. ด้านหนึ่งมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของอีกด้านหนึ่ง ค้นหาด้านของสามเหลี่ยม ปัญหามีกี่วิธี?